点 Px y, 既在 x 轴上, 又在 y 轴上 x0 y0 3. 一三象限, 二四象限角平分线上点的坐标特征点 Px, y 在第一三象限夹角的角平分线上 x y; 点 Px y 一直接计算二割补法.,, 即点 P 为坐标原点 0 0, 在第二四象限夹角的角平分线上 x y 0, 即

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公戴
5 years ago
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平面直角坐标系与一次函数知识点一平面直角坐标系一平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 : 在平面内画两条互相垂直, 原点重合的数轴, 就组成了平面直角坐标系 (rectangular coordinate system).. 水平的数轴称为 x 轴或横轴, 习惯上取向右方向为正方向 ; 3. 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴, 取向上方向为正方向 ; 4.

1 平面直角坐标系与一次函数知识点一平面直角坐标系一平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 : 在平面内画两条互相垂直, 原点重合的数轴, 就组成了平面直角坐标系 (rectangular coordinate system).. 水平的数轴称为 x 轴或横轴, 习惯上取向右方向为正方向 ; 3. 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴, 取向上方向为正方向 ; 4. 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点. 5. 两坐标轴把平面分成四个区域, 按逆时针顺序分别称为第一二三四象限. 二坐标系中的点及点的坐标有了平面直角坐标系, 平面内的点就可以用一个有序数对来表示了. 如坐标系中的点 P, 从点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线, 垂足分别为 M 和 N, 这时点 M 在 x 轴上对应的数称为点 P 的横坐标 ( 图中点 P 的横坐标为 3), 点 N 在 y 轴上对应的数称为点 P 的纵坐标 ( 图中点 P 的纵坐标为 ), 依次写出点 P 的横纵坐标得到一对有序数对 3,, 称为点 P 的坐标, 则点 P 可记作 P 3,. 同理, 我们可以得到 Q 点的坐标,3 Q. 对于平面内任意一点 M, 都有惟一的一对有序数对 xy, 和它对应 ; 对于任意一对有序数对 xy,, 在坐标平面内都有惟一的点 M 和它对应, 即 : 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 三特殊点的坐标特征 1. 各象限内点的坐标特征点 Px y, 在第一象限 x0 y0, ; 点 Px y, 在第二象限 x0, y0; y 3 Q N O P M 3 x 点 Px y, 在第三象限 x0 y0. 坐标轴上点的坐标特征, ; 点 Px y 点 Px, y 在 x 轴上 y 0, x 为任意实数 ; 点 Px, y 在 y 轴上 x 0, y 为任意实数 ;, 在第四象限 x0, y0. 第 1 页, 共 47 页

2 点 Px y, 既在 x 轴上, 又在 y 轴上 x0 y0 3. 一三象限, 二四象限角平分线上点的坐标特征点 Px, y 在第一三象限夹角的角平分线上 x y; 点 Px y 一直接计算二割补法.,, 即点 P 为坐标原点 0 0, 在第二四象限夹角的角平分线上 x y 0, 即 x y.,. 1. 割 : 分割, 把图形分割成几部分容易求解的图形, 分别求解, 然后相加即可.. 补 : 补齐, 把图形补成一个容易求解的图形, 然后再减去补上的那些部分. 一坐标找规律的特点 1 坐标规律和以前学过的数字规律图形规律一样, 只不过是放在坐标系中写出前面几个点的坐标, 观察横纵坐标的数字变化, 转化成数字规律 3 观察点的运动规律, 找出其中的变化过程二常见的规律类型 : 循环类数字规律, 等差数列, 等比数列等等二用坐标表示地理位置 1 用有序数对表示平面内点的位置时, 要注意坐标中两个数分别表示的意义及顺序, 如注意区分,3 与 3, 的不同, 切勿混淆. 在表示点的坐标时, 一定要把点的横坐标写在前面, 纵坐标写在后面, 不能颠倒. 三坐标系中点的变换 4. 对称点的坐标特征点 Pa, b 关于 x 轴的对称点是 Pa b 点 Pa, b 关于 y 轴的对称点是 P a b 点 Pa, b 关于坐标原点的对称点是 Pa b,, 即横坐标不变, 纵坐标变为其相反数.,, 即纵坐标不变, 横坐标变为其相反数.,, 即横坐标变为其相反数, 纵坐标也变为其相反数. 点 Pa, b 关于点 Qm, n 的对称点是 M m a n b 四函数的图象定义 : 函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的.,. 描点法画函数图象的步骤 :⑴ 列表 ; ⑵ 描点 ; ⑶ 连线. 函数解析式与函数图象的关系 : (1) 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上 ; () 函数图象上点的坐标满足函数解析式由满足函数关系式的点构成的图像, 都是实际生活中的变量之间的关系. 第页, 共 47 页

3 五正比例函数当两个变量 x 和 y 可以表示成 y=kx(k 为常数, 且 k 0), 则 y 叫做 x 的正比例函数. 正比例函数的图像是一条直线,k>0 时, 经过一三象限,y 随 x 的增大而增大 ;k<0 时, 经过二四,y 随 x 的增大而减小. 六一次函数基本知识七一次函数的应用一次函数面积问题的解题思路 : 1 通过函数解析式, 求出关键点的坐标 ; 通过点的坐标计算相关线段的长度 ; 3 直接计算或者利用割补法计算图形面积. 一次函数与几何是通过点的坐标联系起来的, 在解决这类问题的时候重点是求出关键点的坐标, 转化成线段长度后进一步地倒线段求解. 一一次函数的应用 : 1. 一次函数的自变量取值范围一般是一切实数, 图像是一条直线但由实际问题得到的一次函数解析式, 自变量的取值范围受一些条件的限制往往不是取一切实数, 则图像为线段或射线, 所以在解题过程中, 特别是画函数图像时要注意自变量取值范围.. 一次函数的实际问题通常有两种类型, 一是结合图像用待定系数法求一次函数解析式进而解决实际问题, 二是与解方程或解不等式 ( 组 ) 相结合运用分类讨论法的决策题. 二常见题型 : 1. 图象信息问题 ;. 方案决策问题 ; 3. 行程问题 ; 第 3 页, 共 47 页

