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2 普通高等教育基础课程用书 微积分 ( 第三版 ) 主编 柴惠文 编著 蒋福坤 刘 静 刘正春 杨晓春

3 图书在版编目 (CIP) 数据微积分 / 柴惠文主编. 3 版. 上海 : 华东理工大学出版社,03.7 ISBN Ⅰ. 微... Ⅱ. 柴... Ⅲ. 微积分高等学校教材 Ⅳ.07 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (03) 第 903 号 普通高等教育基础课程用书微积分 ( 第三版 ) 主 编 / 柴惠文 编著 / 蒋福坤刘静刘正春杨晓春 责任编辑 / 郭 艳 责任校对 / 金慧娟 出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司 印 地址 : 上海市梅陇路 30 号,0037 电话 :(0) ( 营销部 ) (0)645 ( 编辑室 ) 传真 :(0) 网 址 :press.ecust.edu.cn 刷 / 常熟新骅印刷有限公司 开本 /787mm 09mm /6 印张 /0.5 字 版 印 数 /496 千字 次 /03 年 7 月第 3 版 次 /03 年 7 月第 次 书号 /ISBN 定 价 /39.90 元 联系我们 : 电子邮箱 [email protected] 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 淘宝官网 htp://shop69506.taobao.com

4 第三版前言 本书第三版是在第二版的基础上, 根据我们这几年的教学实践, 按照高等教育大众化的背景下经管类专业对本课程的要求及学生的情况修订而成的. 在修订中, 我们保持了原教材结构严谨 逻辑清晰的风格, 以及原教材通俗易懂 例题较多 便于自学等特点. 本次修订主要做了以下几个方面的工作.. 删去了一小部分的内容, 使教材内容更加紧凑 突出重点 ; 增加了在新知识导入前的一些引导性内容, 便于学生对新知识的理解和接受.. 调整了一些例题, 适当降低难度, 对一些例题的解题过程做了修改, 过程更加详细, 便于学生自学. 3. 对教材中部分内容叙述也做了修改, 使条理更加清晰. 4. 每章的总习题做了适当调整, 增加了一些填空题及选择题, 调换了一些计算题及证明题. 5. 对节 目编排上也做了适当调整. 本版修订工作主要由蒋福坤 柴惠文完成, 并广泛听取 采纳了其他编者和同行的宝贵意见. 新版中错误之处在所难免, 恳请使用本教材的广大师生批评指正. 编 者 03 年 6 月

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6 前 言 本书是参照教育部制订的高等数学课程教学基本要求, 依据经济 管理类各专业对高等数学课程的教学要求而编写的. 在编写过程中, 按照循序渐进 深入浅出的原则, 突出微积分的基本思想和基本方法, 强化基本方法的训练. 据此, 我们对教材的体系结构进行了必要的调整, 对基本概念的叙述, 力求从身边的实际问题出发, 自然地引入 ; 适当淡化运算上的一些技巧要求, 适当降低了一元函数的极限理论的要求, 从简处理了一些公式的推导和一些定理的证明. 教材的编写理念是 : 在不失科学性的前提下不过分强调某些严密论证及研究过程, 而是突出数学思想的介绍, 突出数学方法训练及应用, 让学生更多地体会微积分的思想方法, 增强他们的应用意识和应用能力. 让学生通过对本书的学习, 能较好地了解各部分内容的内在联系与区别, 在总体上较好地把握微积分的思想和方法. 为加强基本能力的培养, 本书的例题 习题设置较多, 习题按节配置, 遵照循序渐进的原则, 既注意基本概念 基本理论和方法, 又注意加强经济学和其他方面应用性习题的配置. 每章后配有总复习题, 以供复习 总结 提高之用. 文中 * 部分为选学内容, 可作为所学知识的扩展. 本书共分 0 章, 第 ~ 章由蒋福坤编写 ; 第 3~4 章由刘静编写 ; 第 5~6 章由杨晓春编写 ; 第 7~8 章由刘正春编写 ; 第 9~0 章由柴惠文编写, 全书由柴惠文统稿. 严从荃教授认真审阅了全书, 并提出了非常宝贵的意见. 在本书的编写过程中, 得到许多同行的有价值的建议, 在此一并致谢. 由于编者水平有限, 书中难免存在不妥之处, 恳请广大读者批评指正, 以便本书在教学中不断完善. 编 者 007 年 0 月

7 第二版前言 本书第一版自出版以来, 以易用性及通俗性受到读者的欢迎, 也收到同仁的鼓励及其中值得探讨的问题, 并对修改提出了宝贵的意见. 借此机会, 我们对关心和支持本教材的广大同仁及读者表示衷心地感谢. 修订情况如下 : () 订正了原教材中的疏漏以及排版印刷等方面的错误 ; () 调整了教材中部分内容的表述, 使之更通俗易懂 ; (3) 调整了部分例题和习题, 使得学生学习和教师使用等可以更得心应手 ; (4) 对原教材的第 3 章第 5 节以及第 4 章第 3~5 节的内容作了较大的调整和修改. 在修订过程中, 我们广泛地收集了同仁及读者对原教材的意见及建议, 几位编者也多次在一起讨论, 希望通过这次修订使本教材在第一版的基础上更加完善, 能让使用此教材的老师和学生满意. 欢迎大家继续提出批评和指正. 编 者 00 年 月

