性质 1.1 ( 简单张量线性性质. 以三阶简单张量为例, 可有 : ξ (α η + βˆη ζ = αξ η ζ + βξ ˆη ζ T 3 (R m, α, β R. 证明对 u, v, w R m, 计算 ξ (α η + βˆη ζ(u, v, w = (ξ, u R m (α η + β
|
|
|
- 一 翟
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 1 知识要素 1.1 多重线性函数 张量定义及其代数运算 定义 1.1 ( 多重线性函数, 张量. 映照 满足对第 变量的线性性, 即 复旦大学力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 Φ : R m R m {u 1,, u p } Φ(u 1,, u p R Φ(u 1,, αũ + βû,, u p = αφ(u 1,, ũ,, u p + βφ(u 1,, û,, u p R. 如果 Φ 满足对其所有变量的线性性, 则称 Φ 为 p 重线性函数, 或者称为 p 阶张量. 记 p 阶张量 的全体为 T p (R m, R m 为底空间. 定义 1.2 ( 张量线性空间. 可对 p 阶张量空间 T p (R m 引入线性结构 : 加法 (Φ + Ψ(u 1,, u p Φ(u 1,, u p + Ψ(u 1,, u p, Φ, Ψ T p (R m ; 数乘 (αφ(u 1,, u p αφ(u 1,, u p, α R. 由此, T p (R m 成为线性空间. 定义 1.3 ( 简单张量. 设有 ξ, η, ζ R m, 如下映照 : 称为简单张量. ξ η ζ : R m R m R m {u, v, w} ξ η ζ(u, v, w (ξ, u R m(η, v R m(ζ, w R m 张量分析讲稿 按内积的线性性, 易见函数 ξ η ζ 对其第二变量具有线性性 : ξ η ζ(u, αṽ + βˆv, w (ξ, u R m(η, αṽ + βˆv R m(ζ, w R m = αξ η ζ(u, ṽ, w + βξ η ζ(u, ˆv, w, α, β R. 类似可得, ξ η ζ 对其所有变量具有线性性, 亦即有 ξ η ζ T 3 (R m. 上述定义自然可推广至由有限个向量所构成的简单张量. 对于简单张量, 具有如下代数性质. 1
2 性质 1.1 ( 简单张量线性性质. 以三阶简单张量为例, 可有 : ξ (α η + βˆη ζ = αξ η ζ + βξ ˆη ζ T 3 (R m, α, β R. 证明对 u, v, w R m, 计算 ξ (α η + βˆη ζ(u, v, w = (ξ, u R m (α η + βˆη, v R m (ζ, w R m = α (ξ, u R m ( η, v R m (ζ, w R m + β (ξ, u R m (ˆη, v R m (ζ, w R m = αξ η ζ(u, v, w + βξ ˆη ζ(u, v, w = (αξ η ζ + βξ ˆη ζ(u, v, w. 易见, 对构成简单张量的各个向量都具有上述线性性. 1.2 对偶基与向量的表示 本节引入对偶基, 可说明有限维 Eucld 空间中的任意一个基唯一确定其对偶基. 由此, 任意 一个向量既可由原有的基表示, 亦可由其对偶基表示. 进一步, 由于原有的基确定其对偶基, 则一 个向量相对于原有的基及其对偶基的分量之间必然存在关联. 定理 1.2 ( 对偶基的存在唯一性. 设 {g } m 为 R m 空间的一组基, 则必然唯一存在另外一 组基 {g } m, 满足 : 用矩阵运算可以表示为 式中 I m 为 m 阶单位矩阵. gt1. g T m ( g, g R m = δ. (g 1 g m = I m R m m, 证明因为 {g } m 是 R m 空间的一组基, 所以有 det gt1. g T m ( = det g 1 g m 0. 张量分析讲稿 按线性代数的结论, 即有 (g 1 g m = gt1. 1 I m = gt1. 1 R m m, g T m g T m 即 {g } m 与其对偶基 {g } m 是一一对应的, 因此对偶基是存在且唯一存在的. 2
3 可称基 {g } m 为基 {g } m 的对偶基. 通常, 将指标为下标的基向量 g ( = 1,, m 称为协变基向量, {g } m 称为协变基 ; 将指标为上标的基向量 g ( = 1,, m 称为逆变基向量, {g } m 称为逆变基. 设有 ξ R m, 由于 {g } m 为 R m 中的协变基, 则有 ξ = ξ g, 式中 ξ 称为向量 ξ 的逆变分量. 上式两端对 g 做内积, 有 即有 ( ξ, g R m = ξ ( g, g = R m ξ = ( ξ, g R m. ξ δ = ξ, 为了表示上的简洁, 引入 Ensten 求和约定 (Ensten summaton conventon 略去求 和号, 用一上一下的重复指标表示求和 ➀. 在 Ensten 求和约定下, 上面的求和式可以表示为 ξ = ξ g = ξ g. 协变基 {g } m 的对偶基 {g } m 同样为 R m 空间的基, 因此也有 ξ = 式中 ξ 称为向量 ξ 的协变分量. 显然有 引入 则有协变基与逆变基的转换关系 张量分析讲稿 ξ g = ξ g, ξ = (ξ, g R m, g = (g, g R m, g = (g, g R m, g = g, g = g, g = (g, g R mg = g g, g = (g, g R mg = g g. 再考虑到基的对偶关系, 可得 δ = (g, g R m = (g p g p, g q g q R m = g p g p, 亦即, 矩阵 (g R m m 和 (g R m m 互逆. 同样向量的分量也遵循类似的转换关系 ξ = (ξ, g R m = (ξ, g g R m = g (ξ, g R m = g ξ, ξ = (ξ, g R m = (ξ, g g R m = g (ξ, g R m = g ξ. ➀ 另外本书约定, 如果一个式子中的重复指标超过 2 个, 则 Ensten 求和约定对这些指标失效. 3
4 上述协变基向量与逆变基向量 向量协变分量与逆变分量之间的转换关系可称为 指标升降游戏. 设有另外一组协变基 {g ( } m, 其对应的逆变基为 {g ( } m, g ( = C ( 设有 g, C ( 则有 = (g (, g R m, g ( = C ( g, C ( = (g (, g R m, 式中的 {C ( }m,=1 和 {C ( } m,=1 称为基转换系数. 考虑到 即有 δ = (g, g R m = (C (k g (k, C (s g(s R m = C (k C (k ( C (k = δ R 或者 C (k ( C (k 张量分析讲稿 C (s δ(s (k = C(k = I m R m m. C (k, 以上关系式表明, 基转换系数 {C ( }m,=1 和 {C ( } m,=1 之间仅有一组独立, 且两者之间为互逆关 系. 在新的基下, 任意向量 ξ 可以表示为 所以有坐标转换关系为 ξ = ξ g = ξ C ( g ( = ξ ( g (, ξ = ξ g = ξ C ( g( = ξ ( g (. ξ ( = C ( ξ, ξ ( = C ( ξ. 上述基之间的转换关系 向量相对于不同基的坐标之间的转换关系可称为 指标转换游戏. 1.3 张量的表示 基于张量对于其各个变元的线性性 向量的表示 简单张量的定义以及张量空间的线性结 构, 可以获得一般张量 Φ T p (R m 的表示形式 : 式中 u, = (u, g R m 记作 Φ(u 1,, u p = Φ(u 1,1 g 1,, u p,p g p = u 1,1 u p,p Φ(g 1,, g p = Φ(g 1,, g p (u 1,, u p = Φ 1 p [ (u 1,, u p ] = (Φ 1 p (u 1,, u p, 为向量 u 的第 个协变分量, Φ 1 p = Φ(g 1,, g p. 上式可简单地 Φ = Φ 1 p, 即任意张量可以表示为以其底空间的一组基组成的所有同阶简单张量之线性组合. 同理, 可获得 如下表达形式 : Φ = Φ 1 p g 1 g p, Φ 1 p = Φ(,, g p, Φ = Φ p g 2 g 3 g p, Φ p = Φ(g 1, g 2, g 3,, g p. 4
5 称 Φ 1 p 为张量的逆变分量 ( 所有指标为逆变指标, 仅有一个 ; 称 Φ 1 p 为张量的协变分量 ( 所有指标为协变指标, 仅有一个 ; 称 Φ p 等形式为张量的混合分量 ( 同时含有协变和逆变指标, 共有 2 p 2 个. 定义 1.4 ( 度量张量. 二阶张量 G T 2 (R m 具有形式 : 称 G 为度量张量. G = g g g = g g g = δ g g = δ g g, 在此定义中, 将 G 定义为其中一种形式便可推出其他形式, 如 G g g g, 可有 G = (g g g = g g = δ g g = g (g p g p (g q g q = (g g p g q g p g q = (δ p gq g p g q = g pq g p g q. 可见, 度量张量的两种混合分量都是 Kronecker 符号, 故度量张量实际也为单位仿射量 I δ g g, 故本书不单独定义或使用单位仿射量的称法. 按?? 节 ( 第?? 页 所述, 度量张量的分量实现了向量协变分量及逆变分量之间的指标升降游 戏. 对于张量的协变分量 逆变分量以及混合分量亦可通过度量张量分量实现指标升降. 例如 Φ p Φ(g 1, g 2, g 3,, g p = Φ(g 1p g p, g 2 qg q, g 3,, g p = g 1p g 2 qφ(g p, g q, g 3,, g p = g 1p g 2 qφ p q 3 p. 另一方面, 相对于不同基的张量分量之间仍成立指标转换游戏. 例如 Φ ( 基本代数运算 ( 2 ( 3 ( p Φ(g ( 1, g (2, g (3,, g (p = Φ(C ( 1 1 g 1, C 2 ( 2 g 2, C 3 ( 3 g 3,, C p ( g p p = C ( 1 = C ( 1 1 C 2 ( 2 C 3 1 C 2 ( 2 C 3 ( 3 Cp ( p Φ(g 1, g 2, g 3,, g p ( 3 C p ( p Φ p. 张量的基本代数运算, 包括张量积 / 张量并 e 点积 ( 特殊形式包括全点积, 并且这些代数 运算都可获得其整体表示. 张量分析讲稿 张量积 定义 1.5 ( 张量积. 对 Φ T p (R m, Ψ T q (R m, 可定义 : T p (R m T q (R m {Φ, Ψ} Φ Ψ T p+q (R m, 式中 (Φ Ψ(u 1,, u p, v 1,, v q Φ(u 1,, u p Ψ(v 1,, v q. 5
