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1 解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 五 屆 二 零 零 五 年 四 月 二 十 三 日 雞 兔 同 籠 雞 兔 同 籠 問 題 在 數 學 競 賽 常 會 碰 到, 它 出 自 孫 子 算 經 一 書, 是 中 國 古 代 名 題 之 一 雖 然 這 個 古 老 問 題 已 沒 有 甚 麼 實 際 意 義, 但 是 現 實 生 活 中 類 似 雞 兔 同 籠 的 問 題 依 然 存 在, 而 解 決 雞 兔 問 題 的 巧 妙 方 法 卻 依 然 值 得 我 們 去 學 習, 用 以 提 升 解 題 技 巧, 及 發 展 思 維 能 力 在 本 章 裡, 我 們 會 先 介 紹 在 競 賽 常 用 的 招 數 假 設 法, 接 著, 我 們 會 將 中 一 代 數 的 技 巧 進 一 步 提 升, 利 用 聯 立 方 程 的 方 法 去 解 決 這 道 古 老 的 問 題 假 設 法 例 一 : 籠 中 有 雞 兔 100 隻, 雞 兔 足 數 共 有 248 隻, 問 雞 兔 各 有 多 少 隻? 分 析 : 已 知 雞 有 腳 2 隻, 兔 有 腳 4 隻 解 這 道 題 目 時, 既 然 已 經 知 道 雞 和 兔 一 共 有 100 隻, 那 麼 我 們 就 可 以 在 總 數 100 隻 以 內 逐 一 去 嘗 試, 列 出 雞 兔 的 隻 數 和 它 們 的 腳 數 關 係 表 ( 如 下 表 ), 找 出 符 合 題 目 條 件 的 雞 和 兔 的 隻 數 雞 的 隻 數 兔 的 隻 數 腳 數 從 表 中 可 以 看 出, 雞 有 76 隻, 兔 有 24 隻 不 過, 這 個 方 法 實 在 費 時 失 事! 若 果 雞 兔 的 數 目 很 大, 等 你 試 到 正 確 的 答 案 時, 比 賽 早 就 完 結 了 在 爭 分 奪 秒 的 比 賽 中, 我 們 需 要 一 個 快 而 準 的 方 法 : 假 設 法 1

2 解 答 : 首 先, 我 們 假 設 籠 裡 全 部 都 是 兔 子, 即 100 隻 全 是 兔 子, 那 麼 這 時 籠 裡 應 該 有 = 400隻 腳, 可 是 題 目 告 訴 我 們 一 共 只 有 248 隻 腳, 這 說 明 籠 裡 並 沒 有 這 麼 多 的 兔 子, 所 以 我 們 應 該 用 雞 來 換 兔 子, 每 放 進 一 隻 雞, 同 時 拿 走 一 隻 兔, 這 樣 雞 和 兔 的 數 目 維 持 不 變, 但 腳 的 隻 數 就 會 減 少 2 隻 因 為 400 比 248 多 出 152 隻 腳, 所 以 我 們 只 要 算 出 換 了 多 少 次 正 好 減 少 152 隻 腳, 就 可 以 知 道 雞 的 隻 數, 即 = 76隻, 而 兔 的 數 目 則 是 = 24 隻 另 解 : 若 假 設 100 隻 全 是 雞, 那 麼 應 該 共 有 腳 = 200隻, 比 題 目 告 訴 我 們 的 248 隻 腳 少 了 48 隻, 因 此 要 用 兔 來 換 雞, 每 放 進 一 隻 兔 子 換 出 一 隻 雞 就 可 以 多 出 2 隻 腳, 所 以 兔 的 數 目 就 是 48 2 = 24 隻 得 出 以 下 公 式 : 從 上 述 的 兩 個 解 法 中, 我 們 可 以 對 這 類 典 型 題 目 歸 納 ( 一 ) 設 兔 求 雞 雞 的 隻 數 =(4 總 頭 數 - 總 足 數 ) (4-2) 兔 的 隻 數 = 總 頭 數 - 雞 的 隻 數 ( 二 ) 設 雞 求 兔 兔 的 隻 數 =( 總 足 數 -2 總 頭 數 ) (4-2) 雞 的 隻 數 = 總 頭 數 - 兔 的 隻 數 另 解 : 其 實, 除 了 上 述 的 解 法 外, 還 有 一 種 更 巧 妙 的 想 法 : 假 設 每 隻 雞 都 抬 起 一 條 腿, 每 隻 兔 子 都 抬 起 兩 條 腿, 這 樣 腳 的 總 數 就 只 剩 原 來 的 一 半, 即 = 124 隻 腳 這 時 每 隻 雞 只 剩 一 隻 腳, 每 隻 兔 只 剩 二 隻 腳, 現 在, 只 要 從 124 隻 腳 中 減 去 每 隻 雞 的 一 隻 腳 和 每 隻 兔 子 的 一 隻 腳, 即 去 掉 100 隻 腳, 剩 下 的 腳 數 就 正 好 等 於 兔 子 的 數 目 ; 即 兔 的 數 目 = = 24 隻 雞 的 數 目 = = 76 隻 現 在 我 們 嘗 試 利 用 從 例 一 總 結 的 方 法 去 解 類 似 雞 兔 同 籠 的 問 題 2