4 4. 利润问题 ; 5. 其它类型问题. 八与坐标相关的综合问题知识精讲与坐标相关的综合问题与坐标相关的综合问题大多都是以坐标为载体, 考查对相关其他章节的知识综合根据题目中的条件, 采取灵活多变的解题方法, 培养解决综合题目的能力已知点的坐标在求线段长度的过程中, 特别是含有字母的情况下, 一定要注意加上绝对值, 可以避免漏掉其中某些情况的可能九一次函数与方程不等式一一次函数与一元一次方程的关系 : 直线 y kx b( k 0) 与 x 轴交点的横坐标, 就是一元一次方程 kx b 0( k 0) 的 b 解. 求直线 ykx b与 x 轴交点时, 可令 y 0, 得到方程 kx b 0, 解方程得 x, k b 直线 y kx b 交 x 轴于 (,0), b 就是直线 ykx b与 x 轴交点的横坐标. k k 二一次函数与一元一次不等式的关系 : 任何一元一次不等式都可以转化为 ax b 0 或 ax b 0 ( a b为常数, a 0 ) 的形式, 所以解一元一次不等式可以看作 : 当一次函数值大 ( 小 ) 于 0 时, 求自变量相应的取值范围. 三一次函数与二元一次方程 ( 组 ) 的关系 : 一次函数的解析式 ykxb( k) 0 本身就是一个二元一次方程, 直线 ykxb( k) 0 上有无数个点, 每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 ykxb( k), 0 因此二元一次方程的解也就有无数个. 十一次函数图像的变换例题第 4 页, 共 47 页

5 一单选题 1 如图, 点 A( -,1) 到 y 轴的距离为 ( ) A. - B.1 C. D. 5 C 点 A 的坐标为 ( -,1), 则点 A 到 y 轴的距离为. 在平面直角坐标系中, 点 P 的坐标为 (-,a +1), 则点 P 所在的象限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B a 为非负数, a +1 为正数, 点 P 的符号为 (-,+) 点 P 在第二象限. 3 (01 福建莆田中考 ) 如图, 在平面直角坐标系中,A(1,1), B(-1,1), C(-1,-), D(1,-). 把一条长为 01 个单位长度且没有弹性的细线 ( 线的粗细忽略不计 ) 的一端固定在点 A 处, 并按 A-B-C-D-A- 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上, 则细线另一端所在位置的点的坐标是第 5 页, 共 47 页

6 A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-1,-) D.(1,-) B 本题利用点的坐标考查了数字变化规律, 根据点的坐标求出四边形 ABCD 一周的长度, 从而确定 01 个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键. 根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长, 然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度, 从而确定答案. A(1,1), B(-1,1), C(-1,-), D(1,-), AB=1-(-1)=,BC=1-(-)=3,CD=1-(-1)=,DA=1-(-)=3, 绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 +3++3=10, 01 10=01, 细线另一端在绕四边形第 0 圈的第个单位长度的位置, 即点 B 的位置, 点的坐标为 (-1,1). 故选 B. 4 (014 湖南株洲中考 ) 在平面直角坐标系中, 孔明做走棋的游戏, 其走法是 : 棋子从原点出发, 第 1 步向右走 1 个单位, 第步向右走个单位, 第 3 步向上走 1 个单位, 第 4 步向右走 1 个单位依此类推, 第 n 步的走法是 : 当 n 能被 3 整除时, 则向上走 1 个单位 ; 当 n 被 3 除, 余数为 1 时, 则向右走 1 个单位 ; 当 n 被 3 除, 余数为时, 则向右走个单位, 当走完第 100 步时, 棋子所处位置的坐标是 A.(66,34) B.(67,33) C.(100,33) D.(99,34) C 第 6 页, 共 47 页

7 本题考查了坐标确定位置, 点的坐标位置的规律变化, 读懂题目信息并理解每 3 步为一个循环组依次循环是解题的关键. 根据走法, 每 3 步为一个循环组依次循环, 且一个循环组内向右 3 个单位, 向上 1 个单位, 用 100 除以 3, 然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可. 由题意得, 每 3 步为一个循环组依次循环, 且一个循环组内向右 3 个单位, 向上 1 个单位, 100 3=33 余 1, 走完第 100 步, 为第 34 个循环组的第 1 步, 所处位置的横坐标为 =100, 纵坐标为 33 1=33, 棋子所处位置的坐标是 (100,33). 故选 :C. 5 如图, 在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点均在格点上, 将 ABC 绕点 O 旋转 180 后得到三角 A B C, 则点 B 的对应点 B 的坐标为 ( ) A.( -,-1) B.( -3,3) C.(1,3) D.(0,3) D 根据平面直角坐标系可得 B(0, -3), 将 ABC 绕点 O 旋转 180 后得到三角 A B C, 因此 B 与 B 关于原点对称, 则 B (0,3). 第 7 页, 共 47 页

8 6 如图, 一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A 1 A A 3 A 4 A 5 爬行, 那么蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象大致是 ( ) A. B. C. D. B 因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A 1 A A 3 A 4 A 5 爬行, 从 A 1 A 的过程中, 高度随时间匀速上升, 从 A A 3 的过程, 高度不变, 从 A 3 A 4 的过程, 高度随时间匀速上升, 从 A 4 A 5 的过程中, 高度不变, 所以蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象是 B. 故选 :B. 7 在直角坐标系中, 点 M,N 在同一个正比例函数图象上的是 ( ) A.M(, -3), N( -4,6) B.M( -,3), N(4,6) C.M( -,-3), N(4, -6) D.M(,3), N( -4,6) 第 8 页, 共 47 页

9 A 设正比例函数的解析式为 y=kx, A - 3=k, 解得 :k= -, - 4 ( - )=6,6=6, 点 N 在正比例函数 y= - x 的图象上 ; B 3= - k, 解得 :k= -, 4 ( - )= - 6, - 6 6, 点 N 不在正比例函数 y= - x 的图象上 ; C - 3= - k, 解得 :k=, 4 =6,6-6, 点 N 不在正比例函数 y= x 的图象上 ; D 3=k, 解得 :k=, - 4 = - 6, - 6 6, 点 N 不在正比例函数 y= x 的图象上. 8 (011 天津中考 ) 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式 : 方式 A 以毎分 0.1 元的价格按上网所用时间计费 ; 方式 B 除收月基费 0 元外, 再以毎分 0.05 元的价格按上网所用时间计费. 若上网所用时间为 x 分, 计费为 y 元, 如图, 是在同一直角坐标系中, 分别描述两种计费方式的函数的图象. 有下列结论 : 1 图象甲描述的是方式 A; 图象乙描述的是方式 B; 3 当上网所用时间为 500 分时, 选择方式方法 B 省钱. 其中, 正确结论的个数是 ( ) 第 9 页, 共 47 页

