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1 数字信号处理第 6 章数字信号处理中的有限字长效应 Chapr 6 Fn Word-lngh Ec n Dgal Sgnal Procssng 黄爱苹浙江大学信电系 秋冬学期 离散时间信号与系统 : 时间离散 ; 信号的取样值 / 频谱值是连续取值的, 系统的系数是连续取值的 数字信号 数字系统是双离散的 : 时间离散 ; 信号值 / 频谱值 系统系数值都是离散的, 用有限位二进制数表示有限字长效应实际值与理论值相比有误差 误差的三个来源 : 输入信号的量化误差 A/D 变换时产生 :ADC 有限字长, 无限精度的模拟信号 有限精度的数字信号 系统系数的量化误差零极点位置改变, 频率响应变化 3 运算误差运算过程中舍入 截尾等引起的误差本章的目的 : 认识这三类误差 了解这三类误差的大小与采用的数的长度 (ADC 位数 信号字长, 系数字长 ) 与数的表示 ( 数制 码制 量化方式 ) 与滤波器的结构型式有什么关系 3 掌握分析误差的实用方法 : 分别考虑 统计分析 6. 数的表示及其对量化的影响 表示 数制 码制 量化方式 定点浮点成组浮点 原码反码补码 舍入截尾 6. 数的表示及其对量化的影响 6.. 二进制表示任意数可以表示成 进制数 b b bb n n bb b bm 运算 加法乘法延迟 常用十进制 二进制 b b, 6. 数的表示及其对量化的影响 6. 数的表示及其对量化的影响 6.. 定点表示 定义 用一定字长的二进制位表示, 小数点的位置固定, 纯小数 < < 加法 不需对位和的绝对值可能超过 溢出 位符号位数据位 位 b b b b, b, 正数 负数 定点值的原码 补码和反码表示 b bb b 正数 b 原码 b 绝对值 补码 b b 绝对值 反码 b b 例 : 3 8 负数. 绝对值. 例 : 3 8. 绝对值每位求反, 末位加. 绝对值. 绝对值每位求反. 乘法 不会溢出 字长加倍, 需进行截尾或舍入 原码 补码 乘法简单 : 符号位逻辑加 ( 异或 ), 尾数相乘加法需判断加数 被加数符号, 决定两数次序及和的符号加法容易, 相加的两数可同号 可异号, 不需按相对大小来决定和的符号 乘法前要先变为原码表示 ; 乘积为负则尾数要改为补码表示 反码 应用少

2 6. 数的表示及其对量化的影响 6. 数的表示及其对量化的影响 6..3 浮点表示运算过程中小数点可移动 c 指数部分尾数部分 尾数 是规格化的小数, 尾数字长 m 决定数的精度 指数部分 c 阶码 C 的字长 C 决定数的范围 位阶符 C 位 位数符 阶码和尾数均为补码时的数值范围 c ( c) m 位 C ( m ) m 浮点数的特点 : 数值范围大运算复杂 速度慢加法 乘法后均需尾数量化加法前需对阶 定点数的特点 : 数值动态范围小运算简单快速乘法后需进行量化加法前需防溢出 乘法加法 两数阶码相加, 尾数相乘 ; 再规格化若两数阶码相同, 则和的阶码 = 两数的阶码若两数阶码不同, 先对阶, 再相加 6. 数的表示及其对量化的影响 6..4 定点制数的量化设量化前 + 位, 量化后 + 位, > 量化误差大小与字长 码制 量化方式有关 () 正数截尾截尾 : 保留 位, 丢掉后面的 - 位正数的原码 补码 反码表示相同 截尾前 b 截尾后 Q[ ] b 截尾误差 Q[ ] b b or 误差范围 ( ), 近似, 6. 数的表示及其对量化的影响 负数的截尾误差 () 原码负数截尾 (3) 补码负数截尾 (4) 反码负数截尾 截尾前 b b ( 略 ) [ ] [ ] 截尾后 Q Q b b 截尾误差 b b 误差范围 ( ) 简记,,, 原码截尾反码截尾 Q [] 3 3 补码截尾 Q [] 量化间距, 是保留的尾数中最低码位的位权 6. 数的表示及其对量化的影响 (5) 舍入不分正负数, 不分原码 / 补码 / 反码, 按最接近的值取 位 6. A/D 变换的字长效应 单独考虑信号的量化效应, 假定系统系数 运算是没有量化的 舍入前 位 线性系统 () a a ˆ( n) yn ˆ 取样 量化 hn 舍入后 位 Q r [] 分两步讨论 :() 无限精度的信号通过 A / D 变换器 ( 字长 + 位 ); 舍入误差误差范围 [ ] r Qr r () 量化信号通过线性系统讨论的目的 : 选择码制的依据? 怎样选择 A / D 变换器字长, 以满足信噪比指标?