6 为说明 Φ Ψ T p+q (R m, 可按定义计算 (Φ Ψ(u 1,, αũ + βû,, u p, v 1,, v q Φ(u 1,, αũ + βû,, u p Ψ(v 1,, v q = αφ(u 1,, ũ,, u p Ψ(v 1,, v q + βφ(u 1,, û,, u p Ψ(v 1,, v q = α(φ Ψ(u 1,, ũ,, u p, v 1,, v q + β(φ Ψ(u 1,, û,, u p, v 1,, v q. 上述过程表明 Φ Ψ 对第 个变元 (1 p 具有线性性. 同理对 1 q 也可有 故有 Φ Ψ T p+q (R m. (Φ Ψ(u 1,, u p, v 1, αṽ + βˆv,,, v q = α(φ Ψ(u 1,, u p, v 1,, ṽ,, v q + β(φ Ψ(u 1,, u p, v 1,, ˆv,, v q. 性质 1.3 ( 张量积性质. 张量积具有如下基本性质 : 1. 对 Φ, Ψ T p (R m ; Θ T q (R m, 2. 对 Φ T p (R m ; Ψ, Θ T q (R m, (αφ + βψ Θ = αφ Θ + βψ Θ T p+q (R m ; Φ (αψ + βθ = αφ Ψ + βφ Θ T p+q (R m ; 3. 对 Φ T p (R m, Ψ T q (R m, Θ T r (R m, (Φ Ψ Θ = Φ (Ψ Θ =: Φ Ψ Θ T p+q+r (R m. 证明基于张量的定义, 易于证明张量积的基本性质. 1. 对 u 1,, u p ; v 1,, v q R m, 可有 张量分析讲稿 (αφ + βψ Θ(u 1,, u p, v 1,, v q (αφ + βψ(u 1,, u p Θ(v 1,, v q = [αφ(u 1,, u p + βψ(u 1,, u p ] Θ(v 1,, v q = αφ Θ(u 1,, u p, v 1,, v q + βψ Θ(u 1,, u p, v 1,, v q = (αφ Θ + βψ Θ (u 1,, u p, v 1,, v q. 2. 此性质亦可用类似 (1 中方法证明. 6
7 3. 首先对 u 1,, u p ; v 1,, v q ; w 1,, w r R m, 有 同理可有 张量的 e 点积 式中 (Φ Ψ Θ(u 1,, u p, v 1,, v q, w 1,, w r = [Φ Ψ(u 1,, u p, v 1,, v q ] Θ(w 1,, w r = Φ(u 1,, u p Ψ(v 1,, v q Θ(w 1,, w r. Φ (Ψ Θ(u 1,, u p, v 1,, v q, w 1,, w r = Φ(u 1,, u p Ψ(v 1,, v q Θ(w 1,, w r. 定义 1.6 ( 张量的 e 点积. 对 Φ T p (R m, Ψ T q (R m, 且 e mn{p, q}, 可定义 ( ( : T e p (R m T q (R m {Φ, Ψ} Φ Ψ T e p+q 2e (R m, ( Φ Ψ(u 1,, u p e, v e+1,, v q e Φ(u 1,, u p e, g s1,, g se Ψ(g s 1,, g se, v e+1,, v q. 特别地, e = 1 时称为张量的 点积, 记作 Φ Ψ; e = 2 时称为张量的 二点积, 记作 Φ : Ψ. 性质 1.4 ( 张量的 e 点积的表示. 对 Φ T p (R m, Ψ T q (R m, 它们的 e 点积 (e mn{p, q}, 可有表达形式 : ( Φ Ψ = Φ e 1 p e s1 s e Ψ s 1 s ee+1 q g q = Φ 1 p e s 1 s e Ψ s1 s e e+1 q g q T p+q 2e (R m. 证明设 Φ = Φ 1 p, Ψ = Ψ 1 q g 1 g q, 则 ( Φ Ψ(u 1,, u p e, v e+1,, v q e = Φ(u 1,, u p e, g s1,, g se Ψ(g s 1,, g se, v e+1,, v q = Φ(u 1,1 g 1,, u p e,p e g p e, g s1,, g se Ψ(g s 1,, g s e, v e+1 e+1 g e+1,, vq q g q = u 1,1 u p e,p e v e+1 e+1 v q q Φ(g 1,, g p e, g s1,, g se Ψ(g s 1,, g se, g e+1,, g q 张量分析讲稿 所以有 = Φ 1 p e s1 s e Ψ s 1 s e e+1 q g q (u 1,, u p e, v e+1,, v q. ( Φ Ψ = Φ e 1 p e s1 s e Ψ s 1 s ee+1 q g q = g t1 s 1 g te s e Φ 1 p e t 1 t e Ψ s 1 s e e+1 q g q = Φ 1 p e t 1 t e (g t1 s 1 g te s e Ψ s 1 s ee+1 q g q = Φ 1 p e t 1 t e Ψ t1 t e e+1 q g q. 7
8 可见,e 点积即为指标哑标化. 特别地, 对任意两个 p 阶张量, 可以定义 p 点积, 称为张量的全点积. 定义 1.7 ( 全点积. 对 Φ, Ψ T p (R m, 定义 ( Φ Ψ Φ Ψ = Φ p s 1 s p Ψ s1 s p = Φ s1 s p Ψ s 1 s p R, 称为全点积. 2 应用事例 3 建立路径 基于多重线性函数定义张量 ; 通过简单张量获得张量的表示. 按多重线性函数的性质易于获得张量分量指标的升降关系以及相对于不同基的张量分量之 间的转换关系. 张量分析讲稿 8
<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63>
高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7
![! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7](/thumbs/48/24501715.jpg "! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7")
!! # & ( ) +,. )/ 0 1, 2 ) 3, 4 5. 6 7 87 + 5 1!! # : ;< = > < < ;?? Α Β Χ Β ;< Α? 6 Δ : Ε6 Χ < Χ Α < Α Α Χ? Φ > Α ;Γ ;Η Α ;?? Φ Ι 6 Ε Β ΕΒ Γ Γ > < ϑ ( = : ;Α < : Χ Κ Χ Γ? Ε Ι Χ Α Ε? Α Χ Α ; Γ ;
&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( %
&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % &! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % ,. /, / 0 0 1,! # % & ( ) + /, 2 3 4 5 6 7 8 6 6 9 : / ;. ; % % % % %. ) >? > /,,
Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π
![Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π](/thumbs/52/29426146.jpg "Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π")
! # % & ( ) + (,. /0 +1, 234) % 5 / 0 6/ 7 7 & % 8 9 : / ; 34 : + 3. & < / = : / 0 5 /: = + % >+ ( 4 : 0, 7 : 0,? & % 5. / 0:? : / : 43 : 2 : Α : / 6 3 : ; Β?? : Α 0+ 1,4. Α? + & % ; 4 ( :. Α 6 4 : & %
, ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.<. = (>!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / / < 5 02
! # % & ( ) +, ) %,! # % & ( ( ) +,. / / 01 23 01 4, 0/ / 5 0 , ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ 5 3 3 5 3 1 Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / 3 0 0 / < 5 02 Ν!.! %) / 0
4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ;
! #! % & ( ) +!, + +!. / 0 /, 2 ) 3 4 5 6 7 8 8 8 9 : 9 ;< 9 = = = 4 ) > (/?08 4 ; ; 8 Β Χ 2 ΔΔ2 4 4 8 4 8 4 8 Ε Φ Α, 3Γ Η Ι 4 ϑ 8 4 ϑ 8 4 8 4 < 8 4 5 8 4 4
., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2
! # &!! ) ( +, ., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2 ! 2 2 & & 1 3! 3, 4 45!, 2! # 1 # ( &, 2 &, # 7 + 4 3 ) 8. 9 9 : ; 4 ), 1!! 4 4 &1 &,, 2! & 1 2 1! 1! 1 & 2, & 2 & < )4 )! /! 4 4 &! &,
( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +!