3 例 二 : 蜘 蛛 和 蟬 共 有 29 隻, 腳 數 共 194 隻, 問 蜘 蛛 和 蟬 各 有 幾 隻? ( 註 : 蜘 蛛 有 8 隻 腳, 蟬 有 6 隻 腳 ) 解 答 : 假 設 29 隻 全 是 蜘 蛛, 就 例 一 的 總 結, 得 公 式 : 蟬 的 數 目 註 : 若 假 設 29 隻 全 是 蟬, 則 蜘 蛛 的 數 目 = (8 總 頭 數 總 腳 數 ) ( 蜘 蛛 和 蟬 的 腳 數 差 ) = ( ) ( 8 6) = ( ) 2 = 19 隻 蜘 蛛 的 數 目 = = 10 隻 = ( 總 足 數 6 總 頭 數 ) ( 蜘 蛛 和 蟬 的 腳 數 差 ) = ( ) ( 8 6) = ( ) 2 = 10 隻 例 三 : 小 明 有 2 元 及 5 元 硬 幣 30 枚, 共 值 96 元, 問 兩 種 硬 幣 各 有 多 少 枚? 解 答 : 假 設 30 枚 全 是 2 元 硬 幣, 利 用 例 一 的 公 式, 得 5 元 硬 幣 的 數 目 = (96 2 總 個 數 ) (2 元 和 5 元 硬 幣 的 面 值 差 ) = ( ) ( 5 2 ) = 36 3 = 12 個 2 元 硬 幣 的 數 目 = = 18 個 例 四 : 武 石 小 學 舉 行 數 學 比 賽, 一 共 出 了 10 道 題 目, 答 對 一 題 得 10 分, 答 錯 一 題 反 扣 5 分 ( 不 答 亦 算 答 錯 ), 小 明 得 了 70 分, 問 他 答 對 幾 題? 解 答 : 首 先, 必 須 介 定 答 錯 扣 5 分 為 5 分, 若 小 明 10 題 全 部 答 錯, 則 答 對 的 題 數 = [ 總 分 ( 5) 總 題 數 ] ( 答 對 和 答 錯 的 分 數 差 ) = [ 70 ( 5) 10] [ 10 ( 5)] = = 8 題 註 : 我 們 無 必 要 計 出 小 明 錯 多 少 題! 3