10 A.3 B. C.1 D.0 A 本题主要考查了一次函数图象的特点, 需要学生根据实际问题进行分析, 难度适中. 根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案. 根据一次函数图象特点 : 1 图象甲描述的是方式 A, 正确, 图象乙描述的是方式 B, 正确, 3 当上网所用时间为 500 分时, 选择方式 B 省钱, 正确, 故选 A. 9 如图, 在平面直角坐标中, 直线 l 经过原点, 且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60, 过点 A (0,1) 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B, 过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A 1, 以 A 1 B BA 为邻边作 ABA 1 C 1 ; 过点 A 1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B 1, 过点 B 1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A, 以 A B 1 B 1 A 1 为邻边作 A 1 B 1 A C ; ; 按此作法继续下去, 则 C n 的坐标是 ( ) A.( - 4 n,4 n ) B.( - 4 n-1,4 n-1 ) C.( - 4 n-1,4 n ) D.( - 4 n,4 n-1 ) 第 10 页, 共 47 页

11 C 直线 l 经过原点, 且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60, 直线 l 的解析式为 y= x. AB y 轴, 点 A(0,1), 可设 B 点坐标为 (x,1), 将 B(x,1) 代入 y= x, 得 1= x, 解得 x=, B 点坐标为 (,1),AB=. 在 Rt A 1 AB 中, AA 1 B=90-60 =30, A 1 AB=90, AA 1 = AB=3,OA 1 =OA+AA 1 =1+3=4, ABA 1 C 1 中,A 1 C 1 =AB=, C 1 点的坐标为 (-,4), 即 (- 4 0,4 1 ); 由 x=4, 解得 x=4, B 1 点坐标为 (4,4), A 1 B 1 =4. 在 Rt A A 1 B 1 中, A 1 A B 1 =30, A A 1 B 1 =90, A 1 A = A 1 B 1 =1,OA =OA 1 +A 1 A =4+1=16, A 1 B 1 A C 中,A C =A 1 B 1 =4, C 点的坐标为 (-4,16), 即 (- 4 1,4 ); 同理, 可得 C 3 点的坐标为 (-16,64), 即 (- 4,4 3 ); 以此类推, 则 C n 的坐标是 (- 4 n-1,4 n ). 10 如图, O 的半径为 1, AD, BC 是 O 的两条互相垂直的直径, 点 P 从点 O 出发 ( P 点与 O 点不重合 ), 沿 O C D 的路线运动, 设 AP=x,sin APB=y, 那么 y 与 x 之间的关系图象大致是 ( ) 第 11 页, 共 47 页

12 A. B. C. D. C 当 P 在 OC 上运动时, 根据题意得 : sin APB=, OA=1, AP=x, sin APB=y, xy=1, 即 y= ( 1< x< ), 当 P 在上运动时, APB= AOB=45, 此时 y= ( x< ), 图象为 :, 二填空题 11 若点 P(a - 1,a+1) 到 x 轴的距离是 3, 则它到 y 轴的距离为. 点 P(m+,m - 1) 在 y 轴上, 则点 P 的坐标是. 第 1 页, 共 47 页

13 1 或 5;( 0, - 3) 点 P(a-1,a+1) 到 x 轴的距离是 3, a+1 =3, a+1=3 或 a+1= -3, 解得 a= 或 a= -4, 当 a= 时, 点 P 的坐标为 (1,3), 当 a= -4 时, 点 P 的坐标为 (-5,-3), 点 P 到 y 轴的距离为 1 或 5. 点 P(m+,m-1) 在 y 轴上, m+=0, 解得 :m=-, m-1= -3, 则点 P 的坐标是 :(0, -3). 1 在平面直角坐标系中, 已知 A 1, 0, B 3, 0, 点 C 在 y 轴上, ABC 的面积是 4, 则点 C 的坐标是 0, 或 0, 该题考查的是点的坐标的求解. B A(-1,0) B(3,0) 设点 C 的坐标为 1 S ABC 3 1 y y 4, 解得 y 或, 0, y, 则 ABC 的第 13 页, 共 47 页

14 故点 C 的坐标为 0, 或 0,. 13 如图是轰炸机机群的一个飞行队形, 如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为 A( -, 1) 和 B( -, - 3), 那么第一架轰炸机 C 的平面坐标是. (, - 1). 因为 A( -,1) 和 B( -, - 3), 所以可得点 C 的坐标为 (, - 1), 14 (013 中考昌平区二模 ) 如图, 在平面直角坐标系中, 已知点 A 3,0, B 0,4, 对 AOB 连续作旋转变化, 依次得到三角形 1 3 4, 则第 7 个三角形的直角顶点的坐标是 ; 第 17 个三角形的直角顶点的坐标是. 4,0 ; 67 1, 本题考查的是找规律. 点 B 3,0, 0,4 A, 第 14 页, 共 47 页

15 OB 3, OA 4. AB 3 4 5, OAB 连续做如图所示的旋转变换, OAB 每 3 次旋转后得到原来的状态, 并且向前移动了个单位, 而第 7 个三角形和第 1 个三角形状态一样, 位置向右平移了 1 个单位第 7 个三角形的直角顶点式向右平移了 4 个单位长度第 7 个三角形直角顶点坐标是 4,0 同理第 17 个三角形是第个三角形向右平移了 5 1 个单位长度如图所示 : AD BC AB AC, 5AD 1. 解得 1 AD BD= AB AD 第个三角形的顶点横坐标值为 4BD 7, 纵坐标的值为 AD 第 17 个直角三角形顶点坐标为 : 60 7, (013 初二上期中清华大学附属中学 ) abc 0, 且 y p x 1 一定经过第象限. a b b c c a p, 则直线 c a b 二 ; 三该题考查的是一次函数的性质与分式求值. a b b c c a 因为 p, c a b 第 15 页, 共 47 页

16 a b pc 所以 b c pa a c pb ; 三式相加得到 a b c pa b c, 那么如果 a b c 0, 则 a b c a b c 所以 p 1 c c 如果 a b c 0, 则 p, 则直线 y px 1 则直线 y px 1 即 yx, 经过一, 二, 三象限 ; 所以直线 y px 1 一定经过第二, 三象限. 即 y x 1, 经过二, 三, 四象限 ; 16 (014 初二下期中北京矿业学院附属中学 ) 函数 y ax ax y 0 示, 则关于 x,y 的方程组的解 3y x 3b 与函数 y x b 的图象如图所 3 x 1 y 该题考查的是一次函数的交点. 方程组的解即为图像中两直线的交点的坐标, 由图得, 两直线交点为 1,, x 1 方程组的解为. y 17 平面直角坐标系中的任意两点 P 1 (x 1,y 1 ), P (x,x ), 把 d(p 1,P )= x 1 - x + y 1 - y 称为 P 1,P 两点间的直角距离. 第 16 页, 共 47 页

