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1 第 讲 集合的概念与运算 一 概念教学知识概念 : ( 一 ) 集合 集合中元素的特性 : 确定性 ; 互异性 ; 无序性 集合的表示方法 : 列举法, 描述法, 图示法 集合与集合的关系 : 子集, 真子集 含有 个元素的集合的所有子集个数为 :, 所有真子集个数为 : 集合的运算 : 交集, 并集, 补集 ( 二 ) 命题 逻辑联结词: 且 或 非 分别用符号 表示. 命题: 能够判断真假的陈述句. 简单命题: 不含逻辑联结词的命题 复合命题: 由简单命题和逻辑联结词构成的命题, 复合命题的基本形式 :p 或 q;p 且 q; 非 p 5 四种命题的构成: 原命题 : 若 p 则 q; 逆命题 : 若 q 则 p; 否命题 : 若 p 则 q ; 逆否命题 : 若 q 则 p. 6 原命题与逆否命题同真同假, 是等价命题, 即 若 p 则 q 若 q 则 p. 7 反证法: 欲证 若 p 则 q, 从 非 q 出发, 导出矛盾, 从而知 若 p 则非 q 为假, 即 若 p 则 q 为真. 8 充分条件与必要条件 : p q :p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 ; p q :p 是 q 的充要条件. 9 常用的全称量词: 对所有的 对任意一个 对一切 对每一个 任给 等 ; 并用符号 表示. 含有全称量词的命题叫做全称命题. 常用的存在量词: 存在一个 至少有一个 有些 有一个 有的 对某个 ; 并用符号 表示. 含有存在量词的命题叫做特称命题. 构建体验 : 已知 A { < }, B { < }, 则 A B 解 :{ < < } 设 A B 两个集合分别为 {(, y) y } 解 : A B {(,) } 已知 {,,} 解 :{,} A, A {, } A, B {(, y) y 5}, 则 A B C U, C u B {,, }, 求 B 5 已知集合 M { y y, R}, N { y y, R}, 则 M N ( ) A.(,),(,) B.{(,),(,) }.{ y y, y } C 或 D.{ y y } 解 :D

2 6 把命题 全等三角形一定相似 写成 若 p 则 q 的形式, 并写出它的逆命题 否命题与逆否命题 解 : 否命题 : 若两个三角形不全等, 则它们不相似 逆否命题 : 若两个三角形不相似, 则它们不全等 7 写出命题 如果, 则 或 的否命题 解 : 否命题 : 如果, 则 且 8 整数 b 满足 b < 5 是 整数 b 满足 b 的条件 解 : 充分非必要 二 例题教学 例 : 设集合 A { }, B { }, 若 A B A, 求 的取值范围 解 :A 与 B 的关系如图所示 : 即 B A A{,} B: 解的情况可能有 种 () 方程无解 Δ < 6 < < < () 方程有解 Δ 6, 或 (i) 代入, 可得 5, 此时 B{,}, 不合题意 ( A B A ); (ii) 代入, 可得, 此时 B{}, 符合题意 ( A B A ) 综上所述,{ < } 构建体验 : 已知 { }, B{ } A 且 A B A, 求实数 组成的集合 C 解 : A B A B A 又 A { } {,} B φ 或 {} { } 或 {,, } C

3 例 : 已知集合 { }, B { p p } A 若 B A, 求实数 p 的取值范围. φ 解 : 当 B 时, 即 p p p 由 B A得 : p 且 p 5 由 p p φ 当 B 时, 即 p > p p < 由 得 : p 构建体验 : 集合 A{ < < 5},B{ > }, 且 A B, 则实数 的范围是 解 :. 若 A B, 求 c 的值. 例 : 已知集合 A {, b, b}, B {, c, c } 分析 : 要解决 c 的求值问题, 关键是要有方程的数学思想, 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性 互异性, 无序性建立关系式. 解 : 分两种情况进行讨论. () 若 b c 且 b c, 消去 b 得 : c c 时, 集合 B 中的三元素均为零, 和元素的互异性相矛盾, 故 c c, 即 c, 但 c 时, B 中的三元素又相同, 此时无解. () 若 b c 且 b c, 消去 b 得 : c c, c c 即 ( c )( c ), 又 c, 故 c 构建体验 : b 集合 {,,}, 也可表示为 {, b,}, 则 7 b 8 解 : b, 原式 例 若{,,, } A {,,,,, }, 求集合 A 的个数. m m m 解析 : 集合 A 除了要有元素,,, m 这 m 个元素外, 还需有元素 m, m, 这 m个元素中的 个 m m 或 个或 个或 或 ( m) 个, 所以集合 A 的个数为 C C C C. 构建体验 : m m m m

4 满足条件{, } A {,, } 的所有集合 A 的个数是 个. * 集合 M { y y, N }, N { y y, R}, 则 ( ) A M N B M N C N M D M N 解 :A 例 5 已知关于 的方程 () () R 求 : ) 方程有两个正根的充要条件 ; ) 方程至少有一个正根的充要条件 解 :) 方程 () () 有两个实根的充要条件是 : Δ 即 : ( ) 6( ) 或 即 : 或 且 设此时方程两根为, 有两正根的充要条件是 : 或 或 > < 或 即为所求 > > > ) 从 ) 知 < 或 方程有两个正根 当 时, 方程化为 有一个正根 方程有一正 一负根的充要条件是 : Δ < 或 < < 综上 : 方程 () () 至少有一正根的充要条件是 或 圆心坐标为 代入直线方程 构建体验 :, ( λ) ( λ) 在直线 y λ ( λ) ( λ) 因此所求圆的方程为 y y 若集合 A { 8 }, B { m }, 试写出 B 是 A 的真子集的一个充分不必要条件.

5 解 : m 或或 例 6 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件 () 在 Δ ABC 中, p : A> B, q:sia> sib 充要条件 () 对于实数, y, p: y 8, q: 或 y 6 充分非必要条件 () 已知, y R, p:( ) ( y ), q:( )( y ) 充分非必要 构建体验 : -56 是 的条件必要非充分条件 > 且 > 是 > 且 > 的的条件充要条件 > 且 > 是 >6 且 >9 的的条件充分非必要条件 三 构建练习 ( 共 题, 习题是可模仿课内练习题 ) 用列举法表示 N, Z 为 解 :{,,,,6,8,,} 命题 若 A B φ, 则 A C B 否命题是 解 : 若 A B φ, 则 A C B U U 已知集合 A{ ( ) } 中有且只有一个元素, 则实数 () 解 : 所以 或 () Δ 已知集合 A (, y) 解 :{(, ),(, ), (,) } { y, < <, N}, 列举法表示为 5 已知 A{ },B{ }, 且 B A, 则实数 的值是 时 B φ ; 时 或 k k 6 设集合 M {, k Z}, N {, k Z}, 则 ( ) A MN B M N C M N D M N 解 : A {,} 解 :D 7 已知 p 是 r 的充分不必要条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件, 那么 p 是 q 成立的 ( ) 5

6 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 : 本题考查简易逻辑知识. 因为 p r s q 但 r 成立不能推出 p 成立, 所以 p q, 但 q 成立不能推出 p 成立, 所以选 A 8 选 A 若集合 A{ },B{ b }, 且 B A,B φ, 求, b 的值 解 : A {, } () 当 B { } b 时, 由 有, b Δ b () 当 B {} 时, 由 有, b Δ () 当 B A 时,. b 9 设 A { < < }, B { > }, 若 A B, 则 的取值范围是 解 : 已知 A {,, }, B {, }, 定义集合 A,B 之间的运算 * : A* B {, A, B}, 则集合 A* B 中最大的元素是 集合 A* B 的所有子集的个数为 解 : * A B {,,,5} 集合 A* B 中最大的元素是 5; 集合 A* B 的所有子集的个数为 6 已知 R 为全集, A { log ( ) }, 解 : [,) C A (, ) [, ) A R B R (,] C A B (, ) {} 5 B { }, 求 CR A B ( 浦东新区 8 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 7 题 )( 满分 分 ) 本题有 小题, 第 小题满分 5 分, 第 小题满分 7 分. 若集合 A { log ( ) >, > 且 } () 若, 求集合 A ; 9 () 若 A, 求 的取值范围. 解 :() 若, log ( ) >, 则 > 6 >, ( )( ) >, 得 < 或 > 所以 A { <, 或 > } () 因为 A, 所以 log [( ) ] > log >, 因为 log > 所以 < < 6 6 6

7 且 < < < 6 备用题 若 b, R, 试从 A. b B. b C. b D. b > E. b> F. b > 中, 选出适合下列 条件者, 用代号填空 : () 使 b, 都为 的充要条件是 ; () 使 b, 都不为 的充分不必要条件是 ; () 使 b, 中至少有一个为 的充要条件是 ; () 使 b, 中至少有一个不为 的充要条件是. 解 :()C;()D;()A;()E,F y < 是 < <, < y < 的 条件 解 : 充分非必要 求证: 关于 的方程 b c d 有一个根为 - 的充要条件是 : c b d 证明 : 充分性若 c b d, 则 ( c) ( b d), 当 时, 方程成立, 即 是方程的一个根 必要性 若 是方程的一个根, 则 b c d c b d 的解集是 { < }, 命题 q : 函数 y ( ) 设命题 p : 关于 的不等式 > 如果命题 p 和命题 q 有且仅有一个正确, 求实数 的取值范围 解 : 若命题 p 真, 则 < < ; 若命题 p 假, 则 或 ; > 若命题 q 真, 由 Δ < > ; 若命题 q 假, 则 7 lg 的定义域为 R, 又命题 p 和命题 q 有且仅有一个正确, 当命题 p 真命题 q 假时 < ; 当命题 p 假命题 q 真时 综上, (, ] [, ) 且 B C C 求实数 的取值 5 设 A { }, B { y y, A}, C { z z 5, A} 范围 解 : 由 A { } 必有, 故 于是 B { y y, A} { y y } 由知 ( )

8 又,5 5 8 C [ 5,8] 由 B C C C B 由数轴分析 : 且 且都适合 综上所得 : 的取值范围 6 设集合 A { R 6 }, B { R ( ) }, 且 A BA 求实数 的取值 解 : A { R 6 }, 由 A B A 知 B A 当 B A 时 B {, 6} ( ) 6 当 B A 时. 若 B Φ 则 B {} 或 B { 6} [ ] ( ) 8 5 由 Δ ( ) 即 5 8 解得 或 5 当 时, B { }, 满足 B A 当 时, 方程为 B { } 则 B A ( 故不合, 舍去 ) 5 若 B Φ 即 Δ< 由 Δ 5 8 < 解得 < < 5 此时 B Φ 也满足 B A 综上 : < 或 5 7 用反证法证明: 若 b c R, 且 b, y b c, z c, 则 y z 中 至少有一个不小于. 证明 : 假设 y z 均小于, 即 : b < ---- ; y b c < ---- ; z c < ----; 得 y z ( ) ( b ) ( c ) <, 这与 ( ) ( b ) ( c ) 矛盾, 则假设不成立, y z 中至少有一个不小于. 8

9 像与解 8 已知命题 p : 方程 m 有两个不等的负根 ; 命题 q : 方程 ( m ) 或 q 为真, p 且 q 为假, 求 m 的取值范围. Δ m 解 : 若方程 m 有两不等的负根, 则 m > 即命题 p : m > 若方程 ( m ) 无实根, 则 Δ < 解得 : < m < 即 q : < m < > 解得 m >, 因 p 或 q 为真, 所以 p q 至少有一为真, 又 p 且 q 为假, 所以命题 p q 至少有一为假, 因此, 命题 p q 应一真一假, 即命题 p 为真, 命题 q 为假或命题 p 为假, 命题 q 为真. m > m 或 m 或 m < m < 解得 : m 或 < m 无实根. 若 p 第二讲 一元二次不等式 分式不等式 一 概念教学 一元二次不等式经过变形, 可以化成如下两种形式之一 : () b c > ( )( > ) : Δ >, 解集在两根之外 ; Δ <, 解集为 R () b c < ( )( > ) : Δ >, 解集在两根之内 ; Δ <, 解集为 φ 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式的联系: 二次函数 的情况一元二次方程一元二次不等式 y b c Δ b c b c b c > b c < ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) y O Δ > b b Δ Δ, ) (, ) 图( (, ) y O Δ b (, ) (, ) φ 9

10 y O Δ < 方程无解 R φ 简单的分式不等式的解法: f ( ) f ( ) () > f ( ) g( ) > () < f ( ) g( ) < g( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) () () g( ) g( ) g( ) g( ) (5) 若分式不等式中未知数的系数为负数, 则将不等式两边同乘以 -, 将系数化为正数, 并注意不等号变向 (6) 若分式不等式右端不为, 则通过移项将右端化为, 但不能直接去分母 二 例题教学例 解下列一元二次不等式或不等式组: () < 解 : (, ) (, ) < > () ( ) 解 : Φ > 解 : (, ) ()( )( ) ( ) () < 解 : [, ) (,] 课堂练习 : 解下列不等式 : () > ;() ;() < ;() 解 :() R ;() φ ;() φ ;() R 例 已知不等式 b c < 的解集 { < > } 或, 求不等式 c b > 的解集 < b 解 : c 课堂练习 : c < < (, ) b c c 如果关于 的不等式 : < 的解集是 (, m), 那么 ; m 解 : m,

11 例 解关于 的不等式 ( ) > 解 : ( )( ) >, 当 >, 即 > 时, (, ) (, ) ; 当 <, 即 < 时, (, ) (, ) ; 当 时, 原不等式化为 >, 得 { } 课堂练习 : < 时, 不等式 < 的解集是 ( A ) A. < < B. < < C. < < D.φ m m5 m 的值恒正 例 m 为何范围时, 代数式 ( ) ( ) 解 :() 当 m m 5 即 m 或 m 5 时, 不合题意, 舍去 m m 5 > () m > 综上所述, m > Δ < 课堂练习 : m m m < 对 R 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 关于 的不等式 ( ) ( ) 解 :() m 时, 不合题意, 舍去 m < () m < Δ < 例 5 解不等式 < < > 解 : 原不等式转化为不等式组 5 5, 故解集为 (, ) (, ) < 课堂练习 : 不等式 > 的解集是 解: (,) 9 不等式 的解集是 解: (, ) [, ) 三 课后练习 : 解下列不等式: () > ;() < ;() ; () 解 :(){ } ;() φ ;() R ;(){ }