4 例 五 :( 中 國 古 算 題 )100 人 分 吃 100 個 饅 頭, 大 人 一 人 吃 4 個, 小 孩 4 人 吃 1 個, 問 大 人 小 孩 各 多 少? 解 答 : 假 設 100 人 全 是 大 人, 利 用 例 一 的 公 式, 得 小 孩 的 數 目 = (4 總 人 數 饅 頭 數 ) ( 大 人 和 小 孩 吃 饅 頭 的 差 ) 1 = ( ) ( 4 ) 4 = = 80 人 大 人 的 數 目 = = 20 人 另 解 : 其 實, 這 道 題 目 還 有 一 個 更 為 巧 妙 的 解 法 : 將 問 題 轉 化 成 5 人 吃 5 個 饅 頭 ( 一 個 大 人 和 四 個 小 孩 ), 則 = 20( 大 人 ), 100 人 分 成 20 組, 每 組 有 1 個 大 人,4 個 小 孩, 所 以 小 孩 數 為 20 4 = 80人 註 : 本 題 取 自 我 國 明 朝 程 大 位 著 的 算 法 統 宗 裡 的 和 尚 分 饅 頭 它 也 是 民 間 流 傳 很 廣 的 一 道 趣 味 題, 實 際 上 也 是 雞 兔 問 題 例 六 : 小 明 家 養 了 雞 及 兔 子 共 100 隻, 其 中 雞 的 腳 數 比 兔 的 腳 數 多 80 隻, 問 雞 兔 各 有 多 少 隻? 解 答 : 首 先, 假 設 100 隻 全 部 是 雞, 那 麼 共 有 雞 腳 200 隻, 而 兔 腳 的 數 目 為 0, 這 時 雞 腳 比 兔 腳 多 200 隻, 比 題 目 的 80 隻 多 了 120 隻 因 此 要 將 一 部 份 雞 換 成 兔 子, 但 每 拿 走 一 隻 雞, 雞 腳 的 數 目 就 要 減 2, 每 換 一 隻 兔 子, 兔 腳 的 數 目 就 會 加 4, 所 以 每 換 一 次, 雞 腳 與 兔 腳 的 數 目 就 會 相 差 = 6 隻, 所 以 兔 的 隻 數 = (2 總 頭 數 雞 腳 與 兔 腳 的 差 ) ( 每 換 一 次 雞 腳 與 兔 腳 的 差 ) = ( ) ( 2 + 4) = = 20 隻 雞 的 隻 數 = = 80 隻 從 例 六 可 以 知 道, 應 用 假 設 法 去 解 決 較 複 雜 的 雞 兔 同 籠 問 題 時, 會 顯 得 有 點 力 不 從 心 ; 對 一 些 心 思 細 密, 或 者 極 有 數 學 頭 腦 的 同 學 還 不 怎 樣, 但 對 其 他 同 學 來 說, 可 能 早 給 弄 致 頭 昏 腦 脹! 因 此, 我 們 需 要 一 個 更 清 晰, 更 易 掌 握 和 明 白, 又 可 以 處 理 任 何 類 型 問 題 的 方 法 : 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 (Simultaneous Linear Equations In Two Unknowns) 4

5 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 我 們 學 會 應 用 簡 易 方 程 式 ( 即 一 元 一 次 方 程 式 ) 去 解 決 一 些 簡 單 的 應 用 題, 例 如 : 解 方 程 式 3x + 5 = 14 3x = 14 5 ( 移 加 作 減 ) 3x = 9 3x 9 = ( 移 乘 作 除 ) 3 3 x = 3 上 述 技 術 相 信 大 家 都 不 會 感 陌 生 不 過, 現 在 我 們 面 對 的 問 題, 有 二 個 變 數 / 二 元 (variables) 二 條 方 程 式 (equations), 要 解 這 類 聯 立 方 程 式, 需 要 引 進 新 的 技 術 : ( 一 ) 代 入 法 (Method of Substitution), ( 二 ) 加 減 消 元 法 (Method of Elimination) 不 過, 在 介 紹 這 二 個 方 法 之 前, 我 們 先 確 立 解 題 的 程 序 解 題 四 部 曲 ( 一 ) 選 定 二 個 文 字 ( 一 般 都 會 用 x 和 y) 代 表 題 目 的 二 個 未 知 數 ; ( 二 ) 依 題 意 列 出 二 條 方 程 式 ; ( 三 ) 利 用 代 入 法 或 加 減 消 元 法 去 解 題 ; ( 四 ) 驗 証 解 答 現 在, 我 們 嘗 試 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 聯 立 方 程 問 題 5

