例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機

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诸焱明
5 years ago
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1 第三章 : 基本機率內容 ( 一 ) 機率的基本觀念 :... ( 二 ) 由樣本點的數目求機率 : 古典機率... 離散的樣本空間 ( 可數 )... 連續的樣本空間 ( 不可數 )... 7 ( 三 ) 利用機率公設和集合的性質求機率 :... 8 ( 四 ) 條件機率及獨立事件... 條件機率及獨立事件的意義... 証明 A, B 互為獨立事件... 6 已知兩事件為獨立事件的問題 :... 8 ( 五 ) 全機率公式和貝氏定理... ( 一 ) 機率的基本觀念 : () 隨機試驗 : () 知道所有出現的可能有那些 () 但不確定會出現那一種可能 () 可重複實驗, 且經過多次重複實驗, 出現的結果會有某些規則 ( 不確定性的規則 ) () 樣本空間 (sample space): 所有可能所成的集合, 常用 S 或 Ω 表示 ( 宇集合 ) () 樣本點 ( 基本出象 ): 樣本空間的某一個元素 () 事件 ( 集合 ):(event) () 樣本空間的任意部分集合稱為事件 () 任意樣本點的集合簡單事件 : 只包含一個樣本點的事件, 或稱基本事件複合事件 : 包含二個或二個以上樣本點的事件 (5) 在機率問題中, 我們求的是樣本空間中, 某個事件發生的機率也可以說是, 在宇集合中, 某個集合發生的機率樣本空間 ( 宇集合 ) 事件 ( 集合 )

2 例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機率, 即 6 點事件發生的機率出現偶數的機率, 即偶數事件發生的機率出現奇數的機率, 即奇數事件發生的機率點數小於個機率, 即點數小於的事件發生的機率即在求樣本空間中, 某個 ( 部份 ) 集合的機率例 : 擲二個銅板樣本空間 S = { 正正正反反正反反 } 樣本點 : 正正, 正反, 反正, 反反, 個樣本點事件 : 兩面相同的事件 :{ 正正, 反反 } 兩面不同的事件 :{ 正反, 反正 } 兩面皆正的事件 :{ 正正 } 一個正面的事件 :{ 正反, 反正 } 求機率的方法 : () 古典機率 ( 理論機率 ): 假設每個機本點出現的機率一樣, 所以求某事件的機率只需算出某事件的機本點數目, 佔樣本空間全部樣本點數目的比例該事件的樣本點數目事件的元素個數某事件的樣率 = = 樣本空間的樣本點數目樣本空間的元素個數 n( A) 即事件 A 的樣率 : P ( A) = n( S) 這是課本習題最常問的機率 n( ) 例 : 上面骰子例子中, P( ) = 偶數偶數 n( 樣本空間 ) = 6 = () 客觀機率 ( 經驗機率 ): 將實驗做無限多次, 計算所求事件出現的次數佔所有實驗總次數的比例 na ( ) 即事件 A 的樣率 : PA ( ) = lim n n () 主觀機率 : 主觀的認定比如說有人認為全國共和黨選贏總統的機率為 0.

3 不管根據古典機率客觀機率還是主觀機率, 所算出的機率, 必須符合下列的機率公設 : 機率的公設 : PA ( ) 代表事件 A 的機率 () 對任意事件 A : 0 P ( A) () 若 S 為樣本空間, 則 P ( S) = () 對任意互斥事件, A, A,, 須符合 : PA ( A ) = PA ( ) + PA ( ) + 例 : 假設小明估計自已 (a) 考上台大研究所的機率為 0.9 (b) 考不上台大研究所的機率為 0. 試問小明估計的機率是否符合機率公設? 解 :(i) 小明不可能同時考上台大研究所, 又考不上台大研究所, 所以考上台大研究所與考不上台大研所為兩個互斥事件 (ii) 又除了考上及考不上之外, 沒有其它可能, 所以考上台大研究所考不上台大研究所 = 樣本空間 S (iii) 由公設 () 知 P( 考上台大研究所考不上台大研究所 ) = P( 考上台大研究所 ) + P( 考不上台大研究所 ) = =. 所以 PS ( ) =. 這違反公設 (), 所以小明的估計不符合機率公設例 :( 每個機本點機率不相同的情形 ) 擲一粒不公正的骰子, 已知 P( 點數點數 = ) = P( = 5) = P( 點數點數點數點數 = ) = P( = ) = P( = ) = P( = 6) = 試求出現偶數的機率? 解 : 因為各個點數為互斥事件 ( 互斥集合 ), 由機率公設知 : P( 偶數點數點數點數點數點數 ) = P( 點數 6) 6 = P( ) + P( ) + P( ) = = 求機率常見的情形 : n( A) () 古典機率 : P ( A) =, 常有數數目或利用排列組合來數 n( S) () 利用集合的性質 ( 機率公設 ): 集合公式,VennDiagm, 交叉圖, 樹狀圖

4 ( 二 ) 由樣本點的數目求機率 : 古典機率離散的樣本空間 ( 可數 ) 有許多隨機實驗, 其樣本空間中的每個樣本點出現的機率都一樣例如, 擲一個公正的骰子, 其樣本空間為 S = {,,,,5,6}, 因為骰子是公正的, 我們可以假設每個樣本點出現的機率是一樣的此時若要求事件偶數出現的機率, 我們可以直接計算偶數這個事件所包含樣本點的數目, 佔所有樣本的樣本點的總數的比例, 來當做機率即 n( ) P( ) = 偶數偶數 n( 樣本空間 ) = 6 = 這樣的計算很合理, 所以對每個樣本點出現機率均等的隨機實驗, 我們給出如下的機率定義定義 ( 古典機率 ): 每個樣本點機會均等之事件的機率該事件的樣本點數目事件的元素個數某事件的樣率 = = 樣本空間的樣本點數目樣本空間的元素個數 n( A) 事件 A 的樣率 : P ( A) = n( S) 比率的意義 : P (A) 指事件 A 在全部 ( 樣本空間 ) 所佔的比率註 : 若每個樣本點出現的機率不一樣, 則不可以用這樣的方法求解討論 : 其實機率論裡面, 只要求每個事件的機率要符合機率公設, 並沒有提到每個樣本點的機率要一樣而且在有些題目上 () 雖然符合機率公設, 但每個樣本點的機率並不一樣, 如上面例中的機率 () 另外什麼樣的事情算是樣本點有時候也很難說只是每個樣本點的機率都一樣的假設, 在不少情形下是合理的, 所以在這些情形下, 我們會用每個樣本點機率一樣來處理每個樣本點機率都一樣是古典機率的假設古典機率僅適用在每個樣本點機率都一樣的情形求機率可以求樣本點數目的比率每個樣本點的機率都一樣, 在機率術語上又稱為均勻分配, 所以古典機率適用在樣本點符合均勻分配的情形在其它情形裡, 樣本點可能不符合均勻分配, 而符合其它分配, 此時就不適用古典機率例 5: 若一個公司有 80 人, 其中 0 人為女生, 若隨機選取人, 試問此人為男生的機率? 解 : 因為是隨機選取, 所以每個人 ( 即樣本點 ) 被選取的機率可以假設相同, n( 男生女生 ) = ns ( ) n( ) = 80 0 = 50 n( 男生 ) 50 P( 男生 ) = = = 0.65 ns ( ) 80

