PowerPoint Presentation

Size: px

Start display at page:

Download "PowerPoint Presentation"

冯欢危
5 years ago
Views:

1 场论与主讲 : 徐乐 2013 年 10 月 13 日星期日 2013/10/13

2 解析函数的充要条件 Rviw 函数 f (z) u(x,y)+i v(x,y) 在区域 D 内 u(x,y) 和 v(x,y) 在区域 D 可微且在区域 D 满足柯西 - 黎曼方程 [ 推论 1] 若 f (z) 在区域 D 处处为零, 则 f (z) 在 D 内为常数 [ 推论 2] f (z) u(x,y)+i v(x,y) 为解析函数, 且 f (z) 0, 则曲线族 u(x,y)c 1,v(x,y)c 2 必互相正交, 其中 c 1, c 2 为常数 2

3 解析函数的充要条件可导在一点的导数公式 u f '( z) + i x v x f '( z) v + y u iy u v u v, x y y x f '( z) u + x u iy v v f '( z) + i y x 3

4 稳定平面向量场平面场的复势 A A( xyx, ) ˆˆ+ A( xyy, ) x y A y y A A Az ( ) A( xy, ) + ia( xy, ) x y A x x 4

5 平面流速场的复势平面场的复势 v v( xyx, ) ˆˆ+ v( xyy, ) x y f '( z) v f( z) ϕ( xy, ) + iψ( xy, ) vy vx rotv 0 x y 静电场的复势 ϕ( xy, ) vx x ϕ( xy, ) vy y E Exˆˆ+ Ey x y ψ ( xy, ) v x ψ ( xy, ) vx y E if'( z) f( z) uxy (, ) + ivxy (, ) y v div x v y v + 0 x y Ey Ex rote 0 x y E E x y v u Ey x x E div x E y E + 0 v u E x y x y y 5

6 初等函数指数函数对数函数乘幂与幂函数三角函数和双曲函数反三角函数和反双曲函数 6

7 初等函数初等函数在微积分的发展史上, 有一些函数很早就被人们所认识并且进行了深入的研究, 这些函数统称为初等函数最基础的初等函数称为基本初等函数常值函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数凡是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤得到的, 并能用一个解析式表示的函数统称为初等函数初等函数是实变函数初等函数的推广 7

8 指数函数在实变函数中, 指数函数 x 对任何实数 x 都可导, 且 ( x ) x 在复平面中定义函数 f (z), 使得 i. f (z) 在复平面内处处解析 ii. f (z) f (z) iii. Im(z) 0 时,f (z) x, 其中 xr(z) 验证函数 f (z) x (cosy +isiny) 8

9 指数函数指数函数指数函数记作 xpz x (cosy +isiny) 指数函数的等价定义 xpz x Arg(xpz) y + 2 kπ Not1:xp(z) 0 Not2: xp(z 1 )xp(z 2 )xp(z 1 +z 2 ) 9

10 指数函数 Not3: 为方便, 令 z xpz z 仅为表示指数函数的符号, 无幂的意义 Not4:x0 时, iy (cosy +isiny) Not5: 周期性 : z+i2kπ z 周期为 2kπi 的指数函数具有周期性, 而实变函数 x 没有周期性 10

11 对数函数满足方程 w z,(z 0) 的函数 wf(z) 称为对数函数对数函数与指数函数互为反函数令 wu+iv,zr iθ, 则 w z 可以写成 : u+iv u iv r iθ ulnr, vθ 对数函数 w ln z +iargz 11

12 对数函数 w ln z +iargz Not1: 多值性 Argz 多值 wf(z) 多值, 且两值相差 2kπi 对数函数记为 : Ln z ln z +iargz Not2: 对数函数的主值若规定 Argz 取主值 argz, 则 Lnz 单值, 记作 lnz, 称之为 Lnz 的主值 : ln z ln z +iargz Not3: Ln z lnz +i2kπ 对于固定的某个 k, 该值称为 lnz 的一个分支 12

13 对数函数 Not4: 复变对数函数与实变对数函数若 zx>0, Ln z lnx 退化为时变函数中的对数函数与时变函数一样, 在 z0 处没有对数在除去 z0 的复平面均有对数正实数的对数是无穷多值 Not5: 与实变函数中对数函数的运算异同 : 相同点 : Ln( z 1 z 2 ) Lnz 1 + Lnz 2 Ln( z 1 /z 2 ) Lnz 1 - Lnz 2 不同点 : Ln z 2 2Ln z Ln z 2 Ln r 2 i2θ 2ln r + i(2θ+2kπ) 2Ln z 2Ln r iθ 2ln r + i (2θ+4kπ) 同理 Ln z n nln z ; Ln z 1/n 1/n Ln z 13

14 对数函数 Not5:Ln z 是一个集合, 不再是单值, 不能简单相加对数函数的定义包含了两端可能取得的函数值的全体 Not6: 解析性对数函数主值 lnz 在除去原点和复实轴的复平面上解析 d ln z 1 并且有 dz z [ 证 ] 指数函数 z w 在区域 {π-<argz<π} 内反函数 wlnz 单值由反函数求导法则知 : d ln z dz 1 1 w d z dw 14

15 对数函数的对数函数各分支在除去原点及复实轴的平面内解析, 并且有相同的导数值若无特殊声明, 在应用对数函数 Lnz 时, 指的都是在除去原点及复实轴的复平面内对数函数的某一分支例 1 求 Ln(-1) 以及其相应的主值 [ 解 ] Ln(-1)ln -1 +iarg(-1) 0+ i(1+2k) π i(1+2k) π 15

