高等数学

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范田
5 years ago
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1 高等数学朱慧敏 1 1

2 数学文化与数学教育数学发展史数学发展的应用和趋势数学的社会需要数学家的创新精神数学科学的思想体系数学的美学价值 2

3 科学大师在解决问题的过程中有如下共同点 : 1) 善于将一个实际问题经过合理简化, 抽象成一个 ( 数学 ) 模型 ; 2) 在研究这个 ( 数学 ) 模型中, 能将获得的理论结果来阐明实际现象和实际意义 ; 3) 能通过实践来检验和匡正理论模型, 以便进一步改进和完善之 3

4 非数学专业的学生学习数学的目的实际问题合理简化数学模型实际检验理论研究实际解答阐明实际理论结果解决实际问题的途径 4

5 学习高等数学的重要性学习方法理解核心的概念和关键的内容, 并通过严格的训练, 真正学到手, 能得心应手地加以应用和发挥, 这才掌握其精髓数学是一门演绎的学问, 从一组公设, 经过逻辑的推理, 获得结论 ; 注重 : 概念理解, 思维方式及应用, 创新精神 5

6 数学研究的对象现实世界的数量关系和空间关系现代医学与数学的结合产生了许多边缘学科 * 数量遗传学 * 计量诊断学 * 生物数学 * 流行病学 * 免疫学药理药浓度药物代谢 * 医学统计卫生统计 * 生物信息学案例复旦大学控股的复华集团购并了上医大的红旗制药厂 6

7 数学发展纵横谈数学是什么? 1) 数学是作为关于数量几何图形的科学 ; 2) 数学是作为关于量的变化及几何的映像的科学 ; 3) 数学是作为关于现实世界一切普遍性抽象化的数量形式及其空间形式的科学 7

8 数学发展纵横谈数学发展史告诉我们 1 数学家是普通人; 2 先人数学创造的思想发现的能力; 3 数学发展的进程; 4 数学规律的发展 8

9 数学发展纵横谈数学发展的四部曲数学交响曲有四个乐章组成 : 精确数学随机数学模糊数学突变数学数学按质分类 : 必然现象或然现象模糊现象突变现象 1) 必然现象与精确数学激昂的第一乐章 1 没有微积分就没有万有引力定律 2 早期具有代表性的数学模型 3 数学思想的两次重大转折 : a 从算术到代数 b 从常量数学到变量数学 9

10 2) 或然现象 ( 随机现象 ) 与随机数学第二乐章 a 随机现象是指事物的变化发展具有几种不同的可能性, 究竟何种结果, 有随机性偶然性 b 随机数学主要包括概率论随机过程理论数理统计学 c 随机数学与经典数学自然科学社会科学相互作用产生出许多新的学科 : 平稳随机过程论马尔科夫过程论多元统计分析试验分析生物统计学医学统计等 10

11 3) 模糊现象与模糊数学第三乐章 a 模糊现象是指客观事物界限不分明的量和性质, 即不分明现象 b 模糊数学是用数量表示一个事物属于某个模糊概念的程度, 即隶属度, 以此说明该事物能否包含在那个模糊概念的论域中 c 现在模糊数学应用领域相当广泛, 产生了许多学科 : 模糊信息模糊控制模糊规划与决策模糊语言模糊逻辑等 ; d 模糊数学未来最重要的应用领域, 在计算机模拟识别和人工智能方面 : 模糊智能家电, 模糊控制的洗衣机以模糊规则为基础的照相机模糊感应的空调等 ; 模糊技术将红绿灯改造得更灵活 ; 航天航空中的火星探测器离不开模糊技术 ; 机器人足球赛中, 模糊数学更是大显身手 ; 等等 11

12 4) 突变现象与突变数学辉煌的第四乐章 a 突变现象 b 突变理论解释了所有不连续的突变的现象 c 突变以奇点理论为其数学基础, 运用拓扑学结构稳定性等数学工具, 以形象生动的模型来把握事物的量质互变过程总结 : 精确数学主要应用在自然科学领域 ; 随机数学开始向社会科学渗透 ; 模糊数学则将成为思维科学中的数学工具 ; 突变理论则向各个领域渗透 ( 经济胚胎学 ); 合奏出壮美的交响乐 12

13 第一篇一元函数微积分微积分产生背景和主要矛盾运动 : 静止与运动静态与动态有穷与无穷常量与变量离散与连续稳态与瞬态均匀与不均匀不变与变化直与曲等等矛盾微积分的主要课题 : 研究变量的变化性态, 刻划这种变化过程的特征 : 利用变量的变化趋势变化速度变化的累积效应等要素 13

