lt99ok441 拋物線 p1 llt99ok441 拋物線 主題一 拋物線的幾何定義 1. 拋物線的定義:設 L 是平面上的一定直線, F 是不在 L 上的一定點.平面上到 L 與 F 等距離的所有點 P 所形成的圖形,稱為拋物線,而 L 與 F 分別稱為此拋物線的準線與焦點 L P F. 拋物線的圖形要素: (1) 對稱軸:通過焦點 F 且與準線 L 垂直的直線稱為對稱軸,簡稱軸. () 頂點:對稱軸和拋物線的交點 V 稱為頂點. (3) 焦距:頂點 V 和焦點 F 的距離 VF 稱為焦距. (4) 弦:拋物線上任取兩相異點的連接線段稱為弦. (5) 正焦弦:過焦點的弦稱為焦弦,當焦弦與軸垂直時,稱為正焦弦.正焦弦的長恰為焦距的 4 倍 ( 如下圖 (c)). 弦 焦弦 V F 軸 F 正焦弦 軸 V F 軸 L L (a) (b) (c) 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p 例題 1 配合課本例 1 下圖為一拋物線的部分圖形,且 A, B, C, D, E 五個點中有一為其焦點.問: 哪一點是其焦點? A B C D E 軸 Ans:D 因為正焦弦的長為焦距的 4 倍,所以由下圖可知拋物線的焦點為 D. 準線 A B C D E 軸 類題 1 設 AB 是拋物線的焦弦, AM, BN 分別為點 A, B 到準線的垂線,如下圖所示.已知 AM 1, BN 3,求 MN 的長. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p3 M A N B 焦點 準線 Ans:1 設拋物線的焦點為 F,準線為 L,並作線段 BK AM,如下圖所示. M N 3 9 K A 1 3 F 3 B L 由拋物線的定義可知 : AF AM 1, BF BN 3,並且由圖可知 : AB 15, AK 9.因為 ABK 是一個直角三角形, 所以 BK AB AK 15 9 1, 因此 MN BK 1. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p4 主題二 拋物線的標準式 1. 頂點在原點之拋物線的標準式: 表中各拋物線之焦點與頂點的距離均為 c ( 焦距為 c ),正焦弦長為 4 c.當拋物線的對稱軸與坐標軸平行,但是頂點 ( hk, ) 不在原點時, 可利用平移的概念了解方程式與各要素間的關係 標準式焦點準線圖形 L L 4c F ( c,0) L: c F F c>0 c<0 4c F (0, c ) L: c F L F L c>0 c<0. 求拋物線標準式的三個條件: (1) 頂點 ( hk, ). () c ( 由焦距求 c,由開口的方向判斷 c 的正負 ). (3) 開口方向 ( 左右開口型或上下開口型 ). 由 (1)()(3) 即可求得拋物線的標準式. 左右開口 上下開口 k 4c h h 4c k c 0 開口向右 c 0 開口向左 c 0 開口向上 c 0 開口向下 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p5 例題 配合課本例 (1) 求焦點為 F(3,0),準線為 L:= 3 的拋物線方程式. () 求頂點為 V(0,0),焦點為 F(0, ) 的拋物線方程式. Ans:(1) =1,() = 8 (1) 如下圖所示,因為頂點是 AF 的中點,所以頂點為 (0,0),又由焦點 F(3,0),可得 c =3.因為開口向右之拋物線的標準式為 =4c,所以此拋物線的方程式為 =1. A( 3,0) F(3,0) L:= 3 () 如下圖所示,因為頂點為 (0,0),焦點為 F(0, ), L:= F(0, ) 所以 c=,準線為 L:=.因為拋物線的開口向下,所以由拋物線的標準式 =4c,可得此拋物線的方程式為 = 8. 類題 (1) 求頂點為 V(0,0),準線為 L:= 1 的拋物線方程式. () 求焦點為 F( 4,0),準線為 L:=4 的拋物線方程式. Ans:(1) =4,() = 16 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p6 (1) 如下圖所示,因為頂點為 (0,0),準線為 = 1, F(0,1) L:= 1 所以焦點為 F(0,1), c=1.