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- 清 危
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1 解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 五 屆 二 零 零 五 年 四 月 二 十 三 日 雞 兔 同 籠 雞 兔 同 籠 問 題 在 數 學 競 賽 常 會 碰 到, 它 出 自 孫 子 算 經 一 書, 是 中 國 古 代 名 題 之 一 雖 然 這 個 古 老 問 題 已 沒 有 甚 麼 實 際 意 義, 但 是 現 實 生 活 中 類 似 雞 兔 同 籠 的 問 題 依 然 存 在, 而 解 決 雞 兔 問 題 的 巧 妙 方 法 卻 依 然 值 得 我 們 去 學 習, 用 以 提 升 解 題 技 巧, 及 發 展 思 維 能 力 在 本 章 裡, 我 們 會 先 介 紹 在 競 賽 常 用 的 招 數 假 設 法, 接 著, 我 們 會 將 中 一 代 數 的 技 巧 進 一 步 提 升, 利 用 聯 立 方 程 的 方 法 去 解 決 這 道 古 老 的 問 題 假 設 法 例 一 : 籠 中 有 雞 兔 100 隻, 雞 兔 足 數 共 有 248 隻, 問 雞 兔 各 有 多 少 隻? 分 析 : 已 知 雞 有 腳 2 隻, 兔 有 腳 4 隻 解 這 道 題 目 時, 既 然 已 經 知 道 雞 和 兔 一 共 有 100 隻, 那 麼 我 們 就 可 以 在 總 數 100 隻 以 內 逐 一 去 嘗 試, 列 出 雞 兔 的 隻 數 和 它 們 的 腳 數 關 係 表 ( 如 下 表 ), 找 出 符 合 題 目 條 件 的 雞 和 兔 的 隻 數 雞 的 隻 數 兔 的 隻 數 腳 數 從 表 中 可 以 看 出, 雞 有 76 隻, 兔 有 24 隻 不 過, 這 個 方 法 實 在 費 時 失 事! 若 果 雞 兔 的 數 目 很 大, 等 你 試 到 正 確 的 答 案 時, 比 賽 早 就 完 結 了 在 爭 分 奪 秒 的 比 賽 中, 我 們 需 要 一 個 快 而 準 的 方 法 : 假 設 法 1
2 解 答 : 首 先, 我 們 假 設 籠 裡 全 部 都 是 兔 子, 即 100 隻 全 是 兔 子, 那 麼 這 時 籠 裡 應 該 有 = 400隻 腳, 可 是 題 目 告 訴 我 們 一 共 只 有 248 隻 腳, 這 說 明 籠 裡 並 沒 有 這 麼 多 的 兔 子, 所 以 我 們 應 該 用 雞 來 換 兔 子, 每 放 進 一 隻 雞, 同 時 拿 走 一 隻 兔, 這 樣 雞 和 兔 的 數 目 維 持 不 變, 但 腳 的 隻 數 就 會 減 少 2 隻 因 為 400 比 248 多 出 152 隻 腳, 所 以 我 們 只 要 算 出 換 了 多 少 次 正 好 減 少 152 隻 腳, 就 可 以 知 道 雞 的 隻 數, 即 = 76隻, 而 兔 的 數 目 則 是 = 24 隻 另 解 : 若 假 設 100 隻 全 是 雞, 那 麼 應 該 共 有 腳 = 200隻, 比 題 目 告 訴 我 們 的 248 隻 腳 少 了 48 隻, 因 此 要 用 兔 來 換 雞, 每 放 進 一 隻 兔 子 換 出 一 隻 雞 就 可 以 多 出 2 隻 腳, 所 以 兔 的 數 目 就 是 48 2 = 24 隻 得 出 以 下 公 式 : 從 上 述 的 兩 個 解 法 中, 我 們 可 以 對 這 類 典 型 題 目 歸 納 ( 一 ) 設 兔 求 雞 雞 的 隻 數 =(4 總 頭 數 - 總 足 數 ) (4-2) 兔 的 隻 數 = 總 頭 數 - 雞 的 隻 數 ( 二 ) 設 雞 求 兔 兔 的 隻 數 =( 總 足 數 -2 總 頭 數 ) (4-2) 雞 的 隻 數 = 總 頭 數 - 兔 的 隻 數 另 解 : 其 實, 除 了 上 述 的 解 法 外, 還 有 一 種 更 巧 妙 的 想 法 : 假 設 每 隻 雞 都 抬 起 一 條 腿, 每 隻 兔 子 都 抬 起 兩 條 腿, 這 樣 腳 的 總 數 就 只 剩 原 來 的 一 半, 即 = 124 隻 腳 這 時 每 隻 雞 只 剩 一 隻 腳, 每 隻 兔 只 剩 二 隻 腳, 現 在, 只 要 從 124 隻 腳 中 減 去 每 隻 雞 的 一 隻 腳 和 每 隻 兔 子 的 一 隻 腳, 即 去 掉 100 隻 腳, 剩 下 的 腳 數 就 正 好 等 於 兔 子 的 數 目 ; 即 兔 的 數 目 = = 24 隻 雞 的 數 目 = = 76 隻 現 在 我 們 嘗 試 利 用 從 例 一 總 結 的 方 法 去 解 類 似 雞 兔 同 籠 的 問 題 2
3 例 二 : 蜘 蛛 和 蟬 共 有 29 隻, 腳 數 共 194 隻, 問 蜘 蛛 和 蟬 各 有 幾 隻? ( 註 : 蜘 蛛 有 8 隻 腳, 蟬 有 6 隻 腳 ) 解 答 : 假 設 29 隻 全 是 蜘 蛛, 就 例 一 的 總 結, 得 公 式 : 蟬 的 數 目 註 : 若 假 設 29 隻 全 是 蟬, 則 蜘 蛛 的 數 目 = (8 總 頭 數 總 腳 數 ) ( 蜘 蛛 和 蟬 的 腳 數 差 ) = ( ) ( 8 6) = ( ) 2 = 19 隻 蜘 蛛 的 數 目 = = 10 隻 = ( 總 足 數 6 總 頭 數 ) ( 蜘 蛛 和 蟬 的 腳 數 差 ) = ( ) ( 8 6) = ( ) 2 = 10 隻 例 三 : 小 明 有 2 元 及 5 元 硬 幣 30 枚, 共 值 96 元, 問 兩 種 硬 幣 各 有 多 少 枚? 