这里考查三个物体偏离平衡位置的位移, 分别记为 y (t), y 2 (t), y 3 (t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡, 所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律 ( 即弹簧的弹力与拉伸长度成正比 ) 可列出如下微分方程

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足容
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1 第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样, 矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上, 矩阵的特征值是特征多项式方程的根, 因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵, 这种转化并不能使问题得到简化, 而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此, 正如第二章指出的, 我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题, 而不是反过来. 本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似, 计算矩阵特征值的算法也是迭代方法. 5. 基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值特征向量的基本概念和性质, 然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法. 5.. 基本概念与性质定义 5.: 矩阵 A = (a k ) C, () 称 φ(λ) = det(λi A) = λ + c λ + + c λ + c 为 A 的特征多项式 (characteristic polyomial); 次代数方程 φ(λ) = 为 A 的特征方程 (characteristic equatio), 它的个根 :λ,, λ, 被称为 A 的特征值 (eigevalue). 此外, 常用 λ(a) 表示 A 的全体特征值的集合, 也称为特征值谱 (spectrum of eigevalue). (2) 对于矩阵 A 的一个给定特征值 λ, 相应的齐次线性方程组 (λi A)x =, (5.) 有非零解 ( 因为系数矩阵奇异 ), 其解向量 x 称为矩阵 A 对应于 λ 的特征向量 (eigevector). 根据方程 (5.), 我们得出矩阵特征值与特征向量的关系, 即 Ax = λx. (5.2) 第三章的定义 3.5 就利用公式 (5.2) 对矩阵特征值和特征向量进行了定义, 它与定义 5. 是等价的. 另外, 同一个特征值对应的特征向量一定不唯一, 它们构成线性子空间, 称为特征子空间 (eigespace). 我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意, 实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量, 但实特征值一定对应于实特征向量 ( 方程 (5.) 的解 ), 而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外, 若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值 ( 由于特征方程为实系数方程 ). 定理 3.3 表明, 实对称矩阵 A R 的特征值均为实数, 存在个线性无关且正交的实特征向量, 即存在由特征值组成的对角阵 Λ 和特征向量组成的正交阵 Q, 使得 : A = QΛQ T. (5.3) 例 5.( 弹簧 - 质点系统 ): 考虑图 5- 的弹簧 - 质点系统, 其中包括三个质量分别为 m m 2 m 3 的物体, 由三个弹性系数分别为 k, k 2, k 3 的弹簧相连, 三个物体的位置均为时间的函数, 如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值, 则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决, 这与阿贝尔证明的高于 4 次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式的理论矛盾. 2

2 这里考查三个物体偏离平衡位置的位移, 分别记为 y (t), y 2 (t), y 3 (t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡, 所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律 ( 即弹簧的弹力与拉伸长度成正比 ) 可列出如下微分方程组 2 : My (t) + Ky(t) =, 其中 y(t) = [y (t) y 2 (t) y 3 (t)] T, m k + k 2 k 2 M = [ m 2 ], K = [ k 2 k 2 + k 3 k 3 ]. m 3 k 3 k 3 在一般情况下, 这个系统会以自然频率 ω 做谐波振动, 而 y 的通解包含如下的分量 : y (t) = x e iωt, ( =, 2, 3) 其中 i =, 根据它可求解出振动的频率 ω 及振幅 x. 由这个式子可得出 : y (t) = ω 2 x e iωt, ( =, 2, 3) 代入微分方程, 可得代数方程 : 或 ω 2 Mx + Kx =, Ax = λx, 其中 A = M K,λ = ω 2. 通过求解矩阵 A 的特征值便可求出这个弹簧 - 质点系统的自然频率 ( 有多个 ). 再结合初始条件可确定这三个位移函数, 它们可能按某个自然频率振动 ( 简正振动 ), 也可能是若干个简正振动的线性叠加. 例 5.2( 根据定义计算特征值特征向量 ): 求矩阵的特征值和特征向量. [ 解 ]: 矩阵 A 的特征方程为 : 5 A = [ 3 ] 4 2 λ 5 det(λi A) = 3 λ = (λ 3)(λ 2) 2 = 4 2 λ 故 A 的特征值为 λ = 3,λ 2 = 2( 二重特征值 ). 当 λ = λ = 3 时, 由 (λi A)x =, 得到方程 x 2 [ 3 2 ] [ x 2 ] = [ ] x 3 它有无穷多个解, 若假设 x =, 则求出解为 x = [,,] T, 记为 x, 则 x 是 λ 对应的一个特征向量. 当 λ = λ 2 = 2 时, 由 (λi A)x =, 得到方程 x 3 [ 3 ] [ x 2 ] = [ ] 4 2 x 3 它有无穷多个解, 若假设 x =, 则求出解为 x = [,,2] T, 记为 x 2, 则 x 2 是 λ 2 对应的一个特 k k 2 k 3 m m 2 m 3 y (t) y 2 (t) y 3 (t) 图 5- 弹簧 - 质点系统. 2 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法. 3