!! # % & & & &! # # % ( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +! ! %!!.! /, ()!!# 0 12!# # 0 % 1 ( ) #3 % & & () (, 3)! #% % 4 % + +! (!, ), %, (!!) (! 3 )!, 1 4 ( ) % % + % %!%! # # !)! % &! % () (! %
Π Ρ! #! % & #! (! )! + %!!. / 0% # 0 2 3 3 4 7 8 9 Δ5?? 5 9? Κ :5 5 7 < 7 Δ 7 9 :5? / + 0 5 6 6 7 : ; 7 < = >? : Α8 5 > :9 Β 5 Χ : = 8 + ΑΔ? 9 Β Ε 9 = 9? : ; : Α 5 9 7 3 5 > 5 Δ > Β Χ < :? 3 9? 5 Χ 9 Β
Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε
! #!! % & ( ) +,. /. 0,(,, 2 4! 6! #!!! 8! &! % # & # &! 9 8 9 # : : : : :!! 9 8 9 # #! %! ; &! % + & + & < = 8 > 9 #!!? Α!#!9 Α 8 8!!! 8!%! 8! 8 Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :!
) & ( +,! (# ) +. + / & 6!!!.! (!,! (! & 7 6!. 8 / ! (! & 0 6! (9 & 2 7 6!! 3 : ; 5 7 6! ) % (. ()
! # % & & &! # % &! ( &! # )! ) & ( +,! (# ) +. + / 0 1 2 3 4 4 5 & 6!!!.! (!,! (! & 7 6!. 8 / 6 7 6 8! (! & 0 6! (9 & 2 7 6!! 3 : ; 5 7 6! ) % (. () , 4 / 7!# + 6 7 1 1 1 0 7!.. 6 1 1 2 1 3
8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε Μ Ε 8 > = 8 9 =
!! % & ( & ),,., / 0 1. 0 0 3 4 0 5 3 6!! 7 8 9 8!! : ; < = > :? Α 4 8 9 < Β Β : Δ Ε Δ Α = 819 = Γ 8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε 8 9 0 Μ Ε 8 > 9 8 9 = 8 9 = 819 8 9 =
) Μ <Κ 1 > < # % & ( ) % > Χ < > Δ Χ < > < > / 7 ϑ Ν < Δ 7 ϑ Ν > < 8 ) %2 ): > < Ο Ε 4 Π : 2 Θ >? / Γ Ι) = =? Γ Α Ι Ρ ;2 < 7 Σ6 )> Ι= Η < Λ 2 % & 1 &
! # % & ( ) % + ),. / & 0 1 + 2. 3 ) +.! 4 5 2 2 & 5 0 67 1) 8 9 6.! :. ;. + 9 < = = = = / >? Α ) /= Β Χ Β Δ Ε Β Ε / Χ ΦΓ Χ Η Ι = = = / = = = Β < ( # % & ( ) % + ),. > (? Φ?? Γ? ) Μ
8 9 < ; ; = < ; : < ;! 8 9 % ; ϑ 8 9 <; < 8 9 <! 89! Ε Χ ϑ! ϑ! ϑ < ϑ 8 9 : ϑ ϑ 89 9 ϑ ϑ! ϑ! < ϑ < = 8 9 Χ ϑ!! <! 8 9 ΧΧ ϑ! < < < < = 8 9 <! = 8 9 <! <
! # % ( ) ( +, +. ( / 0 1) ( 2 1 1 + ( 3 4 5 6 7! 89 : ; 8 < ; ; = 9 ; ; 8 < = 9! ; >? 8 = 9 < : ; 8 < ; ; = 9 8 9 = : : ; = 8 9 = < 8 < 9 Α 8 9 =; %Β Β ; ; Χ ; < ; = :; Δ Ε Γ Δ Γ Ι 8 9 < ; ; = < ; :
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
. /!Ι Γ 3 ϑκ, / Ι Ι Ι Λ, Λ +Ι Λ +Ι
! # % & ( ) +,& ( + &. / 0 + 1 0 + 1,0 + 2 3., 0 4 2 /.,+ 5 6 / 78. 9: ; < = : > ; 9? : > Α
= Υ Ξ & 9 = ) %. Ο) Δ Υ Ψ &Ο. 05 3; Ι Ι + 4) &Υ ϑ% Ο ) Χ Υ &! 7) &Ξ) Ζ) 9 [ )!! Τ 9 = Δ Υ Δ Υ Ψ (
! # %! & (!! ) +, %. ( +/ 0 1 2 3. 4 5 6 78 9 9 +, : % % : < = % ;. % > &? 9! ) Α Β% Χ %/ 3. Δ 8 ( %.. + 2 ( Φ, % Γ Η. 6 Γ Φ, Ι Χ % / Γ 3 ϑκ 2 5 6 Χ8 9 9 Λ % 2 Χ & % ;. % 9 9 Μ3 Ν 1 Μ 3 Φ Λ 3 Φ ) Χ. 0
9!!!! #!! : ;!! <! #! # & # (! )! & ( # # #+
! #! &!! # () +( +, + ) + (. ) / 0 1 2 1 3 4 1 2 3 4 1 51 0 6. 6 (78 1 & 9!!!! #!! : ;!! ? &! : < < &? < Α!!&! : Χ / #! : Β??. Δ?. ; ;
, & % # & # # & % & + # & # # # & # % #,
! # #! % # & # & & ( ( # ) % , & % # & # # & % & + # & # # # & # % #, # % % # % # ) % # % % # % # # % # % # + # % ( ( # % & & & & & & % & & # % # % & & % % % . % # / & & # 0 ) & # % & % ( # # & & & # #
2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 =
! # % # & ( ) % # ( +, & % # ) % # (. / ). 1 2 3 4! 5 6 4. 7 8 9 4 : 2 ; 4 < = = 2 >9 3? & 5 5 Α Α 1 Β ΧΔ Ε Α Φ 7 Γ 9Η 8 Δ Ι > Δ / ϑ Κ Α Χ Ε ϑ Λ ϑ 2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ!
> # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ # Κ Μ 0 Ν Ο Κ Ι Π, Ι Π Θ Κ Ι Π ; 4 # Ι Π Η Κ Ι Π. Ο Κ Ι ;. Ο Κ Ι Π 2 Η
1 )/ 2 & +! # % & ( ) +, + # # %. /& 0 4 # 5 6 7 8 9 6 : : : ; ; < = > < # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ #
6 Β Χ Η Ι ϑ Κ 1 1 Δ 1 =< Χ > Δ Ε > Δ <Β > 9 Φ < ; = 3Χ Χ ΓΒ 1 < ; = Κ 4 Η Λ + % # &!% () # % & #! Π? Μ Ν Ο, 0+ 1, + 2 & # 1,
! # % # & ( & # &) # + % ( &,. + 0 1 23! 4 4 4 5 5 6 4 7 8 9 : ; :
4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ
! # % & & ( ) +, %. % / 0 / 2 3! # 4 ) 567 68 5 9 9 : ; > >? 3 6 7 : 9 9 7 4! Α = 42 6Β 3 Χ = 42 3 6 3 3 = 42 : 0 3 3 = 42 Δ 3 Β : 0 3 Χ 3 = 42 Χ Β Χ 6 9 = 4 =, ( 9 6 9 75 3 6 7 +. / 9
Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ
! # % & ( ) % + ( ), & ). % & /. % 0 1!! 2 3 4 5# 6 7 8 3 5 5 9 # 8 3 3 2 4 # 3 # # 3 # 3 # 3 # 3 # # # ( 3 # # 3 5 # # 8 3 6 # # # # # 8 5# :;< 6#! 6 =! 6 > > 3 2?0 1 4 3 4! 6 Α 3 Α 2Η4 3 3 2 4 # # >
% %! # % & ( ) % # + # # % # # & & % ( #,. %
!!! # #! # % & % %! # % & ( ) % # + # # % # # & & % ( #,. % , ( /0 ) %, + ( 1 ( 2 ) + %, ( 3, ( 123 % & # %, &% % #, % ( ) + & &% & ( & 4 ( & # 4 % #, #, ( ) + % 4 % & &, & & # / / % %, &% ! # #! # # #
! # %& ( %! & & + %!, ( Α Α Α Α Χ Χ Α Χ Α Α Χ Α Α Α Α
Ε! # % & ( )%! & & + %!, (./ 0 1 & & 2. 3 &. 4/. %! / (! %2 % ( 5 4 5 ) 2! 6 2! 2 2. / & 7 2! % &. 3.! & (. 2 & & / 8 2. ( % 2 & 2.! 9. %./ 5 : ; 5. % & %2 2 & % 2!! /. . %! & % &? & 5 6!% 2.