12 已知不等式 b > 的解集是,, 则实数 b, 的值分别是 b 5 解 :, 得, b 5 () 不等式 m 5 < 的解是 < < 5, 则实数 m 的取值范围是 () 已知 < < 5是不等式 m 5 < 的解, 则实数 m 的取值范围是 解 :() 由 m f ( ), 得 m () 令 f ( ) m 5, 则, 得 m f (5) 已知不等式 > 的解集为 { < < }, 则不等式 b c c b < 的解集 为 < < b c 解 : 6 c c 8 8 b c > 8 得 (, ) (, ) 5 不等式 的解集是 R, 则实数 的取值范围是 解 : Δ [, ] 6 解关于 的不等式 ( ) > 解 : 原不等式可以化为 : ( )( ) > 若 > ( ), 即 >, 则 > 或 < 若 ( ), 即, 则 ( ) >, 则, R 若 < ( ), 即 <, 则 < 或 > 7 关于 的不等式 ( ) < 对于 R 恒成立, 求 的取值范围 < 解 : Δ < < < > 8 求下列不等式的解: () < ;() > 9 求下列不等式的解: 解:(),) ( ;() (, ) (, )

13 () > ;() ; () 解 :(),) 5 ( () 原不等式化为 () (, ] (,], 故解集为 [, ) 若 U R, A { }, B { < }, 求 ( CU A) ( CU B) 解 : (,) [, ) 解分式不等式: < 解 : 原不等式等价于 ( )( ) <, 当 当 当 > <, 即 > 或 < 时, 不等式的解集为 (, ) ;, 即 < < 时, 不等式的解集为 (, ) ;, 即 或 时, 不等式的解集为 备用题 : 6 ( 5)( ) 不等式 < 的解集是 解: 等价于 >, 解集为 : (,) (5, ) 关于 的不等式 b c < 的解集为 { < 或 > }, 求关于 的不等式 b c > 的解 集 b 5 c 解 : 由题意, <, 且,, b c 5 又 b c > 可以变形为 <, 即 <, 故 < < 解分式不等式 > ( ) 解 : 原不等式等价于 ( )[ ( )] >, 当 >, 即 > 时, 不等式的解集是 (,) (, ) ; 当 <, 即 < 时, 不等式的解集是 (, ) (, ) ; 当, 即 时, 不等式化为 ( ) >, 解集是 (,) (, ) 5 (8 山东, 文 7) 不等式 ( ) 的解集是 ( )

14 A. [, ] B. [,] C. [,) (, ] D. [,) (, ] 解 : 选 D 8 5 若关于 的不等式 < 的解集是 R, 求实数 m 的取值范围 m ( m ) 9m 解 : 因为 8 > 恒成立, 所以 m ( m ) 9m < 的解集是 R () m 时, 不合题意, 舍去 m < () m < Δ < 综上所述, m < 6 若函数 f ( ) k 6k ( k 8) 的定义域为 R, 则实数 k 的取值范围是 解 : 由题意 k 6k ( k 8) 恒成立, 则 () k 时, 8, 成立 k > () < k Δ 综上所述, k 第三讲 绝对值不等式 高次不等式 一 概念教学 理解绝对值的几何意义: 绝对值不等式的解法: () < ( > ) < < ; () > ( > ) < 或 > ; () f ( ) < ( > ) < f ( ) < ; () f ) > ( > ) f ( ) < f ( ) > ( > ) ( ), 其几何意义是数轴上的点 A () 离开原点 O 的距离 OA ( < ) ( 或 ; (5) f ( ) < g( ) g( ) < f ( ) < g( ) ; (6) f ( ) g( ) f ( ) < g( ) f ( ) > g( ) > 或 ; (7) b ( b > > ) b或 b ;

15 (8) f ) f ( ) < g( ) < ( > ) g( ) g( ) f ( ) < [ g( ) ] g( ) ( 对于形如 b > m 等含有多个绝对值符号的不等式, 常用 零点分段 或绝对值的几何意义求解 简单的高次不等式的解法 : 数轴标根法 二 例题教学例 解下列不等式: > ; () < () () ; < ; () 7 ; () (, ) ; 解 :() (,) (, ) () (, ) ; ()[ 5,] [,9] 课堂练习 : < () 不等式 的整数解集是 解 :{,, } () 不等式 的解集是 解 : 两边平方, (, 6] [, ) 例 解下列不等式 : () 6 ;() 解 :() 6 ;(), 得 ± 7, ± ( 7 ) () 原不等式化为 6, 即, 得 (, ] [, ) () 时, 显然成立 ; > > < 或 8 < < 或 8 < 8 < 或 < < 或 > 8 8 (, ] (,) [, ; 综上所述, ) 8 ; 5

16 课堂练习 : 不等式 ( ) 的解集为 或 解 :{ } 不等式 ( ) < 的解集为 且 解 :{ < } 例 解不等式 > ( ) ( ) > 解 : < ; < < φ ( ) > > 6 ( ) > 综上所述 : (,) (6, ) ; ; 课堂练习 : 解不等式 < ( ) ( ) ( ) 解 : ; > > ( ) 综上所述 : (, ] [, ) ; 例 已知不等式 b < ( ) 的解集为 { < < 5}, 求实数 b 解法一 : 原不等式等价于 < b <, 的值 6

17 当 > 时, 当 < 时, b b < < b b < <, 则, 则 b b 5 b b 5, 得, b, 得, b 解法二 :,5 是方程 ( b) 课堂练习 : 的两个根 代入解得, b 或, b 设函数 f( ), 不等式 f( ) < 6的解集为 (, ), 试求不等式 f( ) 的解集 解 :-, 是方程 6 的两个根 代入解得 f( ) 的解集是 (, ] (, ) 5 不等式 ( )( ) ( )( ) 例 5 () 不等式 < 的解集是 ( )( ) ( )( 5 6) () 不等式 < 的解集是 解 :(), ) (,) ( () 因为 > 对任意 R 恒成立, ( )( )( ) 因此原不等式转化为 <, (, ) ( 故解集为,) 课堂练习 : 不等式组 6 > < 5 解 : (,) 的解集是 例 6 解下列不等式 : () ( ) ( ) ( 5) > ;() ( ) ( ) (5 ) 7

18 解 :() 原不等式等价于 ( )( 5) > 故解集为 (, ) (,) (5, ), () 原不等式等价于 ( )( 5) 故解集为 [,5] { } 或 课堂练习 : () 不等式 ( ) ( ) ( ) 的解集是 解 :{ 或 或 } ( ) () 不等式 > 的解集是 5 ( )( ) 解 : 原不等式等价于 ( )( )( ) > 且 故解集是 (,) (,) (, ), 三 课后练习 : 不等式 > 解集是 解 : (,) 5 (, ) (, 不等式 > 的解集是 解 : ) 不等式 > 的解集是 解 :, > 或 < 得 (,) (, ) 不等式 --6 >- 的解集是 ( ) A.(, ) B.(-,-) (, ) C. (-,-) (-, ) D.(-,-) (-,) (, ) 解 : 选 D 8

19 5 不等式 > 的解集是 解 :() < φ ( ) > ( ) < > ( ) () (,) ; > () [, ) 综上所述, (, ) [ 注 ] 本题也可用绝对值的几何意义求解 ; 6 不等式组 解 : (,) < > log ( ) 的解集为 7 不等式 log > 的解集是 ( 解 :,) (, ) 6 8 不等式 < 的解集是 ( 5)( ) 解 : 原不等式等价于 >, 原不等式的解集为 : (,) (5, ) 5 ( )( ) 9 不等式 的解集是 (, ) [, 解 : ) [, ) 5 ( ) ( ) ( ) 不等式 的解集为 解 : 原不等式等价于 ( ) ( )( ) 或, 故解集为 (, ] [,) (, ) { } 9

20 已知 f ( ) 和 g ( ) 的图象关于原点对称, 且 () 求 g () 的解析式 ; f ( ), () 解不等式 g ( ) f ( ) 解 :() 设 (, y) ' P 是 f ( ) 图像上任意一点, 则 P (, y) 是 g ( ) 图像上的点, 故 y ( ) ( ) y ( ) ( ), 即 g( ) () 化简得, 得 [, ), 即 () 不等式 > 5的解集是 () 不等式 7 的解集是 () 不等式 < 5 的解集是 解 :() > 5表示数轴上的点到 - 和到 的距离之和大于 5 而- 到 的距离恰为 5, 故不等式的解集为 (, ) (, ) () (, ] [, ) 表示数轴上的点到 和到 - 的距离之差小于 5 故 (, ) () < 5 备用 ( 黄色 ) 5 > ( )( ) 解不等式 解 : (, ) (5, ) ( )( b) 已知关于 的不等式 c 解 : (, ] (,) c 或, 则不等式 ( )( b) 的解集是 { < } 的解集是 () 关于 的不等式 > 的解集为 R, 则 的取值范围是 () 关于 的不等式 < 的解集为 φ, 则 的取值范围是

21 解 :() [,], 故 < ( ) mi (), 即 < 表示数轴上的点到 - 和到 的距离之和, 其范围是 [, ) 原不等式等价于 解集为 R, 所以 ( ) mi, 即 (, 5 不等式 < 的解集是 解 : 零点分段讨论, ) (, ) 5 不等式 log < log 的解集是 解 : 两边平方, log log > log <, 则 >, 得 (, ) <<, 则实数 m 的取值范围是 : < < β α, 所以 { < < } { m < < m }, m, 得 m [, ] m 6 已知不等式 m < 成立的充分非必要条件是 解 : 令 α : m < < m, β 因为 则 7 已知关于 的不等式 < 在实数集 R 上的解集不是空集, 求正数 的取值范围 解 : 令 y, y 因为 y, 故 > y < 有解,, 则 y 第四讲不等式的性质 基本不等式 一 概念教学 两个实数比大小的基本方法是通过他们的等价关系来判断: > b b > ; < b b < ; b b 不等式的基本性质 : () > b, b > c > c ;

22 () > b c > b c ; () > b, c > c > bc ; > b, c < c < bc ; () > b, c > d c > b d ; (5) > b >, c > d > c > bd ; (6) > b > > > ; < b < < < ; b b (7) > b > > b > ( N ) ; > b > b ( N, 为奇数 ) ; (8) > b > > b > ( N, > ) 基本不等式 : () 若, b R, 则 b b, 当且仅当 b 时等号成立 () 若, b R, 则 b b, 当且仅当 b 时等号成立 ( b) () 若, b R, 则 b b, 当且仅当 b 时等号成立 () 若, b, c R, 则 b c bc, 当且仅当 b c 时等号成立 二 例题教学例 比较下列各组代数式的大小: () 与 ;() b 与 b ( b) ;() 若 >, 则与 解 :() > ;() ;() 课堂练习 : () 比较大小 : b b ( b) 解 : () b bc c 与 b c ; 解 : m b, b b b, 判断 m, 大小 例 设 ( ) ( )( ) 解 : m ( b), >b 时,m>;b 时,m;<b 时,m<

23 课堂练习 : 当, b > > 时, 比较 ( b) 与 b( b) 解 : ( b) b( b ) b 当 b > > 时, ( b) b( b) > ; 当 b> 时 ; ( b) b( b ) ; < < 时, ( b) b( b) 当 b < 的大小 例 已知关于 的不等式 > ( k R, k ) k k () 解该不等式 ;() 若该不等式的解为 >, 求实数 k 的值 ;() 若 是不等式的解, 求实数 k 的取值范围 解 :() 原不等式变形得 ( k ) > ( k )( k ), ( k )( k ) 当 k > 时, > ; k ( k )( k ) 当 k < 且 k 时, < ; k 当 k 时, R ( k )( k ) () 若该不等式的解为 >, 则 k > 且 k 因此 k 5, 解得 k ( 舍 ) 或 k 5 () 将 代入 ( k ) > ( k )( k ), 则 ( k ) > ( k )( k ), 得 < k < 5 课堂练习 : 解关于 的不等式 < b ( b ) 解 : b< 时, < ; b> 时 > b, b 例 如果, 则 解 :[, ) 的取值范围是 课堂练习 : 的最小值是 解 :

24 例 5 若正数 b, 满足 b, 求证 : 的最小值为 b 证 : b b b, b b b 当且仅当 b 时, 等号成立 课堂练习 : 已知正数 y 满足 y, 则 的最小值是 y y y y 解 : y y y 例 6 已知 >, 求 的最小值 解 : >, >, 原式 ( ) 5 5, 故最小值为 5 课堂练习 : 5 已知 <, 则函数 y 的最大值是 5 5 解 : 因为 <, 所以 5 <, 故 y [(5 ) ], 5 5 当且仅当 5, 即 时, y m 5 三 课后练习 : 已知 < <, A, C, 则 A C 的大小关系是 ( ) 解 : A C <, 故 A < C 下列命题中为真命题的是 b () bc,,, R且 > b, 则 c > bc ; () b, R且 b, 则 ; b * b () b, R且 > b, 则 > b ( N ) ; () > b, c > d 则 > c d 解 :() 若 b, 则 > b, > 同时成立的充要条件是 b b 解 : >, >, b b b 又 > b, b <, b <, > > b 反之也成立, 因此充要条件是 > > b

25 < y < 5 < < 不等式组 成立是不等式组 成立的 < y < 6 < y < 解 : 成立, 不等式的性质 条件 不成立, 如, y 必要不充分条件 5 下列不等式 c bc d ( ) () > () > b d > c, 若用其中两个作为条件, 另一个作为结论 写出所有的真命题是 解 :(, )( ) ()()( ;,) ( ;, )( )( ) ( ) 6 () 如果 b, 则 () 如果 b 的取值范围是 b, 则 b 的取值范围是 解 :() b b, 故 b [, ) 当且仅当 b 或 b 时, 等号成立 () b b, 则 b, 故 b, 7 如果 > 解 :[, ), 则 的取值范围是 8 观察 >, > 6 5, 由此可以得出结论 解 : 若 N, 则 > 9 已知, b, c R, 且 b c, 则 b bc c 的最大值是 解 : ( b c ) b bc c, 故 b bc c 的最大值是, 已知, y >, 且 y 5, 则 lg lg y 的最大值是 5 5 解 : 由 5 y y, 得 y, 则 lg lg y lg y lg 已知正数 y 满足, 则 y 的最小值是 y y 解 : y ( y) ( y)( ), y y 5

26 当且仅当 y 时, y 取得最小值 已知 f ( ) b, 且 f ( ), f (), 求 f () 的取值范围 解 : f ( ) b [, ], f ( ) b [,] 令 f ( ) mf ( ) f () b ( m ) ( m ) b, 得 m,, 则 f ( ) f ( ) f () [5,] 备用 : 设 < α < β <, 则 α β 的取值范围是 解: (,) 若 < < b<, 则将 b b 从小到大排列是 解: 若 >, b >, b, 则 b 解 : b ( b b ) ( b) ( b) >, 故 b > ( b b ) 与 b b 的大小关系是 < < b < b 若 >, b >, b, 则 b b 与 b 的大小关系是 b b 解 : ( b) ( b) b b ( b)( b b ) ( b) ( b) ( b) > b b b 故 > ( b) b 5 若 R, 则 的最大值是 解 : 当 时, 6 如果 bcd>,,, b d c, 则 的取值范围是 c b d 解 : b d c c b d ( c ) ( b d c d b ) 当且仅当 b c d 时, 等号成立 [, ) 6