解 答 : 假 設 30 枚 全 是 2 元 硬 幣, 利 用 例 一 的 公 式, 得 5 元 硬 幣 的 數 目 = (96 2 總 個 數 ) (2 元 和 5 元 硬 幣 的 面 值 差 ) = ( ) ( 5 2 ) = 36 3 = 12 個 2 元 硬 幣 的 數 目 = = 18 個 例 四 : 武 石 小 學 舉 行 數 學 比 賽, 一 共 出 了 10 道 題 目, 答 對 一 題 得 10 分, 答 錯 一 題 反 扣 5 分 ( 不 答 亦 算 答 錯 ), 小 明 得 了 70 分, 問 他 答 對 幾 題? 解 答 : 首 先, 必 須 介 定 答 錯 扣 5 分 為 5 分, 若 小 明 10 題 全 部 答 錯, 則 答 對 的 題 數 = [ 總 分 ( 5) 總 題 數 ] ( 答 對 和 答 錯 的 分 數 差 ) = [ 70 ( 5) 10] [ 10 ( 5)] = = 8 題 註 : 我 們 無 必 要 計 出 小 明 錯 多 少 題! 3
4 例 五 :( 中 國 古 算 題 )100 人 分 吃 100 個 饅 頭, 大 人 一 人 吃 4 個, 小 孩 4 人 吃 1 個, 問 大 人 小 孩 各 多 少? 解 答 : 假 設 100 人 全 是 大 人, 利 用 例 一 的 公 式, 得 小 孩 的 數 目 = (4 總 人 數 饅 頭 數 ) ( 大 人 和 小 孩 吃 饅 頭 的 差 ) 1 = ( ) ( 4 ) 4 = = 80 人 大 人 的 數 目 = = 20 人 另 解 : 其 實, 這 道 題 目 還 有 一 個 更 為 巧 妙 的 解 法 : 將 問 題 轉 化 成 5 人 吃 5 個 饅 頭 ( 一 個 大 人 和 四 個 小 孩 ), 則 = 20( 大 人 ), 100 人 分 成 20 組, 每 組 有 1 個 大 人,4 個 小 孩, 所 以 小 孩 數 為 20 4 = 80人 註 : 本 題 取 自 我 國 明 朝 程 大 位 著 的 算 法 統 宗 裡 的 和 尚 分 饅 頭 它 也 是 民 間 流 傳 很 廣 的 一 道 趣 味 題, 實 際 上 也 是 雞 兔 問 題 例 六 : 小 明 家 養 了 雞 及 兔 子 共 100 隻, 其 中 雞 的 腳 數 比 兔 的 腳 數 多 80 隻, 問 雞 兔 各 有 多 少 隻? 解 答 : 首 先, 假 設 100 隻 全 部 是 雞, 那 麼 共 有 雞 腳 200 隻, 而 兔 腳 的 數 目 為 0, 這 時 雞 腳 比 兔 腳 多 200 隻, 比 題 目 的 80 隻 多 了 120 隻 因 此 要 將 一 部 份 雞 換 成 兔 子, 但 每 拿 走 一 隻 雞, 雞 腳 的 數 目 就 要 減 2, 每 換 一 隻 兔 子, 兔 腳 的 數 目 就 會 加 4, 所 以 每 換 一 次, 雞 腳 與 兔 腳 的 數 目 就 會 相 差 = 6 隻, 所 以 兔 的 隻 數 = (2 總 頭 數 雞 腳 與 兔 腳 的 差 ) ( 每 換 一 次 雞 腳 與 兔 腳 的 差 ) = ( ) ( 2 + 4) = = 20 隻 雞 的 隻 數 = = 80 隻 從 例 六 可 以 知 道, 應 用 假 設 法 去 解 決 較 複 雜 的 雞 兔 同 籠 問 題 時, 會 顯 得 有 點 力 不 從 心 ; 對 一 些 心 思 細 密, 或 者 極 有 數 學 頭 腦 的 同 學 還 不 怎 樣, 但 對 其 他 同 學 來 說, 可 能 早 給 弄 致 頭 昏 腦 脹! 因 此, 我 們 需 要 一 個 更 清 晰, 更 易 掌 握 和 明 白, 又 可 以 處 理 任 何 類 型 問 題 的 方 法 : 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 (Simultaneous Linear Equations In Two Unknowns) 4
5 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 我 們 學 會 應 用 簡 易 方 程 式 ( 即 一 元 一 次 方 程 式 ) 去 解 決 一 些 簡 單 的 應 用 題, 例 如 : 解 方 程 式 3x + 5 = 14 3x = 14 5 ( 移 加 作 減 ) 3x = 9 3x 9 = ( 移 乘 作 除 ) 3 3 x = 3 上 述 技 術 相 信 大 家 都 不 會 感 陌 生 不 過, 現 在 我 們 面 對 的 問 題, 有 二 個 變 數 / 二 元 (variables) 二 條 方 程 式 (equations), 要 解 這 類 聯 立 方 程 式, 需 要 引 進 新 的 技 術 : ( 一 ) 代 入 法 (Method of Substitution), ( 二 ) 加 減 消 元 法 (Method of Elimination) 不 過, 在 介 紹 這 二 個 方 法 之 前, 我 們 先 確 立 解 題 的 程 序 解 題 四 部 曲 ( 一 ) 選 定 二 個 文 字 ( 一 般 都 會 用 x 和 y) 代 表 題 目 的 二 個 未 知 數 ; ( 二 ) 依 題 意 列 出 二 條 方 程 式 ; ( 三 ) 利 用 代 入 法 或 加 減 消 元 法 去 解 題 ; ( 四 ) 驗 証 解 答 現 在, 我 們 嘗 試 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 聯 立 方 程 問 題 5