%% &% %% %% %% % () (! #! %!!!!!!!%! # %& ( % & ) +, # (.. /,) %& 0
!! # # %% &% %% %% %% % () (! #! %!!!!!!!%! # %& ( % & ) +, # (.. /,) %& 0 +! (%& / 1! 2 %& % & 0/ / %& + (.%.%, %& % %& )& % %& ) 3, &, 5, % &. ) 4 4 4 %& / , %& ).. % # 6 /0 % &. & %& ) % %& 0.!!! %&
! + +, ) % %.!&!, /! 0! 0 # ( ( # (,, # ( % 1 2 ) (, ( 4! 0 & 2 /, # # ( &
! # %! &! #!! %! %! & %! &! & ( %! & #! & )! & & + ) +!!, + ! + +, ) % %.!&!, /! 0! 0 # ( ( # (,, # ( % 1 2 ) (, 3 0 1 ( 4! 0 & 2 /, # # ( 1 5 2 1 & % # # ( #! 0 ) + 4 +, 0 #,!, + 0 2 ), +! 0! 4, +! (!
7 6 Η : Δ >! % 4 Τ & Β( Β) 5 &! Α Υ Υ 2 Η 7 %! Φ! Β! 7 : 7 9 Λ 9 :? : 9 Λ Λ 7 Φ! : > 9 : 7Δ 2 Η : 7 ΛΔ := ς : Ν 7 Λ Δ = Ν : Ν 7 ΛΔ : = Λ ς :9 Λ 7 Λ! Λ
! % & ( ),. / & 0 1 & 2 1 // % & 3 0 4 5 ( 6( ) ( & 7 8 9:! ; < / 4 / 7 = : > : 8 > >? :! 0 1 & 7 8 Α :! 4 Β ( & Β ( ( 5 ) 6 Χ 8 Δ > 8 7:?! < 2 4 & Ε ; 0 Φ & % & 3 0 1 & 7 8 Α?! Γ ), Η % 6 Β% 3 Ι Β ϑ Ι
Γ Ν Ν, 1 Ο ( Π > Π Θ 5?, ΔΓ 2 ( ΜΡ > Σ 6 = Η 1 Β Δ 1 = Δ Ι Δ 1 4 Χ ΓΗ 5 # Θ Γ Τ Δ Β 4 Δ 4. > 1 Δ 4 Φ? < Ο 9! 9 :; ;! : 9!! Υ9 9 9 ; = 8; = ; =
! 0 1 # & ( & ) +! &,. & /.#. & 2 3 4 5 6 7 8 9 : 9 ; < = : > < = 9< 4 ; < = 1 9 ; 3; : : ; : ;? < 5 51 ΑΒ Χ Δ Ε 51 Δ!! 1Φ > = Β Γ Η Α ΒΧ Δ Ε 5 11!! Ι ϑ 5 / Γ 5 Κ Δ Ε Γ Δ 4 Φ Δ Λ< 5 Ε 8 Μ9 6 8 7 9 Γ Ν
& & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( #
! # % & # (! & & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( # Ι! # % & ( ) & % / 0 ( # ( 1 2 & 3 # ) 123 #, # #!. + 4 5 6, 7 8 9 : 5 ; < = >?? Α Β Χ Δ : 5 > Ε Φ > Γ > Α Β #! Η % # (, # # #, & # % % %+ ( Ι # %
Β Χ Χ Α Β Φ Φ ; < # 9 Φ ; < # < % Γ & (,,,, Η Ι + / > ϑ Κ ( < % & Λ Μ # ΝΟ 3 = Ν3 Ο Μ ΠΟ Θ Ρ Μ 0 Π ( % ; % > 3 Κ ( < % >ϑ Κ ( ; 7
! # % & ( ) +, + )% ). )% / 0 1. 0 3 4 5 6 7 8 7 8 9 : ; < 7 ( % ; =8 9 : ; < ; < > ;, 9 :? 6 ; < 6 5 6 Α Β 5 Δ 5 6 Χ 5 6 5 6 Ε 5 6 Ε 5 5 Β Χ Χ Α Β 7 8 9 Φ 5 6 9 Φ ; < # 9 Φ ; < # 7 8 5 5 < % Γ & (,,,,
3?! ΑΑΑΑ 7 ) 7 3
! # % & ( ) +, #. / 0 # 1 2 3 / 2 4 5 3! 6 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 )7 8 9 9 :5 ; 6< 3?! ΑΑΑΑ 7 ) 7 3 8! Β Χ! Δ!7 7 7 )!> ; =! > 6 > 7 ) 7 ) 7 )
/ Ν #, Ο / ( = Π 2Θ Ε2 Ρ Σ Π 2 Θ Ε Θ Ρ Π 2Θ ϑ2 Ρ Π 2 Θ ϑ2 Ρ Π 23 8 Ρ Π 2 Θϑ 2 Ρ Σ Σ Μ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ2 Σ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ Η Σ Π 2 ϑ Η 2 Ρ Π Ρ Π 2 ϑ Θ Κ Ρ Π
! # #! % & ( ) % # # +, % #. % ( # / ) % 0 1 + ) % 2 3 3 3 4 5 6 # 7 % 0 8 + % 8 + 9 ) 9 # % : ; + % 5! + )+)#. + + < ) ( # )# < # # % 0 < % + % + < + ) = ( 0 ) # + + # % )#!# +), (? ( # +) # + ( +. #!,
! # %! #! #! # % + &, % % ) %. /! # 0 1
! # %! #! #! # % + &, % % ) %. /! # 0 1 2 32 % 4! #! # 4 4 2 32 4 4! # 2 32 ! # % 2 5 2 32 % % 6 2 7 8 %! 6 # %3 3 9 % /, 9 % 2 % % 3 #7 9 % 2 8 7 2 % 3 7 7 7 8 7 7 7 7 3 9 8 8 % 3! # 7 12 1191 1 ; % %
: ; # 7 ( 8 7
(! # % & ( ) +,. / +. 0 0 ) 1. 2 3 +4 1/,5,6 )/ ) 7 7 8 9 : ; 7 8 7 # 7 ( 8 7 ; ;! #! % & % ( # ) % + # # #, # % + &! #!. #! # # / 0 ( / / 0! #,. # 0(! #,. # 0!. # 0 0 7 7 < = # ; & % ) (, ) ) ) ) ) )!
