E[ ( t) ( t )] E[ co( f t ) co( f t f )] c c c R ( ) E[ co( fc ) co(4 fct fc )] R ( ) co fc j fc j fc R ( ) e e j f PE ( f ) e d [ P ( f fc ) P ( f fc

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1 北邮通信原理本科习题选参考解答 年 月第二章确定信号分析 - 解 :()z(t)=m(t)+jmˆ(t) Z(f ),Z(f)=M(f)U(f) j f t c () F[ Z( t) e ] Z( f f ) M ( f f ) U ( f f ) c c c ( t) Re[ Z( t) e ] Re m( t) j m( t) co fct jin fct m( t) co fct m( t) in fct j fct () - 解 : 先画出图来 功率是 P (f) 的面积,g(x) 的面积是 这样可算出功率是 db 带宽是功率谱密度降低至一半处的带宽, 即 P ( BdB ) P () 因此 B db =.5Hz B 主瓣 =, B9 7 B 等效 =.5 5 第三章随机过程 - 解:e(t) 的自相关函数为 R ( t, t ) E[ e( t) e( t )] E E[ ( t) co( f t ) ( t ) co( f t f )] c c c 第 页

2 E[ ( t) ( t )] E[ co( f t ) co( f t f )] c c c R ( ) E[ co( fc ) co(4 fct fc )] R ( ) co fc j fc j fc R ( ) e e j f PE ( f ) e d [ P ( f fc ) P ( f fc )] 4 - 解:x(t) 的自相关函数是 R x inc 5 P f P f e co f P f 4 ele j f 5 z x x 4 co f f m Cx ( m) E[ xk xk m ] Rx ( m ) m xk xk m Cz ( m) E[ zk zkm ] E xk xk m 5 4 m 5 Cx( m) Cx( m ) Cx ( m ) m 4 ele E[ Y t ] E[ X t co( f t )] E[ X t ] E[ co( f t )] - 解 : R ( t, ) E[ X t co( f t ) X ( t ) co( f t f ) Y c c c c E[ X t X ( t )] E[ co( f t ) co( f t f )] c c c Rx ( ) E[ co fc co(4 fct fc )] Rx ( ) co(4 f ) ct fc Rx ( ) co fc d c R ( ) R ( ) co f [ in(4 f t f ) in(4 f t f )] 8 x x c c c c c Rx ( ) Rx ( ) co fc co(4 fct fc ) Sa( ) 当 Sa(φ )= 时 R Y (t,τ) 与 t 无关, 即当 时,Y(t) 是平稳过程 -4 解:() 高斯 瑞利 均匀 ()E[y (t)] 是 y(t) 的功率, 它等于 N H ( f ) df N h ( t) dt N N 的功率相同, 故 E[ yc ( t)], E[ yl ( t) ] E[ yc ( t) y ( t)] N (), 根据窄带过程的性质,y c (t) 和 y(t) 第 页

3 py ( f ) ( f ) f -5 解: 由 Py ( f ) H ( f ) Px ( f ) 得 H ( f ) N px ( f ) ele 故此, 该线性系统的传递函数幅频特性必须满足上式, 相频特性可以是任意的 对 P y (f) 求傅立叶逆变换得自相关 函数为 Ry ( ) inc ( ) -6 解 :P n (f) 的图如下 Pn ( fc f ) Pn ( fc f ) f BaeBand ( f / B) f B () Pc ( f ), 功率为 : ele ele P P ( f ) df 4 ( f / B ) df B c B B B c () 对信号微分等价于让它通过一个线性系统, 这个系统的传递函数是 H(f)= jπf 因此, 8( ) ( / ) f f B f B P ( f ) Pc ( f ) H ( f ) 4 f Pc ( f ) ele 功率是其面积 : B B 4 B p p( f ) df 6 f ( f / B) df B -7 解:() 由复包络的功率谱密度与频带信号的功率谱密度之关系可得 : P ( f ) [ Pm ( f fc ) Pm ( f fc)] 4 4 Pm ( f fc ) f fc B 也即 P ( f ) 4 Pm ( f fc) f fc B ele, 设 t 的带宽为 B, 则 t 的带宽为 B () (t) 的复包络是 L (t)=(t) (t) 的功率谱密度 P m (f), 设其带宽为 B -8 解 :z 是对 n w (t) 的线性变换, 故此它是一个高斯随机变量, 其均值为 其方差为 w w E z E n t g t dt E n t g t dt E z E nw t g t dt E nw t nw u g t g u dtdu = E nw t nw u g t g u dtdu N N N = t-u g t g udtdu g tdt E g 第 页

4 其概率密度函数为 : z 可以写成 x PZ x e e NEg x N E nw t g g w t t g z d dt n t d dt= nw t g t dt 由于 g(t) 是一个确定信号, 因此其希尔伯特变换 g t 也是一个确定信号, 且二者能量相等 因此 z 的均值 方差 以及概率密度函数和 z 完全相同 w w w w E z z E n t g t dt n t g t dt E n t n u g t g u dtdu N E n w t nw u g t g u dtdu t-u g t g udtdu N g t g t dt 故此 z,z 之间的互相关系数为 -9 解 : 根据课本 5 页,n(t) 的解析函数 Z(t) 所对应的功率谱密度为 复包络 n L (t) 的功率谱是其平移, 即 分别代入 f c 的值得到 : () 当 f c =MHz 时, P f n L P Z f 4 4Pn f f f MHz f MHz ele 4 MHz fc f MHz f Pn f P L Z f fc ele 4 f MHz, 其示意图为 : ele c () 当 f c =MHz 时, P f n L 4 f 8MHz, 其示意图为 : ele () 当 f c =5MHz 时, P f n L 4 5 f 5MHz, 其示意图为 : ele 第 4 页

5 第四章模拟通信系统 4- 解 :() 上单边带调制,P=8W; ()(t)=4coπt,s(f)=δ(f )+δ(f+) () ( 载波提取可以不画 ) 4- 解:()P A =N W, P A N ( ) / f fc W f ele ()n A (t)=n c (t)coπf c (t) n (t)inπfc(t) n c (t) 的功率是 N W, 从频谱搬移关系可知其带宽是 W, 形状是矩形, 因此矩形的高度必然是 N, 即 P nc N f W ( f ) ele ()B 点的输出是 n c (t) 经过 LPF 的输出, 因此 W N f PB ( f ) ele B 点功率为 P B =N W 4- 解:() 解调输入信号可写为 r t t n t Am t co f t n t co f t n t in f t c c c c 第 5 页

6 解调器输入端有用信号 (t) 的功率为 P R A P M, 噪声 n(t) 的功率为 N W, 因此输入信噪比为 S N A PM 4N W i 解调输出为 Am(t)+n c (t), 输出中的有用信号功率为 A P M, 输出噪声 n c (t) 的功率等于 n(t) 的功率 N W, 因此输出 信噪比为 S N A PM N W o ( S / N) o 因此 ( S / N) i S PR P 输入信噪比 P N N W 5 o i i S S 输出信噪比 P, 故 P =.5 瓦 N N () 解调输入信号可写为 6 ˆ r t t n t Am t co f t Am t in f t n t co f t n t in f t 解调器输入端的有用信号功率为 P R c c c c c M A P A PM A PM, 输入噪声功率为 N W, 输入信噪比为 S N i A PM N W 解调输出为 Am(t)+n c (t), 输出中的有用信号功率为 A P M, 输出噪声 n c (t) 的功率等于 n(t) 的功率 S N W, 因此输出信噪比为 N o A PM N W ( S / N) o 因此 ( S / N) i i 6 S PR P S S 输入信噪比 P, 输出信噪比 P, 故 P =.5 N N W 5 N N 瓦 4-4 解:() 平均功率 9 () o i 4-5 解 :()khz khz 及 (5+) =khz () 记 γ 为输出信噪比, 则 γ =db= 输入的信噪比分别是 γ /=5,γ = 及 o 45 9 输入的噪声功率分别是 N =6 - W N = - W 及 N =.6 - W 输入的信号功率分别是 5 6 = 8 W = 8 W 及 /9.6 =8 W 发送功率分别是 :W W 及.8W 4-6 解 :()DSB, 幅度谱如下 : 第 6 页

7 解调框图 : () 下单边带调制, ( t) co[ fc fm t] () (t) 的复包络是 coπf m t, (t) 的复包络是 [ co fmt jin fmt] e 4-7 解 :()P A =.P m,p na =N B m ()y(t)=.m(t)+n c (t), 其中 n c (t) 是 A 点噪声的同相分量, 其功率为 N B m Pm () 输出信噪比为 N B 4-8 解 :() m j f t m N B B ( f ) f fc, fc () Py ( f ) ele f B y y y f B y () m c, P ( f ) df P ( f ) df 由于 f c >>B, 所以在积分区间内 P y (f) P y (f c )= c c f N, 因 此 y f c N B (4) 由于 y(t) 的均值为, 所以其功率等于方差 : P f N B y y c 4-9 解:()f c 的可能取值按 MHz 单位计算是 f c =n (n f ±f )=48 (64.±.9), 结果分别是 9. 和 7.6, 考虑 FM 广播的频段, 只能是 9.MHz () f=n n f =76.8kHz f () f 5. f m 4- 解 :() 对 R M (τ) 做傅氏变换得 P M 6 f f ( f ) ele 第 7 页

8 带宽为 W=kHz () 因为是 DSB 调制, 故所需的信道带宽是 W=kHz 接收到的信号功率是 P R = 8 P DSB-SC 输出的信 噪比是输入端的 倍 因此要求的输入信噪比是 5, P 即 N W 因此 P = 8 5 ( ) 4 = 5 (W) ()SSB 的性能和 DSB-SC 一样, 故此需要的发送功率仍然是 5 (W), 但信道带宽只需要 khz P 4- 解:() 输入信号平均功率 :lg 5, P P R R 5 P S 5 P 输入噪声平均功率 : PNi NW, 输入信噪比 :.5 N N W () 输出信号平均功率 : P o 5 P M n a PM a P 5 S P a P M n 输出噪声平均功率 : PNo NW, 输出信噪比 : N N W a P 4- 解 :() (t) 和 (t) 均为调频信号 () 4 t co[ t.in4 t] n i o ()β =., f =Hz,B =(β +)W=44Hz β =, f =n f =4Hz,B =(β +)W=Hz A c (4) P 5 4- 解:() f 4k 48kHz m () B f f 48k 48k 56kHz f max m S S N k f df 44 () 第 路信噪比低, 97 6dB 4 N N N k f df 4-4 解:() t m( t) co f ct m( t) in fct () t 的解析信号为 t m( t) jm( t) 复包络 L, 为下边带调制方式 Z t m( t) e jm( t) e m( t) jm( t) e 48 j fct j fct j fct * () R E[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) L L t L t E m t jm t m t jm t Em( t) m( t ) je m( t) m( t ) je m( t) m( t ) E m( t) m( t ) M n 第 8 页