6 例 七 :( 和 差 問 題 ) 二 數 之 和 為 36, 差 為 4, 求 此 二 數 解 答 : 利 用 解 題 四 部 曲 : ( 一 ) 設 大 數 為 x, 小 數 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 如 下 : x+ y = 36...( 1) x y = 4...( 2) ( 三 ) 若 利 用 代 入 法, 則 由 (2) 得 x = y (3) 代 (3) 入 (1) 得 (y + 4) + y = 36 2y = 32 y = (4) 代 (4) 入 (3) 得 x = = 20 註 : 應 用 代 入 法 時, 須 注 意 以 下 幾 點 : (i) 在 (1) 式 或 (2) 式 中, 任 選 一 方 程 式, 並 且 令 其 中 任 何 一 個 文 字 為 subject, 將 此 式 記 作 (3) 式 (ii) 將 (3) 式 代 入 另 一 式 中 若 果 將 (1) 式 變 為 (3) 式, 則 (3) 式 必 須 代 入 (2) 式 中 ; 若 果 將 (2) 變 為 (3) 式, 則 (3) 式 必 須 代 入 (1) 式 (iii) 將 (4) 式 代 入 (3) 式, 可 最 快 得 到 另 一 解 答 若 利 用 加 減 消 元 法, 則 (1) + (2) 得 2x = 40 x = 20 (1) (2) 得 2y = 32 y = 16 註 : 應 用 加 減 消 元 法 時, 須 注 意 幾 點 : (i) 所 謂 二 式 加 或 減, 即 (1) 式 的 左 邊 加 或 減 (2) 式 的 左 邊, 同 時 (1) 式 的 右 邊 加 或 減 (2) 式 的 右 邊 (ii) 二 式 進 行 加 或 減 時, 必 須 消 去 一 個 變 數, 否 則 此 法 不 通! ( 四 ) 驗 証 解 答 : = 36,20 16 = 4, 答 案 正 確 6
7 現 在, 我 們 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 答 例 一 ( 一 ) 假 設 雞 的 數 目 為 x, 兔 的 數 目 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 如 下 : x+ y = ( 1) 2x+ 4y = ( 2) ( 三 ) 由 (1) 得 x = 100 y... (3) 代 (3) 入 (2) 得 2(100 y) + 4y = y + 4y = 248 2y = 48 y = (4) 代 (4) 入 (3) 得 x = = 76 現 在, 我 們 再 利 用 解 題 四 部 曲 去 解 答 例 六 ( 一 ) 設 雞 的 數 目 x, 兔 的 數 目 為 y ( 二 ) 依 題 意 得 方 程 式 如 下 : x+ y = ( 1) 2x 4y = 80...( 2) ( 三 ) 將 (2) 式 全 式 除 以 2, 得 x 2y = (3) (1) (3) 得 3y = 60 y = (4) 將 (4) 代 入 (1), 得 x + 20 = 100 x = 80 利 用 解 聯 立 方 程 式 的 技 巧, 我 們 可 以 很 容 易, 很 清 楚 地 解 決 較 複 雜 的 雞 兔 同 籠 問 題 而 且, 在 解 題 的 過 程 中, 我 們 可 以 靈 活 的 運 用 代 入 法 和 加 減 消 元 法, 務 求 以 最 少 的 步 驟, 最 低 的 難 度 求 出 解 答, 緊 記 不 要 拘 泥 於 某 一 方 法! 其 實, 除 了 解 決 雞 兔 同 籠 問 題 外, 聯 立 方 程 式 還 廣 泛 應 用 於 解 決 其 他 類 型 的 問 題 上 ; 例 如 工 程 問 題 時 間 問 題 行 程 問 題 等 方 面 而 且, 引 入 聯 立 方 程 式 這 技 巧, 大 大 提 高 了 我 們 的 解 題 能 力, 令 好 些 艱 深 的 問 題, 都 可 以 迎 刃 而 解 讓 我 們 看 看 以 下 例 題 7
8 例 八 : 一 件 工 程, 甲 乙 二 人 合 做 10 天 完 成, 乙 丙 二 人 合 做 12 天 完 成, 甲 丙 二 人 合 做 15 天 完 成 問 甲 乙 丙 三 人 合 做 多 少 天 才 能 完 成? 1 解 答 : 設 甲 一 人 獨 做 要 x 天 完 成, 則 甲 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 x ; 1 乙 一 人 獨 做 要 y 天 完 成, 則 乙 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 y ; 丙 一 人 獨 做 要 z 天 完 成, 則 丙 一 天 就 能 完 成 整 件 工 程 的 1 z ; 依 題 意 得 = x y = y z = z x 15...(1)...(2)...(3) (1) + (2) + (3) 得 = 1 x y z = x y z 8 1 甲 乙 丙 三 人 合 做 一 天, 就 完 成 整 件 工 作 的 8 即 甲 乙 丙 三 人 合 做 同 一 件 工 作, 需 8 天 完 成 看 過 例 八 以 後, 同 學 應 該 會 對 聯 立 方 程 的 信 心 大 為 提 高 不 過, 它 的 能 力 還 不 止 於 此, 若 果 配 合 所 求 未 知 數 值 的 某 些 特 質, 聯 立 方 程 還 能 夠 解 決 不 定 方 程 的 問 題 直 到 例 八 為 止, 使 用 聯 立 方 程 去 解 決 問 題 時, 未 知 數 的 數 目 與 方 程 的 數 目 一 定 是 相 同 的, 這 樣 我 們 就 可 以 求 得 唯 一 的 解 (unique solution), 但 若 果 未 知 數 的 數 目 多 於 方 程 的 數 目 的 話, 那 麼 未 知 數 的 限 制 將 會 減 少, 所 得 的 解 也 就 不 止 一 個 了 ; 這 樣 的 方 程 問 題, 就 叫 做 不 定 方 程 我 們 不 會 在 這 樣 討 論 不 定 方 程 問 題, 只 是 利 用 聯 立 方 程 和 未 知 數 的 某 些 特 質 去 求 解 吧! 8
