2016自然科学版第3期

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1 兰州大学学报 : 自然科学版, 016, 5(3) / 6 月 Journal of Lanzhou University:Natural Sciences,016,5(3) / June 几类特殊矩阵及性质雍龙泉 1, 刘三阳, 史加荣 3, 熊文涛 4 5, 封全喜 1 陕西理工大学数学与计算机科学学院, 陕西汉中西安电子科技大学数学与统计学院, 西安西安建筑科技大学理学院, 西安湖北工程学院数学与统计学院, 湖北孝感桂林理工大学理学院, 广西桂林摘要 : 在一定条件下, 研究了矩阵 (A+I) -1 (A-I) 与 (A+I)(A-I) -1 的收敛性正定性分析了广义正定矩阵的一些特性, 建立了判别广义正定矩阵的充要条件给出了 (A+I)(A-I) -1 属于广义正定矩阵的一个充分条件关键词 : 对称正定矩阵 ; 广义正定矩阵 ; 收敛矩阵 ; 特征值 ; 奇异值中图分类号 :O1511 文献标识码 :A 文章编号 : (016) DOI: /jissn Some special matrixes and their properties Yong Long-quan 1, Liu San-yang, Shi Jia-rong 3, Xiong Wen-tao 4, Feng Quan-xi 5 1 School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 73001, Shaanxi, China School of Mathematics and Statistics, Xidian University, Xi'an , China 3 School of Science, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi'an , China 4 School of Mathematics and Statistics, Hubei Engineering University, Xiaogan 43000, Hubei, China 5 School of Science, Guilin University of Technology, Guilin , Guangxi, China Abstract: Under certain conditions, the convergence and positive definitiveness of matrix (A+I) - 1 (A-I) and (A+I)(A-I) - 1 were studied Some properties of the generalized positive definite matrix were analyzed, and the sufficient and necessary conditions for the discriminant generalized positive definite matrix were established A sufficient condition that (A+I)(A-I) -1 belongs to the generalized positive definite matrix was given Key words: symmetric positive definite matrix; generalized positive definite matrix; convergent matrix; eigenvalue; singular value AMS Subject Classifications (000): 15A09; 15A1; 15A15 对于矩阵正定性的研究, 无论是在理论还是应用方面都有着重要的价值早期研究主要集中在对称矩阵的正定性上, 但随着应用矩阵的其他学科, 如数学规划投入产出的矩阵理论现代控制等的发展, 对称正定矩阵逐渐不能满足需要, 于是学者们开始致力于研究未必实对称的广义正定收稿日期 : 修回日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ); 陕西省青年科技新星项目 (016KJXX-95); 陕西理工大学科研计划项目 (SLG- KYQD-14); 陕西省教育厅科研项目 (16JK1150); 陕西省教育厅科研项目 (16JK1150) 作者简介 : 雍龙泉 (1980-), 男, 陕西洋县人, 副教授, 博士, 研究方向为最优化理论与算法智能优化算法,