17 (1) 若点 P 1 (1,), P (3,4), 则 d(p 1,P )= ; () 点 M(,3) 到直线 y=x+ 上的点的最小直角距离是. (1)4()1 (1) P 1 (1,), P (3,4), d(p 1,P )= =+=4, 故答案为 :4; () 设直线上的点为 (x,x+), 则 d= x- + x+-3 = x- + x-1, 当 x<1 时,d=-x+1-x=3-x>1; 当 1 x 时,d=-x+x-1=1, 当 x> 时,d=x-+x-1=x-3>1, 综上可知 d 的最小值为 1, 故答案为 :1. 18 (013 浙江义乌市中考 ) 如图, 直线 l 1 x 轴于点 A(,0), 点 B 是直线 l 1 上的动点. 直线 l :y=x+1 交 l 1 于点 C, 过点 B 作直线 l 3 垂直于 l, 垂足为 D, 过点 O,B 的直线 l 4 交 l 于点 E, 当直线 l 1,l,l 3 能围成三角形时, 设该三角形面积为 S 1, 当直线 l,l 3,l 4 能围成三角形时, 设该三角形面积为 S. (1) 若点 B 在线段 AC 上, 且 S 1 =S, 则 B 点坐标为 ; () 若点 B 在直线 l 1 上, 且 S = 3 S 1, 则 BOA 的度数为. (1)(,0) ()15 或 75 (1) 设 B 的坐标是 (,m), 直线 l :y=x+1 交 l 1 于点 C, 第 17 页, 共 47 页

18 ACE=45, BCD 是等腰直角三角形. BC= 3-m, 则 BD=CD= BC= 3-m, S 1 = 1 ( 3-m ) = 1 4 (3-m). 设直线 l 4 的解析式是 y=kx, 过点 B, 则 k=m, 解得 :k= m, 则直线 l 4 的解析式是 y= m x. m x y x m 根据题意得 :, 解得 :, y x1 m y m 则 E 的坐标是 ( m m, m ). S BCE = 1 BC - = 1 m 3-m 6 m (3 m) =. m m (3 m) S =S BCE -S 1 = - 1 (3 m) m 4 (3-m)^{.[br] 当 }S 1 =S 时, - 1 m 4 (3-m) = 1 4 (3-m). 解得 :m 1 =4 或 m =0, 易得点 C 坐标为 (,3), 即 AC=3, 点 B 在线段 AC 上, m 1 =4 不合题意舍去, 则 B 的坐标是 (,0); () 分三种情况 : 1 当点 B 在线段 AC 上时 (3 m) 当 S = 3 S 1 时, m (3-m) = 3 4 (3-m). 第 18 页, 共 47 页

19 解得 :m=4-3 或 4+ 3 ( 不在线段 AC 上, 舍去 ), 或 m=3(l 和 l4 重合, 舍去 ). 则 AB=4-3. 在 OA 上取点 F, 使 OF=BF, 连接 BF, 设 OF=BF=x. 则 AF=-x, 根据勾股定理,x =(-x) +(4-3 ), 解得 :x=8-4 3, sin BFA= 4 3 = , BFA=30, BOA=15 ; 当点 B 在 AC 延长线上时, (3 m) 此时,S =S BCE +S 1 = + 1 m 4 (3-m) (3 m) 当 S = 3 S 1 时, 得 : + 1 m 4 (3-m) = (3-m), 解得符合题意有 :AB=4+ 3. 在 AB 上取点 G, 使 BG=OG, 连接 OG, 设 BG=OG=x, 则 AG=4+ 3 -x. 根据勾股定理, 得 x =(4+ 3 -x) +, 解得 :x=4, sin OGA= 4 = 1, OGA=30, OBA=15, BOA=75 ; 3 当点 B 在 CA 延长线上时第 19 页, 共 47 页

20 此时,S =S 1 -S BCE = 1 (3 m) 4 (3-m) -, m 当 S = 3 S 1 时, 得 : 1 (3 m) 4 (3-m) - = 3 1 m 4 (3-m), 解得 :m=3(l 和 l 4 重合, 舍去 ), 此时满足条件的点 B 不存在, 综上所述, BOA 的度数为 15 或 75. 三解答题 19 (015 中考顺义二模 ) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 矩形 ABCD 各边都平行于坐标轴, 且 A(-,), C(3,-). 对矩形 ABCD 及其内部的点进行如下操作 : 把每个点的横坐标乘以 a, 纵坐标乘以 b, 将得到的点再向右平移 k( k 0 ) 个单位, 得到矩形 A' B' C ' D ' 及其内部的点 ( A' B' C ' D ' 分别与 ABCD 对应 ).E(,1) 经过上述操作后的对应点记为 E '. (1) 若 a=,b=-3,k=, 则点 D 的坐标为, 点 D ' 的坐标为 ; () 若 A ' (1,4), C ' (6,-4), 求点 E ' 的坐标. y A D O x B C (1)D(3,), D ' (8,-6)( ) E(5,) ' 第 0 页, 共 47 页

21 解 :(1)D(3,), D ' (8,-6),... 分 () 依题可列 : a k 1, 则 a=1,k=3, 3ak 6. b=4,b=, 分 (a,b,k 求出一个给 1 分 ) 点 E(,1), E(5,)...5 ' 分 0 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 函数 y x的图象 l 是第二四象限的角平分线. 实验与探究 : 由图观察易知 A 1,3 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 3,1, 请你写出点 B5,3 关于直线 l 的对称点 B 的坐标 : ; 归纳与发现 : 结合图形, 自己选点再试一试, 通过观察点的坐标, 你会发现 : 坐标平面内任一点 Pm, n 关于第二四象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为 ; 运用与拓广 : 已知两点 C 6,0,,4 D, 试在直线 l 上确定一点, 使这点到 C,D 两点的距离之和最小, 在图中画出这点的位置, 保留作图痕迹, 并求出这点的坐标. l y A B 0 1 x B' 3, 5 ; P' n, m ; 见解析该题考查的是一次函数综合. 第 1 页, 共 47 页

22 A 1,3 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 3,1, B' 3, 5 ; A 1,3,B P' n, m. 5,3 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 3,1,B' 3, 5 ; 如图, 作点 C 关于直线 l 的对称点 C', 连接 C'D, 交 l 于点 E, 连接 CE. 由作图可知, EC EC ', EC ED EC ' ED C' D. 点 E 为所求. C 6,0, C' 0, 6. 设直线 C'D 的解析式为 y kx 6. D,4, k 5. 直线 C'D 的解析式为 y5x 6. y 5x6 x 1 由, 得 y x y 1 E 1, 1. 第页, 共 47 页

