JYGS.S72

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1 教育部高等职业教育基础课规划教材教育部国家级精品课程系列教材 高等数学 ( 上册 ) 中国高等教育学会组编 侯风波 总主编 张益池张国勇 主编 北京

2 内容简介本书是教育部高等职业教育基础课规划教材之一, 是作者在经过多年教学实践并吸收我国 十五 期间高职高专工科类高等数学教改成果的基础上编写而成的 主要内容包括数学软件包 MATLAB 函数 极限与连续 导数与微分 一元函数微分学应用 不定积分 定积分及其应用 本书可作为高职高专院校工科类各专业通用高等数学教材, 也可作为工程技术人员更新高等数学知识的自学用书 图书在版编目 (CIP) 数据高等数学 ( 上册 )/ 中国高等教育学会组编. 北京 : 科学出版社, 5 ( 教育部高等职业教育基础课规划教材, 教育部国家级精品课程系列教材 ) ISBN Ⅰ. 高 Ⅱ. 中 Ⅲ. 高等数学高等学校 : 技术学校教材 Ⅳ. O3 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (5) 第 号责任编辑 : 李振格褚方辉 / 责任校对 : 耿耘责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 邾根标 科 学出版 社出版 北京东黄城根北街 6 号 邮政编码 : 77 sc ien cep. com 双 青印刷 厂印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 * 5 年 6 月第 一 版 开本 :787 9 / 6 6 年 6 月第五次印刷印数 :6 46 印张 : 字数 :5 定价 :. 元 ( 含光盘 ) ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 环伟 ) 销售部电话 编辑部电话 (VZ6)

3 前 言 教材作为学校教学内容和教学方法的知识载体, 在深化教育教学改革 全面推进素质教育 培养创新人才中有着举足轻重的地位 随着高等教育的蓬勃发展, 高校教学改革在不断地深入进行 为了适应我国高等职业教育学制 3 转 的要求和高等职业教育培养高技能人才的需要, 更好地贯彻中共中央 国务院 关于进一步加强人才工作的决定 和教育部等七部门 关于进一步加强职业教育工作的若干意见 的有关精神, 在认真总结全国高职高专院校工科类专业高等数学课程教学改革经验的基础上, 中国高等教育学会组织编写了教育部高等职业教育基础课规划教材丛书, 本书就是其中之一 在本书的编写过程中我们遵循以下原则 :. 注重以实例引入概念, 并最终回到数学应用的思想, 加强学生对数学的应用意识和兴趣, 培养学生用数学的原理和方法消化吸收工程概念和工程原理的能力 消化吸收专业知识的能力 加强数学建模教学内容, 将工程问题转化为数学问题的思想贯穿各章, 并注意与实际应用联系较多的基础知识 基本方法和基本技能的训练, 但不追求过分复杂的计算和变换. 缓解课时少与教学内容多的矛盾, 恰当地把握教学内容的深度和广度, 不过分追求理论上的严密性, 尽可能显示微积分的直观性与应用性, 适度注意保持数学自身的系统性与逻辑性 3. 注意数学软件包 MATLAB 的引入, 并注意将其结合具体教学内容分散在各章中, 力求做到易教 易学 易懂 4. 充分考虑高职高专学生特点, 以符合高职高专学生的认知结构, 便于学生自学 在内容处理上兼顾对学生抽象概括能力 逻辑推理能力 自学能力以及较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题 解决问题的能力的培养 对课程的每一主题都尽量从几何 数值和解析三个方面加以体现, 避免只注重解析推导 5. 注意有关概念及结果实际情况的解释, 力求表述确切 思路清晰 通俗易懂, 并注重数学思想与方法的阐述 注意培养学生的综合素质, 体现数学课程改革的新思路 数学教学不仅要具备工具功能, 而且还要具备思维训练和文化素质教育的功能, 也就是要立足于综合素质教育, 重视培养学生的科学精神 创新意识和综合运用数学解决实际问题的能力 6. 在每章或每节开始用尽可能短的语言点题, 使读者了解本章或本节所研究的问题的来龙去脉, 以起到承上启下的作用, 增加可读性 全书分为上下两册, 第 章到第 8 章为上册, 教学学时不少于 7 学时, 为两年制高职学生必学, 主要内容包括数学软件包 MATLAB 函数 极限与连续 导数与微分 一元函数微分学应用 不定积分 定积分和定积分的应用 ; 第 9 章到第 4 章为下册, 教学学时不少于 6 学时 参加本书编写的有候风波 ( 承德石油高等专科学校 ) 张益池 ( 浙江省湖州职业技术

4 高等数学 ( 上册 ) 学院 ) 张国勇 ( 福建交通职业技术学院 ) 卢强 ( 三峡职业技术学院 ) 冯文丽 ( 山西综合职业技术学院 ) 吕中华 ( 安徽广播影视职业技术学院 ) 林娇燕 ( 广东水电职业技术学院 ) 赵庆樱 ( 云南交通职业技术学院 ) 李秀梅 ( 山东淄博职业学院 ) 和王秀芬 ( 山东淄博职业学院 ) 任树联 徐荣辉 蔡谋全也参加了本书的编写工作 本书框架结构 编写大纲及最终审定由侯风波完成 由于侯风波及各位老师的精心工作, 该书获得了良好的社会反响, 并于 4 年被教育部评为国家级精品教材 本书由侯风波任总主编, 张益池 张国勇任主编, 林娇燕 赵庆樱 卢强任副主编 由于编者水平有限, 时间也比较仓促, 书中难免有不妥之处, 我们衷心地希望得到广大读者的批评指正, 以使本书在教学实践中不断完善 iv

5 目 录 第 章数学软件包 MATLAB 简介. MATLAB 基础知识.. MATLAB 的安装和启动.. MATLAB 命令窗口的使用.. 3 MATLAB 的运算符 3 思考题. 4 练习题. 4. MATLAB 的符号计算 4.. 符号对象的生成 4.. 符号计算中的基本函数 符号计算举例 5 思考题. 9 练习题. 9 第 章函数. 函数及其性质.. 函数的概念.. 函数的几种特性 4 思考题. 5 练习题. 5. 初等函数 6.. 基本初等函数 6.. 复合函数 初等函数 7 思考题. 8 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示. 4 用 MATLAB 进行函数运算 思考题. 4 3 练习题. 4 3 第 3 章极限与连续 4 3. 极限 函数的极限 左极限与右极限 6

6 高等数学 ( 上册 ) 无穷小量与无穷大量 极限的性质 9 思考题 3. 9 练习题 极限的运算 极限的四则运算法则 两个重要极限 无穷小的比较 34 思考题 练习题 函数的连续性 函数的连续性定义 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 38 思考题 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 用 MATLAB 求极限 43 思考题 练习题 第 4 章导数与微分 45 vi 4. 导数的概念 两个实例 导数的概念 求导举例 可导与连续 5 思考题 4. 5 练习题 求导法则 函数的和 差 积 商的求导法则 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 基本初等函数的求导公式 三个求导方法 高阶导数 56 思考题 练习题 微分及其在近似计算中的应用 两个实例 58

7 目 录 微分的概念 可微的充要条件 微分的公式与运算法则 复合函数的微分 微分在近似计算中的应用 6 思考题 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 用 MATLAB 进行求导运算 65 思考题 练习题 第 5 章导数的应用 罗比塔法则 67 思考题 练习题 拉格朗日中值定理及函数的单调性 拉格朗日中值定理 函数的单调性 7 思考题 5. 7 练习题 函数的极值与最值 函数的极值 函数的最值及应用 76 思考题 练习题 * 5. 4 曲率 曲率的概念 曲率的计算 曲率圆和曲率半径 8 思考题 练习题 函数图形的凹向与拐点 曲线的凹向及其判别法 曲线的拐点 曲线的渐近线 作函数图形的一般步骤 84 思考题 练习题 例题与练习 86 vii

8 高等数学 ( 上册 ) 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 用 MATLAB 做导数应用题 89 思考题 练习题 第 6 章不定积分 9 6. 不定积分的概念及性质 不定积分的概念 不定积分的性质 不定积分的基本积分公式 94 思考题 练习题 不定积分的积分法 换元积分法 分部积分法 98 思考题 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 3 第 7 章定积分 5 viii 7. 定积分的概念与性质 两个实例 定积分的概念 定积分的几何意义 定积分的性质 8 思考题 7. 9 练习题 微积分基本公式 7.. 变上限的定积分 7.. 微积分基本公式 思考题 7. 练习题 定积分的积分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 4 思考题 练习题 广义积分 无穷区间上的广义积分 5