14 第一章极限与连续 * 介绍极限的基本概念性质和运算 * 讨论微积分主要研究的对象 - 连续函数及其性质和基本运算 14

15 1 函数函数是变量变化关系最基本的数学描述一函数概念定义 : 设 D 是实数集 R 的一个子集, 如果按某规则 f, 对 D 中每个数, 均有唯一确定的实数 y 与之对应, 则称 f 是以 D 为定义域的一元函数, 称为自变量, y 为应变量函数关系记作 : f : D R y D 记为 y f ( ) D 函数 f 的值域 R f ( ) D 15

16 函数 y = f () 成立必然包含三个因素 : (1) 定义域 : 的取值范围 D f (2) 对应规律 : y 依赖于自变量的变化法则 (3) 值域 : 所有对应的 y 值组成的数集 R f 如果两个函数 f, f 1 2 满足 Df D 1 f2 且则有 f1 f2 f1( ) f2( ) Df 1 只有当两函数的定义域及对应规律完全相同时, 才能说两个函数是相同的或相等的 16

17 例 1 五个函数 f, g, h, u, v 分别定义为 : f ( ) D :(, ) R :(, ) f f g( ) 2 Dg :(, ) Rg :[0, ) h( ) ( ) 2 D :[0, ) R :[0, ) h h u( ) Ine Du :(, ) Ru :(, ) v( ) e In D :(0, ) R :(0, ) v v f ( ) u( ) 17 17

18 例 2 求函数 2 16 sin 的定义域例 3 设有半径为 R 的圆, 记该圆内接正 n 边形周长为 S(n). 18

19 二函数的图象定义设函数 f 的定义域为 D, 在平面直角坐标系, 记 G {(, y) y f ( ), D} G f f 称为函数 y f ( ) 的图形几个特殊的函数举例 1 符号函数 sgn, D :(, ) 1 ( 0, ) y sgn (, 0) f y 1 o -1 sgn 19

20 2 取整函数 f ( ) 其是不超过的最大整数, 即 k k, k 1 k 0, 1, 2, 是单调增加函数返回 y o 阶梯曲线 20

21 3 取最值函数 y ma{ f ( ), g( )} y min{ f ( ), g( )} y y f () f () o g() o g() 21

22 4 分段函数: 对于定义域内自变量的不同取值范围, 函数有不同的解析表达式 21, 0 例如 : f( ) 2 1, 0 y 2 1 y

23 三函数的性质 1 奇偶性设 D 关于原点对称, 对于 f ( ) f ( ) D, 有称 f () 为奇函数 y y f () f () - o f ( ) 奇函数 23

24 设 D 关于原点对称, 对于 D, f ( ) f ( ), 有称 f () 为偶函数 y y f () f ( ) f () - o 偶函数 24

25 f ( ) sin, tan, cot 例如 : 是奇函数, f ( ) cos 那么是偶函数, f g? f g? 25 25

26 例 4 判断函数的奇偶性: (1) f ( ) ln sec tan (2) f ( ) arc tan2 4 例 5 设函数 f () 满足 :D ( f ) 关于原点对称, 证明 : f () 可表示成一个奇函数与一个偶函数之和 26

27 2 周期性对于函数 f, 常数 T > 0, f ( T) f ( ) Df 则称 f 是以 T 为周期的周期函数满足上式的最小正数 T 称为 f 的最小周期通常说周期函数的周期是指其最小正周期 3l 2 l 2 l 2 3l 2 27

28 例 5 (1) y sin( ) 和 y cos( ) 2 是周期函数, 周期 T (2) y tan 和 y cot 是周期函数, 周期 T (3) y sin,cos 是以 2π 为最小正周期的函数 (4) y tan,cot 是以 π 为最小正周期的函数 28

29 1 (5) y cos 是周期函数吗? 例 6 设函数 f () 定义在 (-, + ) 上, 若有常数 c 0, 使得 f (+ c) = -f (), (-, + ), 证明 : 函数 f () 是一个周期函数 29

30 3 单调性对于函数 f, 如果任取 1, 2D D f, 当 1 2时, 恒有 f ( ) f ( ) ( or f ( ) f ( ) ) 则称 f 在 D 上是单调增加 ( 或单调减少 ) 的 y y f () y y f () f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) o I 例如 : 取整函数 o I 30

