Microsoft Word - book.doc

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word - book.doc"

畜祺笺蓝
7 years ago
Views:

1 5.4 解线性方程组与线性规划教学要求要求掌握用 Mathematica 解线性方程组的方法, 了解齐次线性方程组的基础解系的概念. 理解线性规划问题的提法, 并掌握用 Mathematica 处理线性规划问题的办法. 知识点. 齐次线性方程组的基础解系. 非齐次线性方程组的通解 3. 线性规划问题的提法 4. 线性规划问题的解与求解齐次线性方程组的基础解系我们知道一般的元线性方程组 a + a a + a am + a m L + L + a + L + a L L + L + a m + = b + = b + = b m (5.4.) 可写成矩阵形式 AX=B, 若 B=0, 则 (5.4.) 称为齐次线性方程组, 当齐次线性方程组系数矩阵 A 的秩 r(a)= 时, 它有唯一的零解, 当 r(a)< 时, 有无穷多个非零解, 且通解含 - r(a) 个任意常数. 例 5.4. 齐次线性方程组的系数矩阵的秩是 3, 有通解 : 5 = c + c, = c, 3 = c c, 4 = c, 5 = c 6 3 其中包含 5-3= 个任意常数 c 与 c. 我们知道, 通解的表达式不是唯一的. 以后我们把齐次线性方程组通解的一组值称为该方程组的一个解向量. 比如令 c =, c =0, 我们就得到一个解向量 : =-, =, 3 =, 4 =0, 5 =0, 我们用矩阵的形式把它表示为 (-,,, 0, 0), 即 X = (-,,, 0, 0). 如果令 c =0, c =, 我们将得到另一个解向量 : 5 X = 0. 于是通解可以写成 X = c X + c X, 或 6 3 X = c c , 76

4.) 可写成矩阵形式 AX=B, 若 B=0, 则 (5.4.) 称为齐次线性方程组, 当齐次线性方程组系数矩阵 A 的秩 r(a)= 时, 它有唯一的零解, 当 r(a)< 时, 有无穷多个非零解, 且通解含 - r(a) 个任意常数. 例 5.4. 齐次线性方程组 + 34 5 + 3 4 4 + 63 + 34 45 + 4 3 + 44 75 的系数矩阵的秩是 3, 有通解 : 5 = c + c, = c, 3 = c c, 4 = c, 5 = c 6 3 其中包含 5-3= 个任意常数 c 与 c.

2 其中 c 与 c 是任意常数. 向量 X 与 X 在通解的表示式中起了基本的作用, 因此把它们组成的集合 { X, X } 称为方程组的一个基础解系. 值得注意的是齐次线性方程组的基础解系不是唯一的. 下面介绍有关的 Mathematica 语句 RowReduce 与 NullSpace: RowReduce[A] 用来把矩阵 A 化简为阶梯形, 并可求出矩阵 A 的秩. 例 5.4. 通过初等行变换将矩阵 0 A = 化为阶梯形, 并求 A 的秩. 解. I[]:=A={{,,,},{,0,-,},{3,,-,3},{3,,,3}} Out[]={{,,,},{,0,-,},{3,,-,3},{3,,,3}} I[]:= RowReduce[A] Out[]={{,0,-,},{0,,,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}} 由此可见, 矩阵 A 有阶梯形 (5.4.) 而且显然 A 的秩是. NullSpace[A] 用来求系数矩阵 A 的齐次线性方程组的一个基础解系. 例求齐次线性方程组 AX 的一个基础解系, 并写出它的通解, 其中 A 为 (5.4.). 解. I[3]:= NullSpace[A] Out[3]={{-,0,0,},{,-,,0}} 于是给定方程组的通解是 X = c 0 + c, 其中 c 0 与 c 是任意常数非齐次线性方程组的通解设 AX=B 是一般的元线性方程组 (5.4.), 其中 Bπ0, 则对应的齐次线性方程组 AX 称为 AX=B 的导出组, AX=B 的通解与导出组的通解有着密切的关系, 即有下面的定理设 X 0 是元线性方程组 (5.4.) AX=B 的一个特解, {X, X,, X k } 是导出组 AX 的一个基础解系, 则 AX=B 的通解是 X = X 0 + c X + c X + + c k X k, 其中 c, c,, c k 是任意常数. 因此, 对于一般的元线性方程组 (5.4.), 只要求出它的任何一个解, 再求出其导出组的一个基础解系, 就可按照定理 5.4., 写出它的通解了. 用 Mathematica 求解一般的元线性方程组的有关语句主要是 : Det, LiearSolve, 77