3 6.. A / D 变换量化误差的统计分析量化误差 ( 序列 ) n n ˆ n 6. A/D 变换的字长效应 (n) 与输入信号有关, 不能确切知道 量化 ( 舍入或截尾 ) 是非线性运算, 不便于分析将量化误差看作随机变量, 运用统计方法来分析 A/D 变换器的统计模型 () a ( n) a( nt) ˆ( n) ( n) ( n) 抽样 n 为了简化讨论, 假定误差序列 (n): () 是平稳随机序列, 均值与时间无关 () 与信号序列 (n) 不相关 (3) 任意两个抽样均不相关, 是白噪声 (4) 在误差范围内均匀等概 ( 原码截尾 反码截尾不满足 ) P() 6. A/D 变换的字长效应 量化噪声的概率密度函数 原 反码截尾补码截尾舍入 / () 定点舍入量化 均值 m E n p ( ) d / 方差 [() ] E n m [ m ] p()d / / d / / () 定点补码截尾量化 均值 m d 方差 d P() P() 6. A/D 变换的字长效应 6.. A / D 变换量化误差的统计分析 由给定的信噪比指标来确定必需的字长 ˆ( n) ( n) ( n) 舍入量化噪声序列 : 均值 m = 均方值 ( 能量 ) E[[ ( n)] ] E[[ ( n) m] ] 方差 信噪比 (sgnal o nos rao, SR): 信号能量, 或信号平均功率 噪声能量 噪声平均功率 信噪比 对数形式 SR log lg lg lg lg ( db) 字长增加 位,SR 增加 6 db 6.. 量化噪声通过线性系统 6. A/D 变换的字长效应 ( n) ˆ( n) hn yn ˆ yn ( n) n 舍入误差序列输出信号分量 yn n hn 输出噪声分量 ( n) n hn hmn ( m) m 其均值 m E( n) Eh( m) ( nm) m j hmen ( m) H m m m j 方差 E[ ( n)] h ( m) H( ) d m 与信号的量化字长 有关, 与系统特性 h(n) H( jω ) 有关 系统输出端的信噪比 SR lg y 6.3 系数量化误差 6.3 系数量化误差 设计出的系统, 其传输函数的系数具有无限精度 软件 硬件实现时, 系数字长有限 系数量化导致系统的的零点 极点位置偏差 频率响应偏差 系数量化的影响大小与下列因素有关 : 量化字长 滤波器结构 极点 ( 零点 ) 个数和密集程度 讨论目的 : 了解不同结构及特性的滤波器对系数量化的灵敏程度, 从而为滤波器系数字长的选择 滤波器结构的选择提供依据 IIR 系统 az zz Hz G bz zz 一个 a 的量化对全部零点 z 的位置都有影响一个 b 的量化对全部极点 z 的位置都有影响 一个零点位置的偏差 z 取决于所有 a 的量化误差 一个极点位置的偏差 z 取决于所有 b 的量化误差 j 零点 极点位置决定系统的频响 H 极点影响系统的稳定性 多个系数, 每个系数的量化误差都有随机性 3

