连续傅里叶变换提供了一个将时间的连续函数映射到连续复数频域的途径, 逆傅里叶变换则能将频率的函数映射到时域类似地, 离散傅里叶变换能将时间的离散函数映射到离散频域, 其逆变换则能将频率的离散函数映射到离散时域如果频率的函数为两个函数的乘积, 例如信号的频率成分与传递函数 ( 即频率响应 ) 的乘

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丞圳安
5 years ago
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1 应用笔记 One Technology Way P.O. Box 9106 Norwood, MA , U.S.A. Tel: Fax: 轻松设计数字 FIR 滤波器作者 :Bill Windsor 和 Paul ToIdaIagi 以前, 数字滤波器需要专门设计技术高性能且昂贵的硬件复杂的软件才能实现, 因此应用非常有限如今, 随处可得的低成本高速数字信号处理 IC, 如乘法器和乘法器 / 累加器等, 结合简单易用的标准化设计流程, 已大大简化滤波器的实现因此, 如果应用需要滚降超过 24 db/ 倍频程的滤波器, 那么设计库中应当包括数字滤波器在本文中, 我们将比较数字滤波器与模拟滤波器, 讨论各种数字滤波器架构, 并通过一个范例一步一步说明如何设计 FIR( 非递归 ) 滤波器通过随附的参考文献可以找到本文仅略有提及的相关话题的更多信息数字滤波器与模拟滤波器的比较数字滤波器越来越多地应用于调制解调器雷达频谱分析仪语音和图像处理设备等, 原因如下 : 与模拟滤波器相比, 数字设计能够提供更陡的滚降, 无需校准, 对时间温度和电源变化的适应能力更强, 性能更稳定简单地改变软件就能实时更改数字滤波器的响应, 产生所谓自适应滤波器, 而要改变模拟滤波器的响应, 通常需要更改硬件然而, 数字滤波器并不能令所有应用满意在滚降要求不超过约 24 db/ 倍频程的设计中, 模拟滤波器通常更具性价比但是, 当滚降要求超过 db/ 倍频程时, 使用数字滤波器更合适事实上, 在要求极陡滚降的应用中, 许多设计师发现数字滤波器的开发难度小得多通过更改软件, 可以轻松修改原型此外, 数字滤波器设计的软件仿真可以精确反映滤波器的性能, 但模拟滤波器的计算机仿真只能近似反映滤波器的真实性能, 因为模拟滤波器的参数对元件值敏感, 而初始元件值是不准确的, 可能发生相当大的变化数字滤波器基础知识常见的数字滤波器设计分为两种基本类型 : 非递归型 ( 有限脉冲响应 FIR) 和递归型 ( 无限脉冲响应 IIR) 除了直截了当的 IIR 设计以外, 业界对实现所谓点阵拓扑结构的滤波器类型的兴趣日增但在讨论这些数字滤波器类型之前, 我们先回顾一下数字滤波器的一些基本知识数字滤波器并不像起初想象的那样难以理解模拟对话杂志中曾有一篇文章向读者介绍数字滤波器 ( 第 17 卷第 1 号,1983 年, 第 3 页 ), 本文末尾列出的参考文献提供了更多详细信息尽管滤波是为了让时域信号更加平滑, 但是大多数滤波器设计者对频域的操作更加理解输入信号的频谱乘以滤波器的频率响应, 产生一个频谱改变的输出信号频域中的这种乘法相当于波形在时域中响应函数的卷积那么何谓卷积呢? 为了理解该过程, 首先考虑一个传递函数 H(f), 它在频域中具有一个理想的幅度曲线, 如图 1a 所示对于频率成分在 0 Hz 至 f1 Hz 范围的信号, 函数 H(f) 以单位增益响应, 其中各频率成分为特定频率的余弦波例如, 信号 cos(2π3t) 表示 f = 3 Hz 时的单位幅度频率成分图 1b 显示了信号 X(f) 的频谱, 其时间值为 cos(2πf 2 t) + cos(2π f 3 t) 因此,X(f) 表示 f2 和 f 3 处两个等量成分的和如果要提取 f 2 成分, 留下 f 3 成分, 则只需让 X(f) 信号通过一个低通滤波器事实上,H(f) 描述的正是这样一个滤波器, 其截止频率为 f 1 H(f) 在 f2 时等于 1, 在 f 3 时等于 0, 因此 H(f) 乘以 X (f) 等于 1 cos(2πf 2 t) + 0 cos(2πf 3 t) = cos(2πf 2 t) 到目前为止, 我们讨论的是时间的连续函数然而, 数字滤波器处理的是采样数据, 时间函数由每秒有限个 (k) 离散值 x(n) 组成, 其中 k 为采样速率,n/k 是对应于时间的离散变量因此, 离散时间的余弦波形表示为 cos(2πfn/k) Rev. 0 Page 1 of 8