23 1 (013 中考怀柔二模 ) 如图, 直线 y kx 1 tan OCB 与 x 轴 y 轴分别交与 B C 两点,. (1) 求 B 点的坐标和 k 的值 ; () 若点 A 是直线 y kx 上的一点. 连结 OA, 若 AOB 的面积是, 请直接写出 A 坐标. y y=kx- O B x C (1) 1,0 ;() 3,4 或 1, 4 该题考查的一次函数综合. (1) y kx 与 y 轴相交于点 C, OC 1 OB tanocb 1 分 OC OB=1 B 点坐标为 : 1,0 分第 3 页, 共 47 页

24 把 B 点坐标 1,0 代入 y kx 解得 k 3 分 ()A 点坐标为 3,4 或 1, 4 5 分 (01 初二上期末昌平区 ) 已知直线 y kx b 经过 M 3, 5 N 1 0, 5. (1) 求直线 MN 的解析式 ; () 当 y 0 时, 求 x 的取值范围 ; (3) 我们将横坐标纵坐标均为整数的点称为整数点, 直接写出此直线与两坐标轴围成的三角形的内部 ( 不包含边界 ) 的整数点的坐标 (1) y x () x (3) 1,1 或, 该题考查的是一次函数. (1) 已知直线 y kx b 经过点 M 3, 5 N 1 0, 5 1 3k b 5 k 解得 b 直线 MN 的解析式为 y x () 在直线 y x 中令 y 0 可知 x, 直线 y x 与 x 轴的交点坐标为, , 且 k 0, 18 当 x 时, 直线在 x 轴上方, 即 y (3) 直线 y x 与 x 轴的交点坐标为, , 18 比大的负整数只有 3 1, 5 所以整点横坐标只可能为 3 1, 当 x 3时, y, 由 0 1可知此时内部无整点, 5 5 第 4 页, 共 47 页

25 当 x 时, y, 由当 x 1时, 6 6 y, 由可知此时内部整数点的坐标为,1. 可知此时内部整数点的坐标为 1,1 综上可知三角形的内部 ( 不包含边界 ) 的整数点的坐标为,1 或 1,1 3 已知正比例函数的图象过点 1,. (1) 求此正比例函数的解析式 ; () 若一次函数 y kx b 图象由 (1) 中的正比例函数的图象平秱得到的, 且经过点 1,, 求此一次函数的解析式 (1) y x() y x 4 该题考查正比例函数综合. (1) 设该正比例函数的解析式为 y kx, 将点 1, 代入解析式得 k. 故该正比例函数的解析式为 y x. () 由第一问可知该一次函数的解析式为 y x b, 又该图像经过点 1,, 将该点坐标代入解析式得, b 4. 故该一次函数的解析式为 y x 4. 4 如图中的折线 ABC 表示某汽车的耗油量 y( 单位 :L/km) 与速度 x( 单位 :km/h) 之间的函数关系 (30 x 10), 已知线段 BC 表示的函数关系中, 该汽车的速度每增加 1km/h, 耗油量增加 0.00L/km. (1) 当速度为 50km/h 100km/h 时, 该汽车的耗油量分别为 L/km L/km. () 求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式. (3) 速度是多少时, 该汽车的耗油量最低? 最低是多少? 第 5 页, 共 47 页

26 (1)0.13,0.14;( )y= x+0.18;( 3) 速度是 80km/h 时, 该汽车的耗油量最低, 最低是 0.1L/km. (1) 设 AB 的解析式为 :y=kx+b, 1 30k b0.15 k 把 (30,0.15) 和 (60,0.1) 代入 y=kx+b 中得 : 解得 k b0.1 b 0.18 AB:y= x+0.18, 当 x=50 时,y= =0.13, 由线段 BC 上一点坐标 (90,0.1) 得 :0.1+(100-90) 0.00=0.14, 故答案为 :0.13,0.14; () 由 (1) 得 : 线段 AB 的解析式为 :y=-0.001x+0.18; (3) 设 BC 的解析式为 :y=kx+b, 90k b0.1 把 (90,0.1) 和 (100,0.14) 代入 y=kx+b 中得 : 100k b0.14 k 0.00 解得, b 0.06 y 0.001x 0.18 BC:y=0.00x-0.06, 根据题意得 y 0.00x0.06 x 80 解得, y 0.1 答 : 速度是 80km/h 时, 该汽车的耗油量最低, 最低是 0.1L/km. 5 (009 四川自贡市中考 ) 阅读 : 我们知道, 在数轴上,x= 表示一个点, 而在平面直角坐标系中 x= 表示一条直线 ; 我们还知道, 以二元一次方程 x-y+1=0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y=x+1 的图象, 它也是一条直线, 如图 1; 观察 1 可得到直线 x= 第 6 页, 共 47 页

27 x 与直线 y=x+1 的交点 P 的坐标 (,3) 就是方程的解. y x 1 在直角坐标系中,x 表示直线 x= 以及它左侧的平面区域 ;y x+1 表示直线 y=x+1 以及它下方的平面区域 ; 分别见 3. x (1) 请在下面所示的坐标中用作图法求方程组的解. y x x () 用阴影表示 y x 所围成的区域. 并求出该区域的面积. y 0 (1) x () 作图见解析 ;9 y 6 (1) 依题如图 : 第 7 页, 共 47 页

28 x 是方程组的解. y 6 () 如图, 阴影表示. x y x 所围成的区域 ABC y 0 S ABC = 1 AC BC = 1 3 6=9. 6 问题情境张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题 : 如图 1, 在 ABC 中,AB=AC, 点 P 为边 BC 上的任一点, 过点 P 作 PD AB,PE AC, 垂足分别为 D E, 过点 C 作 CF AB, 垂足为 F. 求证 :PD+PE=CF. 第 8 页, 共 47 页