4 6.3. 系数量化对极点位置的影响 6.3. 极点位置灵敏度 例 : 二阶 IIR 滤波器 H( z) bz bz.9z.z az az.5z.4z z.5, z.4 系统极点 ( 零点 ) 位置对系数量化的灵敏度 灵敏度高 : 系数的微小变化会导致极点 ( 零点 ) 位置较大变化 什么结构的系统, 其零 极点位置灵敏度低? 系数量化 : 符号位 位, 数据位 3 位一个二阶节 ˆ H ( z ).875z.5z 系数量化后的传输函数 Hˆ ( z).5z.375z 级联的两个一阶节 用低阶级联型结构实现, 对系数量化较不敏感 极点位置偏差较大 zˆ.695, zˆ.8 zˆ.5, zˆ.375 极点位置偏差较小 例 :IIR 系统的极点 系数量化后的极点量化前的极点 zˆ z z,,, z z b,,, b 极点位置偏差 各系数 b 的量化误差偏导, 第 个极点位置对第 个系数变化的灵敏度 极点位置灵敏度 6.3. 极点位置灵敏度 z z b z z 系数量化对 FIR 滤波器的影响 一 零点位置灵敏度 - 分析类似于 IIR 滤波器的极点位置灵敏度 - 结论类似 : 应该用低阶节的级联 极点靠得越近, z z 越小, 灵敏度越高 越大 ( 极点数越多 ), 极点越密集, z z 越小, 灵敏度越高 3 z, 则灵敏度高 零点位置灵敏度 : 类似 高阶直接型结构 低阶基本节 极 ( 零 ) 点多而密集, 极 ( 零 ) 点位置灵敏度高, 难以调整 应避免采用 极 ( 零 ) 点少而稀疏, 极 ( 零 ) 点位置灵敏度低 建议采用低阶基本节的级联 / 并联 二 线性相位滤波器, 长度为 用直接型结构实现, 系数量化后单位抽样响应仍然对称, 系统仍是线性相位的 若系数被舍入到 b+ 位, 则滤波器单位取样响应的误差 ( b ) ( b ) ˆ h ( n) h n hn hn j ˆ j j jn 滤波器频率响应的误差 H E( ) H( ) H( ) h( n) n j h n 是零均值的, 所以 H E 是零均值的 假设系数误差序列中的 个取样互不相关, 则 ( b) b ( j H ) E 4 的方差是 项的方差之和 E 48 给定 和允许的频率响应误差, 可确定所需要的数据位量化字长 b E 用级联型结构实现, 系数量化后, 零点仍然互为镜像, 系统仍是线性相位的 6.4 运算中的有限字长效应 误差原因 : 定点加法产生的溢出 ( 高位 ); 乘法 浮点加法后超长尾数的量化 ( 低位 ) 讨论目的 : 为滤波运算位数的选择 滤波器结构的选择提供依据分析方法 : 统计分析 ( 将舍入误差视为噪声, 与原信号线性叠加, 利用信号流图进行分析 ) 定点运算, 乘积超长, 尾数舍入 将舍入误差视为噪声, 与信号线性叠加, 利用信号流图, 进行统计分析 步骤 : 写出数学模型 H(z) h(n) 6.4. 乘积的舍入误差 画流图, 每一乘法后加上等效的噪声序列 3 假设各噪声 : 白色 ; 均匀等概 ; 与信号 ( 输入 中间 输出 ) 不相关 则 m, ( 舍入量化 ) 4 输出端总的噪声 ( 由运算量化引起 ) n ( 项数 = 乘法次数 ) 5 求 (n) 的方差 y 6 计算输出端的信噪比 4