9 目 录 * 被积函数有无穷间断点的广义积分 6 思考题 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 9 第 8 章定积分的应用 8. 定积分的几何应用 8.. 定积分应用的微元法 8.. 用定积分求平面图形的面积 * 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积 3 * 用定积分求平面曲线的弧长 3 思考题 8. 4 练习题 定积分的物理应用 5 思考题 8. 7 练习题 例题与练习 例题精选 综合练习 综合练习答案与提示 用 MATLAB 做一元函数的积分 3 思考题 练习题 附录 A 初等数学常用公式 3 附录 B 常用的基本初等函数的图像和性质 36 附录 C 部分练习题答案与提示 39 主要参考文献 46 i

10 第 章数学软件包 MATLAB 简介 现代科学技术的基础 数学的重要性已日益深入人心. 如何突破传统数学研究的束缚, 使用更先进的手段来研究数学, 一直是数学工作者梦寐以求的事. 随着计算机科学的诞生, 计算机代数系统 ( 也称数学软件包 ) 便应运而生了. 目前, 广泛使用的通用数学软件包主要有 MATLAB Mathematic Maple 等, 本章将对 MATLAB 及其数学应用 ( 主要是符号计算 ) 进行简单介绍.. MATLAB 基础知识 MATLAB 是由美国新墨西哥大学计算机科学系主任 Cleve Moler 教授及其同事合作研制的.984 年, 他们成立了 Math Works 公司, 并将 MATLAB 正式推向市场. 经过这些年的不断研究,MATLAB 的功能不断增加, 版本也在不断地提高, 目前已发展到 MAT- LAB7.. MATLAB 系统主要包括 MATLAB 语言 MATLAB 工作环境 MATLAB 图形处理系统 MATLAB 数学函数库和 MATLAB 应用程序接口 5 个部分. 它具有强大的数值计算能力 优秀的符号演算功能 方便灵活的绘图功能 高效实用的编程功能 友好的用户界面和实用的帮助功能等特点. Math Works 公司的网址是 www. mathworks. com, 读者可以经常浏览访问, 了解 MATLAB 的最新动态... MATLAB 的安装和启动 MATLAB 软件的安装同一般的 Windows 软件的安装一样, 只要将 MATLAB 安装光盘插入光驱, 就会自动运行安装程序, 用户只要按照屏幕提示操作就可以逐步完成安装. 安装成功后, 在 Windows 桌面上自动建立一个 MATLAB 的快捷图标. 只需双击桌面上的 MATLAB 快捷图标, 就可以启动 MATLAB, 打开如图.. 所示的操作桌面. 操作桌面上窗口的多少与设置有关, 图.. 所示的操作桌面为默认情况, 前台有 3 个窗口 : 左上角的窗口为交互界面分类目录窗 Launch Pad( 前台 ) 和工作空间浏览器 Wo rkspace( 后台 ), 其中交互界面分类目录窗显示 MATLAB 的启动目录, 工作空间浏览器显示工作空间里保存的所有变量 ; 左下角的窗口为历史指令窗 Command History ( 前台 ) 和当前目录浏览器 Current Directory( 后台 ), 其中历史指令窗显示曾经在命令窗口里输入过的命令, 当前目录浏览器显示当前路径下文件夹内保存的所有文件 ; 右边的窗口为命令窗口 Command Window, 通过在命令窗口输入各种不同的命令来实现 MATLAB 的各种功能.

11 高等数学 ( 上册 ) 图.. MATLAB 的操作桌面.. MATLAB 命令窗口的使用 MATLAB 命令窗口默认地位于 MATLAB 桌面的右方, 如果用户希望得到脱离操作桌面的几何独立的命令窗口, 只要点击命令窗口右上角的键, 就可以获得如图.. 所示的命令窗口. 图.. 独立的命令窗口及两个例子的运行情况 在 MATLAB 命令窗口直接输入命令, 再按回车键, 则运行并显示相应的结果. 在命令窗口里适合运行比较简单的程序或者单个的命令, 因为在这里是输入一个语句就解释执行一个语句. 在图.. 中可以看到两个例子的运行情况, 另外还要注意以下几点. () 命令行的 头首 的 > > 是 MATLAB 命令输入提示符.

12 第 章数学软件包 MATLAB 简介 () 在程序中, % 后面为注释内容. (3)ans 是系统自动给出的运行结果变量, 是英文 answer 的缩写. 如果我们直接指定变量, 则系统就不再提供 ans 作为运行结果变量. (4) 当不需要显示结果时, 可以在语句的后面直接加分号... 3 MATLAB 的运算符 MATLAB 的运算符都是各种计算程序中常见的习惯符号, 可以分为三大类别 : 算术运算符 关系运算符和逻辑运算符. 算术运算符是构成数学运算的最基本的操作命令, 在 MATLAB 的命令窗口中可以直接运行, 具体功能如表.. 所示. 表.. 算术运算符 运算符 功能 运算符 功能 + 相加 - 相减 * 标量数相乘 矩阵相乘 / 标量数右除 矩阵右除 ^ 标量数乘方 矩阵乘方 \ 标量数左除 矩阵左除 这些运算符的使用和在算术运算中几乎一样, 但是需要注意 :MATLAB 中所有的运算定义在复数域上 ; 对于方根问题, 运算只返还处于第一象限的那个解 ;MATLAB 书写表达式的规则与手写算式相同. 关系运算符主要用来比较数 字符串 矩阵之间的大小或相等关系, 其返回值为 或. 若为, 则表示进行比较的两个对象之间的关系为真 ; 若为, 则表示进行比较的两个对象之间的关系为假. 关系运算符的含义如表.. 所示. 表.. 关系运算符 运算符 含义 运算符 含义 运算符 含义 > 大于 < 小于 >= 大于等于 <= 小于等于 = = 等于 ~ = 不等于 注意 : 标量可以与任何维数组进行比较 ; 数组之间的比较必须同维 ; 关系运算符 = = 与赋值运算符 = 不同, 关系运算符 = = 是判断两个对象是否具有相等关系 ( 如有相等关系, 则运算结果为, 否则为, 而赋值运算符 = 是用来给变量赋值的. 逻辑运算符主要用来进行逻辑量之间的运算, 其返回值为 或. 若为, 则表示逻辑关系为真 ; 若为, 则表示逻辑关系为假. 逻辑运算符的含义如表.. 3 所示. 表.. 3 逻辑运算符 运算符 含义 运算符 含义 运算符 含义 运算符 含义 & 与 和 或 ~ 非 否 or 异或 3

13 高等数学 ( 上册 ) 注意 : 标量可以与任何维数组进行逻辑运算, 运算比较在此标量与数组每个元素之间进行, 因此运算结果和参与运算的数组同维 ; 数组之间的逻辑运算必须同维, 运算在两数组相同位置上的元素之间进行, 运算结果与参与运算的数组同维. 在所有逻辑表达式中, 作为输入的任何非 数都被看作是逻辑真, 而只有 才被认为是逻辑假. 思考题.. 在 MATLAB 的命令窗口中分别用大小写输入相同的命令, 结果会一样吗?. MATLAB 中的算术运算符的使用与算术运算中几乎一样, 你能按计算的先后次序排列出来吗? 练习题.. 请尝试使用 View 菜单中的各栏项目, 并熟悉它们的功能.. 分析在 MATLAB 的命令窗口中输入 8^( / 3) 后按回车键所得到的结果. 3. 在 MATLAB 的 M 文件编辑器中编写一个 M 脚本文件并保存.. MATLAB 的符号计算 MATLAB 提供了强大的符号计算功能, 这些功能都是通过 MATLAB 中的符号运算工具箱来实现的. 涉及符号计算的命令使用 运算符操作 计算结果可视化 程序编制等, 都是十分完整和便捷的... 符号对象的生成在代数中, 计算表达式的数值必须对所用的变量事先赋值, 否则该表达式无法计算. MATLAB 的符号运算工具箱沿用了数值计算的这种模式, 规定 : 在进行符号计算时, 首先要定义基本的符号对象 ( 可以是常数 变量和表达式 ), 然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式, 进而从事所需的符号运算. 在运算中, 凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象. 定义基本符号对象的命令主要有两个 :sy m() 和 syms. 它们的常用格式如下 : y = sy m( argv ) 把字符串 argv 定义为符号对象 y, 只定义单个对象 syms argv argv 把 argv,argv 定义为符号对象 ( 对象之间用空格符隔开 ) 当然, 也可以用单引号来生成符号对象. 例如 : >> f = ep() % 用单引号生成符号表达式 >> g = sym( a + b = ) % 用命令函数 sym() 生成符号方程 >> syms y z % 用命令函数 syms 生成符号表达式,y,z >> =[,,3] % 生成符号数组 >> y = sin() % 生成符号数组 >> z = + y % 生成符号数组.. 符号计算中的基本函数 MATLAB 提供了大量的数学函数, 由于本书主要介绍 MATLAB 的符号计算在高等数学中的应用, 因此, 只就一些常用的函数命令进行说明. 常用的数学函数有 : 4