因為拋物線的開口向上,所以由拋物線的標準式 =4c,可得此拋物線的方程式為 =4. () 如下圖所示,因為頂點是 AF 的中點,所以頂點為 (0,0), F( 4,0) A(4,0) L:=4 又由焦點 F( 4,0),可得 c = 4. 因為開口向左之拋物線的標準式為 =4c, 所以此拋物線的方程式為 =16. 例題 3 配合課本例 3 求拋物線 的頂點 焦點坐標與準線方程式. Ans: 頂點 (0,0),焦點( 1 4,0),準線 1 4 將方程式 = 改寫成 =4 1 4, 可知拋物線的頂點為 (0,0), c= 1 4 且開口向右. 焦點 F 的坐標 (c,0)=( 1 4,0), 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p7 準線 L:= c,即 = 1 4. L: = 1 4 1 F,0 4 類題 3 求拋物線 = 1 的頂點 焦點坐標與準線方程式. Ans: 頂點 (0,0),焦點(0, 3),準線 =3 將方程式 = 1 改寫成 =4 ( 3),可知拋物線的頂點為 (0,0), c= 3 且開口向下.焦點 F 的坐標 (0,c)=(0, 3),準線 L:= c,即 =3. L:=3 F(0, 3) 例題 4 配合課本例 4 (1) 求焦點為 F(4,1),準線為 L:= 的拋物線方程式. () 求頂點為 V(,1),準線為 L:=3 的拋物線方程式. Ans:(1) (-1) =1(-1),() (-) = 8(-1) (1) 如下圖所示,頂點 V 為 AF 的中點,可得其坐標為 (1,1),又由焦點 F(4,1) 頂點 V(1,1),可得 c=4-1=3. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p8 A(,1) F(4,1) V(1,1) L:= 因為拋物線開口向右,所以由拋物線的標準式 (-k) =4c(-h),可得其方程式為 (-1) =4 3 (-1),即 (-1) =1(-1). () 如下圖所示,先計算 V 到 L 的距離為.因為頂點 V 在準線 L 的下方,所以拋物線開口向下,且得 c=,焦點 F 為 (, 1). L:=3 V(,1) F(, 1) 因為拋物線開口向下, 所以由拋物線的標準式 (-h) =4c(-k), 可得其方程式為 (-) = 8(-1). 類題 4 (1) 求焦點為 F(,3),頂點為 V(,1) 的拋物線方程式. () 求焦點為 F( 3, ),準線為 L:=1 的拋物線方程式. Ans:(1) (+) =8(-1),() (+) = 8(+1) (1) 如下圖所示,由焦點 F(,3) 頂點(,1),可得 c=3-1=,且拋物線開口向上. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p9 V(,1) L:= 1 F(,3) 由開口向上之拋物線的標準式為 (-h) =4c(-k),可得其方程式為 (+) =4 (-1),即 (+) =8(-1). () 如下圖所示,頂點 V 為 AF 的中點,可得其坐標為 ( 1, ),又由焦點 F( 3, ) 頂點 V( 1, ),可得 c=( 3)-( 1)=,且拋物線開口向左. V( 1, ) F( 3, ) L:=1 A(1, ) 由開口向左之拋物線的標準式為 (-k) =4c(-h),可得其方程式為 (-( )) =4 ( ) (-( 1)),即 (+) = 8(+1). 例題 5 配合課本例 5 求拋物線 (+) =1(-1) 的焦點坐標與準線方程式. Ans: 焦點 (4, ),準線 = 將方程式 (+) =1(-1) 依標準式 (-k) =4c(-h) 改寫成 (-( )) =4 3 (-1),得拋物線的頂點為 (1, ), c=3,且其開口向右. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p10 焦點 F 的坐標 (h+c,k)=(4, ),準線 L:=h-c,即 =. L:= V(1, ) F(4, ) 類題 5 求拋物線 (-1) = 4(-) 的焦點坐標與準線方程式. Ans: 焦點 (1,1),準線 =3 將方程式 (-1) = 4(-) 依標準式 (-h) =4c(-k) 改寫成 (-1) =4 ( 1) (-),得拋物線的頂點為 (1,), c= 1,且其開口向下.焦點 F 的坐標 (h,k+c)=(1,1),準線 L:=k-c,即 =3. L:=3 V(1,) F(1,1) 例題 6 求拋物線 +4+4+8=0 的頂點坐標與準線方程式. Ans: 頂點 (, 1),準線 =0 將 +4+4+8=0 配方可得 (+) = 4-4, (+) = 4(+1), (+) =4 ( 1) (+1), 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p11 並得拋物線的頂點為 (, 1), c= 1,準線 L:=k-c,即 =0( 軸 ). L:=0 V(, 1) F(, ) 類題 6 求拋物線 ++8-3=0 的頂點坐標與準線方程式. Ans: 頂點 (3, 1),準點 =5 將 ++8-3=0 配方可得 (+1) = 8+4, (+1) = 8(-3), (+1) =4 ( ) (-3),並得拋物線的頂點為 (3, 1), c=,準線 L:=h-c,即 =5. L:=5 F(1, 1) V(3, 1) 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p1 例題 7 配合課本例 6 下圖是一座拋物線造型的拱橋.已知此拋物線以通過最高點的鉛直線為對稱軸,當水面離最高點 4 公尺時,水面寬為 1 公尺,求水面離最高點 公尺時的水面寬度. 4 公尺 1 公尺 Ans: 6 公尺 設拋物線的頂點為原點,開口向下, 其方程式為 (-0) =4c(-0). 由題意可知: 拋物線的圖形通過點 (6, 4), (a, ), 如下圖所示. (0,0) (a, ) (6, 4) 將 (6, 4) 代入 (-0) =4c(-0), 得 36= 16c,解得 c= 9 4, 拋物線的方程式為 = 9. 再將 (a, ) 代入 = 9,解得 a 3 故可得水面寬度為 6 公尺., 類題 7-1 已知探照燈內的反射鏡是一個拋物面,此曲面由拋物線繞軸旋轉而成,其縱切面是拋物線的一部分.已知探照燈的燈口直徑為 16 公分,燈的深度為 6 公分,如下圖所示,求此探照燈的焦距. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p13 V F 16 公分 6 公分 Ans: 8 3 公分 依題意假設反射鏡縱切面的拋物線方程式為 =4c,且拋物線上有一點 P(6,8),如下圖所示. P(6,8) V F 將 P 點坐標代入 =4c,解得 c= 8 3, 因此探照燈的焦距為 8 公分. 3 類題 7- 有一座拋物線形的拱橋,橋面與拱門之間用很多根與橋面垂直的柱子固定,如 下圖所示.已知通過拱門最高點的鉛直線 R 是拋物線的對稱軸,且 R 8 公尺, 此時水面寬 PQ 0 公尺,求與中心線 R 相距 5 公尺之柱子 AB 的長. A B P R Q Ans: 公尺 以 R 點為原點, RQ 為 軸正向, 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p14 R 為 軸正向建立直角坐標系. 因為 RQ RP 10, 所以可得, P, Q 三點的坐標分別為 (0,8), P( 10,0), Q(10,0). 由拋物線的標準式,可得拋物線的方程式為 4c(-8)=. 將 Q 點坐標代入得到 4c(0-8)=10,即 3c=100, 解得 5 c 8. 故拋物線方程式為 5 (-8)=. 由題意可設 B 點的坐標為 (5,k). 代入拋物線方程式得 5 (k-8)=5 5 (k-8)=5, 解得 k=6.