9 P f L R ( ) jr ( ) jr ( ) R ( ) R ( ) jr m( ) m 4PM f f f mm mm m m 4-5 解 :() S( f ) ( f 8) ( f 8) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) () ( t) 4cot cotco4t 4 co4t cot 所以 A=4, m( t) co4 t, c( t) co t ()a=/ P (4) P, Pc 4 8, P P 解:() t m( t) co( t) m( t) in( t), ( ) ( ) () c t m t j m t L t co( t) in( t) j in( t) co( t) e j e z( t) ( t) e e j e j t j t jt L, 4-7 解 :() L j t jt ( t) Re z( t) co( t) in( t) B 即为调频信号的带宽, 由卡松公式得 : B f f K m( t) f B 即为 m t 的带宽, B f H N () Pn P n B NB, Bn B max m f max H Pn ( f fc) Pn ( f fc) f fc N f fc Pn ( f ) f fc f fc () 若 mt 恒为零, 则鉴频器输出只有噪声, 输出功率谱密度 4-8 解 :() 上边带调制,P=8W; ()(t)=4coπt,s(f)=δ(f )+δ(f+) N f P f A y f B c ele () 第 9 页

10 4-9 解 :K f =4kHz/V,(t)=co(π 5 t 4coπt+ )( 是任意初相, 可以不写 ) 最大频偏 4kHz, 近似带宽 (4+)=kHz, 调制指数 4 4- 解 :() 原理 : 不妨设 m(t) 的频谱如下图示 DSB 的频谱如下 : 理想抽样后的频谱如下 : 对比这几个图可见, 只要 f 6 并且 nf =5, 则 X (f) 的频谱中包含有 DSB 的频谱, 用一个适当的带通 滤波器就是滤出 DSB 信号 经过计算, 满足这个条件的最小抽样频率 () 解调 : 根据这个原理设计的 DSB 解调框图如下 fmin 5 khz 4 抽样频率必须满足 :() 抽样后频谱不混叠,() nf =5,( 必须能把 5kHz 移到原点 ) 4- 解 :() 信号 (t) 的幅度谱 : ()(t) 的调制方式是 AM 其解调方案之一是采用非相干解调 : 4- 解: 经过带通滤波器 H (f) 后的噪声为 n t n t co f t n t in f t c c c H (f) 输入端的噪声为 n t n t co f t [ n t co f t n t in f t] co f t c c c c c 第 页

11 H (f) 输出端的噪声为 n (t)=n c (t) () 系统输出端随机过程的功率谱密度为 ( ) n t co4 f t n t in4 f t n t n t co4 f t n t in4 f t c c c c c c c P ( f ) P ( f ) n c P ( f fc ) P ( f fc ) f B ele N H ( f f c ) H ( f f c ) f B f N B f B B ele ele () 输出信号的均值为, 方差为 P ( f ) df N B B B x N B () 输出噪声 n (t)=n c (t) 是平稳高斯过程, 故其一维概率密度函数为 p( x) e NB 4- 解: 设发送信号功率为 P, 解调器输入端的信号功率和噪声功率分别为 P R 和 P n,i, 解调器输出 P 端的 P 信号功率和噪声功率分别为 P o 和 P n,o 由已知条件, 有 P P ()SSB 的输出信噪比等于输入信噪比, 因此 P 4 4 R R n, i n, o Po P Po 以及 P 而 Pn, i No fm W, 所以 P PR Pn, i W P ()DSB 的输出信噪比等于输入信噪比的 倍, 因此 P R n, o Po 5 P n, i n, o 而 P, N f 4 W, 所以 P P 5P, 5 4 W n i o m R n i 4-4 解:()BPF 输出的噪声可写为 n t n t co f t n t in f t,n(t),n c (t),n (t) 都是 均值的 c c c 平稳高斯过程, 其功率均为 N B n(t) 与 coπf c t 相乘, 再经过 LPF 后的输出是再经过 LPF 后的输出是 NB no ( t) nc ( t), 其均值为, 功率为 () 很明显,n o (t) 的功率谱密度 P o (f) 在 f B 内是常数, 在 f B 处是, 即 ( ) x f B P f ele NB N 就是 n o (t) 的功率, 因此有 Bx, x 解 :() 对于 m(t) 而言, (t) 和 (t) 是调频波 N 所以 ( ) f B P f 4 ele () (t) 和 (t) 是倍频关系, 不考虑倍频器的幅度增益, 则 5 t in4 t 4 ( t) co co t in4 t 另外 ( ) t ( ) 5 t t co fct K p m d co fct m ( ) d, 故此 P o (f) 的面积 t in4 t 5 m( ) d 于是 第 页

12 m(t)=4πco4πt d max in4 t dt () (t) 的最大相偏是.5 弧度, 最大频偏是 Hz 由倍频关系得 : (t) 的最大相偏是 弧度, 最大频偏是 khz m(t) 的频率是 Hz, 由卡松公式, (t) 的带宽近似为 (+)=6Hz, (t) 的带宽近似为 (+)=44Hz () (4) (t) 的平均功率为 5W j f 4-6 解:() Pm ( f ) Rm ( ) e d minc ( f m ) ;P m =R m ()= () 记调制度 ( 调幅系数 ) 为, 则 am( t) max a m( t) max a m ( t) a, 所以 : a a Pm 当 =5% 时, a =.58; AM =.4% a P 4 a Pm 当 =% 时, a =.6; AM =9.% a P 4-7 解 :() t m t jmt m m, 求解功率谱密度的一般方法是从自相关函数入手 不妨设 m(t) 是平稳过程, 如果不是平稳过程, 方法也一样, 只是需要做时间平均 * R ( t, ) E[ ( t) ( t )] E{[ m( t) jm ( t)][ m( t ) jm ( t )]} E[ m( t) m( t ) m ( t) m ( t ) jm( t) m ( t ) jm ( t) m( t )] R ( ) R ( ) j[ R ( ) R ( )] m m mm m m 由教材的性质 (.5.) 和 (.5.7) 得 R ( ) [ R ( ) jr ( )] R ( ) 的傅氏变换为 P m (f), R ( ) 的傅氏变换 是 jgn(f)p m (f), 所以 m m m m 画如下 : p 4 P ( f ) f inc ( f ) f f f m ( f ) m m 对于本题, 也可以把 ( t ) 看成是 m(t) 通过如下线性系统的输出 : 第 页

13 由于 H(f)= j [ jgn(f)]= gn(f)=u( f), 其中 u(f) 是单位阶跃函数 于是 4 Pm ( f ) f 4 ( ) ( ) ( ) ( ) minc f m f P f H f Pm f f f () (t) 是以 m(t) 为基带信号的下边带调制信号, 所以 其图为 4 P ( f ) P ( ) ( ) m f fc Pm f f c minc f fc m f fc f f c () (t) co(πf c t+π/4)=m(t)co(π/4) mˆ(t)in(π/4)+ξ(t), 其中 ξ(t) 是二倍频分量, 将其滤除后, 解调 器输出信号的表达式为 y t m t m t 4-8 解: t y t co f t y t in f t c c m t m t co fct m t m t in fct m t co f t in f t m t co f t in f t c c c c 4 4 m t co f t m t in f t 由此可得解调框图如下 : c c 4-9 解 :()FM 信号的最大频偏为 d( t) fmax 6 m t, 因此其带宽近似 (+5)=7Hz dt max d( t) ' PM 信号的最大频偏为 fmax 6 m t, 因此其带宽近似也是 (+5)=7Hz dt max () 可用下图解调 : max max 第 页

14 4- 解 : f mt K, 所以 FM 信号的带宽为 max max 今欲 B<kHz, 因此必须要求 m t f max V B f W f W m t 8( khz) max max max 4- 解 : () 带通滤波器带宽应为 FM 信号的近似带宽, 即 B f W 5 khz, 低通滤波器的截止频率应为 W=kHz max ( K m t W ) 5 6 NW 4 () 输出的有用信号功率是 P K f PM, 输出的噪声功率为 P n = 因此输出信噪比为 A S 5/ dB N / c f max () 根据 FM 信噪比分析过程中的假设, 改变 m(t) 不会改变输出噪声的大小, 只是现在输出信号的功率是原先的 倍 (db), 因此输出信噪比成为 5.7dB (4) 此时带通滤波器的带宽可设计为 B=( f max +W)=(5 +.) khz, 低通滤波器的截止频率可设计为 W=Hz 解调输出的信号功率是 , 解调输出的噪声功率是 输出信噪 S 比为 dB N / 4- 解 : 如下图所示, 它实际是一个载频为 f c =W 的下边带 SSB 调制器 4- 解 :() 原理框图见下一页的 Fig () 第一路 : 输出信号功率为 W, 输出的噪声功率为 W W aw af df, 所以信噪比是 aw Fig 两路信号的分离方法 第二路 : 这是一个 DSB 解调,DSB 解调输入端 (BPF 输出 ) 的信号功率为 W, W 噪声功率为 6aW af df W W,DSB 解调的输入信噪比 6aW 根据式 (4.4.5), 输出信噪比为输入信噪比 的两倍, 即为 aw 它比第一路差 log 8. db 第 4 页

15 注 : 对于鉴频器来说, 它的输入端的噪声是窄带噪声, 其正交分量 n (t) 是基带噪声, 鉴频输出的噪声是基带噪声 但对于 Fig 中的这个 DSB 解调来说,BPF 输出就是窄带噪声 我们可以继续写出它的表示式, 它也有相应的正交分量和同相分量 4-4 解 :B 处 DSB 解调器输入的信噪比是 /P n, 因此 y(t) 中的信噪比为 /P n 如果没有 n (t), 则 C 点输出 的信噪比也将是 /P n 对 C 点的 DSB 解调来说, 若将 y(t) 全部当作有用信号计算时, 输出信噪比也是 /P n C 点解调输出可写成三部分之和 :m(t)+z (t)+z (t), 其中 z (t) 和 z (t) 分别是 n (t) 和 n (t) 形成的输出, 记这 三项的功率分别为 P m P 和 P 则上述结果表明 由此可得 P /P P n /, 从而得到输出信噪比为 Pm P Pn Pm P P Pn Pm P m /P 4 P P P / P 4P P 当噪声比较小时, P n 可以忽略, 此时输出信噪比是 /P n, 比 B 地恶化 分贝 4-5 解 : 对比两幅图可以看出, 这个过程可以通过载频为 f c =W 的下边带调制完成 在下图中, 中间的图是 DSB 调制, 用滤波器取出 [ W,W] 之间的部分, 就得到所需的结果 对原信号来说, 就是一个下单边带调制 (LSB) 实现框图如下 : n n 也可按下图方式实现 : 最终信号 m (t) 的表达式是 m t mtcowt m tinwt, 其中 第五章数字基带系统 m t 是 m(t) 的希尔伯特变换 5- 解 :() (t) (t) 的等量是 E ( t) dt, E ( t) dt, 所求相关系数为 ()h (t)= ( -t) ( t ) ( t ) dt E E 第 5 页