29 小林的证明思路是 : 如图, 连接 AP, 由 ABP 与 ACP 面积之和等于 ABC 的面积可以证得 :PD+PE=CF. 小兰的证明思路是 : 如图, 过点 P 作 PG CF, 垂足为 G, 通过证明四边形 PDFG 是矩形, 可得 :PD=GF,PE=CG, 则 PD+PE=CF. 变式探究如图 3, 当点 P 在 BC 延长线上时, 其余条件不变, 求证 :PD-PE=CF; 结论运用请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题: 如图 4, 在平面直角坐标系中有两条直线 l 1 :y= 3 4 x+3 l :y= - 3x+3, 若 l 上的一点 M 到 l 1 的距离是 1, 请运用上述的结论求出点 M 的坐标. 问题情境见解析变式探究见解析结论运用 ( 1 3,) 或 (- 1 3,4). 问题情境如图, 连接 AP, PD AB,PE AC,CF AB, S ABP= 1 AB PD,S ACP= 1 AC PE,S ABC= 1 AB CF, S ABP+S ACP=S ABC, 1 AB PD+ 1 AC PE= 1 AB CF, 又 AB=AC, PD+PE=CF; 第 9 页, 共 47 页

30 变式探究如图 3, 连接 AP, PD AB,PE AC,CF AB, S ABP= 1 AB PD,S ACP= 1 AC PE,S ABC= 1 AB CF, S ABP - S ACP=S ABC, 1 AB PD- 1 AC PE= 1 AB CF, 又 AB=AC, PD-PE=CF; 结论运用由题意可求得 A( -4,0), B(3,0), C(0,1), AB=5,AC=5,BC= 10,OB=3, 当 M 在线段 BC 上时, 过 M 分别作 MP x 轴,MQ AB, 垂足分别为 P Q, 如图 4, 则 S AMC= 1 AC MP,S AMB= 1 AB MQ,S ABC= 1 OB AC, S AMC+S AMB=S ABC, 1 AC MP+ 1 AB MQ= 1 OB AC, 即 1 5 MP = 1 3 5, 解得 MP=, M 点的纵坐标为, 又 M 在直线 y= - 3x+3, 第 30 页, 共 47 页

31 当 y= 时, 代入可求得 x= 1, M 坐标为 ( 1,); 同理, 由前面结论可知当 M 点在线段 BC 外时, 有 MP-MQ =OB, 可求得 MP=4 或 MP= -, 即 M 点的纵坐标为 4 或-, 分别代入 y= -3x+3, 可求得 x= - 1 或 x= ( 舍, 因为它到 l 1 的距离不是 1), M 点的坐标为 ( - 1 3,4); 综上可知 M 点的坐标为 ( 1 3,) 或 ( - 1 3,4). 7 (015 中考通州一模 ) 如图, 在平面直角坐标系中, 已知点 A,3 B 6,3, 连结 AB. 若对于平面内一点 P, 线段 AB 上都存在点 Q, 使得 PQ 1, 则称点 P 是线段 AB 的邻近点 (1) 判断点 D, 5 5, 是否线段 AB 的邻近点 ( 填是或否 ); () 若点, H m n 在一次函数 yx 1的图象上, 且是线段 AB 的邻近点, 求 m 的取值范围. (3) 若一次函数 y x b 的图象上至少存在一个邻近点, 直接写出 b 的取值范围. (1) 是 ;() 3m 5;(3) 3 b 1 (1) 点 D 是线段 AB 的邻近点 ;, () 点 H m n 是线段 AB 的邻近点, 点, nm 1; 直线 y x 1 与线段 AB 交于 4,3 1 当 m 4 时, 有 n m1 3, 又 AB x 轴, H m, n 到线段 AB 的距离是 n 3, 此时点 H m n 在直线 yx 1 上, 第 31 页, 共 47 页

32 0 n 3 1, 4m 5, 当 m 4 时, 有 nm 1 n 3, 又 AB x 轴, H m, n 到线段 AB 的距离是 3 n, 此时点 0 3 n 1, 3m 4, 综上所述, 3m 5 (3) 3 b 1 8 (015 中考怀柔一模 ) 对某种几何图形给出如下定义 : 符合一定条件的动点所形成的图形, 叫做符合这个条件的点的轨迹. 例如, 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹, 是以定点为圆心, 定长为半径的圆., A 0, (1) 如图 1, 在 ABC 中, AB AC, BAC 90,B 是 x 轴上一动点, 当点 B 在 x 轴上运动时, 点 C 在坐标系中运动, 点 C 运动形成的轨迹是直线 DE, 且 DE x 轴于点 G. 则直线 DE 的表达式是. y y D A C A C O B x O B G x E 图 1 图 () 当 ABC 是等边三角形时, 在 (1) 的条件下, 动点 C 形成的轨迹也是一条直线. 第 3 页, 共 47 页

33 1 当点 B 运动到如图的位置时,AC x 轴, 则 C 点的坐标是. 在备用图中画出动点 C 形成直线的示意图, 并求出这条直线的表达式. 3 设中这条直线分别与 x,y 轴交于 E,F 两点, 当点 C 在线段 EF 上运动时, 点 H 在线段 OF 上运动,( 不与 O F 重合 ), 且 CH CE, 则 CE 的取值范围是. y y A A O x O x 备用图 1 备用图 (1) x ;( )1C 点坐标为 y 3x ;3 4 3EC , 3 ; 动点 C 运动形成直线如图, 直线的表达式是 (1) x. ()1C 点坐标为 : 4 3, 3 由 1C 点坐标为 : 4 3, 3 再求得其它一个点 C 的坐标, 如 3,1 或 0, 等 b 代入表达式 y kx b, 解得. k 3 直线的表达式是 y 3x. 动点 C 运动形成直线如图所示 EC 第 33 页, 共 47 页

34 y A O E x F 随堂练习 1 已知点 M m 1,3m 4 到 x 轴 y 轴的距离相等, 则该点的坐标为. M 1 1, 1 1 或 M, 4 4 由于点 M m 1,3m 4 到 x 轴 y 轴的距离相等, 因此 m1 3m 4, 可解得 m 3 5 或 m. 4 (013 初一下期中北京师范大学附属中学 ) 在平面直角坐标系中, 已知 A 1, 0, 3 0 点 C 在 y 轴上, ABC 的面积是 4, 则点 C 的坐标是 B,, 0, 或 0, 该题考查的是点的坐标的求解. 第 34 页, 共 47 页

35 B A(-1,0) B(3,0) 设点 C 的坐标为点 C 的坐标为 1 S ABC 3 1 y y 4, 解得 y 或, 故 0, y, 则 ABC 的 0, 或 0,. 3 如图, 在平面直角坐标系中, 每个最小方格的边长均为 1 个单位长, P 1, P, P 3,, 均在格点上, 其顺序按图中方向排列, 如 :P 1 ( 0, 0), P ( 0, 1), P 3 ( 1, 1), P 4 ( 1, - 1), P 5 ( - 1, - 1), P 6 ( - 1, ) 根据这个规律, 点 P 0 16 的坐标为. ( 504, - 504). 由规律可得,016 4=504, 点 P 的在第四象限的角平分线上, 点 P 4 ( 1, -1), 点 P 8 (, -), 点 P 1 ( 3, -3), 点 P 016 ( 504, -504) 4 (013 中考一模燕山区 ) 如图, 已知直线 l : y x 1 与 l : 1 1 y x, 过直线 1 l 与第 35 页, 共 47 页