9 例 九 : 一 百 匹 馬, 馱 ( 音 : 駝, 解 驢 或 馬 背 負 人 或 物 ) 一 百 包 糧 食, 大 馬 每 匹 馱 三 包, 中 馬 每 匹 馱 兩 包, 小 馬 兩 匹 馱 一 包 問 大 馬 中 馬 小 馬 各 有 多 少 匹? 解 答 : 設 有 大 馬 x 匹, 中 馬 y 匹, 小 馬 z 匹 x + y + z = ( 1) 依 題 意 得 z 3x + 2y + = ( 2) 2 由 (1) 得 z = 100 x y... (3) 代 (3) 入 (1), 得 3 x y ( x y) = 即 5x + 3y = 100 3y x = 20 5 按 題 意,x y 必 須 是 正 整 數, 那 麼, 3 y 也 是 正 整 數, 則 y 必 為 5 的 倍 數 5 當 y = 5 時, x = 20 3 = 17,z = 100 x y = = 78 當 y = 10 時,x = 20 6 = 14,z = 100 x y = = 76 當 y = 15 時,x = 20 9 = 11,z = 100 x y = = 74 當 y = 20 時,x = = 8,z = 100 x y = = 72 當 y = 25 時,x = = 5,z = 100 x y = = 70 當 y = 30 時,x = = 2,z = 100 x y = = 68 當 y 35 時,x < 0, 不 合 題 意 因 此, 這 題 的 解 為 : 大 馬 17匹 中 馬 5匹 小 馬 78匹 大 馬 8匹 中 馬 20匹 小 馬 72匹 大 馬 14匹 中 馬 10匹 小 馬 76匹 大 馬 5匹 中 馬 25匹 小 馬 70匹 大 馬 11匹 中 馬 15匹 小 馬 74匹 大 馬 2匹 中 馬 30匹 小 馬 68匹 9
10 習 題 1. 已 知 雞 兔 共 有 107 隻, 兔 腳 比 雞 腳 多 56 隻, 問 雞 兔 各 有 幾 隻? 2. 小 明 有 1 元 5 元 和 10 元 硬 幣 共 20 枚, 共 值 124 元, 其 中 5 元 和 10 元 硬 幣 的 數 目 相 等 求 三 種 硬 幣 各 有 多 少 枚? 3. 小 楓 去 郵 局 買 郵 票, 他 用 68 元 買 了 4 角 和 8 角 的 郵 票 共 100 枚 這 兩 種 郵 票 各 有 多 少 枚? 4. 小 明 參 加 一 次 數 學 競 賽, 共 有 12 條 題 目 每 答 對 一 條 得 10 分, 答 錯 或 不 答 均 扣 3 分 結 果 小 明 得 81 分, 問 他 做 對 了 幾 題? 5. 蜘 蛛 有 8 條 腿, 蜻 蜓 有 6 條 腿 和 2 對 翅 膀, 蟬 有 6 條 腿 和 一 對 翅 膀 現 在 這 三 種 動 物 有 18 隻, 共 有 118 條 腿 和 20 對 翅 膀, 問 這 三 種 動 物 各 有 多 少 隻? 6. 小 強 和 小 明 一 起 練 習 長 跑, 小 強 先 跑 3 分 鐘, 然 後 又 和 小 明 共 同 跑 5 分 鐘, 兩 人 一 共 跑 了 3750 米 若 小 明 每 分 鐘 比 小 強 多 跑 30 米, 問 小 強 比 小 明 多 跑 幾 多 米? 7. 雞 兔 共 有 腳 78 隻, 若 將 雞 數 和 兔 數 互 換, 則 共 有 腳 84 隻, 問 雞 和 兔 各 有 幾 隻? 8. 有 一 個 兩 位 數, 各 位 數 字 之 和 的 6 倍 比 原 數 大 3, 求 這 個 兩 位 數 ( 有 2 個 答 案 ) 9. 甲 乙 兩 人 進 行 射 擊 練 習, 甲 平 均 每 放 6 槍 可 以 中 靶 4 次, 乙 平 均 每 放 5 槍 可 以 中 靶 4 次, 兩 人 共 放 116 槍, 共 中 靶 84 次 問 甲 乙 各 放 了 多 少 槍? 各 中 靶 多 少 次? 10. 大 客 車 有 48 個 座 位, 小 客 車 有 30 個 座 位, 現 有 306 位 旅 客, 要 使 每 位 旅 客 都 有 座 位 而 且 不 空 出 座 位, 問 需 大 小 客 車 各 幾 輛? 10
11 解 答 1. 設 有 雞 y 隻, 兔 x 隻, 則 x + y = ( 1) 4x 2y = 56...( 2) 由 (2) 得 2x y = (3) (1) + (3) 得 3x = 135 x = (4) 代 (4) 入 (1) 得 y = = 62 有 雞 62 隻, 兔 45 隻 2. 設 有 1 元 硬 幣 x 個,5 元 10 元 硬 幣 有 y 個, 則 x + 2y = 20...( 1) x + 15y = ( 2) (2) (1) 得 13y = 104 y = 8... (3) 代 (3) 入 (1) 得 x = 20 2(8) = 4 有 1 元 硬 幣 4 個,5 元 及 10 元 硬 幣 各 8 個 3. 設 小 楓 買 了 4 角 郵 票 x 枚,8 角 郵 票 y 枚, 則 x + y = ( 1) 04. x y = 68...( 2) (2) 0.4 得 x + 2y = (3) (3) (1) 得 y = (4) 代 (4) 入 (1) 得 x = = 30 小 楓 買 了 4 角 郵 票 30 票,8 角 郵 票 70 枚 11
12 4. 設 小 明 答 對 x 題, 答 錯 y 題, 則 x + y = 12...( 1) 10x 3y = 81...( 2) (1) 3 得 3x + 3y = (3) (2) + (3) 得 13x = 117 x = 9 小 明 共 答 對 9 題 註 : 由 於 題 目 只 要 求 算 出 答 對 的 題 數, 故 使 用 加 減 消 元 法 時, 務 必 消 去 y( 答 錯 題 數 ) 5. 設 有 蜘 蛛 x 隻, 蜻 蜓 y 隻, 蟬 z 隻, 則 x+ y+ z = 18...( 1) ( 隻 數 ) 0x+ 2y+ z = 20...( 2) ( 翼 數 ) 8x+ 6y+ 6z = ( 3) ( 腳 數 ) 雖 然 這 題 有 3 條 方 程 式,3 個 未 知 數, 不 過 我 們 可 以 先 求 出 一 個 未 知 數, 然 後 再 用 對 付 二 元 聯 立 方 程 式 的 方 法 去 解 題 (1) 6 得 6x + 6y + 6z = (4) (3) (4) 得 2x = 10 x = 5... (5) 將 (5) 代 入 (1) 得 y + z = (6) 簡 化 (2) 式 得 2y + z = (7) (7) (6) 得 y = 7... (8) 代 (8) 入 (6) 得 z = 13 7 = 6 有 蜘 蛛 5 隻, 蜻 蜓 7 隻, 蟬 6 隻 12