故 AB =8-6=( 公尺 ). (0,8) B(5,k) R P( 10,0) Q(10,0) 例題 8 已知 的圖形是一個拋物線,關於此拋物線,選出正確的選項: ( ) 4 (1) 頂點為 (,0) () 焦點為 ( 4,0) (3) 準線方程式為 = 4 (4) 軸為 軸. Ans:(3)(4) 的意思是: ( ) 4 動點 P(,) 到定點 F(,0) 與到直線 L:= 4 的距離相等,因此其圖形為以 (,0) 為焦點,高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p15 = 4 為準線的拋物線,如下圖所示. L:= 4 ( 1,0) F(,0) 由上圖可知:頂點為 ( 1,0),軸為 軸. 由上面的討論可知:正確的選項為 (3)(4). 類題 8 已知 的圖形是一個拋物線,求此拋物線的 ( 1) ( ) 頂點 焦點坐標,準線與對稱軸的方程式. Ans: 頂點 ( 1,0),焦點 ( 1,),準線 =,對稱軸 = 1 的意思是: ( 1) ( ) 動點 P(,) 到定點 F( 1,) 與到直線 L:= 的距離相等,因此其圖形為以 ( 1,) 為焦點, = 為準線的拋物線,如下圖所示. = 1 F( 1,) ( 1,0) L:= 由上圖可知: 此拋物線的頂點為 ( 1,0),焦點為 ( 1,), 準線為 =,對稱軸為 = 1. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p16 主題三 過三點求拋物線方程式 過三點求拋物線方程式的假設法: (1) 軸平行 軸 ( 即上下開口型 ) 的拋物線,可設方程式為 A B C ( A 0 ). () 軸平行 軸 ( 即左右開口型 ) 的拋物線,可設方程式為 A B C ( A 0 ). 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p17 例題 9 配合課本例 7 求軸與 軸平行,且通過 (1,0), (,0), (3,) 三點的拋物線方程式及其焦點. Ans: 方程式 = -3+,焦點( 3,0) 因為拋物線的軸與 軸平行, 所以假設此拋物線的方程式為 =A +B+C. 將 (1,0), (,0), (3,) 三點坐標代入 0 A B C =A +B+C,得 0 4A B C, 9A 3B C 解得 A=1, B= 3, C=, 故此拋物線的方程式為 = -3+. 將 = -3+ 配方改寫成 4 1 4 (+ 1 4 )=(- 3 ), 可得拋物線的頂點為 ( 3, 1 ), 4 c= 1 4,其圖形開口向上, 故其焦點為 ( 3, 1 1 )=( 3,0). 4 4 類題 9 求軸與 軸平行,且通過 (3,1), (3,), (1,3) 三點的拋物線方程式及其焦點. Ans: 方程式 = +3+1,焦點 因為拋物線的軸與 軸平行, 所以假設此拋物線的方程式為 =A +B+C. 3 (3, ) 將 (3,1), (3,), (1,3) 三點坐標代入 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
3 A B C =A +B+C,得 3 4A B C, 1 9A 3B C 解得 A= 1, B=3, C=1, lt99ok441 拋物線 p18 故此拋物線的方程式為 = +3+1. 將 = +3+1 配方改寫成 4 ( 1 4 ) (- 13 4 )=(- 3 ), 可得拋物線的頂點為 其圖形開口向左, 13 3 (, ) 4, 1 c 4 13 1 3 3 故其焦點為 (, ) (3, ) 4 4., 例題 10 若拋物線 =a +b+c 通過點 (0,1),且其圖形如下圖所示,則下列各數哪些為負數? (1) a () b (3) c (4) b -4ac (5) a+b+c. (0,1) Ans:(1)() (1) 因為拋物線的開口向左,所以 a<0. () 將拋物線方程式以 配方, b 得 =a +b+c=a(+ a ) +c- b 4a, b b 可知拋物線的頂點坐標為 (c- 4a, a ). 由圖形得知,拋物線的頂點在 軸下方, 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