连续傅里叶变换提供了一个将时间的连续函数映射到连续复数频域的途径, 逆傅里叶变换则能将频率的函数映射到时域类似地, 离散傅里叶变换能将时间的离散函数映射到离散频域, 其逆变换则能将频率的离散函数映射到离散时域如果频率的函数为两个函数的乘积, 例如信号的频率成分与传递函数 ( 即频率响应 ) 的乘积, 则对应的时间函数与时域中的两个函数信号的时间波形和时间响应函数 ( 由传递函数决定 )

2 连续傅里叶变换提供了一个将时间的连续函数映射到连续复数频域的途径, 逆傅里叶变换则能将频率的函数映射到时域类似地, 离散傅里叶变换能将时间的离散函数映射到离散频域, 其逆变换则能将频率的离散函数映射到离散时域如果频率的函数为两个函数的乘积, 例如信号的频率成分与传递函数 ( 即频率响应 ) 的乘积, 则对应的时间函数与时域中的两个函数信号的时间波形和时间响应函数 ( 由传递函数决定 ) 的卷积相同因此, 傅里叶定理在频域中的乘法与时域中的卷积之间建立了等式关系, 提供了一个直接计算时间响应的手段由此可知, 离散时间卷积 : y(n) = [h * x](n) (1) 等于信号与频率响应的乘积之和 : 以其自己的系数, 从而构成一个任意阶跃响应例如, 如果各 h(m) 为增益 1/27, 则滤波器对一个阶跃的响应将是一个 27 步阶梯 ( 近似于一个模拟斜坡 ), 然后是稳定的输出 ; 无论何种输入序列, 它都会执行 27 间隔移动平均值计算下面讨论用于计算系数的方法数字滤波器类型图 2 显示了 FIR 和两种最主要的 IIR 数字滤波器拓扑结构, 前一种简单明了, 后一种采用点阵形式 FIR( 有限脉冲响应 ) 滤波器 ( 图 2a) 无反馈项, 其输出仅是有限数量的先前输入值 (x(n)) 的函数根据定义, 它是非递归型上例中的滤波器就是一个 FIR 滤波器图 2b 和 2c 所示的 IIR 滤波器具有递归项, 输出值不仅取决于输入值, 而且受先前的输出值 (y(n)) 影响与其他类型的滤波器相比,FIR 滤波器具有如下优点 : (2) 上式适用于所有 n 值等式 2 代表一系列乘法和加法, 如果按特定顺序执行, 输入信号 x(n) 将被自动处理, 像是通过一个低通滤波器一样该等式假设 : 当 m<1 和 m>n 时,h(n) 为 0; 这对于 FIR 滤波器而言总是成立的, 其中 N 为 h(n) 中的采样数图 1. 滤波器函数 (a) 乘以 (b) 处的信号后, 只剩一个频率成分 (c) 使用傅里叶定理计算等式 1 时, 只需要知道函数 h(n) 和 x (n), 它们是图 1 中 H(f) 和 X(f) 的逆离散傅里叶变换 X(f) 的变换是一个简单的余弦波 x(n) = cos(2πf 2 n/k) + cos(2πf 3 n/k) 如下文所述, 如果知道 f 2 f 3 和采样速率 k( 模数转换器对输入时域信号 x(t) 进行采样的速率 ), 就可以轻松计算 x(n) 的值计算 h(n) 的值可能稍为困难, 它被称为滤波器系数但有几个很好的计算机程序可以帮忙,ADI 公司就提供了一个为了以实例说明等式 2, 考虑一个 27 阶滤波器,N = 27 滤波器输出值 y(30) 取决于 x 的前面 27 个值, 等于 : y(30) = h(1) x(29) + h(2) x(28) + h(3) x(27) h(26) x(4) + h(27) x(3). 该求和公式的实际含义是 : 滤波器的阶跃响应是通过将输入阶跃的 27 个连续延迟版本求和而合成的, 每个版本均乘图 2. 