13 6. 設 小 強 的 速 度 為 每 分 鐘 跑 x 米, 小 明 每 分 鐘 跑 y 米, 則 8x + 5y = (1) x y = 30...(2) 由 (2) 得 5x 5y = (3) (3) + (1) 得 13x = 3900 x = (4) 代 (4) 入 (3) 得 y = =270 小 強 每 分 鐘 跑 300 米, 小 明 每 分 鐘 跑 270 米 小 強 比 小 明 多 走 的 距 離 = 8(300) 5(270) = 1050 米 7. 設 雞 和 兔 原 來 的 數 目 為 x 和 y, 則 依 題 意 有 : 2x + 4y = 78 (1) 今 雞 和 兔 的 數 目 互 換, 得 下 式 : 4x + 2y = 84 (2) (2) 2, 2x + y = 42 (3) (1) (2), 3y = 36 y = 12 (4) 將 (4) 代 入 (3), 得 2x = 30 x = 設 十 位 數 為 x, 個 位 數 為 y, 則 原 數 的 值 = 10x + y 依 題 意 得 下 式 : 6(x + y) = 10x + y + 3 4x = 5y x = y (*) 4 由 於 x 及 y 均 為 整 數, 只 要 依 次 由 1 至 9 代 入 (*), 得 x 為 整 數 的 就 是 答 案 當 y = 3,x = 3;y = 7,x = 8 y 取 其 餘 數 值 時,x 均 非 整 數, 不 合 所 以, 符 合 要 求 的 兩 位 數 只 有 33 和 87 13
14 9. 設 甲 放 了 x 槍, 乙 放 了 y 槍, 則 依 題 意 得 : x + y = (1) 4 4 x + y = 84...(2) ( 2) 得, x + y = 126 (3) 4 5 (3) (1) 得, y 10 5 = y = 50 (4) 代 (4) 入 (1), x = 66 甲 放 槍 66 次, 中 靶 44 次 ; 乙 放 槍 50 次, 中 靶 40 次 10. 設 需 要 大 客 車 x 輛, 小 客 車 y 客 據 題 意 要 求, 每 位 旅 客 都 有 座 位 且 不 空 出 座 位, 故 大 小 客 車 的 數 目 必 為 正 整 數 依 題 意 得 48x + 30y = 306 即 8x + 5y = y x = 8 當 y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 時,x 均 非 整 數, 不 合 題 意 當 y = 7, x = 8 = 16 8 = 2 當 y 11 時,x < 0, 不 合 題 意 故 需 要 大 客 車 2 輛, 小 客 車 7 輛 顧 問 老 師 : 梁 志 明 黃 萬 安 黃 偉 智 楊 振 雄 袁 仲 強 14
6-1-1極限的概念
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二零零六至零七年施政報告
1 3 4 13 14 34 17 19 20 24 2 5 26 27 28 29 3 0 31 32 3 3 3 4 35 50 36 42 43 45 46 48 49 50 51 66 52 57 58 60 61 65 6 6 67 76 1. 2. 3. 1 4. 5. 6. CEPA 7. 8. 9. 2 10. 11. 12. 13. 3 14. 15. 16. 17. 4 18.
研究一：n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次，決定一人勝
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國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
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BSPO615 使 用 及 安 裝 說 明 書 總 代 理 優 氏 集 團 客 林 渥 股 份 有 限 公 司 台 北 市 內 湖 區 行 愛 路 69 號 2 樓 TEL 02-2794 2588 FAX 02-2794 3789 台 中 市 北 屯 區 后 庄 路 1080-12 號 TEL 04-2422 0958 FAX 04-2422 0938 高 雄 市 左 營 區 政 德 路 633
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寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939
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BOOK 山 與 溪 谷 社 編 堀 內 一 雄 執 筆 蕭 雲 菁 譯 CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓 練 068 心 率 計 為
二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2.