6 例 七 :( 和 差 問 題 ) 二 數 之 和 為 36, 差 為 4, 求 此 二 數 解 答 : 利 用 解 題 四 部 曲 : ( 一 ) 設 大 數 為 x, 小 數 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 如 下 : x+ y = 36...( 1) x y = 4...( 2) ( 三 ) 若 利 用 代 入 法, 則 由 (2) 得 x = y (3) 代 (3) 入 (1) 得 (y + 4) + y = 36 2y = 32 y = (4) 代 (4) 入 (3) 得 x = = 20 註 : 應 用 代 入 法 時, 須 注 意 以 下 幾 點 : (i) 在 (1) 式 或 (2) 式 中, 任 選 一 方 程 式, 並 且 令 其 中 任 何 一 個 文 字 為 subject, 將 此 式 記 作 (3) 式 (ii) 將 (3) 式 代 入 另 一 式 中 若 果 將 (1) 式 變 為 (3) 式, 則 (3) 式 必 須 代 入 (2) 式 中 ; 若 果 將 (2) 變 為 (3) 式, 則 (3) 式 必 須 代 入 (1) 式 (iii) 將 (4) 式 代 入 (3) 式, 可 最 快 得 到 另 一 解 答 若 利 用 加 減 消 元 法, 則 (1) + (2) 得 2x = 40 x = 20 (1) (2) 得 2y = 32 y = 16 註 : 應 用 加 減 消 元 法 時, 須 注 意 幾 點 : (i) 所 謂 二 式 加 或 減, 即 (1) 式 的 左 邊 加 或 減 (2) 式 的 左 邊, 同 時 (1) 式 的 右 邊 加 或 減 (2) 式 的 右 邊 (ii) 二 式 進 行 加 或 減 時, 必 須 消 去 一 個 變 數, 否 則 此 法 不 通! ( 四 ) 驗 証 解 答 : = 36,20 16 = 4, 答 案 正 確 6

7 現 在, 我 們 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 答 例 一 ( 一 ) 假 設 雞 的 數 目 為 x, 兔 的 數 目 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 如 下 : x+ y = ( 1) 2x+ 4y = ( 2) ( 三 ) 由 (1) 得 x = 100 y... (3) 代 (3) 入 (2) 得 2(100 y) + 4y = y + 4y = 248 2y = 48 y = (4) 代 (4) 入 (3) 得 x = = 76 現 在, 我 們 再 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 答 例 六 ( 一 ) 設 雞 的 數 目 x, 兔 的 數 目 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 式 如 下 : x+ y = ( 1) 2x 4y = 80...( 2) ( 三 ) 將 (2) 式 全 式 除 以 2, 得 x 2y = (3) (1) (3) 得 3y = 60 y = (4) 將 (4) 代 入 (1), 得 x + 20 = 100 x = 80 利 用 解 聯 立 方 程 式 的 技 巧, 我 們 可 以 很 容 易, 很 清 楚 地 解 決 較 複 雜 的 雞 兔 同 籠 問 題 而 且, 在 解 題 的 過 程 中, 我 們 可 以 靈 活 的 運 用 代 入 法 和 加 減 消 元 法, 務 求 以 最 少 的 步 驟, 最 低 的 難 度 求 出 解 答, 緊 記 不 要 拘 泥 於 某 一 方 法! 其 實, 除 了 解 決 雞 兔 同 籠 問 題 外, 聯 立 方 程 式 還 廣 泛 應 用 於 解 決 其 他 類 型 的 問 題 上 ; 例 如 工 程 問 題 時 間 問 題 行 程 問 題 等 方 面 而 且, 引 入 聯 立 方 程 式 這 技 巧, 大 大 提 高 了 我 們 的 解 題 能 力, 令 好 些 艱 深 的 問 題, 都 可 以 迎 刃 而 解 讓 我 們 看 看 以 下 例 題 7