31 4. 有界性设有函数 f, D D f, 若 M 0, D, 局部有界恒有 f ( ) M 成立, 不唯一则称 f 在 D 上有界, 否则称为无界等价于 : 若两个常数 m M, m f ( ) M, D, 既有上界又有下界时, 称为有界, 否则称为无界例如 : f ( ) sin, cos 为有界函数 f ( ) 1 (, ) 注意 : 函数是否有界, 不仅与函数有关, 且与区间有关 31

32 例 7 判断下列函数在给定区间上是否有界 2 (1) f ( ) (2,4) 2 2 (2) f ( ) sin (0, ) 32

33 四复合函数定义 : 设有函数 f 和 g, 称定义在 D, ( ) g g Df f g 为 f 和 g 的复合函数, 记为 ( f g)( ) f ( g( )) 称 u 为自变量 g( ) 为中间变量, 其中上的函数 D( f g ) 注意 : 判断函数 f () 和 g () 能否构成复合函数的关键是 f () 的定义域 D f 与 g () 的值域 R g 的交集是个非空集合, 即 Df Rg 33

34 例 8. f ( ) arcsin, D f :[ 1, 1] g R g 2 ( ) 2 :[2, ) 求 : 复合函数 ( f g)( ) 和 ( g f )( ). 例 9. f ( u) log u D : (0, ) R : (, ) 3 f g( v) 4 v D g :[ 4, ) R :[0, ) h( ) 6 D h :(, ) R 求 : 复合函数 ( f g h)( ). f h g :[0, ) 34

35 例 10 试把 y cos 分解为几个简单函数的复合 ( 或由哪些简单函数的复合而成 ) 例 11 设 f( ), g ( ), 求 : g f, g g 35

36 五反函数 1 定义: 设有函数 f, 如果对每一个 y R f, 有唯一的 D f, 满足 :y = f (), 则称这个定义在 R f 上的对应关系 : y 为函数 f 的反函数, 记作由定义 : D 1 Rf R f 1 D 1 f f f 36

37 2 性质: 1) 如果 f 的反函数存在, 那么 1 1 ( f f )( ) f [ f ( )] Df 1 1 ( )( ) [ ( )] f f y f f y y y D 2) 严格单调增加 ( 或减少 ) 函数的反函数也是严格单调增加 ( 或减少 ) 函数 3) 奇函数的反函数也是奇函数 ; 偶函数没有反函数 f 1 37

38 4) 如果反函数存在, 则与原函数关于直线 y = 对称 y 反函数 y = g () Q( b, a) o P( a, b) 原函数 y = f () 如 : y e 与 y = ln 关于 y = 对称 38

39 例 12 求函数的反函数, 并指出反函数的定义域 2 (1) f ( ) 1 1, 1 0 ; 2 ( ) 0 (2) f( ) 3 sin 2 39

40 六初等函数 ( 一 ) 基本初等函数 1 常数函数 f ( ) C 为常数 Df :(, ) 40

41 2 幂函数 y 是常数 y y y 2 1 (1,1) y y 1 o 1 41

42 3 指数函数 f ( ) a ( a 0, a 1) D f :(, ) y a y a 0a 1 ( a 1) 42

43 4. 对数函数 f ( ) log ( a 0, a 1) D :(0, ) a f y log a ( a 1) y log 1 a 43

44 5 三角函数 (1) y sin y sin 44

45 (2) y cos y cos 45

46 (3) y tan y tan 46

47 (4) y cot y cot 47

48 (5) y sec y sec 48

49 (6) y csc y csc 49

50 (7) y arcsin y arcsin 50

51 (8) y arccos y arccos 51

52 (9) y arctan y arctan 52

53 (10) y arc cot y arc cot 53

54 ( 二 ) 初等函数由基本初等函数经过有限次代数运算和复合所构成的函数, 并可用同一个解析式表示的函数其定义域为使相应的解析式有意义的自变量的取值范围 54

55 七几个常用公式 1 三角不等式对于任意实数 a 和 b, 都有 a b a b a b. 2 平均值不等式对任意 n 个正数 a 1, a 2,, a n, 有 a1a2 a n n n a a 1 2 an. 55

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PowerPoint Presentation 第一章函数的极限与连续一函数及其性质二极限三函数的连续性分析基础函数极限连续研究对象研究方法研究桥梁第一节函数及其性质一函数的概念二函数的性质一函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间左半开区间 [