三种常见的数字滤波器拓扑结构 :FIR (a) IIR (b) 和点阵型 (c) 稳定 FIR 滤波器的 Z 平面传递函数中无极点, 因此, 其输出始终是有限且稳定的相比之下,IIR 滤波器需要精心设计才能保证稳定工作由于 FIR 设计基于离散时间延迟且无极点, 因此它可以用来构建一些特殊滤波器, 这些滤波器没有对应的连续模拟滤波器线性相位响应可以设计具有线性相位响应的 FIR 滤波器, 输出信号的相位延迟与输入信号的频率呈线性关系在语音处理声纳和雷达等应用中, 线性相位响应尤其重要 IIR 滤波器则不具有线性相位响应连续模拟滤波器难以实现线性相位响应易于设计 FIR 滤波器是三类滤波器中最容易理解设计和实现的, 特别是对于时域中的指数响应 Rev. 0 Page 2 of 8

3 对系数误差的敏感度较低这使得 FIR 滤波器可以利用较小的字来实现, 例如 12 位至 16 位字 IIR 滤波器的每个系数通常需要 16 到 24 位支持自适应设计自适应 FIR 滤波器的设计相对较为简单, 只需实时更改滤波器系数, 使滤波器的特性适应外部条件例如, 调制解调器中的自适应均衡滤波器设置为根据传输线的阻抗变化而改变特性 IIR*( 无限脉冲响应 ) 滤波器输出 ( 图 2b) 将输入值与反馈到电路的先前输出值合并, 因此是递归型 IIR 滤波器像任何反馈电路一样, 为避免不稳定现象,IIR 滤波器设计必须避免增益等于或大于 1 的正反馈 IIR 设计采用线性相移, 需要较大的系数字来降低舍入误差, 确保稳定工作尽管如此,IIR 滤波器仍然具有一些重要优点 : 效率最高 IIR 设计需要的滤波器系数更少, 因而乘法运算次数最少, 吞吐速率最大存储空间最少 IIR 滤波器的系数最少, 因而所需的只读存储空间 (ROM) 也最少例如, 典型的高通 IIR 设计只需要 4 个系数, 而 FIR 设计则需要 19 个系数点阵型数字滤波器的稳定性高于 IIR 型, 所需的硬件少于 FIR 型点阵型滤波器是最新式的数字滤波器, 目前其设计理论正在迅速发展中虽然早期的点阵设计对系数精度非常敏感, 但最近的设计已大为改善, 对滤波器参数的敏感度低于相应的 IIR 滤波器 ( 降低 2 到 3 位!) 点阵滤波器的一大优势是各步所用的参数可以用于高效编码方法, 如线性预测编码 ( 语音 ) 等 FIR 滤波器设计性能规格和权衡设计人员像指定模拟滤波器一样指定非递归型 ( 即 FIR) 数字滤波器, 如通带中的最大纹波量阻带中的最大衰减量等 ( 参见数字滤波器术语中的相关定义 ) 需要指定下列设计参数 : N 滤波器的抽头数, 等于滤波器系数的数量 f p 通带截止频率 f s 阻带截止频率 K = (δ 1 /δ 2 ) 通带中的纹波与阻带中的纹波的比值图 3 针对低通高通和带通滤波器说明了这些参数设计人员一般用 db 来定义通带纹波的单位, 表示为 20log10 (1+δ 1 ); 阻带纹波的单位也是 db, 表示为 20log10(δ 2 ) 通带纹波一般在 db 至 1 db 之间, 阻带纹波一般在 10 db 至 90 db 之间频率 f p 和 f s 是归一化频率, 等于实际信号频率与采样频率的比值例如, 考虑这样一个滤波器设计 : 采样频率为 100 khz, 通带截止频率 (f p ) 为 10 khz, 阻带截止频率 (f s ) 为 20 khz, 那么 : 图 3. 低通 (a) 高通 (b) 和带通 (c) 滤波器的设计参数定义 f p ( 归一化 ) = 10 khz/100 khz = 0.1 f s ( 归一化 ) = 20 khz/100 khz = 0.2 注意, 归一化频率轴的值范围是从 0 到 0.5, 因为根据奈奎斯特采样原理, 为了消除混叠可能, 信号的采样频率必须高于其最高频率的两倍像通常的设计一样, 指定这些设计参数需要做一些权衡滤波器抽头数固定时, 滚降越陡, 则纹波越大如果既要求滚降较陡, 又要求纹波较小, 就必须提高滤波器抽头数, 这会使滤波器更复杂通过窗口方法设计 FIR 滤波器要设计数字滤波器, 首先必须计算滤波器的系数, 以便实现等式 2 