16 对数函数三种对数函数的联系与区别函数单值与多值定义域注解 ln x 单值所有正实数 Lnz 多值所有非零复数一个单值分支为 ln z ln z 单值所有非零复数 z x> 0时为 ln x 16

17 17

18 幂函数定义 :a 是任意复数, 则 z 的 a 次幂函数为 wz a alnz, (z 0) Not1: 若 a R +, 且 z0, 定义 z a 0 Not2: w alnz alnz 2i akπ wz a 一般不单值若 a 为整数,wz a 单值, 且等于 z n inargz 此时幂函数复平面内单值解析, 且 (z n ) n z n-1 若 a 为 1/n(n 是整数 ), 幂函数是一个 n 值函数此时幂函数在除去原点及复实轴的复平面内单值解析, 且 (z 1/n ) ( 1/nLnz ) 1/n z 1/n-1 若 a 为无理数或复数时, 幂函数为为穷多值函数其各个分支在除去原点及负实轴的复平面内解析, 且有 (z b ) bz b-1 18

19 回顾欧拉公式 : cos sin x x ix ix + 2 2i 三角函数和双曲函数 ix ix cosx + i sin x Not1:cosz 及 sinz 仍是单值函数 Not2:cosz 仍是偶函数,sinz 仍是奇函数 ix 推广至自变量取复值 Not3: 三角函数仍以 2π 为周期复数域三角函数定义 cos sin z z iz iz + 2 2i iz iz 19

20 三角函数和双曲函数 Not4: 三角函数在复平面内处处解析 (cosz) -sinz ; (sinz) cosz Not5: 三角函数的零点 zπ/2+kπ,cos z0 zkπ,sin z0 Not6: Not7: Not8: sin( z ± z ) sin z cos z ± cos z sin z cos( z ± z ) cos z cos z sin z sin z sin z + cos z 1 sin z 1 cos z 1 20

21 其他三角函数定义三角函数和双曲函数 tan z cot z sc z csc z sin cos cos z z z sin z 1 cos z 1 sin z 周期性? 奇偶性? 解析性? 21

22 定义双曲余旋三角函数和双曲函数以 2πi 为周期偶函数复平面解析, 且 (chz) shz 双曲正旋以 2πi 为周期奇函数复平面解析, 且 (shz) chz chz shz 双曲正切 thz z z z z z z z z 22

23 三角函数和双曲函数 Not1: 当 z 为实数时, 的双曲函数返还成实变函数的双曲函数 ; Not2: 三角函数与双曲函数 iy iy + chiy cos y 2 iy iy shiy isin y 2 y y + cosiy chy 2 y y sin iy is hy 2i c os z cos xchy i sin xshy s in z i cos xshy+ sin xchy 23

24 反三角函数和反双曲函数反三角函数三角函数的反函数令 zcosw, 则 w 称为 z 的反余旋函数记作 warccosz [ 解 ] 由 zcosw 可得 iw 的二次方程 i2w iw 2z Arc z w iln z z 2 cos ( + 1) iw 2 z+ z 1 24

25 反三角函数和反双曲函数 Not:Arccosz 是多值函数反映了 cosw 的偶性和周期性同理可定义及计算反正旋函数和反正切函数 Arc z w iln iz z 2 sin ( + 1 ) i 1+ iz Arctgz w Ln 2 1 iz 由类似步骤可得反双曲函数 Arshz w Ln z + z + 2 ( 1) Archz w Ln z + z 2 ( 1) 1 1+ z Arthz w Ln 2 1 z 25

26 例题例 2 求下列复数的对数 [ 解 ]1) 2) 1)wLn(2-3i); 2) wln(-2+3i) 2 2 z arg z arctan w Lnz ln13 + i(2 kπ arctg ) z arg z π arctan w lnz ln13 + i( π arctg )

27 例题例 3 求 [ 解 ] 2 1, i i 1 2 2Ln1 2 (ln1+ iarg1) i2 2kπ i i ilni i(ln1 + iargi) π ( + 2 kπ ) 2 27

28 例题例 4 证明 sin z sin z sin( z ± z ) sin z cos z ± cos z sin z [ 证 ] cos z 1 2 cos z 2 1 sin( z ± z ) 1 2 iz1 iz1 iz2 iz2 ( )( ) + 4i iz2 iz2 iz1 iz1 ( )( ) + 4i 2i i( z ± z ) i( z ± z ) i i( z + z ) i( z + z ) i( z z ) i( z z ) i i( z + z ) i( z + z ) i( z z ) i( z z ) sin( z ± z ) sin z cos z ± cos z sin z

29 下讲内容提要积分 (I) 积分的概念柯西 - 古萨基本定理闭路变形定理 29

30 作业 P

31 31

场论与复变函数主讲徐乐 2016年11月17日星期四

场论与复变函数主讲徐乐 2016年11月17日星期四场论与主讲徐乐 2016年11月17日星期四 v 课程的教学目标与任务是高等学校工科类专业的一门重要的基础理论课是研究复变量函数的分析课程 v 通过本课程的学习使学生掌握的基本理论与方法了解在后续数学课程 ( 如积分变换数学物理方程 ) 中的应用以及在解决实际问题中的应用培养学生应用的知识解决本专业实际问题的能力 v 本课程与其它课程的联系和分工是介于基础理论和工程技术的中间课程