8 目 录 函数. 集合.. 集合的概念.. 集合的运算..3 区间和邻域 习题. 3. 函数 3.. 函数的概念 3.. 反函数 4 习题. 5.3 函数的基本性质 5.3. 函数的奇偶性 5.3. 函数的周期性 函数的单调性 函数的有界性 7 习题 初等函数 8.4. 基本初等函数 8.4. 复合函数.4.3 初等函数 习题 经济学中的常用函数 3.5. 需求函数与供给函数 3.5. 成本函数 收益函数 利润函数 6 习题.5 6 总习题一 7 极限与连续 9. 数列的极限 9.. 数列的概念与性质 9.. 数列的极限 0..3 数列极限的性质 习题. 3. 函数的极限 3.. 函数极限的定义 3.. 函数极限的性质 7 习题. 7.3 无穷小与无穷大 7.3. 无穷小 8.3. 无穷大 9 习题 极限的运算法则 3.4. 极限的四则运算法则 3.4. 复合函数的极限运算法则 33 习题 极限存在准则两个重要极限 夹逼准则 重要极限 sin lim = 单调有界准则 重要极限 lim æ + ö ç è ø =e 连续复利 39 习题 无穷小的比较 40 习题 函数的连续性 4.7. 函数的连续性 4.7. 函数的间断点 连续函数的运算与初等

9 微积分 ( 第三版 ) 函数的连续性 45 习题 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理与有 界性 零点定理与介值定理 49 习题.8 50 总习题二 5 3 导数与微分 导数的概念 两个引例 导数的定义 函数的连续性与可导性的 关系 导数的几何意义 58 习题 函数的求导法则与求导公式 函数的和 差 积 商的求 导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 基本求导法则与导数公式 64 习题 高阶导数 67 习题 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数 的导数 7 习题 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数的微分公式 与微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 79 习题 边际与弹性 边际分析 弹性分析 84 习题 总习题三 89 4 中值定理及导数应用 9 4. 中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 96 习题 洛必达法则 和 0 未定式的极限 其他未定式的极限 0 习题 函数的单调性与极值 函数单调性的判别法 函数的极值 05 习题 函数的最大值与最小值及其在 经济中的应用 函数的最大值与最小值 函数的最值在经济问题中 的应用举例 习题 曲线的凹凸性及函数图形的 描绘 曲线的凹凸性及拐点 曲线的渐近线 函数图形的描绘 7 习题 泰勒公式 0 习题 总习题四 3

10 目 录 3 5 不定积分 6 5. 不定积分的概念和性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 8 习题 换元积分法 第一换元积分法 ( 凑微分 法 ) 第二换元积分法 34 习题 分部积分法 38 习题 有理函数的不定积分 有理函数与有理函数的 不定积分 三角函数有理式的不定 积分 44 习题 总习题五 45 6 定积分 定积分的概念与性质 定积分概念产生的背景 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的性质 50 习题 微积分基本公式 积分上限的函数及其导数 微积分基本公式 55 习题 定积分的换元积分法与分部 积分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 60 习题 广义积分与 Γ 函数 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 Γ 函数 65 习题 定积分的应用 定积分的元素法 平面图形的面积 立体的体积 简单的经济问题 7 习题 总习题六 74 7 多元函数微分学 空间解析几何简介 空间直角坐标系 空间两点间的距离 n 维空间 空间曲面及其方程 79 习题 多元函数的基本概念 平面点集 二元函数的概念 二元函数的极限与连续 n 元函数的概念 86 习题 偏导数 偏导数的定义 偏导数的几何意义及函数 连续性与可偏导性的关系 高阶偏导数 偏导数在经济分析中的应 用 90 习题 全微分 全微分的定义 函数可微分的条件 9

11 4 微积分 ( 第三版 ) 全微分在近似计算中的应用 94 习题 复合函数与隐函数微分法 复合函数的微分法 隐函数的微分法 98 习题 多元函数的极值问题 多元函数极值 条件极值与拉格朗日乘数 法 0 习题 总习题七 06 8 二重积分 二重积分的概念与性质 二重积分的概念 二重积分的性质 习题 二重积分的计算 8.. 在直角坐标系下计算二重 积分 8.. 在极坐标系下计算二重积 分 广义二重积分 9 习题 8. 0 总习题八 9 无穷级数 4 9. 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 级数的基本性质 7 习题 正项级数的审敛法 30 习题 任意项级数及其审敛法 交错级数的收敛性 任意项级数的绝对收敛与 条件收敛 38 习题 幂级数 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算性质 46 习题 函数展开成幂级数 泰勒 (Talor) 级数 函数展开成幂级数的方法 50 习题 函数的幂级数展开式的应用 函数值的近似计算 欧拉公式 57 习题 总习题九 58 0 常微分方程和差分方程 6 0. 常微分方程的基本概念 6 习题 一阶微分方程 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 * 贝努利方程 一阶微分方程在经济上的 应用实例 70 习题 可降阶的二阶微分方程 =f() 型的微分方程 =f(, ) 型的微分 方程 =f(, ) 型的微分 方程 74 习题 二阶线性微分方程解的结构

12 目 录 5 75 习题 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分 方程及其解法 二阶常系数非齐次线性微 分方程及其解法 80 习题 差分方程 差分的概念及性质 差分方程的基本概念 线性差分方程解的基本 定理 一阶常系数线性差分方 程的解法 差分方程在经济学中的 应用 94 习题 总习题十 96 附录习题参考答案与提示 98 参考文献 35

13 微积分 ( 第三版 )