b 即 a <0.因此, b<0. lt99ok441 拋物線 p19 (0,1) (c,0) c b, 4a b a (3) 因為圖形通過點 (c,0),所以由圖形可知 c>0. (4) 將 =a +b+c 與 =0( 軸 ) 聯立,得 a b c,即 a +b+c=0. 0 由圖形得知,拋物線與 軸相交於兩點, 即 a +b+c=0 有兩個解.因此,判別式 b -4ac>0. (5) 將 (0,1) 代入方程式得 a+b+c=0.由上面的討論可知:正確的選項為 (1)(). 類題 10 若拋物線 =a +b+c 過點 (3,0),且其圖形如下圖所示,則下列各數哪些為負數? (1) a () b (3) c (4) b -4ac (5) 4a+b+c. (3,0) Ans:(1) (1) 因為拋物線的開口向下,所以 a<0. () 將拋物線方程式以 配方,得 =a b b +b+c=a(+ a ) +c- 4a, 可知拋物線的頂點坐標為 ( b b, c a 4a ). 由圖形得知,拋物線的頂點在 軸右方,高中數學虛擬教室 114.34.04.87
即 b >0.因此, b>0. a lt99ok441 拋物線 p0 (0,c) b b a 4a (,4a+b+c) (3,0) (3) 因為圖形通過點 (0,c),所以由圖形可知 c>0. (4) 將 =a +b+c 與 =0( 軸 ) 聯立,得 a b c,即 a +b+c=0. 0 由圖形得知,拋物線與 軸相交於兩點, 即 a +b+c=0 有兩個解.因此,判別式 b -4ac>0. (5) 將 = 代入 =a +b+c,得到 4a+b+c.由圖形可知點 (,4a+b+c) 在 軸上方,因此 4a+b+c>0.由上面的討論可知:正確的選項為 (1). 例題 11 求拋物線 =16 上與直線 4-3+4=0 距離最短之點的坐標. Ans: 9 (,6) 4 設拋物線 =16 上的點坐標為 (t,4t). 利用點到直線的距離公式, 得點 (t,4t) 到直線 4-3+4=0 的距離為 4t 1t 4 4 4 3 15 4 15 5 5 5 4 5 4 t 3t 6 ( t ) 3. 當 t= 3 4t 時, 1t 4 有最小值 3, 5 9 此時該點的坐標為 (,6). 4 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
類題 11 lt99ok441 拋物線 p1 求拋物線 = 上與直線 =-1 距離最短之點的坐標. Ans:( 1, 1 4 ) 設拋物線 = 上的點坐標為 (t,t ). 利用點到直線的距離公式, 得點 (t,t ) 到直線 =-1 的距離為 1 3 3 t t 1 t t 1 ( t ) 4 4 3. 8 當 t= 1 t t 1 時,有最小值 此時該點的坐標為 ( 1 1, 4 ). 3 8, 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p 主題四 軌跡方程式 設動點的坐標為,,由題意找出, 的關係式,即為動點所成圖形的方程式 ( 或稱為動點的軌跡方程式 ). 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p3 例題 1 求與圓 C:(+4) + =4 外切,且與直線 L:-=0 相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式. Ans: = 16 由圓的標準式,得圓 C 的圓心 M 為 ( 4,0),半徑為.假設與圓 C 外切,且與直線 L 相切之圓的圓心為 P,半徑為 r. P M C L L' 因為所求的圓與圓 C 外切,所以 PM r,又因為所求的圓與直線 L 相切,所以 d(p,l)=r.令直線 L :-4=0.因為 d(p,l )=r+,所以 PM d(p,l ),即點 P 在以 M 為焦點,直線 L 為準線的拋物線上,且拋物線的頂點為 (0,0),焦距為 4.故由拋物線的標準式,得其方程式為 =4 ( 4),即 = 16. 