I[]:=A={{,,,},{,0,-,},{3,,-,3},{3,,,3}} Out[]={{,,,},{,0,-,},{3,,-,3},{3,,,3}} I[]:= RowReduce[A] Out[]={{,0,-,},{0,,,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}} 由此可见, 矩阵 A 有阶梯形 0 0 0 (5.4.

3 Iverse, Solve. Det[A] 是求方阵 A 的行列式. a 例求方阵 M = c 解. I[4]:=M={{a,b},{c,d}} Out[4]={{a,b},{c,d}} I[5]:= Det[M] Out[5]= -(bc)+ad 因此 M = ad -bc. b 的行列式. d 语句 LiearSolve[A, B] 是求线性方程组 AX=B 的一个解, 其中 A 是方阵 ; 而语句 Iverse[A] 是求方阵 A 的逆. + 5y = a 例求线性方程组的解. + y = b 解一. I[6]:=P={{,5},{,}} Out[6]= {{,5},{,}} I[7]:= P.{,y} == {a,b} Out[7]={+5y,+y} == {a,b} I[8]:=Solve[%,{,y}] a 5b a b Out[8]={{-> +, y-> }} 解二. I[9]:=LiearSolve[P,{a,b}] a 5b a b Out[9]={-( ),-( + )} 解三. I[0]:=Iverse[P].{a,b} a 5b a b Out[0]={ +, } a 5b = + 于是得方程组的唯一解 9 9. a b y = 9 9 注. 当方程组的系数行列式为 0 时, 上面的求解过程就失效了, 此时应按定理 5.4. 来解. 也可直接用语句 Solve 求出所有解 = = 例求线性方程组 = 的全部解. 显然此方程组的未知数个数多于方程的个数, 因此有无穷多个解, 我们可用语句 Solve 来求解. 解. I[]:= A={{,,,,-,0},{0,,,,,},{,,0,,0,},{0,,,,0,-}} Out[]= {{,,,,-,0},{0,,,,,},{,,0,,0,},{0,,,,0,-}} 78

{,y} == {a,b} Out[7]={+5y,+y} == {a,b} I[8]:=Solve[%,{,y}] a 5b a b Out[8]={{-> +, y-> }} 9 9 9 9 解二. I[9]:=LiearSolve[P,{a,b}] a 5b a b Out[9]={-( ),-( + )} 9 9 9 9 解三. I[0]:=Iverse[P].

4 I[]:= A.{,,3,4,5,6} =={,,,0} Out[]={ , , ++4+6, } == {,,,0} I[3]:= Solve[%,{,,3,4,5,6}] Out[3]={{ -> , -> , 4->-5-36}} 因此给定方程组的通解是 X = + c + c +c 3, 其中 c, c 与 c 3 是任意常数. 实验某地区有三个产业 : 煤矿发电厂和地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿要支付 0.5 元的电费及 0.5 元的运输费. 生产一元钱的电力, 发电厂要支付 0.65 元的煤费,0.05 元的电费及 0.05 元的运输费. 创收一元钱的运输费, 铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.0 元的电费. 在某一周内, 煤矿接到外地金额为元的定货, 发电厂接到外地金额为 5000 元的定货, 外界对地方铁路没有需求. 请你编制投入产出表, 并求三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求?( 关于投入产出可参看.4.3 线性方程组在经济中的应用 ) 实验假定我国兵器工业主要由五个行业组成, 某年度兵器工业主要行业简化的投入产出平衡表如下 ( 产值单位是亿元 ): A 行业 B 行业 C 行业 D 行业 E 行业合计最终产品总产值 A 行业 B 行业 C 行业 D 行业 E 行业物资能源工资利税总投入如果要求把最终产品均提高 8%, 那么各行业应如何修改生产计划? 线性规划问题的提法例某工厂有甲乙丙丁四个车间, 生产 A B C D E F 六种产品. 根据车间生产条件与原有生产情况, 得知生产各种产品每单位所需工作小时数, 各车间每月工作小时的上限, 以及产品的价格如下表所示 : A B C D E F 每月工作小时上限甲乙丙