27 7 若, 则 的范围是 解 : (, ] [, ) 8 求证 : 证 :, 故 当且仅当, 即, 即 ± 时等号成立 第 5 讲 函数的关系式 定义域 求函数的值 一 概念教学 求函数解析式的常用办法 :⑴ 换元法 ;⑵ 待定系数法 ;⑶ 消元法 ( 特别是由函数方程给出对应关系的问题 ); ⑷ 配凑法 在实际应用问题中, 求函数解析式的一般步骤是 :⑴ 设计自变量 ;⑵ 将涉及到的其它变量用设计的自变量的解析式表示 ;⑶ 建立目标函数, 确定函数的定义域 函数的定义域是指自变量的允许值范围, 应从分析自变量的约束条件中去确定 ( 如是否含有分母 偶次根式 零次幂 对数符号 反三角符号等 ) 当解析式比较复杂时, 应由所有约束条件组成的不等式组来求解, 对于应用问题, 还要考虑实际意义 由已知函数 f ( ) 的定义域, 求复合函数 y f g( ) 的定义域, 实际上是已知中间变量 u g( ) 的值域 求自变量 的取值范围 5 求函数值域的常用的几种方法 :⑴ 二次函数配方法 ;⑵ 分式函数的反函数法 判别法 ;⑶ 无理函数换元法 ; ⑷ 其它有利用单调性 不等式法 有界性 数形结合等方法 6 对含有字母参数的函数, 求函数的定义域 值域时, 要注意对字母参数分类讨论 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 ⑴ 已知 ( ) f, 求 f ( ) 的解析式 ;⑵ 已知 ( ) 解 :⑴( 换元法 ) 设 t, 则 t 且 f ( ) 为所求 即 ( ) 7 f f l t, 故 f ( t) ( t ) ( t), 求 f ( ) 的解析式 t,

28 ⑵( 消元法 ) ( ) f f l 得到 ( ) 5f ll 5l l ; f f ( ) 另解 :⑴( 整体思想 ) f ( ) ( ), 则 f ( ) l ( ) >,, 则 f ( ) ( ) 为所求 构建体验 :⑴ 若 f, 求 f ( ) 的解析式 ;⑵ 若 f, 求 f ( ) 的解析式 ; f f, 且 ⑶ 若 ( ) f ( 答案 :⑴ ( ) ⑶ f ( ) ( > ) >, 求 f ( ) );⑵ ( ) 的解析式 f ( ); 例 求下列函数的定义域:⑴ y ;⑵ y log.5 5. 解 :⑴ 为使函数有意义, 有 >, 解得 < 且 ⑵ 为使函数有意义, 有 log.5, 即 < 5 5 构建体验 :⑴ 求函数 y 的定义域 ;, 则所求函数定义域为 (, ) (,) ;, 解得 >, 则所求函数定义域为 (, ). ⑵ 求函数 y 答案 :⑴[,) ;⑵(, ) log ( ) 的定义域 例 ⑴ 若函数 f ( ) 的定义域是 (, ], 求函数 f ( ) f ( ) ⑵ 若函数 ( ) ⑶ 已知 f ( ) f 的定义域是 [,], 求函数 ( ) k < 解 :⑴ 易知, 解得 < 的定义域 ; f log 的定义域 ; k 5 的定义域为 R, 求实数 k 的取值范围 k < <, 函数定义域为 (, ) ; ⑵ 依题意,, 有, 则 log, 解得 9, 函数定义域为,9 8

29 ⑶ k k 解集为 R,⑴ 当 k 时, 恒成立 ;⑵ 当 k 时, Δ<, 解得 < k < 综上所述, k < 为所求 构建体验 :⑴ 若函数 f ( ) 的定义域是 [,], 求函数 ( ) y f f ( > ) 的定义域 ;⑵ 若函数 f ( ) 的定义域是 (,), 求函数 f 的定义域 ;⑶ 若函数 y 的的定义域为 R, 求 实数 的取值范围 答案 :⑴, ;⑵,, 例 若函数 ( ) ;⑶ (, ) (, ) > f e < 解 :⑴ f ( ), 又 f ( ) ⑵ >, 推得 构建体验 :⑴ 若函数 ( ) ⑵ 函数 f ( ) { },⑴ 求 f f f ( ) e, 则 f f f ( ) { } 的值 ;⑵ 求函数值域 f e e ( ) >, 则该函数的值域为 (, ) f < < ( ) si < < e 答案 :⑴ ;⑵ 或 ;(, ), 且 f ( ), 求 的值 ;, 若 f ( ) f ( ) 例 5 ⑴ 若二次函数 f ( ) 满足 f ( ) f ( ), 且 ( ) ⑵ 已知 f ( ), g( ) <, 求 的值 ; 求该函数的值域 f, 求函数解析式 ;, 求 f g( ) 与 g f ( ) 的解析式 解 : ⑴ 设 f ( ) b c ( ), ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ), 得到 b, 有, 解得 b b ( ) f ⑵ 易知 f ( ) ( R ), 则 f g( ) g( ), f b c, 依题意, f 得到 c, 则, 又 ( ) 9

30 < 则 f g( ) ( ).5 g f ( ) <.5 ; 同理, 有 g f ( ) ( ) ( ) f ( ) f f <, 故 构建体验 :⑴ 已知 f ( ) 是二次函数, 满足 ( ) ( ), 求 ( ) f f f 的值 ;⑵ 设 f ( ) ( ), g( ) >, 求 f g( ) 解析式 答案 :⑴ ;⑵ f g( ) 三 构建练习 > 若函数 f ( ) 的定义域是 [,], 则函数 ( ) f 的定义域是 解析 : 函数图像上下平移不改变定义域范围, 则所求定义域为 [,] 的定义域为 解析 : 要使函数有意义, 易知 且, 解得 且 函数 f ( ) (, ) (,) (, ), 则定义域为 已知 f ( ) 解析 : f ( ) si lg ( ) < ( ) ( ), 则 f f ( 9) si, 则值等于 lg < 对于 f ( ), 当 时恒有 f ( ) f, 则 ( ) f 解析式为, 消去 解析 : f ( ) f 且 f f ( ) 5 函数 f ( ) ( ) lg 的定义域是 f, 得到 ( ) f > 解析 : 要使函数有意义, 有 >, 解得 < <, 函数定义域为 (, ), 则 6 已知 g( ), f g( ) ( ) f

31 g 解析 : 令 ( ), 解得, 则 f 5 7 已知 f ( ), g( ), 则 f ( ) g( ) 解析 : f ( ) 定义域为 [, ), g( ) 定义域为 [, ], 则 f ( ) g( ) 定义域为 [ ] ( ) 则 f ( ) g( ) 8 已知函数 f ( ) 的定义域是 [, ] f 的定义域为 ( ) A.[, ] B., C., D.[, ] 解析 : 依题意,, 解得, 函数定义域为,, 则函数 ( ) 9 若 f ( ) 满足 f ( b) f ( ) f ( b), 且 f ( ), f ( ), 则 ( ) A. B. C. D. 解析 : f ( ) f ( 6) f ( ) f ( 6) f ( ) f ( ) f ( ), 选 C. 已知 b 为常数, 若 f ( ), 且 ( ),, f 是 ( ) f b, 求 5 b 解析 : 易知 f ( b) ( b) ( b) ( ) b b b, 则 ( ) b b b, 则 5 b b 恒成立, 比较系数, b, 解得 或 b 7 b b 某人开汽车以 6 km h 的速度从甲地开往 5 千米远处的乙地, 在乙地停留 小时后, 再以 5 km h 的速度返回甲地, 将汽车离开甲地的路程 ( 千米 ) 表示为时间 ( 从甲地出发开始 )t 小时的函数, 并画出函数的图像. 解 : 利用路程 速度 时间, 依题意, 6t t.5 有 5.5 < t.5 ; 5 5( t.5).5 < t 6.5 函数图像如右所示 : 设定义在整数集上的函数 f ( ) 满足 ( ) f 6 9 f f ( 8) < 9, 求 f ( 8) 的值 解析 : f ( 8) f f ( 6) f ( ) 6

32 第 6 讲 函数的奇偶性 一 概念教学 函数的奇偶性定义 : ⑴ 对于定义域内的任意, 若 f ( ) f ( ) ( 变形式 f ( ) f ( ) ), 则 f ( ) 偶函数 ; ⑵ 对于定义域内的任意, 若 f ( ) f ( ) ( 变形式 f ( ) f ( ) ), 则 f ( ) 奇函数 注意几个要点: 为 为 ⑴ 因为 具有任意性, 故 必在定义域内, 知 f ( ) 的定义域所表示的区间关于原点必 成对称区间 ( 判断函数奇偶性的前提条件 ); ⑵ 定义域所表示的区间关于原点不对称的函数和定义域对称但 f ( ) ± f ( ) 统称为非奇非偶函数 ; ⑶ 既为奇函数又为偶函数的函数的解析式非常特别, 即 f ( ) ( 定义域对称 ) 相关性质 : ⑴ 偶函数的图像关于 y 轴对称 ; 奇函数的图像关于原点必对称 ; ⑵ 若奇函数 f ( ) 的定义域 D 且 D, 则 ( ) f ; ⑶ 定义在实数集上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 ; 的函数 ⑷ 函数 f ( ) 具有奇偶性且在某一区间上单调, 则奇函数在正负对称区间上的单调性相 同 ; 偶函数在正负对称区间上的单调性相反 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 判断函数 f ( ) e e ( >, 为实常数 ) 的奇偶性 解 : 当 e e 时, 函数定义域为 (,) (, ), f ( ) e f e ( ), 函数是奇函数 ; 当 时, 函数定义域为 (,l) ( l, ) 域不关于原点对称, 此时, 函数 f ( ) 既非奇函数又非偶函数, 但 l, 函数定义

33 数 构建体验 :⑴ 判断函数 f ( ) ( 为实常数 ) 的奇偶性 ; ⑵ 判断函数 f ( ) l ( ) 的奇偶性 ; ⑶ 判断函数 f ( ) ( 为实常数 ) 的奇偶性 答案 :⑴ 偶函数 ;⑵ 奇函数 ;⑶ 当 时, 奇函数 ; 当 时, 既是奇函数又是偶函 例 已知 ( ) f 是偶函数, 求 ( ) f f 的值 解 : 因为 ( ), 且 f ( ) 是偶函数, 则 f f ( ), 故所求值 等于 构建体验 :⑴ 函数 f ( ) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 > 时, ( ) f ( ) 的值 ⑵ 设函数 f ( ) ( R ) 为奇函数, 已知 () ( ) ( ) ( ), 则 f ( 5) f f f 答案 :⑴ ;⑵ 5 例 已知函数 ( ) log ( ) 是偶函数, 求实常数 k 的值 的值 f, 求 f, 且满足 f, g( ) ( k ), 记 F ( ) f ( ) g( ) 且 F ( ) 解 : ( ) log ( ) ( ) F k 且是偶函数, F ( ) F( ), 得到 ( k ) 而 R, 则 k 构建体验 :⑴ 已知 ( ) f 是奇函数, 求实数 的值 ; y m m 为偶函数, 求实数 m 的值 ⑵ 若函数 ( ) 答案 :⑴ ;⑵ m 例 已知 f ( ) 是实数集上的奇函数, 且当 [, ) (,) 时, 求 f ( ) 解 : 设 (,), 则 (, ) 得解析式 又 f ( ) 是 R 上的奇函数, 即 f ( ) f ( ), 时, f ( ) ( ) 5 时, f ( ) ( ) ( ) 5 5, 当 ;, 则 f ( ) f ( ) ( ) 5, 即

34 当 (,) 时, ( ) f 的解析式为 : f ( ) ( ) 5 ( (,) 构建体验 :⑴ 已知函数 f () 是实数集上的奇函数, 且当 则当 > 时, 求函数 f ( ) 的解析式 ; ⑵ 已知函数 f () 是实数集上的奇函数, 且当 当 R 时, 求函数 f ( ) 的解析式 答案 :⑴ f ( ) ( > );⑵ ( ) f ) 时, f ( ) ( ) 时, ( ), f, 则 例 5 已知函数 f ( ) 对一切实数 y 都有 f ( y) f ( ) f ( y),⑴ 求证 : f ( ) 奇函数 ;⑵ 设 f ( ), 用 表示 ( ) 解 :⑴ 显然 ( ) f f 的定义域是 R, 令 y, 得 f ( ) f () f () 中, 令 y 在 f ( y) f ( ) f ( y), 即 ( ) 是 f, 得到 f () f ( ) f ( ), 将 ( ) 入 f () f ( ) f ( ) 中, 有 f ( ) f ( ), 综上所述, f ( ) 是奇函数 f 代 ⑵ 由 f ( ), 又 f ( ) 是奇函数, 得 f ( ), 由 f ( y) f ( ) f ( y) f f 6 f 6 f 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 构建体验 : ⑴ 已知函数 f ( ) 满足 f ( y) f ( y) f ( ) f ( y) y R ), 且 ( ) f, 判断函数 f ( ) 的奇偶性 ;⑵ 已知 ( ), ( R, f 是定义在 R 上的奇函数, g( ) 是定义在 R 上的偶函数, 若 f ( ) g( ) 的值域为 [, ), 求 f ( ) g( ) 答案 :⑴ 偶函数 ;⑵(, ] 三 构建练习 函数 f ( ) 的奇偶性 解析 : 奇函数 的值域 函数 y ( ) 的奇偶性是 解析 : 不难求得函数定义域为 [,), 是非奇非偶函数 写出一个函数 g( ), 使得它与函数 f ( ) 具有相同的奇偶性, 则

35 g( ) 解析 : 易知 f ( ) ( {,} ), 既是奇函数又是偶函数, 则 ( ) 答案不唯一 g ( ), 函数 f ( ) 的奇偶性是 解析 : 求得函数定义域是 [,], 此时 f ( ), 偶函数 5 已知函数 f ( ) ( )( b ) ( b R) 是 R 上的偶函数, 且它的值域为 [, ) 则该函数 f () 的解析式为 f b b 是偶函数, 有 b 解析 : ( ) ( ) f 则 ( ),, 不难求得 b 且, 6 已知函数 y f ( ) 是偶函数, 其图像与 轴有四个交点, 则方程 f ( ) 的所有实根 之和是 解析 : 依题意, 函数 y f ( ) 是偶函数, 知图像关于 y 轴对称, 若有 满足 ( ) 则必定有 满足 ( ) 7 已知函数 ( ) ( ) f, 故四根之和等于 f, f b (, ) 是偶函数, 则 b 解析 : 函数为偶函数, 不难求得 b, 且函数定义域关于原点对称, 即, 解得 ( 舍去 ), 则 b 8 给出下列四个结论:⑴ 偶函数的图像一定和 y 轴相交 ;⑵ 奇函数的图像一定通过原点 ; ⑶ 偶函数的图像关于 y 轴对称 ;⑷ 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f ( ) ( R ), 其中正确的结论有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 解析 : 例如 y 是偶函数, 但它的图像和 y 轴不相交 ; 又 y 是奇函数, 它不过原 点, 而 y ( ) 既是奇函数又是偶函数, 则选 D 9 已知函数 f ( ) 是定义在 (,) 上的偶函数, 当 时, f ( ) 的图像如图所示, 那么不等式 f ( ) < 的解集是 5