5 例 6: 擲兩粒公正的骰子 (fair dice), 點數和為 7 的機率解 : 本例中的樣本點為 {,},{,}, {6,5},{6,6} 共 6 個樣本點, 因為骰子是公正 (fair) 的, 表示每一樣本點出現的機率相同 () ns ( ) = 6 () 點數和為 7 的事件為 {(,6),(,5),(,),(,),(5,),(6,)} 共有 6 個機本點, 即 n( 點數和為 7) = 6 n( 點數和為 7) 6 () P( 點數和為 7) = = = ns ( ) 6 6 例 7:Pick two integer randomly from 5 x 9, y 9 () What is the sample space of this experiment? () What is the probability that x and y are relative prime? (9 台大電機丙組 ) 解 : 從這些範圍裡面選一個整數, 我們假設每個數被選到的機會都一樣看起來是合理的所以求機率可以由數目來求 () 樣本空間為 x,y 各種可能值的搭配, 即 {5,},{5,},{5,},{5,},{5,5},{5,6},{5,7},{5,8},{5,9} {6,},{6,},{6,},{6,},{6,5},{6,6},{6,7},{6,8},{6,9} {7,},{7,},{7,},{7,},{7,5},{7,6},{7,7},{7,8},{7,9} {8,},{8,},{8,},{8,},{8,5},{8,6},{8,7},{8,8},{8,9} {9,},{9,},{9,},{9,},{9,5},{9,6},{9,7},{9,8},{9,9} () 由上一小題可知 : n ( 樣本空間 ) = 5 9 = 5 其中互質的有 : {5,},{5,},{5,},{5,},{5,6},{5,7},{5,8},{5,9} {6,},{6,},{6,7},{6,9} {7,},{7,},{7,},{7,5},{7,6},{7,7},{7,8},{7,9} {8,},{8,},{8,5},{8,7},{8,9} {9,},{9,},{9,},{9,6},{9,7},{9,9} 所以 nxy (, 互質 ) = nxy (, ), 可得 Pxy (, ) = 互質互質 n( 樣本空間 ) = 5 例 8: (98 中興通訊電機甲工數 ) 解 : 這題文內已經提到 The outcome of each toss be equiprobable, 所以求機率可以用數目來求註 :toss 拋, 扔, 投 Equiprobable 或然率相同的 5

X X 5 6 解 : 由上圖可知全部共有 6 6 6 5 6 = 種可能, 其中 X X的為上面有陰影的格子, 共有 (+ 6) 6 nx ( X) 7 (+ + + + 5+ 6 = ) = 種可能, 所以 PX ( X) = = = n( 樣本空間 ) 6 例 9: (9 台大電信乙工數 D) 解 : 這題題目說了是一個 fair dice ( 公正的骰子 ).

6 X X 5 6 解 : 由上圖可知全部共有 = 種可能, 其中 X X的為上面有陰影的格子, 共有 (+ 6) 6 nx ( X) 7 ( = ) = 種可能, 所以 PX ( X) = = = n( 樣本空間 ) 6 例 9: (9 台大電信乙工數 D) 解 : 這題題目說了是一個 fair dice ( 公正的骰子 ).) 樣本空間為 :{(,),(,),(,5),(,),(,),(,5),(5,),(5,),(5,5)}.) 有實根的條件 : b c 0, 其中 b 為上面樣本空間的第個數,c 為上面樣本空間的第個數所以有實根的事件 (event) 為集合 :{ (,),(5,),(5,),(5,5)} n( ).) P( ) = 有實根有實根 n( 樣本空間 ) = 9 例 0: (97 交大資訊聯招線代與機率 ) 解 : () 所有可能 ( 樣本空間 ) 的數目 : 球放到盒子裡, 每個球只能放一個盒子, 不可重複放, 盒子可配多個球, 可重複配, 所以所有有可能如下 : 球球球 (5 種盒子 ) (5 種盒子 ) (5 種盒子 ) 共有 5 = 5種可能 () 有盒子至少個球的可能數目 : 因為只有顆球, 全部樣本空間的情形可分為 : { 每個盒子最多個球, 有盒子個球, 有盒子個球 } 三種情形 6

7 題目所求有盒子至少個球的情形 = 有盒子個球有盒子個球我們可先求較簡單的每個盒子最多個球 5 這種情形相當於從 5 個盒子裡取個出來排列, 所有可能為 P = 5 = 60 ( 因為上面算出 5 種方法的球有編號, 所以從 5 個盒子裡取個盒子出來後, 不同順序對應不同的球, 所以要考慮順序, 是排列的問題, 而不是組合 ) 所以題目所求的可能數目為 5 60 = 所以機率為 = 5 5 連續的樣本空間 ( 不可數 ) 例 : π 解 : 當 0 < x <,sin( x) < cos( x) π π 當 < x <, sin( x) > cos( x) π 所以 P(sin( x) > cos( x)) = = π (9 交大電控 A) 例 :(5 pts) If the random variables b and c are uniformly distributed on [0,] and independent, what is the probability that the roots of x + bx + c = 0are real? (98 交大電控甲線代及機率 ) 解 : 樣本空間為圖中正方形面積為的正方形實根的條件為 ( b) c 0, 即 c b, 為圖中拋物線下方所圍的面積 c 其面積為 b db = b = 0 0 c= b 所以實根範圍的面積 P ( 實根 ) = = = 樣本空間的面積 b 例 :Mark and Tom have a meeting appointment. The person who arrive first will wait for the other person only for 0 minutes. Given that each person equally likely to arrive anytime between PM and PM, what is Pr{Mark and Tom meeting each other}? (A) (B) 5 9 () (D) 9 解 : 假設 Mark 在點 x 分到達,Tom 在點 y 分到達, (a) 樣本空間為 0 x 60, 0 y 60, 如下圖 (E)None of the above. (97 台大電信甲組 ) 7