3 征向量. 下面概括地介绍有关矩阵特征值特征向量的一些性质, 它们可根据定义 5., 以及公式 (5.2) 加以证明. 定理 5.: 设 λ ( =,2,, ) 为阶矩阵 A 的特征值, 则 () = λ = = a = tr(a) ; (2) = λ = det(a). 这里 tr(a) 表示矩阵对角线上元素之和, 称为矩阵的迹 (trace). 从上述结论 (2) 也可以看出, 非奇异矩阵特征值均不为, 而一定是奇异矩阵的特征值. 定理 5.2: 矩阵转置不改变特征值, 即 λ(a) = λ(a T ). 定理 5.3: 若矩阵 A 为对角阵或上 ( 下 ) 三角阵, 则其对角线元素即为矩阵的特征值. 定理 5.4: 若矩阵 A 为分块对角阵, 或分块上 ( 下 ) 三角阵, 例如 A A 2 A m A A = [ 22 A 2m ], A mm 其中每个对角块 A 均为方阵, 则矩阵 A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并, 即 m λ(a) = = λ(a ). 定理 5.5: 矩阵的相似变换 (similarity trasformatio) 不改变特征值. 设矩阵 A 和 B 为相似矩阵, 即存在非奇异矩阵 X 使得 B = X AX, 则 () 矩阵 A 和 B 的特征值相等, 即 λ(a) = λ(b) ; (2) 若 y 为 B 的特征向量, 则相应地,Xy 为 A 的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵, 或者说矩阵 A 并不总是可对角化的 (diagoalizable). 下面给出特征值的代数重数几何重数, 和亏损矩阵的概念, 以及几个定理.. 定义 5.2: 设矩阵 A R 有 m 个 (m ) 不同的特征值 λ,, λ m, 若 λ 是特征方程的重根, 则称为 λ 的代数重数 (algebraic multiplicity), 并称 λ 的特征子空间 (C 的子空间 ) 的维数为 λ 的几何重数 (geometric multiplicity). 定理 5.6: 设矩阵 A R 的 m 个不同的特征值为 λ,, λ m, 特征值 λ, ( =,, m) 的代数重数为, 几何重数为 k, 则 m () = =, 且任一个特征值的几何重数不大于代数重数, 即, k. m (2) 不同特征值的特征向量线性无关, 并且将所有特征子空间的 k 个基 ( 特征向量 ) 放在一起, 它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数, 则总共可得个线性无关的特征向量, 它们是全空间 C 的基. 定义 5.3: 若矩阵 A R 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k( 即几何重数小于代数重数 ), 则称 A 为亏损阵 (defective matrix), 否则称其为非亏损阵 (odefective matrix). 定理 5.7: 设矩阵 A R 可对角化, 即存在非奇异矩阵 X C 使得 X AX = Λ, 其中 Λ C 为对角阵, 的充要条件是 A 为非亏损矩阵. 此时,Λ 的对角线元素为矩阵 A 的特征值, 而矩阵 X 的列向量为个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为 A = XΛX, 它被称为特征值分解, 也叫谱分解 (spectrum decompositio). 特征值分解存在的充要条件是 A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵, 例如例 5.2 中的矩阵, 它的特征值 2 的代数重数为 2, 而几何重数仅为. 这种矩阵 = 4