最常见的两种设计方法是窗口和雷米兹交换算法对于近 95% 的设计, 雷米兹交换可以产生效率高得多的滤波器雷米兹交换算法已经用 Fortran 语言编写, 可从 ADI 公司获得, 如下文所述窗口方法则简单实用, 而且有助于了解滤波方法, 因此同样值得讨论不过应注意, 通过窗口方法设计的 FIR 滤波器性能不如通过其他方法获得的滤波器 ( 示例参见参考文献 7) 考虑一个 FIR 低通滤波器, 其阻带衰减大于 50 db, 归一化通带截止频率 (f p ) 为 0.2, 归一化阻带截止频率为 0.3 图 4 显示了该滤波器的理想传递函数 H(f) 通过等式 3 求解逆傅里叶变换, 可以获得傅里叶系列系数 * 参见 Matt Johnson 使用最少的硬件实现稳定的 IIR 滤波器, EDN,1983 年 4 月 14 日, 页 Rev. 0 Page 3 of 8

4 因此,N = 4/0.1 = 40 这种近似估算得到抽头数一般比实际需要的多出 2 到 5 个, 因此指定 N 为 36 接下来, 将各 h(n) 乘以图 5b 中的相应加权函数 w(n), 得到图 5c 所示的滤波器系数 h (n) 由于系数相对于 0 对称, 因此只需要计算绝对值 ( 即一半的系数 ) 这些系数描述(sin x)/x 形式的窗口函数, 它是图 4 所示低通滤波器的傅里叶变换 (3) 图 5a 显示得到的一组 h(n), 范围延伸到 ± 无穷然后将傅里叶系数乘以多个窗口或加权函数中的一个, 如图 5b 和图 5c 所示图 4. 理想低通滤波器传递函数雷米兹交换设计对于大多数 FIR 应用, 雷米兹交换算法提供了一种比窗口方法更强大的设计技术雷米兹交换算法按照极大极小误差标准 ( 参考文献 7) 设计最优 FIR 滤波器根据该标准, 对于给定数量的系数, 滤波器能将通带中的最大纹波降至最小一般而言, 对于给定的一组滤波器规格, 雷米兹交换算法能够快速产生系数最少的 FIR 滤波器设计, 尤其是与窗口方法的结果相比时此外, 通带纹波的幅度全都相等, 阻带纹波同样如此阻带纹波与通带纹波的比值 K 按照上文所述进行规定 Fortran 语言编写的雷米兹交换算法简单易用例如, 考虑一个具有如下规格的 FIR 低通滤波器 : 采样速率 = 50 khz f p ( 实际 ) = 10 khz,f p ( 归一化 ) = 0.2 f s ( 实际 ) = 14 khz,f s ( 归一化 ) = 0.28 最小阻带衰减 = 40 db 最大通带纹波 = 0.2 db 纹波比 K = 1( 通带纹波与阻带纹波相等 ) 然后,Fortran 程序连续出现以下 5 行内容提示用户输入信息高于和低于某一值 v 时, 加权函数等于 0; 该值取决于滤波器抽头数 N 将傅里叶系数乘以加权函数便产生期望传递函数 H(f) 的有限脉冲响应近似结果, 这将保证傅里叶系列能够收敛图 5. 采用窗口方法, 滤波器的傅里叶系数 (a) 乘以加权函数 (b) 得到 (c) 图 5b 显示的广为使用的 Hamming 窗口, 但还有其他几种加权函数可以使用, 包括 Kaiser Blackman 和 Hanning 窗口 ( 参考文献 1) 选定窗口后, 就可以根据所需的滚降带 (Δf = f s f p ) 确定系数或滤波器抽头的数量 N 对于 Hamming 窗口, 此滚降带宽与滤波器抽头数 N 之间存在如下的保守近似计算关系 : Δf 4/N 对于以上设计示例, Δf = f s f p = ( ) = 0.1. (4) 第 1 行 : FILT = 滤波器抽头或系数的数量如果不知道滤波器阶数 ( 抽头数 ), 请将此参数设为 0, 如本设计示例所示 JTYPE = 滤波器类型 (1 表示低通高通或带通滤波器 ) NBANDS = 滤波器中的通带和阻带数量对于本例中的低通或高通滤波器,NBANDS = 2 对于带通滤波器, NBANDS = 3 JPUNCH = ( 一般设为 0) LGRID = 雷米兹交换算法使用的频率点数对于大多数应用, 例如本例,LGRID = 16 即够用对于 50 个抽头以上的高性能滤波器, 设置 LGRID = 32 第 2 行 : 第 2 行包含通带和阻带边缘的归一化频率此处值的数量等于频带数量的两倍对于上文所述的低通滤波器, 通带范围是从 0.0 到 0.2( 归一化频率 ), 阻带范围边缘是从 0.28 到 0.5( 归一化频率 ) 因此, 对于本设计示例, 第 2 行将使用这四个值 Rev. 0 Page 4 of 8