2 386 [1-8] [9] 矩阵 Horn 等提出了实正定矩阵的定义, 但未对这类广义正定矩阵作深入的论证与研究李炯 [] 生对这类广义正定矩阵的性质和特征作了较深 [3] 入的研究郭忠给出了判别正定矩阵的一个方法, 其运算量为 O(n 3 [10] ) 屠伯埙提出了亚正定矩阵的定义, 并对其进行了较系统的论证与研究 [10-11] 文献 [10-11] 将实对称矩阵的限制去掉, 并导出了实方阵的特征值范围, 同时建立和推广了正定阵的一些充要条件实正定矩阵和亚正定矩阵实际是等价的亚正定矩阵是较为广义的正定矩阵, 在投入产出的矩阵理论现代经济管理数学规划的最优算法严格凸向量的检验以及各种线性回归模型结构的基本理论中都得到了重要的应用 [1-18] 本研究在一定条件下, 分析了几类矩阵的收敛性和正定性 ; 研究了广义正定矩阵的一些特性, 建立了判别广义正定矩阵的充要条件 ; 给出了矩阵 (A+I)(A-I) -1 属于广义正定矩阵的一个充分条件用 I 表示 n 阶单位矩阵, ρ(a) 表示矩阵 A 的谱半径 1 收敛矩阵定理 1 矩阵 A R n n, A 的特征值实部都是正值的充分必要条件是矩阵 A + I 非奇异, 并且 M =(A + I) -1 (A - I) 或 (A - I)(A + I) -1 为收敛矩阵证明必要性 A 的特征值实部都是正值, 故 -1 不是 A 的特征值, 故 A+I 非奇异 ; 又因为所以 (A - I)(A + I) = A - I =(A + I)(A - I), (A + I) -1 (A - I) =(A - I)(A + I) -1 故只需讨论 M =(A + I) -1 (A - I) 为收敛矩阵即可要证明 M 为收敛矩阵, 只需证明矩阵 M 的谱半径 ρ(m)<1 由 M=(A+I) - 1 (A-I) 可得 I+M=A(I-M), 而 I- M=I-(A+I) -1 (A-I)=(A+I) -1 (A+I)-(A+I) -1 (A-I)=(A+ I) -1, 于是矩阵 I-M 非奇异, 从而 A=(I+M)(I-M) -1 设 μ 为 M 的任一特征值, 则 (I-M) -1 的一个特征值为 μ ( 由于 I-M 非奇异, 故 1-μ 0) 结合 A=(I+M)(I-M) -1 可知 λ = 1 + μ 为 A 的特征值 1 - μ 由已知 Reλ>0, 因此即 0 < Re λ = λ + λˉ = 1 + μ 1 - μ μˉ 1 - μˉ, (1 + μ)(1 - μˉ) +(1 + μˉ)(1 - μ) (1 - μ)(1 - μˉ) > 0 其中, 由共轭复数的性质知 (1 - μ)(1 - μˉ) =(1 - μ)( μ) = 1 - μ > 0 故 (1+μ)(1- μˉ )+(1+ μˉ )(1-μ)>0 - μμˉ >0 μμˉ <1 μ <1 ρ(m)<1, 即 M 为收敛矩阵充分性 A+I 非奇异, 且 M =(A + I) -1 (A - I) 为收敛矩阵, 则矩阵 M 的谱半径 ρ(m)<1 设 λ 为 A 的任一特征值, 则 λ+1 0, μ = λ - 1 λ + 1 为 M 的特征值, 且 ρ(m)<1 μ < 1, 从而由共轭复数的性质有 μμˉ = λ - 1 λ + 1 λˉ - 1 λˉ + 1 < 1 于是 (λ - 1)(λˉ - 1) <(λ + 1)(λˉ + 1), 即 (λ + λˉ) > 0 4 Re λ > 0 Re λ > 0 对称正定收敛矩阵 1, 则定理实对称矩阵 A 的特征值 λ 满足 λ > (i) 矩阵 M=(A+I) -1 (A-I) 为对称正定矩阵, 且当 λ (1, + ) 时, M=(A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵 ; (ii) M -1 =(A+I)(A-I) -1 ; (iii) M -1 =(A+I)(A-I) -1 也为对称正定矩阵, 且当 λ (-, -1) 时, M -1 =(A+I)(A-I) -1 为收敛矩阵证明 (i) A 实对称且 A 的特征值 λ > 1, 则 λ (-, -1) (1, + ), 从而 A+I 非奇异 ; 又因为所以 (A-I)(A+I)=A -I=(A+I)(A-I), (A+I) -1 (A-I)=(A-I)(A+I) -1, 这表明 M=M T, 即 M 是一个实对称矩阵设 μ M 为 M 的任一特征值, 结合 M=(A + I) -1 (A-I) 可知, μ M = λ - 1 λ + 1 当 λ (-, -1) (1, + ) 时, μ M = λ - 1 λ + 1 > 0, 从而矩阵 M=(A+I) -1 (A-I) 为对称正定矩阵进而, 当 λ (1, + ) 时, ρ(m)<1, 故 M= (A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵 (ii) 由于 M=(A+I) -1 (A-I) 为对称正定矩阵, 从而 M 可逆且兰州大学学报 : 自然科学版, 016, 5(3)

3 雍龙泉, 等 : 几类特殊矩阵及性质 [(A+I) -1 (A-I)][(A+I)(A-I) -1 ]= [(A-I)(A+I) -1 ][(A+I)(A-I) -1 ]= I, 即 M -1 =(A+I)(A-I) -1 (iii) 由于 M=(A+I) -1 (A-I) 为对称正定矩阵, 结合对称正定矩阵的性质可知, M -1 =(A+I)(A-I) -1 也为对称正定矩阵设 μ M -1 为 M -1 的任一特征值, 由 M -1 =(A+I)(A- I) -1 可知, μ M -1 = λ + 1 λ - 1 从而, 当 λ (-, -1) 时, ρ(m -1 ) <1, M -1 =(A+I)(A-I) -1 为收敛矩阵 3 广义正定矩阵 [- 7] 定义 1 矩阵 A R n n 被称为半正定矩阵, 如果对 x R n, 都有 x T Ax 0; A 被称为正定矩阵, 如果对 x R n, x 0 都有 x T Ax>0 这里定义的正定矩阵不限制对称性, 为了区别常见的对称正定矩阵, 称定义 1 中的 ( 半 ) 正定矩阵为广义 ( 半 ) 正定矩阵显然, 广义正定矩阵包含一般对称正定矩阵有必要说明的是, 矩阵 A 对称时, 当矩阵 A 的特征值实部都是正值 ( 此时特征值全为实数 ), 则矩阵 A 是正定矩阵 ; 但是对一般实矩阵 ( 不满足对称, 此时可能存在复数特征值 ), 当矩阵 A 的特征值实部都是正值, 矩阵 A 有可能是正定, 也有可能不是正定算例 1 é 1 1 1ù ê A= ê ê ë û λ 1=1, λ = 5, λ 3,4=0888 8±1805 4i 由于特征值实部都是正值, 根据定理 1 可知, 矩阵 A+I 非奇异并且 M=(A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵事实上, 计算可得 det(a+i)=44, ρ(m)=069 3 由于矩阵 A 的特征值存在复数, 因此不能用特征值来判断正定性下面用定义来判别矩阵 A 的正定性对于 x 0, 这里 x=(x 1, x, x 3, x 4) T 由于 x T Ax = x 1 +x 1 x + x 1 x 3 + x +x 3 = (x 1+x ) +x +(x 1+x 3) 0, 因此矩阵 A 是广义半正定矩阵算例 x 4 前面的系数为 0 é ù ê ê A= ê ê ê ë û λ 1,=064 0±598 0i, λ 3,4=0748 7±543 7i, λ 5,6=0174 3±1888 8i, λ 7=065 9 由于特征值实部都是正值, 根据定理 1 可知, 矩阵 A+I 非奇异并且 M=(A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵事实上, 计算可得 det(a+i)=73 4e 10 3, ρ(m)=098 0 由于矩阵 A 的特征值存在复数, 因此不能用特征值来判断正定性下面用定义来判别矩阵 A 的正定性对于 x 0, x =(x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) T 