16 () y ( t) r( ) h ( t ) d r( ) ( t ) d, 发送 (t) 条件下 : y ( t) r( ) ( t ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w ( ) y t t r t dt t dt n t t dt v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w ( ) y t t r t dt t t dt n t t dt v w E[ v ] E[ ( t) n ( t) dt] ( t) E[ n ( t)] dt N N j f NE N D[ v] E[ v ] H( f ) df S ( f ) e df N 同理 : E[ v ], D[ v ] N N 即 : E[ y ] E[ v], D[ y ] D[ v ], E[ y ], D[ y ] (4)l=y y, 发送 (t) 条件下,l= +v -v = +ξ,v 和 v 是高斯随机变量, 且统计独立, 所以 v v 是高斯 随机变量, 其均值为, 方差为 N 所以 p( l ) (5) 发送 (t) 而错判为 (t) 的概率是 : N e ( l ) N w p( e ) p( l ) P( ) P( ) erfc erfc N N 同理 ( ) p e erfc, 因此平均的判决错误概率是 p N 5- 解 :AMI erfc N HDB 分相码 : 第 6 页

17 5- 解:()48Kp ()Kp R () ( ) 6 KHz, R 8 K( ymol / ) 欲传送 4Kit/ 的信息速率, 必须每符号携带 比特信息, 故此必须用 8 进制 ( y A) 5-4 解:() p( y ) e, p( y ) e y ( y A) y () 最佳门限是 P()p(y )=P()p(y ) 的解, 即 e e e 由此得最佳门限是 V * A A * * A P( ) P( n V ) erfc( V ) erfc A, * * A P( ) P( n A V ) erfc( A V ) erfc A A () 此时最佳门限为 A/, P( ) P( ) Pe erfc t t 5-5 解:()h(t)=(t t), 取 t =, 则 h( t) ele y( t) ( ) h( t ) d ( ) ( t) d R ( t) t t t t ( t) 6 t ( ) ( ) t 6 t 第 7 页

18 () 信号瞬时值是 y=y()=/, 输出噪声是 w n( t) n ( ) h( t ) d n ( ) ( t) d E[ n ( t)] E[ n ( ) n ( ') ( t) ( ' t) dd '] w w w N ( ') ( t) ( ' t) d d ' N ( t) d N R () N 6 (/ ) 输出信噪比是 N / 6 N 5-6 解 : 若发送 (t)=, 则 u=,u =, 若发送 (t), 则 故 A t t u ( t) ( t t) dt A ( t t) dt A ( t ) t ele A t t 4 4 E[ u ] A ( t ) t ele E[ ] E ( t) n( t t) dt A E n( t t) dt A N ( ) ( ) ( ) A N A E n t t n t dtd E t dtd E[ u ] 欲最大, 需 E[ u ] 最大, 达到此最大值的 t 是 t = E[ ] 5-7 解 :R =Maud,R =Mp 5-8 解 :()( 本小题有多解 )AMI:+-,HDB :+--V, 分相码是 ()HDB 码, n I 5-9 解: 令 z=i+n, 则 z 是 均值的高斯随机变量, 方差为 ( y) () p( y ) e, p( y ) e () 由 p(v +)=p(v ) 可得 :V = ( y) 第 8 页

19 () P( e ) p( z ) erfc P( e ), 平均错误率为 : P e erfc n I 5- 解:() ()h(t)=g ( t) () 最佳取样时刻为, 取样值为 5 y [ g ( t) n( t)] h( t) dt [ g ( t) n( t)] g( t) dt g ( t) dt g ( t) n( t) dt Z 8 其中 z 是白高斯噪声通过匹配滤波器的输出的采样, 其均值为, 方差为 z G( f ) df Eg 6 N N 5 N 5 5 因此发送 (t) 条件下,y 的均值是, N 5 方差是, 信噪比是 8 6 4N 5- 解:() f 4 4, 频带利用率为波特 /Hz () 由 x()= 这个条件得 X ( f ) df, 图 中梯形的面积是 X () f X (), 因此 X()=, 故 4 () f 4 X ( f ) f f f 4 f 4 G ( f ) GR ( f ) X ( f ) f f 4 4 f 4 第 9 页

20 N N (4) 接收机的等效噪声带宽是 /, 输出噪声功率是 5- 解:() j f j f LPF LPF H ( f ) e H ( f ) e co( f ) H ( f ) j f e co( f ) f ele () 可在发端加入预编码来解决误码传播问题 如下图所示 : 将 d n 送至题图中的 电平变换 () 信息 n {,} 经过差分编码成为 dn {,}, 再电平变换为 an {, } 受噪声干扰后, 收端抽样结果是 yn cn n a n an n 其中 n 是抽样值中的噪声, 为零均值高斯随机变量, cn a n an 是相关编码的结果 根据差分编码的编码规则, 若发送信息 n =, 则 a n =a n-, 此时 c n 的值是 + 或 -; 若信息 n =, 则 a n =-a n-, 此 时 c n 的值是 于是判决规则可设计为 n yn yn (4) 作为一种二进制的基带部分响应系统, 其频带利用率是 Baud/Hz=p/Hz 5- 解 : 对于图 a, 最高符号速率是 波特, 比特速率是 p, 频带利用率 :Baud/Hz,6p/Hz 对于图, 最高符号速率是 波特, 比特速率是 8p, 频带利用率 :.5Baud/Hz,9p/Hz 5-4 解 :() () N ( ) N ( ) N t H f df h t dt dt dt N N () 信号通过匹配滤波器后, 在最佳取样时刻最大 对本题, 最佳取样时刻是 t=4 秒, 因此最大输出幅度是 6 (4 ) h( ) d h( ) h( ) d 5-5 解:() 滤波器的输出是 令 Z nw( ) d, 则其均值为, 方差为 i w w y( t) h( ) r( t ) d [ ( ) n ( )] d n ( ) d N 因此: ( y ) N E[y ]=,D[y ]=, N p( y ) e N 第 页

21 p( ) p( y ) p( z ) p( z ) erfc N () j mf j f j f 5-6 解: a a P ( f ) R ( m) e e e in 5 f,g(f)=inc(f), 因此 n 8 P ( f ) in 5 f inc( f ) in (5 f ) inc ( f ) 解: 忽略噪声, 抽样时刻的波形是 y( t) an ( t n ) h( t) anh( t n ) n n 抽样值是 y( k ) anh( k n ) ak h() a k h( ) ak ak n 所产生的码间干扰是 yisi ak, 其可能取值是 和, 出现概率都是 ( y) 5-8 解:() f ( y ) e, f ( y ) e ( y) () f ( y ) dy P ( z ) P ( z ) P ( z ) erfc erf y y y y ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e f y y f y P f y P e e coh 5-9 解:() y( t) ( )[ ( t ) nw( t )] d, 采样值是 w y y( ) ( )[ ( ) n ( )] d ( )[ ( ) n ( )] d w w w ( ) n ( ) d ( ) n ( ) d ( ) n ( ) d Z N N 其中 Z ( ) nw( ) d 是 均值高斯随机变量, 其方差是 E 因此 N y E[y ]=, D[ y ] y, f ( y ) e e N y w ( y ) ( y ) N () 同理, y N y E[y ]=, D[ y ] y, f ( y ) e e N () 由问题的对称性可知最佳门限是 V th = (4) P( ) P( Z ) erfc erfc N y ( y ) y 或者 : P( ) f ( y ) dy e dy erfc N y y ( ) ( y ) N 5- 解 :(a) 不能,R =Baud,R /B=Baud/Hz;() 不能,R =Baud,R /B=Baud/Hz 第 页

22 (c) 能,R /B=Baud/Hz;(d) 不能,R =Baud 5- 解: G( f ) f inc, ma, a R R f f R P ( f ) R inc R ( f mr ) inc ( f ) R R 4 4 n 4R R 4 5- 解: 发送 时 y 的条件概率密度函数是 f y ( y) exp y A, 发送 时 y 的条件概略密度函 数是 y y f ( y) exp 由于先验等概, 所以最佳门限 V th 是 f y (y) 和 f y (y) 曲线的交点, 即 y A y exp exp A 解得 Vth 平均误码率是: Pe P( ) P( ) A 所以 P e e A A A n x P( ) P( n Vth A) exp dn e dx e A A P( ) P( n Vth ) P( n ) P( n ) P( ) P( n Vth A) e f j inc f 5- 解: 方法 :P x (f)=/, G ( ) f e j f j f H ( f ) e G ( f ) co f e G ( f ) 4 co f G ( f ) f P f H f Px f co f inc ( ) ( ) ( ) m 方法 : Ra ( m) E( ananm ) E( n n )( n m n m) m ele a ( ) ( ) 4 P f co f co f ( ) ( ) 4 4 f P f co f G f co f inc 5-4 解:() p( y ) ()V =,(4) P n n erfc n ( y ) exp N B () p( y ), n A ( y ) exp n n 第 页

23 5-5 解:()/ t () h( t) ele N ()E[y ]=E =, D[ y ], p( y ) (4) p( y ) y exp (5) ( y E ) exp P N P P( ) p( y ) P( ) p( y ),, V ln V 5-6 解:() B a Hz, B Hz, B c Hz RB RB RB a.5 Baud / Hz, Baud / Hz, c Baud / Hz B B B a ()a,,c 均能满足无码间干扰的要求 5-7 解:() 最佳接收机结构图如下所示 : c ( t ) r( t) n ( ) w t 与 ( t) 匹配匹配滤波器匹配滤波器与 ( t) 匹配 y y l 判决 y () 与信号 t 匹配的滤波器的冲击响应如下 : ( t) t E () 由于发送信源正交且等概, 易知 : Pe erfc erfc N N 5-8 解 :() 5 Eg 4 8 () N N z nw( t) h( t) dt, E[ z], D[ z] ( ) h t dt, Pz ( x) N e x N 第 页