14 函数 函数是对现实世界中各种变量之间的相互依存关系的一种抽象, 它是微积分学研究的基本对象. 中学时, 我们对函数的概念和性质已经有了初步的了解. 在本章中, 我们将进一步阐明函数的一般定义, 介绍函数的简单性态以及反函数 复合函数 基本初等函数和初等函数等概念, 这些都是学习这门课程的基础.. 集合.. 集合的概念集合是数学中的一个基本概念. 例如某校一年级的全体学生构成一个集合, 某个书柜的全部藏书构成一个集合, 全体实数构成一个集合等. 一般地, 我们把具有某种特定性质的对象组成的总体叫做集合. 把组成某一集合的各个对象叫做这个集合的元素. 习惯上, 用大写拉丁字母 A,B,C,X,Y, 表示集合, 用小写拉丁字母 a,b,c,,, 表示集合的元素. 对于给定的集合来说, 它的元素是确定的. 如果 a 是集合 A 中的元素, 则用 a A 来表示 ; 如果 a 不是集合 A 中的元素, 则用 a A 来表示. 含有有限个元素的集合称为有限集 ; 含有无限多个元素的集合称为无限集 ; 不含任何元素的集合称为空集, 记为. 表示集合的方法主要有两种, 一种是列举法, 就是把集合的所有元素一一列举出来, 写在花括号内. 例如, 方程 -4=0 的解构成的集合可表示为 A={-,}. 另一种是描述法, 就是指出集合的元素所具有的性质. 一般地, 将具有某种性质的对象 所构成的集合表示为 A={ 具有某种性质 }. 例如, 方程 -4=0 的解集也可以表示为 A={ -4=0}. 元素为数的集合称为数集, 通常用 N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 有时在表示数集的字母右上角添 + - 等上标, 来表示该数集的几个特定子集. 以实数为例,R + 表示全体正实数集 ;R - 表示全体负实数集, 其他数集的情况类似, 不再赘述. 若集合 A 的元素都是集合 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 或者称 A 包含于 B 或 B 包含 A, 记作 A B 或 B A. 若集合 A 与 B 互为子集, 即 A B 且 B A, 就称 A 与 B 相等, 记作 A=B... 集合的运算集合有三种基本运算, 即并 交 差. 设有集合 A 与 B, 它们的并集记作 A B, 定义为 A B={ A 或 B}.

15 微积分 ( 第三版 ) 集合 A 与 B 的交集记作 A B, 定义为 A B={ A 且 B}. 集合 A 与 B 的差集记作 A\B, 定义为 A\B={ A 但 B}. 有时, 我们把研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集, 并用 I 表示, 把差集 I\A 特别称为 A 的余集或补集, 记作 IA. 例如, 在实数集 R 中, 集合 A={ <} 的余集为 RA={ - 或 }. 集合的并 交 余运算满足如下运算律 : 交换律 A B=B A,A B=B A. 结合律 (A B) C=A (B C), (A B) C=A (B C). 分配律 A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C). 对偶律 I(A B)= IA IB, I (A B)= IA IB. 以上这些运算律都容易根据集合相等的定义验证...3 区间和邻域区间和邻域是常用的一类实数集. 设 a 和 b 都是实数, 且 a<b, 数集 { a<<b} 称为开区间, 记作 (a,b), 即 (a,b)={ a<<b}, a 和 b 称为开区间 (a,b) 的端点. 数集 { a b} 称为闭区间, 记作 [a,b], 即 [a,b]={ a b}, a 和 b 称为闭区间 [a,b] 的端点. 类似地有 (a,b]={ a< b},[a,b)={ a <b}, (a,b],[a,b) 都称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间,b-a 的值称为这些区间的长度. 从数轴上看, 这些有限区间是长度为有限值的线段. 闭区间 [a,b] 和开区间 (a,b) 在数轴上表示方法分别如图 (a) 和 (b) 所示. 此外还有无限区间, 引进记号 + ( 读作正无穷大 ) 及 - ( 读作负无穷大 ), 则可用类似的记号表示无限区间. 例如 [a,+ )={ a},(-,b)={ <b), 这两个无限区间在数轴上的表示如图 (c) 和 (d) 所示. [ a, b] ( a, b) a b a b (a) (b) [ a, ) (, b) a b (c) (d) 图

16 函数 3 实数集 { -a <δ,δ>0} 称为点 a 的 δ 邻域, 记 δ δ 为 U(a,δ), 点 a 叫做邻域的中心,δ 叫做邻域的半径, 它 aδ a aδ 在数轴上表示以 a 为中心, 长度为 δ 的对称开区间, 如图 所示. 图 蹃实数集 { 0< -a <δ} 称为点 a 的去心 δ 邻域, 记作 U(a,δ). 为了方便, 有时把开区 间 (a-δ,a) 称为点 a 的左 δ 邻域, 开区间 (a,a+δ) 称为点 a 的右 δ 邻域. 当不需要强调邻蹃域的半径时, 可用 U(a) 和 U(a) 分别表示点 a 的某个邻域和某个去心邻域. 习题.. 如果 A={0,,},B={,}, 下列各种写法哪些是对的? 哪些是不对的? A;0 B;{} A; A;{} A;0 A;{0} A;{0} B;A=B;A B; A;A A.. 设 A={,,3},B={,3,5},C={,4,6}, 求 : ()A B; ()A B; (3)A B C; (4)A B C; (5)A\B. 3. 用区间表示满足下列不等式的所有 的集合 : () 3; () - ; (3) -a <ε(a 为常数 ἐ>0); (4) 5; (5) + >; (6)< - <3.. 函数.. 函数的概念 函数是变量之间满足一定条件的一种对应关系. 在中学数学中也学习过函数, 现在我们 把函数的概念叙述如下. 定义 设有两个变量 与,D 为一个非空实数集. 如果存在一个确定的法则 ( 或称 对应法则 )f, 使得对于每一个 D, 都有唯一的一个实数 与之对应, 则称这个对应法则 f 为定义在实数集 D 上的一个一元函数, 简称函数, 记为 =f(),d 称为 f() 的定义域. 函 数 f() 的定义域 D 通常记为 D(f). 对于 0 D(f), 由法则 f 所对应的实数值 称为 f() 在点 0 处的函数值, 通常记为 f(0), 有时也记为 = 0, 此时也称函数 f() 在点 0 处有定义. 全体函数值组成的集合称为函数 f() 的值域, 通常记为 R(f), 即 R(f)={ =f(), D(f)}. 从函数的定义来看, 当定义域与对应法则确定后, 函数就完全确定了. 可见定义域与对 应法则是确定函数的两个要素, 因此, 对于函数 f() g(), 如果它们有相同的定义域和对 应法则, 它们就是同一个函数. 表示函数的主要方法有三种 : 表格法 图形法 解析法 ( 公式法 ). 其中, 图形法表示函数 是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {(,) =f(), D(f)} 称为函数 =f(), D(f) 的图形如图 3 所示.