4 不能相似变换为对角阵, 但存在下面的若当分解 (Jorda decompositio). 定理 5.8: 设矩阵 A R, 存在非奇异矩阵 X C 使得矩阵 J 为形如 [J A = XJX, J p ] 的分块对角阵 ( 称为若当标准型 ), 其中 J k = [ λ k λ k 称 λ k ] 为若当块, 其对角线元素为矩阵 A 的特征值. 设矩阵 A 有 m 个不同的特征值为 λ,, λ m, 特 m 征值 λ, ( =,, m) 的代数重数为, 几何重数为 k, 则 p = = k, λ 对应于 k 个若当块, 其阶数之和等于. 在若当分解中, 如果所有若当块都是阶的, 则 J 为对角阵, 这种分解就是特征值分解, 相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具, 利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理. 定理 5.9: 设 λ ( =,2,, ) 为阶矩阵 A 的特征值, 则 () 矩阵 ca, c 为常数, 的特征值为 cλ, cλ 2,, cλ. (2) 矩阵 A + pi, p 为常数, 的特征值为 λ + p, λ 2 + p,, λ + p. (3) 矩阵 A k, k 为正整数, 的特征值为 λ k, λ 2 k,, λ k. (4) 设 p(t) 为一多项式函数, 则矩阵 p(a) 的特征值为 p(λ ), p(λ 2 ),, p(λ ). (5) 若 A 为非奇异矩阵, 则 λ, ( =,2,, ), 且矩阵 A 的特征值为 λ, λ 2,, λ 特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界, 无论在理论上或实际应用上, 都有重要意义. 比如, 本书前面的内容曾涉及两个问题 : (). 计算矩阵的 2- 条件数 :cod(a) 2 = λ max(a T A) λ mi (A T A) ; (2). 考察一阶定常迭代法 x (k+) = Bx (k) + f 的收敛性收敛速度 : 收敛的判据是谱半径 ρ(b) = max λ (B) < ; 收敛速度为 R = log ρ(b). 其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解. 上一章的定理 4.4 说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数, 即这是关于特征值的上界的一个重要结论. ρ(a) A, 下面先给出定义 5.4, 再介绍有关特征值的界的另一个重要结论. 定义 5.4: 设 A = (a k ) C, 记 r k = = a k, (k = k,, ), 则集合 D k = {z z a kk r k, z C}, (k =,, ) 在复平面为以 a kk 为圆心 r k 为半径的圆盘, 称为 A 的 Gerschgori( 格什戈林 ) 圆盘. 图 5-2 显示了一个 3 3 复矩阵的格什戈林圆盘. 定理 5. ( 圆盘定理 ): 设 A = (a k ) C, 则 : () A 的每一个特征值必属于 A 的格什戈林圆盘之中, 即对任一特征值 λ 必定存在 k, k, 使得 : λ a kk a k. = k D a r iy D 3 r 3 a 33 D 2 r 2 a 22 图 5-2 复坐标平面, 以及 3 3 矩阵 A 的格什戈林圆盘. (5.4) x 5

5 用集合的关系来说明, 这意味着 λ(a) k= D k. (2) 若 A 的格什戈林圆盘中有 m 个组成一连通并集 S, 且 S 与余下的 m 个圆盘分离, 则 S 内恰好包含 A 的 m 个特征值 ( 重特征值按重数计 ). 对图 5-2 所示的例子, 定理 5. 的第 (2) 个结论的含义是 :D 中只包含一个特征值, 而另外两个特征值在 D 2, D 3 的并集中. 下面对定理 5. 的结论 () 进行证明, 结论 (2) 的证明超出了本书的范围. [ 证明 ]: 设 λ 为 A 的任一特征值, 则有 Ax = λx,x 为非零向量. 设 x 中第 k 个分量最大, 即考虑方程 (5.2) 中第 k 个方程 : x k = max x >, a k x = λx k, 将其中与 x k 有关的项移到等号左边, 其余到右边, 再两边取模得 : = λ a kk x k = a k x a k x x k a k. (5.5) = k = k 最后一个不等式的推导利用了 x 中第 k 个分量最大的假设. 将不等式 (5.5) 除以 x k, 即得到 (5.4) 式, 因此证明了定理 5. 的结论 (). 上述证明过程还说明, 若某个特征向量的第 k 个分量的模最大, 则相应的特征值必定属于第 k 个圆盘中. 根据定理 5.2, 还可以按照矩阵的每一列元素定义个圆盘, 对于它们定理 5. 仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论, 其证明留给感兴趣的读者. 定理 5.: 设 A R, 且 A 的对角元均大于, 则 () 若 A 严格对角占优, 则 A 的特征值的实部都大于. (2) 若 A 为对角占优的对称矩阵, 则 A 一定是对称半正定矩阵, 若同时 A 非奇异, 则 A 为对称正定矩阵. 例 5.3 ( 圆盘定理的应用 ): 试估计矩阵的特征值范围. 4 A = [ ] 4 [ 解 ]: 直接应用圆盘定理, 该矩阵的三个圆盘如下 : D : λ 4, D 2 : λ 2, D 3 : λ D 与其他圆盘分离, 则它仅含一个特征值, 且必定为实数 ( 若为虚数则其共轭也是特征值, = k 这与 D 仅含一个特征值矛盾 ). 所以对矩阵特征值的范围的估计是 : 3 λ 5, λ 2, λ 3 D 2 D 3. 再对矩阵 A T 应用圆盘定理, 则可以进一步优化上述结果. 矩阵 A T 对应的三个圆盘为 : D : λ 4 2, D 2 : λ 2, D 3 : λ + 4. 这说明 D 3 中存在一个特征值, 且为实数, 它属于区间 [-5, -3], 经过综合分析可知三个特征值均为实数, 它们的范围是 : λ [3, 5], λ 2 [ 2, 2], λ 3 [ 5, 3]. 事实上, 使用 Matlab 的 eig 命令可求出矩阵 A 的特征值为 :4.23, , 根据定理 5.5, 还可以对矩阵 A 做简单的相似变换, 例如取 X 为对角阵, 然后再应用圆盘 6