第 3 行 : 第 3 行指定各频带中期望传递函数的幅度 V out /V in 本例中, 低通滤波器在通带中的增益为 1, 在阻带中的增益为 0, 因此第 3 行包含数值 1,0 硬件设计只有完全明确后, 才能用硬件实现滤波器图 8 为实现上述 27 抽头滤波器的系统功能框图, 假设使用 16 位字选择字大小时的权衡考虑因素将在下文讨论第 4 行 : 第 4 行指定两个频带的期望相对权重

0 利用这些输入,Fortran 程序通过近似法确定滤波器参数之间的设计关系 ( 参考文献 5 和 6), 从而估算滤波器阶数 ( 抽头数 ) 结果通常在所需正确数量 4 抽头范围内图 6 显示了一个典型的计算机计算结果按照上述近似法确定的滤波器长度等于 24 抽头脉冲响应给出滤波器系数, 图 6 接下来的几行只是重复频带 1( 通带 ) 和频带 2( 阻带 ) 的程序输入值期望值

5 第 3 行 : 第 3 行指定各频带中期望传递函数的幅度 V out /V in 本例中, 低通滤波器在通带中的增益为 1, 在阻带中的增益为 0, 因此第 3 行包含数值 1,0 硬件设计只有完全明确后, 才能用硬件实现滤波器图 8 为实现上述 27 抽头滤波器的系统功能框图, 假设使用 16 位字选择字大小时的权衡考虑因素将在下文讨论第 4 行 : 第 4 行指定两个频带的期望相对权重对于本例, 阻带纹波等于通带纹波, 以 1 表示, 因此第 4 行为 1 第 5 行 : 第 5 行只在所需的滤波器抽头数未知时才需要, 例如在本例中 <NFILT = 0> 此行指定期望的通带和阻带纹波, 单位为 db 然后, 程序估算所需的滤波器抽头数 NFILT 假设通带纹波不超过 0.2 db, 阻带衰减为 40.0 db, 则第 5 行将包括数值 0.2 和 40.0 利用这些输入,Fortran 程序通过近似法确定滤波器参数之间的设计关系 ( 参考文献 5 和 6), 从而估算滤波器阶数 ( 抽头数 ) 结果通常在所需正确数量 4 抽头范围内图 6 显示了一个典型的计算机计算结果按照上述近似法确定的滤波器长度等于 24 抽头脉冲响应给出滤波器系数, 图 6 接下来的几行只是重复频带 1( 通带 ) 和频带 2( 阻带 ) 的程序输入值期望值表示通带和阻带中的滤波器期望传递函数纹波的权重为通带中 1.00, 阻带中 1.00 偏差为各频带中的纹波, 通带中为 0.011, 阻带中为偏差 (db) 表示偏差数的 db 值极端频率表示最大通带和阻带纹波发生的频率图 7. 雷米兹交换程序输出,N = 27 抽头图 8 所示的抗混叠滤波器可将到达模数转换器的高频信号和噪声成分降至最低许多情况下, 抗混叠滤波器要求的滚降不超过 6-24 db/ 倍频程模数转换器以等于最高输入频率大约 3 倍的速率对输入模拟信号进行采样奈奎斯特准则要求采样速率至少为最高频率的两倍, 保守设计做法要求三倍 RAM 存储模数转换器的输出对于一个 27 抽头滤波器, 需要 27 个 RAM 位置, 各位置为 16 位图 6. 雷米兹交换程序输出,NFILT 初始值 = 0 计算机初次运行采用 N = 24, 结果通带纹波为 0.19 db, 阻带衰减为 db, 不符合设计要求计算机用逐渐提高的 N 值重复运行, 在 N = 27 时得到满意的结果, 如图 7 所示图 8. 数字 FIR 滤波器系统功能框图 Rev. 0 Page 5 of 8

PROM 存储先前确定的滤波器系数可能需要使用 RAM, 而不是 PROM, 特别是希望实现自适应滤波器时 PROM 位置的数量等于不同滤波器系数的数量由于对称性, FIR 滤波器具有 N/2 个 (N 为偶数时 ) 或 (1 + N)/2 个 (N 为奇数时 ) 不同的系数, 其中 N 为抽头数因此,27 抽头滤波器需要 14 个 16 位位置的 PROM 理的溢出水平