17 4 微积分 ( 第三版 ) 对于由解析式表示的函数, 其定义域一般是指使得函 数表达式有意义的自变量取值的全体, 这种定义域也称为 函数的自然定义域. 例 求函数 = 的定义域. lg(3-) 解当 3->0 且 3-, 即 > 3 且 时, 函数 才有意义, 因此,= 的定义域为 lg(3-) lg(3-) æ D(f)= è3, ö ç (,+ ). ø 例 求函数 =arcsin 解 5- 当 的定义域. R f C 图 3 f ( ) - 5 且 <5, 即 -4 6 且 -5<<5 时, 函数 arcsin 才有意义, 因此函数 =arcsin D(f)=[-4,5). 的定义域为 在用解析法表示函数时, 有一种特别的情形 : 函数在定义域的不同部分用不同的解析式 表示, 这种函数称为分段函数. 例如, 函数 = =, 0 {-, < 0 是定义域为 D(f)=(-,+ ), 值域为 R(f) [ = 0, ) + 的一个 函数, 它的图形如图 4 所示. 当自变量 取 (-,0) 内的数值时, 函数值由 =- 确定 ; 而当自变量 取 [ 0, + ) 内的数值时, 函数 值由 = 确定, 所以是一个分段函数. 函数 ì, >0 ï =sgn= í0, =0 ï î-, < 0 也是分段函数, 它的定义域为 D(f)=(-,+ ), 值域 为 R(f)={-,0,}, 图形如图 5 所示. 此函数也称 为符号函数. sgn D f 图 4 (, ) =.. 反函数 图 5 定义 设函数 =f() 的定义域是 D(f), 值域是 R(f), 如果对每一个 R(f), 都有唯一确定的 D(f) 与之对应, 且满足 =f(), 则 是定义在 R(f) 上以 为自变量的函数, 记此函数为 =f - (), R(f),

18 函数 5 并称其为函数 =f() 的反函数. 显见 =f - () 与 =f() 互为反函数, 且 =f - () 的定义域和值域分别是 =f() 的值域和定义域. 注意到在 =f - () 中, 是自变量, 是因变量. 但是习惯上, 常用 作为自变量, 作 为因变量. 因此,=f() 的反函数 =f - () 常记为 =f - (), R(f). 在平面直角坐标系 中, 函数 =f() 的图形与其 反函数 =f - () 的图形关于直线 = 对称, 如图 6 所示. 什么样的函数才有反函数呢? 由定义可知, 函数 =f() 具有反函数的充分必要条件是对应法则 f 使得定义域中的点与值域中的点是一个对一个的 ( 简称一一对 应 ). 因为单调函数具有这种性质, 所以单调函数必有反 函数. B( f ( ), ) f () A(, f ( )) 图 6 f ( ) 对于单调函数, 求其反函数的步骤是先从 =f() 中解出 =f - (), 然后将 与 互 换, 便得到反函数 =f - (). 习题.. 下列各题中, 函数 f() 和 g() 是否相同? 为什么? ()f()=ln,g()=ln; ()f()= - -, g()=-; (3)f()=,g()=sin(arcsin); (4)f()=,g()=e ln.. 求下列函数的定义域 : ()= ln (5-); ()= + - ; ( 3)= +arcsin(ln -); (4)=arcsin ; ( 5)= lg 5-4 ; ( 6)=-e 求下列分段函数的定义域, 并画出函数的图形 : ì, ()= 4- < {, <0 ï ; ()= í. -, < 4-3, 0 < ï î-+, < + 4. 设 f()= -,, 求 { f(0),f(),f(-.5),f(+h)-f(). +, > 5. 求下列函数的反函数 : ()=+; ()= + - ; (3)= 3 +; (4)=+ln(+)..3 函数的基本性质.3. 函数的奇偶性 设函数 =f() 的定义域 D(f) 关于原点对称. 如果对于任何 D(f), 都有 f(-)

19 6 微积分 ( 第三版 ) =f(), 则称 =f() 为偶函数 ; 如果对于任何 D(f), 都有 f(-)=-f(), 则称 =f() 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数, 称为非奇非偶函数. 由定义知 : 偶函数的图形关于 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 如图 7(a) 和 (b) 所示. A' A f ( ) A f ( ) A'' (a) 图 7 (b) 例如,= 和 =cos 在 (-,+ ) 上是偶函数 ;= 3 和 =sin 在 (-,+ ) 上是奇函数 ; 而 =+cos 既不是奇函数也不是偶函数..3. 函数的周期性 设函数 =f() 的定义域为 D(f), 如果存在一个正数 l, 使得对于任意 D(f), 都有 ±l D(f), 且 f( ±l)=f() 恒成立, 则称 =f() 为周期函数,l 称为 f() 的周期, 周期函数的周期通常是指最小正 周期. 所示. 周期为 l 的函数, 在其定义域内长度为 l 的区间上, 函数图形具有相同的形状, 如图 8 3l l l 3l 图 8 例如, 函数 =sin,=cos 都是以 π 为周期的周期函数..3.3 函数的单调性设函数 =f() 在区间 I 上有定义, 如果对于区间 I 内任意两点,, 当 < 时, 有 f()<f(), 则称函数 f() 在区间 I 上单调增加 ; 当 < 时, 有 f()>f(), 则称函数 f() 在区间 I 上单调减少.