36 解析 : 偶函数图像关于 y 轴对称, 画出函数在 y 左边图像, 又由 f ( ) f ( ) 异号, 则不等式 f ( ) < 的解集为 (, ) (,) f si c 8 (, 已知函数 ( ) 5 的值 < 可知 和 c 为常数 ) 若 f ( ), 求 f ( ) 解 : 易知函数定义域是 R, 由奇函数概念, 得到 f ( ) f ( ) 6, 令, 解得 f ( ) 9 函数 f ( ) 为偶函数, g( ) 为奇函数, 且 f ( ) g( ), 求 f ( ) 和 g( ) 的 解析式 解 : 依题意有 f ( ) f ( ), g( ) g( ), 得到 f ( ) g( ) ( ) ( ), 又 f ( ) g( ), 联立方程组, 解得 ( ) f g g 且 ( ) ( ± ) 函数 y f ( ) 是定义域在实数集上的奇函数, 当 < 时, ( ) 数 y f ( ) 在实数集上的解析式 解 : 依题意, 有 f ( ), 又当 > 时,, 即 f ( ± ) f, 求函 <, 且函数是奇函数, 则 f ( ) f ( ) ( ), 即 f ( ) ( > ), 综上所述, 函数在 实数集上的解析式为 ( ) > f < 第 7 讲 函数的单调性 一 概念教学 函数单调性的定义 对于给定区间上的函数 y f ( ), 对区间内的任意 和 ( ) < ( ), 则 ( ) f f f 为该区间上的增函数 ;⑵ 若,⑴ 若 < 时, 都有 < 时, 都有 f ( ) f ( ) >, 6

37 则 f ( ) 为该区间上的减函数 若函数 y f ( ) 在某区间上是增函数或减函数, 则称 f () 在该区间上有单调性, 该区 间为函数的单调区间 函数单调性的证明的步骤:⑴ 在该区间上任取 < ;⑵ 作差 f ( ) f ( ), 通过因 式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商 ;⑶ 判断各因式的符号来确定因式 的符号, 从而得到 f ( ) > f ( ) 或 f ( ) < f ( ), 即得 f ( ) 注意相关结论 : ⑴ 增函数的两种等价定义 : 设, [,b] 的增减性, f ( ) f ( ) 则 > f ( ) 是增函数或 )[ f ( ) f ( )] > f ( ) 在 [ b] (, 上增函数 ; 在 [, b] 上 ⑵ 减函数的两种等价定义 : 设, [,b], 则 f( ) f( ) < f ( ) 在 [, b] 上 是减函数或 ( )[ f( ) f( )] < f( ) 在 [ b], 上减函数 ; ⑶ 复合函数 f [ g( ) ] 的单调性由 f ( ) 与 g( ) 的单调性确定, 即 f ( ) 与 ( ) 一致 ( 同增或同减 ), 则函数 f [ g( ) ] 单调递增 ; 若 f ( ) 与 ( ) 增一减 ), 则函数 f [ g( ) ] 单调递减 g 的单调性 g 的单调性不一致 ( 一 5 在研究函数的单调性时, 常需要先将函数化简, 转化为讨论一些熟知函数的单调性, 故应掌握一些常见函数的单调性 会利用函数的性质 ( 奇偶性 周期性等 ) 进行综合判断 ; 注意单调区间端点的开闭 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 判断并证明函数 f ( ) 在区间 ( ) 解 : 设 < <, f ( ) f ( ) 得到 >,, 的单调性 ( )( ) ( ), 由 < <, >, 则 f ( ) > f ( ), 函数在区间 ( ) 构建体验 : 判断函数 f ( ) 在 [ ) 答案 : 函数在 [, ) 上的单调递增, 上的单调性, 上递减 7

38 例 定义在区间(,) 上的函数 y f ( ) f ( ) f ( ) > 成立时, 求实数 的取值范围 是增函数, 且它又是奇函数, 当不等式 解 : 由 f ( ) f ( ) >, 得到 f ( ) f ( ) 知 f ( ) f ( ) >, 又 f ( ) 是奇函数, 易 >, 而 f ( ) 是增函数, 且其定义域为 (,) < < < < >, 解得 < < 为所求 构建体验 : 已知定义在实数集上的偶函数 y f ( ) 在 (,) ( ) ( ) f < f 成立, 求 的取值范围 答案 : > 例 若函数 f ( ) k 5在区间 [ ], 故得到不等式组 上单调递增, 且使不等式, 单调递减, 求实数 k 的取值范围 解 : ⑴ 当 f 合题意 ; ⑵ 当 k < 时, 二次函数开口向下, k 时, ( ) 5 对称轴 <, 知函数在 [, ] 单调递减, 则 k < 合题意 ;⑶ 当 k > 时, 二次函数开 k 口向上, 要求函数在 [, ] 单调递减, 则对称轴, 则 < k 合题意, 综上所 k 5 述, k 为所求 ; 5 f 在区间 (,] 上是减函数, 求实数 的值的 构建体验 :⑴ 若 ( ) ( ) 集合 ;⑵ 若 f ( ) k在区间 (,5) 上单调, 求实数 k 的取值范围 答案 :⑴ 值集合是 { } ;⑵ k 5 或 k 例 已知函数 f () 是定义在 R 上的偶函数, 当 时, f () < 时, () f 的解析式 ; ⑵ 试确定函数 y f ( )( ) 在 [, ) 明你的结论 ; ⑶ 若 且, 证明 : f ( ) f ( ) 解 :⑴ 由偶函数定义, 易求 f ( ) ( < ) 7 7 ⑴ 求当 的单调性, 并证 < ⑵ 利用函数单调性定义, 证得函数 f ( ) 在 [, ) 上递增 ; ; 8

39 ⑶ 由上述结论, 函数 f ( ) 在 [, ) 上递增, 当 时, 有 f ( ) f ( ), 同理, 知 f ( ), 又 > 时, 恒有 f ( ) <, 故 f ( ) <f ( ), 两式相加, 得到 f ( ) f ( ) 构建体验 : 函数 y f ( ) ( ) f ⑴ 求 的值域 答案 :⑴ ( ) < <, 是定义在区间,, 上的奇函数, 当 时, f ( ) 时, f ( ) 的解析式 ⑵ 若函数 g( ), 求 g( ) f ( );⑵ g( ) b 例 5 已知定义域为 R 的函数 f( ) 7, 是奇函数 ⑴ 求 b, 的值 ;⑵ 用定义证明 f ( ) 在 (, ) 上为减函数 ;⑶ 若对任意的 t R, 不等式 f( t t) f( t k) < 恒成立, 求 k 的取值范围 解 :⑴ 因为 f ( ) 是奇函数, 所以 f (), 即 又由 f ( ) f ( ) 解得 ; b b, f( ) f( ), 任取, (, ), 且 <, ⑵ 则 f( ) f( ) ( ) ( ) < ( )( ) 所以 f ( ) 在 (, ) 上为减函数 ; ⑶ 因 f ( ) 是奇函数, 从而不等式 : f( t t) f( t k) < 等价于 f ( t t) <f( t k) f( k t ), 由 ⑵ 知 f ( ) 为减函数, 由上式推得 : t t > k t 对一切 t R恒成立 即 t t k > 对一切 t R恒成立, 从而 Δ k < k < 9

40 构建体验 : 已知 为实数, ( ) f ( R ) ⑴ 求证 : 对于任意实数, 函数 y f ( ) 在 (, ) 上是增函数 ;⑵ 当 y f ( ) ( ) ( ) 是奇函数时, 若方程 f log t 总有实数根, 求实数 t 的取值范围 答案 :⑴ 定义证明函数 f ( ) 单调递增 ; ⑵t 的取值范围, ) 三 构建练习 函数 y ( ) 在区间 A 上是增函数, 那么区间 A 是 解析 : y, 画图, 知道 A, < 已知 () f 与 f ( ) 是定义在 R 上的互为反函数, 且 () 与 f (.) 的大小关系是 解析 : 互为反函数的单调性一致, 有 f ( ) 在 R 上单调递减, 则 设 f ( ) 是定义在 R 上的偶函数, 且 (,) 且 <, 则 f ( ) 和 ( ) 解析 : 依题意, f ( ) 在 ( ) f 在 R 上单调递减, 则 f ( ) f ( ) < f (.) 时函数单调递增, 已知 <, >, f 的大小是, 上递减, 由 又偶函数有 f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) 若函数 f ( ), ( ) g 是定义在 { } (, ) 上的最大值为 5, 则 h( ) 在 (,) <, 得到 f ( ) f ( ), 则 f ( ) f ( ) > >, 上的奇函数, h( ) f ( ) bg( ), 上的最小值是 解析 : 易知 f ( ) bg ( ) h( ), 而 y f ( ) bg( ) 是奇函数, 且 (, ) 上的最大值为, 在 (,) 上的最小值为, 即 h( ), 故 h( ) 在 (,) 上的最小值是 5 函数 f ( ) 同时满足两个条件 :⑴ 是奇函数,⑵ [,] 函数 f ( ) 的解析式可以是 时, 函数单调递增 则这样的

41 解析 : 答案不唯一, 比如 y si ( ), 又比如 y rcsi ( [,] 6 已知函数 y f ( ) 为奇函数, 当 时, f ( ), 设 y f ( ) y g( ), 则 ( 8) g 的值等于 解析 : 不难求得 f ( ) < f ( ) 8, 代入, 解得, 即 ( ) ( ) 7 已知 f ( ) log 解析 : 函数 f ( ) 在 (,) 函数 ( ) g 8 ) 的反函数为, 令 g( 8), 即 f ( 8), 则 < 是 R 上的增函数, 则 的取值范围是 上递增, 则 <, 函数 f ( ) 在 [ ), 上递增, >, f 在 R 上递增, 不仅要满足上述两个条件, 而且还必须有 log, 综 上所述,< < 为所求 8 已知奇函数 f () 的定义域为 (,) (, ), 且对任意正实数 ( ),, f ( ) f ( ) 恒有 >, 则一定有 ( ) A. f ( ) > f ( 5) B. f ( ) < f ( 5) C. f ( 5) > f () D. f ( ) > f ( 5) f ( ) f ( ) 解析 : 由 >, 函数在 (, ) 单调递增, 又函数是奇函数, 则 (,) 上 也递增, 选 D 9 已知 f ( ) 在 (, ) 上单调递增, 求实数 的取值范围 解析 : 依题意, 对任意 < <, 由增函数定义有 f ( ) f ( ) < 恒成立, 化简 得 ( )( ) ( )( ) <, 则 > 为所求 设奇函数 y f ( ) 在定义域 R 上是减函数, 且关于 的不等式 f( k k) f() 恒成立, 求正实数 k 的取值范围 解析 : 移项得到 f( k k) f ( ), 利用函数性质, 原命题等价于不等式 k k 恒成立, 当 k 时, 不等式 不恒成立 ; 当 k 时, 有 k > 且 Δ 成立, 则 k ; 综上所述, k 为所求

42 f log 设 ( ) ( 是实常数 ) 为奇函数 ⑴ 求 的值 ;⑵ 判断函数 f ( ) 在 (, ) 时的单调性, 并说明理由 ;⑶ 若对于区间 [, ] 上的每一个 值, 不等式 f ( ) > m恒成立, 求实数 m 的取值范围 解析 :⑴ 奇函数, 有 f ( ) f ( ), 得到 ;⑵ 定义证明函数 f ( ) (, ) 时单调递增 ;⑶ 构造 y f ( ) 5 m< y mi, 求得 m < 8 设 () f 是 R 上的减函数, 设 f ( ), 易知该函数在 [, ] { < }, Q f ( ) { < } 在 单调递增, 则 P λ 若 f(), f (), 且 P 是 Q 充分不必要条件, 求 λ 取值范围 解析 : 由 f ( λ ) <, 得到 < f ( λ ) <, 即 f ( ) f ( λ ) f ( ) 而函数在 R 上递减, 得到 λ < <, > >, 故集合 P ( λ, λ ), 同理有 (, ) Q 又已知 P 是 Q 的充分不必要条件, 得到 P Q λ, 则 λ 为 所求 第 8 讲 一次函数 反比例函数 分式函数图像与性质 一 概念教学 一次函数 y k b( k ) 的图像是直线 ⑴ 当 递增, 当 k < 时, 函数在 (, ) k > 时, 函数在 (, ) 上单调 上单调递减 ;⑵ 当 b 时, 此时函数 y k( k ) 称为正比例函数, 恒过原点, 是奇函数 k 反比例函数 y ( k ) 的图像是等轴双曲线, 关于原点中心对称, 以 轴 y 轴 为渐近线 ; 当,, 上均单调递减 ; 当 k > 时, 图像分布在一 三象限, 在 ( ) 和 ( ) k < 时, 图像分布在二 四象限, 在 (,) 分式函数 ( ) 中心对称, 以直线 k f ( h 和 ( ), 上均单调递增 k ) 的图像由反比例函数图像平移得到, 关于点 ( h, ) h y 为渐近线的等轴双曲线 ; 当 k > 时, 在 (, h) 和 ( h, )

43 上均单调递减 ; 当 k < 时, 在 (, h) 和 (, ) h 上均单调递增 分式函数的值域求解方法有: 反函数法 ( 分子分母是一次式 ); 判别式法 ( 分子分母含有二次式 ); 分离系数法等 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 函数 ( ) ( ) m m,⑴ 当实数 m 为何值时, ( ) f m m ⑵ 当实数 m 为何值时, f ( ) 为反比例函数? 解 :⑴ f ( ) 为正比例函数, 即 f ( ) k ⑵ f ( ) 为反比例函数, 即 f ( ) 构建体验 :⑴ 函数 ( ) ( ) ( ) m m, 当 f ( ) f m m m ( k ), 则 m m m m ( ), 则 m m m m f 为正比例函数?, 解得 m ;, 解得 m f 是反比例函数, 求实数 m 的值 ;⑵ 设 为正比例函数时, 求实数 m 的值 答案 :⑴ m 或 m ;⑵ m 或 m 例 已知 f ( ), g( ), 且 ( ) ( ) h( ) 的解析式 f h h g, 求一次函数 解 : 设 h( ) k b, f h( ) h( ) k b, 同理 ( ) h g 5k k k b, 依题意, 有 5k b k 恒成立, 则, 解得 b k k 且 b, 即函数解析式为 h( ) 构建体验 : 已知 f ( ) 是一次函数, 且 f f ( ) 6 5, 求 f ( ) 答案 : f ( ) 5或 ( ) 5 f 例 求下列函数的值域:⑴ y ( );⑵ y 解 :⑴ 分离系数, y, 由, 得到 < 的解析式, 解得 y <,