5 6.4. 乘积的舍入误差.4 例 : 二阶低通 Hz, z.9.9z.8z 计算直接型 级联型 并联型结构时定点运算的舍入误差 解 : 直接型结构 n.4 ( n) yn ( n).4 数学模型 Hz.7z.7z ( n).7 z 画流图, 每一乘法后加等效噪声.7 z 3 假设各噪声的统计特性 ( n) 4 输出端总噪声 n n n nh n 其中, h n H ( z).7z.7z 5 总噪声的方差 m m m E nm E n = E n E n E n h n n h (n) 不是随机的 (n) (n) (n) 互不相关 dz 帕塞瓦定理 =3 HzHz j 围线取在.9 z 中 C z.9 dz C j. z.7 z.7 z.7 z z 6.4. 乘积的舍入误差 级联型结构 Hz z z n n nh n nh n 若改变三个子系统的级联次序, (n) 不同 h n H z 其中,.9z.8z hn Hz.8z 5. 并联型结构.36.3 Hz.9z.8z 6.4. 乘积的舍入误差 FIR 滤波器中的乘积舍入误差 6.4. 乘积的舍入误差.55 可见 : 用不同的结构实现, 由运算量化引起的误差不同 运算次序不同, 运算量化引起的误差也不同 从减少运算量化引起的误差角度看 差直接型结构 误差积累起来, 输出误差最大 中级联型结构 误差只通过其后面的反馈环节 优 并联型结构 误差仅通过本子系统的反馈环节 所有误差等效地在输出端相加 ( n) ( n) ( n) ( n) DFT 计算中的有限字长效应 FFT 计算中的有限字长效应 6.4. 极限环振荡 设计出的滤波器是个线性系统 运算量化的滤波器是个非线性系统 可能不稳定, 产生两种极限环振荡. 颗粒型极限环振荡 IIR 滤波器定点运算中有限寄存器长度引起的零输入极限环振荡输入消失后, 还有输出且不衰减表 6. 一阶 IIR 滤波器的有限精度运算过程 a n ( n) 3 4 yn ˆ ayˆ( n) Qayn ˆ yn ˆ Qayn ˆ n 若 a 零输入极限环振荡 任意一阶系统 H z, z a az 有限字长运算 yn ˆ Qayn ˆ n n n 后, Qayˆ n yˆ n 相当于将系数 a 换成 a, 而 a = 这时的等效系统函数 Hz z 其极点在单位圆上, 输出是等幅振荡 6.4. 极限环振荡 a 时, 系统稳定 即 : 舍入处理使系数 a 的衰减作用失效 振荡幅度与字长 和系数 a 有关 a 如何使极限环振荡减弱? 5

6 6.4. 极限环振荡 6.4. 极限环振荡. 溢出振荡 定点数的表示范围 : 绝对值 < 定点加法引起, 和的数值超出了定点数的表示范围, 产生溢出. 溢出振荡 消除或减弱溢出振荡的办法 : gv 补码加法器的输入输出特性曲线 gv 用带有饱和特性的加法器截顶使得溢出振荡消除, 但带来限幅失真 ( 非线性失真 ) 为避免产生溢出振荡, 要保证 v < 二阶 IIR 系统 v < 的充要条件 : 分母多项式系数 b + b < 补充材料 定点运算中的零输入极限环振荡和溢出振荡 ( 扫描自程佩青书第二版 ) 可从课程主页下载, 做作业时可参考 6.4. 极限环振荡 减小非线性失真的方法 : 对输入序列做尺度变换 ( 减小其幅度 ), 使得在系统中任何加法节点处都不会溢出 对输入信号 (n), 系统的第 个节点的响应 第 个节点的单位取样响应 y ( n) h ( m) ( nm) 允许的输入信号上界 m m 输入信号 (n) 的上界 A A h ( m) ( nm) m m h ( m),,... h ( m) 事先对输入信号进行尺度变换 6.4. 极限环振荡. 溢出振荡结论 : 对高阶的系统, 发生溢出的可能性大 一般不采用高阶直接型结构, 而采用低阶节级联 并联 极点配对, 使得基本节满足 : 分母多项式系数 b + b < 阅读材料 定点运算中的零输入极限环振荡和溢出振荡 ( 扫描自程佩青书第二版 ) 可从课程主页下载 做作业时可参考 但是, 求出的 A 可能很小, 造成输入序列被过度缩小, 输出精度降低 其它缩放规则 6

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目录 1 一元多项式回归分析 2 线性等式约束下的回归分析 3 回归分析若干问题讨论 4 第二类回归分析 5 随机动态系统最优状态估计 四川大学 2017 2018 学年第二学期 统计计算 2018 年 4 月 19 日 目录 1 一元多项式回归分析 2 线性等式约束下的回归分析 3 回归分析若干问题讨论 4 第二类回归分析 5 随机动态系统最优状态估计 一元多项式回归分析 全部内容见教材第 331 至 336 页. 1 一元多项式回归模型 : 第 331 页 2 一元多项式回归模型的参数估计 1 直接计算 : 第 331 至 332

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