14 第 章数学软件包 MATLAB 简介 三角函数有 sin (),cos(),tan(),cot(),sec(),csc() 反三角函数有 asin(),acos(),atan(),acot(),asec(),acsc() 双曲与反双曲函数有 sinh(),cosh(),tanh(),,asinh(),acosh(),atanh(), 幂函数有 ^a( 的 a 次幂 ),sqrt()( 的平方根 ) 指数函数有 a^ (a 的 次幂 ),ep()(e 的 次幂 ) 对数函数有 log()( 自然对数 ),lo g()( 以 为底的对数 ),log()( 以 为底的对数 ) 其他数学函数有 abs()( 绝对值 ) 等这些函数本质上是作用于标量的, 如果作用于矩阵或数组, 则表示作用于其上的每一个元素. MATLAB 还有许多函数, 如果需要, 可以通过以下命令来列出. help elfun % 初等数学函数的列表 help specfun % 特殊函数的列表 help elmat % 矩阵函数的列表.. 3 符号计算举例 MATLAB 符号计算的特点主要有 : 运算以推理解析的方式进行, 因此不受计算误差积累问题的困扰 ; 符号计算, 或给出完全正确的封闭解, 或给出任意精度的数值解 ( 当封闭解不存在时 );3 进行符号计算的命令的调用比较简单, 与经典教科书公式相近. 本小节将通过例子来讲解有关命令的使用.. 计算计算是 MATLAB 中最简单的计算器使用法, 只要在命令窗口中直接输入需要计算的式子, 然后按回车键即可, 就像使用计算器一样方便. sin π 例 计算表达式 (4 + ) 和的值. + 5 解 >> clear >> syms y % 用来声明 个符号变量 >> = *4^ - /(4 + ) = 3 >> y =(*(sin(pi/ 3)))/ ( + sqrt(5)) y =

15 高等数学 ( 上册 ) 这里 > > 是 MATLAB 命令输入提示符,clear 是清除内存中保存的变量 ( 为了养成 好的习惯, 请每次在程序开头输入 ).. 代数运算 代数符号运算是 MATLAB 符号运算中的一个基本功能, 使用它, 可以很轻松地进行 因式分解 化简 展开和合并等. 相关命令的格式如下 : factor(y) simple(y) epand(y) collect(y,v) 对符号表达式 y 进行因式分解 对符号表达式 y 进行化简, 可多次使用 对符号表达式 y 进行展开 例 将式 - a 进行因式分解. 对符号表达式 y 中指定的符号对象 v 的同幂项系数进行合并 解 - a 中除 外还含有其他自由变量. >> clear >> syms a y >> y = ^ - a^; >> y = factor(y) y = 例 3 化简 解 ( - a)*( + a) 3 >> clear >> syms y >> y =(/ ^3 + 6/ ^ + / + 8)^( /3); >> y = simple(y) y = (* + )/ % 一次使用命令 simple() 后的结果, 但不是最简形式 >> y = simple(y) % 再次使用命令 simple() y = + / 注意 : 多次使用命令 sim ple() 可以得到最简的表达形式. 3. 解方程 在 MATLAB 符号运算中, 可以用命令函数 solve() 来求解符号方程和方程组, 其具体 格式如下 : solve( eqn, eqn, eqn3,, var, var, var3, ) 命令中的参数 eqn 为方程组的第一个方程, 其他的以此类推 ; 参数 var 为方程组中 第一个变量的声明, 其他的以此类推, 如果没有变量声明, 则系统会按人们的习惯确定符 号方程中的待解变量. 6 例 4 解下列方程 : () = ; () 3 + y - 6 =, - y - =.

16 第 章数学软件包 MATLAB 简介 解 () =. >> clear >> = solve( ^ = ) = [- ] [ 3] 由于没有变量声明, 系统自动把 确定为符号方程中的待解变量, 该方程有两个解. () 3 + y - 6 =, - y - =. >> clear >> syms y >> [,y]= solve( 3* + y - 6 =, - *y - = ) = y = 由于没有变量声明, 系统自动把,y 确定为符号方程组中的待解变量. 4. 函数计算和作图 我们知道, 函数值的计算 函数图像的绘制对理解函数的性质有很大的帮助, 而计算 和绘图正是 MATLAB 最擅长的项目. 计算函数值时, 只要直接输入就行, 而绘制符号函 数的图像时, 常用命令函数 fplot() 和 ezplot() 来完成. 具体的格式如下 : 手册. fplot(f,s) 在 s 声明的绘图区间上作符号函数 f 的图像 ezplot(f) 在默认的绘图区间上作符号函数 f 的图像 MATLAB 的其他绘图命令的用法与上述命令使用类似, 请参阅 MATLAB 使用 例 5 已知函数 y = arccos(ln ), 求该函数在自变量 等于 解 >> clear >> syms y >> =[ /ep(),,ep()] = >> y = acos(log()) y = 例 6 作出下列函数的图像 : () y = 3 ; ()y = sin ; (3)y = cos. 解 ()y = 3 ; ()y = sin. >> clear >> s =[-,]; % 声明绘图区间 e e 处的函数值. 7

17 高等数学 ( 上册 ) >> s =[-pi,pi]; >> fplot( ^3,s) >> figure,fplot( sin(),s) 运行结果如图.. 和图.. 所示. 其中命令 figure 是强制 MATLAB 生成一个新的绘图窗口, 如果在程序中不加这个命令, 则后一次绘的函数图像会覆盖前一次绘的函数图像. 图.. 函数 y = 3 的图像 图.. 函数 y = sin 的图像 (3)y = cos. >> clear >> ezplot( cos() ) 运行结果如图.. 3 所示. 8

18 第 章数学软件包 MATLAB 简介 图.. 3 函数 y = cos 的图像 MATLAB 的符号运算在数学中的应用非常广泛. 由于篇幅有限,MATLAB 在初等数 学中其他方面的应用, 请读者参阅 MATLAB 使用手册, 至于它在高等数学中的应用, 将 在以后各章中分别加以介绍. 思考题.. 为什么要在程序中使用命令 clear?. 请给出运行下列语句后的结果 : >> clear >> sum = ; >> for n = :; sum = sum + n; end >> sum 3. 命令 simplify () 也是用于化简, 请使用它重做例 3, 看结果是否一样, 从中能得到 什么结论? 练习题.. 计算下列各式的值 : ()4 - lo g ; ()sin π 3 + cos π 4 - π cot 6.. 将下列各式进行因式分解 : () ; () + y - 6 y y 化简下列各式 : () cos t ; () - + sin t + + sin t. cos t 9

19 高等数学 ( 上册 ) 4. 解下列方程 : () = ; () y = y+ 6, = y 已知函数 f ()= , 求 f(),f - a,f (t ). 6. 作出下列函数的图像 : ()y = ln ( + )+ ; ()f (,y)= + y

20 第 章函 数 现实世界中, 存在着各种各样不停地变化着的量, 它们之间相互依赖 相互联系. 函数就是对各种变量之间相互依赖关系的一种抽象, 是微积分研究的基本对象, 因而是高等数学中最重要的概念之一. 中学里已经学习过函数概念, 本章将在这基础上对函数进行复习 巩固和提高.. 函数及其性质 函数的概念在 7 世纪之前一直与公式紧密关联, 到了 837 年, 德国数学家狄利克雷 (85~ 859 年 ) 抽象出了至今仍为人们易于接受且较为合理的函数概念... 函数的概念. 函数的概念定义 设 和 y 是两个变量,D 是一个非空实数集. 如果对于数集 D 中的每一个数 按照一定的对应法则 f 都有唯一确定的实数 y 与之对应, 则称 y 是定义在数集 D 上的 的函数, 记作 y = f(), D, 其中 D 称为函数的定义域, 称为自变量,y 称为函数 ( 或因变量 ). 如果对于确定的 D, 通过对应法则 f, 函数 y 有唯一确定的值 y 相对应, 则称 y 为 y = f() 在 处的函数值, 记作 y = y = = f ( ). 函数值的集合称为函数的值域, 记作 M. 定义域和对应规则是函数的两个要素, 而函数的值域由定义域和对应规则来确定. 下面, 对函数概念的有关问题作进一步的解释. () 函数 表达了因变量与自变量的一种对应规则, 这种对应规则用字母 f 来表示. 因此 f 是一个函数符号,y = f () 绝不意味着 y 等于 f 乘以. 它表示当自变量取值为 时, 因变量 y 的取值为 f(). 例如, 对于函数 y = f()= + 3-5,f 表示运算 () + 3()- 5, 于是,f ()= = - 5,f (π)=π + 3π -5 等. 一般可以把函数理解成一种变换, 即函数 f 把自变量 的值变成相应的 y 值, 这可以用如图.. 所示的框图来表示. 即可通俗地把函数看成是一部机器, 定义域 D 中的一个数值 进入机器被函数 f 作用后, 就被加工为值域中的数 f (). () 函数的定义域是函数的另一个要素, 给定一个函数, 就意味着其定义域是同时给