類題 1 求與圓 C:(+4) + =4 內切,且與直線 L:-=0 相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式. Ans: = 8(+) 由圓的標準式,得圓 C 的圓心 M 為 ( 4,0),半徑為.假設與圓 C 內切,且與直線 L 相切之圓的圓心為 P,半徑為 r. P M C L' L 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p4 因為所求的圓與圓 C 內切,所以 PM r.又因為所求的圓與直線 L 相切,所以 d(p,l)=r.令直線 L :=0( 即 軸 ). 因為 d(p,l )=r-,所以 PM d P, L 即點 P 在以 M 為焦點,直線 L 為準線的拋物線上.且拋物線的頂點為 (,0),焦距為.故由拋物線的標準式,得其方程式為 =4 ( ) (-( )),即 = 8(+)., 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p5 重要精選考題 基礎題 1. 下圖是以 F 為圓心,半徑分別為 1,,3 的一組同心圓,及一組相鄰兩線距離均為 1 的鉛直線,且其中一條鉛直線通過圓心 F.現有一開口向右的拋物線,其焦點為 F 且通過 P 點.問: 也通過下列哪些點? A P B F C D E (1)A ()B (3)C (4)D (5)E. Ans:(1)() 將鉛直線分別標示如下圖. A P B F L 3 C L L 1 D E 根據拋物線的定義,點 P 到焦點 F 的距離與點 P 到準線的距離相等.因為點 P 到焦點 F 的距離為 3,所以點 P 到準線的距離也為 3,因此準線為 L.觀察上圖,滿足拋物線定義的有 A, B 和 P 三點.故正確的選項為 (1)(). 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p6. 下列圖形中有一個是方程式 +=0 的圖形,選出正確的選項: (1) Ans:(4) () (3) (4) 將方程式改寫成 =,可知拋物線的開口向左. 故正確的選項為 (4). 3. 求滿足下列條件的拋物線方程式: (1) 焦點 F(, 1),頂點 V(,1). () 頂點 V( 1,3),準線 L:=3. Ans:(1) (-) = 8(-1),() (-3) = 16(+1) (1) 如下圖可知,拋物線開口向下, c= 1-1=.因此由拋物線的標準式,得其方程式為 (-) =4 ( ) (-1),即 (-) = 8(-1). V(,1) F(, 1) L () 如下圖可知,拋物線開口向左, c= 1-3= 4.因此由拋物線的標準式,得其方程式為 (-3) =4 ( 4) (+1), 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p7 即 (-3) = 16(+1). L F V ( 1,3) 4. 已知 的圖形是一個拋物線,求此拋物線的正焦弦長. ( 3) ( 1) 6 Ans:14 由方程式 可知: ( 3) ( 1) 6 此拋物線的焦點為 F( 3, 1),準線為 L:=6.因為正焦弦長為焦點到準線距離長的 倍 ( 即焦距長的 4 倍 ),又點 F( 3, 1) 到直線 L:=6 的距離為 7,所以正焦弦長為 7 =14. 5. 求軸與 軸平行,且過 ( 1,0), ( 9,0), (0,9) 三點之拋物線的 方程式及其焦點. Ans: 方程式 = 63 +10+9,焦點 ( 5, ) 4 因為拋物線的軸與 軸平行, 所以假設此拋物線的方程式為 =A +B+C. 將 ( 1,0), ( 9,0), (0,9) 三點坐標代入 0 A B C =A +B+C,得 0 81A 9B C, 9 C 解得 A=1, B=10, C=9, 故此拋物線的方程式為 = +10+9. 將 = +10+9 配方改寫成 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p8 (+5) =4 1 4 (+16), 可得拋物線的頂點為 ( 5, 16), c= 1 4, 1 63 其圖形開口向上,故其焦點為 ( 5, 16 ) ( 5, ). 4 4 6. 