8 例 八 : 一 件 工 程, 甲 乙 二 人 合 做 10 天 完 成, 乙 丙 二 人 合 做 12 天 完 成, 甲 丙 二 人 合 做 15 天 完 成 問 甲 乙 丙 三 人 合 做 多 少 天 才 能 完 成? 1 解 答 : 設 甲 一 人 獨 做 要 x 天 完 成, 則 甲 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 x ; 1 乙 一 人 獨 做 要 y 天 完 成, 則 乙 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 y ; 丙 一 人 獨 做 要 z 天 完 成, 則 丙 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 1 z ; 依 題 意 得 = x y = y z = z x 15...(1)...(2)...(3) (1) + (2) + (3) 得 = 1 x y z = x y z 8 1 甲 乙 丙 三 人 合 做 一 天, 就 完 成 整 件 工 作 的 8 即 甲 乙 丙 三 人 合 做 同 一 件 工 作, 需 8 天 完 成 看 過 例 八 以 後, 同 學 應 該 會 對 聯 立 方 程 的 信 心 大 為 提 高 不 過, 它 的 能 力 還 不 止 於 此, 若 果 配 合 所 求 未 知 數 值 的 某 些 特 質, 聯 立 方 程 還 能 夠 解 決 不 定 方 程 的 問 題 直 到 例 八 為 止, 使 用 聯 立 方 程 去 解 決 問 題 時, 未 知 數 的 數 目 與 方 程 的 數 目 一 定 是 相 同 的, 這 樣 我 們 就 可 以 求 得 唯 一 的 解 (unique solution), 但 若 果 未 知 數 的 數 目 多 於 方 程 的 數 目 的 話, 那 麼 未 知 數 的 限 制 將 會 減 少, 所 得 的 解 也 就 不 止 一 個 了 ; 這 樣 的 方 程 問 題, 就 叫 做 不 定 方 程 我 們 不 會 在 這 樣 討 論 不 定 方 程 問 題, 只 是 利 用 聯 立 方 程 和 未 知 數 的 某 些 特 質 去 求 解 吧! 8

9 例 九 : 一 百 匹 馬, 馱 ( 音 : 駝, 解 驢 或 馬 背 負 人 或 物 ) 一 百 包 糧 食, 大 馬 每 匹 馱 三 包, 中 馬 每 匹 馱 兩 包, 小 馬 兩 匹 馱 一 包 問 大 馬 中 馬 小 馬 各 有 多 少 匹? 解 答 : 設 有 大 馬 x 匹, 中 馬 y 匹, 小 馬 z 匹 x + y + z = ( 1) 依 題 意 得 z 3x + 2y + = ( 2) 2 由 (1) 得 z = 100 x y... (3) 代 (3) 入 (1), 得 3 x y ( x y) = 即 5x + 3y = 100 3y x = 20 5 按 題 意,x y 必 須 是 正 整 數, 那 麼, 3 y 也 是 正 整 數, 則 y 必 為 5 的 倍 數 5 當 y = 5 時, x = 20 3 = 17,z = 100 x y = = 78 當 y = 10 時,x = 20 6 = 14,z = 100 x y = = 76 當 y = 15 時,x = 20 9 = 11,z = 100 x y = = 74 當 y = 20 時,x = = 8,z = 100 x y = = 72 當 y = 25 時,x = = 5,z = 100 x y = = 70 當 y = 30 時,x = = 2,z = 100 x y = = 68 當 y 35 時,x < 0, 不 合 題 意 因 此, 這 題 的 解 為 : 大 馬 17匹 中 馬 5匹 小 馬 78匹 大 馬 8匹 中 馬 20匹 小 馬 72匹 大 馬 14匹 中 馬 10匹 小 馬 76匹 大 馬 5匹 中 馬 25匹 小 馬 70匹 大 馬 11匹 中 馬 15匹 小 馬 74匹 大 馬 2匹 中 馬 30匹 小 馬 68匹 9