21 高等数学 ( 上册 ) 图.. y = f() 的框图 定的, 如果所讨论的函数来自某个实际问题, 则其定义域必须符合实际意义 ; 如果不考虑 所讨论的函数的实际背景, 则其定义域应使得它在数学上有意义. 为此要求 : 分母不能为零. 偶次根号下非负. 3 对数的真数大于零. 4 正切符号下的式子不等于 kπ + π,k Z. 5 余切符号下的式子不等于 kπ,k Z. 6 反正弦 反余弦符号下的式子绝对值小于等于. (3) 如果两个函数的对应规则相同, 定义域也相同, 则这两个函数是相同的, 否则就 是不同的. 例如函数 y = 与 y = t, 虽然这两个函数的自变量的记号不同, 但它们的 对应规则相同, 定义域也相同, 因此这两个函数是相同的 ; 而函数 f()= lg 与 g()= lg, 从形式上看似乎相等, 但它们的定义域不同, 其中 f () 的定义域是 (-,) (, + ), 而 g() 的定义域是 (,+ ). 因此,f () 和 g() 是两个不同的函数. (4) 本书上册只讨论含有一个自变量的函数, 称之为一元函数. 含有两个自变量的函 数称为二元函数, 可记为 f(,y),g(,y) 等 ; 含有三个自变量的函数称为三元函数, 可 记为 f (,y,z),g(,y,z) 等 ; 依此类推, 含有多于一个自变量的函数称为多元函数, 这 将在本书下册讨论. 例 设函数 f ()= , 求 f(),f (t ). 解因为 f () 的对应规则为 :() 3 - ()+ 3, 所以 f()= =, f(t )= (t ) 3 - (t )+ 3 = t 6 - t + 3. 例 确定函数 f ()= ln( - ) 的定义域. 解对于 f (), 当 时,f () 有意义, 即 < 3, 所以函数的定义域 - > 为 (,3]. 例 3 已知 f ( + )= - +, 求 f(). 解令 + = t, 则 = t -, 从而 f (t)= (t - ) -(t - )+ = t - 3 t + 3, 所以 f ()= 函数的表示法 函数通常有三种不同的表示方法 : 公式法 表格法和图像法.

22 第 章函 数 公式法 : 用数学式子表示函数, 也称解析法, 其优点是便于理论推导和计算. 表格法 : 以表格形式表示函数, 优点是所求函数值容易查得. 如三角函数表 对数表等. 图像法 : 用图形表示函数, 优点直观形象, 可看到函数变化趋势. 此方法在工程技术上应用较普遍. 3. 分段函数有些函数虽然也可用数学式子表示, 但它们在定义域的不同的范围内有不同的表达式, 这样的函数叫做分段函数. 例 4 我国最初关于个人所得税交纳金额有如下规定 : () 月收入在 8 元以下者 ( 含 8 元 ), 不交纳所得税. () 月收入在 8 元到 5 元者 ( 不含 8 元, 含 5 元 ) 交纳 8 元以上部分的 5%. (3) 月收入在 5 元到 3 元者 ( 不含 5 元, 含 3 元 ) 除交纳 35 元以外, 还需交纳 5 元以上部分的 %. (4) 月收入在 3 元到 6 元者 ( 不含 3 元, 含 6 元 ) 除交纳 85 元以外, 还需交纳 3 元以上部分的 %. (5) 月收入在 6 元到 9 元者 ( 不含 6 元, 含 9 元 ) 除交纳 785 元以外, 还需交纳 9 元以上部分的 3%. (6) 月收入在 9 元到 元者 ( 不含 9 元, 含 元 ) 除交纳 685 元以外, 还需交纳 9 元以上部分的 4%. (7) 月收入在 元以上者 ( 不含 元 ) 除交纳 885 元以外, 还需交纳 元以上部分的 45%. 试分析月收入与所得税之间的函数关系. 解设某人月收入为 元, 应交所得税为 y 元, 则 : 当 8 元时,y = ; 当 8 < 5 时,y =( - 8) 5%; 当 5 < 3 时,y =( - 5) % +35; 当 3 < 6 时,y =( - 3) % +85; 当 6 < 9 时,y =( - 6) 3% +785; 当 9 < 时,y =( - 9) 4% +685; 当 > 时,y =( - ) 45% 因此, 所求的函数表示式为, 8,. 5( - 8), 8 < 5,. ( - 5)+ 35, 5 < 3, y =. ( - 3)+ 85, 3 < 6,. 3( - 6)+ 785, 6 < 9,. 4( - 9)+ 685, 9 <,. 45( - )+ 885, >. 3

23 高等数学 ( 上册 ), >, 例 5 设 f ()=, =, 求 f (),f () 和 -, <, f (- ). 解 f ()=,f ()=,f(- )= -. 注意 : 求分段函数的函数值时, 应先确定自变量取 值的所在范围, 再按相应的式子进行计算. 例 5 给出的函数称为符号函数, 记为 sgn, 其定义 域为 (-,+ ), 值域为 {-,,}, 它的图像如图.. 所示. 图.. 4. 反函数 定义 设 y = f() 为定义在数集 D 上的 的函 数, 其值域为 M. 若对于数集 M 中的每一个数 y, 数集 D 中都有唯一的数 使得 f()= y, 也就是说变量 是变量 y 的函数. 这个函数称为函数 y = f () 的反函数, 记为 = f - (y), 其定义域为 M, 值域为 D... 函数的几种特性. 奇偶性 设函数 y = f (), D 的定义域 D 关于原点对称. 如果对于任何 D, 都有 f (- )= f (), 则称 y = f () 为偶函数 ; 如果对于任何 D, 都有 f (- )= - f (), 则称 y = f() 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数, 称为非奇非偶函数.. 周期性 设函数 y = f(), D. 若存在非零实数 T, 使得对于任何 D, 都有 ± T D, 并且 f ( + T)= f (), 则称 y = f () 为周期函数, 称 T 为周期. 显然, 对一个周期函数来说, 若 T 为周期, 则对于任何一个整数 k,kt 也是该函数的 周期. 因为如果 f( + T)= f(), 那么就有 f ( + T)= f[( + T)+ T]= f ( + T)= f (), f ( + 3 T)= f[( + T)+ T]= f ( + T)= f(), 在周期函数的所有正周期中如果存在最小正数, 则称它为该函数的最小正周期. 通常 所说的周期函数的周期是指它的最小正周期. 3. 单调性 设函数 y = f (), D, 区间 I D. 如果对于任意的, I, 当 < 时, 有 f ()< f ( ), 则称函数 f () 在区间 I 上单调递增, 区间 I 称为单调增区间 ; 如果对于 任意的, I, 当 < 时, 有 f ( )> f( ), 则称该函数在区间 I 内单调递减, 区 4

24 第 章函 数 间 I 称为单调减区间. 单调递增或单调递减的函数统称为单调函数, 单调增区间或单调减区间统称为单调区间. 从图形来看, 递增就是当 自左向右变化时, 函数的图形上升 ; 递减就是当 自左向右变化时, 函数的图形下降, 如图.. 3 所示. 图.. 3 思考 : 如果函数 y = f () 的定义域为一个数集 D, 问函数 f () 可以在 D 上单调递增吗? 4. 有界性设函数 y = f ( ), D, 区间 I D. 若存在一个正数 M, 使得当 I 时, 有 f () M, 则称函数 f () 在 I 上有界 ; 如果不存在这样的正数 M, 则称函数 f () 在 I 上无界. 例如, 函数 f ()= sin 在 (-,+ ) 上有界, 因为 sin. 又如 f()= tan 在 - π 3,π 3 上有界, 而在 - π,π 上无界. 因此, 说一个函数是有界或无界, 应同时指出 其自变量的相应范围. 思考题.. 确定一个函数需要有哪几个基本要素?. f () 与 f ( ) 各有什么含义? 3. 思考函数的几种特性的几何意义? 练习题.. 求下列函数的定义域 : ()y = lg ; ()y = ln( - ).. 设 f ()= 4 +, 求 f(),f (),f (- ),f 3. 设 f ( + )= ( + )( + ), 求 f (). 4. 下列各对函数是否相同? 为什么? ()y = ln 3 与 y = 3ln ; ()y = 与 y =( ) ; a,f( ),f( + h). (3)y = sin 与 y = - cos ; (4)y = 与 y = sec - tan. 5