由于 x T Ax = x 1 - x 1 x x + x 3 + x 3 x x 4 = æ x ö è 1-1 x ø x æ x ö è + 3 x ø 6 x 4 0, 因此矩阵 A 是广义半正定矩阵算例 3 é ù ê A= ê ê ë û x 5, x 6, x 7 前面的系数为 0 λ 1= i ( 二重根 ); λ = i ( 二重根 ) 由于特征值实部都是正值, 根据定理 1 可知, 矩阵 A+I 非奇异并且 M=(A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵事实上, 计算可得 det(a+i)=9, ρ(m)= 由于矩阵 A 的特征值存在复数, 下面用定义来判别矩阵 A 的正定性对于 x, x =(x 1, x, x 3, x 4 ) T 由于 x T Ax = x 1-4x 1 x + x =(x 1 - x ) - 3x, 令 x =(, 1, 0, 0) T, 则有 x T Ax = -3, 因此矩阵 A 不是广义正定矩阵算例 4 é ù ê ê A= ê ê ë û 387

4 388 λ 1=1736 9, λ =1386, λ 3=3758 9, λ 4=9100 3, λ 5,6=013 8±1609 1i 由于特征值实部都是正值, 根据定理 1 可知, 矩阵 A+I 非奇异并且 M=(A+I) -1 (A-I) 为收敛矩阵事实上, 计算可得 det(a+i)=854 0, ρ(m)= 由于矩阵 A 的特征值存在复数, 下面用定义来判别矩阵 A 的正定性对于 x, x =(x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) T 由于 x T Ax= 7x 1 +(9x 6+x +5x 3+10x 5+x 4)x 1+(x 6+5x +6x 4+ x 5)x 4+(8x +x 4)x +(x 5+x +3x 3+4x 4+9x 6)x 3+ (x 3+3x 5+8x 6)x 6+(6x 6+9x +3x 3+x 4)x 5; 若取 x = (0, 0, 0, 0, -8, 3) T, 则有 x T Ax =-144, 因此矩阵 A 不是广义正定矩阵对 n 阶实方阵 A, 记 A=S+K, 其中 S= 1 (A+ A T ), K= 1 (A-AT ), S 称为 A 的对称分量, K 称为 A 的反对称分量 ; 显然, n 阶实方阵 A 的对称分量和反对称分量是唯一的借助于 A 的对称分量, 下面给 [] 出一个判定广义正定矩阵的方法定理 3 n 阶实方阵 A 是广义正定矩阵的充分必要条件是 A 的对称分量 S 是对称正定矩阵证明 x R n, x 0, 都有 x T Ax=x T (S+K)x= x T Sx, 故 x 0, x T Ax>0 当且仅当 x T Sx>0, 又因为 S T =S, 因此, n 阶实方阵 A 是广义正定矩阵的充分必要条件是 S 是对称正定矩阵推论 1 n 阶实方阵 A 是广义半正定矩阵的充分必要条件是 A 的对称分量 S 是对称半正定矩阵定理 3 的作用在于, 对于一个非对称的实矩阵 A, 其正定性的判别可以转化对称矩阵 S 正定性的判别重新考虑算例 1 中的矩阵 A, 由于其对称分量 S 的特征值为 λ S 1 = , λ S = , λ S 3 = 347 0, λ S 4 = 0, 故 S 是对称半正定矩阵, 从而 A 是广义半正定矩阵对算例中的矩阵 A, 由于其对称分量 S 的特征值为 λ S 1 = , λ S = , λ S 3 = , λ S 4 = 163 5, λ S 5 = 0, λ S 6 = 0, λ S 7 = 0, 故 S 是对称半正定矩阵, 从而 A 是广义半正定矩阵对算例 3 中的矩阵 A, 由于其对称分量 S 的特征值为 λ S 1 = -1, λ S = 0, λ S 3 = 0, λ S 4 = 3, 兰州大学学报 : 自然科学版, 016, 5(3) 故 S 不是对称正定矩阵, 从而 A 不是广义正定矩阵对算例 4 中的矩阵 A, 由于其对称分量 S 的特征值为 λ S 1 = , λ S = , λ S 3 = 31 1, λ S 4 = , λ S 