24 () 由于发送信源等概, 因此最佳判决门限为 ; 平均错误概率 P (4) 匹配滤波器的波形如下 : a h( t) e A erfc N a t a 其中, a, a 解:() R ( t, ) E[ ( t) ( t )] E an ( t n ) am ( t m ) n m E anam ( t n ) ( t m ) n m E[ a a ] ( t n ) ( t m ) n m n m ( t n ) ( t n ) n ( ) ( t n ) n () R ( ) lim R (, ) ( ) lim ( ) t dt t n dt n ( ) ( t n ) dt ( ) n ()P (f)=/ (4) Py ( f ) P ( f ) G( f ) G( f ) 5- 解 :() () n H f n 常数 第 4 页

25 时, H( f ) () k f, G f H ( f ), ele k f ele k t g t inc 5- 解:() 从功率谱密度图可以看出.5, 因此符号速率是 M 波特 每符号携带 4/=4 比特, 故此进制数是 M=6 () 星座图如下 : () 接收框图 : r( t) co in c f t c f t 根升余弦匹配滤波器根升余弦匹配滤波器 判决 判决 串并变换 注 :-in 也可以写成 in, 载波可以有任意幅度 如果前面加一个带通滤波器, 可以接受 5- 解 :() () n X f X ( f ) n t t n y t x( t) inc xninc n, y () W n n m x n xminc m 5- 解:() n n d n a n c n () 判决规则是 : 若 cn, 判 n 为 ; 若 cn, 判 n 为 () j f ( e ) f H ( f ) f (4){a n } 独立等概, 均值为, 方差为, 因此 PA ( f ) 4 in f f PB ( f ) PA ( f ) H ( f ) f 第 5 页

26 5-4 解 :() 该终端输出的是双极性 NRZ 信号, 码元间隔是, 因此其功率谱密度为 P( f ) G( f ) 96 f 其中 G(f) 是 g(t) 的傅氏变换,G(f)= inc(f ) 因此 P( f ) inc( f ) inc ( ) R 96p () 首先, 此系统的频带利用率是 4 p / Hz 由于二进制基带传输的最高频带利用率是 p/hz, B 4Hz 所以必须用多进制 虽然 4 进制可以达到 4p/Hz 的频带利用率, 但从可实现的要求来说, 还需要增加进制数 M 96 设计 M=8, 则符号速率为 RS ymol / 为了实现无码间干扰的限带传输, 必须采用滚降频谱成形 R B 考虑升余弦滚降, 设滚降系数是, 则 ( ) B, 因此.5 再考虑收发匹配设计, 则设计出的系统 R 框图如下 : 图中发送端的 根升余弦频谱成形 包含了必要的网孔均衡功能 A A 5-5 解: 记采样结果为 y, 则 y 可以表示为 y=x+isi+n, 其中 x {A,} 代表发送的信息,ISI {, } 代表码间干扰, n N(, ) 代表高斯噪声 A x=a ISI 时的判决错误率为 : A A A A A A P( e ISI, x A) P( y ISI, x A) P( A n ) P( n A) erfc A x=a ISI 时的判决错误率为 A A A A A P( e ISI, x A) P( y ISI, x A) P( A n ) P( n ) 因此 x=a 条件下的平均错误率是 A A P( e x A) P( e ISI, x A) P( ISI) erfc erfc ISI 4 A 同理可得 x= 条件下的平均错误率 P(e x=) 也等于 erfc 因此总平均的错误率是: 4 第 6 页

27 A Pe erfc 解:() 匹配滤波器的冲击响应为 h(t)=(t t), 考虑物理可实现性及时延最小, 取 t = 于是有 t / t h( f ) ele 其波形为 ()(t) 经过匹配滤波器的输出信号为 当 t 或者 t> 时,y(t)=; ( ) ( ) t d y( t) ( t ) h( ) d x x t t ( t) 当 <t 时, y( t) dx t 6 t x x t ( t ) ( t ) 当 <t 时, y( t) dx 6 ( x t ) ( x ) d ()(t) 的能量为 E t dt, 所以最大输出信噪比为 E N N 5-7 解 : 由于是单极性二进制系统, 所以接收端的采样值可以表示为 y=x+n, 其中 x {A,},P(x=A)=q, n N(, ) () 求最佳判决门限 按 MAP 准则判决, 先计算后验概率 : P( x A) p( y x A) q P( x A y) e p( y) p( y) ( y A) 对数后验概率比为 P( x ) p( y x ) q P( x y) e p( y) p( y) y ( ya) P( x A y) qe q ya A P( x y) y q ln ln ln ( q) e 第 7 页

28 * * q Vd A A 最佳判决门限 V d 是 MAP 准则的分界点, 即 ln, 因此 : V q * d A q ln A q () 求误码率 发送 而判决出错的概率为 * * * A V P( y Vd x A) P( n ( A Vd )) d A q erfc erfc ln 8 A q 发送 而判决出错的概率为 平均错误率为 * * * V P( y Vd x ) P( n Vd ) d erfc A q erfc ln 8 A q * * q A q q A q Pe qp( y Vd x A) ( q) P( y Vd ) erfc ln erfc ln 8 A q 8 A q 5-8 解 :() 最高的符号速率为 R =B= 符号 / 秒, 最高的信息速率为 R =R log 8=6 比特 / 秒 () 最高的符号速率 R =B= 符号 / 秒, 每个 电平符号传送 it 的信息, 所以最高的信息速率为 比特 / 秒 R () 采用 =.5 的升余弦滚降频谱时, 带宽和符号速率的关系是 B B 8 ( ).5 以每符号的电平数应为 M= =8, 即采用 8PAM 最佳基带通信系统的框图如下 : R ( ), 因此符号速率为 4 符号 / 秒 为了实现 4kp 的无码间干扰传输, 每符号携带的比特数应当为 8, 所 5-9 解 :() () 对于 (t), 每个码元无论是 还是, 其能量都是, 因此平均功率是 ; 对于 (t), 记信息序列为 { n }, 幅度序列为 {a n }, 则 a n 的可能取值是 {,±,±} a n 取值为 ± 和 ± 时, 码元的能量分别为 和, 对应功率分别为 和 P( an ) P( n ) a n =± 的情形是 : n = 并且其前 4 个比特是 或者前 8 个比特是 因此 P( an ) i i 第 8 页

29 9 于是, 平均功率为 解:() 复信号 (t) 的波特率为 () 首先求 z n 的数学期望和方差, 得 m z =, E Z n 式 (5..9) 得到 (t) 的功率谱密度为 P f inc f 由于 j f 而 G f inc f e t, 因此其平均功率是, 因此根据书中公 也可以这样做 :(t) 的实部 c (t) 虚部 (t) 都是二进制双极性 NRZ 信号, 功率谱是 inc (f) 对于任意的 τ, E a 易证 E t t, 因此 (t) 的功率谱是 a g t n 和 j g t n 由 [ ] n m c n n n () 幅相式 : 由于复包络 (t) 的模为, 所以 y(t) 可写成 y t co f t t 内根据 (a n, n ) 的象限固定取值于,,, n 的功率谱之和 ( ) c, 其中 θ(t) 在每个码元间隔 正交式 : y t a g t n co f t g t n in f t n n c n c n y t Re an jn g t j f t n e n c 复数式 : y 5-4 解:() 发送 和 条件下 y 的条件概率密度为 P y e 和 y V ( ) P P p y dy P p y dy V y y py y e y A 平均错误率为 dp V V A p e p e 解得最佳判决门限 V dv 则由 A p ln p () 若先验等概, 则最佳判决门限为 V A, 对应的误码率为 A y A y A A y y A P P y dy P y dy e dy e dy e A A 5-4 解:() 发送 时, y, 时会判错 错误概率是噪声大于的概率, 即 A A / A Pe Pn erfc erfc 8 A A A () 发送 时, y,, 时会判错 错误概率是噪声的绝对值大于的概率, 即 A A Pe P n erfc 8 A A 发送 时, y, 时会判错 错误概率是噪声小于 的概率, 因此 A 第 9 页

30 A A Pe P n erfc 8 () P e P e P e A P erfc 8 E n 5-4 解:() 信号分量的功率为 E x k k 无 ISI 时的误码率为 erfc.e E x k,isi 分量的功率为 4 噪声分量的功率是, 解得噪声分量的功率为.7 () P Pe x P x Pe x P x ( ) ( ) e k k k k P e x k P e x k 其中, Pe x P x n P n. P x P n. 8 P x 同理, k k k..8 erfc erfc 4..8 P e xk erfc erfc, 所以, 4 k k k k Pe erfc erfc.5 e e 4 ( 注 : 按 erfc 算的结果是.5, 前述的近似公式在误码率低的时候误差比较大 ) 解 : () 符号速率 R R W Baud log log 设滚降系数为 α, 则 R W, 因此 W log.585 R () 此时平均每 符号携带 个比特, 因此符号速率和比特速率的关系是 R 4 则符号速率是 R R W W 设滚降系数为 α, 则 5-45 解:() vt E t E a t n a t n n n n n E a t n E a t n n n t n t n n t t ( t n ) n 其中 代表卷积 因此,v(t) 可视为 ( t n ) n R 比特传输速率不变, 是 Wp, R W W,. 5 R 通过了一个冲击响应为 t t 线性系统之后的输出 第 页

31 由于 n n j t ( t n ) e 的功率谱密度是 n n f n, 所以 v(t) 的功率谱密度是 n Pv f f S f S f n () u t t vt 令 n a t n a t n t n t n n n n n a t n a t n n n n an t n t n n an, g t t t, 则 u t g t n n 由于 {a n } 是独立等概的, 所以 { n } 也是独立等概序列 E[ a n ], 方差为 E n 4 因此 u(t) 的功率谱密度为 P f G f S f S f u ()v(t) 是确定信号,u(t) 是随机过程, 因此 n, 是一个 PAM 信号 n 4 E u t v t E u t v t v t E n g t n n, 其均值为 m E n E an vt E g t n (4) 由于 u(t) 与 v(t) 的互相关函数为零, 所以其和的功率谱密度等于功率谱密度之和, 即 (t) 的功率谱密度为 n n n n u v 4 4 n P f P f P f S f S f S +S f 5-46 解: P P APe A P Pe P( i V A) Pi V 当 V 时, 由于 i, 所以 P(i V A)=,P(i V )=, 因此 P -x -V -x -V 当 <V A 时,P(i V A)=, Pi V e dx e, P V e dx e, 它是 V V 的单调递减 函数, 所以使 P 最小的 V 值是 V =A V A -x -x -V A 当 V >A 时, P e dx e dx e e 的 V 值是 V =A, 这个 P 是 V 的单调递增函数, 所以使 P 最小 总之, 最佳的门限是 V =A,P 的最小值为 e V A R 4. p / Hz 5-47 解: 频带利用率 W log M Baud / Hz n 第 页