0 0 0 0 其中 c, c 与 c 3 是任意常数. 实验 5.4.7 某地区有三个产业 : 煤矿发电厂和地方铁路. 开采一元钱的煤, 煤矿要支付 0.5 元的电费及 0.5 元的运输费. 生产一元钱的电力, 发电厂要支付 0.65 元的煤费,0.05 元的电费及 0.

5 丁单价各种产品每月应该生产多少, 才能使该厂每月的生产总值最大? 我们用,,, 6 分别表示每月生产 A B C D E F 六种产品的单位数, 于是它们应满足下列约束条件 : 其中 0, =,,,6. 于是问题成为求生产总值函数 f = 在上述约束条件下达到最大. 这个 f 称为目标函数, 称为决策变量, 它们应满足的不等式组称为约束条件, 其中 0 称为非负约束. 在这里, 目标函数与约束条件不等式的左端均为决策变量的线性函数, 因此把这个问题称为线性规划. 一般情况, 约束条件可以是包含的不等式, 也可以是包含的不等式或等式, 同样, 目标函数可以是求最大值, 也可以是求最小值. 但我们总可以把给定线性规划问题化为等价的标准形式 : (LP) s.t. = mi a i f 0, = b = i c =, L,, i =, L, m 其中目标函数 f 是求最小值, 约束条件是包含的不等式. 也可以写成矩阵形式 : mi f = c s.t. A b, 线性规划问题的解与求解满足约束条件 A b, 0 的向量称为线性规划问题 (LP) 的一个可行解, 全体可行解的集合称为 (LP) 的可行域, 使目标函数 f 达到最小值的可行解称为 (LP) 的最优解, 其对应的目标函数的值称为最优值. 我们先用作图的方法解一个简单线性规划问题, 从直观上理解线性规划问题的解例求解两个变量的线性规划问题 mi f = - + y s.t. - y - y + y 5, y 0. 解. 我们知道, 二元一次方程 a + b y + c 表示直角坐标平面上的一条直线, 该直线又把整个平面分成两个半平面, 分别可以用二元一次不等式 a + b y + c > 0 与 a + b y + c < 0 表示 ( 如果带边界, 只要将 > 与 < 分别改成与即可 ). 现在, 问题中的五个不等式分别表示五个半平面, 于是问题成为在这五个半平面的交集上求函数 f = - + y 的最小值. 我们作图如下 : 图 5. 80

这个 f 称为目标函数, 称为决策变量, 它们应满足的不等式组称为约束条件, 其中 0 称为非负约束. 在这里, 目标函数与约束条件不等式的左端均为决策变量的线性函数, 因此把这个问题称为线性规划.