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五 本 要 點 補 助 款 之 請 撥 及 核 結, 依 下 列 規 定 辦 理 : ( 一 ) 補 助 經 費 由 本 署 直 接 撥 付 至 地 方 政 府 經 費 代 管 學 校 及 其 他 學 校 ( 二 ) 聯 絡 處 及 校 外 會 應 檢 附 收 據, 向 經 費 代 管 學 校 或 地 方 政 府 辦 理 核 銷, 原 始 支 出 憑 證 由 經 費 核 銷 單 位 留 存 備 查
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16
序 1 16 序 2 KK KK KK KK KK KK 溫 溫 KK KK 周 婉 芬 博 士 2016 年 5 月 前 言 平 安 健 康 便 好 了 16 10 ICU ICU 26 300 26 10 ICU ICU 曾 錦 強 2016 年 5 月 目 錄 Chapter 1 家 庭 親 子 關 係 1.1 多 存 款 入 關 係 戶 口 2 1.2 不 傷 關 係 管 學 業 12 1.5
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第 直 流 迴 路 章 4-1 節 點 電 壓 法 4-2 迴 路 電 流 法 4-3 重 疊 定 理 4-4 戴 維 寧 定 理 4-5 最 大 功 率 轉 移 4-6 諾 頓 定 理 4-7 戴 維 寧 與 諾 頓 之 轉 換 重 點 掃 描 習 題 探 討 熟 練 節 點 電 壓 法 的 解 題 技 巧 熟 練 迴 路 電 流 法 的 解 題 技 巧 熟 練 重 疊 定 理 的 解 題 技 巧
長跨距暨挑高建築特殊結構系統之調查分析
第 一 章 1 2 3 4 第 二 章 5 6 7 8 1. 2. 9 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 10 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 11 第 三 章 p 12 b / B 0.75 13 p 14 15 D = l 20 +10 16 17 p l D l D l D 3 p 4 3 18 19 20 21 22 23 24 25
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檔 號 : (20) in EDB(SCR) 25/58/11 Pt.4 教 育 局 通 告 第 3/2012 號 2012 年 教 育 ( 修 訂 ) 規 例 2012 年 教 育 ( 豁 免 )( 提 供 非 正 規 課 程 的 私 立 學 校 )( 修 訂 ) 令 2012 年 香 港 考 試 及 評 核 局 條 例 ( 修 訂 附 表 1) 令 [ 注 意 : 本 通 告 應 交 ( a )
骨 折 別 日 數 表 1. 鼻 骨 眶 骨 ( 含 顴 骨 ) 14 天 11. 骨 盤 ( 包 括 腸 骨 恥 骨 坐 骨 薦 骨 ) 40 天 2. 掌 骨 指 骨 14 天 12. 臂 骨 40 天 3. 蹠 骨 趾 骨 14 天 13. 橈 骨 與 尺 骨 40 天 4. 下 顎 ( 齒
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(2011.08.04 修 訂 ) 目 錄 壹 舊 課 程 複 製 到 新 課 程 的 方 法... 1 一 將 舊 課 程 的 課 程 文 件 匯 入 新 課 程... 1 二 編 輯 新 課 程... 5 三 備 份 舊 課 程 資 料 還 原 至 新 課 程... 6 貳 元 課 程 (META COURSE) 說 明 與 應 用... 12 一 元 課 程 說 明... 12 二 利 用 元
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視 為 優 講 燈 1 講 開 場 簡 報 隨 齡 發 視 變 資 訊 討 論 檢 討 會 與 會 將 夠 幾 點 與 變 關 視 變 兩 種 視 習 慣 個 問 專 業 員 問 題 講 1 燈 2 隨 齡 長 會 視 變 視 變 會 動 變 難 閱 讀 電 腦 視 變 會 裡 絆 體 風 險 藥 護 務 駕 車 動 難 會 響 並 導 慮 鬱 過 適 當 應 對 視 變 繼 續 動 並 減 關 慮
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1. 2. 3. 4. 基 础 部 分 - 色 彩 TM TM Premier B2C Sales to China 2014 TM OCR www.divcom.com.hk/ocrc 現 在 開 始 計 劃 訪 問 亞 洲 零 售 博 覽 的 行 程! 交 通 配 套 乘 車 路 線 : 由 機 場 乘 坐 公 共 汽 車 : A11 或 E11 到 灣 仔 (~80 分 鐘 ) 地 鐵 :
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8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
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之 二 資 產 負 債 權 益 展 開 表 102 年 6 月 30 日 單 位 : 新 臺 幣 千 元 資 產 會 計 項 目 展 開 項 目 現 金 及 約 當 現 金 75,497 75,497 存 放 央 行 及 拆 借 銀 178 178 同 業 透 過 損 益 按 公 允 價 值 衡 量 之 金 融 資 產 139,578 139,578 對 金 融 相 關 事 業 之 資 本 投 資
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臺 南 市 第 五 十 二 屆 公 私 立 國 民 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 組 別 : 國 中 組 國 小 組 科 別 : 物 理 化 學 生 物 地 球 科 學 數 學 生 活 與 應 用 科 學 附 件 五 : 說 明 書 封 面 作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 關 鍵 詞 : 撲 克 牌 排 列 編 號 : 製 作 說 明 :. 說 明 書 封 面
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簽 呈
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題 目 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 摘 要 在 上 的 研 究 之 中, 我 們 列 舉 出 仍 未 探 討 的 題 目 及 問 題, 利 用 這 的 研 究 課 程 加 以 驗 證 在 實 驗 結 果 中 發 現, 加 入 箭 頭 有 助 於 落 點 的 集 中, 而 加
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答 曰 : 為 米 二 斗 一 升 五 分 升 之 三 術 曰 : 以 粟 求 米, 十 二 之, 二 十 五 而 一 臣 淳 風 等 謹 按 : 粺 米 之 率 二 十 有 四, 以 為 率 大 繁, 故 因 而 半 之, 故 半 所 求 之 率, 以 乘 所 有 之 數 所 求 之 率 既 減
九 章 算 術 西 漢 張 蒼 耿 壽 昌 編 定 魏 劉 徽 注 唐 李 淳 風 等 注 釋 郭 書 春 校 點 九 章 算 術 卷 第 二 魏 劉 徽 注 唐 朝 議 大 夫 行 太 史 令 上 輕 車 都 尉 李 淳 風 等 注 釋 粟 米 以 御 交 質 變 熒 易 粟 米 之 法 凡 此 諸 率 相 與 大 通, 其 特 相 求, 各 如 本 率 可 約 者 約 之, 別 術 然 也 粟
教育實習問與答:
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目 錄 壹 題 目 1: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 玉 井 芒 果 乾 禮 盒 )... 3 貳 題 目 2: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 紅 磚 布 丁 精 選 禮 盒 )... 5 參 題 目 3: 新 增 商 品 ( 商 品 名 稱 為 晶 鑽 XO 醬 禮 盒 ).