32 logm log α 且, M, logm 5 M 的最小可取值为 M=8, 此时,α= 解 :R (+α)=4 4 () R 波特,R =4it/;. 4 () R 6 波特,R = 64it/;.5 () 第六章数字频带系统 6- 解 :() () 6- 解: E,, z [ co fct n( t)] co fctdt n( t) co fctdt n( t) co f tdt 是均值为 的高斯随机变量, 其方差为 : c E n( t) n( ) co f ctco fc dtd N ( t ) co fctco fc dtd N N co fctdt 4 因此 p( z ) P erfc N 6-4 解 : E.75 4 第 页

33 6-5 解 :() (t) 和 (t) 已经是正交的, 将它们进行能量归一化即可得到归一化正交基函数为 f ( t) co f t, f ( t) co f t ( t) E f ( t) f ( t), 因此其向量表示是 [ E,] ; 同理, ( t ) 的向量表示是 [, E ] () () (4) 6-6 解:() 滤波器的输出是 y( t) h( t ) r( ) d ( t ) r( ) d 取样值是 ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) w( ) y y r d n d E Z, 其中 : E E ( ) d co f d E c, NE [ ] [ ] [ ] ( y E ) D y D E Z D Z, p[ y ] exp N E E N Z ( ) n ( ) d 因此 E[ y ] E[ E Z] E E[ Z] E, E () 由于发送信号等概, 故此最佳判决门限应为信号星座点的中点, 即 Vth E E E e p P y erfc Q 4N N 6-7 解:(): w 第 页

34 n n dn a n n ()DPSK 比 BPSK 的优点主要是能克服相干解调中的相位模糊度的影响, 并能支持非相干解调 主要缺点是抗噪声性能下降 () 功率谱密度如下图所示 6-8 解:() 星座图如下所示, 图中直线分割而成的区域就是各个星座点的判决域 对于此星座图, 实际上还可以按 I Q 分别判决, 此时的判决域如右图所示 (I Q 相同 ) ()d min =; () 接收框图如下 (4) 此 6QAM 由两个正交的 4ASK 组成, 每个 4ASK 的功率是 6QAM 总功率的一半, 同时比特数也少一半, 所以若 6QAM 的平均比特能量是 E, 则 4ASK 的比特能量也是 E 因此每个 4ASK 的平均误符号率为 (4 ) 6log 4E 4E P4 ASK Q Q 4 (4 ) N 5N ( ) ( ) Eg 5 每个 4ASK 的平均符号能量为 E4 ASK 5, 平均比特能量为 E 当且仅当两个 4 4ASK 的判决都正确时,6QAM 的符号才算正确, 因此 6QAM 的平均误符号率为 第 4 页

35 9 P6QAM ( P4 ASK ) P4 ASK P4 ASK Q Q N 4 N 6-9 解: 记 a=.85, 则 E =a E, 因此发送功率是 P ER a R 代入具体数值可 算得 :P=955 微瓦 信息速率提高 倍时, 为维持误码率不变, 需维持 E /N 不变, 故此发送功率应提高为原来的 倍, 折合到分贝值是 lg=db 6- 解:() E () E { }.5, E, dmin 4 6- 解:() () p( e ) P( n ) erfc N p( e ) P( n ) p( e ), p( e ) p( e ), p( e 4) p( e ),, 故此, 平均错误率是 p erfc erfc 4 N 4 N () 格雷映射在高信噪比时基本只错到相邻符号, 错一个符号 (it) 对应错 个比特, 故此 p p erfc 8 N 6- 解: 考虑滚降系数为, 则符号速率 R 满足 R (+ )= 6, 即 R Baud 若进制数是 M, 6 logm 6 logm 则., 因此 按 设计得到最小的进制数是 M=6, 故设计为 6QAM, 滚. 降系数是 /4, 符号速率是.8MBaud, 功率谱密度如下图示 : 6 第 5 页

36 6- 解 :() 信号波形图如下所示 : () 差分相干解调框图如下 : 6-4 解:() 相邻星座点间的距离即为最小欧式距离, d min in.5 in.5 () 各点的最佳判决域如下图中的虚线所示 : () 格雷码比特映射如上图中所示 6-5 解 :() u t vt dt t t dt t dt t dt 4 4 E u Ev, 4 N N () 判决量中的噪声分量是 z nw t u tvtdt nw tvtdt 其均值为, 方差为 Ev, 4 () 发送 i t 条件下,y 中的信号分量是 : i t u t v t dt i t v t dt i t t t dt 发送 t 时为 t t t dt, 发送 t 时为 t t t dt (4) 根据对称性可知最佳门限是 P e P y P z z 是均值为, 方差为 N / 4 的高斯随机变量, 由此可得 : (5) ( ) 第 6 页

37 P e 6-6 解:() E, d min ;() E 4, d min () 判决域如下所示 erfc N f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) 6-7 解 :()QPSK 的符号速率为 8/=64kHz,QPSK 主瓣带宽为 64=8kHz () 调制原理图如下 解调原理图如下 QPSK 的功率谱示意图如下 6-8 解 :() 按照最小差错率准则设计就是设计最佳接收机, 因此接收机结构如下 其中 (t)=acoπf c t 代表发, (t)= 代表发 f c 是载波频率, 假设 f c A 依题意有 E, A E 第 7 页

38 () 无论发 发, 抽样值中的噪声都是 Z n( t) co f tdt,z 是均值为 的高斯随机变量, 其方差为 : E[ Z ] E[ n( t) n( ) co f tco f dtd ] ( ) N t co f N N ctco fc dtd co f ctdt 4 发 时,V 中的信号分量是, 故此 V=Z A A 发 时,V 中的信号分量是 ( t) co fctdt, 故此 V Z () 设门限值为 V th, 则判决公式为 V V th c c c (4) 按照 MAP 准则, 判决准则是 P( r) P( r) 即 p( V ) P( ) p( V ) P( ), 即 e e p( V ) p( V ) A ( V ) V, 即 e A ( V ) V e A ( V ) 两边求自然对数 : V ln, 整理后得到 : V ln A N A N E 即最佳判决门限为 Vth ln ln A 4 8 E / 8 A E N (5) 发 而错的概率是 P( e ) P( Z Vth) P Z ln 8 8 E / A 4 E N ln 8 8 E / E N erfc erfc ln N 4N E E N 发 而错的概率是 P( e ) P( Z Vth ) P Z ln 8 8 E / 平均错误率为 Pe P( ) P( e ) P( ) P( e ) E N ln 8 8 E / E N erfc erfc ln N 4N E E N E N erfc ln erfc ln N E N E 第 8 页

39 6-9 解:R (+ )=4,R = 4 ()R = 4. = 波特,R =4it/; ())R = 4.5 =6 波特,R =64it/; () A A 6- 解:() E, E P E () 发送 (t) 时, y r( t)co f ctdt 其中 Z 是 均值高斯随机变量, 方差为 A co f tdt n t co f tdt ( ) c w c A Z E n ( ) w t co fctdt ' E n ( ) ( ) ' ' w t co fctnw t co fct dtdt N N ' ( ) ' ' t t co f ctco fct dtdt co f ctdt N 因此 y 的均值是 A, 方差是 N 发送 (t) 时,y=+Z,y 的均值是, 方差是 N () 由于发送 (t) 及 (t) 条件下,y 是高斯随机变量, 所以 (4) 发送 (t) 而错的概率为 发送 (t) 而错的概率为 (5) 平均错误率为 ( ya) N, p( y) e N p( y) e N y N A A / A P( e ) P( n ) erfc erfc 8N A A P( e ) P( n ) erfc 8N A P P P( e ) P P( e ) erfc 8N 第 9 页

40 A 将 E 代入得 5E P erfc N R 解: 信道带宽是 B=4Hz, 要求的频带利用率为.5 p / Hz B 4, 采用 BPSK 时的频带利用 78 率至多是 p/hz, 所以需要采用 6 进制调制 设计为 6QAM 此时符号速率为 R 95 符号 / 秒 为了 4 B 4 无码间干扰, 需要采用升余弦滚降设计, 设滚降系数为, 则 R(+ )=B, 因此.8 为 R 95 了最佳接收, 收发滤波器需要设计为根升余弦特性 发送框图 接收框图 L 由于 (t) 的功率谱密度是 P (f)=inc (f), 所以 L (t) 的功率谱 因此 (t) 的功率谱密度为 4 6- 解:()(t) 的复包络是 t t 密度为 P f inc f f L P f f P f f L L P f = 4 c c (t) 的功率谱密度图为 ( 单边 ): inc ( f fc ) inc ( f fc ) ( f fc ) f fc 6 4 第 4 页

41 () 因信号中含有载频分量, 故可用窄带滤波或锁相环直接提取 ()(t) 是一个纯载波 coπf c t 和一个 BPSK 信号 tco 8 J, 因此误码率是 Pe erfc 8N 6- 解:() L (t) 的复包络是 t t j t L f t c 之和 BPSK 部分的功率是 8 W, 比特能量是 ()I 路和 Q 路的功率都是, 所以平均功率是 P= (t) 的信息速率是 R =p, 因此比特能量是 E =P/R =.5J ()(t) 由两个正交的 BPSK 构成, 每个 BPSK 的比特能量都是.5 接收端采用最佳的相干接收方案时, 每路 BPSK 的误比特率都是 P erfc E / N erfc, 因此平均误比特率仍然是 erfc N N 框图如下 (t) 是 QPSK 信号, 当 I Q 两路上的比特都正确时, 符号正确, 因此误符号率为 P P P P P 6-4 解 : t t co fct t in fct t co( fct ) 它是一个 BPSK 信号, 最佳相干解调 4 此 BPSK 的比特能量是, 因此误比特率为 P 6-5 解 :() g(t) 占空比为 β τ=β, 又 E g t dt A dt A g erfc N A () a n 以独立等概方式取值于 {,}, ma Ean, E a n E an g t A t, G f A inc f ele m a a m m m P f P f G f G f G f inc f inc f m A A m m 4 4 m inc f inc m f n t t co f t () c 4 第 4 页