10 習 題 1. 已 知 雞 兔 共 有 107 隻, 兔 腳 比 雞 腳 多 56 隻, 問 雞 兔 各 有 幾 隻? 2. 小 明 有 1 元 5 元 和 10 元 硬 幣 共 20 枚, 共 值 124 元, 其 中 5 元 和 10 元 硬 幣 的 數 目 相 等 求 三 種 硬 幣 各 有 多 少 枚? 3. 小 楓 去 郵 局 買 郵 票, 他 用 68 元 買 了 4 角 和 8 角 的 郵 票 共 100 枚 這 兩 種 郵 票 各 有 多 少 枚? 4. 小 明 參 加 一 次 數 學 競 賽, 共 有 12 條 題 目 每 答 對 一 條 得 10 分, 答 錯 或 不 答 均 扣 3 分 結 果 小 明 得 81 分, 問 他 做 對 了 幾 題? 5. 蜘 蛛 有 8 條 腿, 蜻 蜓 有 6 條 腿 和 2 對 翅 膀, 蟬 有 6 條 腿 和 一 對 翅 膀 現 在 這 三 種 動 物 有 18 隻, 共 有 118 條 腿 和 20 對 翅 膀, 問 這 三 種 動 物 各 有 多 少 隻? 6. 小 強 和 小 明 一 起 練 習 長 跑, 小 強 先 跑 3 分 鐘, 然 後 又 和 小 明 共 同 跑 5 分 鐘, 兩 人 一 共 跑 了 3750 米 若 小 明 每 分 鐘 比 小 強 多 跑 30 米, 問 小 強 比 小 明 多 跑 幾 多 米? 7. 雞 兔 共 有 腳 78 隻, 若 將 雞 數 和 兔 數 互 換, 則 共 有 腳 84 隻, 問 雞 和 兔 各 有 幾 隻? 8. 有 一 個 兩 位 數, 各 位 數 字 之 和 的 6 倍 比 原 數 大 3, 求 這 個 兩 位 數 ( 有 2 個 答 案 ) 9. 甲 乙 兩 人 進 行 射 擊 練 習, 甲 平 均 每 放 6 槍 可 以 中 靶 4 次, 乙 平 均 每 放 5 槍 可 以 中 靶 4 次, 兩 人 共 放 116 槍, 共 中 靶 84 次 問 甲 乙 各 放 了 多 少 槍? 各 中 靶 多 少 次? 10. 大 客 車 有 48 個 座 位, 小 客 車 有 30 個 座 位, 現 有 306 位 旅 客, 要 使 每 位 旅 客 都 有 座 位 而 且 不 空 出 座 位, 問 需 大 小 客 車 各 幾 輛? 10

11 解 答 1. 設 有 雞 y 隻, 兔 x 隻, 則 x + y = ( 1) 4x 2y = 56...( 2) 由 (2) 得 2x y = (3) (1) + (3) 得 3x = 135 x = (4) 代 (4) 入 (1) 得 y = = 62 有 雞 62 隻, 兔 45 隻 2. 設 有 1 元 硬 幣 x 個,5 元 10 元 硬 幣 有 y 個, 則 x + 2y = 20...( 1) x + 15y = ( 2) (2) (1) 得 13y = 104 y = 8... (3) 代 (3) 入 (1) 得 x = 20 2(8) = 4 有 1 元 硬 幣 4 個,5 元 及 10 元 硬 幣 各 8 個 3. 設 小 楓 買 了 4 角 郵 票 x 枚,8 角 郵 票 y 枚, 則 x + y = ( 1) 04. x y = 68...( 2) (2) 0.4 得 x + 2y = (3) (3) (1) 得 y = (4) 代 (4) 入 (1) 得 x = = 30 小 楓 買 了 4 角 郵 票 30 票,8 角 郵 票 70 枚 11