20 函数 7 例如, 函数 = 在 [ 0,+ ) 内单调增加, 在 (-, 0 ] 内单调减少. 又如 = 3 在 (-,+ ) 内是单调增加的. 函数单调增加 单调减少统称函数是单调的. 从函数图形上看, 单调增加的函数当 自 左向右变化时, 函数的图形逐渐上升 ; 单调减少的函数当 自左向右变化时, 函数的图形逐 渐下降, 如图 9 所示. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a b a b 图 函数的有界性 设函数 f() 在区间 I 上有定义, 如果存在一个 正数 M, 当 I 时, 恒有 f() M 成立, 则称函数 f() 为区间 I 上的有界函数, 如 图 0 所示 ; 否则称函数 f() 为区间 I 上的无界 函数. M M 图 0 例如, 函数 =sin 在 (-,+ ) 内为有界函数, 因为 sin 对任何 (-,+ ) 都成立 ; 而函数 = 在开区间 (0,) 内为无界函数, 因为不存在正数 M, 使 M 对于 (0,) 内的一切 都成立. 有的函数可能在定义域的某一部分内为有界函数, 而在另一部分内为无界函数. 例如, 函数 =tan 在 é - π ë ê 3,π ù 3 û ú 上为有界函数, 而在 æ - π è,π ö ç 内为无界函数. 因此, 我们说一 ø 个函数是有界函数或无界函数, 应同时指出自变量的变化范围.. 讨论下列函数的奇偶性 : 习题.3 ()f()= sin +cos ; ()f()= -+tan; (3)f()=ln - + ; (4)f()= e +e - e -e ; ( 5)f()=cos(ln); (6)f()= -, <0 { - +, 0.. 判断下列函数是否为周期函数, 如果是周期函数, 求其周期 : ()f()=sin(+3); ()f()=cos; (3)f()=+ sin.

21 8 微积分 ( 第三版 ) 3. 讨论下列函数的单调性 ( 指出其单调增加区间和单调减少区间 ): () =e a (a 0); () = 4- ; (3) =+. 4. 判断下列函数的有界性 : () = + ; ( ) =sin ; ( 3) =cos..4 初等函数.4. 基本初等函数 我们把常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数这 6 类函数称为 基本初等函数. 下面分别介绍这些函数的表达式 定义域及图形.. 常数函数 函数 =C (C 为常数 ) 称为常数函数, 它的定义域为 (-,+ ), 图形如图 所示, 是一条平行于 轴的直线.. 幂函数 函数 = μ ( μ 是常数 ) 称为幂函数. 其定义域随 μ 的不同而相异, 但不论 μ 取何值, 图 = μ 在 (0,+ ) 内总有定义, 并且图形都经过点 (,). 图 (a) 和 (b) 为几个不同的幂函数在 (0,+ ) 内的图形, 图 (c) 为幂函数 = - 的图形. C 3 3 μ, μ0 μ μ μ (a) (b) (c) 图 3. 指数函数函数 =a (a 是常数,a>0,a ) 称为指数函数, 其定义域为 (-,+ ). 当 0<a< 时,=a 为单调减少函数 ; 当 a> 时,=a 为单调增加函数. 图 3 显示了几个不同的指数函数的图形.

22 函数 9 ( ) e ( ) ( ) e log log ln log 0 log 0 log e 4. 对数函数 函数 图 3 图 4 =loga (a 是常数,a>0,a ) 称为对数函数. 它是指数函数 =a 的反函数, 其定义域为 (0,+ ). 当 0<a< 时, =loga 为单调减少函数 ; 当 a> 时,=loga 为单调增加函数. 图 4 显示了几个不同的对数函数的图形. 通常以 0 为底的对数函数记为 =lg, 称为常用对数 ; 而以 e 为底的对数函数记为 =ln, 称为自然对数. 5. 三角函数 下面 6 个函数统称为三角函数 : 正弦函数 =sin, 正切函数 =tan, 正割函数 =sec, 余弦函数 =cos, 余切函数 =cot, 余割函数 =csc. =sin 与 =cos 的定义域都为 (-,+ ), 都是以 π 为周期的周期函数, 并且 { } 都是有界函数, 图形如图 5 和图 6 所示 ẏ=tan 的定义域为 kπ+ π, k Z, 图形如图 7 所示 ẏ=cot 的定义域为 { kπ,k Z}, 图形如图 8 所示. =tan 与 =cot 都是以 π 为周期的周期函数, 并且在其定义域上是无界函数. 3π π π π π π sin 3π π 图 5 cos 3π π π π π 3π π 5π 图 6