公司提供多种乘法器 / 累加器 IC, 可大大简化此类数字滤波器的实现例如,ADSP-1010* 可以将两个 16 位数相乘, 并在一个 35 位累加器中累计乘积 ; 该累加器包括 3 位扩展精度, 以便处理两个或更多 32 位乘积相加所导致的溢出硬件详解细化设计的第一步是将滤波器系数转换成 16 位定点或块浮点数例如, 在定点算法中, 只需将系数乘以 2 15 然后,

6 PROM 存储先前确定的滤波器系数可能需要使用 RAM, 而不是 PROM, 特别是希望实现自适应滤波器时 PROM 位置的数量等于不同滤波器系数的数量由于对称性, FIR 滤波器具有 N/2 个 (N 为偶数时 ) 或 (1 + N)/2 个 (N 为奇数时 ) 不同的系数, 其中 N 为抽头数因此,27 抽头滤波器需要 14 个 16 位位置的 PROM 理的溢出水平然后将此数值与累加器能处理的最大值相比较有多种方法可以处理累加器溢出 ADSP-1010 MAC 除了提供 32 位精度来处理单一位乘法之外, 还具有额外的 3 位累加器精度, 这对于大多数应用是足够的时钟和计数器遍历 RAM 和 PROM, 将系数和输入值提供给乘法器乘法器 / 累加器组合按照等式 2 执行乘法和加法, 因而构成数字滤波器的核心部分 ADI 公司提供多种乘法器 / 累加器 IC, 可大大简化此类数字滤波器的实现例如,ADSP-1010* 可以将两个 16 位数相乘, 并在一个 35 位累加器中累计乘积 ; 该累加器包括 3 位扩展精度, 以便处理两个或更多 32 位乘积相加所导致的溢出硬件详解细化设计的第一步是将滤波器系数转换成 16 位定点或块浮点数例如, 在定点算法中, 只需将系数乘以 2 15 然后, 将系数舍入到最接近的 LSB 不能简单地截断系数, 因为截断会破坏滤波器系数的精度, 而舍入则能实现接近字长决定的理论限值的性能将舍入后的 16 位系数存储在 PROM 中还必须确定是采用标准微处理器还是需要专用高速乘法器 IC 来实现滤波器确定所需运算速度的方法是将采样速率乘以滤波器系数的数量上例中,50 khz 的采样速率和 27 抽头滤波器要求每秒执行 (50 khz 27) = 135 万次 16 位乘加运算, 或者每次乘加运算耗时 740 ns 很少有微处理器能够满足这种要求,12.5 MHz Motorola 执行一次 16 位乘法的时间为 5.6 μs 然而, ADI 公司的 ADSP-1010 乘加器 (MAC) 仅需 165 ns 就能执行一次乘加操作, 而且成本和功耗均很低为确保乘法运算正确, 存储器控制电路 (RAM PROM 计数器 ) 必须从存储器中检索正确的字组合图 9 所示的堆栈和指针说明了一种方法指针 2 指引每个新数据点存储到 RAM 中对于每个新样本, 系统递减指针 1, 递增指针 3, 从而计算变换, 如下式所示 : h(4) x(n 3) + h(3) x(n 2) + h(2) x(n 1) + h(1) x(n) + h(6) x(n 5) + h(5) x(n 4) 完成每个样本的计算后, 指针 2 和 3 递增 ; 当这些指针到达堆栈边界时, 指针复位图 9b 详细显示了上述操作接下来决定如何处理累加器溢出当滤波器执行乘加操作时, 累加器中的位数必定会超过单一位乘法的 32 位分辨率为了处理溢出, 首先应计算滤波器可能遇到的溢出量的合理上限通过滤波器系数的平方和, 可以估计合图 9. 滤波器利用指针 (a) 并按照图 (b) 所示步骤计算卷积也可以缩小系数, 从 1 位到 5 位, 但这会牺牲一定的精度为了缩小系数, 将其除以 2 并应用上述溢出测试重复该过程, 直到缩小后的系数通过溢出测试最后, 对于某些应用, 可能不需要支持输入信号的全部动态范围这时, 只需让累加器在最大值时饱和有时候, 甚至最快的 MAC IC 也不能满足乘加速度要求这种情况下, 可以并行使用两个或更多处理器来提高吞吐速率在图 10 所示电路中, 两个 ADSP-I0I0 MAC 并行工作, 因而每个计算点的乘加时间降至 75 ns, 即单个处理器情况下 150 ns 正常时间的一半避免圆整和舍入误差大部分数字滤波器硬件的误差源于两个因素 : 圆整和舍入圆整误差产生的原因是高精度大型计算机将滤波器系数 ( 例如图 6 和图 7 中产生的那些系数 ) 圆整到典型数字滤波器硬件实现的 16 位精度如上文所述, 圆整产生的误差小于截断, 但仍有误差 Rev. 0 Page 6 of 8