已知拋物線 的對稱軸為 =,且通過點 ( 1,4), (0,10),求 的方程式. Ans:(+) = 1 (-) 因為 的對稱軸為 =,所以可設其頂點為 (,k), 的方程式為 (+) =4c(-k). 1 4c 4 k 將 ( 1,4),(0,10) 代入方程式,得 4 4c 10 k, 1 4 k 將兩式相除得 4 10 k,解得 k=,並得 c= 1 8. 故 的方程式為 (+) = 1 (-). 7. 求兩拋物線 ++-1=0 與 ++-=0 的交點坐標. Ans:(1,0) 或 (, 1) 1 0 將兩方程式聯立為, 0 並將兩式相加得 3 3 3 0,即 1.將 =1- 代入 ++-1=0,整理得 +=0,解得 =0 或 = 1,並得兩拋物線的交點為 (1,0) 或 (, 1). 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p9 8. 求通過點 A(3,0),且與直線 L:= 3 相切之所有圓的圓心所成圖形的方程式. Ans: =1 假設過點 A,且與直線 L 相切之圓的圓心為 P,半徑為 r. P A L 因為所求的圓與直線 L 相切,所以 d(p,l)=r.又因為所求的圓通過點 A,所以 PA r.由 d(p,l)= PA r,得點 P 在以 A 為焦點,直線 L 為準線的拋物線上.且此拋物線的中心為 (0,0),焦距為 3.故由拋物線的標準式,得其方程式為 =4 3,即 =1. 進階題 9. 下圖中,每一個小方格的邊長均為 1,圖中的曲線是拋物線 的一部分, 且 A, B, C, D, E 為 上五點.問:哪些點與 的焦點之距離大於 5? A E D C B 軸 (1)A ()B (3)C (4)D (5)E. Ans:(5) 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p30 由正焦弦的長恰為焦距的 4 倍,可畫出焦點 F, 並利用對稱的概念畫出準線 L,如下圖所示: L A E D C B F 軸 因為拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離, 所以由上圖可知:僅 E 點到準線的距離大於 5. 故正確的選項為 (5). 10. 設 A (1,0) 與 Bb (,0) 為坐標平面上兩點,其中 b 1.若拋物線 一點 P 使得 ABP 為正三角形,則 b 的值為何? Ans: 5 如圖,在第一 四象限上各有一點 P, 可使 ABP 為正三角形且兩點互相對稱於 軸, 又因 ABP 是邊長為 b-1 的正三角形, b+ 1 3( b- 1) 所以 P 點的坐標為 (, ), 由於 P 點在 Γ : =4 上, 3 b+ 1 代入得 4 (b-1) =4( ), 展開化簡得 3b -14b-5=0, 因此 b=- 1 3 或 5,然而 b>1,所以 b=5. : 4上有 9 學測 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p31 9 11. 坐標平面上給定點 A, 4 直線 L: 5與拋物線 : 8,以 d( P, L ) 表示點 P 到直線 L 的距離.若點 P 在 上變動,則 d( P, L) AP 之最大值為何? 99 學測 Ans: 1 4 Γ : =8 為拋物線, 焦點 F(0, 4 ), 準線 := 如右圖, PF PB, BC =3 f = 8 F(0,) A P 在 PAF 中, PF AP AF = 9 4, -5 5 d(p,l)- AP = PC AP k: = -.00 - B = 3+ PB - AP -4 = 3+ PF - AP 3+ 9 4 j: = -5.00-6 C = 1 4 即 d(p,l)- AP 之最大值為 1 4 3 1. 假設 Γ 1 為坐標平面上一開口向上的拋物線,其對稱軸為 且焦距 ( 焦點到 4 頂點的距離 ) 為 標為何? 1 8.