8 (b) 此兩人到達時間相差 0 分鐘之內才會相遇, 所以所求事件的範圍為 x y 0, 如下圖斜線部分 (c) 所以 y 斜線部分的面積 P ( 相遇 ) = 樣本空間的面積 = = = 例 : 一個房間內有 0 個人, 試求 () 沒有人同一天生日的機率? () 有人同一天生日的機率? 65 P0 解 :() () = x ( 三 ) 利用機率公設和集合的性質求機率 : 集合性質 : 如果假設機率可以由樣本點數目的比率來計算, 則上一章計算集合數目的法則也可應用在計算機率上 ( 一 ) PA ( ) = PA ( ) () 証明 : 已知 na ( ) = ns ( ) na ( ), 兩邊除 ns ( ), 可得 na ( ) ns ( ) na ( ) = ns ( ) ns ( ) ns ( ) 所以 PA ( ) = PA ( ) () 這個性質表示如果我們知道 PA ( ) 或 PA ( ) 較好求, 則可利用這個性質求出 PA ( ) ( 二 )( 排容原理 ): PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) () 証明 : 已知 na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B), 兩邊除 ns ( ), 可得 na ( B) na ( ) nb ( ) na ( B) = + ns ( ) ns ( ) ns ( ) ns ( ) 所以 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) () 這個性質表示如果我們知道 PA ( ) PB ( ) 及 PA ( B) 則可得到 PA ( B) 8

9 ( 三 ) 由上面二個性質可知, 與集合元素個數有關的公式皆可推得集合機率的公式 ( 四 ) 較複雜的問題, 可藉由前提到的交叉圖 Venn Diagram 或樹狀圖來處理由機率公設証明排容原理 : 上面的証明是在機率可由樣本點數目的比率求出的前提下導出的, 其實我們可以証明, 只要機率符合機率公設, 不管是否符合古典機率 ( 每個樣本點的機率一樣 ), 都會滿足排容原理目的 : 証明 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 前提 : 各機率符合機率公設 A B可分為三個互斥的集合的聯集如下 : ( A B= A B ) ( A B) ( A B), 所以由機率公設, 可知 : ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A B + P A B + P A B () A 集合可分為個互斥的集合的聯集如下 : A= ( A B ) ( A B), 所以由機率公設可知 : ( ) ( ) ( ) P A = P A B + P A B () B 集合可分為個互斥的集合的聯集如下 : B= ( A B) ( A B), 所以由機率公設可知 : ( ) ( ) ( ) P B = P A B + P A B () 由 ()+() 可得 ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) P A P B P A B P A B P A B P A B 由上式及 () 可得 P A + P( B) = P A B + P A B ( ) ( ) ( ) 移項可得 P A B = P A + P( B) P A B 故得証 ( ) ( ) ( ) A B A B A B 9

10 機率不見得符合古典機率, 但一定要符合機率公設, 因為符合機率合設, 所以一定符合排容原理 na ( B) = 5 na ( B) = 5 na ( B) = 5 PA ( B) = 0 PA ( B) = 0 PA ( B) = 0 上圖中, 集合數目與集合機率不等比例, 機率不符合古典機率數目 : na= ( ) 0, nb ( ) = 0, na ( B) = 5, na ( B) = 5 可看出 na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B) 即數目符合排容原理機率 : PA, ( ) PB ( ) 可由機率公設算出 5 6 PA= ( ), PB ( ) =, PA ( B) =, PA ( B) = P A B = P A + P( B) P A B 也可看出 ( ) ( ) ( ) 也就是機率也符合排容原理從這個例子可以看出 : () 集合的數目衡量集合的大小, 本來就會符合排容原理 () 機率雖然不見得跟集合的數目有關, 但是若符合機率公設, 也會符合排容原理, 所以機率似乎也俱有衡量大小的功用, 是集合的另外一種大小表示方法這種數量在數學上, 稱為集合的一種測度 (measure) 事實上, 機率的嚴格定義就是一種機率測度 (probability measure) () 測度 (measure) 簡單的講就是一種跟原來量大小 ( 長度, 面積, 體積等 ) 的方法不見得有關, 但可來表示另一種大小, 也符合一般我們對大小 ( 長度, 面積, 體積等 ) 的感覺的一種數量 0

11 只要機率符合機率公設, 就會符合排容理, 同時也可証明會符合其它與集合數目有關的性質 ( 如 DeMorgan s Law, 可証証看 ), 所以利用這些集合性質來處理機率問題, 就等於利用機率公設來處理機率問題例 5: 解 : 註 :elementary event: 基本事件, 也就是只包含一個樣本點的事件 () 因為 {,} ac {} b =, 所以 P({ ac, }) + P({ b}) = P({ ac, } { b}) = PS ( ), 可得 P({ b}) = PS ( ) P({ ac, }) = = (89 中興電機甲工數 ) () 因為 {} a {,} bc =, 所以 P({}) a + P({,}) bc = P({} a {,}) bc = PS ( ), 可得 P({ a}) = PS ( ) P({ bc, }) = = () 因為 {} b {} c =, 所以 P({ b}) + P({ c}) = P({ b} { c}) = P({ b, c}), 可得 P({ c}) = P({ b, c}) P({ b}) = = 6 例 6: 若 PA= ( ) 0., PB ( ) = 0.5, PA ( B) = 0., 試求 PA ( B) =? P A B = P A + P( B) P A B = = 0.6 解 : 由排容定理 : ( ) ( ) ( ) 例 7: 從到 000 的數字中, 隨機抽一個數, 此數不是 5 個倍數的機率為何? 解 : ( 一 ) ns ( ) = n (5 的倍數 ) = = 00 5 n(5 的倍數 ) 00 P(5 的倍數 ) = = = 0. ns ( ) 000 P( 不是 5 的倍數的倍數的倍數 ) = P((5 ) ) = P(5 ) = 0. = 0.8 ( 二 ) 當然這題也可以直接算 n( 不是 5 的倍數個倍數的倍數 ) = n((5 ) ) = ns ( ) n(5 ) = = 800 n( 不是 5 的倍數 ) 00 P( 不是 5 的倍數 ) = = = 0. ns ( ) 000