6 定理估计特征值的范围. 例 5.4 ( 特征值范围的估计 ): 选取适当的矩阵 X, 应用定理 5.5 和 5. 估计例 5.3 中矩阵的特征值范围. [ 解 ]: 取则 X = [ ],.9 4 A = X AX = [ 9] 的特征值与 A 的相同. 对 A 应用圆盘定理, 得到三个分离的圆盘, 它们分别包含一个实特征值, 由此得到特征值的范围估计 : λ [3, 5], λ 2 [ 9 9, 9 9 ], λ 3 [ 5.8, 2.2]. 此外, 还可进一步估计 ρ(a) 的范围, 即 3 ρ(a) 5.8. 上述例子表明, 综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质 ( 如定理 5.2, 定理 5.5), 可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子, 可适当设置相似变换矩阵, 尽可能让圆盘相互分离, 从而提高估计的有效性. 5.2 幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术幂法定义 5.5: 在矩阵 A 的特征值中, 模最大的特征值称为主特征值, 也叫第一特征值, 它对应的特征向量称为主特征向量. 应注意的是, 主特征值有可能不唯一, 因为模相同的复数可以有很多. 例如模为 5 的特征值可能是 5, 5, 3 + 4i, 3 4i, 等等. 另外, 请注意谱半径和主特征值的区别. 如果矩阵 A 有唯一的主特征值, 则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵, 这个唯一的主特征值显然是实数, 但不排除它是重特征值的情况. 幂法 (power iteratio) 的计算过程是, 首先任取一非零向量 v R, 再进行迭代计算 : v k = Av k, (k =,2, ) 得到向量序列 {v k }, 根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明. 定理 5.2: 设 A R, 其主特征值唯一, 记为 λ, 且 λ 的几何重数等于代数重数, 则对于非零向量 v R,v 不与主特征值对应的特征向量正交, 按迭代公式进行计算 : 存在如下极限等式 : v k = Av k, (k =,2, ), v k lim k k λ = x, (5.6) (v k+ ) lim = λ k (v k ), (5.7) 其中 x 为主特征向量,(v k ) 表示向量 v k 的第个分量 (k =, 2, ). 7