44 则函数值域为 [, ) ;( 附注 : 此题用反函数法也可求解 ) ⑵ 由 y y y y, 易知函数定义域为实数集, 当 得到 ( ) ( ) y 时, 有解 ; 当 且 y, 综上所述, 函数值域为, Δ, 不难解得 y y 时, ( y ) ( y ) e 构建体验 : 求下列函数的值域 :⑴ y ;⑵ y 5 e y ;⑶ y ;⑷ 5 答案 :⑴,, ;⑵( ), ;⑶,, 5 ;⑷, 例 如图, Δ OPA Δ AQB 是等腰直角三角形, 点 P Q 落在函数 y ( > ) 的 图像上, 斜边 OA AB 都在 轴上, 求点 B 的横坐标 解 : 依题意, 设 P(, y ), 由于 P 为等腰直角三角形的直角 顶点, 则 y, 又 >, 得到, 即 (,) A, 同理, 设 Q t, t, 由于 Q 为等腰直角三角形的直角顶点, 则 t, 又 t >, 得到 t t, 则 B 横坐标为 ( t ) 构建体验 : 如图, 直线 y 分别交 y 轴于点 A C, 且在第一象限, 该直线交反比例函数图像于点 P, 又点 B 是 P 在 轴上射影, Δ ABP 的面积等于 9, 求反比例函数的解析式 6 答案 : y 例 5 已知 f ( ) 是奇函数,⑴ 求函数 f ( ) 的解析式 ;⑵ 判断函数 f ( ) 的单 b 调区间, 并用定义加以证明 解 :⑴ f ( ) 是奇函数, f ( ) f ( ), 得到 b b, 化简 可得 f ( ) ;

45 [,] ⑵ 设 时, f f <, ( ) ( ) > 恒成立, 而当 (, ) 时, ( )( ) ( )( ) < 总成立, 则 [,] 函数 f ( ) 单调递增 ; (, ) 时, 函数 f ( ) 单调递减 又函数 f ( ), 当 时, 是奇函数, 易知 函数 f ( ) 的单调递增区间是 [,] ; 函数 f ( ) 单调递减区间是 (, ) 和 ( ) 构建体验 :⑴ 已知 f ( ) 直线 y ( 对称, 求实数 b c 的值 ; b c ) 与 g( ) ⑵ 已知函数 f ( ) ( bc,, Z), c b ( ) 的图像关于 是奇函数, 且 ( ) 求 bc,, 的值 ; 判断 f ( ) 在 (, ) 上的单调性, 并证明你的结论 f, ( ) f <, 答案 :⑴ b c ; ⑵ b c ; f ( ), 易知 f ( ) 在 (, ) 上的单调递减, 证明略 三 构建练习 函数 f ( ) 的单调递减区间是 解析 : f ( ), 易知渐近线是 与 y, 则 (,) 和 (, ) 是该函数的单调递减区间 已知 f ( ) k b, 当定义域是 [, ], 值域为 [ 8,] 解析 : 当 k > k b8 k 时, 函数递增, 有, 解得 k b b k b k 有, 解得 则 k b 或 k b k b8 b, 则 k b等于 ; 当 k < 时, 函数递减, 设 f ( ) 为正比例函数, g ( ) 为反比例函数 若 f ( ) g( ), f ( ) g( ) 9 等式 f ( ) > g( ) 的解集为 f 解析 : 设 f ( ) k( k ), g( ), 求不 ( ), 由 f ( ) g ( ), 得到 k, 又 g 6 9, 解得 k 6, 则 6 >, 得到 ( )( ) >, 数轴标根法, ( ) ( ) 5

46 解得 > 或 < <, 不等式 f ( ) > g( ) 的解集为 (, ) (, ) 若函数 f ( ) 是 解析 : 显然 5 函数 f ( ) 的值在 时有正也有负, 则实数 的取值范围 且两端点函数值异号, 有 f ( ) f ( ) 的最大值是 <, 解得 < < 解析 : 易知函数定义域为 [, ), 当 时, 有 y ; 当 则该函数的最大值为 6 反比例函数 f ( ) 与二次函数 g( ) ( ) f > 时, y, 的图像交点个数是 解析 : 在同一坐标系中画出两个函数的大致图像, 注意到 ( ) ( ) g( ) >, 知道两个函数图像有 个交点 7 已知函数 f ( ) 解析 : f ( ) m m 的对称中心是 ( ) m m m ( ) f <, 且,, 则 m 的值是 m 且, 则 m 8 函数 y 的值域是 ( ) A., B., C.(, ], 解析 : 判别式法或分离系数法, 选 B 9 已知函数 f ( ), 则 f ( ) 的图像大致是 ( ), 知道其对称中心是 ( m, ), 依题意, 有 D.(, ), A. B. C. D. 解析 : f ( ) 的图像是将 f( ) 的图像向右平移 个单位, 选 A 6

47 求函数 y 的定义域 解析 : 依题意, 有 5, 得到 8 5 则函数定义域为 [,) (, ) 画出函数 ( ) f 的大致图像 log 解析 : 显然函数定义域 (, ), 当 时, 当 < < 时, log < 则 f ( ), 综上所述, ( ), 解得 且, log 且, 则 f ( ) ; log log 且 <, 此时, f, 画图如右 < < 对于定义域为 D 的函数 y f ( ), 如果存在区间 [ m, ] D, 同时满足 : f ( ) 在 [ m, ] 是单调函数 ; 当定义域为 [ m, ] 时, 函数 f ( ) 的值域也是 [ m, ], 则称 [, ] 该函数的 和谐区间 ⑴ 求证 :[, ] 是函数 y 5 ( ) 不存在 和谐区间 ;⑶ 已知函数 f ( ) g 有 和谐区间 [, ] 解析 :⑴ 略 ; m 是 的一个 和谐区间 ;⑵ 求证 : ( ) m, 当 变化时, 求出 m的最大值 g 定义域为 { }, 设 [ m, ] ⑵ ( ) ( R 且 ) [ m, ] (,), 此时 g( ) 在 [ m, ] 上均单调递增 当 [ m, ] 是 ( ) ( ) ( ) g m 有 g ( ) g m, 推得 g( ) 5 不存在 和谐区间 ; f 定义域为 { }, 设 [ m, ] ⑶ ( ) f 此时 ( ) ( ) ( ) f m 有 f m, 推得 存在同号的两个异根, 但 在 [, ] D, 则 [, ] (, ) m 上均单调递增 当 [ m, ] 是 ( ) ( ) 即 ( ) D, 则 [ m, ] (, ) 或 g 的 和谐区间 时, 5 无实数根, 则 m 或 [, ] (,) m, f 的 和谐区间 时, 存在同号的两个异根, 7

48 不难求得 > 或 时,( m) M m m m <, 此时 ( ), 当且仅当 第 9 讲 二次函数图像与性质 一 概念教学 二次函数解析式的三种表示形式: f k h( ); ⑴ 一般式 : f ( ) b c( );⑵ 顶点式 : ( ) ( ) ⑶ 零点式 ( 或两根式 ): f ( ) ( )( ) 二次函数的图像与基本性质 : ⑴ 二次函数 f ( ) b c ( ) ( ) 的图像是一条抛物线, 顶点 b, c b, b 对称轴方程为, 恒有 b b f f ; b b ⑵ 当 > 时, 开口向上, 在 (, ] 上递减 ; 在 [, ) 递增 ; y mi c b ; b b 当 < 时, 开口向下, 在 (, ] 上递增 ; 在 [, ) 递减 ; y M c b ; ⑶ 二次函数 f ( ) b c 交点 A (,), B (,), 且 ( ), 当 Δ b c> 时, 图像与 轴有两个 b c AB ; ⑷ f ( ) b c( ), 当 b 时, 是偶函数 ; 当 b 时, 非奇非偶函数 ; 二次函数在闭区间上的最值问题 : ⑴ 二次函数 f ( ) b c( >, [ m, ] [ m, ] 上单调递增, y f ( ) y f ( m) M mi 上单调递减, y f ( m) y f ( ) M mi ; 当 b ; 当 m 时, y b ), 当 < m 时, 函数在区间 b m, > 时, 函数在区间 [ ] mi c b, 8

49 M { ( ), ( )} y M f m f ; ⑵ 二次函数 f ( ) b c( <, [ m, ] )( 自己研究 ) 二次函数 f ( ) b c( ) 的图像与 轴的交点横坐标就是方程 f ( ) 的根 ; 也是不等式 f ( ) > ( 或 f ( ) ) 的解集的端点 5 二次方程 b c ( > ) 实根分布的讨论 ( 充要条件 ) 令 f ( ) b c( > ) ⑴ 二次方程 f ( ) 的两根中一根比 m 大, 另一根比 m 小 f ( m ) < 或 ( m)( m) < ; ⑵ 二次方程 f ( ) 的两根都大于 m Δ ( m) ( m) > ; ( m)( m) > ⑶ 二次方程 f ( ) 在区间 (, ) Δ b c f( m) > m 内有两根 f( ) > ; b m < < Δ b c b > m f( m) > ⑷ 二次方程 f ( ) 在区间 ( m, ) 内只有一根 f ( m) f ( ) < 或 f ( m ) f ( ) 检验另一根在 (, ) b m m 内 ; 或 b f ( ) ⑸ 二次方程 f ( ) 两根的一根小于 m, 另一根大于 ( m 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 f < ) ( m ) < f( ) < 或 或 9

50 例 已知二次函数 g( ) 的最小值为, 又当 m >, f ( ) g( ) 6 m 时二次函数 f ( ) 有最大值 5, 且, g( m ) 5,⑴ 求 m 的值 ;⑵ 求 ( ) 解 :⑴ 依题意有 f ( m ) 5 且 g( m ) 5, 得到 ( ) ( ) 解得 m 或 m 7, 而 m >, 所以 m ⑵ 依题意及 f 5且 m, 可知 ( ) ( ) g 的解析式 f m g m m 6m, g 6 <, 则 ( ) f ( ), 即 g( ) ( ) ( 8) 8 ( ) ( ) 8 8 8, 而 g( ) 的最小值为 g 因此 ( ) ( ) 8 ( > 已由 < 保证 ), 则 8 构建体验 :⑴ 若二次函数 f ( ) 满足 f ( ) f ( ), ( ), 求得, f, 求函数解析式 ; ⑵ 已知二次函数 f ( ) 同时满足下列条件 : f ( ) f ( ) ; f ( ) 的最大值为 5 ; f ( ) 的两根立方和等于 7 ; 求函数 f ( ) 答案 :⑴ f ( ) ;⑵ ( ) 例 已知函数 ( ) ( ) f 6 9 的解析式 f lg ( R 且 ) ⑴ 写出一个奇函数 g( ) 和一个偶函数 h( ), 使得 f ( ) g( ) h( ) ;⑵ 对 ⑴ 中的 ( ) f ( ) 在区间 ( ), ) g, 命题甲 : 函数 上是增函数 ; 命题乙 : 函数 g( ) 是减函数 如果命题甲 乙 有且仅有一个是真命题, 求实数 的取值范围 ;⑶ 在 ⑵ 的条件下, 求 f ( ) 的取值范围 解 :⑴ g( ) ( ) ( ) ⑵ 命题甲等价于 h lg ; ( ), 解得 或 ( ); 命题乙等 价于 < 命题甲 乙有且仅有一个是真命题有两种情况: 甲真乙假或甲假乙真 不难 求得, ; ⑶ f ( ) 6 lg( ), 在 ⑵ 的条件下, 得到 ( ) ( lg, ) f 5

51 构建体验 : ⑴ 已知函数 g( ) 和 ( ) h( ) f ( ) g( ) ( ) 的值域 ; ⑵ 已知二次函数 f ( ) b 和 g( ) f 的图像有相同的对称轴, 求函数 b b, 若 f ( ) 为偶函数, 判断 g( ) 的奇偶性 ; 若 g( ) 有两个不等的实数根, 当 > 时判断 f ( ) 在区间 (,) 的单调性 答案 :⑴, 5 ;⑵ 奇函数 ; g( ) b 有两个不等的实数根, 推得 >, b 当 > 时, f ( ) 在区间 (,) 上递增 ; b 当 < 时, f ( ) 在区间 (,) 递减 例 若抛物线 y 与连接 (,) B 的取值范围 A (,) 的线段有两个相异的交点, 求实数 解 : 依题意, 可得线段 AB 方程 y ( ), 要使得抛物线 y 与 线段 AB 有两个相异的交点 ( 联立方程组化简得方程 ), 需要关于 的方 程 ( ) 在区间 [, ] 内有两个不等的实根, 令 ( ) ( ) < < Δ >, 不难解得 < 为所求 得 ( ) f ( ) f ( ) f, 可 构建体验 :⑴ 设关于 的方程 5 的一根大于 小于, 另一根大于 小于, 求实数 的取值范围 ;⑵ 已知关于 的方程 ( ) 另一个根小于, 求实数 m 的取值范围 5 答案 :⑴ < < ;⑵, m 5 7 的一个根大于, 而 5

52 例 求函数 f ( ) 在区间 [ ], 上的最大值与最小值 解 : 依题意 f ( ) ( ) 对称轴 变化, ⑴ 当 M{, } < f ( ), ( ) ymi ( ), 函数开口向上, 但 时, ymi f ( ), ym M{ f (, ) f ( ) } y f ;⑶ 当 M ( ), y f ( ) ymi f M ; ;⑵ 当 < 时, 函数在区间 [, ] 上单调递增, > 时, 函数在区间 [ ], 上单调递减, 综上所述, y M ; y > mi < > ( ) f 构建体验 :⑴ 求函数 ( ) f ( ) 的最小值 ; ⑵ 设函数 y ( 的实数 的值 答案 :⑴ ymi 7 < ;⑵ 7 > ) 的最小值为 ( ) 例 5 已知二次函数 f ( ) b( b 是常数且 ) 满足条件 ( ) 方程 f ( ) 有等根 ⑴ 求函数 ( ) 的定义域和值域分别为 [ m, ] 和 [, ] 理由? 解 :⑴ ( ) 知 ( ) f 推得 b f 的解析式 ;⑵ 问是否存在实数 mm, ( ) f, 确定能使 f, 且 <, 使 f ( ) m, 如果存在, 求出 m, 的值 ; 如果不存在, 说明, 依题意方程 ( ) Δ b, 求得 b, 则, 即 ( ) f ; ⑵ 假设存在 mm, ( < ) 符合题意, 因为 f ( ) ( ) f ( m) m f 在区间 [ m, ] 上单调递增, 因此有 f ( ) <, 知道 ( ) b 有相等的实根, 易, 推得 即, 解得 m 5