12 例 8: 已知一個公司有 50 個員工, 玩網球的人有 0 人, 女生有 0 人, 女生不玩網球的有 5 人, 若從該公司員工中隨機選取人, 請問 : () 此人為女生且玩網球的機率為何? () 此人為女生不玩網球的機率為何? () 此人為男生且不玩網球的機率為何? () 此人為男生的機率? (5) 此人玩網球的機率為何? 解 : 這題將公司的 50 個員工, 依照性別及是否玩網球兩種分類畫分成組, 可利用交叉表求出各種情形 ( 交集 ) 的人數如下 : 玩網球 ( 網球 ) 不玩網球 ( 網球 ) 女生男生 ( 女生 ) 將上表中的人數除以總人數即可得到各種情形發生的機率, 可得到下面的聯合機率分配表玩網球 ( 網球 ) 不玩網球 ( 網球 ) 女生男生 ( 女生 ) 由上表可看出 () P( 女生網球 ) = 0. () P( 女生網球 ) = 0. () P( 男生網球 ) = 0. () P ( 男生 ) = 0.6 (5) P ( 網球 ) = 0.6 交叉表與聯合機率分配表 () 交叉表 : 顯示各組的數目 () 聯合機率分配表 : 顯示各組的數目佔總數目的比例 ( 比例即古典機率 ) 在兩種分類的問題中, 以聯合機率分配表來處理問題會非常的方便從聯合機率分配表的觀點來看, 我們常將兩個或數個集合交集的機率稱為聯合機率, 如上題的 P( 女生網球 ), P( 男生網球 ) 等某單個集合的機率則稱為邊際機率, 如上題的 P ( 男生 ), 或 P ( 網球 ) 聯合機率 : 若干個集合的交集的機率邊際機率 : 某單個集合的機率若以兩種分類時的聯合機率分配表來看, 各種情形的機率名稱如下 : A A B PA ( B) ( 聯合機率 ) PA ( B) ( 聯合機率 ) PB( ( ) 邊際機率 ) B PA ( B) ( 聯合機率 ) ( PA B) ( 聯合機率 ) PB ( )( 邊際機率 ) PA( ( ) 邊際機率 ) PA ( )( 邊際機率 )

13 例 9: 從到 000 之間隨機選取一個數, 這個數不可被 7 整除但可被和整除的機率為何? 解 : 這個問題有三種分類, 首先觀察 Venn Diagram 如下, 所求為圖中斜線部分 : 7 倍倍倍由圖中可看出 n((7) () ()) = n(() ()) n((7) () ()) 所以本題只需求 n(() ()) 及 n((7) () ()) 000 n(() ()) = n(6 的倍數 ) = = 66. = n((7) () ()) = n( 的倍數 ) = =.8 = 可得 n((7) () ()) = n(() ()) n((7) () ()) = 66 = n((7) () ()) 所以 P((7) () ()) = = = 0. ns ( ) 000 ( 四 ) 條件機率及獨立事件條件機率及獨立事件的意義條件機率 : 在已知事件 A 發生的條件下, 另一個事件 B 發生的機率, 稱為條件機率, 記為 PB ( A ) nb ( A) 計算方法 : PB ( A) = na ( ) A A B B 由圖中可看出 : () 因為已知事件 A 發生, 則此時所有可能發生的情形為已縮小為事件 A, 樣本空間縮小成為事件 ( 集合 ) A, 所以分母為 na ( ) () 因為已知事件 A 發生, 事件 B 的元素不在事件 A 範圍內的部份 ( 上圖塗上網點的部份 ) 已不可能發生, 所以若事件 B 發生, 必是事件 B 的元素在事件 A 範圍內的部分, 即 A B的部分, 所以分

14 子為 nb ( A) n( B A) P( B A) 性質 : PB ( A) = = na ( ) PA ( ) n( B A) n( B A)/ n( S) P( B A) 証明 ( 第二個等號 ): PB ( A) = = = na ( ) na ( )/ ns ( ) PA ( ) 意義 : 這個性質告訴我們, 條件機率可用數目計算, 也可用機率計算 ( 以樣本空間為分母的機率 ) 比率的意義 : PB ( A) 指 A 與 B 的交集在全部 ( 樣本空間 ) 中所佔的比率 P (A) 指 A 在全部 ( 樣本空間 ) 所佔的比率獨立事件與相依事件 : 意義 : 若事件 A 的機率, 不受 B 是否發生影響, 則 A 與 B 為獨立事件若事件 A 的機率, 受 B 是否發生影響, 則 A 與 B 為相依事件獨立事件 : P ( A) = P( A B) 相依事件 : P( A) P( A B) 例 0:( 同例 8) 已知一個公司有 50 個員工, 玩網球的人有 0 人, 女生有 0 人, 女生不玩網球的有 5 人, 若從該公司中隨機選取人, 請問 : () 若已知選到的是女生, 則他有玩網球的機率是多少? () 若已知選到的是男生, 則他不玩網球的機率是多少? () 若已知選到的人有玩網球, 則他是女生的機率是多少? 解 : 這題前面算過, 其交叉表及聯合機率分配表如下 : 玩網球 ( 網球 ) 不玩網球 ( 網球 ) 女生男生 ( 女生 ) 玩網球 ( 網球 ) 不玩網球 ( 網球 ) 女生男生 ( 女生 ) n( 網球女生 ) 5 () 以數目計算 : P( 網球女生 ) = = = 0.75 n( 女生 ) 0 P( 網球女生 ) 0. 以機率計算 : P( 網球女生 ) = = = 0.75 P( 女生 ) 0.

15 n( 網球男生 ) 5 () P( 網球男生 ) = = = 0.5 n( 男生 ) 0 P( 女生網球 ) 0. () P( 女生網球 ) = = = 0.5 P( 網球 ) 0.6 例 :( 接例 0) 請問網球與女生是否為獨立事件解 : P ( 網球 ) = 0.6, P ( 網球女生 ) = 0.75, 因為 P( 網球 ) 球 P( 網女生 ), 所以網球與女生不是獨立事件, 為相依事件在這個問題裡, 全公司的人有 0.6 的人玩網球, 全部女生有 0.75 的人玩網球, 女生玩網球的比例比全公司的人玩網球的比例還高, 可見女生比較喜歡玩網球, 所以一個人是不是女生, 會影響他是不是比較喜歡玩網球, 所以我們說網球與女生是相依事件的如果在這題裡, P( 網球 ) = 球 P( 網女生 ), 那表示全公司的人玩網球的比例, 跟女生玩網球的比例是一樣的, 也就是一個人是不是女生, 並不會讓他比較喜歡或比較不喜歡玩網球, 並不會影響他對網球的喜好, 所以, 此時, 我們說網球與女生是獨立事件例 : 若某個班級有 00 人, 若女生近視的有 0 人, 男生沒近視的有 5 人, 女生全共有 0 人, 今隨機選取人, 請問 : () 這個人有近視的機率是多少? () 這個人是沒有近視的男生的機率是多少? () 這個人是近視的女生的機率是多少? () 若已知選到的這個人是女生, 則她有近視的機率是多少? (5) 女生和近視是不是獨立事件? 解 : 交叉表如下 : 近視沒近視 ( 近視 ) 女生男生 ( 女生 ) 聯合機率分佈表如下 : 近視沒近視 ( 近視女生男生 ( 女生 ) () 由聯合機率分佈表知 : P ( 近視 ) = 0.5 () P( 男生近視 ) = 0.5 () P( 近視女生 ) = 0. () P( 近視女生 P( 近視女生 ) 0. ) = = = 0.5 P( 女生 ) 0. (5) 由前面可知 : P( 近視近視女生 ) = P( ) = 0.5, 所以女生和近視是獨立事件在這個例子裡, 全班近視的比例是 0.5, 女生近視的比例也是 0.5, 女生近視的比例和全班近視的比例是一樣的, 所以一個人若是女生, 近視的機會與全班近視的機會一樣, 也就是, 一個人是不 5 )