7 [ 证明 ]: 为了推导简便, 不妨设主特征值 λ 不是重特征值, 并且假设矩阵 A 为非亏损矩阵. 设 A 的个特征值按模从大到小排列为 : λ > λ 2 λ, 它们对应于一组线性无关的单位特征向量 x,, x. 向量 v 可写成这些特征向量的线性组合 : 根据已知条件,α, 则 v = α x + + α x 其中 ε k = =2 v k = Av k = A k v = α λ k x + α 2 λ 2 k x α λ k x = λ k [α x + α ( λ k ) x ] λ =2 = λ k (α x + ε k ) α ( λ ) k λ x. 由于 λ λ <, ( = 2,, ), 则 lim k ε k = lim k v k λ k = α x. 由于特征向量放大缩小任意倍数后仍是特征向量, 设 x = α x, 则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明, 随 k 的增大, v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量. 设为到之间的整数, 且 (v k ), 则 (v k+ ) (v k ) = λ (α x + ε k+ ) (α x + ε k ) 由于 lim k ε k =, 随 k 的增大上式等号右边趋于一个常数 : λ. 这就证明了定理的结论. 若矩阵 A 为亏损矩阵, 可利用矩阵的若当分解证明这个定理, 这里略去. 在这种情况下, 主特征值的几何重数等于代数重数这一条件很重要, 例如, 若 3 A = [ 3 ], 它的主特征值为 3, 但其几何重数为, 不满足条件. 对这个矩阵 A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值. 关于定理 5.2, 再说明几点 : 当主特征值 λ 为重特征值时, 应要求其几何重数等于代数重数, 此时特征子空间维数大于, 向量序列 {v k k λ } 的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量. 公式 (5.7) 式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时, 可任意取的值, 只需保证比值的分母不为零. 证明中假设了 α, 在实际应用中往往随机选取 v, 由于存在舍入误差, 它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下, 若初始向量 v 恰好与主特征向量都正交, 那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果? 直接使用幂法, 还存在如下两方面问题 : () 溢出 : 由于 v k λ k x, 则 λ > 时, 实际计算 v k 会出现上溢出 ( 当 k 很大时 ); λ < 时, 实际计算 v k 会出现下溢出 ( 当 k 很大时 ). (2) 可能收敛速度很慢. 由于 ε k = α ( λ ) k =2 x λ, ε k 的速度取决于求和式中衰减最慢的因子 λ 2, 当 λ 2 时, 收敛很慢. 由此导致 v λ λ k λ k α x, (v k+) λ (v k ) 的收敛速度都将很慢, 严重影响计算的效率. 下面采用规格化向量的技术防止溢出, 导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论, 见 8

8 下一小节. 定义 5.6: 记 max (v) 为向量 v R 的绝对值最大的分量, max (v) = v, 其中满足 v = max k v k, 若的值不唯一, 则取最小的那个. 并且, 称 u = v/ max (v) 为向量 v 的规格化向量 (ormalized vector). 例 5.5( 规格化向量 ): 设 v = [3, 5,] T,max (v) = 5, 对应的规格化向量为 u = [ 3, 5,]T. 根据定义 5.6, 容易得出规格化向量的两条性质. 定理 5.3: 定义 5.6 中的规格化向量满足如下两条性质 : () 若 u 为规格化向量, 则 u =, 并且 max (u) =. (2) 设向量 v 和 v 2 的规格化向量分别为 u 和 u 2, 若 v = αv 2, 实数 α, 则 u = u 2. 在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步,v = Av, 此时计算 v 的规格化向量然后使用规格化向量计算 v 2 : 再进行向量规划化操作, v u = max (v ) = Av max (Av ). v 2 = Au = A2 v max (Av ), (5.8) v 2 u 2 = max (v 2 ) = A 2 v max (A 2 v ). (5.9) 公式 (5.9) 的推导, 利用了 (5.8) 式和定理 5.3 的结论 (2). 依次类推, 我们得到 : v k = Au k = A k v max (A k v ) v k u k = { max (v k ) = A k v max (A k v ) 根据定理 5.2 的证明过程, A k v = λ k [α x + α ( λ k ) x ] λ =2 =2 A k v α x + α ( ) u k = max (A k v ) = λ x max (α x + α ( λ k ) λ x 即 u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理, v k = Au k = A k v max (A k v ) = α x + α ( λ k =2 ) λ x = λ max (α x + α ( λ k ) λ x 因此, 根据定理 5.3 的结论 () 有 : =2 ), k =, 2,. (5.) λ k =2 ) λ k [α x + max (λ k [α x + k α ( λ k ) λ x x max (x ), =2 ] α ( λ k ) λ x =2 ]) 9