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
) ) ) Ο ΛΑ >. & Β 9Α Π Ν6 Γ2 Π6 Φ 2 Μ 5 ΝΒ 8 3 Β 8 Η 5 Φ6 Β 8 Η 5 ΝΒ 8 Φ 9 Α Β 3 6 ΝΒ 8 # # Ε Ο ( & & % ( % ) % & +,. &
!! # % & ( ) +,.% /.0.% 1 2 3 / 5,,3 6 7 6 8 9 6!! : 3 ) ; < < = )> 2?6 8 Α8 > 6 2 Β 3Α9 Α 2 8 Χ Δ < < Ε! ; # < # )Φ 5 Γ Γ 2 96 Η Ι ϑ 0 Β 9 Α 2 8 Β 3 0 Β 9 Β ΦΚ Α 6 8 6 6 Λ 2 5 8 Η Β 9 Α 2 8 2 Μ 6 Ν Α
# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( ( & +. 4 / &1 5,
# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( 0 2 3 ( & +. 4 / &1 5, !! & 6 7! 6! &1 + 51, (,1 ( 5& (5( (5 & &1 8. +5 &1 +,,( ! (! 6 9/: ;/:! % 7 3 &1 + ( & &, ( && ( )
& &((. ) ( & ) 6 0 &6,: & ) ; ; < 7 ; = = ;# > <# > 7 # 0 7#? Α <7 7 < = ; <
! # %& ( )! & +, &. / 0 # # 1 1 2 # 3 4!. &5 (& ) 6 0 0 2! +! +( &) 6 0 7 & 6 8. 9 6 &((. ) 6 4. 6 + ( & ) 6 0 &6,: & )6 0 3 7 ; ; < 7 ; = = ;# > 7 # 0 7#? Α
PowerPoint 演示文稿
. ttp://www.reej.com 4-9-9 4-9-9 . a b { } a b { }. Φ ϕ ϕ ϕ { } Φ a b { }. ttp://www.reej.com 4-9-9 . ~ ma{ } ~ m m{ } ~ m~ ~ a b but m ~ 4-9-9 4 . P : ; Φ { } { ϕ ϕ a a a a a R } P pa ttp://www.reej.com
% & :?8 & : 3 ; Λ 3 3 # % & ( ) + ) # ( ), ( ) ). ) / & /:. + ( ;< / 0 ( + / = > = =? 2 & /:. + ( ; < % >=? ) 2 5 > =? 2 Α 1 Β 1 + Α
# % & ( ) # +,. / 0 1 2 /0 1 0 3 4 # 5 7 8 / 9 # & : 9 ; & < 9 = = ;.5 : < 9 98 & : 9 %& : < 9 2. = & : > 7; 9 & # 3 2
.., + +, +, +, +, +, +,! # # % ( % ( / 0!% ( %! %! % # (!) %!%! # (!!# % ) # (!! # )! % +,! ) ) &.. 1. # % 1 ) 2 % 2 1 #% %! ( & # +! %, %. #( # ( 1 (
! # %! % &! # %#!! #! %!% &! # (!! # )! %!! ) &!! +!( ), ( .., + +, +, +, +, +, +,! # # % ( % ( / 0!% ( %! %! % # (!) %!%! # (!!# % ) # (!! # )! % +,! ) ) &.. 1. # % 1 ) 2 % 2 1 #% %! ( & # +! %, %. #(
# % & ) ) & + %,!# & + #. / / & ) 0 / 1! 2
!!! #! # % & ) ) & + %,!# & + #. / / & ) 0 / 1! 2 % ) 1 1 3 1 4 5 % #! 2! 1,!!! /+, +!& 2! 2! / # / 6 2 6 3 1 2 4 # / &!/ % ). 1!!! &! & 7 2 7! 7 6 7 3 & 1 2 % # ) / / 8 2 6,!!! /+, +! & 2 9! 3 1!! % %
?.! #! % 66! & () 6 98: +,. / / 0 & & < > = +5 <. ( < Α. 1
!! # % # & ( & ) # +, #,., # / 0 1. 0 1 3 4 5! 6 7 6 7 67 +18 9 : : : : : : : : : :! : : < : : ?.! #! % 66! & 6 1 1 3 4.5 () 6 98: +,. / / 0 & 0 0 + & 178 5 3 0. = +5
Ψ! Θ! Χ Σ! Υ Χ Ω Σ Ξ Ψ Χ Ξ Ζ Κ < < Κ Ζ [Ψ Σ Ξ [ Σ Ξ Χ!! Σ > _ Κ 5 6!< < < 6!< < α Χ Σ β,! Χ! Σ ; _!! Χ! Χ Ζ Σ < Ω <!! ; _!! Χ Υ! Σ!!!! ββ /β χ <
! # %!! ( (! +,. /0 0 1 2,34 + 5 6 7,3. 7, 8, 2 7 + 1 9 #. 3 : + ; + 5 83 8 % 8 2 ; , 1 1 8 2 =? : + 2 = 2 = Α 1,!. Β 3 + 5 Χ Β Β
! Β Β? Β ( >?? >? %? Γ Β? %? % % %? Χ Η Ιϑ Κ 5 8 Λ 9. Μ Ν Ο Χ? Π Β # % Χ Χ Θ Ρ% Ρ% Θ!??? % < & Θ
! # % & ( ) +,. / 0 1 + 2. 3 4. 56. / 7 89 8.,6 2 ; # ( ( ; ( ( ( # ? >? % > 64 5 5Α5. Α 8/ 56 5 9. > Β 8. / Χ 8 9 9 5 Δ Ε 5, 9 8 2 3 8 //5 5! Α 8/ 56/ 9. Φ ( < % < ( > < ( %! # ! Β Β? Β ( >?? >?
9 : : ; 7 % 8
! 0 4 1 % # % & ( ) # + #, ( ) + ) ( ). / 2 3 %! 5 6 7! 8 6 7 5 9 9 : 6 7 8 : 17 8 7 8 ; 7 % 8 % 8 ; % % 8 7 > : < % % 7! = = = : = 8 > > ; 7 Ε Β Β % 17 7 :! # # %& & ( ) + %&, %& ) # 8. / 0. 1 2 3 4 5
) ( ) ( ) ( # ) ( <> ) ( ) ( ) < ( #6 Α! Χ, % Δ Χ 8 % Χ < 8 > Χ 3 Β,Α Α, 8 Χ? 8 > 8 % > # # < > # # # < > 8 8 8, Χ? 8 Ε % <> Ε 8 Φ 4> ( < 8 Φ # Χ, Χ!
!! 3! # % & ( ) +, ) + #. / 0 / 1 / 2 % 4 5 ) ( ) ( 6, 67 8 & ( + )4 9 ( : ; 2 ) ( ) < ( ) 8 ( 2 ) ( 5 2 = ( 2 # >? ) ( ) ( ) ( # ) ( ) ( ) ( ) < ( #6 Α! Χ, % Δ Χ 8 % Χ < 8 > Χ 3 Β,Α Α, 8 Χ? 8 > 8 %
Β Χ + Δ Ε /4 10 ) > : > 8 / 332 > 2 / 4 + Φ + Γ 0 4 Η / 8 / 332 / 2 / 4 + # + Ι + ϑ /) 5 >8 /3 2>2 / 4 + ( )( + 8 ; 8 / 8. 8 :
!! # % & % () + (. / 0 ) 1 233 /. / 4 2 0 2 + + 5. 2 / 6 ) 6. 0 ) 7. 8 1 6 / 2 9 2 :+ ; < 8 10 ; + + ( =0 41 6< / >0 7 0?2) 29 + +.. 81 6> Α 29 +8 Β Χ + Δ Ε /4 10 )+ 2 +. 8 1 6 > 2 9 2 : > 8 / 332 > 2
!! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, , 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9,
! # !! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, 23 3 5 67 # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, 2 6 65, 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9, 2 6 3 5 , 2 6 2, 2 6, 2 6 2, 2 6!!!, 2, 4 # : :, 2 6.! # ; /< = > /?, 2 3! 9 ! #!,!!#.,
8 8 Β Β : ; Χ; ; ; 8 : && Δ Ε 3 4Φ 3 4Φ Ε Δ Ε > Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3? Ε Δ Δ Δ Δ > Δ # Χ 3 Η Ι Ι ϑ 3 Γ 6! # # % % # ( % ( ) + ( # ( %, & ( #,.
! # % & ( ) ( +,.% /.0.% 1 2 3 4 5 6 #! 7 8 9 9 : ; 8 : ; &; ; < ; 7 => 9 9 8?; 8! 3 3 3 3 Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3?
!! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /.
! # !! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /. #! % & & ( ) # (!! /! / + ) & %,/ #! )!! / & # 0 %#,,. /! &! /!! ) 0+(,, # & % ) 1 # & /. / & %! # # #! & & # # #. ).! & #. #,!! 2 34 56 7 86 9
= 9 :!! 2 = 28 ; ; < 8 Χ < ΑΓ Η ΒΙ % ) ϑ4? Κ! < ) & Λ / Λ Η Β 1 ; 8,, Φ Ε, Ε ; 8 / Β < Μ Ν Ο Β1 Π ΒΘ 5 Ρ 1 Γ ΛΓ Ι2Λ 2Λ < Ε Ε Φ Ι Η 8!<!!< = 28 <
0 1 2 / 1! % & ( ), %. / %. 4 5! 6 7 8 7 8 9 : ;! < < < ? : 1! > ΑΒ Χ, %? :! 6 =! Ε Φ 28 = 9 :!! 2 = 28 ; ; < 8 Χ < ΑΓ Η ΒΙ % ) 7 2 8 ϑ4? Κ! < ) & Λ / Λ Η Β 1 ; 8,, Φ Ε, Ε ; 8 / Β < Μ
% % %/ + ) &,. ) ) (!