16 是女生, 並不影響他近視的機率, 所以, 我們說女生和近視是獨立的例 : 自一副撲克牌中任取一張, 若已知取出的一張為紅色的, 試求所取到的這張為 A 的機率? na ( 紅色 ) 解 : PA ( 紅色 ) = = = n( 紅色 ) 6 已知條件機率, 求其它機率性質 : PA ( B) = PAPB ( ) ( A) PA ( B) = PBPA ( ) ( B) 這個公式與 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 幾乎為機率論裡最重要的兩個公式一個是求交集的公式, 一個是求聯集的公式 () 若 A, B 互為相依事件, 則 PA ( B) = PA ( BPB ) ( ) = PB ( APA ) ( ) () 若 A, B 互為獨立事件, 則 PA ( B) = PAPB ( ) ( ) PB ( A) 証明 : PB ( A) =, 移項可得 : PA ( B) = PAPB ( ) ( A) PA ( ) 例 : 若 PA= ( ), PB ( ) =, PB ( A= ), 試求 PA ( B) 及 PA ( B) 5 解 : PA ( B) = PA ( ) PB ( A) = = 9 由排容原理 : PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + = 5 由前面的排容原理知道 : 若已知 PA, ( ) PB, ( ) PA ( B), 就可以求得 P( A B) 若已知 PA, ( ) ( ) P A B, 就可以求得 PA ( B) 若只知道 PA, ( ) ( ) PB, ( ) PB 是無法求出 P( A B) 或 PA ( B) 的但由前的討論可知, 若加上了兩事件獨立的假設, 則只要知道 PA, ( ) PB ( ) 就可以求 PA ( B) 6

17 例 5: (97 交大資訊聯招線代與機率 ) 解 : 因為 A and B is independent, 可得 PB ( A) = PB ( ), 所以 PA ( B) = PA ( ) PB ( A) = PA ( ) PB ( ) = = 6 9 且由排容原理 : PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + = = 6 例 6: 接上題, PB ( A= )?, PAB ( ) =? 解 : 因為 A, B 互為獨立事件, 所以 PB ( A) = PB ( ) =, PAB ( ) = PA ( ) = 例 7: (9 中興電機甲工數 ) 註 : head 硬幣的正面,tail 硬幣的背面解 : 這個問題可以分成兩個步驟來看, 第一個步驟先選個硬幣中的個, 第二個步驟再丟選到的硬幣這種多步驟的問題最適合畫樹狀圖, 多步驟的問題裡面, 題目給的機率或看得出來的機率通常包含一些條件機率, 利用樹狀圖也最容易表示條件機率本題的樹狀圖如下 : 選 coin 選 coin coin coin head p coin head p tail p coin tail ( p ) head p coin head p tail p coin tail ( p ) 我們習慣把條件機率寫在樹枝上, 節點則寫上佔全部的比例 (a) P( head) = p + p = ( p+ p) p P( coin head) (b) ( ) p P coin head = = = P( head) ( p+ p) p + p 7

本題也可以畫成交叉圖如下 : 通常樹狀圖的每一個步驟就是一種分類 head Tail coin p ( p ) coin p ( p ) ( ) p p ( ) p p 在交叉圖裡面, 更多事件的機率可以輕易的求出來, 交叉圖通常是最問題的結構最清楚的一種呈現方式例 8: 解 : 樹狀圖如下 : (97 北科資工乙工數 ) 取 r 5 8 rb 5 8 取 r 7 取 b 7 rb rb 0

18 本題也可以畫成交叉圖如下 : 通常樹狀圖的每一個步驟就是一種分類 head Tail coin p ( p ) coin p ( p ) ( ) p p ( ) p p 在交叉圖裡面, 更多事件的機率可以輕易的求出來, 交叉圖通常是最問題的結構最清楚的一種呈現方式例 8: 解 : 樹狀圖如下 : (97 北科資工乙工數 ) 取 r 5 8 rb 5 8 取 r 7 取 b 7 rb rb (5rb) 取 b 8 5rb 8 取 r 5 7 取 b 7 rb 5rb PA ( ) = P(the first ball is red) = 8 PB ( A) = P(the second ball is red the first ball is red) = PB ( ) = P(the second ball is red) = + = 因為 5 PB ( A= ) =, PB ( ) =, PB ( A) PB ( ), 所以 A, B 不為獨立事件本題也可畫成交叉圖如下 : 樹狀圖的每一個步驟就是一種分類 8

19 first ball scond ball r (B) b r (A) b 例 9: (89 中興電機甲工數 ) 註 :unbiased 無偏見的 ; 不偏不倚的 ; 公正的 die 骰子 Find the probability distribution of the number of heads: 就是把每種可能數目的 head 的機率求出來解 : 這題要先丟骰子, 再決定丟幾次硬幣, 我們先看單純丟硬幣的機率擲次硬幣 : P(0 次 head ) =, P( 次 head ) = 擲次硬幣 : P(0 次 head ) =, P( 次 head ) =, P( 次 head ) = 上面的機率為擲了骰子後的條件機率, 所以樹狀圖如下 :,,, head head 5, head head head 我們可進一步畫成交叉圖如下 : 9

骰子硬幣 head 數,,, 5,6 0 0 0 8 8 0 5 6 所以 P(0 head ) = =, P( head ) = =, P( head ) = = 例 0: 解 : 樹狀圖如下 : (9 台大電機丙機率 ) 實際傳送 0 0. 0 0. 0 還是 0 p 0 變成 p 0 0.