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支 持 機 構 : 社 會 文 化 司 主 辦 機 構 : 澳 門 學 聯 澳 門 青 年 研 究 協 會 電 話 : 傳 真 : 網 址 : 報 告 主 筆 : 李 略 博 士 數 據 錄
家 長 對 澳 門 中 小 學 教 育 現 狀 的 意 見 調 查 報 告 主 辦 機 構 : 澳 門 中 華 學 生 聯 合 總 會 澳 門 青 年 研 究 協 會 2009.3 支 持 機 構 : 社 會 文 化 司 主 辦 機 構 : 澳 門 學 聯 澳 門 青 年 研 究 協 會 電 話 : 00853-28365314 28526255 傳 真 : 00853-28526937 網 址 :
268 別 行 政 區 所 以, 全 國 人 民 代 表 大 會 根 據 憲 法 第 31 條 規 定 設 立 了 特 別 行 政 區 沒 有 憲 法 第 31 條 的 規 定, 就 沒 有 特 別 行 政 區 制 度 存 在 的 合 法 性 基 礎 62 正 如 上 述, 憲 法 為 特 別 行
行 政 第 二 十 三 卷, 總 第 八 十 八 期,2010 No.2,267 275 267 * 憲 法 和 基 本 法 是 澳 門 特 別 行 政 區 的 憲 制 基 礎, 體 現 在 二 個 方 面 第 一, 一 國 兩 制 的 實 施 需 要 制 度 化 和 法 律 化, 制 度 化 就 是 設 立 特 別 行 政 區, 法 律 化 就 是 制 定 特 別 行 政 區 基 本 法 制 度
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02 學 年 就 是 要 學 好 數 學 (JUST DO MATH) - 子 計 畫 一 : 數 學 活 動 營 數 學 奠 基 活 動 模 組 示 例 : 分 數 假 帶 互 換 _ 國 小 三 四 年 級 桌 遊 活 動 名 稱 : 分 數 心 臟 病 編 號 : ( 由 主 辦 單 位 填 寫 ) 設 計 者 : 新 竹 縣 蔡 寶 桂 老 師 壹 活 動 器 材 : 一 分 數 撲 克 牌,
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那 皮 麼 膚 喜 並 歡 不 保 像 養 想 品 像 中 08 09 cosmetic 減 少 數 量! 非 有 不 可 的 最 簡 化 清 單 梳 妝 檯 上 的 必 需 品 Jojoba Oil 10 Serum 偶 爾 在 某 些 日 子, 什 麼 也 別 搽 皮 膚 休 假 日 須 知 比 能 想 讓 像 自 中 己 簡 變 單 漂 亮 的 生 活 習 慣 44 45 就 寢 前, 集 中
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1Part BEVERAGE MODULATION PREPARATION 2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 1. 980301 980302 980303 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13 C14 C15 C16
2016年中國語文科試卷三聆聽及綜合能力考核樣本試卷示例及說明
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核 數 師 暨 會 計 師 註 冊 委 員 會 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 及 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 考 試 規 章 根 據 十 一 月 一 日 第 72/99/M 號 法 令 核 准 之 會 計 師 通 則 第 四 條 第 三 款 之 規 定, 申 請 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會
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格 成 績 證 明 第 六 條 第 七 條 本 系 大 四 課 程 中 規 劃 日 本 韓 國 越 南 專 題 研 究, 學 生 需 於 大 四 時 修 習 該 課 程, 並 於 規 定 期 間 內 提 出 專 題 報 告, 取 得 合 格 成 績 證 明 本 系 規 定 學 生 畢 業 時 需 取
國 立 高 雄 大 學 東 亞 語 文 學 系 大 學 部 修 業 規 則 (104 學 年 後 入 學 學 生 適 用 ) 修 正 對 照 表 條 文 修 正 後 條 文 原 條 文 備 註 第 二 條 第 三 條 第 四 條 第 五 條 大 學 部 104 學 年 度 入 學 學 生 大 四 上 下 皆 未 選 擇 校 外 實 習 I 及 校 外 實 習 Ⅱ 者 畢 業 學 分 為 128 學
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數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) 整 數 這 個 名 稱, 避 免 混 淆 例 如 : 我 們 可 以 說, 對 於 一 切 的 完 整 數, 以 下 的 等 式 成 立 : + r + r 2 + + r = r r, 其 中 r 不 講 不 知, 生 活 在 現 代 社 會 的
EduMath 34 (2/202) 在 成 長 中 不 斷 優 化 的 數 學 定 義 梁 子 傑 循 道 中 學 在 第 三 十 三 期 的 數 學 教 育 之 中, 刊 登 了 兩 篇 涉 及 數 學 定 義 的 文 章, 刺 激 起 我 的 一 些 想 法, 故 此 也 來 湊 湊 熱 鬧, 談 談 我 對 數 學 定 義 的 看 法 在 過 去 幾 年, 的 確 多 了 一 些 數 學 教
中華民國第四十六屆中小學科學展覽會
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地 獄 少 女 地 獄 少 女 ( 藤 商 事 ) 八 通 屋 育 樂 事 業 有 限 公 司 07-3733316 www.8tw.com.tw 此 攻 略 本 是 引 至 日 本 遊 戲 攻 略 說 明, 內 容 僅 供 參 考, 一 切 演 出 以 官 方 為 主, 若 有 任 何 錯 誤 或 問 題 敬 請 告 知, 我 們 會 盡 快 改 善, 謝 謝 本 書 圖 片 取 材 自 網 路