25 高等数学 ( 上册 ) 5. 求函数 y = 3 + 的反函数. 6. 讨论下列函数的奇偶性 : ()y = ln ( + + ); ()y = a - a + ; (3)y = ( + - ); (4)y = arcsin. 7. 讨论函数 y = ( - ) 在区间 [,] 上的单调性. 8. 下列函数中, 哪些是周期函数? 并指出其周期 : ()y = sin ; ()y = sin ; (3)y = cosπ ; (4)y = tan4.. 初等函数 数. 微积分学研究的主要对象是初等函数, 本节将介绍基本初等函数 复合函数及初等函.. 基本初等函数基本初等函数是指常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数. () 常数函数 : y = C, (-,+ )( 其中 C 是已知常量 ). () 幂函数 : y = α (α 为任意实数 ). (3) 指数函数 : y = a, (-,+ )(a >,a ). (4) 对数函数 : y = log a (a >,a ). (5) 三角函数 : 正弦函数 y = sin, (-,+ ); 余弦函数 y = cos, (-,+ ); 正切函数 y = tan, kπ + π,k =,±,± ; 余切函数 y = cot, kπ,k =,±,± ; 正割函数 y = sec, kπ + π,k =,±,± ; 余割函数 y = csc, kπ,k =,±,±. (6) 反三角函数 : 反正弦函数 y = arcsin, [-,],y - π,π ; 反余弦函数 y = arccos, [-,],y [,π]; 反正切函数 y = arctan, (-,+ ),y - π,π ; 反余切函数 y = arccot, (-,+ ),y (,π). 6

26 第 章函 数 这些函数统称为基本初等函数, 它们的性质和图像在中学数学里已经讨论过, 在此就不再 赘述. 对它们尚不够熟悉的读者, 可以参见附录 B... 复合函数 实际问题中, 常见的函数并非就是基本初等函数本身或仅仅由它们通过四则运算所 得到的. 如自由落体运动中, 物体的动能 E 是速度 v 的函数 E = mv, 而速度 v 又是时 间 t 的函数 v = gt, 因而, 动能 E 通过速度 v 的关系, 成为时间 t 的函数 E = m (gt). 对 于这样的函数, 给出如下定义. 定义 设函数 y = f (u),u D 与函数 u =φ( ), D, 且值域为 U φ. 如果 Uφ D, 则对每一个 D, 有唯一的 u Uφ 与 对应, 由于 Uφ D, 因而 u D, 于 是有唯一的 y 与 u 对应, 从而得到一个以 为自变量,y 为因变量的函数. 这个函数称为 由函数 y = f (u),u D 与函数 u =φ(), D 复合而成的复合函数, 记为 y = f[φ()], D, 而变量 u 称为中间变量. 由定义知, 两个函数的复合过程实际上就是将一个函数代入另一个函数, 即将函数 u =φ() 代入函数 y = f (u), 从而得到复合函数 y = f[φ ()], D. 但要注意的是 : 若 U φ 不是 D 的子集, 而 U φ D Φ, 则这两个函数可以复合, 但复合函数的定义域仅 是 D 的真子集 ; 若 Uφ D =Φ, 则表示这两个函数不能复合. 例如,y = arcsin u 与 u = + 便不能复合成一个函数, 因为 u 的值域为 [,+ ) 与 y = arcsin u 的定义域 [-, ] 的交集为空集, 因而不能复合. 例 试求函数 y = u 与 u = cos 的复合函数. 解将 u = cos 代入 y = u 得复合函数 y = cos, (-,+ ). 例 求函数 y = u 与 u = - 的复合函数. 解将 u = - 代入 y = u 得复合函数 y = -, [-,]. 复合函数不仅可以有一个中间变量, 还可以有多个中间变量, 即可以由两个以上的函 数进行复合, 只要它们依次满足能够复合的条件. 另外, 复合函数可以是由基本初等函数 复合而成, 也可以是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数复合而成的. 这样, 复 合函数的合成与分解往往是针对简单函数的. 例 3 设 f ()= +,φ()= sin, 求 f[φ()]. 分析求 f[φ()] 时, 应将 φ() 作为 f() 的自变量. 解 f[φ()]= + sin. 例 4 指出复合函数 y = log a (sin + ) 是由哪些函数复合成的. 解 y = log a (sin + ) 是由 y = u,u = log a v 和 v = sin + 复合而成的... 3 初等函数 定义 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的, 并且能 7

27 高等数学 ( 上册 ) 用一个数学式子表示的函数, 叫初等函数 ; 否则, 不是初等函数. 例如 :y = ln sin,y = 数, 绝大多数是初等函数. 思考题.. y = 是复合函数吗?. 任意两个函数都可以复合成一个复合函数吗? 练习题.. 将下列函数分解成简单函数 : 3 + tan sin + - 等都是初等函数. 本书中所讨论的函 ()y = ln tan + ; ()y = e - + sin ; (3)y = ln[ln(ln )]; (4)y = - cos + ; (5)y = 3 + cos6 ; (6)y = cos [sin( + )].. 设 f ()= -, 求 f[f()],f{f[f ()]}. 3. 设 f (u) 的定义域是 (,], 求下列函数的定义域 : () y = f ( ); () y = f (ln ); (3) y = f (e - ); (4) y = f (arcsin ).. 3 例题与练习 本章主要介绍了函数的概念 ( 包括函数的定义及表示法 ), 函数的性质, 基本初等函数和初等函数. 本节将通过例题与练习的方式来进一步掌握和理解所学的知识.. 3. 例题精选例 判断下列各对函数是否相同, 为什么? () f ()= ln(4 - ) 与 g()= ln( + )+ ln( - ); () f ()= 与 g()=. 解 () 因为 f()= ln(4 - ) 的定义域为 4 - >, 即 - < <; 而 g( )= + > ln( + )+ ln( - ) 的定义域, 由解得 - < <, 因此,f () 与 g() 的定义 - > 域是相同的. 当 (-,) 时, 有 f ()= ln(4 - )= ln( + )+ ln( - )= ln( + )+ ln( - )= g(), 这说明 f () 与 g() 的对应规则也相同, 所以 f () 与 g() 是相同的函数. () 显然 f() 与 g() 的定义域都是 (-,+ ). 而函数 g()=, 从而当 时, 有 f()= g()= ; 当 < 时,f ()=, 而 g()= -. 故函数 f () 与 g() 是不同的函数. 例 求下列函数的定义域 : ()y = arcsin - 6 -, -, ; ()f()= 5 +, <. 8

28 第 章函 数 分析高等数学中, 所讨论的量 ( 无论常量还是变量 ), 都在实数范围内取值. 求函数 的定义域是在实数范围内, 求使函数表达式有意义的自变量的取值范围. 解 () 对于 6 -, 要求 6 - >, 即 < 6; 对于 arcsin - 6 5, 要求得 :. 取它们的公共部分, 得函数的定义域是 [,6). () 这是分段函数, 可以把两部分的定义域区间并在一起, 即为 [-,]. 例 3 已知 f ()= - +, 求 f (),f (),f (- ). 解 f () 表示对自变量 ( ) 作下列运算 f ()= -() + (), 从而 f()= -() - () -(- ) =, f ()= =, f(- )= +() + () +(- ) = + -. 例 4 指出下列各复合函数的复合过程 : () y = e ; () y = ln(sin 5 ); (3) y = sin -. 解 () y = e 是由 y = e u,u = 复合而成. () y = ln(sin 5 ) 是由 y = ln u,u = sin v,v = 5 复合而成. (3) y = sin - 是由 y = sin u,u = v,v = - 复合而成., 解 例 5 已知一有盖的圆柱形铁桶容积为 V, 试建立圆柱形铁桶的表面积 S 与底面半 径 r 之间的函数关系式. 解由题意知, 圆柱形铁桶的容积 V 是一个常数, 表面积 S 与底面半径 r 和桶高 h 都有关. 因为铁桶的容积不变, 由圆柱体的体积公式 V =π r h, 得 h = V π r, 于是, 通过中间变量 h, 可建立铁桶的表面积 S 与底面半径 r 的关系, 其关系式为 即. 3. 综合练习 S = π rh + π r S = V r. 下列各题中所给的函数是否相同? V = π r π r + π r, + π r ( < r <+ ). () y = - 4 与 y = - ; () y = 与 y = ; + (3) y = lg 与 y = lg ; (4) y = lg 3 与 y = 3lg ; (5) y = cos 与 y = - sin.. 求下列函数的定义域 : () y = 3 - ; () y = ; (3) y = lg + - ; (4) y = ; 9