5 = , λ S 6 = , 故 S 不是对称正定矩阵, 从而 A 不是广义正定矩阵定义 [19] 设 A R n n, 记 ( 半正定 ) 矩阵 A T A 的特征值为 λ i, i=1,,, n, 则称 σ i = λ i,i = 1,,, n 为矩阵 A 的奇异值定理 4 A R n n, 矩阵 A 的奇异值都大于 1, 则矩阵 M=(A+I)(A-I) -1 是一个广义正定矩阵证明矩阵 A 的奇异值都大于 1, 则 (A-I) 非奇异, 且 A T A 的所有特征值都大于 1, 因此, 对任意的 z 0 都成立 z T (A T A-I)z>0 而 z T (A T A-I)z>0 z T A T Az+z T A T z-z T Az-z T z>0 z T (A T -I)(A+I)z>0 由于 (A-I) 非奇异, 令 z=(a-i) -1 x (z 0, 故 x 0), 带入上式整理得到 : x T (A T -I) -1 (A T -I)(A+I)(A-I) -1 x>0, 即 x T (A+I)(A-I) -1 x>0, ( x 0) 这说明矩阵 M=(A+I)(A-I) -1 是一个广义正定矩阵定理 4 在线性互补问题和绝对值方程等理论 [0-1] 中起着关键的作用结合定理, 可得如下推论推论实对称矩阵 A 的奇异值都大于 1, 则矩阵 M=(A+I)(A-I) -1 是一个对称正定矩阵参考文献 [1] 佟文廷广义正定矩阵 [J] 数学学报, 1984, 7(6): [] 李炯生实方阵的正定性 [J] 数学的实践与认识, 1985, 15(3): [3] 郭忠矩阵正定性判定及线性方程 AX=b 的反问题求解 [J] 科学通报, 1987, 3(): [4] 夏长富矩阵正定性的进一步推广 [J] 数学研究与评论, 1988, 8(4): [5] 韩继业, 修乃华, 戚厚铎非线性互补理论与算法 [M] 上海 : 上海科学技术出版社, 006 [6] 雍龙泉, 邓方安线性互补问题中矩阵正定性判别的两点注记 [J] 吉首大学学报 : 自然科学版, 009, 30(1): [7] 雍龙泉, 邓方安, 陈涛单调线性互补问题的一种内点算法 [J] 数学杂志, 009, 9(5): [8] 雍龙泉迭代法求解实对称矩阵绝对值方程 [J] 西南大学学报 : 自然科学版, 01, 34(5): 3-37

5 雍龙泉, 等 : 几类特殊矩阵及性质 389 [9] Horn R A, Johnson C R Matrix analysis[m] Cambridge: Cambridge University Press, 1985 [10] 屠伯埙亚正定阵理论 (Ⅰ)[J] 数学学报, 1990, 33(4): [11] 屠伯埙亚正定阵理论 (Ⅱ)[J] 数学学报, 1990, 34(l): [1] 黄炳家, 刘强远关于矩阵广义正定性的充要条件 [J] 石油大学学报 : 自然科学版, 1997, 1(4): [13] 袁晖坪次亚正定矩阵 [J] 数学杂志, 001, 1(): 9-3 [14] 殷庆祥关于实方阵的正定性 [J] 数学的实践与认识, 001, 31(): [15] 黄毅广义正定矩阵的研究 [D] 成都 : 电子科技大学数学科学学院, 003 [16] 杨仕春, 吴文权关于广义正定矩阵的进一步推广 [J] 数学的实践与认识, 005, 35(5): [17] 戴泽俭关于矩阵正定性的一些研究 [D] 芜湖 : 安徽师范大学数学计算机科学学院, 006 [18] 黄廷祝, 杨传胜特殊矩阵分析及应用 [M] 北京 : 科学出版社, 007 [19] 程云鹏矩阵论 [M] 西安 : 西北工业大学出版社, 001 [0] Mangasarian O L, Meyer R R Absolute value equations[j] Linear Algebra and its Applications, 006, 419 (5): [1] 雍龙泉, 刘三阳, 拓守恒, 等线性互补问题与绝对值方程的转化 [J] 吉林大学学报 : 理学版, 014, 5(4): ( 责任编辑 : 张勇 )

6.3 正定二次型

6.3 正定二次型一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k