12 4. 設 小 明 答 對 x 題, 答 錯 y 題, 則 x + y = 12...( 1) 10x 3y = 81...( 2) (1) 3 得 3x + 3y = (3) (2) + (3) 得 13x = 117 x = 9 小 明 共 答 對 9 題 註 : 由 於 題 目 只 要 求 算 出 答 對 的 題 數, 故 使 用 加 減 消 元 法 時, 務 必 消 去 y( 答 錯 題 數 ) 5. 設 有 蜘 蛛 x 隻, 蜻 蜓 y 隻, 蟬 z 隻, 則 x+ y+ z = 18...( 1) ( 隻 數 ) 0x+ 2y+ z = 20...( 2) ( 翼 數 ) 8x+ 6y+ 6z = ( 3) ( 腳 數 ) 雖 然 這 題 有 3 條 方 程 式,3 個 未 知 數, 不 過 我 們 可 以 先 求 出 一 個 未 知 數, 然 後 再 用 對 付 二 元 聯 立 方 程 式 的 方 法 去 解 題 (1) 6 得 6x + 6y + 6z = (4) (3) (4) 得 2x = 10 x = 5... (5) 將 (5) 代 入 (1) 得 y + z = (6) 簡 化 (2) 式 得 2y + z = (7) (7) (6) 得 y = 7... (8) 代 (8) 入 (6) 得 z = 13 7 = 6 有 蜘 蛛 5 隻, 蜻 蜓 7 隻, 蟬 6 隻 12

13 6. 設 小 強 的 速 度 為 每 分 鐘 跑 x 米, 小 明 每 分 鐘 跑 y 米, 則 8x + 5y = (1) x y = 30...(2) 由 (2) 得 5x 5y = (3) (3) + (1) 得 13x = 3900 x = (4) 代 (4) 入 (3) 得 y = =270 小 強 每 分 鐘 跑 300 米, 小 明 每 分 鐘 跑 270 米 小 強 比 小 明 多 走 的 距 離 = 8(300) 5(270) = 1050 米 7. 設 雞 和 兔 原 來 的 數 目 為 x 和 y, 則 依 題 意 有 : 2x + 4y = 78 (1) 今 雞 和 兔 的 數 目 互 換, 得 下 式 : 4x + 2y = 84 (2) (2) 2, 2x + y = 42 (3) (1) (2), 3y = 36 y = 12 (4) 將 (4) 代 入 (3), 得 2x = 30 x = 設 十 位 數 為 x, 個 位 數 為 y, 則 原 數 的 值 = 10x + y 依 題 意 得 下 式 : 6(x + y) = 10x + y + 3 4x = 5y x = y (*) 4 由 於 x 及 y 均 為 整 數, 只 要 依 次 由 1 至 9 代 入 (*), 得 x 為 整 數 的 就 是 答 案 當 y = 3,x = 3;y = 7,x = 8 y 取 其 餘 數 值 時,x 均 非 整 數, 不 合 所 以, 符 合 要 求 的 兩 位 數 只 有 33 和 87 13

14 9. 設 甲 放 了 x 槍, 乙 放 了 y 槍, 則 依 題 意 得 : x + y = (1) 4 4 x + y = 84...(2) ( 2) 得, x + y = 126 (3) 4 5 (3) (1) 得, y 10 5 = y = 50 (4) 代 (4) 入 (1), x = 66 甲 放 槍 66 次, 中 靶 44 次 ; 乙 放 槍 50 次, 中 靶 40 次 10. 設 需 要 大 客 車 x 輛, 小 客 車 y 客 據 題 意 要 求, 每 位 旅 客 都 有 座 位 且 不 空 出 座 位, 故 大 小 客 車 的 數 目 必 為 正 整 數 依 題 意 得 48x + 30y = 306 即 8x + 5y = y x = 8 當 y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 時,x 均 非 整 數, 不 合 題 意 當 y = 7, x = 8 = 16 8 = 2 當 y 11 時,x < 0, 不 合 題 意 故 需 要 大 客 車 2 輛, 小 客 車 7 輛 顧 問 老 師 : 梁 志 明 黃 萬 安 黃 偉 智 楊 振 雄 袁 仲 強 14

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