29 高等数学 ( 上册 ) (5) y = arcsin( - 3 ); (6) y = tan. 3. 设 φ()= sin, < π 3,, π 求 φ π 3, 6,φ - π 4,φ(- ). 4. 若 f ()= ( - ),g()= lg, 求 f[g()],g[f ()],f ( ) 和 g( - ). 5. 指出下列各复合函数的复合过程 : () y = arcsin ; ()y = cos ( - 3 ); (3) y = ln[ln(ln )]; (4) y =( + lg ) 电路上某一点的电压等速下降, 开始时刻电压为 V,5s 后下降到 9V, 试建立该 点电压 U 与时间 t 的函数关系式. 7. 圆的内接正多边形中, 当边数改变时, 正多边形的面积随之改变, 试建立圆内接正 多边形的面积 A n 与其边数 n(n 3) 的函数关系式. 8. 某厂生产某种产品 6 吨, 定价为 5 元 / 吨, 销售量在不超过 8 吨时, 按原价 出售 ; 超过 8 吨时, 超过部分按 8 折出售. 试求销售收入与销售量之间的函数关系 综合练习答案与提示. () 不相同 ;() 相同 ;(3) 不相同 ;(4) 相同 ;(5) 不相同.. () - 3 ; ()(-,) (,) (,+ ); (3)(-,); (4)[-,) (,3) (3,+ ); (5), 3 ; (6) kπ,k Z. 3. φ π 6 = ;φ - π 4 = ;φ(- )=. 4. (lg - ) ;lg( - ) ;( - ) ;lg( - ). 5. () y = u,u = arcsin ; () y = u,u = cos v,v =( - 3 ); (3) y = ln u,u = ln v,v = ln ; (4) y = u 3,u =( + lg ). 6. U = t t [,]. 7. A n = nr sin π n. 8. y = 5, 8, + 4, 8 < 用 MATLAB 进行函数运算 在前一章中, 我们已经对用 MATLAB 进行函数运算有了一定的了解, 本节中我们将 通过例子进一步介绍它的其他一些应用.

30 第 章函 数 例 绘出下列函数的图像, 并根据图像判断函数的奇偶性和单调性 : () f ()= ; () f ()= sin +. 解 >> clear >> s =[-,]; >> fplot( ^4 / + ^ -,s) >> s =[-5,5]; >> figure,fplot( sin()+,s) 运行结果如图. 4. 与图. 4. 所示. 图. 4. 函数 f()= 的图像 图. 4. 函数 f()= sin + 的图像 结果分析 : 从绘出的函数图像中, 我们可以很容易的看出函数 f ()= 在区间 [-,] 上是偶函数, 在区间 [-,] 上是减函数, 在区间 [,] 上是增函数 ; 函数 f ()= sin + 在区间 [- 5,5] 上是奇函数, 在区间 [- 5,5] 上是增函数. 事实上函数 f ()= 在区间 (-,+ ) 上是偶函数, 在区间 (-,) 上是减函数, 在区

31 高等数学 ( 上册 ) 间 (,+ ) 上是增函数 ; 函数 f ()= sin + 在区间 (-,+ ) 上是奇函数, 在区间 (-,+ ) 上是增函数. 由于我们不可能在无限区间上绘图, 所以只能得出在某个区间上的结论. 例 求函数 y = cos 在区间 [,π] 上的反函数, 并作出它们的图像. 解先求反函数. >> clear >> syms y >> y = cos(); >> y = finverse(y) y = acos() 再作函数的图像. >> clear >> =. pi; >> y = cos(); >> plot(,y, -,y,, + ) 运行结果如图 所示. 图 函数 y = cos 及其反函数的图像 结果解释 : 程序中语句 y = finverse(y) 表示对缺省自变量求反函数 ; 语句 =. pi 定义横坐标 ; 语句 plot(,y, -,y,, + ) 表示作图, 其中函数 y = cos 的图像的线型使用的是实线, 其反函数的图像的线型使用的是加号. 例 3 若 f ()= ( - ),g()= ln, 求 f[g()] 和 g[f ()]. 解 >> clear >> syms f g fg gf >> f =( - )^; >> g = log(); >> fg = compose(f,g)

32 第 章函 数 fg = (log()- )^ >> gf = compose(g,f) gf = log(( - )^) 程序说明 : 程序中 log() 表示自然对数 ; 语句 fg = compose (f,g) 表示求复合函数 f[g()], 其中自变量由机器默认, 如果要指定自变量, 则必须在命令中增加参数. 思考题. 4. 例 与例 中的绘图命令有什么不同?. 参阅 MATLAB 使用手册, 对例 3 中的语句 fg = compose(f,g) 加以修改, 使它变成有指定自变量的命令. 练习题. 4. 绘出下列函数的图像, 并根据图像判断函数的奇偶性和单调性 : () f ()= lg( + + ); () f ()= e -.. 求函数 y = sin 在区间 - π,π 3. 已知 f ()= - +, 求 f[f()]. 上的反函数, 并作出它们的图像. 3

33 第 3 章极限与连续 极限是高等数学中的一个重要概念. 极限概念的产生源于解决实际问题的需要. 极限理论的确立, 使微积分有了坚实的逻辑基础, 并使微积分在当今科学的各个领域得以更广泛 更合理 更深刻的应用和发展. 当大家学完了高等数学之后, 就会深切感到极限概念是微积分的灵魂. 本章主要介绍极限的基本概念和方法, 并用极限的方法讨论无穷小及函数的连续. 3. 极限 极限的概念与求一些量的精确值有关, 它研究的是在自变量的某个变化过程中, 函数的变化趋势. 3.. 函数的极限. 当 时, 函数 f () 的极限 我们先从图形上观察一个具体的函数 f ()= ( 如图 3.. 所示 ), 当自变量 无 限增大时, 相应的函数值 f() 无限接近于常数. 这种情形称之为有极限, 定义如下. 图 3.. 定义 如果当 的绝对值无限增大时, 函数 f() 无限接近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为 函数 f () 当 趋向于无穷 ( 记为 ) 时的极限, 记为 f ()= A 或当 时,f() A. 由定义可知, 当 时,f ()= 的极限是, 即 f()= =. 如果 只能取正值 ( 或取负值 ) 趋于无穷, 则有 下面的定义. 定义 如果当 > 且无限增大时, 函数 f () 无限接近于一个确定的常数 A, 则 称常数 A 为函数 f () 当 趋向于正无穷 ( 记为 + ) 时的极限, 记为 + f ()= A 或当 + 时,f () A. 定义 3 如果当 < 且 的绝对值无限增大时, 函数 f () 无限接近于一个确定的 常数 A, 则称常数 A 为函数 f () 当 趋向于负无穷 ( 记为 - ) 时的极限, 记为 A 或 当 - 时,f () A. -

34 第 3 章极限与连续 π 例如, 函数 f()= arctan, 当 + 时, 对应的函数值 f () 无限接近于常数 ; 当 - 时, 对应的函数值 f () 无限接近于常数 - π ( 如图 3.. 所示 ), 可记为 + arctan = π 及 - arctan = - π. 由上述极限定义, 不难得到结论 : f()= A 的充分必要条件是 A 且 f ()= A. + - 图 3.. 图 例 求 e 和 e 解从图 可知 : e =, e - = 当 n 时, 数列 n 的极限 根据函数定义, 数列可以看作是定义在正整数集上的函数, 即 n = f (n),n N. 数 列极限可以看作当 + 时, 函数极限的特殊情况. 用记号 n 表示自变量 n 以 跳 跃 ( 只取正整数 ) 的方式实现趋于无穷的过程, 这样就可以得到下面的定义. 定义 4 如果当 n 时, 数列 n 无限接近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为数 列 n 的极限, 记为 n n = A 或当 n 时, n A. 例 观察下列数列的变化趋势, 写出它们的极限. () n = n ; () n = n ; (3) n = n - n + ; (4) n = C(C 为常数 ). 表 3.. n n = n n = n n = n - n n = C C C C C C C 5