53 或, 而 m<, 故存在实数 m 且 满足题意 构建体验 :⑴ 已知抛物线 b c y b c 与直线 y 5 有交点, 且不等式 > 的解为 < <, 求 b c 的取值范围 ;⑵ 已知二次函数 f ( ) b对任意实数 恒有 f ( ) f ( ), 且函数图像经过点 P,, 求 函数解析式 ; 若不等式 f ( m) 的解是 c, 求实数 m 与 c 的值 答案 :⑴, 则 b, 三 构建练习 设 ( ) c ;⑵ ( ) m 8 f ; c f m m, 则它关于原点对称图像的函数解析式为 解析 : 设对称图像上任意一点 P(, y ), 其关于原点的对称点 Q(, y) 必在 f ( ) 像上, 则 y mm 为所求解析式 若 b c 成等比数列, 则函数 图 y b c 的图像和 轴的交点个数是 解析 : 依题意, b c>, 则 Δ b c<, 函数和 轴交点个数为 f m m 是偶函数, 则实数 m 的值等于 已知函数 ( ) ( ) 解析 : 根据偶函数定义, f ( ) f ( ) 得到 m 对任意实数 恒成立, 则 m f 5 的图像都在 轴的上方, 则实数 的取 已知函数 ( ) ( ) ( ) 值范围是 解析 : 原命题等价于 ( ) f > 恒成立, 讨论 开口向上且 Δ< ) 两种情形, 知 < 9为所求 5 和 5 ( 此时 5 已知二次函数 f ( ) b c 图象的顶点为 (,9 ), 且与 轴的一个交点在区间 ( 6,7 ) 内, 则实数 的取值范围是 解析 : 依题意, 顶点 ( ),9, 求得 b, c 9, 此时 ( ) f 9, 由已知条件有 9 f ( 6) > 且 f ( 7) <, 解得 < < 9 6 函数 y 有四个不同的零点, 则实数 的取值范围是 5

54 5 5 解析 : 数形结合, 易知 < 且 >, 则 < < 为所求 7 已知二次函数 f ( ) b ( b ), 若 f ( ) f ( ) ( ) f 解析 : 依题意, f ( ) f ( ) f ( ) 且, 则函数值 且, 知函数对称轴, 则 f ( ) 8 设 f ( ) b c( ), 且 α < β, 则 f ( α) f ( β) < 是 ( ) ( α, β ) 内有且仅有一根的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 b 解析 : 易知 Δ 且 α < < β 时, 方程 ( ) 因此选 A 9 关于 的方程 ( ) 的范围 7 k k k 解 : 设 ( ) ( ) f 在区间 (, ) f 在区间 α β 内也有且仅有一根, 的两根满足 < < < <, 求实数 k f k k k 得 < k < 或 < k < 7, 画函数图像, 得到 函数 f ( ) ( ) f f f 有最大值, 求实数 的值 解 : 因为 ( ) ( ) ( ) () ( ) > <, 不难解 > f, 开口向下, 对称轴 变化 :⑴ 当 ± 5 时, ym, 令, 则 [,] ;⑵ 当 > 时, 函数在 [,] 上递增, ym f (), 令, 合题意 ;⑶ 当 < 时, 函数在 [,] 上递减, ym f ( ), 令, 求得 合题意, 综上所述, 或 为所求 已知二次函数 f ( ) 的二次项系数为, 且不等式 f ( ) > 的解集是 ( ) 方程 f ( ) 6 有两个相等的实根, 求函数 f ( ) 解析式 ;⑵ 若函数 f ( ) 正数, 求实数 的取值范围,,⑴ 若 的最大值为 解 :⑴ 依题意, 不等式 f ( ) > 的解集是 (, ), 则 f ( ) ( )( ) <, 从而 f ( ) ( ), 又方程 f ( ) 6 且, 有两个相等的实根, 5

55 即 ( ) 9 有等根, 则 ( ) 5 f 6 ; 5 5 5, 故 ( ) Δ 6, 解得 ( 舍去 ) 或 f ⑵ 由 ( ) ( ), 又 <, 求得函数最 大值是 < 为所求, 解不等式 > 且 <, 得到 < < 或 设函数 f ( ) ( 为实数 ) ⑴ 若 f ( ) >, 求函数 f ( ) 设 的最小值 解 :⑴ 依题意, 有 f ( ) f ( ) 函数 f ( ) ⑵ 化简 f ( ) 当 在 为偶函数, 求实数 的值 ; ⑵, 即, 解得 ;, < f, 由 > 推得 >, 故 时, ( ) ( ) 当 时单调递增, 则 f ( ) 的最小值为 f ; f, 故当 f ; < 时, ( ) ( ) 调递增, 当 < 时, f ( ) 单调递减, 此时 ( ) f 的最小值为 ( ) ( ) 比较两个最小值, 由 ( ) >, 知 ( ) < < 时, f ( ) 单 f 的最小值为 b 第 讲 形如 y y b的图像与性质 一 概念教学 b y ( b, b 为常数, 定义域 (,) (, ) ):⑴ 当 且 b 时, y b 是反比例函数 ;⑵ 当 且 b 时,y 是正比例函数 ;⑶ 当 b 55

56 时, y 是常函数 ; b y ( 耐克函数 :⑴ 是奇函数, 图像关于原点对称 ; ⑵ 以直线 y 和 y 轴为其渐近线 ; b, b 为常数, 定义域 (,) (, ) ⑶ 当 b < 即 与 b 异号时 : 当 > 且 上为增函数 ; 当 < 且 b > 时, 在区间 (,) 和 ( ) ) 是双曲线型函数或称 b < 时, 在区间 (,) 和 (, ), 上为减函数 ; ⑷ 当 b > 即 与 b 同号时 : 当 > 且 b > 时, 图像为分布在第一 三象限 b b b b 的 双勾 ; 在区间, 和, 为增函数 ; 在区间, 和, 上 为减函数 ; 在 (,) 上当 y mi b b 时, ym b ; 在 (, ) 上当 时, b ; 当 < 且 b < 时, 图像为分布在第二 四象限 的 双勾 ; 在区间, b b 和, 为减函数 ; 在区间, b b 和, 上 为增函数 ; 在 (,) b b 上当 时, y mi b ; 在 (, ) 上当 时, ym b ; b ⑸ ± 称为耐克函数 ( 或双曲线型函数 ) 拐点的横坐标 y b( b 是常数 ) 的定义域为 R 由于 b > b y b, b b 当 时, y ( 即 轴 ) 的图像是一条直线 ; 当 时, 图像是关于直线 b 对称 的 V 型 ⑴ > 时开口向上, 值域是 [, ), 在 [ b, ) 上单调递增, 在 (,b] 单调递减 ;⑵ 调递增 < 时开口向下, 值域为 (,], 在 [ b, ) 上单调递减, 在 (,b] 构建体验 : 学生口述概念一次 上 上单 二 例题教学 56

57 例 已知函数 ( ) f,⑴ 判断函数的奇偶性 ;⑵ 讨论函数的单调性 解 : 易知函数定义域 (,) (, ), ⑴ 由 f ( ) f ( ) ⑵ 设 ( ) < 增函数 调性 构建体验 : 已知函数 ( ) < <, 则 ( ) ( ), 是奇函数 ; f f, 可知函数在 (,) 上单调递增, 同理可证函数在 (, ) 上为 f ( > ),⑴ 判断函数的奇偶性 ;⑵ 讨论函数的单 答案 :⑴ 非奇非偶函数 ;⑵, 递减 ;, 递增 f f 的解 集 f f, 分类讨论 > 6 解方程, 解集为,,, 例 已知 f ( ),⑴ 求函数在 [, ] 上的值域 ;⑵ 求方程 ( ) 解 :⑴ 易求值域为 [,5 ] ;⑵ ( ) 构建体验 :⑴ 若函数 f ( ) b 在 [, ) 为增函数, 求实数 b 的取值范围 ; 求实数 的值 ; ⑵ 设 是实数, 且函数 f ( ) 是 R 上的奇函数但不是偶函数, ⑶ 若函数 f ( ) b 为偶函数, 求实数 b 的值 答案 :⑴ > 且 b ;⑵ ;⑶b 例 对于函数 f ( ) 和 ( ) g, 其定义域都为 D, 对任意 D, 总有 ( ) ( ) f ( ) f g, 则称函数 f ( ) 在区间 D 上可被函数 g( ) 替代 证明函数 f ( ) 在区间 [,6 ] 上可被 替代 5 一次函数 g( ) ( 6) 57

58 ( ) ( ) 解 : 依题意, ( ) ( ) ( ) f g g 6 f f 5 [,6 ] 上可被一次函数 g( ) ( 6), 函数 ( ) f 在区间 6 替代的充要条件是 5 5 对任意 [,6] 恒成立, 化简可知 9 6 对任意 [,6] 恒成立 令 y 6 ( 6), 不难证明函数 6 y 在区间 [ ] 调递增, 则函数值域为 6,, 9 显然 6,, 替代 5 f [,6 ] 上可被一次函数 g( ) ( 6),6 上单调递减, 在区间 [ ], 故函数 ( ) 6,6 上单 f 在区间 构建体验 : 已知函数 ( ) ( [, ] [, ] ) ⑴ 写出函数 f ( ) 区间 ;⑵ 求函数 f ( ) 的最值 的单调 答案 :⑴ 递增区间为 [, ] 和 [,]; 递减区间为 [, ] 和 [, ] ;⑵ y 5 当且 仅当 或 ; y mi 5 当且仅当 或 例 已知函数 f ( ), [, ),⑴ 当 时, 求函数 ( ) ⑵ 若对任意 [, ), f ( ) > 恒成立, 试求实数 的取值范围 解 :⑴ 当 时, ( ) f, 设 ( ) < 7 时, ymi f () ; 故 [, ) ⑵ f ( ), [, ), 当 <, ( ) ( ) M f 的最小值 ; f f, 可知函数 f ( ) 在 [, ) 时, 函数 ( ) 函数 f ( ) 在区间 [, ) 单调递增, 则 ( ) 意, 故 > 为所求 构建体验 : 已知函数 ( ) 上单调递增, f 的值恒为正 ; 当 < 时, 易知 ymi f, 当且仅当 > 时符合题 f b( b 是实数, > ) ⑴ 讨论函数的单调 58

59 性 ( 不必证明 );⑵ 当 范围 时, 不等式 ( ) 9 f 在, 上恒成立, 求实数 b 的取值 答案 :⑴ 当 时, f ( ) 在 (, ) 上递增 ; 当 > 时, f ( ) 在 (, 上递 减, 在, ) 上递增 ;⑵b 7 k 例 5 讨论函数 f( ) ( k > ) 在区间 [, ] 的最值 k 解 : 依题意, 函数 f( ) ( k > ) 的拐点 k,⑴ 当 k 即 < k 时, k k 函数 f ( ) 在 [, ] 上单调递增, ymi f ( ), ym f ( ) ;⑵ 当 k k 即 k 6 时, 函数 f ( ) 在 [, ] 上单调递减, ym f ( ), y k mi f ( ) M ;⑶ 当 < k < 即 k 6 { (, ) ( ) }, 又 f ( ) f ( ) y M f f y f k k, < < 时, ( ) k, 则 k 8 mi < 时, y f ( ) M, < < 时, y f ( ) 当 8 k 6 M k 综上所述, y M k < k 8 ; k k > 8 k < k ymi k < k < 6 k k 6 构建体验 : 求函数 y ( R ) 的最小值 < 答案 : 令 t ( t ), 则 y t ( t ), y mi t 三 构建练习 函数 y 的定义域为 解析 : 依题意,, 则函数定义域为 (,) (, ) 函数 y (, ) 的值域为 59

60 解析 : 函数在, 可知函数值域为, 若函数 ( ) f ( 解析 : 令 f ( ), 则 f ( ) 上递减, 在区间 [, ] 上递增, 而 > ) 的反函数为 f ( ), 则 ( ) 函数 y log 的最小值等于 解析 : 依题意,, 则函数最小值等于 f 5 f, ( ) f 的值为, 即 且 >, 解得 5 函数 y 在区间 [, ) 上单调递增, 则实数 的取值范围为 解析 : 定义求得 6 当 R 时, 函数 f ( ) 5 与函数 g( ) b的图像恒有交点, 求实数 b 的取值范围 解析 : 数形结合, b 5 7 集合 P y y, <, Q y y, 则 P Q 解析 : 依题意, y ( < ) 的值域为, ), 即 P, ), 而 y Q [, ), 则 P Q 8 函数 ( ),), 且, 推得 < 则函数值域 [, ), 即 f 的图像关于 ( ) A. y 轴对称 B. 直线 y 对称 C. 直线 y 对称 D. 原点对称解析 : 函数是奇函数, 选 D 9 若关于 的不等式 ( ) k k 的解集是 M, 则对任意实常数 k, 总有 ( ) A. M, M B. M, M C. M, M D. M, M k 解析 : 依题意有 k, k 易知 k mi k, 而 k 5 k k 6

61 5 当且仅当 k 5 时取到等号, 则 M (, 5, 选 A 已知函数 f ( ) k b的图像与 y 轴分别相交于点 A B, 且向量 AB (, ) 函数 g( ) 6,⑴ 求实数 k b 的值 ;⑵ 当实数 满足 f ( ) g( ) ( ) f ( ) g 的最小值 b 解 :⑴ 依题意, 可得 A, k 且 b ; ⑵ 由 f ( ) g( ) 因为 >, 则 ( ) f ( ) g (, ) B b b, b 则 AB, b, 于是有 k k b ( ) ( ) g >, 解得 < <, 而 f ( ) f ( ) g 的最小值等于 已知函数 ( ), 当且仅当 5, > 时, 求函数, 解得 k 5, 即 时取到等号, 故函数 f (, 常数 R ) ⑴ 当 时, 解不等式 f( ) >, ⑵ 讨论函数 f ( ) 的奇偶性, 并说明理由 解 :⑴ > > > > 或 < ; ⑵ 当 时, f ( ), 定义域 (,) (, ) f f, 此时函数 f ( ) 为偶函数 ; f () 当 f ( ), 不妨取 ± 时, ( ), 由于, 有 f ( ) ± f ( ), 则此时函数 f ( ), 且 ( ) ( ) ( ), 求得 f ( ), 不是奇函数也非偶函数 已知函数 f ( ) 的定义域为 (, ), 且 f ( ). 设点 P 是函数图象上 的任意一点, 过点 P 分别作直线 y 和 y 轴的垂线, 垂足分别为 M N ⑴ 求 的值 ; ⑵ 问 : PM PN 是否为定值? 若是, 则求出该定值, 若不是, 则说明理由 ; ⑶ 设 O 为坐标原点, 求四边形 OMPN 面积的最小值 解 :⑴ ; ⑵ 设点 P 的坐标为, ), ( y 6