36 x 轴的交点 P 1 作 x 轴的垂线交 l 于 Q 1, 过 Q 1 作 x 轴的平行线交 l 1 于 P, 再过 P 作 x 轴的垂线交 l 于 Q, 过 Q 作 x 轴的平行线交 l 1 于 P 3,, 这样一直作下去, 可在直线 l 1 上继续得到点 P 4, P 5,, P n,. 设点 P n 的横坐标为 x n, 则 x, x n 1 与 x n 的数量关系是. 1 ; xn xn 1 3 该题考查的是坐标系背景下的找规律问题. P 1,0, Q 3 1,, P 1 3 1, 将 x n 代入 l : 1 1 y x 1 1 得 y x n 1 1 又知 xn xn 1 整理得 xn xn (014 中考二模朝阳区 ) 类似于平面直角坐标系, 如图 1, 在平面内, 如果原点重合的两条数轴不垂直, 那么我们称这样的坐标系为斜坐标系. 若 P 是斜坐标系 xoy 中的任意一点, 过点 P 分别作两坐标轴的平行线, 与 x 轴 y 轴交于点 M N, 如果 M N 在 x 轴 y 轴上分别对应的实数是 a b, 这时点 P 的坐标为 ab,. (1) 如图, 在斜坐标系 xoy 中, 画出点 A,3 ; () 如图 3, 在斜坐标系 xoy 中, 已知点 B 5,0 C 0,4, 且, 上的任意一点, 则 y 与 x 之间的等量关系式为 ; P x y 是线段 CB (3) 若 () 中的点 P 在线段 CB 的延长线上, 其它条件都不变, 试判断 () 中的结论是否仍然成立, 并说明理由. 第 36 页, 共 47 页

37 4 (1) 见解析 () 见解析 (3) y x 4 5 该题考查的是平面直角坐标系综合. (1) 如图 4 y x 4 ; 3 分 5 (3) 当点 P 在线段 CB 的延长线上时,() 中结论仍然成立. 理由如下 : 过点 P 分别作两坐标轴的平行线, 与 x 轴 y 轴分别交于点 M N, y 1 分 () C 则四边形 ONPM 为平行四边形, 且 PN=x, PM OM x, BM 5 x. PM OC, y. PMB AEB. 4 分 PM OC BM, OB N O B M x P(x,y) 第 37 页, 共 47 页

38 y x5 即 y x 4. 5 分 5 6 如图, 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点, 点 A 的坐标是 (-4,0), 点 B 的坐标是 (0,b)( b>0). P 是直线 AB 上的一个动点, 作 PC x 轴, 垂足为 C. 记点 P 关于 y 轴的对称点为 P ( 点 P 不在 y 轴上 ), 连接 PP,P A,P C. 设点 P 的横坐标为 a. (1) 当 b=3 时, 1 求直线 AB 的解析式 ; 若点 P 的坐标是 (-1,m), 求 m 的值 ; () 若点 P 在第一象限, 记直线 AB 与 P C 的交点为 D. 当 P D:DC=1:3 时, 求 a 的值 ; (3) 是否同时存在 a,b, 使 P CA 为等腰直角三角形? 若存在, 请求出所有满足要求的 a, b 的值 ; 若不存在, 请说明理由. (1)1y= x+3; ;( )a= ;( 3) 所有满足条件的 a,b 的值为 :,. (1)1 设直线 AB 的解析式为 y=kx+3, 把 x= -4,y=0 代入得 :-4k+3=0, k=, 直线的解析式是 :y= x+3, P ( -1,m), 点 P 的坐标是 (1,m), 点 P 在直线 AB 上, m= 1+3= ; 第 38 页, 共 47 页

39 () PP AC, PP D ACD, =, 即 =, a= ; (3) 以下分三种情况讨论. 1 当点 P 在第一象限时, 1) 若 AP C=90,P A=P C( 如图 1) 过点 P 作 P H x 轴于点 H. PP =CH=AH=P H= AC. a= (a+4) a= P H=PC= AC, ACP AOB = =, 即 =, b= ) 若 P AC=90,( 如图 ), 则四边形 P ACP 是矩形, 则 PP =AC. 若 P CA 为等腰直角三角形, 则 :P A=CA, a=a+4 a=4 P A=PC=AC, ACP AOB = =1, 即 =1 b=4 3) 若 P CA=90, 则点 P,P 都在第一象限内, 这与条件矛盾. P CA 不可能是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形. 当点 P 在第二象限时, P CA 为钝角 ( 如图 3), 此时 P CA 不可能是等腰直角三角形 ; 3 当 P 在第三象限时, P AC 为钝角 ( 如图 4), 此时 P CA 不可能是等腰直角三角形. 所有满足条件的 a,b 的值为 :,. 第 39 页, 共 47 页

40 课后作业第 40 页, 共 47 页

41 1 已知点 M m 1,3m 4 到 x 轴 y 轴的距离相等, 则该点的坐标为. M 1 1, 1 1 或 M, 4 4 由于点 M m 1,3m 4 到 x 轴 y 轴的距离相等, 因此 m1 3m 4, 可解得 m 3 5 或 m. 4 (013 初一下期末西城区 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 O(0,0), A(,4), 点 B 在坐标轴的负半轴上, 若 S AOB=4, 则点 B 的坐标为.,0 该题考察的是平面直角坐标系的性质和面积问题. 如图所示 : 过点 A 作 AE 点 O 0,0, 4 1 BO AE 4, BO, 解得 : BO, x 轴于点 E, A,, S =4, AOB 点 B 在坐标轴的负半轴上, 点 B 的坐标为 :,0. 故答案为 :,0. 第 41 页, 共 47 页

4 (01 中考朝阳二模 ) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,A 1 是以 O 为圆心, 为半径的圆与过点 0,1 且平行于 x 轴的直线 l 1 的一个交点 ;A 是以原点 O 为圆心,3 为半径的圆与过点 0, 且平行于 x 轴的直线 l 的一个交点 ;A 3 是以原点 O