42 4 P f P ( f f ) P ( f f ) c c m m inc ( f fc ) inc ( f fc ) inc m ( f fc ) ( f fc ) 8 8 m A (4) a n = 时, 单位比特能量 E =,a n = 时, 单位比特能量 E t a dt n E E (t) 主瓣带宽为 (t) 的 倍, 即 B 6-6 解 :() ()h(t) 与 (t) 匹配, h(t)=k (τ t), 其中,k 为待定常数 又 一个周期里, t Aco fct t t, ht k t kaco fc t t t k A c 又 h(t) 的能量为, 即 ht t co f t g t kaco f t dt k, k c 最佳抽样时间为 t Aco fc t t ele () 发 时, 得到的抽样值 w 由于 h t t t y y t n t h t dt, 所以 w y t n t t dt 其中 Z 是 均值高斯噪声, 其方差为 t dt n t t dt w N E N A Z Z 同理, 发 时, 得到的抽样值为 y=+z 又 (t) 与 (t) 等概出现, V / Pe PZ V erfc erfc N 4N Pe P Z V P Z erfc 4N P P P e P P e P e P e erfc 4N 因此 j i 6-7 解:() 由图可知, E e i i 5 i 其中 i=,,,4; 4 第 4 页

43 4 4 j E i j i E i 4, E E E e e i 4 i () 证明 : x, y, - j E 由于 E E xy E ( )( ) E 4 j 4 j N 6-8 解: 若 i=j, 则 E ni n j E n i 若 i j, 则 4 i 4 E E E, 所以 E[x]=E[y]= E n n E n t g t dt n t g t dt E n t g t n t g t dt dt i j w w w w N N N = t t g t g t dtdt = g t g tdt 解: 设矩形 64QAM 图中的单位长度为 k, 则图中所有点可表示为 i= [a ic k,a i k], 其中 a ic,a i {±, E k 64 k ±,±5,±7}, 因此, 由题意可以得到 : ic i E a a k i 5 k, 即 k 4 5 d min k, dmax 4 k 4 若从 Ω 中删除能量最大的 个点, 得到的实际上就是 QAM, 其平均能量为 : k ic i E ' k 5 E ' a a k i R R M 进制 D 调制的最小频带宽度是 B=R ( 对应滚降系数为 ), 故此频带利用率为 = logm B R 故此 64QAM 的极限频带利用率是 6p/Hz,QAM 的极限频带利用率是 5p/Hz 6- 解 :() 因此 t t t t L t coan jinan co janin j fct t t t Re{ L te } co co fct anin in fct () 信息只包含在 Q 路, 故此最佳接收方案如下 : 6- 解 :()B=kHz () 将 BPSK 信号写成 (t)=z(t)coπf c t, 其中 z(t) 是双极性基带 PAM 信号 于是, 抽样信号可写成 第 4 页

44 n n n n n n n xt t z co fc t z t n fc fc n fc fc fc n fc fc 就是说,x(t) 其实是对 z(t) 抽样的结果,z(t) 的带宽是 z t 后的输出是 z(t) z(t) 可写成 n n, 其中 P f f G f f H f Z rco 率谱密度图如下 : B, 而抽样率远大于 B, 因此 x(t) 通过带宽为 B 的滤波器 n a g t, 其功率谱密度为 ( 默认假设数据独立等概 ) : f H f 是升余弦滚降频谱 ( 注意 : 发送端是根升余弦成形 ) y(t)=z(t) 的功 rco 第七章信源和信源编码 解 : 的译码结果是 5/64V, 的译码结果是 :5/8V 所求误差是 V 解:() 所求抽样率是 KHz; () 所求数据速率是 8Kp; ()M=4,α=.5,f c =.5KHz (BPF 及信道可以不画, 也可以有其它画法 ) 7- 解: E[ x ] x dx 5 量化电平有 4 种等可能的取值,,,, 所以 E[ x q ] xqx x x x x 5 E[ xqx] dx dx dx dx dx q q q E[ x x ] E[ x ] E[ x x] E[ x ] 48 第 44 页

45 7-4 解 :()Z 的样本空间是 {,+,+,+}, 各取值等概 ()H(Z)=it( 单位可以写 it 或者 it/ymol) a a 7-5 解: H ( X ) log log aloga log.5 4 由 P( X x ) 可得 a+=,= a 因此 alog a ( a) log ( a). 5, 故 a=x i i 7-6 解 :() 按基带进行采样时, 最小采样率应为最高频率的两倍, 即 4kHz; () 按带通信号进行采样时, 倍最高频率是 4kHz, 倍带宽是 khz, 因此最小抽样率是 khz; () 4 M, 由此得 M= (4) 取 M=8, 则每样值编码为 7 比特, 每秒有 4k 个样值, 故此信息速率是 7 4k=8kp 7-7 解:() 每路的抽样率是 5kHz =khz,a 律十三折线 PCM 编码将每个样值编为 8it, 因此,A 点的信息速率是 R A =k 8=8kp B 点输出是 路 8kp 的时分复用, 因此 B 点信息速率是 R B =8kp 96k =96kp QPSK 是 4 进制调制, 因此 C 点的符号速率是 Rc 48Baud () 功率谱密度如下图所示, 图中 f c =MHz 7-8 解 :() 每路的抽样率是 khz, 编码后的速率是 8=6kp, 总速率是 5 6=8kp ()DPSK 的主瓣带宽是符号速率的 倍, 为 6kHz () 解调方式可以很多, 例如 7-9 解:() S x px ( x) dx x ( x) dx 6 () 各量化电平的出现概率依次是,,, () Sq yi P( Y yi ) i (4) Nq ( y x) p ( ) ( ) ( ) x x dx x x dx ( x ) ( x) dx t ( t) dt t ( t) dt t dt 4 t dt t dt 第 45 页

46 或者 : N E[( Y X ) ] E[ Y ] E[ X ] E[ XY ] q i x E[ XY] y xp ( x) dx x( x) dx x( x) dx x( x) dx x( x) dx 所以 Nq S Sq E[ XY] 解: 编码过程如下图所示 从图中读出结果为,,,,,, 解:() P( Y ), P( Y ) () I( X; Y) H ( Y ) H( Y X ), H ( Y ).9799, H ( Y X ) log log H ( Y X ) log log.8, 因此 H(Y X)= I(X;Y)=.686it/ymol 7- 解:()X 的熵是 比特 ()Y 的可能取值是, 其概率分布是 P(Y=)=P(X=)=/4, P(Y=)=P(X=)=/4, P(Y=)=P(X=)+P(X=4)=/ 因此, H ( Y ) E[ logp( Y )] log log.5it 4 7- 解: 由下图可知, 这四个符号的编码结果是 ( 或者 ) 平均编码长度是 =.75it 7-4 解:() 最小抽样率是 8kHz,A 律十三折线编码将每个样值编为 8it, 故此每路数据速率是 64kp, 路复用后的总速率是 64kp ()QPSK 的符号速率是 64/=kBaud, 因此主瓣带宽是 =64kHz () 此时平均而言, 每秒发送的 64kit 中真正的信息量只有 64.=8kit, 因此经过理想的信源编码后的输出速率是 8kp, 相应地,QPSK 的主瓣带宽成为 8kHz a ln 4, a a x a 7-5 解:() p X x dx e dx e () x x S E X x e dx x e dx 第 46 页

47 5 () Sq E Y 9a a 5a ln 4 (4) N a ( x a ) ( ) ( ) ( ) e a x dx x a x x x q a e dx x a e dx x a a e dx 解: 输入序列的平均码长 L, 输出序列的平均码长 L, N L N L 解: H[ X ], H[ Y ] log log log.8,x,y 的联合分布如下 : Y\X H[ X, Y ] log log log I[ X ; Y ] H[ X ] H[ Y ] H[ X, Y ]. H[ X Y ] H[ X ] I[ X ; Y ].69 / /4 /4 7-8 解 :()Y 的概率分布为 : Y - P /4 / /4 H[ Y ] log log log () Y X 的概率分布为 : X / P(Y X) H[ Y X ] H[ Y ] H[ Y ] () I[ X ; Y ] H[ Y ] H[ Y X ].5 / / + / x 7-9 解:() xp ( x) dx x e dx () () x P p ( x) dx e dx e P p ( x) dx e dx e x 7- 解 :() () N 第 47 页

48 H[ x ] log log log log 解:()Y 的四个量化区间是 :[,5),[5,5),[5,75),[75,] () n Y Y X, X, 因此对应的四个区间是 :[,6.5),[6.5,5),[5,56.5),[56.5,] y y FY y Pr Y y Pr ( X y) Pr ( X ), y () dfy y y fy y, y dy 5 () E[ X ] 4 x dx, E[ Y ] y y dx 解 :()PCM 系统框图如下 5 ()-.55V 对应极性码是,.55 落在,5 范围内, 所以段落码是, 段内的量化间隔是 落在第 6 小段内 ( 数起 ), 所以段内码是 因此编码器输出的 PCM 码组是 5 译码器将 恢复为第 8 段内的第 6 小段的中点, 即 ( 6 ).547 V, 量化误差是.V () 每一路按 Nyquit 速率取样, 则取样速率是 8kHz, 编码后每一路的数据速率是 64kp 路这样的信号进 行时分复用后的总速率是 64kp, 码元周期是, 脉冲宽度是, 信号的主瓣带宽是 64 8kHz 7- 解 :()6Hz 5 () Pm E m ( t) W () 量化级数为 5,lgM =lg(5 ) 48dB (4) 因为 m(t) 均匀分布, 所以 m(t) 的电压出现在正半轴 第 8 段 第 6 小段的概率是 解: 可以有多种答案, 例如 : 7, 5,,,,,5, 7 x 7-5 解: 量化边界满足 p x dx x p x dx p x dx, 由此可得 : x ln x x, x ln 第 48 页