20 骰子硬幣 head 數,,, 5, 所以 P(0 head ) = =, P( head ) = =, P( head ) = = 例 0: 解 : 樹狀圖如下 : (9 台大電機丙機率 ) 實際傳送還是 0 p 0 變成 p 0 0.( p) 0. p 實際傳送變成 0 q 還是 q 0 0.6q 0.6( q) P( 實際傳送最後收到 0) 0.6q 題目所求為 : P( 實際傳送最後收到 0) = = P( 最後收到 0) 0.( p) + 0.6q 本題我們也可畫成交叉圖如下 :( 雖然不見得需要 ) 0

21 實際傳送最後看到 ( p) 0. p q 0.6( q) ( p) + 0.6q 0. p+ 0.6( q) 例 : 解 : (97 交大電控甲線代及機率 ) 選袋 r 取 r 選袋選袋 w 取 r 0 0 rw 取 r 6 從上面樹狀圖可以看得出來 : 抽到紅球的機率 : P ( 抽到紅球 ) = + = 6 抽到紅球且同袋另一顆是紅球為一開始選到第一袋的情形, 其機率為 : P( 抽到紅球同袋另一顆是紅球 ) = P( 同袋另一顆是紅球抽到紅球 ) 所以 P( 同袋另一顆是紅球抽到紅球 ) = = = P( 抽到紅球 ) 我們可畫交叉表如下 :

22 r w 袋 (r) 袋 (w) 袋 (rw) 0 6 由這個表, 我們可以進一步的直接把其它數字算出來袋 (r) 袋 (w) 袋 (rw) r 0 6 w 0 6 例 : (97 台大電信乙工數 D) 選牌 rr 取 r 選牌 rb 取 r 6 選牌 bb 取 r 0 0 從上面樹狀圖可以看得出來 : 抽到某面是紅的機率 : P ( 抽到紅面 ) = + = 6 抽到紅面且同牌另一面也是紅的為一開始選到牌的情形, 其機率為 : P( 抽到紅面另一面也是紅 ) = P( 另一面也是紅抽到紅面 ) 所以 P( 另一面也是紅抽到紅面 ) = = = P( 抽到紅面 )

23 例 : 若某工廠有 A,B 兩台機器生產產品,A 的產量佔全部 0%,A 的良率為 80%,B 的不良率為 0%, 今若從該公司生產的產品中隨機抽取一件, 則 : () 該產品為 A 機器生產的良品的機率為何 () 該產品為 B 機器生產的良品的機率為何? () 該產品為良品的機率為何? 解 : 題目所給已知為 ( 參考下面聯合機率分配表 ) PA= ( ) 0., P( 良品 A ) = 0.8, P( 不良品 B ) = 0. () 所求為 PA ( 良品 ), 所以 PA ( 良品 ) = PAP ( ) ( 良品 A) = = 0. () 所求為 P( 良品 B), 因為 P( 不良品 B ) = 0., 可得 P( 良品 B ) = 0.9, 所以 P( 良品 B) = PBP ( ) ( 良品 B) = = 0.5 或者 P( 不良品良品 B) = PBP ( ) ( 不 B) = = 0.06, 再由下表看出 P( 良品 B良品 ) = PB ( ) P( 不 B) = = 0.5 ()0.86 A B 良品 = 不良品 = 良品,0. A,0. 全部, 不良品,0.08 良品,0.5 B, 不良品,0.06 我們習慣把條件機率寫在樹枝上, 節點則寫上佔全部的比例

24 例 : 註 :defective 有缺陷的, 不完美的 (90 北科電機丁戊工數 ) 例 5: (9 北科電機丁戊工數 ) :(wb) :(w5b) 拿 w 7 拿 b 7 :(wb) :(w5b) :(wb) :(w6b) 7 7 從袋拿 b 從袋拿 b 所以最後第個袋子取出 black 的機率為 = 例 6: (95 北科電機丁戊工數 )

25 解 : () P( 白盒白盒盒白盒 ) = P( ) P( ) + P( ) P( ) = + = + = () 可畫樹狀圖求解, 最後有 6 種情形, 其中 8 種是白球例 7: (96 台大電信乙工數 D) 解 : 題目所求為 n( 至少顆或以上為 6 至少一顆為 6 至少 ) 顆或以上為 n( 6 ) P( 至少顆或以上為 6 至少一顆為 6) = = n( 至少一顆為 6 至少一顆為 ) 6 n( ) 因為本題沒有給什麼已知機率, 看起來就是要算數目的問題而且假設每一種可能機率相等是原理的所以上面的公式寫的是 n (), 也就是我們準備要數數目上面式子中的數目利用下面的方法計算會比較快 n( 至少一顆為 6 所有可能沒有任何 ) = n( ) n( 顆是 6 ) n( 至少顆或以上為 6 所有可能沒有任何 ) = n( ) n( 顆是 6 有一顆為恰 ) 6 n( ) n = = ( 所有可能 ) 6 96 也就是 ~6,6 個數字取個出來重複排列的問題請注意, 這個 96 有考慮順序前面提過分母不考慮順序, 分子就不考慮順序同理, 要同時考慮順序這題不考慮順序反而不好算, 為重複組合的問題因為這個數目有考慮順序, 我們等一下在算其它項的時候也要考慮順序 n 沒有任何顆是 6 = = ( ) 5 65, 也就是 ~5,5 個數字取個出來重複排列的問題要計算 n ( 恰有一顆為 6 ), 因為要考慮順序, 可先選一個位置出來放 6, 有個可能, 個位置是 6, 其它個位置為 ~5 的可能有 5 = 5, 所有共有 5 = 5 = 500 種可能所以, n( 至少一顆為 6 所有可能沒有任何 ) = n( ) n( 顆是 6 ) = = 67 n( 至少顆或以上為 6 所有可能沒有任何 ) = n( ) n( 顆是 6 有一顆為恰 ) 6n( ) = = 7 n( ) 7 所以, P( ) = 至少顆或以上為 6 至少顆或以上為 6 至少一顆為 6 n( 至少一顆為 6) = 67 5

26 証明 A, B 互為獨立事件性質 :A,B 互為獨立事件, 若且惟若下面三件事的任一個會發生 : (a) P ( A B) = P( A) (b) P ( B A) = P( B) (c) PA ( B) = PA ( ) PB ( ) 意義 : 若 A 的發生機率不受 B 是否發生影響, 則 B 的發生機率也不會受 A 是否發生影響且 A B 同時發生的機率為 A B 各自發生的機率相乘証明 : (a) (c) 若 P ( A B) = P( A) 則 P ( A B) = P( A B) P( B) = P( A) P( B) P( A B) (c) (b) 可得 = P( B) P( A) 所以 P ( A B) = P( B) 例 8: (98 台大電信乙組工數 D 電子甲組工數 L) Ans:(E) 解 : 檢查兩事件是否互為獨立事件, 可由下列三個式子的任一個來檢查 (a) P ( A B) = P( A) (b) P ( B A) = P( B) (c) PA ( B) = PA ( ) PB ( ) PE ( ) = P({,, }) = = PE ( ) = P({}) = PE ( E) = P( ) = 因為 PE ( ) PE ( ) PE ( E), 所以 E, E 不是獨立事件 ( 是相依事件 ) 其它亦同 6