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陸 港 通 龍 卡 常 遇 問 題 一 般 問 題 o 甚 麼 是 陸 港 通 龍 卡? o 陸 港 通 龍 卡 具 有 哪 些 特 點? o 陸 港 通 龍 卡 適 合 甚 麼 客 戶 使 用? 陸 港 通 龍 卡 申 請 須 知 o 陸 港 通 龍 卡 的 發 卡 對 象 是 甚 麼? o 聯 名 賬 戶 或 公 司 客 戶 可 以 申 請 陸 港 通 龍 卡 嗎? o 現 時 哪 一 個 建
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桃 園 縣 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 數 學 組 別 : 國 小 高 年 級 作 品 主 題 : 揭 開 魔 方 陣 之 神 祕 面 紗 關 鍵 詞 : 魔 方 陣 編 號 : 壹 摘 要 因 為 一 個 填 數 字 遊 戲, 在 尋 找 答 案 的 過 程 中 學 到 三 階 四 階 五 階 八 階 等 魔 方 陣 的 作 法, 推 導 出
心 五 四 運 動 二 十 一 世 紀 的 生 活 主 張
心 五 四 運 動 目 錄 二 十 一 世 紀 的 生 活 主 張 2 心 五 四 運 動 的 時 代 意 義 4 四 安 : 提 昇 人 品 的 主 張 14 四 要 : 安 定 人 心 的 主 張 18 四 它 : 解 決 困 境 的 主 張 22 四 感 : 與 人 相 處 的 主 張 26 四 福 : 增 進 福 祉 的 主 張 30 心 五 四 運 動 二 十 一 世 紀 的 生 活 主
人 們 在 為 生 活 空 間 中 的 物 品 選 擇 色 彩 時, 不 自 覺 地 會 反 應 出 大 腦 對 色 彩 的 解 釋, 設 計 師 若 能 掌 握 色 彩 所 隱 藏 的 訊 息, 便 可 以 充 分 利 用 並 創 造 出 極 具 魅 力 的 產 品 視 覺 對 知 覺 的 影 響
色 彩 是 人 的 視 覺 機 制 所 創 造 出 來 用 以 探 究 環 境 的 工 具, 它 不 僅 能 提 供 辨 識 的 作 用, 還 具 有 知 覺 與 文 化 上 的 意 涵, 並 能 引 發 強 烈 到 超 越 理 智 的 情 緒 反 應, 對 人 類 的 生 活 影 響 十 分 深 遠 2120 21 3 30 20109453 人 們 在 為 生 活 空 間 中 的 物 品 選 擇
( 五 ) 財 務 會 計 理 論 研 討 3 學 分 ( 六 ) 審 計 理 論 研 討 3 學 分 ( 七 ) 管 理 會 計 理 論 研 討 3 學 分 第 四 條 選 修 科 目 : ( 一 ) 數 量 方 法 3 學 分 ( 二 ) 財 務 會 計 專 題 研 討 ( 一 ) 3 學 分
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篇 考 績 察 事 條 例 有 關 額 外 給 與 考 績 獎 金 之 規 定 待 遇 俸 給 現 行 俸 給 及 各 項 加 給 危 勞 降 齡 退 休 具 有 危 險 及 勞 力 等 特 殊 性 質 職 務 降 低 退 休 年 齡 規 定 察 陞 遷 資 積 計 分 察 局 內 部 請 調 或 陞 職, 資 積 計 分 作 業 察 定 期 請 調 作 業 基 層 定 期 請 調 及 特 殊 困
22 8 2005 15 Guji Guji 12 14 (Peter Pan Prize) 2013 2014 2014 2015 2014 NSO NSO& 2014 Guji Guji 20
第 二 十 七 屆 信 誼 幼 兒 文 學 獎 1987 27 126 76 22 8 2005 15 Guji Guji 12 14 (Peter Pan Prize) 2013 2014 2014 2015 2014 NSO NSO& 2014 Guji Guji 20 27 70% 27 501 42% 第 二 十 七 屆 信 誼 幼 兒 文 學 獎 得 獎 作 品 / / / 圖 畫 書 創
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門 ちゃま 喝 水 戶 黃 門 喝 (オリンピア( OLYMPIA )) 八 通 屋 育 樂 事 業 有 限 公 司 07-3733316 www.8tw.com.tw 此 攻 略 本 是 引 至 日 本 遊 戲 攻 略 說 明, 內 容 僅 供 參 考, 一 切 演 出 以 官 方 為 主, 若 有 任 何 錯 誤 或 問 題 敬 請 告 知, 我 們 會 盡 快 改 善, 謝 謝 本 書 圖 片
中 國 澳 門 特 區 博 彩 業 與 社 會 發 展 前 言 2009 12 2009 8 5 [1] [2] 141.4 [3] 1. 賭 王 病 情 一 度 惡 劣 明 報 2009 年 8 月 5 日 A4 頁 到 截 稿 日 為 止 (2009 年 11 月 5 日 ), 賭 王 病 情
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1 緒言 澳門博彩業發展面面觀 2010 香港城市大學 中 國 澳 門 特 區 博 彩 業 與 社 會 發 展 前 言 2009 12 2009 8 5 [1] [2] 141.4 [3] 1. 賭 王 病 情 一 度 惡 劣 明 報 2009 年 8 月 5 日 A4 頁 到 截 稿 日 為 止 (2009 年 11 月 5 日 ), 賭 王 病 情 仍 未 有 好 轉 的 消 息 2. 同 註
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參 賽 詳 細 須 知 比 賽 日 期 :2016 年 1 月 21 日 ( 星 期 四 ) 比 賽 地 點 : 保 良 局 錦 泰 小 學 四 樓 禮 堂 報 到 時 間 及 地 點 :9: 50am 四 樓 禮 堂 集 合 時 間 及 就 座 :10:00am 四 樓 禮 堂 講 解 比 賽 規 則 時 間 :10:10am 比 賽 時 間 :10:20am ~ 11:50am 評 分 時 間
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有 關 登 載 事 宜 的 電 子 呈 交 系 統 簡 易 參 考 指 南 2016 年 5 月 1.4 版 本 第 1 頁 目 錄 1 登 入 前 要 準 備 的 資 料... 4 2 登 入 電 子 呈 交 系 統... 5 2.1 輸 入 使 用 者 編 號 及 密 碼... 5 2.2 接 受 免 責 聲 明 的 版 頁... 5 2.3 從 主 項 目 單 中 選 擇... 5 3 一 次
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