23 0 微积分 ( 第三版 ) tan cot 3π π π π 3π π π π π π 3π π 图 7 图 8 函数 =sec,=csc, 其中 sec= cos, csc= sin. 它们都是以 π 为周期的周 期函数, 并且在开区间 æ 0, π ö ç 内都是无界函数. è ø 在学习微积分中经常会用到一些三角公式. 为了便于查阅, 现列举如下 : 同角三角函数关系式 两角和与差的三角公式 两倍角公式 降幂公式与半角公式 sin +cos =, sec =+tan, csc =+cot sin(±)=sincos±cossin cos(±)=coscos sinsin sin=sincos cos=cos -sin =cos -=-sin sin = -cos, cos = +cos, tan = sin +cos =-cos sin 和差化积公式 sin±sin=sin ± cos cos+cos=cos + cos- cos-cos=-sin + sin- 积化和差公式 万能公式 sinsin= [ cos(-)-cos(+)] coscos= [ cos(-)+cos(+)] sincos= [ sin(-)+sin(+)] tan -tan tan sin=, cos=, tan= +tan +tan -tan

24 函数 6. 反三角函数 由于三角函数都具有周期性, 因此对应于一个函数值 的自变量 有无穷多个值, 这表 明在三角函数的定义域与值域之间的对应关系不是一一对应, 所以在整个定义域上, 三角函 数不存在反函数. 但我们可以考虑三角函数在其某一区间上的反函数, 即反三角函数. 通常 讨论的反三角函数有 4 种. () 反正弦函数正弦函数 =sin 在区间 é - π ë ê,π ù û ú 上单调增加, 值域为 [-,]. 称正弦函数在区间 é ê- π ë,π ù ú 上的反函数为反正弦函数, 记为 û =arcsin. 其定义域为 [-,], 值域为 é - π ë ê,π ù û ú, 图形如图 9 所示. π arcsin π π π arccos 图 9 图 0 () 反余弦函数余弦函数 =cos 在区间 [0,π] 上单调减少, 值域为 [-,]. 称余 弦函数在 [0,π] 上的反函数为反余弦函数, 记为 =arccos. 其定义域为 [-,], 值域为 [0,π], 图形如图 0 所示. (3) 反正切函数正切函数 =tan 在区间 æ - π è,π ö ç 上单调增加, 值域为 ø (-,+ ). 称正切函数在 æ - π è,π ö ç 内的反函数为反正切函数, 记为 ø =arctan. 其定义域为 (-,+ ), 值域为 æ - π è,π ö ç ø, 图形如图 所示. π arctan π π arccot π 图 图 (4) 反余切函数余切函数 =cot 在区间 (0,π) 上单调减少, 值域为 (-,+ ). 称余切函数在 (0,π) 内的反函数为反余切函数, 记为 =arccot.

25 微积分 ( 第三版 ) 其定义域为 (-,+ ), 值域为 (0,π), 图形如图 所示..4. 复合函数定义 3 已知函数 =f(u),u D(f), R(f), u=φ ( ), D( φ ),u R( φ ). 如果 D(f) R( φ ) ( 空集 ), 则称函数 =f[ φ ()], { φ ( ) D(f)} 为由函数 =f(u) 和 u=φ ( ) 复合而成的复合函数, 其中 称为因变量, 称为自变量, 而 u 称为中间变量, 称集合 { φ ( ) D(f)} 为复合函数 =f[ φ ()] 的定义域. 例 讨论下列各组函数可否复合成复合函数, 若可以, 求出复合函数及其定义域 : ()=f(u)= u+,u=φ ( )=ln; ()=f(u)=ln(u -),u=φ ( )=cos. 所以 解 () 因为 D(f)={u u -},R( φ )={u - <u<+ }, D(f) R( φ )={u u -}, 因此 f(u)= u+ 与 u=ln 可以复合成复合函数, 其表达式为 = ln+, 定义域为 { ln -}, 即 { e - }; 所以 () 因为 D(f)={u u>} {u u<-},r( φ )={u - u }, D(f) R( φ )=, 因此, 函数 f(u)=ln(u -) 与 u=cos 不能复合成复合函数. 复合函数的中间变量可以多于 个. 例如, 由 3 个函数 =e u,u= v,v=sin+ 可复 合成复合函数 =e sin+, 这里的 u 与 v 都是中间变量. 利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个复合函数, 还可以把一个较复杂 的函数看成由几个简单的函数复合而成, 这对于今后的许多运算是很有用的. 例 指出下列函数是由哪些简单的函数复合而成的 : ()=(sin5) 3 ; ()=ln(+ + ); (3)=arctan(sine 4 ). 解 ()=(sin5) 3 是由 =u 3,u=sinv,v=5 复合而成的 ; ()=ln(+ + ) 是由 =lnu,u=+ v,v=+ 复合而成的 ; (3)=arctan(sine 4 ) 是由 =arctanu,u=sinv,v=e w,w=4 复合而成的..4.3 初等函数 定义 4 由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次复合运算所构成并可用一个 式子表示的函数, 称为初等函数. 例如,= -,= +e +sin, = ln (+ + ) 等都是初等函数. tan +cot 初等函数是我们研究的主要对象. 不是初等函数的函数一般称为非初等函数, 某些分段函数就是非初等函数. 例如函数