27 例 9: (9 交大電子乙 ) 解 :(a) 否 (b) 是性質 : 若 A 與 B 為獨立事件, 則 (a)a 與 B 為獨立事件 (b)a c 與 B 為獨立事件 (c)a 與 B 為獨立事件 A A c B pq (-p)q q B p(-q) (-p)(-q) -q p -p 例 0: 註 : 此處 B= B 表集合 B 的補集証明 : 準備性質 : () 因為 A B 和 A B互斥且 A= ( A B ) ( A B) 所以 PA ( ) = PA ( B ) + PA ( B) () 因為 B 和 B 互斥且 S = B B所以 PS ( ) = PB ( ) + PB ( ), 即 PB ( ) = PB ( ) () 由已知 A, B 互為獨立, 所以 PA ( B) = PAPB ( ) ( ) (9 台大電信乙工數 D) 証明主要性質 : 7

28 PA ( B) = PA ( ) PA ( B) 由 () = PA ( ) PAPB ( ) ( ) 由 ( ) = PA ( )( PB ( )) = PAPB ( ) ( ) 由 () 所以 A, B 也互為獨立例 : (90 台大電信乙工數 D) 解 : 註 PAB ( ) = PA ( B), 是交集的另一種常用寫法 (a) 由排容定理 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = PA ( B) 由機率公設 PA ( B), 所以 PA ( B) = PA ( B) =, 即 PA ( B) 又由機率公設 PA ( B), 所以 PA ( B) = (b) PAB ( ) = PAB ( ) PB ( ) = PAB ( ) 0= 0 (c) 若集合 A 與自已互為獨立, 則 PA ( A) PAPA ( ) ( ) 可得 PA ( )[ PA ( ) ] = 0, 所以 PA= ( ) 或 PA= ( ) 0 =, 即 [ ] PA ( ) = PA ( ) 已知兩事件為獨立事件的問題 : 重要性質 : 若兩事件 A 和 B 為獨立事件, 則兩事件同時發生的機率為 PA ( B) = PAPB ( ) ( ) 有些題目會假定兩事件為獨立事件, 如兩個人射箭的結果丟兩個 ( 或多個 ) 銅板的結果丟兩個 ( 或多個 ) 骰子的結果通常為多步驟的問題, 且假設每個步驟之間獨立 8

29 例 : 兩個人射箭, 若第一個人射中的機率為 0., 第二個人射中的機率為 0., 假設二個人射中的機率為獨立事件, 則 () 第一個人沒中的機率 () 第一個人射中且第二個人射中的機率為何? () 第一個射中且第二個人沒射中的機率為何? () 若已知第一個人已經射中, 則第二個人射中的機率為何? (5) 至少一個人中的機率為何? 解 : 我們可畫聯合機率分佈表如下 : 第一個人射中第一個人沒射中第二個射中 = 第二個人沒射中或畫樹狀圖如下 : 0. 第二個人射中,0.08 ( 且第一個人射中 ) 第一個人射中,0. 第二個人沒射中,0. ( 且第一個人射中 ) 全部, 第一個人沒射中, 第二個人射中,0. ( 且第一個人沒射中 ) 第二個人沒射中,0.8 ( 且第一個人沒射中 ) 其中, 某些項的意義如下 : () P( 第一個沒中第一個射中 ) = P( ) = 0. = 0.8 如樹狀圖中第一層的下面分支 () P( 第一個人射中第二個人射中 ) = P( 第二個人射中第一個人射中第一個人射中 ) P( ) = P( 第二個人射中第一個射中 ) P( ) = = 0.08 如聯合機率分佈圖中左上角的格子中所顯示的, 或樹狀圖上第二層最上的分支 9

30 注意 : 題目給了 P ( 第二個人射中 ) = 0., 但因兩個人射中的結果為獨立事件, 所以 P( 第二個人射中第一個人射中第二個人射中 ) = P( ) = 0. 同時 P( 第二個人射中第一個沒射中第二個人射中 ) = P( ) = 0. 也就是, 即然第二個人射中的機率為 0., 且兩個人射不射中是獨立事件, 那不管第一個人射中的結果為何, 第一個人射完了以後, 第二個人射中的機率還是 0. ()0. () 因為兩個人射中的結果為獨立事件, 所以 P( 第二個人射中第一個人射中第二個人射中 ) = P( ) = 0. P( 至少一個人中 ) = P( 沒有人中 ) (5) = P( 第一個沒中第二個人沒中 ) = P( 第一個人沒中第二個人沒中 ) P( ) = = 0.8 = 0.5 例 : 若三人打靶, 甲命中的機率為 0., 乙命中的機率為 0., 兩命中的機率為 0., 若三人命中的機率為獨立事件, 則 : () 三人同時命中的機率為? () 甲命中, 乙丙沒命中的機率為? () 甲丙命中的機率? 解 () P( 甲命中乙命中丙命中 ) = P( 丙命中甲命中乙命中甲命中乙命中 ( )) P( ) = P( 丙命中甲命中乙命中乙命中甲命中甲命中 ( )) P( ) P( ) = P( 丙命中乙命中甲命中 ) P( ) P( ) = = 0.0 () 同理 : P( 甲命中乙沒命中丙沒命中 ) = P( 甲命中乙沒命中丙沒命中 ) P( ) P( ) = P( 甲命中乙命中丙命中 )( P( ))( P( )) = 0. ( 0.) ( 0.) = = 0. () P( 甲命中丙命中甲命中丙命中 ) = P( ) P( ) = = 0.06 可試著畫本題的樹狀圖看看例 : 請問從撲克牌中抽一張出來, 則 () 抽中衣服 (J,Q,K) 與抽中紅心是否為獨立事件? () 抽中非衣服 (~0) 與抽中紅心是否為獨立事件? () 抽中衣服與抽中非紅心是否為獨立事件? () 抽中衣服與抽中非衣是否為互斥事件? 0

31 (5) 抽中服與抽中非紅心是否為互斥事件? (6) 抽中衣服與抽中非衣服是否為互斥事件? 解 : () P ( 衣服 ) = = 5 P ( 紅心 ) = = 5 P ( 衣服紅心 ) = 5 P ( 衣服 ) P( 紅心 ) = 5 P ( 衣服紅心 ) = P( 衣服 ) P( 紅心 ) 所以衣服及紅心為獨立事件 () () ()(6) 皆是,(5) 不是其交叉圖如下 : 衣服非衣服紅心 0 非紅心例 5: (95 交大電子乙 ) 解 : 先將各元件編號如下 :