62 则有 y, >, 由点到直线的距离公式可知, y,, 故有 PM PN 为定值 ; PM PN ⑶ 由题意可设 M ( t, t), 可知 N, y ), 由 PM 与直线 y 垂直, 可求 ( t ( y ), 又 y, t, S Δ OPM, S Δ OPN, 则 SOMPN S ΔOPM S ΔOPN ( ), 当且仅当 时, 等号成立 此时四边形 OMPN 面积有最小值 6

63 第 讲 幂函数图像与性质 一 概念教学 把 y α 称为幂函数, 高中阶段的 α 取值仅仅限于集合,,,,,,, ; 幂函数 y α 的主要性质 : ⑴ 当幂指数 α > 时, 图像恒过点 (, ) 与 (, ), 在第一象限部分 上升 ; ⑵ 当幂指数 α < 时, 图像恒过点 (, ), 但恒不过原点, 在第一象限部分 下降 ; ⑶ 特别, 当幂指数 α 时, y ( ) ; 幂函数 y α 在第一象限内的图像 在第一象限内 α >, 图像上凹 ; α <, 图像上凹 ; < α <, 图像下凹 幂函数 y α 的奇偶性判别方法 先将幂函数化为正指数幂形式或根式形式, 再由其定义域与图像分布象限判断奇偶性 : 若图像只能分布在第一象限, 则幂函数非奇非偶 ; 若图像分布在第一 第二象限, 则必为偶函数 ; 若图像分布在第一 第三象限, 则必为奇函数 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 ⑴ 幂函数 y f ( ) 的图像经过点,, 求 f 5 5 的值 ⑵ 比较.9,.7 的大小 解 :⑴ 令 y α α, 则, 解得 f, 故 α 所以, ( ) f ⑵ 幂函数 y 5 在在第一象限内, y 随着 增大而增大, 且.9 >.7, 构建体验 :⑴ 幂函数 y f ( ). m.7 ⑵ 已知 (.7 ) (. ) >.7 的图像经过点,, 则它的解析式为 m <, 则实数 m 的取值范围为 6

64 答案 :⑴ f ( ) ;⑵ (, ) m m m 例 求幂函数 f ( ) ( m N) 区间 解 : m N, 则 m 间 (, ) 构建体验 : 求函数 的定义域, 值域, 判断它的奇偶性, 写出它的单调 m 为正奇数, 定义域为 R, 值域是 R, 奇函数, 单调递增区 y 的定义域 值域, 判断它的奇偶性, 写出它的单调区间 答案 : 定义域 R 值域[, ), 偶函数, 在 [, ) 上递增 在 (,] m m 例 已知幂函数 y ( m Z) 上递减 的图像与, y 轴都无交点, 且关于 y 轴对称, 求实 数 m 的值, 并画出函数图像 解 : 显然, 幂函数图像不过原点, 则 m m, 即 m, 而 m Z, 所以 m,,,,, 但 m, 时, m m, 知幂函数 f ( ) 为奇函数, 与题设矛盾 m 时, 幂函数 ( ) 而, f, 又 故 m,, 为所求 图像如右 构建体验 : 若幂函数 y α ( ( ) 的图像在第一 二象限, 且不过原点, 则 ( ) m 时, 幂函数 ( ) f, 都满足题设条件 α p, m p 都是正整数, 且 与 m 互质 ) m A. p 均为奇数 m 为偶数 B. p 均为偶数 m 为奇数 C. m p 均为奇数 为偶数 D. m p 均为偶数 为奇数 答案 :C 例 已知( ) ( ) <, 求实数 的取值范围 y 在 (,) (, ) 上分别是减函数, 由 ( ) ( ) 解 : 因为幂函数 <, ⑴ 当, 同正时, 有 > >, 解得 < < ; ⑵ 当, 同负时, 有 < <, 无解 ; ⑶ 当, 异号时, 有 > 且 <, 解得 < ; 6

65 综上所述, ( ),, 5 5 构建体验 : 已知 ( ) ( ) 解 : 幂函数 y 5 <, 求实数 的取值范围 5 5 在 (,) (, ) 上分别是减函数, 由 ( ) ( ) <, > 得到 > > 或 > > 或, 解得 < 或 < < < m m 例 5 已知幂函数 f ( ) ( m Z) 为偶函数, 且在区间 ( ) b f ⑴ 求函数 f ( ) 的解析式 ;⑵ 讨论函数 F( ) f ( ) 解 :⑴ 容易求得 F ⑵ ( ) m, 幂函数 ( ) f ; b, 则 当 b 且 当 b 且 时, F ( ) 是偶函数 ; 当 b 且 时, F ( ) 是奇函数 ; 时, ( ) 当 b 且 时, F ( ) 既非奇函数又非偶函数 构建体验 : 幂函数 ( ) m m 在 (, ) y m m, 上是单调递减函数, ( ) 的奇偶性 F 既是奇函数又是偶函数 ; 时为减函数, 求实数 m 的值 解 : 由幂函数定义, 有 m m, 解得 m 或 m, 当 m 时, m m, 原函数 是幂函数且在 (, ) y 上递减 ; 当 m 时, m m, 原函数 y ( ) m 是幂函数且在 (, ) 上不单调 则所求的值 三 构建练习 幂函数 f () 的图像过点,, 则 f ( ) 的值等于 解析 : α, 则 α, 所以 f ( ) 65

66 幂函数 ( ) m m 在第一象限其值随 的增大而减小, 则 m 取值范围是 f 解析 : 易知 m m <, 则 < m < 5 幂函数 y 的定义域是 解析 : y 5, 定义域为 (,) (, ) 5 函数 y 的图像对称中心是 解析 : y, 5 已知函数 ⑴ y ⑵ y 解析 : 由幂函数定义,⑴⑷ 正确 6 幂函数 ( ), 则对称中心为 ( ) m m y ⑷ ⑶ y, 其中是幂函数的是 y m m 在 (, ) 上是增函数, 则实数 m 的取值集合是 解析 : 由幂函数定义, m m, 解得 m 或 m, 代入讨论, m 符 合题意, m { } 7 幂函数 y α 中 α 取值集合,,,,,,, 的子集为 P, 当幂函数的值域等 于 [, ) 时, 集合 P 8 函数 解析 : y 或 y 符合, P, y 是 ( ) A. 奇函数且在 (,) 上是增函数 B. 偶函数且在 (,) 上是减函数 C. 奇函数且在 (, ) 上是增函数 D. 偶函数且在 (, ) 上是减函数 解析 : y 选 D, 定义域 (,) (, ), 偶函数, 画图知道 (,) 递增, 9 函数 y ( ) 的图像可由幂函数 y 的图像经 ( ) 得到 A. 向左平移 个单位, 再向上平移 个单位 66

67 B. 向右平移 个单位, 再向上平移 个单位 C. 向左平移 个单位, 再向下平移 个单位 D. 向右平移 个单位, 再向下平移 个单位 解析 : 由平移知识, 选 B 已知幂函数 ( ), g( ) f 的图像分别经过点 ( ) ⑴ 求 f ( ) 和 ( ) 解析 : ⑴ f ( ), g( ) 设 N, 和,, g 的解析式 ; ⑵ 解不等式 f ( ) >g ( ), 且函数 ( ) ( ) ;⑵ > > 在 ( ) f, 上是增函数, 求函数 f ( ) 的 解析式 > < 解析 : 依题意, 或, 解得 < < 或 > < < <, 又 N,, ( ) f 已知方程 只有一个实根, 求实数 的取值范围 解析 : 令 t( t ), 化归 t t 在 [, ) 内只有唯一实根,⑴ 当 Δ 时,, 求得 t < 或 为所求 Δ> 符合题意 ;⑵ 当 <, 两根异号, 符合题意, 综上 tt < 67

68 第 讲 指数运算与指数函数图像与性质 一 概念教学 为奇数 ; 为偶数 幂运算法则: m m b b ;( ) m m m m ; m ;( ) m ( ) m m ; 指数函数的图像和性质 > < < 图 像 ⑴ 定义域为 :(, ); 值域为 :(, ). 性 ⑵ 过点 (, ), 即 时, y. 质 ⑶ 若 > 时, 则 > ; 若 < 时, 则 < <. ⑶ 若 > 时, 则 < < ; 若 < 时, 则 >. ⑷ 在 (, ) 上是增函数. ⑷ 在 (, ) 上是减函数 若指数函数 y f ( ), 则它和函数 y f ( ) 的图像关于 y 轴对称 ; 5 抽象函数 y f ( ) 满足性质 f ( y) f ( ) f ( y) 或 f ( y) 用指数函数作为模型考虑相关问题 ( 填空题 选择题 ) 构建体验 : 学生口述概念一次 ( ) ( y) f 时 f, 则可以 二 例题教学 例 ⑴ 求函数 y 的定义域 ;⑵ 求函数 y 的值域 68

69 解 : ⑴ 由, 不难解得 ⑵, 又 y 是增函数,, 则定义域为, ; <, 值域为 ( ], 构建体验 :⑴ 求函数 y 8的定义域 ;⑵ 函数 y ( ) 的值域 答案 :⑴(, ] ;⑵(, ] 例 ⑴ 函数 y ( > 且 ) 的图像恒过点 A, 求点 A 的坐标 ;⑵ 已知关于 的函数 y ( ) 是 (, ) 上的减函数, 求实数 的取值范围 解 :⑴ 因为函数 y 的图像可由指数函数 y 的图像右平移 个单位, 然后上 平移 个单位得到, 而指数函数 y 的图像恒过点 ( ),, 则点 A 的坐标 ( ) ⑵ 依题意, 有 < <, 则 < < 5或 5 < < 为所求, ; 构建体验 :⑴ 函数 y ( > 且 ) 的图像恒过点 A, 求点 A 坐标 ; k ⑵ 无论 k 取任何实数, 函数 f ( ) ( k) 的图像恒过一个定点, 求 此定点的坐标 ; 求实数 的取值范围 ⑶ 已知函数 f ( ) ( ) ( 实数 答案 :⑴(, );⑵, ;⑶ > > ) 在 ( ), 上为单调递增函数, 例 设 R, 求函数 ( y ) 的最小值, 并求相应的 值 解 : 函数 ( y ) ( ) ( ), 令 t ( t ), 则 y t t ( t ) ( t ) ⑴ 当 时, 此时 y, mi, 当且仅当 t ± 取到, 解得 ( ) ⑵ 当 < 时, y mi, 当且仅当 t 取到, 则 ( ) log ± 69

70 此时, 解得, 则 综上所述, y mi < 构建体验 :⑴ 如果函数 f ( ) ( > 且 ) 在区间 [, ] 上的最大值比最小值 大, 求实数 的值 ;⑵ 如果函数 大值, 求实数 的值 y 答案 :⑴ 或 ;⑵ 或 f b 例 已知函数 ( ) 9( > 且, 其中常数 b 满足 数 f ( ) 的单调性 ;⑵ 若 b <, 求 f ( ) f ( ) ) 在 [,] > 时的 的取值范围 上有最 b ⑴ 若 b >, 判断函 解 :⑴ 当 > 且 b > 时, 因为 b 都单调递增, 所以函数 f ( ) 单调递增 ; 当 < 且 b < 时, 因为 b 都单调递减, 所以函数 f ( ) 单调递减 ; 得 f f b >, 当 <, b > 时, >, 解 b ⑵ ( ) ( ) > log b ; 当 >, b < 时, < b 构建体验 : 已知函数 f ( ) b 判断函数 ( ) 求 ( ) f 的单调性 ;⑵ 若 b f > 时的 的取值范围, 解得 log <, 其中常数 b 满足, 判断 ( ) b b ⑴ 若 b <, f 的奇偶性 ;⑶ 若 b 且 > 时, 答案 :⑴ 当 > 且 b < 时, f ( ) 递增 ; 当 < 且 b > 时, f ( ) 递减 ;⑵ 奇函数 ; ⑶ 当 > 时, 解得 < < log ; 当 时, 无解 ; 当 < < 时, 解得 log < < 例 5 已知函数 ( ) f ( 为常数 ) ⑴ 若函数 f ( ) 为奇函数且 ( ) f, 求 的值 ;⑵ 若函数 f ( ) 在 [, ) 上是增函数, 求实数 的取值范围 ;⑶ 若存在 [,] f > f 成立, 求实数 的取值范围 得 ( ) ( ) 使 7

71 解 :⑴ 函数 f ( ) 为奇函数, 求得 ( ) log 5 ;⑵ 函数单调递增, 设 > 恒成立, 求得 f t t ( 构造 () ( ) 立, 求得 7< < 符合题意 构建体验 : 设 ( ) ;⑶ ( ) ( ), 则 且 >, 解得 <, 由定义恒有 f ( ) f ( ) f > f 化简得到不等式 t ), 存在 [,] f ( 为常数 ),⑴ 若, 即存在 t, <, 推得 <, 使得 f () t < 成 <, 试判别函数 f ( ) 的单调性 ;⑵ 若 时, 函数 y g( ) 的图像与 y f ( ) 求 g( ) 的解析式 ;⑶ 试确定关于 的方程 f ( ) 在实数集上有解的条件 答案 :⑴ 函数 f ( ) 在 R 上单调递增 ;⑵ g( ) f ( ) ; 在 R 上 的图像关于直线 对称, ⑶, 推得 三 构建练习 函数 y e 的值域是 解析 :,, 解得 y e e 时关于 的方程 ( ) y > 且 f 在实数集上有解 y, 则函数值域为 (,) (, ) 若关于 的方程 ( > 且 ) 有两个不等实数根, 则实数 的取值范 围为 解析 : 对 > 与 < < 分类, 数形结合求得, 函数 y 解析 : ( ) 的单调递减区间为 f, 在, 上递增, 由复合函数单调性, 易知 原函数在, 上递减, 则原函数递减区间为, 函数 y m( > ) 的图像恒过点 ( ),, 则实数 m 等于 7

