从定义可以看出它们具有很好的相似性, 就像两个双胞胎来自同一个地方 区别仅在于 : 是用单位圆定义的, 自变量是角度 θ ; 双曲函数是用单位双曲线定义的, 自变量是面积 a 公式定义 : ) 定义 : 正弦 :sin θ = eiθ e iθ i 余弦 :cos θ = eiθ +e iθ 正切
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1 论与双曲函数 信院 3 系解鑫 PB0355 摘要 : 与双曲函数无论从形式上, 还是各种公式上都有极大的相似性 应用时也都 相伴出现 细细对比会发现, 由欧拉公式必然会得出与双曲函数的诸多对应关系 关键字 : 双曲函数 相似性 欧拉公式 正文 :. 定义 : 几何定义 : ) 的定义 : 双曲函数的对比 可以依据直角坐标单位圆来定义, 给定一个角度 θ, 与单位圆交于 (,y) 点, 如右图所示 则有 : 正弦 :sin θ = y 余弦 :cos θ = 正切 :tanθ = sinθ / cosθ 余切 :cotθ = cosθ/ sinθ ) 双曲函数的定义 : 双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义, 给定一条从原点发出的射线 p, 与 p 关于 轴的镜像和双曲线之间的面积 a, 射线 p 与双曲线交于 (,y) 点, 如右图所示 则有 : 3) 总结 双曲正弦 :sinh a = y 双曲余弦 :cosh a = 双曲正切 :tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切 :coth a = cosh a/sinh a
2 从定义可以看出它们具有很好的相似性, 就像两个双胞胎来自同一个地方 区别仅在于 : 是用单位圆定义的, 自变量是角度 θ ; 双曲函数是用单位双曲线定义的, 自变量是面积 a 公式定义 : ) 定义 : 正弦 :sin θ = eiθ e iθ i 余弦 :cos θ = eiθ +e iθ 正切 :tanθ = sinθ / cosθ 余切 :cotθ = cosθ/ sinθ ) 双曲函数定义 : 双曲正弦 :sinh a = ea e a 双曲余弦 :cosh a = ea +e a 双曲正切 :tanh a = sinh a/cosh a 双曲余切 :coth a = cosh a/sinh a 3) 从公式定义也可以看出, 与双曲函数具有很好的相似性, 只是一些小细节稍微不同, 大体上是相同的.: 反函数 : 反 : 反 定义 定义域 arcsin = y sin y = [-,] arccos = y cos y = [-,] arctan = y tan y = R arccot = y cot y = R 反双曲函数: 反双曲函数 定义 定义域 arcsinh =ln(+ + ) sinh y = R
3 arccosh =ln(+ ) cosh y = [,+ ] arctanh = ln(+) tanh y = [-,] arccoth = ln(+) coth y = [-,-] [,+ ] 3 总结: 反与反双曲函数的定义都来自反函数的定义, 因而这是共性.3: 图像 双曲函数 sin sinh cos cosh tan tanh 3
4 cot coth arcsin arcsinh arccos arccosh arctan arctanh arcco t atccot h 4
5 可以看出 : 一般是周期的, 而双曲函数没有周期性 与双曲函数的奇偶性大体相同, 如正弦 余弦 正切 余切与双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切的奇偶性是一样的.4: 恒等式 sin + cos = 双曲函数 cosh sinh = 可以看出 : 只是一个正负号的区别.5: 加法公式双曲函数 sin(+y)=sin()cos(y)+cos()sin(y) sinh(+y)=sinh()cosh(y)+cosh()sinh(y) cos(+y)=cos()cos(y)-sin()sin(y) cosh(+y)=cosh()cosh(y)+sinh()sinh(y) tan(+y)= tan +tan(y) tan tan(y) tanh(+y)= tanh +tanh(y) +tanh tanh(y) 可以看出 : 加法公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.6: 减法公式双曲函数 sin(-y)=sin()cos(y)-cos()sin(y) sinh(-y)=sinh()cosh(y)-cosh()sinh(y) cos(-y)=cos()cos(y)+sin()sin(y) cosh(-y)=cosh()cosh(y)-sinh()sinh(y) tan(-y)= tan tan(y) +tan tan(y) tanh(-y)= tanh tanh(y) tanh tanh(y) 可以看出 : 减法公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.7: 二倍角公式 sin()=sin()cos() cos()= cos sin tan()= tan tan 双曲函数 sinh()=sinh()cosh() cosh()= cosh + sinh tanh()= tanh +tanh 可以看出 : 二倍角公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同.8: 三倍角公式 双曲函数 5