32 a b f c e 以 F 表示 f 元件運作的事件, F 表示 f 元件不運作的事件, 其它元件類推 () 若中間的 f 元件不運作 : 則系統運作的機率為 P( 系統運作 F) = P( A B) P( D) = P( A B) + P( D) P ( A B) ( D) = p + p p () 若中間的 f 元件運作 : 則系統運作的機率為 P( 系統運作 F) = PA ( ) P ( D) = PA ( P ) ( D) = PA ( ) + P ( ) PA ( ) P ( ) + PD ( ) P ( D) ( )( ) ( p p ) = () P( 系統運作 ) = P運作 ( 系統運作 FPF ) ( 系統 ) + P( FPF ) ( ) = p p p+ p p p ( ) ( )( ) ( ) = p p + p p+ p p p + p 5 = p p + p + p p p + p 5 = p 5p + p + p 5 5 ( ) ( 五 ) 全機率公式和貝氏定理例 6: 某社會學家在抽樣調查中, 各種收入等級的比例 ( 事件 E i ), 及各種收入等級中不回答某問題 ( 事件 B ) 的比例如下 : 收入等級 PB ( E i ) PE ( i ) 高收入 ( E ) 中收入 ( E ) 低收入 ( E ) () 求任何選一個人, 該人不回答某問題之機率為多少? () 若選到某人不回答某問題, 則他是屬於低收入等級的機率為多少? 解 : 我們可以做聯合機率分配表如下 :

33 高收入 ( E ) 中收入 ( E ) 低收入 ( E ) 不回答 ( B ) = = = 回答所以 () P ( 不回答 ) = = 0.08 P( 低收入不回答 ) 0.0 () P( 低收入不回答 ) = = = 0.5 P( 不收答 ) 0.08 ( 二 ) 或者可畫樹狀圖如下 : 0.08 不回答,0.0 高收入,0.5 回答,0. 全部, 中收入,0.5 低收入, 不回答,0.05 回答,0.5 不回答,0.0 回答,0. 第一小題我們直接由聯合機率分配表或樹狀圖求出, 若不用這兩種方法, 直接利用算式求出, 要怎麼求呢? 下面我們來分析這一題利用直接計算所隱函的一些重要的觀點 : 所有人 ( 樣本空間 ) 被, 高收入 ( E ), 中收入 ( E ), 低收入 ( E ), 分成了三個互斥的集合, 我們又知道不回答的人在這三塊中的比例 ( 機率 ), 所以不回答的人所佔的比例, 可以如下計算 : P( 不回答不回答高收入 ) = P( 回答中收入不 ) + P( 回答低收入不 ) + P( ) = P( 不回答高收入 ) P高收入 ( 回答中收入 ) 不 + P( 中收入 ) P( ) + P( 不回答低收入 ) P( 低收入 ) = = = 0.08

34 高收入不回答低收入中收入這種看法, 可得下面的全機率公式 (total probability) 全機率公式 (total probability): 假設 B, B,, B n 為互斥事件, 且 B B B = n S ( 樣本空間 ) 若已知 P ( B ), P ( B ), P ( Bn ) 及 P ( A B ), P ( A B ),, P ( A Bn ) 則可求事件 A 的機率為 : P A) = P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B ) + + P( A B ( n ) P( Bn ) B B A B

35 PB ( ) B B PB ( ) B PB ( ) B PB ( ) n n B PB ( ) B PB ( ) B PB ( ) B PB ( ) n n A PAB ( ) A B A PA B ( ) A PAB ( ) A B A PA B ( ) A A A PAB ( ) A B A PA B ( ) A PA B PB ( ) ( ) PA ( B) PB ( ) B PA B PB ( ) ( ) B PA B PB ( ) ( ) PA B PB ( ) ( ) B PA B PB ( ) ( ) A PAB ( n) A Bn PA ( Bn) PB ( n) A PA ( B n) A B n PA ( Bn) PB ( n) 又第二小題如果直接計算, 可利用下面的方式 : P( 低收入不回答 ) P( 低收入不回答 ) = P( 不回答 ) P( 低收入不回答 ) = P( 不回答高收入回答中收入 ) + 不 P( 回答低收入不 ) + P( ) P( 不回答低收入 ) P( 低收入 ) = P( 不回答高收入 ) P高收入 ( 回答中收入 ) 不 + P( 中收入回答 ) P不 ( 低收入 ) + P低收入 ( ) P( ) = = = 由上面的方式及全機率公式, 可得下面有名的貝氏定理 (Bayes theorem) 它是西元 76 年在貝氏 (Thomas Bayes, 十八世紀英國牧師 ) 的遺著中所發現的 5

36 貝氏定理 : 假設 B, B,, B n 為互斥事件, 且 B B B = n S ( 樣本空間 ) 若已知 P ( B ), P ( B ), P ( Bn ) 及 P ( A B ), P ( A B ),, P ( A Bn ) PAB ( i) PB ( i) PA ( Bi) 則 PB ( i A) = ( = ) PAB ( ) PB ( ) + PAB ( ) PB ( ) + + PAB ( ) PB ( ) PA ( ) n n 例 7: 任何診斷疾病的方法, 都會有診斷誤差有某一種診斷癌症的方法, 依過去的經驗知道對真的患有癌症的人, 經過此方法檢驗出有癌症的機率為 0.90, 對不患癌症的人經過此方法檢驗出有癌症的機率為 0.05 假設一群人中有 6% 的人真的患有癌症, 今從此群人中任取一人接受此項檢驗 () 求以此方法檢驗出有癌症的機率? () 若某人經此方法檢驗出有癌症, 求此人真的有癌症的機率為多少? 解 : 可畫出聯合機率分配表如下 : 真的有癌症真的沒癌症檢查出有癌症 = = 檢查出沒癌症所以 () P( 檢查出癌症 ) = 查出有癌症 P( 檢真的有癌症查出有癌症檢 ) + P( 真的沒癌症 ) = P( 檢查出有癌症真的有癌症 ) P真的有癌症 ( ) + P( 檢查出有癌症真的沒癌症 ) P真的沒癌症 ( ) = = = 0.0 上式表現在聯合機率分配表中的第一行, 其實也就是全機率公式 () P( 真的有癌症檢查出有癌症 P( 真的有癌症檢查出有癌症 ) 0.05 ) = = 0.57 這個式子就是 P( 檢查出有癌症 ) 0.0 貝氏定理例 8: (9 台大電機丙機率 ) 6

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0

例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於 的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機

例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機