! ( ) + & # % % % %/ + ) &,. ) ) (! 1 2 0 3. 34 0 # & 5 # #% & 6 7 ( ) .)( #. 8!, ) + + < ; & ; & # : 0 9.. 0?. = > /! )( + < 4 +Χ Α # Β 0 Α ) Δ. % ΕΦ 5 1 +. # Ι Κ +,0. Α ϑ. + Ι4 Β Η 5 Γ 1 7 Μ,! 0 1 0
9 < 9 Α Α < < < Β= =9 Χ 9Β 78! = = 9 ΦΑ Γ Η8 :Ι < < ϑ<; Β Β! 9 Χ! Β Χ Δ Ε <Β Α Α = Α Α Ι Α Α %8 Β < 8 7 8! 8 =
# % 2 %!! ( ) +,. / 0( 1 02 0( 3 4 5!! 6 7 8 8 9 / : /%; 6?!! % %8?
; < 5 6 => 6 % = 5
! # % ( ),,. / 0. 1, ) 2 3, 3+ 3 # 4 + % 5 6 67 5 6, 8 8 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 9! 7 9 9 6 : 6 ; 7 7 7 < 5 6 => 6 % = 5 Δ 5 6 ; Β ;? # Ε 6 = 6 Α Ε ; ; ; ; Φ Α Α Ε 0 Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Β Α Α Α Α Α
1 <9= <?/:Χ 9 /% Α 9 Δ Ε Α : 9 Δ 1 8: ; Δ : ; Α Δ : Β Α Α Α 9 : Β Α Δ Α Δ : / Ε /? Δ 1 Δ ; Δ Α Δ : /6Φ 6 Δ
! #! %&! ( )! +,!. / 1,. + 2 ( 3 4 5 6 7 8 9: : 9: : : ; ; ? =
< < ; : % & < % & > & % &? > & 5 % & ( ; & & % & Α Β + 8 ; Α9 Χ Δ () Χ Δ Ε 41 Φ # (Β % Γ : 9 Χ Δ Η +9 Χ Δ 2 9 Χ Δ 2 0 /? % & Ι 1 ϑ Κ 3 % & % & + 9 Β 9
!! #! % & ( ) +,. / 0 1 2 34 5 6 % & +7 % & 89 % & % & 79 % & : % & < < ; : % & < % & > & % &? > & 5 % & ( ; & & % & Α Β + 8 ; Α9 Χ Δ () Χ Δ Ε 41 Φ # (Β % Γ : 9 Χ Δ Η +9 Χ Δ 2 9 Χ Δ 2 0 /? % & Ι 1 ϑ Κ
1#
! # % & ( % + #,,. + /# + 0 1#. 2 2 3 4. 2 +! 5 + 6 0 7 #& 5 # 8 % 9 : ; < =# #% > 1?= # = Α 1# Β > Χ50 7 / Δ % # 50& 0 0= % 4 4 ; 2 Ε; %5 Β % &=Φ = % & = # Γ 0 0 Η = # 2 Ι Ι ; 9 Ι 2 2 2 ; 2 ;4 +, ϑ Α5#!
; 9 : ; ; 4 9 : > ; : = ; ; :4 ; : ; 9: ; 9 : 9 : 54 =? = ; ; ; : ;
! # % & ( ) ( +, +. ( /0!) ( 1!2!) ( 3 4 5 2 4 7 8 9: ; 9 < : = ; ; 54 ; = ; ; 75 ; # ; 9 : ; 9 : ; ; 9: ; ; 9 : ; ; 4 9 : > ; : = ; ; :4 ; : ; 9: ; 9 : 9 : 54 =? = ; ; ; 54 9 9: ; ;
Α? Β / Χ 3 Δ Ε/ Ε 4? 4 Ε Φ? ΧΕ Γ Χ Η ΙΙ ϑ % Η < 3 Ε Φ Γ ΕΙΙ 3 Χ 3 Φ 4 Κ? 4 3 Χ Λ Μ 3 Γ Ε Φ ) Μ Ε Φ? 5 : < 6 5 % Λ < 6 5< > 6! 8 8 8! 9 9 9! 9 =! = 9!
# %!!! ( ) ( +, +. ( / 0 1) ( 21 1) ( 2 3 / 4!! 5 6 7 7! 8 8 9 : ; < 9 = < < :! : = 9 ; < = 8 9 < < = 9 8 : < >? % > % > % 8 5 6 % 9!9 9 : : : 9 Α % 9 Α? Β / Χ 3 Δ Ε/ Ε 4? 4 Ε Φ? ΧΕ Γ Χ Η ΙΙ ϑ % Η < 3
ΟΠΟ ΟΠ 8 ΠΠ Π8 ΡΟ Σ Β Θ 1 7 Τ 1 Υ 4? = ; > ; 1.= 3 Α14? 4Ι ϑ1 Α 3Ε3 ΕΛ?Τ %1 >: : : ; : : 9 = 7,Ι ΕΑ 8 7,Ι Τ3? 8 7 ΛΙ 3ς 8 7Μ 8 7 Ω ΙςΙ = 8 7 Τ Μ 3Ε Δ?
!! 0 1 # % & ( ) ( +,.% /.#.% / 3, 4! 5 6 7 8 %1 9 9 9 9 : ;: 5 : < %1 = 7 8 7 1 1 > 8 7? Α Β Α 9 % 3 Χ Δ Ε? Φ? Α Ε? 8 7 ; 8 7 Γ? Α Β Α Η Ι Ε 9Ε = ϑ 1 ΑΚΕ 3 Ε Λ? 3 Μ 8 6 8! Ν! ΟΠΟ ΟΠ 8 ΠΠ Π8 ΡΟ Σ Β Θ 1
8 9 : < : 3, 1 4 < 8 3 = >? 4 =?,( 3 4 1( / =? =? : 3, : 4 9 / < 5 3, ; > 8? : 5 4 +? Α > 6 + > 3, > 5 <? 9 5 < =, Β >5
0 ( 1 0 % (! # % & ( ) + #,. / / % (! 3 4 5 5 5 3 4,( 7 8 9 /, 9 : 6, 9 5,9 8,9 7 5,9!,9 ; 6 / 9! # %#& 7 8 < 9 & 9 9 : < 5 ( ) 8 9 : < : 3, 1 4 < 8 3 = >? 4 =?,( 3 4 1( / =? =? : 3, : 4 9 / < 5 3, 5 4
: ; 8 Β < : Β Δ Ο Λ Δ!! Μ Ν : ; < 8 Λ Δ Π Θ 9 : Θ = < : ; Δ < 46 < Λ Ρ 0Σ < Λ 0 Σ % Θ : ;? : : ; < < <Δ Θ Ν Τ Μ Ν? Λ Λ< Θ Ν Τ Μ Ν : ; ; 6 < Λ 0Σ 0Σ >
! # %& ( +, &. / ( 0 # 1# % & # 2 % & 4 5 67! 8 9 : ; < 8 = > 9? 8 < 9? Α,6 ΒΧ : Δ 8Ε 9 %: ; < ; ; Δ Φ ΓΗ Ιϑ 4 Κ6 : ; < < > : ; : ;!! Β : ; 8 Β < : Β Δ Ο Λ Δ!! Μ Ν : ; < 8 Λ Δ Π Θ 9 : Θ = < : ; Δ < 46
! + + / > / + / + > > > +, + &+ 0.? Α Β Χ Β / Δ Δ Α Β Χ Β + & , + ΕΦ (?Γ Η.Δ. + Ι + 1 %+ : +, 5+ + ; +, + Ι + : + ; ϑ + ;! + + Ι & + & ϑ
! # % & () +, () (+. / & # % & () (+ () + 0 1 & ) + + + 2 2 2 1 / & 2 3 ( + (+ 41 ( + 15. / + 6 7 / 5 1 + 1 + 8 8 1/, 4 9 + : 6 ; < ; 6 ; = 9 04 ; 6 ; 49 / &+ > + > + >,+ & &+ / > ! + + / > / + / + > >
Τ Δ Δ ΝΔ Ο Π 1 # % #! 3 Η Μ.! 1 / 5 6 Ρ 3 Γ Η 1 Κ 6 ; Σ 5 8! Μ? Μ! # % Δ Μ 1 # %! = 47 > 47 ; 1 # %! 4Υ #! # Η# # %! 4 =7 =? Ν
! # % &!! ( ) # +. # / 0! 1 + 2! # % 1 3 %! 41 / 5 6 7! # 8 &! ) # 49 : ; :< = >7 7? = > :? 4 = 7Α Β4 7 4:7Χ 4=7! # % 1 # % 1 # %! 1# %! Δ 6 5 Φ6! 4Γ Δ! Η% 5 7 Ι # ϑ Κ Λ = Μ > = =? Μ ϑ Ε < Ε Τ Δ Δ ΝΔ Ο