72 解析 : 依题意, m, 解得 m 9 5 设 f ( ) < log8 > f, 则 等于, 若 ( ) log8 解析 : 依题意, 有 或 < > 6 已知关于 的方程, 不难解得 有正根, 求实数 的取值范围为 5 > 5 解析 : 方程有正根, 则 < <, < <, 则 < < 5 < 5 7 已知函数 f ( ) 的定义域为 [ ],56, 则 ( ) f 的定义域是 解析 : 依题意, 56, 解得 8, 即 义域是 [, ] 8 f ( ) ( ) 且 < <, 则 f () 为 ( ) A. 奇函数且为减函数 B. 奇函数且为增函数 C. 偶函数且为减函数 D. 偶函数且为增函数 解析 : 取特值, ( ) ( f ), 答案 B f 9 设函数 ( ) > A.(,) B.(, ) f 的定, 则 ( ), 若 f ( ) >, 则 的取值范围是 ( ) C.(, ) (, ) D.(, ) (, ) 解析 : 依题意, > > 或, 解得 > 或 <, 选 D > 已知函数 f ( ) b的图像过点 (, 7 ), 又其反函数的图像经点 (, ), 求 y f ( ) 的反函数的解析式 解 : 依题意, 函数也过点 ( ) 其反函数为 f ( ) log ( ) 7 b,, 得到, 解得 b b ( > ), 原函数为 f ( ), 7

73 已知函数 f ( ) k k ( k 5) 在区间 [ ] 范围 [ ] 解析 : 易知关于 的方程 f ( ) 在区间 [ ], 上有解 而当 时, ( ) 已知函数 f ( ) e ( ), 上存在零点, 求实数 k 的取值, 有解, 即 ( ) k 5 在区间 5 5, 则 k 5 或 k g e ( R ) ⑴ 若 在 [,] 上的最小值 ;⑵ 若 f ( ) g( ) g( ) f ( ) 实数 的取值范围 解析 :⑴ 当 [,] 时, ( ), 求 h( ) f ( ) g( ) 对于任意的 R 恒成立, 求 h e e 时取到最小值, 此时 h( ) 的最小值为 e ; e e e, 当且仅当 ⑵ f ( ) g( ) g( ) f ( ) 恒成立的充要条件是 f ( ) g( ) 恒成立, 即 e e 恒成立, 则有, 不难解得 为所求 第 讲 反函数 一 概念教学 反函数: 设函数为 y f () 的定义域为 D, 值域为 A, 如果对于 A 中的任意一个 y 值, 有且仅有一个 D 中的 值与之对应, 这样得到的 关于 y 的函数叫做 y f () 的反函 数, 记作 : f ( y),y A 由于通常自变量用 表示, 函数用 y 表示, 于是 y f () 的反函数记作 y f ( ) ( A) 求反函数的步骤:⑴ 由原函数 y f () 解方程求出 f ( y) ;⑵ 求出原函数的值域 A ; ⑶ 交换 y, 得到反函数 y f ( ) ( A) 原函数 y f () ( D, y A ) 与反函数 y f ( ) ( A, y D ) 的关系 : ⑴ 函数 y f () ( D ) 与反函数 y f ( ) ( A ) 互为反函数 ; ⑵ 原函数 y f () 的定义域 D 值域 A 分别是反函数 y f ( ) 的值域与定义域 ; 比 如有 f ( ) b, 则 f ( b) 7

74 ⑶ 原函数 y f () 的图像和它的反函数 y f ( ) 的图像关于直线 y 轴对称 ; f f ( D ⑷ ( ) 反函数的相关结论 : ⑴ 函数 y f ( ) f f ( A ) ); ( ) 有反函数的充要条件是 和 y 一一对应 若点 P (, b) 在 y f () 的 图像上, 则 P ( b, ) 必在 y f ( ) 的图像上 ; ⑵ 在定义域上单调的函数必存在反函数, 但反之不是真命题 ; ⑶ 奇函数的反函数也是奇函数 ; 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 ; ⑷ 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 ; 周期函数不存在反函数 ; ⑸ 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成 构建体验 : 学生口述概念一次 二 例题教学 例 求函数 y ( ) 的反函数 y, 而, 解得 y, 由于, 不难求 解 : 由 ( ) 得 ( ) y, 则反函数 ( ) f ( ) 构建体验 : 求函数 y ( ) 的反函数 答案 : ( ) 例 若函数 f ( ) f ( ) ( 称, 求函数 g( ) 的解析式 > ) 的图像与函数 y g( ) 解 : 原函数与反函数的图像关于直线 y 的图像关于直线 y 对 对称, 易知函数 y g( ) 是 f ( ) 的反 y 函数 由 y, 不难解得 y, y 而 >, 解不等式 > 得到 < y <, y 则函数 g( ) ( (, ) ) 构建体验 : 函数 y b c ( b c 均为常数 ) 的图像与函数 y 的图像关 于直线 y 对称, 求 b c 的值 7

75 答案 : 求出函数 y 的反函数, 与 y 比较系数, b c b c < < f 的反函数 < 例 求函数 ( ) 解 : 当 < < 时, ( ) 时, f ( ), 易知 y 构建体验 :⑴ 求 f ( ) 函数 y g( ) f, 不难解得 y 且 < y < ; 当 <, 且 y 的图像关于直线 y <, 则反函数为 f ( ) < 答案 :⑴ 反函数为 y < 对称, 求函数 ( ) < < < 的反函数 ;⑵ 设 ( ) f g 的解析式 ;⑵ 函数 g( ) 与 < ( ) log.5 < > 例 已知函数 f( ), 求 f 的值 解 : 由原函数与反函数的关系, 易知 f ( b), 则 f ( ) b, 故, 解 得, 即, 则 f ( 另解 : 求出反函数后, 代值也可以 ) 构建体验 : 已知 ( ) 答案 : 例 5 已知点, f, 求 f 的值 f 在函数 ( ) b 解 : 依题意, 点, 和点, b 5 得到, 解得 且 b 为所求 b 的图像上, 又在其反函数的图像上, 求 b 的值 f 都在函数 ( ) b 的图像上, 则 b b, 构建体验 :⑴ 已知点 (, ) 在函数 f ( ) b 的图像上, 又在其反函数的图像上, 75

76 求 b 的值 ;⑵ 已知函数 f ( ) k 的图像经过点 (, ), 其反函数图像经过点 (, ), 求 k 的值 答案 :⑴ 且 b 7 ;⑵ k 三 构建练习 若 f ( ) 为函数 f ( ) lg ( ) 的反函数, 则 f ( ) 的值域为 解析 : 依题意, f ( ) 的值域是 f ( ) lg ( ) 的定义域, 即 (, ) 函数 y 和它的反函数图像重合, 则实数 的值为 解析 : 函数 y 的反函数是 y, 因为函数图像重合, 则解析式相同, 即 为所求 已知 f ( ), 则 f 5 解析 : 令 f 5 f, 则 ( ) 5, 即 5, 不难解得 函数 y 在区间 [ ] 解析 : 函数 y, 上存在反函数的充要条件是 在区间 [, ] 上存在反函数的充要条件是函数 f ( ) [, ] 上单调递增或单调递减, 又函数对称轴, 则 5 函数 y ( ) 的反函数是 解析 : 由 y 得到 ( ) y 或 为所求 在区间, 因为, 解得 y, 而 y, 求得 y, 则函数, 得到 ( ) y ( f ( ) 6 函数 y l ( > ) 的反函数为 ) 的反函数是 ( ) 解析 : 由 y l 得到 e y e > 即 y >, 则反函数为 f ( ) e y e, 解得 e e ( > ) y y, e 而 >, 得到 e y y >, 解得 76

77 7 设函数 f ( ) <, 那么 f ( ) 解析 : 令 f ( ), 则 f ( ), 不难解得 8 若函数 g( ) 的图像与函数 f ( ) ( ) ( 则函数 g( ) 的解析式是 ( ) A. g( ) ( ) B. g( ) C. ( ) ) D. ( ) g ( ) 的图像关于直线 y 对称, g ( ) ( ) 解析 : 依题意, 函数 g( ) 和函数 f ( ) 互为反函数, 由 f ( ) ( ) 求得它的反函数为 ( ) f ( g ), 即 ( ) 9 函数 y ( ) 的反函数图像大致是 ( ) ( ) 不难 ( ), 选 A A. B. C. D. 解析 : 由 y ( ) 求得反函数 f ( ) ( ), 它的图像是将函数 y 的图像向左平移 个单位后得到, 选 B f b( 常数 k b R f 已知函数 ( ) k ) 的图像经过点 (, ) 与 ( 6, ) ⑴ 求 ( ) 的解析式 ;⑵ 记 f ( ) 的反函数为 g( ), 若不等式 ( ) ( ) 实数 的取值范围 g g > 恒成立, 求 解析 :⑴ 代值, f ( ) ;⑵ g( ) ( ), 不等式 ( ) ( ) 恒成立, 得到 ( ) > 对 恒成立, 则 < g g > 8 且 已知函数 f ( ) 的反函数为 f ( ), 若 f ( ) f ( b) ( ) log ( ), 求 f ( b) f 解析 : 易求 f ( ) f b log 则 ( ) 的值 ( R b, 故 b, ), 则 f ( ) f ( b) 77

78 若函数 f ( ) 的反函数为 f ( ), 且 f ( ) ( ) 的值域 解析 : 依题意, f ( ) log log 可求, 由 f ( ) y, 则 ( ) 推得, 则 y, 即值域为 [,] 8, 求函数 y 8, 得到 log8 log,, 又, 第 讲 对数运算与对数函数图像与性质 一 概念教学 b 指数式和对数式: N b log N ; 得到两个恒等式 log N N ; log b b; 对数本身性质 : log ; log ( 式中 > 且 ); M 对数的运算法则: ⑴ log log M log N ;⑵ log M log N log MN ; N m ⑶ log N m log N ( 式中 > 且 ); 对数的换底公式: ⑴ log logc N m m N ;⑵ log b log b ( 式中 c, 都是正实 log c 数且不等于 ) 指数函数的图像和性质 > < < 图 像 ⑴ 定义域为 : (, ). 性 ⑵ 值域为 :(, ). ⑶ 过点 (, ), 即 时, y log. 质 ⑷ 在 (, ) 上是增函数. ⑷ 在 (, ) 上是减函数 78

79 5 若对数函数 f ( ) log ( >, ), 则它和函数 y log (, ) 于 轴对称 ; > 的图像关 6 抽象函数 y f ( ) 对, y R 满足性质 f ( y) f ( ) f ( y) f f f y y ( ) ( ) 或 时, 则可以用对数函数作为模型考虑相关问题 ( 填空题 选择题 ) 同理, 抽象函数 y f ( ) 对任意实数, y 满足性质 f ( y) f ( ) f ( y) f f f y y 空题 选择题 ); ( ) ( ) 时, 则可以用 y log (, ) 7 注意以下两个不等式: ( 式中 b, 都是正实数且不等于 ) 或 > 作为模型考虑相关问题 ( 填 log > ( )( ) > ; ( )( ) b b 构建体验 : 学生口述概念一次 log b< b < 二 例题教学 例 ⑴ 化简 : log lg log 9 ( lg) ;⑵ 若 log 8,log5 b, 试用 b, 表 示 lg5 ;⑶ 若 6, 6 5, 求 ( ) 的值 解 :⑴ 原式 ( lg ) ( ) log 9 9 lg lg lg lg ; lg < < lg ⑵ log8, 且 lg8 lg5 log lg b, b lg8 ( lg ) 5 lg 5 lg 5 lg 5 b ; ⑶ log6 log6 5, 得到 log6, log6, 则, 则 log log 6 ( ) 6 log, 故原式的值为 构建体验 :⑴ 代数式 log log ( > 且, > 且 ) 的值为 ; 79

80 ⑵ 已知 log9 5, log 7 b, 则 log5 9 用 和 b 表示为 ; y ⑶ 若 6, 求 的值 y 答案 :⑴ ;⑵ b ;⑶ 例 ⑴ 已知 log, 求 的值 ; log ⑵ 已知函数 f ( ) ( lgm) lg满足 f ( ) f 恒成立, 求 m 和 的值 等式 ( ), 且对于一切实数, 不 解 :⑴ 由 log log log, 则, 根据无穷等比数列各项和 log 的公式, 结果为 ; f 得到 lgm lg ⑵ 由 ( ), 又不等式 ( ) f 恒成立, 即不等式 lg lg 恒成立, 则 Δ ( lg m) lg, 解得 lg 且 lg m, 即 m 且 m 为所求 构建体验 :⑴ 若方程 ( ) 的值 ;, 求实数 b 的值 lg lg lg lg lg lg 的两根为 和, 求 log b log log b 的两个根为 和 ⑵ 已知关于 的方程 ( ) 答案 :⑴ 6 ;⑵ 或 b b log 例 ⑴ 求函数 ( ). 域 ⑶ 设 f ( ) 值范围 f lg 7 的定义域 ;⑵ 求函数 y log ( 6 8), 如果当 (,] 时, f ( ) 的值 有意义, 求实数 的取 解 :⑴ 由 log. <, 解得 <, 故定义域为, ; 8

81 f , 而函数 y log 是减函数, ⑵ 因为函数 ( ) ( ) 则 ( ), 即所求值域为 (, ] log 6 8 log 9 ; ⑶ 当 时, > 恒成立, 推得 >, 易知函数 y 在 (,] 上单调递增, 得到 ( ) lg 构建体验 :⑴ 求函数 y ⑶ 已知函数 ( ) ( ) ( ) y M, 则 > 的定义域 ;⑵ 求函数 y log ( 5) 的值域 ; f lg 的定义域为 R, 求实数 的范围 答案 :⑴(,) (,) ;⑵[, ) ;⑶ 例 已知函数 f ( ) ( > 且 5 或 > ) ⑴ 求函数 f ( ) 的反函数 ( ) g ;⑵ 讨论 g( ) 的单调性和奇偶性 ;⑶ 若函数 y F( ) 是以 为周期的周期函数, 当 (,) ( ) g( ), 求当 (, ) 时, ( ) F 解 :⑴ g( ) F 的解析式 log ( < < ); ⑵ 当 < < 时, g( ) 在 (,) g( ) g( ), 则 ( ) ⑶ F( ) g 为奇函数 ; log (< < ) f log k 上递减 ; 当 > 时, g( ) 在 (,) 时, 上递增 ; 而 构建体验 :⑴ 已知函数 ( ) ( ) 的图像过点 (, ), 其反函数的图像过点 ( ) 求函数 y f ( ) 的解析式 ; 若函数 g( ) 与函数 ( ) 函数 g( ) 的解析式 ; 不等式 ( ), 7, f 的图像关于直线 对称, 求 ⑵ 已知定义域为 R 的偶函数 y f ( ) 在 [, ) 上是增函数, 且 f log > 的解集 8 答案 : ⑴ f ( ) log ( ) ; g( ) log ( ) f, 求 8