49 x i xp x dx x xi i xi x x xi x xi xi 量化电平是 yi xe dx xe e dx xi e xie x i xi x x i p x dx i x i ln ln ln ln 因此 y ln e ln, y ln e lne ln, y lne ln 4 P Y /, P Y /, 因此 : H Y log log 98it 7-6 解: H X log. 55it, H(Y)= 解 : 总概率必须是, 因此, 由此解得.67 x x 于是, H X 7.6 x log x x it Y X 是确定的一对一函数, 因此 Y 的概率分布和 X 完全相同, 只是 Y 的样本空间的取值和 X 不同 熵是概率 分布的函数, 与随机事件的具体值无关 因此 H Y H X 7-8 解: 问题中的不确定性包括, 异常球的编号, 熵是 log it; 是偏重还是偏轻, 熵是 it 这两个不确定性相互独立, 所以问题的总熵是 H log 4.585it 折合到以 为底的对数, 是.89rt 因此, 如果天平能给出三种结果, 则至少需要称 次 ; 如果天平只能给出 种结果, 至少需要称 5 次 7-9 解 :Y =ax +X,Y =cx +dx, 均为正态分布,E[Y ]=E[Y ]= 则若 Y,Y 是独立同分布的标准 正态随机变量, 应满足以下三个方程 : E[ Y Y ] ac d. 5 c ad () E Y a a () E Y c d cd 今有 4 个变量, 个方程, 故此取 a= 代入 () 得 +=,= 或者 =, 取 = 代入 () 得 d=c 再 () 代入 () 得 c, 取 c 因此所求矩阵( 之一 ) 是 A 7- 解 : = 表示样值的绝对值落在第 8 段 () 或者第 7 段 () 或者第 6 段 () 或者第 5 段 () 绝对值落在第 8 段的概率是, 落在第 7 段的概率是 4, 落在第 6 段的概率是 8, 落在第 5 段的概率是 6 因此 5 P 解:()x 均匀分布, 所以落在正负两个第 8 段的概率是 /, 段内 6 个小段机会相同, 每个小段的概率 是 64 ; 落在正负两个第 7 段的概率是 /4, 段内 6 个小段机会相同, 小段的概率是 8 ; 依次类推, 第 6~ 第 段 中每个小段的概率分别是 56, 5, 4, 48, 496, 第一段和第二段相同 由此可画出 x 的概率分布 考虑 到 P( x ) 正负对称, 下图只画出了 x 为正的部分, 图中横坐标和纵坐标都是对数刻度的 注意 x 是离散随机变量, 所以 P( x ) 不是 x 的连续函数 第 49 页

50 () 假设 x 在小段内均匀分步 每个大段内小段的个数相同, 考虑正负一共有 6 个大段, 因为 x 等概出现, 所以 各大段的出现机会相同, 因此 x 落在, 中的概率是 6, 该区间内 x 的概率密度是 8, 同理可得 x 落在第 7~ 第 段内的概率密度依次为 4,,,,4,8,8 x 的单边概率密度图如下 : 7- 解: 是正值, 所在段落的取值范围是 4 96 ~ 4 96, 即 64 64~8 小段长度是 4, 落在第 小段 ( 从 数起 ), 译码结果离开段落起点是 4+=4, 因此译码结果是 +6 同理可得 是 (5+ 5+6)= 688 两者相差 794 单位 E 第八章信道 8- 解 :h(t)=δ(t)+δ(t τ),h(f)=+e jπfτ =τ/ 需要均衡 6 8- 解: C Blog ( ) log ( 7) 7Mp, C Blog ( 6 ) C Blog 6 增量为 4Mp 8- 解 :A 律编码, 一个抽样用 8it 编码,R=n 8 8kp N B= P P () R C Blog, 故 n 64 64log NB, 所以 P () 若要求 P/B N, 则 P C Blog Blog N B B,n 64 64, 所以最多可传输 路话音 NB NB P C 8-4 解: C Blog,P=E C, log NB B ( ).884J n E C C 今 N B B,N E =, 故此, log, 第 5 页

51 v 8-5 解: f m, 车速 v 6 8 c m / 7.8m/, 波长.m, 故此 f 9 m 9.6Hz f Hz 8-6 解: 信道容量是 C=+plog p+( p)log ( p)it/ymol 当 p=/ 时,C=; 当 p= 时,C= 注意 : 如果接收端知道收到的比特流有一半的机会是错的, 那它就没必要再去看接收结果了, 因为观察信道输出和闭着眼睛瞎猜是一样的 ; 如果接收端知道收到的完全是错的, 没有一个 it 是例外, 那它观察信道的输出就能毫无损失地得到所有信源信息 8-7 解:() 每帧图像含像素 8 9=76 个, 每个像素的灰度等级数是 56=4 因此每帧图像需要的比特数是 Mit 于是信息传输速率是 5Mp ()5=Blog(+), 得 B 5MHz () 给定信噪比时, 信道容量 C 和带宽 B 是线性关系, 因此当 B 缩小为原来的 时, 速率也必须缩小这么 5 75 多 故此所求压缩比为 75: P NB P P P 8-8 解: 考虑到 lim xlog loge, lim C lim log loge.44 x x B N B P N B N N p 8-9 解: e p e p e C( p) plog p ( p) log ( p) plog p log ( p) plog ( p) p e plog log ( p) ploge log ( p) loge log( ) p e e PM PM 8- 解:() C Blog log M NB W 4 4 () PM M, P M 9- 解 :()n=6,k=, 编码率为 /6=/ () H ()= 第九章信道编码 9- 解 :() 输入信息 的编码结果是 () 存在 5( 刚才的编码结果 ) 7( 生成多项式 ), 不存在 57( 码长只有 7) () 此时接收到的是全 序列, 因此译码结果是 () 9- 解 :()c,n = n + n + n,c,n = n + n, 所以本图实际就是 (,,) 卷积码, 状态图和教材图 一样 () 解: 9-5 解 : P C p p p p 6 p 7p / 第 5 页

52 9-6 解 :()4, 单位写波特 Baud 或符号 / 秒均可 ; ()5Hz 9-7 解:() 是, 因为 [ xc ( x) c ( x)] 7 [ xc ( x)] 7 [ c ( x)] 7 [ xc ( x)] 7 c ( x) mod ( x ) mod ( x ) mod ( x ) mod ( x ) [ xc 7 ( x)] mod ( x 是 c ) (x) 的循环移位, 所以 [ xc 7 ( x)] mod ( x 是码, 再由线性码可得 ) () 所需条件是 c (x) 的次数是 5( 即最高位是 ) 此时 xc (x) 是 c (x) 的循环移位, 因此 xc (x)+c (x) 是码 若 c (x) 最高位是, 则 xc (x)+c (x) 是个 7 次式, 有 8 位, 不可能是编码结果 ( 注意论证应包括必要性和充分性两部分 ) (), 因为 c (x),c (x) 都是 g(x) 的倍数 9-8 解 :() () 卷积码是线性码, 故 是可能的编码结果 由上图可知, 不是可能的编码结果, 所以结果有错 最可能的错误图样是错误最少的图样, 因此可知最可能的错误图样就是 () 得到 ML 路径是, 因此最可能的错误图样是 9-9 解 :() () 如果按此图编码, 结果是,, 也可直接按 g(x) 的倍式做, 即用信息多项式 u(x) 乘以 g(x) 得 u(x)g(x), 结果是 第 5 页

53 () 系统码的生成矩阵是, 也可以写成非系统形式 9- 解:() (),() (4)=RH =() 或 =HR =() 9- 解:() 下一步到 a 只能是 a 到 a 或者 c 到 a a 到 a 累积度量至少是 5,c 到 a 累积度量至多是 4 因此下一步到 a 的幸存路径一定是 c 到 a 依据此段译码器输入之不同, 累积度量可能为接收序列为 时, 累计度量值 4 接收序列为 时, 累计度量值 接收序列为 时, 累计度量值 接收序列为 时, 累计度量值 () 9- 解:() 纠 8, 检 6 () C C 5 5 () ( p) 7 7p=.7 9- 解:()4,()/7 () 9-4 解 :() () G ' () H (4) 9-5 解 :c (x) 是,c (x) 不是,c (x) 是 9-6 解:() 全部码字有 8 个, 如下所列 : () 上列码字中离 最近的是, 它就是最可能发送的码字 ()(x)= (4) G, H 9-7 解 :()n=7,k=9 k/n=9/7 第 5 页

54 () 通过竖式除法可求得校验比特, 最终的编码结果是 7 个全 9-8 解:() 从图中的状态 出发, 输入 将转移到状态, 产生输出 ; 继续输入 将转移到状态, 产生输出 ; 下一个输入 使状态转移到, 产生输出 ; 此后状态将保持在, 输出也一直是 因此所求编码输出为 () 该卷积码的输出是两路时分复用而成的 每路输出对应的生成多项式是,, 因此编码器原理图如下 : 9-9 解 :Viteri 译码给出的是最佳结果 ( 距离最近的 ML 结果 ) 除可按 Viteri 算法的具体步骤一步步做以外, 本题的最佳结果很容易从图中看出 首先, 对应前 步的最优路径必然是, 因其累积度量是 倒过来看, 最后三步必然是 故此中间这一步必然是 由此得到译码结果为, 相应的数据是, 后两位可能是尾比特 9- 解:() 所求概率为 P =p ( p) N ; () 所求概率为 N ( ) N p C p p p CN 9- 解:() 从 G 的大小可以判断出这是一个 (5,) 线性分组码 其系统码由 比特信息位和 比特校验位构成 限定不能做列交换时, 可以验证出 G 的前三列不可能化为单位阵 I( 实际上,G 的前 列秩为, 不能用高斯消元化求解 而初等行变换的实质是高斯消元法 ) 系统码也可以是信息位在后( 或其他任何位置 ), 假设信息位在后, 则通过初等行变换可得系统码的生成矩阵是 G y () 所有可能的编码结果就是 G 或 G y 的行的各种组合结果 :,,,,,,, 从中挑出末尾是 的三个码字, 用他们组成的生成矩阵就是 Gy () 线性分组码的最小码距是全零码之外的最小码重, 由 () 的结果可知 d min = (4)G y 可以写成 G y =(Q,I), 其中 Q 对于任意的信息分组 u, 编码结果是 c=u (Q,I), 它满足 Hc = 因此 H (Q,I) Q = 将 H 写成分块矩阵 H=(A,B), 其中 A 有 列,B 有 列 则 ( A, B) I 很明显,A=I,B=Q 能满足上述方程, 所以 H ( I, Q ) 从这个结果也可以看出,H 有两列相同, 所以也可以得到前问中 d min = 的结果 9- 解 :() 是系统码, 因为生成矩阵的前半部分为单位矩阵 第 54 页