35 高等数学 ( 上册 ) 解通过表 3.. 中列出的有限项, 分析以后各项随 n 增大而变化的特点, 考察当 n 时, 各数列的变化趋势. 由表 3.. 可以看出 : () n n = ; () n n = ; (3) n 有些数列的极限是不存在的, 比如数列 n = n n - = ; (4) C = C. n + n 当 n 时,n 也无限增大, 不能无 限接近于一个确定的常数 ; 又如 n =(- ) n 当 n 时, n 在两个数 与 - 上来回跳 动, 也不能无限接近于一个确定的常数. 根据数列极限的定义, 它们的极限都不存在. 3.. 左极限与右极限. 时,f () 的极限 看下面例子, 当 时, 函数 f ()= + 无限接近于 ( 如图 所示 ); 当 时,g()= - 无限接近于 ( 如图 所示 ). 函数 f ()= + 与 g()= - - 是两个不同的函数, 前者在 = 处有定义, 后者在 = 处无定义. 这就是说, 当 - 时, 函数 f() 和 g() 的极限是否存在与其在 = 处是否有定义无关. 图 图 定义 5 如果当 无限接近于定值 ( 可以不等于 ) 时, 函数 f () 无限接近于 一个确定的常数 A, 则称常数 A 为函数 f () 当 趋向于 ( 记为 ) 时的极限, 记 为 f ()= A 或 当 时,f () A. 由定义可知,( + )=,. 左极限与右极限 - - =, C = C, =. 上面讨论了当 时, 函数 f () 的极限, 其中 以任意方式趋向于, 但有时只 能或只需讨论 从 的左侧无限接近于 ( 记为 - ) 或从 的右侧无限接近于 6

36 第 3 章极限与连续 ( 记为 + ) 时, 函数的变化趋势. 对此, 给出下面的定义. 定义 6 如果当 - 时, 函数 f () 无限接近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为函数 f() 当 时的左极限, 记为 - f ()= A. 如果当 + 时, 函数 f () 无限接近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为函数 f () 当 时的右极限, 记为 f ()= A. + 左右极限统称为函数 f () 的单侧极限. 显然, 函数 f() 的极限与左 右极限有以下关系. f()= A 的充分必要条件是 + e 例 3 判断 是否存在. f ()= A, 且 - f()= A. 解当 + 时, +, 从而 e + ; 当 - 时, -, 从而 e 以, 当 时, 左极限存在而右极限不存在, 由充分必要条件可知 例 4 试求函数 f ()= 解因为 - 因为 - + (- < <) ( ) ( >) f ()= - ( + )=, 而 + f ()= 无穷小量与无穷大量. 无穷小量 =, 且 + f() 不存在 ; e 不存在. 在 = 和 = 处的极限. f()= =, 所以 + f ()= + =, 所以 f ()=. 定义 7 极限为零的量称为无穷小量, 简称无穷小.. 所 例如 : 函数 f ()= -, 当 时,f (), 因此, 函数 f ()= - 是当 时的无穷小 ; 函数 f ()= 是当 时的无穷小 ; 而 f ()= a (a >) 则是当 - 时的无穷小. 为零. 注意 :() 绝对值很小的常数, 不是无穷小. 常数中只有零是无穷小, 因为它的极限 () 不能笼统地说某个函数是无穷小, 必须指出自变量的变化过程. 因为无穷小是用 极限来定义的. 在自变量的某个变化过程中的无穷小, 在其他过程中则不一定是无穷小. 例如, 当 时, 就是无穷小, 而当 时, 就不是无穷小.. 函数极限与无穷小的关系 一般地, 函数 函数极限与无穷小三者之间具有如下的关系. 7

37 高等数学 ( 上册 ) 定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 ; 反之, 如果函数可以表示 为常数与无穷小之和, 那么该常数就是这个函数的极限, 即 其中 α 是当 时的无穷小. f ()= A 的充分必要条件是 f ()= A +α, 定理 中自变量的变化过程可以换成其他任何一种情形 (, +, -, +, - ). 为了方便, 我们常常只用一种情况说明, 有时甚至在极限符号 中省略自变量的变化趋势. 3. 无穷小的性质 性质 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. 性质 有限个无穷小之积仍然是无穷小. 性质 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论常数与无穷小量之积为无穷小量. cos 例 5 证明 =. cos 证明因为 = cos, 其中 cos 为有界函数, 为 时的无穷小量, 由性质 cos 3 知 =. 4. 无穷大量 定义 8 若函数 f () 的绝对值 数 f () 是 的这个变化过程中的无穷大量, 简称无穷大. f () 在 的某一个变化过程中无限增大, 则称函 当 时,f() 为无穷大, 记作 f()= ; 当 时,f () 为无穷大量, 记 作 f()=. 例如 - =, 3 = 等. 若在 的某一个变化过程中, 函数 f () 大于零且无限增大 ( 或者小于零但绝对值无 限增大 ), 则称函数 f () 是 的这个变化过程中的正无穷大 ( 或负无穷大 ), 记为 f ()= + [ 或 f()= - ]. 例如 = +, (- )= - 等. 注意 :() 无穷大不是一个很大的数, 它是一个绝对值无限增大的变量. () 函数只有在变化过程中绝对值越来越大且无限增大时, 才称为无穷大. 因此, 无 穷大必为无界函数, 反之不然, 例如当 时,f ()= sin 是无界函数, 但不是无穷 大量. (3) 说一个函数是无穷大, 必须同时指出自变量的变化过程. 5. 无穷小与无穷大的关系 8 当 时, 3 是无穷小, 3 是无穷大, 这说明无穷小和无穷大存在着倒数关系. 定理 设 f (), 若 f ()=, 则 f() =, 反之, 若 f ()=, 则

38 第 3 章极限与连续 f () =. 注 : 定理 中的极限省略了自变量的变化过程. 例 6 求 解由于 小的关系可知, 当 时, - 3 为无穷大, 即 例 7 计算 -. + 解因为 + = +, 所以 小的关系知 - = 极限的性质 =, 即当 时, 为无穷小. 根据无穷大与无穷 =. + = +. 由于 - =, 因此, 由无穷大与无穷 前面讨论了函数极限的各种情形, 并把数列的极限作为函数极限的特殊情况给出. 下 面以 为例给出函数极限的性质, 其他情形只要相应地作一些修改即可. 为便于描 述, 先介绍邻域的概念 : 开区间 ( -δ, +δ) 称为点 的 δ 邻域, 开区间 ( -δ, ) (, +δ) 称为点 的去心 δ 邻域, 其中 δ>. 性质 4 ( 唯一性 ) 若 f ()= A, f ()= B, 则 A = B. 性质 5 ( 有界性 ) 若 f ()= A, 则在 的某个去心邻域内 f () 有界. 性质 6 ( 保号性 ) 若 f ()= A 且 A >( 或 A <), 则在 的某个去心邻域内 f ()>( 或 f ()<). 则 推论若在 的某个去心邻域内,f () [ 或 f() ], 且 f()= A, 则 A ( 或 A ). 性质 7 ( 夹逼准则 ) 若在 的某个去心邻域内, 有 思考题 3. g() f () h(), g()= h()= A, f()= A.. 在 f ()= A 的定义中, 为何只要求 f () 在 的某个去心邻域内有定义?. sin 是否存在, 为什么? 3. 若 f ()= A, 且 f ()- A =α, 则当 时,α 是什么量? 9

39 高等数学 ( 上册 ) 练习题 3.. 指出下列变量中, 哪些是无穷小? 哪些是无穷大? ()ln, 当 时 ; ()e, 当 时 ; (3)e, 当 时 ; (4)e, 当 时 ; (5) - -, 当 时 ; (6) +, 当 时 ; (7)ln, 当 时 ; (8)ln( + ), 当 时 ; (9) - sin, 当 时 ; () - cos, 当 时.. 下列关于无穷小叙述是否正确? 并说明理由 : () 无穷小是一个很小的数 ; () 无穷小是 ; (3) 无穷小是以 为极限的变量. 3. 利用无穷小量的性质, 计算下列极限 : () (4) + sin ; () ( + tan ); (3) cos + e ; (5) arcsin ; (6) - (7)( + )ln( + ); (8) 4. 试从图形上说明 : 5. 设 f ()= 不存在. - e -. sin ; + e ; - -, <, 求 f() 当 时的左 右极限, 并说明 f () 在点, =,, >, = 处极限是否存在. 6. 设 f ()= + -,,, < <, 求 -,, - 5 f(), f (), f (), f () 极限的运算 利用极限的定义只能计算一些很简单的函数的极限, 而实际问题中的函数却要复杂得多. 本节介绍极限的四则运算法则 两个重要极限 无穷小的比较, 这些都有助于极限运算. 3.. 极限的四则运算法则定理 在自变量的同一变化过程中, 若 f ()= A, g()= B, 则 ()[f ()± g()]= f ()± g()= A ± B. ()[f () g()]= f () g()= AB. (3) f () f() = g() g() = A (B ) B 注意 : 上面的极限中省略了自变量的变化趋势, 下同. 3