! # Χ Η Ι 8 ϑ 8 5 Χ ΚΗ /8 Η/. 6 / Λ. /. Η /. Α Α + Α 0. Η 56 + Α : Α Μ / Η +9 Δ /. : Α : ϑ. Η. /5 % Χ
! # % ( ) +. / 0 1 + 2+ 3 4. 56. / 7 8 9 8. 6 2 # :! # # ( : : :! ( = = ( = > > : > : (? : : # : :! :!? : ( : # Α Β Α # : Α > % : Α : Α ( Χ #! Χ # Δ Χ ( Χ ( Φ Χ : Χ ( Χ ( #! / 2 (!( Α Α ( Α Α : =! Γ6 Α
3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε
![3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε](/thumbs/49/25446444.jpg "3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε")
(! # # %& ) +,./ 0 & 0 1 2 / & %&( 3! # % & ( ) & +, ), %!,. / 0 1 2. 3 4 5 7 8 9 : 0 2; < 0 => 8?.. >: 7 2 Α 5 Β % Χ7 Δ.Ε8 0Φ2.Γ Φ 5 Η 8 0 Ι 2? : 9 ϑ 7 ϑ0 > 2? 0 7Ε 2?. 0. 2 : Ε 0 9?: 9 Κ. 9 7Λ /.8 720
9. =?! > = 9.= 9.= > > Η 9 > = 9 > 7 = >!! 7 9 = 9 = Σ >!?? Υ./ 9! = 9 Σ 7 = Σ Σ? Ε Ψ.Γ > > 7? >??? Σ 9
! # %& ( %) & +, + % ) # % % )./ 0 12 12 0 3 4 5 ). 12 0 0 61 2 0 7 / 94 3 : ;< = >?? = Α Β Β Β Β. Β. > 9. Δ Δ. Ε % Α % Φ. Β.,,.. Δ : : 9 % Γ >? %? >? Η Ε Α 9 Η = / : 2Ι 2Ι 2Ι 2Ι. 1 ϑ : Κ Λ Μ 9 : Ν Ο 0
ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν Α Γ Β 1 Α Ο Α : Α 3. / Π Ο 3 Π Θ
# % & ( ) +,& ( + &. / 0 1 2 3 ( 4 4 5 4 6 7 8 4 6 5 4 9 :.; 8 0/ ( 6 7 > 5?9 > 56 Α / Β Β 5 Χ 5.Δ5 9 Ε 8 Φ 64 4Γ Β / Α 3 Γ Β > 2 ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν 3 3 3 Α3 3
!,! = Α ΒΑ 9 9 : 9 Α ) Χ Α : < ΒΑ # < # Χ 8 Δ Α 6 Φ Ε Φ Ε Γ 9 % : Η < 9Χ : Ι # 8 9Χ :Ι 9:Ι Δ 9: Φ 7 : Δ = = 7! Δ ; Χ ΒΑ! < # ; % > Χ = Η 9: ϑ Α ϑ Η! 9
#! # % ( ) +,./ 0( 1 02 0 ( 3 4 5 2 % 6 7 8 9 : 9 : 6 ; %< = = 9 = > :! = 9 : 9 :, % %! #? () + % +. !,! = Α ΒΑ 9 9 : 9 Α ) Χ Α : < ΒΑ # < # Χ 8 Δ Α 6 Φ Ε Φ Ε Γ 9 % : Η < 9Χ : Ι # 8 9Χ :Ι 9:Ι Δ 9: Φ 7
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
,!! #! > 1? = 4!! > = 5 4? 2 Α Α!.= = 54? Β. : 2>7 2 1 Χ! # % % ( ) +,. /0, , ) 7. 2
! # %!% # ( % ) + %, ). ) % %(/ / %/!! # %!! 0 1 234 5 6 2 7 8 )9!2: 5; 1? = 4!! > = 5 4? 2 Α 7 72 1 Α!.= = 54?2 72 1 Β. : 2>7 2 1 Χ! # % % ( ) +,.
! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ! 7 7 Δ Δ 2! Χ Δ = Χ! Δ!! =! ; 9 7 Χ Χ Χ <? < Χ 8! Ε (9 Φ Γ 9 7! 9 Δ 99 Φ Γ Χ 9 Δ 9 9 Φ Γ = Δ 9 2
! # % ( % ) +,#./,# 0 1 2 / 1 4 5 6 7 8! 9 9 : ; < 9 9 < ; ?!!#! % ( ) + %,. + ( /, 0, ( 1 ( 2 0% ( ),..# % (., 1 4 % 1,, 1 ), ( 1 5 6 6 # 77 ! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ!
微分流形上积分学 流形上 Stokes 公式 复旦力学 谢锡麟 1 知识要素 1.1 单位 1 分解 2016 年 4 月 21 日 引理 1.1. 设 U, V R m 为开集, 且 V U, 则 ϕ(x) Cc (R m ), 满足 : supp ϕ(x) U, ϕ(x) 1, x V, ϕ(x
复旦力学 知识要素. 单位 分解 206 年 4 月 2 日 引理.. 设 U, V R m 为开集, 且 V U, 则 ϕx Cc R m, 满足 : supp ϕx U, ϕx, x V, ϕx [0, ], x R m. 如图 所示. X m O εε X α V 2ε X V U V ε O y 图 : 单位 分解示意证明由于 V U, 则有 dv, U : δ > 0, 故可作 X m X
7!# 8! #;! < = >? 2 1! = 5 > Α Β 2 > 1 Χ Δ5 5 Α 9 Α Β Ε Φ 5Γ 1 Η Η1 Δ 5 1 Α Ι 1 Η Ι 5 Ε 1 > Δ! 8! #! 9 Κ 6 Λ!!!! ; ; 9 # !!6! 6! 6 # ;! ;
! #! % & % ( ) ( +, & %. / & % 0 12 / 1 4 5 5! 6 7 8 7 # 8 7 9 6 8 7! 8 7! 8 7 8 7 8 7 8 7 : 8 728 7 8 7 8 7 8 7 8 7 & 8 7 4 8 7 9 # 8 7 9 ; 8 ; 69 7!# 8! #;! < = >? 2 1! = 5 > Α Β 2 > 1 Χ Δ5 5 Α 9 Α Β
9! >: Ε Φ Ε Ε Φ 6 Φ 8! & (, ( ) ( & & 4 %! # +! ; Γ / : ; : < =. ; > = >?.>? < Α. = =.> Β Α > Χ. = > / Δ = 9 5.
! # % & ( # ) & % ( % +, %. +, / #0 & 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 7:5! ; 0< 5 = 8 > 4 4? 754 Α 4 < = Β Χ 3Δ?? 7 8 7 8? 7 8 7 8 7 8 4 5 7 8 7 8 > 4> > 7 8 7 8 7 8 4 : 5 5 : > < 8 6 8 4 5 : 8 4 5 : 9! >: 48 7 8
. Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )? : Β Ν :) Ε Ν & Ν? ς Ε % ) Ω > % Τ 7 Υ Ν Ν? Π 7 Υ )? Ο 1 Χ Χ Β 9 Ξ Ψ 8 Ψ # #! Ξ ; Ξ > # 8! Ζ! #!! Θ Ξ #!! 8 Θ!
!! # %& + ( ) ),., / 0 12 3, 4 5 6, 7 6 6, 8! 1 9 :; #< = 1 > )& )? Α Β 3 % Χ %? 7) >ΔΒ Χ :% Ε? 9 : ; Φ Η Ι & Κ Λ % 7 Μ Ν?) 1!! 9 % Ο Χ Χ Β Π Θ Π ; Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ ; . Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )?