26 函数 3 f()= +3, 0 {, < 0, 这是一个非初等函数, 因为它在定义域内不能用一个式子表示. 习题.4. 指出下列函数的图形与函数 =3 的图形的关系 : ()=3 +4; ()=-3 ; (3)=3 -.. 下列各对函数 f(u) 与 u=φ ( ) 中, 哪些可以复合成复合函数 f[ φ ()]? 哪些不能复合成复合函数? 为 什么? ()f(u)=arcsinu,u= + ; ( )f(u)= u,u=ln + ; ( 3)f(u)=ln(-u),u=sin. 3. 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的 : ()= - ; ()=ln +; (3)=sin (+); (4)=[arcsin(- )] 3 ; (5)=e cos3 ; (6)=lntan. 4. 已知 f()= 3 -, φ ()=sin, 求 f[ φ ()], φ [f()]..5 经济学中的常用函数 在经济分析中, 对成本 价格 收益等经济量的关系研究, 越来越受到人们的关注. 对于实际问题而言, 往往有多个变量同时出现, 其间的相关性异常复杂. 作为讨论的第一步, 我们先研究几个只有一个自变量的经济学中常用的函数..5. 需求函数与供给函数. 需求函数对某一商品的 需求 是指在一定价格条件下, 消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品数量. 消费者对某种商品的需求是多种因素决定的, 商品的价格是影响需求的一个重要的因素, 但还有许多其他因素, 如消费者收入的增减, 其他代用品的价格等都会影响需求. 我们现在不考虑价格以外的其他因素 ( 把其他因素对需求的影响看作不变 ), 只研究需求与价格的关系, 则需求量 Q 便是价格 P 的函数, 即 Q=f(P), 此函数称为需求函数. 一般来说, 商品价格低, 需求量大 ; 商品价格高, 需求量小. 因此一般需求函数 Q=f(P) 是单调减少函数. 因需求函数 Q=f(P) 单调减少, 所以存在反函数, 需求函数的反函数 P=f - (Q) 也称为需求函数, 它反映需求量 Q 对价格 P 的影响. 人们根据统计数据, 常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数 : 线性函数 Q=-aP+b, 其中 a,b>0;

27 4 微积分 ( 第三版 ) 幂函数 Q=kP -a, 其中 k>0,a>0; 指数函数 Q=ae -bp, 其中 a,b>0. 例 某种产品每台售价 500 元时, 每月可销售 500 台 ; 每台售价降为 450 元时, 每月 可增销 50 台, 试求该产品的线性需求函数, 并求销售量为零时的价格. 解 由题设有 设该产品的线性需求函数为 Q=-aP+b, 500=-500a+b { 750=-450a+ b, 解得 a=5,b=4000, 从而所求的需求函数为 Q=4000-5P. 令 Q=0, 得 P=0, 解得 P=800, 所以销售量为零时的价格为每台售价 800 元. 它表示价格增加到每台 800 元时, 没有人再愿意购买这种产品.. 供给函数对某一商品的 供给 是指在一定价格条件下, 生产者愿意出售且有可能出售的商品数量. 供给也是由多种因素决定的, 这里略去价格以外的其他因素, 只讨论供给与价格的关系, 则供给量 Q 便是价格 P 的函数, 记作 Q=ψ ( P), 此函数称为供给函数. 一般来说, 商品的市场价格高, 生产者愿意而且能够向市场提供的商品数量也越多, 因 此一般供给函数 Q=ψ ( P) 是单调增加函数. 人们根据统计数据, 常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数 : 线性函数 Q=aP+b, 其中 a>0; 幂函数 Q=kP a, 其中 k>0,a>0; 指数函数 Q=ae bp, 其中 a,b>0. 3. 均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时商品的价格, 在 Q 同一坐标系中作出需求曲线 D 和供给曲线 S, 如图 3 所示. 曲线 D 和曲线 S 的交点 E(P0,Q0) 就是供需平衡点,P0 就 S 是均衡价格, 此时需求量与供给量 Q0 称为均衡商品量. 例 设某商品的需求函数为 Q=b-aP (a,b>0), 供给 函数为 Q=cP-d,(c,d>0), 求均衡价格 P0. 可得 解由 b-ap0=cp0-d, (a+c)p0=b+d, P0= b+d a+c. Q 0 E P 0 图 3 D P.5. 成本函数 从事生产就需要有投入. 例如, 需要有场地 ( 厂房 ) 机器设备 劳动力 能源 原材料等.

28 函数 5 这些从事生产所需要的投入, 就是成本. 在成本投入中大体可分为两部分, 其一是在短时间 内不发生变化或不明显地随产品量增加而变化的, 如厂房 设备等, 称为固定成本, 常用 C 表示 ; 其二是随产品数量的变化而直接变化的部分, 如原材料 能源 工人的工资等, 称为可 变成本, 常用 C 表示.C 是产品数量 Q 的函数, 即 C=C(Q). 生产 Q 个单位产品时某种产品的可变成本 C 与固定成本 C 之和, 称为总成本, 记作 C, 即 函数 C(Q) 称为总成本函数. 常见的成本函数有 : () 线性成本函数 C(Q)=a+bQ; C=C(Q)=C+C(Q), () 二次成本函数 C(Q)=a+bQ+cQ ; (3) 三次成本函数 C(Q)=a+bQ+cQ +dq 3. 只给出总成本不足以说明企业生产情况的好坏, 通常用生产 Q 个单位产品时的平均成 本, 即生产 Q 个产品时, 单位产品的成本 来评价企业生产情况的好坏. C(Q)= C (Q) (Q) Q =C+C Q 在生产技术水平和原材料 劳动力等生产要素的价格固定不变的条件下, 总成本 平均 成本都是产量的函数. 例 3 已知某种产品的总成本函数为 C(Q)=000+ Q 8, 求当生产 00 个该产品时的总成本和平均成本. 解 由题意, 产量为 00 时的总成本为 所求的平均成本为 C(00)= =50, C(00)= = 收益函数收益是指商品出售后销售者获得的收入, 常用的收益函数有总收益函数与平均收益函数. 总收益是销售者出售一定数量商品所得的全部收入, 常用 R 表示. 平均收益是出售一定数量的商品时, 平均每出售一个单位商品的收入, 也就是销售一定数量商品的单位商品的销售价格, 常用 R 表示. 总收益 R 平均收益 R 都是出售商品数量 Q 的函数, 分别记为 R(Q),R(Q). 如果商品的价格 P 保持不变, 则 R(Q)=PQ, R(Q)=P.