40 第 3 章极限与连续 由于 推论 常数可以提到极限号前, 即 Cf()= C f ()= CA. 推论 若 m 为正整数, 则 [f ()] m =[ f()] m = A m. 例 求 ( + 8-7). 解由定理及其推论可得 ( + 8-7)= =, = ( ) = 7, 所以,( + 8-7)= =. 一般地, 多项式函数在 处的极限等于该函数在 处的函数值, 即 - 7, (a n n + a n - n a + a )= a n n + a n - n a + a 例 求 解 = 例 3 求 解 (4-3 + ) - ( ) = 4(- ) - 3(- )+ (- ) - 6(- )+ 4 = = ( - )( - ) ( + )( - ) = 例 4 求下列各极限 : () ; () 解 () = () = ( - ) ( + ) = ; = = = ; 3 4 ; (3) (3) 先求 , 得 = =, 故, 由无穷小与无穷大的关系知, 原极限 =. 一般地, 有理分式函数, 当 时, 分子 分母是无穷大, 称为 型. 由例 4 可得以下结论 : 若 a n,b m,m n 为正整数, 则 3

41 高等数学 ( 上册 ) 限. 例 5 计算下列函数极限 : a n n + a n - n a + a b m m + b m - m b + b = a m b m, m = n,, m > n,, m < n. () ; () + -. 解 () 当 时, 上式两项极限均为无穷 ( 称为 - 型 ), 可以先通分再求极 = =. () 当 时, 分子 分母极限均为零 ( 称为 型 ), 不能直接用商的极限法则, 这 时, 可先对分子有理化, 然后再求极限. + - = = ( + - )( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) =. 3.. 两个重要极限. 第一个重要极限 sin 列表考察当 时, 函数 = sin 的变化趋势 ( 如表 3.. 所示 ). 表 3.. ±. 5 ±. ±. ±. ±. sin 由表 3.. 我们可以看出, 不管 +, 还是 -, 函数 sin 即 =. 注意, 这个重要极限的特点是 : 3 () 是 型. () 形式必须一致, 即 φ() 只要满足以上两个特点, 就可得 φ( ) 例 6 计算 tan. sinφ () 中的三个 φ() 应该是一样的. φ() sinφ() φ() =. sin 都无限接近于常数,

42 第 3 章极限与连续 tan sin 解 = cos = sin5 例 7 计算. 3 解 sin5 3 例 8 计算 解 - cos = - cos. =. 第二个重要极限 sin sin + = 5 3. sin = = e cos =. sin = sin = =. + 数 e 是一个无理数, 其前八位是 e = 下面, 列表考察当 时, 函数 的变化趋势 ( 如表 3.. 所示 ). 表 e 从上表可以看出, 当 时, 函数 + 无限接近于 e, 即 注意, 这个重要极限的特点是 : () 是 型. () 形式必须一致, 即 φ() + 只要满足以上两个特点, 就可得 φ( ) 例 9 计算 解 + + =. 例 计算 ( - ). + + = e. φ( ) 中的三个 φ() 应该是一样的. φ() + = φ( ) = e. 因而, φ() ( + ) = e. + 解令 u = -, 则 = - u, 当 时,u. 于是 = e. ( - ) = u + u - u = u + u u - = e - = e. 33

43 高等数学 ( 上册 ) 无穷小的比较 前面, 我们已讲了两个无穷小的和 差 积仍然是无穷小, 但两个无穷小的商却会出现 不同的情况. 例如, 当 时, sin 都是无穷小量, 而 sin =, =, =. 以上不同的结果, 反映了不同的无穷小趋于零的 快慢 程度的不同. 下面, 仅 以 为例介绍无穷小阶的概念. 定义设 α() 和 β() 是当 时的两个无穷小, 若 β() () α() =, 则称当 时,β() 是比 α() 高阶的无穷小, 记为 β()= o(α()),( ). β() () α() =, 则称当 时,β() 是比 α() 低阶的无穷小. β() (3) α() = C, 则称当 时,β() 与 α() 是同阶无穷小. 当 C = 时, 则称 β() 与 α() 是等价无穷小. 记为 α()~ β()( 其中 ). 穷小. 例如, 由于 sin =, tan 关于等价无穷小, 有下面一个定理 : =, 所以当 时, 与 sin 与 tan 是等价无 定理 如果当 时,α()~ α -(),β()~ β -(), 且 也存在, 且 α() β() β() α() = β() - α() -. -β() 存在, 则 -α () 这个定理表明, 求两个无穷小之比的极限时, 分子及分母都可用等价无穷小来代替. sin4 例 求 tan. 解当 时,sin4 ~ 4,tan ~, 所以 思考题 3.. 下列运算正确吗? 为什么? sin4 tan = 4 =. () sin cos = sin cos = cos = ; () - = ( - ) =.. 两个无穷大的和仍为无穷大吗? 试举例说明. 34

44 第 3 章极限与连续 练习题 3.. 求下列极限 : () ; () 5 (4) - +. 求下列极限 : () ;(5) ; (3) sin ; () π 4 ;(6) n + - cos4 ; (3) (4) - ; (5) ; 3. 比较下列题中各对无穷小之间的关系 : (6) ; n. cos ; () 3 与,( ); () 与 +. 3,( ); (3) - cos 与,( ); (4)tan - sin 与,( ). 4. 求下列极限 : () (4) tan k (k ); () π tan - sin 3 ; (5) 5. 求下列极限 : () ( - ) (4) + ; ; (5) sin3 -π ; (3) sin5 sin3 ; tan( - ) - cos ; (6) - sin. () ; (3) - ; (6) 函数的连续性 ;.. 在现实世界中, 变量的变化有渐变与突变两种不同的形式. 例如, 在火箭的发射过程中, 一段时间内, 火箭的质量随燃料的消耗而逐渐减小, 但当燃料耗尽时, 该级火箭的外壳突然脱落, 这一瞬间火箭的质量就发生突变. 为了描述变量的不同变化形式, 本节将介绍连续和间断 函数的连续性定义. 连续首先我们来介绍函数增量的概念. 设函数 y = f () 在 的某个邻域内有定义, 当自变量从 变化到 ( 仍在该邻域内 ) 时, 称 Δ = - 为自变量的增量. 与此同时, 函数 y = f() 的值也由 f ( ) 变化到 f(), 即 f ( +Δ ), 称 Δ y = f ()- f ( )= f ( +Δ)- f( ) 为函数的增量, 其几何意义如图 所示. 35

45 高等数学 ( 上册 ) 图 定义 设函数 y = f () 在点 的某个邻域内有 定义, 如果当自变量 在点 处的增量 Δ 趋于零时, 函数 y = f () 相应的增量 Δ y = f ( +Δ )- f ( ) 也 趋于零, 即 Δ y =, Δ 则称函数 y = f () 在点 处连续, 并且称点 为函 数 y = f() 的连续点. y = f () 在点 处连续又可表达为以下定义. 定义 设函数 y = f() 在 数 y = f() 在 处连续. 注意到 Δ = -,Δ y = f ()- f ( ), 因而, Δ 即,Δ y 即 f () f ( ). 于是, 函数 的某个邻域内有定义, 若 f ()= f ( ), 则称函 若函数 y = f() 在点 处有 f ()= f ( )[ 或 f ()= f ( )], 则称函数 - + y = f () 在点 处左连续 ( 或右连续 ). 若函数 y = f () 在开区间 (a,b) 内的每一点处均连续, 则称该函数在开区间 (a,b) 内连续 ; 若函数 y = f () 在 (a,b) 内连续, 且在左端点 a 处右连续, 在右端点 b 处左连 续, 则称该函数在闭区间 [a,b] 上连续. 一般地, 如果函数 f () 在某个区间上连续, 则函数 f () 的图像是一条连续不断的 曲线. 因此, 基本初等函数在其定义域内是连续的.. 间断 定义 3 设函数 f () 在 的某个去心邻域内有定义, 若函数 f () 在 处不连 续, 则点 称为函数 f() 的间断点. 若点 为函数 f () 的间断点, 则至少有下列三种情形之一出现. () f () 点 处没有定义. () f () 不存在. (3) f () f ( ). 定义 4 ( 间断点的分类 ) 设 为 f () 的一个间断点, 如果当 时,f () 的 左 右极限都存在, 则称 为 f () 的第一类间断点 ; 否则, 称 为 f () 的第二类间断 点. 若 () 当 为 f () 的第一类间断点, 则 + () 当 + f () 与 f () 不相等时, 称 为 f() 的跳跃间断点. - f () 与 f () 相等, 即 f () 存在时, 称 为 f () 的可去间断点. - 例 证明函数 f ()= sin, 在 = 处是连续的., = 36