Φ2,.. + Φ5Β( 31 (+ 4, 2 (+, Η, 8 ( (2 3.,7,Χ,) 3 :9, 4 (. 3 9 (+, 52, 2 (1 7 8 ΙΜ 12 (5 4 5? ), 7, Χ, ) 3 :9, 4( > (+,,3, ( 1 Η 34 3 )7 1 )? 54
!! # %& ( ) +, ( ),./0 12,2 34 (+,, 52, 2 (67 8 3., 9: ), ; 5, 4, < 5) ( (, 2 (3 3 1 6 4, (+,,3,0 ( < 58 34 3 )7 1 54 5, 2 2 54, +,. 2 ( :5 ( > 4 ( 37 1, ( 3 4 5? 3 1 (, 9 :), ; 5 4 )1 7 4 )3 5( 34 2 Α
84 / ! / ! 9 9 9!! 9 : ; < = 1 //< & >!! ? : ; <. 1 //< &! Α
5 6! # % # & () +,. /,. + 1 2 3 4 5 6! 7 7! 8 84 5 6 9 5 6 8 84 / 5 6 5 6 56 56 5 6 56 5 6! / 49 8 9 9! 9 9 9!! 9 : ; < = 1 //< & >!! 9 5 8 4 6? 4 9 99 8 8 99 9 7 4 4 7 : ;
! /. /. /> /. / Ε Χ /. 2 5 /. /. / /. 5 / Φ0 5 7 Γ Η Ε 9 5 /
! # %& ( %) & +, + % ) # % % ). / 0 /. /10 2 /3. /!. 4 5 /6. /. 7!8! 9 / 5 : 6 8 : 7 ; < 5 7 9 1. 5 /3 5 7 9 7! 4 5 5 /! 7 = /6 5 / 0 5 /. 7 : 6 8 : 9 5 / >? 0 /.? 0 /1> 30 /!0 7 3 Α 9 / 5 7 9 /. 7 Β Χ9
= > : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = Α > : Β ; < ; 6 < > ;: < Χ ;< : ; 6 < = 14 Δ Δ = 7 ; < Ε 7 ; < ; : <, 6 Φ 0 ; < +14 ;< ; < ; 1 < ; <!7 7
! # % # & ( & ) # +,,., # / 0 1 3. 0. 0/! 14 5! 5 6 6 7 7 7 7 7! 7 7 7 7 7 7 8 9 : 6! ; < ; < ; : 7 7 : 7 < ;1< = = : = >? ) : ; < = > 6 0 0 : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = 7 7 7 Α > : Β ; < ; 6 < > ;:
! Φ Δ < Φ Δ 7 Δ 7 = 7 Δ ; > 7 5ΗΙ 2? Α Ι ϑ Κ ΙΒ Κ 6 ; Δ Δ Δ Δ Δ Λ = 7 Δ 5 2 Χ Β Χ ΙΜ Δ Ν Β Β % Β 3 Ε Κ Ο 2 Π Δ Β Χ Π %ΙΙ 6 > Δ 7 > Δ
!! # % & ( ) & +, ( &. ) +, / 0 ( ) 1 / 0 2 3!! 5 6 7 8 9 ; 9 ; 5 6 7 7 7 > 7 7 ;= 7 5! =!! 6 5! = 7! = 6 5? Α Β %2 Χ Β%! =! = > 6! = 9! = = > Δ = > Ε Δ Φ Δ = ; Γ ! Φ Δ < Φ Δ 7 Δ 7 = 7 Δ
1 7 10 240 í é é í º 182 230nm A X 240 
%? = Β 2Β 2 2 <Χ Φ Α Γ 7Δ 8 3 Ε & % # %& Η! % & &, &), 1 & % & +&,,. & / 0, & 2 %. % 3 % / % 4 %
! # % # & ) + ),. / 0 1 2 ) 1 2 2 ) 3 4 5 6! 7 8 9&3 78 : & ; =? > > > 7 8 9&3 : = = = Α + =?! %? = Β 2Β 2 2
,, ( Δ! # % & % ) % & )% % +, % &. + / +% % % +,. / )% )%. + /. /. 0 / +% )0 )1 2) 20 )1 % 4 0 % % 0 5 % % )) % %6 ) % 6 ) % % % ) % 6. 4 /. 2 %, 78 9
! # % & ( ) ( + % & ( ) &,.# /, 0 1 2 1 # 4 25 6 7 8 9 : 9 6; : < = ; 6= 2 9 = > 2 :! > 21!; 6 Α6Β 67
4 4 4 4 4 4! # % & ( # ) )! ) & +!. # / 0! + 1 & % / 0 2 & #. 3 0 5. 6 7 8 0 4 0 0 # 9 : ; < 9 = >9? Α = Β Χ Δ6 Ε9 8 & 9 : # 7 6 Φ = Γ Η Ι 0 ϑ 9 7 Κ 1 Λ 7 Κ % ΓΗ Δ 9 Η ΕΔ 9 = ;
# # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ %
#! # # %! # + 5 + # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ % ,9 989 + 8 9 % % % % # +6 # % 7, # (% ) ,,? % (, 8> % %9 % > %9 8 % = ΑΒ8 8 ) + 8 8 >. 4. ) % 8 # % =)= )
Ε? Φ ) ( % &! # +. 2 ( (,
0 12 ( 1! # # % & ( ) % ( +, & ). % & /. 4 2! 5 # /6 78 7 7 9 9 / 6 7 7 7 9 9 : 7; 7 ; < =% >9>?!#! Α 2 1 9? Β / 6! #Χ Α 7 5 7 Δ 7 / 6 ; Χ < 7? Ε? Φ ) ( % &! # +. 2 (1 5 5 6 5 6 6 4 0 (, [ Β, Η / Β Γ 7
= 6 = 9 >> = Φ > =9 > Κ Λ ΘΠΗ Ρ Λ 9 = Ρ > Ν 6 Κ = 6 > Ρ Κ = > Ρ Σ Ρ = Δ5 Τ > Τ Η 6 9 > Υ Λ Β =? Η Λ 9 > Η ς? 6 = 9 > Ρ Κ Φ 9 Κ = > Φ Φ Ψ = 9 > Ψ = Φ?
4 5 6 + 5! # % & ( ) +, ). /, 0 1 # % & ( ) + 2 ( 3 ) & 8 9 : ; ? 6 Α Β9 # ΧΔ = Φ > =9 > Κ Λ
% & ( ) +, (
#! % & ( ) +, ( ) (! ( &!! ( % # 8 6 7 6 5 01234% 0 / /. # ! 6 5 6 ;:< : # 9 0 0 = / / 6 >2 % % 6 ; # ( ##+, + # 5 5%? 0 0 = 0 0 Α 0 Β 65 6 66! % 5 50% 5 5 ΗΙ 5 6 Φ Γ Ε) 5 % Χ Δ 5 55 5% ϑ 0 0 0 Κ,,Λ 5!Α
!!! #! )! ( %!! #!%! % + % & & ( )) % & & #! & )! ( %! ),,, )
! # % & # % ( ) & + + !!! #! )! ( %!! #!%! % + % & & ( )) % & & #! & )! ( %! ),,, ) 6 # / 0 1 + ) ( + 3 0 ( 1 1( ) ) ( 0 ) 4 ( ) 1 1 0 ( ( ) 1 / ) ( 1 ( 0 ) ) + ( ( 0 ) 0 0 ( / / ) ( ( ) ( 5 ( 0 + 0 +
Υ 2 Δ Υ 1 = 1 : Φ Υ 1 Ω 5 ς ) Ν + Φ 5 ς ς Α+ ) Ν Φ 6 Ξ ς Α+ 4 Φ Ψ Ψ + = Ε 6 Ψ Ε Ε Π Υ Α Ε Ω 2? Ε 2 5 Ο ; Μ : 4 1 Ω % Β 3 : ( 6 Γ 4 Ρ 2 Ρ
# % & & ( & ) +,. / 0 11 + 23 4 4 5 6 7 %+ 8 9 : ; 8 < %+ % = 4 )>? > Α ( 8 % 1 1 Β Χ > Χ Δ Χ Β > Ε) > 4 > Ε) Φ Δ 5 Γ + % 8 + %. < 6 & % &. : 5 Η+ % Ι & : 5 &% + 8 ) : 6 %, 6, + % 5 ϑ # & > 2 3 Χ Δ Α ;
: Π Δ 9 Δ 9 Δ 9 7 Θ Μ 9 8 Ρ Σ # = Μ 0 ; 9 < = 5 Λ 6 # = = # Μ Μ 7 Τ Μ = < Μ Μ Ο = Ρ # Ο Ο Ο! Ο 5 6 ;9 5 5Μ Ο 6
! # % # & ( ) +, #,. # / 0. 0 2 3 4! 5 6 5 6 7 8 5 6 5 6 8 9 : # ; 9 < = 8 = > 5 0? 0 Α 6 Β 7 5ΧΔ ΕΦ 9Γ 6 Η 5+3? 3Ι 3 ϑ 3 6 ΗΚ Η Λ!Κ Η7 Μ ΒΜ 7 Ν!! Ο 8 8 5 9 6 : Π 5 6 8 9 9 5 6 Δ 9 Δ 9 Δ 9 7 Θ Μ 9 8 Ρ