6 sin(3)=3sin()-4sin 3 () cos(3)= 4cos 3 3cos() sinh(3)=3sinh()+4sinh 3 () cosh(3)= 4cosh 3 3cosh().9: 导数 可以看出 : 三倍角公式具有很好的相似性, 仅个别正负号不同 (sin())' =cos() (cos())'= -sin() (tan())'= (cot())'= (arcsin())'= cos () (arccos())'= (arctan())'= sin () + (arccot())'= - + 双曲函数 (sinh())' =cosh() (cosh())'=sinh() (tanh())'= (coth())'= (arcsinh())'= (arccosh())'= cosh () sinh () + (arctanh())'= (arccoth())'= ( <) ( >) 可以看出 : 求导公式具有很好的相似性.0: 不定积分 cos() d =sin()+c sin() d =-cos()+c cos () sin () d =tan()+c d = cot()+c d =arcsin() +c 双曲函数 cosh d =sinh()+c sinh d =cosh()+c cosh () sinh () + \ + d=arctan()+c 可以看出 : 不定积分公式具有很好的相似性.: 泰勒展开 : 函数 sin() sin()= 3 m d =tanh()+c d =coth()+c d =arcsinh()+c d =arccosh()+c d =arctanh()+c 展开式 + + 3! ( )m + (m )! o(m ) 6
7 cos() cos()= 双曲函数 : 3 函数 sinh() sinh()= + 3 cosh() cosh()= + m + +! ( )m + (m )! o(m ) 展开式 3! + + m (m )! + o(m )! + + m (m )! + o(m ) 可以看出 : 与双曲函数的展开式同样很相似, 区别仅为展开式各项正负交替, 而双曲函数每项都是正的.: 在解微分方程中的应用 与双曲函数的应用 分离变量法求解 u = 0, 0 < < a, 0 < y < u y y=0 = 0, u y y= = 0, u =0 = 0, u =a = f y. 解 : 设 :u(,y)=x()y(y), 代入方程和齐次边界条件, 分离得 : Y y + λy y = 0, Y 0 = Y = 0. 和 X() 的常微分方程 : X'' λx = 0 解固有值问题得 : λ = ( nπ ), n = 0,,. 固有函数 : 相应的 : Y n y = cos nπ y X 0 = C 0 + D 0, X n = C n cosh nπ + D nsinh nπ, n =,, 3. u, y = C 0 + D [ C n cosh nπ + D nsinh nπ n= ]cos nπ y 由边界条件得 : 7
8 C n = 0, n = 0,,. D 0 = a f y dy 0 D n = sinh anπ f y cos nπ y dy 0, n =,, 3. 从而得形式解 : u, y = a 总结 : f y dy 0 + f y cos nπ y dy }sinh nπ n= sinh anπ 0 cos nπ y + { 本列不在与解法, 而在于, 从这个例子可以看出, 与双曲函数在应用场合总是相依相伴的出现 3.: 欧拉公式的推导 欧拉公式为 : 推导 : e i = cos + i sin () e 的泰勒展开为 : e = + +! + + n n! + o(n ) 则 e i 的展开式为 : e i = + i + (i)! 而 : + + (i)n n! cos()+i sin()= 所以 :! 3 欧拉公式的推导 + o (i) n m m o m m! +i i 3 m+ + + i 3! m+ + io m+ m +! = + i 3 m m m+ i + + i + m+! 3! m! = + i + (i)! = e i + (i)3 3! + + (i)m (m )! + (i)m (m)! + o((i)m ) m+! + o(m ) 8
9 e i = cos + i sin() 4.: 与双曲函数的关系 由欧拉公式可以得出 : sinh = e e = (ei i e i(i) ) 4 与双曲函数的关系 = { cos i + isin i cos i + isin i } = { cos i isin i cos i + isin i } = { isin i } = isin i cosh = e +e 反之, = (ei i + e i(i) ) = { cos i + isin i + cos i + isin i } = { cos i isin i + cos i + isin i } = {cos i } = cos i sin = isinh(i) cos = cosh(i) 至此, 我们得到了三角正弦 余弦函数与双曲正弦 余弦函数的明确关系, 其他与双曲函数的关系也可以由此得出 拓展 : 事实上, 由 得到的关系, 可以明确解释前面看到的关于与双曲函数一些公式的相似性 下面举例说明 : ) 例 : 9
10 三角恒等式 :sin + cos = 即 : ( isinh i ) + cosh(i) = sinh i + cosh(i) = 变量代换 y=i, 有 : cosh y sinh y = 即得出了双曲函数的恒等式 其它双曲函数的关系式, 都可由的关系式结合与双曲函数的关系得到 参考文献 : 微积分导论( 上 ) 中国科大出版社(0 年版 ) 陈祖墀等编 ; 复变函数 中国科大出版社(004 年版 ) 严镇军编 ; 3 数学物理方程 科学出版社( 第二版 ) 季孝达等编 ; 4 高等数学导论 中国科大出版社; 5 微积分学习辅导 科学出版社 陈效群等编 ; 6 维基百科 0
. h h [ x x ln x + x ] h ln h + h t ln h + h t e t h + h e t h h e t he t + h h e e t + he t h et + e t e t h,k h k k h et + + e t 4 et + e t 4 k et e
.. x + y. { x cost y sint x, y t x y. { x sect y tant t t t t t cost,sint t r A r t.3 t A.4 t x t x Ph,k x y Ph,k P x M OP M t t t h hk x x t O M http://calculus.yuyumagic44.net . h h [ x x ln x + x ]
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