7 图 9. 滤波器利用指针 (a) 并按照图 (b) 所示步骤计算卷积舍入误差来源于连续的有限精度乘法和加法运算舍入误差比圆整误差更明显, 尤其是在高阶滤波器中为了避免此类误差, 必须估算所需的字大小, 这可能很棘手一般而言, 如果设计要求 67 db 以上的阻带衰减或 0.05 db 以下的通带纹波, 选择 16 位字可能会导致误差过大这种情况可能需要 24 位字, 有时甚至需要 32 位字将设计转化成硬件之前, 下文所述的软件仿真可以帮助您确定字长要求为了说明这些误差的意义, 图 11 比较了 16 位定点和 32 位浮点 27 抽头低通滤波器的仿真性能这种情况下的误差似乎较小, 但图 12 针对 90 抽头滤波器进行类似比较则显示存在很大差别对于 80 db 以上的阻带衰减和 90 抽头, 需要 16 位以上的精度图 11. 使用 32 位算法 (a) 和使用 16 位算法 (b) 的 27 抽头低通 FIR 滤波器的计算机仿真响应软件仿真图 13 中的流程图显示了一个利用高分辨率计算机来仿真数字滤波器性能的典型软件程序用户可以从 ADI 公司获得该程序的 Fortran 版本, 从而仿真采用 ADSP-I 位乘加器的 16 位 FIR 设计该程序由 DSP 市场组提供, 名为 FIR 16 位仿真程序仿真将重复硬件设计过程中的步骤首先从雷米兹交换计算机程序获得滤波器系数 h(n), 然后检查溢出并缩小系数, 获得 16 位定点或浮点系数, 一般将其存储在 PROM 中接下来, 程序仿真一个数字输入信号数组 x(n), 它对应于模数转换器的输出, 一般存储在 RAM 中数组中的值数量等于滤波器抽头数一般来说, 开始仿真时应使用频率为 0 Hz 的余弦波, 然后逐渐提高频率乘法器 / 加法器组合的算术操作很容易仿真仿真程序将计算机的字大小限制为滤波器硬件实现的精度限值 (16 位 ) 例如, 在 Fortran 中,INTEGER*2 或 INTEGER*4 变量类型声明就能做到这一点仿真程序还包括累加器溢出检查功能, 用以验证初始系数缩小操作的有效性如果计算机指示累加器溢出, 用户必须再次缩小系数, 并重新运行仿真图 12. 使用 32 位算法 (a) 和使用 16 位算法 (b) 的 90 抽头低通 FIR 滤波器的计算机仿真响应 Rev. 0 Page 7 of 8

8 参考文献如果读者希望获得有关数字信号处理的更多信息, 可以参阅下列出版物这些出版物非 ADI 公司资料图 13. FIR 滤波器仿真程序流程图然后, 程序设置一个循环以计算等式 2 的变换, 从而得出滤波器输出值 y(n) 对于每个余弦输入, 程序计算 y(n) 的 N 值, 其中 N 为滤波器抽头数接下来, 程序从 y(n) 数组中选择最大的绝对值, 确定滤波器输出的幅度, 从而确定滤波器传递函数在该频率的幅度这通常与 y(n) 的实际幅度非常接近但如果您需要更高的精度, 可以对 y(n) 信号的 N 个点运用曲线拟合算法, 产生一个连续时间信号 y(t) 一旦程序计算出 0 Hz 余弦波的输出, 它就能计算各种频率下的输出通常是以的归一化频率增量, 从 0 Hz 扫频至略低于奈奎斯特频率 0.5( 归一化 ) 的值由此产生的曲线即为滤波器传递函数的仿真结果如果该曲线符合预期, 您就可以着手构建滤波器硬件本文的部分内容改编自文章作者所著的另一篇文章, 该文刊载于 1983 年 3 月 3 日出版的 EDN 杂志, 版权归属 Read Holdings, Inc 子公司 Cahners