6 图中的四边形 ADEC( 包括边界 ) 是问题的可行域, 其中顶点的坐标分别是 : A(7/3,8/3), D(,0), E(,0), C(4,). 另一方面, 二元线性函数 f = - + y 显然连续, 而且其线性性质使它只能在可行域四边形 ADEC 的边界上取得最小值. 进一步, 它又在边界的四条线段 AD, DE, EC, CA 的各自端点处取得该线段上函数的最小值. 因此, 我们只要计算出四个顶点 A,D,E,C 处的函数值 : f(a) = /3, f(d) = -, f(e) = -, f(c) = -3, 其中的最小者 f(c) = -3 就是问题的解. 在 Mathematica 中解线性规划问题可用下面的三种语句. 在约束条件下求目标函数 f 的最大值, 用语句 : CostraiedMa[f, {iequalities},{, y, }] 在约束条件下求目标函数 f 的最小值, 用语句 : CostraiedMi[f, {iequalities},{, y, }] 以上两种语句不必将问题标准化. 如果解矩阵形式的线性规划问题, 则应先将问题化为等价的标准形式 (LP), 然后用语句 : LiearProgrammig[c, A, b] 例 Ma f = 5 + 7y s.t. + 5 y y 4, y 0. 解. I[4]:= CostraiedMa[5 + 7y,{ + 5y<=50, 3 + y<=4},{, y}] Out[4]={9,{ ->0, y->6}} 于是得 f(0,6) = 9 是问题的解. 例 5.4. Mi f = 5 + 7y s.t. + 5 y y 4, y 0. 解. I[5]:= CostraiedMi[5 + 7y,{ + 5y<=0, 3 + y>=4},{, y}] 运行后, 屏幕出现下述内容 : CostraiedMi :: sat : Specified costraits caot be satisfied. Out[5]= CostraiedMi[5 + 7y,{ + 5y<=0, 3 + y>=4},{, y}] 这表明问题无可行解. 例 5.4. Ma f = 5 + 7y s.t. + 5 y y 4, y 0. 解. I[6]:= CostraiedMa[5 + 7y,{ + 5y>=0, 3 + y>=4},{, y}] 运行后, 屏幕出现下述内容 : CostraiedMa :: bdd : Specified domai appears uboued. Out[6]={Ifiity, {->Idetermiate}} 这表明问题有可行解, 但无最优解. 例现在用语句 LiearProgrammig 来解例中的问题. 首先将问题标准化, 即求求目标函数的最小值, 并用不等式的约束条件. I[7]:=c={-4.0,-.8,-3.,-7.,-6.4,-6.0}; A={{-0.,-0.,-0.,-0.3,-0.3,-0.3},{-0., 0,0,-0.5,0,0},{0, -0.,0,0,-0.5,0}, {0,0, -0.3,0,0,-0.8}}; b={-850,-700,-00,-900}; LiearProgrammig[c,A,b] Out[7]={3500.,500.,3000.,0,0,0} 注. 只给出最优解, 但不给出最优值. 实验某煤矿公司拥有两个分矿, 甲矿每班能生产 0t 优质煤,30t 中等煤,50t 次煤 ; 乙矿每班能生产三种煤各 0t. 该公司生产的煤能全部卖掉, 但两个矿的运作费用不同, 因此为公司挣得的利润不同. 甲矿每班能挣得利润 000 元, 乙矿是 00 元. 而公司的最大开采量是 8800t 优质煤,6000t 中等煤,0000t 次煤. 公司可任意安排班次. 问如何计划生产, 才能获得最大利润, 最大利润又是多少? 8

因此, 我们只要计算出四个顶点 A,D,E,C 处的函数值 : f(a) = /3, f(d) = -, f(e) = -, f(c) = -3, 其中的最小者 f(c) = -3 就是问题的解. 在 Mathematica 中解线性规划问题可用下面的三种语句.

7 实验某人需补充维生素. 现有两种维生素胶囊, 都含维生素 A,C,D,E 及 Z. 甲种胶囊每粒含 g 维生素 A, g C, 4g D, 4g E, 5g Z, 乙种胶囊每粒含 3g 维生素 A, g C, g D, 3g E, g Z. 根据医生嘱咐, 他每天需摄入至多 8g A, 3g C, 4g D 与至少 g E, 而维生素 Z 的摄取量没有限制. 问 : 他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要, 而且能摄取最大量的维生素 Z. 又若甲种胶囊每粒.5 元, 乙种每粒元. 那么怎样才能花费最少又能满足每天维生素的需要量? 此时能摄入多少维生素 Z? 8

<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303133C4EAB9A4B3CCCBB6CABFCAFDD1A7D7A8D2B5BFCEBFBCCAD4B4F3B8D9D3EBD2AAC7F3>

<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303133C4EAB9A4B3CCCBB6CABFCAFDD1A7D7A8D2B5BFCEBFBCCAD4B4F3B8D9D3EBD2AAC7F3> 工程硕士数学考试大纲与要求 ( 包括高等数学和线性代数 ) 一函数极限与连续第一部分 : 高等数学考试内容函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初