42 3 如图, 将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 015 次, 点 P 依次落在点 P 1, P,P 3, P 015 的位置, 则点 P 015 的横坐标为. 014 观察图形结合翻转的方法可以得出 P 1 P 的横坐标是 1,P 3 的横坐标是.5,P 4 P 5 的横坐标是 4,P 6 的横坐标是 5.5 依此类推下去, 因为 013 3=671,( 671-1) 3+.5=01.5, 所以 P 013 的横坐标为 01.5.P 014 P 015 的横坐标是 (01 中考朝阳二模 ) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,A 1 是以 O 为圆心, 为半径的圆与过点 0,1 且平行于 x 轴的直线 l 1 的一个交点 ;A 是以原点 O 为圆心,3 为半径的圆与过点 0, 且平行于 x 轴的直线 l 的一个交点 ;A 3 是以原点 O 为圆心,4 为半径的圆与过点 0,3 且平行于 x 轴的直线 l 3 的一个交点 ;A 4 是以原点 O 为圆心,5 为半径的圆与过点 0, 4 且平行于 x 轴的直线 l 4 的一个交点 ;, 且点 A 1 A A 3 A 4 都在 y 轴右侧, 按照这样的规律进行下去, 点 A 6 的坐标为, 点 A n 的坐标为.( 用含 n 的式子表示,n 是正整数 ). 第 4 页, 共 47 页

43 13, 6 1 1, 1 n n ; n 该题考查的是找规律. 根据题意, 可以首先求得 A 1 A A 3 的坐标, 从中找出规律, 得出再把 n 6代入即可求出答案. A n的坐标, 点 A 1 是以原点 O 为圆心, 半径为的圆与过点 0,1 且平行于 x 轴的直线 l 1 的一个交点, A 1 的坐标为 : 1,1 即 3,1 ; A 是以原点 O 为圆心,3 为半径的圆与过点 0, 且平行于 x 轴的直线 l 的一个交点, A 的坐标为 5, ; 同理可得 : A 3 的坐标为点 A 的坐标为 n n 则点 A 6的坐标为 7,3; 1 1, 1 n n ; 13, 6 5 (013 中考昌平区二模 ) 如图, 已知点 A 1,0, B 0,3, C 3,0, 动点, 上,CP 交 y 轴于点 D, 设 BD 的长为 t. (1) 求 t 关于动点 P 的横坐标 x 的函数表达式 ; P xy 在线段 AB () 若 S : S :1, 求点 P 的坐标, 并判断线段 CD 与线段 AB 的数量及位置关系, 说明理由 ; BCD AOB (3) 在 () 的条件下, 若 M 为 x 轴上的点, 且 BMD 最大, 请直接写出点 M 的坐标. 第 43 页, 共 47 页

44 (1) 1 x t (0 x1) x 3 () 见解析 (3) 1 3,0 M ; M 1 3,0 该题考查的是函数的综合. (1) 如图, 点 A 1,0, 0,3 B, 直线 AB 的解析式为 : y 3x 3 OB 3, BD t, OD 3 t., 作 PE AC 于 E, 则 OE x, PE 3x 3. 设 Px, 3x 3 PE//y 轴, COD CEP. OD OC. PE CE 3 t 3 3x 3 x 3. 1x x 3 t 0 x1. 3 分 (1) 如图, CD AB, CD AB. 1 3 S AOB 13, S BCD : S AOB :1, S BCD 3. BD. 1 x x 3 解得 : x 3. 5 P 3, 分 OD OA 1, OC OB 3, COD BOA 90, COD BOA. 第 44 页, 共 47 页

45 CD AB. 5 分 COD BOA. OCD ABO. 又 CDO BDP, BPD COD 90. CD AB. 6 分 B y D P (3) M 1 3,0, M 1 3,0 C - -1 O A x. 8 分 -1 6 (013 贵州贵阳中考 ) 如图, 在平面直角坐标系中, 有一条直线 l:y=- 3 3 x+4 与 x 轴 y 轴分别交于点 M N, 一个高为 3 的等边三角形 ABC, 边 BC 在 x 轴上, 将此三角形沿着 x 轴的正方向平移. (1) 在平移过程中, 得到 A 1 B 1 C 1, 此时顶点 A 1 恰落在直线 l 上, 写出 A 1 点的坐标 ; () 继续向右平移, 得到 A B C, 此时它的外心 P 恰好落在直线 l 上, 求 P 点的坐标 ; (3) 在直线 l 上是否存在这样的点, 与 () 中的 A B C 任意两点能同时构成三个等腰三角形? 如果存在, 求出点的坐标 ; 如果不存在, 说明理由. (1)( 3,3)( )P(3 3,1)( 3)P(3 3,1), Q( 3,3), S(4 3-3, 3 ), R(4 3 +3,- 3 ) 第 45 页, 共 47 页

46 (1) 等边三角形 ABC 的高为 3, A 1 点的纵坐标为 3, 顶点 A 1 恰落在直线 l 上, 3=- 3 3 x+4, 解得 ;x= 3, A 1 点的坐标是 ( 3,3), 故答案为 :( 3,3); () 设 P(x,y), 连接 A P 并延长交 x 轴于点 H, 连接 B P, 在等边三角 A B C 中, 高 A H=3, A B = 3,HB = 3, 点 P 是等边三角形 A B C 的外心, PB H=30, PH=1, 即 y=1, 将 y=1 代入 y=- 解得 :x=3 3, P(3 3,1); 3 3 x+4, (3) 点 P 是等边三角形 A B C 的外心, PA B, PB C, PA C 是等腰三角形, 点 P 满足的条件, 由 () 得 P(3 3,1), 由 () 得,C (4 点 C 与点 M 重合, PMB =30, 3,0), 点 C 满足直线 y=- 3 3 x+4 的关系式, 设点 Q 满足的条件, QA B, B QC, A QC 能构成等腰三角形, 此时 QA =QB,B Q=B C,A Q=A C, 作 QD x 轴与点 D, 连接 QB, QB = 3, QB D= PMB =60, QD=3, Q( 3,3), 设点 S 满足的条件, SA B, C B S, C SA 是等腰三角形, 此时 SA =SB,C B =C S,C A =C S, 作 SF x 轴于点 F, SC = 3, SB C = PMB =30, 第 46 页, 共 47 页

47 SF= 3, S(4 3-3, 3 ), 设点 R 满足的条件, RA B, C B R, C A R 能构成等腰三角形, 此时 RA =RB,C B =C R,C A =C R, 作 RE x 轴于点 E, RC = 3, RC E= PMB =30, ER= 3, R(4 3 +3,- 3 ), 答 : 存在四个点, 分别是 P(3 3,1),Q( 3,3),S(4 3-3, 3 ),R(4 3 +3,- 3 ). 第 47 页, 共 47 页

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于