Publishing Company, 已获得版权拥有者的许可进一步阅读模拟对话第 17 卷第 1 号 (1983) 刊载了一篇评论文章, 综述了乘法器 / 累加器 IC 在各种 DSP 应用中的用途 ADI 公司还收集了最近发表的 5 篇文章, 这些文章描述将 DSP 运用于各种常用滤波和控制应用的实用设计如果您希望得到这些文章的翻印版, 请使用回复卡申请 EDN 系列文章 1. Frederick J. Harris, "On the Use of Windows for Harmonic Analysis With the Discrete Fourier Transform," Proceedings of the leee, Vol.66, No. 1, January, J.H. McClellan, T.W. Parks, and L.R. Rabiner, A Computer Program for Designing Optimum FIR Linear Phase Digital Filters, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-21, No.6, December, A.V. Oppenheim, and R.W. Schafer, Digital Signal Processing, (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1975), chapter A. Peled, and B. Liu, Digital Signal Processing, (New York, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1976), chapter L.R. Rabiner, "Practical Design Rules for Optimum Finite Impulse Response Low-Pass Digital Filters," The Bell System Technical Journal, Vol. 52, No.6, July-August, L.R. Rabiner, "Approximate Design Relationships for Low- Pass FIR Digital Filters," IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-21, No.5, October, L.R. Rabiner, and B. Gold, Theory and Application of Digital Signal Processing, (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice- Hall, 1975), chapter 3. 滤波器术语衰减输出信号幅度相对于输入信号幅度降低截止频率滤波器的响应降至额定通带纹波 (1-δ1) 以下时的频率通带滤波器频率范围, 信号通过该范围的衰减量不超过额定值阻带滤波器频率范围, 信号通过该范围时会发生额定量的衰减阻带衰减阻带中的最小衰减量通带纹波通带中的实际输出幅度与期望输出幅度的最大偏差采样速率系统对输入信号进行采样的速率滤波器系数代表滤波器传递函数的逆傅里叶变换的数值系数定义滤波器的特性, 构成数字滤波器实现的基础抽头抽头数等于滤波器针对每个输出点处理的输入采样值数量抽头数还等于滤波器系数的数量, 并且可以用来衡量滤波器延迟时间 Analog Devices, Inc. All rights reserved. Trademarks and registered trademarks are the property of their respective owners. Rev. 0 Page 8 of 8

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通