若 Γ 1 與另一拋物線 Γ : 恰交於一點,則 1 98 學測 Γ 的頂點之 坐 Ans: 9 8 Γ 1 :(+ 3 4 ) = 1 (-k) =(+ 3 4 ) +k 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p3 (+ 3 4 ) +k= +3+ 9 8 +k= +3+k+ 9 8 =0 恰有一實根, =3-4 1 (k+ 9 8 )=0 k+ 9 8 = 9 4 k= 9 8 13. 已知坐標平面上圓 與 1 : 7 1 144 : 13 9 相切,且此 兩圓均與直線 L: 5相切.若 為以 L 為準線的拋物線,且同時通過 1 與 的圓心,則 的焦點坐標為何? 97 學測 Ans: 1, 53 5 5 如上圖, 1 的圓心 P(7,1), 半徑 1, 的圓心 Q(,13), 半徑 5, PA=1, QB =5, 故交點 F 在連心線 PQ 上, 4 且 PF PQ = 4 5 5 ( 9,1), 故 F=(7-36 5 48,1+ 5 )=( 1 53, 5 5 ) 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p33 14. 如下圖,拋物線 的頂點為 V,焦點為 F,點 P 在 上,且 PV PF, VF 4,求 的正焦弦長及 PF 的長. P V F Ans: 正焦弦長 16, PF 長 6 因為 的正焦弦長為焦距的 4 倍,且焦距 VF 4,所以 的正焦弦長為 4 4 16. 令 M 為 VF 的中點, L 為 的準線, 如下圖所示,並得 VM. L Q P V M F 因為 PFV 為等腰三角形,得 PM 並得 PQM 是一個矩形, PQ M V VM 4 6. VF, 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p34 又由拋物線的定義得 PF PQ 6,故 PF 的長為 6. 15. 在坐標平面上,過 F 1,0 的直線交拋物線 4於 P, Q 兩點, 其中 P 在上半平面,且知 PF 3QF,則 P 點的坐標為何? 94 學測 Ans: 3, 6 令 P(t,t), Q(,), 利用分點公式, 1= 3+t 1 = 5 3 (5- t 0= 3 + 4 t 4 =- 5 3 t, ), Q( 5 3-3 t,- 4 3 t ) 代入 =4, 得 (- 4 3 t ) =4.( 5 3-3 t ), t = 15 10 = 3, P 3 點之 坐標為. 16. 在拋物線 8 上找一點 P,使得 P 到焦點 F 與定點 A(5,) 的距離和 PA PF 最小,求此時 P 點的坐標. Ans: 1 (,) 由拋物線的標準式得知, 拋物線的開口向右,頂點 V(0,0),焦距為. 因此,焦點的坐標為 F(,0),準線 L:=. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p35 Q L P Q' V F A(5,) 根據拋物線的定義,得知, PF d P L PQ, 因此,點 P 到焦點 F 與定點 A(5,) 的距離和 PA PF PA PQ. 觀察圖形得知:當直線 PA 垂直 L 時, PA PF 有最短距離 AQ. 因為 AQ 所在的直線方程式為 =, 所以 P 點為 = 與拋物線的交點, 將兩方程式聯立得, 8 即 8=4,解得 1, =. 1 故 P 點的坐標為 (,). 17. 設 P 1 ( 1, 1 ) 與 P (, ) 為拋物線 =4 上兩點. 若 PP 1 通過拋物線的焦點且 PP 1 =10,求 1 + 的值. Ans:8 由拋物線的標準式,可得拋物線的開口向上, 頂點 V(0,0),焦距為 1. 因此,焦點的坐標為 (0,1),準線 L:= 1. P 1 L P Q F Q 1 由拋物線的定義,得 PF 1 PQ 1 1, P F P Q, 又 PQ 1 1 = 1 -( 1)= 1 +1, PQ = -( 1)= +1. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87
lt99ok441 拋物線 p36 由題意可知 PP 1 10,即 PF 1 PF 10,故 ( 1 +1)+( +1)=10,解得 1 + =8. 高中數學虛擬教室 114.34.04.87