29 6 微积分 ( 第三版 ) 如果商品的需求函数为 P=P(Q), 则 例 4 设某种商品的需求函数为 求销售 5 件商品时的总收益和平均收益. 解 总收益函数为 由已知条件得商品价格为 R(Q)=PQ=QP(Q), R(Q)=P(Q). 3Q+4P=00, P= 00-3Q 4, 因此, 总收益 平均收益分别为 R(Q)=PQ= 00Q-3Q. 4 R(5)= =06.5, 4 R(5)= = 利润函数 生产一定数量产品的总收入与总成本之差称为总利润. 函数 L=L(Q)=R(Q)-C(Q) 称为总利润函数, 其中 Q 是产品数量. 平均利润记作 L, 即 例 5 L= L (Q) Q. 已知某产品价格为 P, 需求函数为 Q=50-5P, 总成本函数为 C=50+Q, 求产 量为多少时利润 L 最大? 最大利润是多少? 解 已知需求函数为 故 P=0- Q 5, 于是收益函数为 Q=50-5P, 利润函数为 R(Q)=PQ=0Q- Q 5, L(Q)=R(Q)-C(Q)=8Q- Q 5-50=- 5 ( Q-0) +30. 所以当 Q=0 时取得最大利润, 最大利润为 30. 习题.5. 已知当某商品价格为 P 时, 消费者对该商品的月需求量为 Q(P)=000-00P, 将月销售额 ( 即消费者 购买此商品的支出 ) 表示为价格 P 的函数.. 某商品供给量 Q 对价格 P 的函数关系为 Q=Q(P)=a+bc -P, 已知当 P= 时,Q=30;P=3 时,Q=50;P=4 时,Q=90. 求供给量 Q 对价格 P 的函数关系.

30 函数 7 3. 设某商品的需求函数与供给函数分别为 D(P)= 5600 和 S(P)=P-0, 找出均衡价格, 并求此时的供给 P 量和需求量. 4. 某工厂生产积木玩具, 每生产一套积木玩具的可变成本为 5 元, 每天的固定成本为 000 元, 如果每套 积木玩具的出厂价为 0 元, 为了不亏本, 该厂每天至少要生产多少套这种积木玩具? 5. 某厂生产的收音机每台可卖 0 元, 固定成本 7500 元, 可变成本为每台 60 元. () 要卖多少台收音机, 厂家才可保本 ( 无盈亏 )? () 卖掉 00 台, 厂家赢利或亏损了多少? (3) 要获得 50 元的利润, 需要卖多少台?. 填空题 总习题一 () 函数 f()= + 的定义域为. + () 函数 =sin π 的值域为 3(+ ). (3) 函数 = sin+cos 的周期为. (4) 设 f()=sin,f[ φ ()]=-, 则 φ ( ) 的定义域为. (5) 设 f()= -, 则 f[f[f()]]=.. 选择题 () 函数 =lg(-) 在区间 ( ) 内有界. (A)(,+ ) (B)(,+ ) (C)(,) (D)(,3) () 设 f()=,0 {,<, 则 g()=f()+f(-)( ). (A) 无意义 (B) 在 [0,] 上有意义 (C) 在 [0,4] 上有意义 (D) 在 [,4] 上有意义, (3) 设 f()= <0 {,g()= -,<0 -, 0 { +, 0, 则 g[f()]=( )., (A) + <0, (B) { - <0, (C) -, 0 { - <0, (D) +, 0 { + <0 -, 0 { +, 0 (4) 设函数 f()=tan e sin, 则 f() 是 ( ). (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (5) 下列函数中不是初等函数的是 ( ). (A)= - (B)= -, - {, > ( C)= sin (e -) [ lg(+ ] ) 3. 判定下列各对函数是否相等 : (D)= --cos ()f()= - -3, g()= - ; ()f()= 3 4-3,g()= 求下列函数的定义域 : ()=arcsin 3 + ; ( )=arcsin lg(-). 5. 设 f() 的定义域为 D(f)=[0,], 求下列各函数的定义域 : ()f(log3); ()f(sin); (3)f(e - ). 6. 设 f() 满足 af()+bf(-)= c ( a,b,c 均为常数, 且 a b ), 求 f().

31 8 微积分 ( 第三版 ) 7. 设 f() 是在 (-,+ ) 上有定义的偶函数, 且对于任意的实数, 满足 f(+π)=f(), 当 0 π 时,f()=, 求 f() 在 [0,π] 上的表达式. 8. 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的 : ()= ln(3+ 3 ); ()=3 tan ; (3)=cos[lg(+ )]; (4)=ln. +[f()] 9. 收音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元, 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过 00 台以上的, 每多订购 00 台售价就降低 元, 但最低价为每台 75 元. () 将每台的实际售价 P 表示为订购量 的函数 ; () 将厂方所获的利润 L 表示成订购量 的函数 ; (3) 某一商行订购了 000 台, 厂方可获利润多少? 0. 每印一本杂志的成本为. 元, 每售出一本杂志仅能得.0 元的收入, 但销售量超过 5000 本时, 还能获得超过部分收入的 0% 作为广告费收入, 试问至少销售多少本杂志才能保本? 销售量达到多少时才能获利 000 元?. 某大楼有 50 间办公室出租, 若定价每间每月租金 0 元, 则可全部租出, 租出的办公室每月需由房主负责维修费 0 元, 若每月租金每提高一个 5 元, 将空出一间办公室, 试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系, 每间每月租金多少时才能获得最大利润? 这时利润是多少?

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