9 lim v x k = λ k max (x ) lim max (v k) = λ. k 基于上述推导, 我们得到如下定理, 以及如算法 5. 描述的实用幂法. 定理 5.4: 设 A R, 其主特征值唯一 ( 且几何重数等于代数重数 ), 记为 λ, 取任意非零初始向量 v = u, 它不与主特征值对应的特征向量正交, 按迭代公式 (5.) 进行计算, 则 lim u x k = k max (x ), (5.) 其中 x 为主特征向量. 算法 5.: 计算主特征值 λ 和主特征向量 x 的实用幂法输入 :v, A ; 输出 :x, λ. u: = v ; While 不满足判停准则 do Ed v: = Au ; λ : = max (v) ; { 主特征值近似值 } u: = v/λ ; { 规格化 } x : = u. { 规格化的主特征向量 } lim max (v k) = λ, (5.2) k 在算法 5. 中, 可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法, 若 A 为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列 {v k }, {u k } 不溢出, 并且向量 v k 的最大分量的极限就是主特征值. 最后, 针对幂法的适用范围再说明两点 : (). 若实矩阵 A 对称半正定或对称半负定, 则其主特征值必唯一 ( 而且是非亏损阵 ). 有时也可以估计特征值的分布范围, 从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件, 才能保证幂法的收敛性. (2). 对一般的矩阵, 幂法的迭代过程有可能不收敛, 此时序列 {u k } 有可能包括多个收敛于不同向量的子序列, 它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是, 一旦幂法的迭代过程收敛, 向量序列的收敛值就一定是特征向量, 并可求出相应的特征值. 例 5.6 ( 实用的幂法 ): 用实用的幂法求如下矩阵的主特征值 : A = [ 3 3 ], [ 解 ]: 取初始向量为 v = u = [ ] T. 按算法 5. 的迭代过程, 计算结果列于表 5- 中. 表 5- 实用幂法的迭代计算过程 T k v k max (v k ) u k T

10 从结果可以看出, 在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过 9 步迭代, 特征值 max (v k ) 已非常接近主特征值的准确值 4, 特征向量也非常接近 [ ] T 加速收敛的方法加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种 : 原点位移技术和瑞利商 (Rayleigh quotiet) 加速. 下面做些简略的介绍. 一. 原点位移技术原点位移技术, 也叫原点平移技术, 它利用定理 5.9 图 5-3 原点位移技术示意图. 的结论 (2), 即矩阵 A pi 的特征值为 A 的特征值减去 p 的结果. 对矩阵 B = A pi 应用幂法有可能得到矩阵 A 的某个特征值 λ 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果, 首先要求 λ p 是 B 的主特征值, 其次还要使幂法尽快收敛, 即比例 λ 2(B) λ p 要尽量小, 这里的 λ 2 (B) 表示矩阵 B 的 ( 按模 ) 第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的 p 值, 矩阵 A, B 可同时取到主特征值. 图 5-3 显示了这样一个例子, 矩阵 A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上,λ 为其主特征值. 按图中所示选取的 p 值, 将使得 λ p 是矩阵 B = A pi 的主特征值, 并且显然有 λ 2(B) λ p < λ 2(A) λ. 此时用幂法计算 B 的主特征值能更快地收敛, 进而得到矩阵的 A 的主特征值. 图 5-3 也解释了原点位移法名字的由来, 即将原点 ( 或虚数坐标轴 ) 移到 p 的位置上, 原始矩阵 A 的特征值分布变成了矩阵 B 的特征值分布. 采用原点位移技术后, 执行幂法仅带来很少的额外运算, 而且仍然能利用矩阵 A 的稀疏性. 它的关键问题是, 如何选择合适的参数 p 以达到较好的效果? 这依赖于具体矩阵的情况, 以及对其特征值分布的了解. 在后面, 我们还会看到原点位移技术的其他用途. iy p 特征值分布范围 λ(a) x 主特征值 λ 二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义, 以及它与特征值的关系, 然后介绍瑞利商加速技术. 定义 5.7: 设 A R, 且为对称矩阵, 对任一非零向量 x, 称 R(x) = Ax, x x, x 为对应于向量 x 的瑞利商 (Rayleigh quotiet). 这里符号, 代表向量内积. 定理 5.5: 设 A R, 且为对称矩阵, 其个特征值依次为 :λ λ 2 λ, 则矩阵 A 有关的瑞利商的上下确界分别为 λ 和 λ. 即 x, λ R(x) λ, 且当 x 为 λ 对应的特征向量时 R(x) = λ, 当 x 为 λ 对应的特征向量时 R(x) = λ. [ 证明 ]: 根据实对称矩阵的特点, 即可正交对角化 ( 定理 3.3), 设特征值 λ, λ 2,, λ 对应的 2 单位特征向量为 x, x 2,, x, 设 x = = α x, 则 x, x = = α x, = α x = = α, 而

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1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中