55 () 该码对应的所有码字为,,,,,,,,,,,,,,, 其中包含全零码字, 任意两个码字相加仍为一个码字, 任意码字循环移位后仍为码字, 因此是循环码 () H (4) H ', ' G 9- 解: 从图中可以看出, 只要选定了 L= 到 L= 的路径, 则总的路径就确定了 因此总的路径数为 8 条 直接观察网格图, 可知 L= 到 L= 之间有 码字, 而 L= 到 L=5 之间有 码字,L= 到 L= 中码字为, 与输入的 汉明距离为 因此汉明距离最接近的码字即为, 码距为 9-4 解: 由题意知这是一个 (,8) 线性分组码, 生成多项式的最高次方为 -8=4 次 4 4 对于 9=B, 可知输入 u( x), 且 r( x) u( x) x x, 即 x x 4 g( x) x x modg ( x) modg ( x) 对于 AC8=B, 可知输入 u( x) x x x x, 则校验多项式 r( x) u( x) x 而 AC8 的后四位为, 与计算结果不符合 因此 AC8 不是一个正确的码字, 正确码字为 AC 9-5 解: 有题意画如下示意图 : n c modg ( x) n m n c 由图中关系可知 : ( n ), 所以 n m 的最大值为 6, 此时 n=,k= 9-6 解 :() p C p( p) C p ( p) C p ( p) p () p C ( p) C p( p) () 当 7 位码字都正确或者某几位出错使其变成另一个合法码字时伴随式为零 由于使用 (7,4) 汉明码, 因此最小码距是, 也即 7 位码字中至少错 位才可能成为另一个合法码字 在 p 很小时, 错三位的概率远远小于错一位的概 7 率, 因此可以认为只有 7 位均没出错时伴随式才为零, 即概率 P ( p) 9-7 解 :() G () 所有编码一共有 8 个, 分别为 :,,,,,,, 第 55 页

56 () 最小码距为 (4) H (5) yh 9-8 解:() 按 c=ug 对所有信息比特向量 u 进行计算得所有许用码字如下表 监督矩阵为 H () 此码的编码效率是 /7 () Hy 伴随式为 ( ), 由于 不是全, 表明接收码字中存在错误 k 9-9 解:() 由 n 及 n k=5 解得 :n=5,k= () ( )( ) a x g x x x x x x x ()a=, 其码重为 4, 故该码的最小码距是 4 (4) 当 e(x) 能被 g(x) 整除时, 这样的错误不能被检出 这样的错误图样扣除全零的一个外有 个, 占全部可 能错误图样的比率为 (5) 法 : e( x) x x x x x x ( x ) x ( x ) x ( x ) ( x ) 4 4 x ( x x x )( x ) x a( x)( x ) 由于 x 4 不包含 x+ 这个因子, 因此 e(x) 不包含 x+ 这个因子, 因此 e(x) 不可能被 g(x) 整除, 因此这样的错误能够被检出 i i 有 5 项, 所以 i i 法 : x ( x ) x, x e( x) 4 i x i x, 即 x= 不是多项式 4 i x i 的根, 即 e(x) 不含因式 x+ 因为 g(x) 含因式 x+, 所以 e(x) 不可能被 g(x) 除尽, 因此这样的错误可以被检出 法 : 做长除法, 用 e(x) 除以 g(x)=x 5 +x 4 +x+, 得余式是 x 4 +x+, 不为, 因此这个错误图样能够被检出 第 56 页

57 (6) 用长除法, 除以 得余为, 因此编码输出是 9- 解 :()g(x)=+x,g(x)=x+x () 格图如下 : () 输入为 时, 考虑 it 的尾比特, 则上支路的输出是, 下支路的输出是 变成串行后的输出是 9- 解:() 编码后的速率为 9it/, 此即 BPSK 的符号速率 ()BPSK 的带宽是 9(+)=84Hz 9- 解:()n=6,k=, 编码率为 /6=/ () H () 伴随式为 不为, 故接收码组中存在错误 9- 解 :() 状态图为 () 根据线性原理, 所求汉明距应当等于两个序列和的编码输出的码重 两输入序列之和为, 其编码输出是, 码重是 解:() P C4 p ( p) p p (6 p 7 p ) () P C p ( p) C p ( p) p p ( 5 p 6 p ) 9-5 解:()c=uG, 用所有可能的 u 计算后得到 : u C 系统码形式的生成矩阵是 第 57 页

58 G ' 由此得 H () 编码率是 /7 () 译码器输入是 y=(), 对应的伴随式是 Hy, 不是全零, 故 y 中有错误 9-6 解 :() 输入有 比特, 输出有 7 比特, 故此这是一个 (7,) 线性分组码, 其生成矩阵 G 有 行, 每行 都是一个可能的码字 容易看出上述三个码字是线性不相关的, 因此可以写出 G () 若记输入信息为 (u,u,u ), 则编码结果是 (c 6,c 5,c 4,c,c,c,c )=(u,u,u )G=(u +u,u, u +u +u,u,u +u,u,u +u ) 注意到编码输入的信息位直接出现在编码结果中,c 5 =u c =u c =u, 因此该码是系统码 () 根据前题的结果我们有 c 6 =u +u =c 5 +c, 即 c 6 +c 5 +c = 同样还可写出 c 4 +c 5 +c +c = c +c 5 +c = c +c +c = 从而得到线性方程组 c6 c5 c c5 c4 c c c5 c c c c c 上式对任意的码字 (c 6,c 5,,c,c ) 都成立, 因此得到校验矩阵为 H 9-7 解:H 有 6 行, 各行线性无关, 故此 =yh 有 6 =64 种不同的结果, 包括全零错误图样在内的可纠正错 nn 误图样有 64 种 设码长为 n, 则单比特错误有 n 种, 双比特错有 Cn 种, 这些错误图样必须要在可纠正错 nn 误图样中, 故此必须 n 64, 解得 n 另外, 由 n k=6 及 k 得 n 7 因此可能的码长是 7 8 9, 对应的线性分组码是 (7,) (8,) (9, k ) (,4) 其中编码率最高的是(,4), 其编码率是. 4 n 9-8 解:()=8+4+, 故此二进制表示是 (MSB 是 mot ignificant it, 即最高有效位 ) ()x +x + 第 58 页

59 ()g(x)= x +x + 必然是 x n + 的因子 可验证 x 7 + 能被 g(x) 除尽, 故此 n=7 手算时可按下图持续进行, 直至余, 便可得到 n (4) G 9-9 解 :()g(x) 的次数是 n k, 因此校验位个数是 4 位 n n n i () c x c x c x c c x 代入 x=, c 的根, 因此 c n n i i n c, 故码字 c 中必然有偶数个 i i n c c(x) 是 g(x) 的倍式, 因此 c(x) 包含 g(x) () 依题意,g(x)v(x)+=x n, 由于 g(x)v(x) 的次数是 a+, 所以必然有 g(x)v(x)=x n +, 并且 a+=n 可见 该码的长度是 n=a+ 另外, 由于 n k=a, 所以 k=n a=, 因此码率为 a (4)n k =(n k )+(n k ), 因此 n=k +k k i i 第十章扩频通信 - 解: 结构图略, 输出序列, 周期为 7 - 解: 最佳答案是考虑自扰 : 按外扰答也可接受 : - 解:() H, 故 H H 如果 H 以上归纳可得 H =H N H N HN HN H N H N, 则 HN H H N H N HN HN N 第 59 页

60 () 令 B=( ij ),H=(h ij ) 因为 B H=I,H=H, 所以 B H =I, 此即 h j 行正交 N k i j jk ik 故 H 的第 i 行与 B 的第 -4 解 :()a k =a k +a k 4, 故 a 4 =a +a =+=, 类似可得 { a 4 a 5 } 为 () 输出序列的周期为 5, 题目中给出的移位寄存器序列的最长周期为 5, 故此序列为 m 序列 ()f(x)=+x+x 4-5 解 :M 的一个周期为,M 的一个周期为, 两个序列相加一共有 7 种可能的取值, 分别为 : 自相关函数图如下 : += += += += += += += -6 解 :() 序列发生器结构图如下 () 周期为 5 = () 相关函数如下图示 -7 解:() 码长为 的 Hadarmard 矩阵为 H, 由递推关系 H N H H N N H N H N 可得 第 6 页

61 H 6 H H H 8 H H H 4 H H H4 H4 H4 H 4 H H ()H 6 的第 9 行为 :a=(,,,,,,,,-,-,-,-,-,-,-,-); 第 行为 :=(,,,,-,-,-,-,-,-,-,-,,,,) 向量 a 之间的内积为 a = =, 表明这两行正交 -8 解:H =H, 由正交性知 HH 解 : 输出序列为 :, 周期为 7 - 解 :() 第 6 页

62 () 周期是 5 =767 () 若 x 是 5 的整倍数, 则所得序列的周期是, 否则周期还是 5 (4) - 解 :() H 8 ()H 8 的第 行是 w =(,,,,,,, ), 第 行是 w =(,,,,,,, ), 两者的内积为 ww =(+) (+)+( ) (+)+(+) ( )+( ) ( )+(+) (+)+( ) (+)+(+) (+) +( ) ( )=, 表明它们两个正交 - 解 : 周期为 5 的 m 序列的特征多项式是 +x+x 4 用手工竖式除法展开 /f(x) 得一个周期是 前 4 个比特正好是 ( 如果前 4 个比特是其他值, 则循环到这个位置开始 ) - 解:() Pd P y Pc z Pc, z Pc, z k k k k k k k k Pck P zk Pck P zk Pck Pck Pck Pck Pdk P yk P yk () 求自相关函数令 z k zk, c k c k, 则 dk z k c k z k 是独立等概序列, 取值于 {±}, k R m E d d 若 若 m=, k k z 与 c k m, k km k km 独立 R m E dkdk m E z c k z c km E z z E c k c km 第 6 页

63 由于 E z k zkm, 所以 R(m)= ( 真随机序列和伪随机序列相乘的结果是真随机序列 ) 第十一章正交频分复用多载波调制技术 - 解 : 若 QPSK 的符号速率是 R, 则对应到带通时的 Nyquit 最小带宽等于 R, 此即滚降系数为 时的带 宽 因此 R =B=5Mymol/ 每个 QPSK 符号携带 个比特, 因此比特速率是 R =Mp 对于多载波系统, 类似可得每个子载波上的数据速率是 kp, 因此总速率仍然是 Mp - 解 :() i ( t) k ( t) dt co fit i co fkt k dt co[ i k f t i k ] dt, 对于 i k 及任意的 i, k, 能使此积分为 必须要求 是被积函数的整倍数周期, 因此最小的 f 是 () 符号速率为 Baud, N 比特速率为 p () N B N, 频带利用率为 N p/hz N j ift i (4)(t) 的复包络为 t e L i 第 6 页