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1 均数间的比较 基于秩次的非参数检验 假设检验的基本原理 陆一涵 为什么要做假设检验? 纸质数据库 问题 : 样本参数与已知的总体参数不一致 电子数据库 分析数据库 统计分析 统计描述 统计指标 + 图表 样本来自已知总体, 其差别是由抽样误差造成 ( 个体变异 ) 统计推断 参数估计 样本来自总体与已知总体不同, 存在本质差异 ( 个体差异 + 总体差异 ) 假设检验 基本原理 总体参数的 95% 可信区间 建立两种假设 无效假设 H 0 : 样本参数与总体参数的差异完全是抽样误差造成 备择假设 H 1 : 样本参数与总体参数的差异除抽样误差外, 确实存在差别 接受无效假设, 或拒绝无效假设 接受备择假设 基本思想 先建立一个关于样本所属总体的假设, 考察在该假设条件下该样本的特征信息是否属于小概率事件 ; 若为小概率事件, 则该样本所提供的特征信息有悖于假设, 因此可拒绝假设 ( 小概率反证 ) 小概率原理 : 通常认为小概率事件在一次随机抽样中不会发生 事实上小概率事件仍有可能发生, 只是发生的概率很小 ( 即为事先设定的 α) 1

2 基本步骤 1 选择检验方法, 建立检验假设 基本步骤 2 确定检验水准 α 根据研究目的 资料类型等确定检验方法 根据统计推断目的提出对总体特征的假设 :H 0,H 1 H 0 + H 1 应包含所有可能的判断, 且两者互斥参数检验 :H 0 : μ = 20.7 mg/l,h 1 : μ mg/l 非参数检验 :H 0 : 两个总体分布相同,H 1 : 两个总体分布不同 α: 假设 H 0 真实成立的情况下, 根据样本信息拒绝 H 0 的可能性大小, 即拒绝实际上成立的 H 0 的概率 α 通常取 0.05 或 0.01, 解释为在所设 H 0 的总体中随机抽得一个样本, 其统计量比手头样本统计量更偏离总体参数的概率不超过 5% 意义即是规定概率不超过 α 即为小概率 基本步骤 3 计算检验统计量, 并确定 P 值 基本步骤 4 做出统计结论 : 统计 + 专业结论 检验统计量应服从某种已知分布, 从而计算 P 值 ; 不同检验方法所利用的分布 计算原理不同, 因此检验统计量也不同 P 值 : 从 H 0 假设总体中抽得现有样本的概率 统计量是工具,P 值是目的 : 客观衡量样本对假设总体偏离的程度 若 P α, 基于 H 0 假设的总体情况出现了小概率事件, 拒绝 H 0, 接受 H 1, 认为样本与总体的差别不仅仅是抽样误差造成的, 存在本质上的差别, 即有统计学意义 若 P>α, 基于 H 0 假设出现了常见事件, 不能拒绝 H 0, 认为样本与总体的差别尚不能排除纯粹由抽样误差所造成, 无统计学意义 Ⅰ 类错误与 Ⅱ 类错误 真实值 H 0 为真 H 0 不为真 拒绝 H 0 Ⅰ 类错误 正确 估计值 接受 H 0 正确 Ⅱ 类错误 P (Ⅰ 类错误 ) = α = 显著性水平 P (Ⅱ 类错误 ) = β,1-β = 统计效能一般情况下,α 固定为 0.05 或 0.01,1-β 取决于样本量大小 注意 结论不能绝对化 :Ⅰ 类错误和 Ⅱ 类错误 样本量的问题 : 样本量太小 检验效能不足 无法检出可能存在的差异 样本量太大 有统计学意义的结论可能无任何实际意义 P 值越小仅说明发生 Ⅰ 类错误的概率越小, 但不能说明检验的参数之间的差别越小 单侧检验更容易拒绝 H 0, 可能增大发生 Ⅰ 类错误的概率, 须谨慎选用 2

3 参数检验的特点 假定随机样本来自于某已知分布的总体, 该总体可以用有限的参数进行描述, 对总体分布的参数进行估计和检验 参数检验与非参数检验 应用条件 独立性 方差齐性 正态性 应用条件不满足时, 变量转换 :Transform Compute 改用其他方法 : 稳健统计学方法, 非参数检验等 非参数检验的特点 不是检验参数, 而是检验分布是否相同 优点 稳健性好 数据要求不严格, 受限条件较少 不受总体分布的限定, 适用范围广 ( 等级资料 计量资料 ) 局限性 数据分布满足进行参数检验的条件时, 非参数检验的效能较低, 不能灵敏地拒绝 H 0, 发生 Ⅱ 类错误的概率增大 t 检验 以 t 分布为基础的检验, 适用于小样本计量资料的统计推断 (σ 未知 ) 均数间的比较 原理 : 小概率原理 应用条件 : 正态性 ( 稳健性 ) 3

4 1. 单样本 t 检验 完全随机设计单组计量资料的均数与总体均数的比较 输入在同一变量名下 :CaCO3 目的 : 推断样本是否来自某已知总体, 即检验样本所在总体的均数是否等于已知的总体均数 无效假设 H 0 :μ = μ 0 样本均数与总体均数的差异完全是抽样误差造成 备择假设 H 1 :μ μ 0 样本均数与总体均数的差异除抽样误差外, 确实存在差别 One-Sample T Test 过程 主对话框 Test Variables: 选入需要分析的变量 Test Vaules: 输入已知的总体均数, 默认值为 0 One-Sample T Test 过程 适用条件 2. 两样本 t 检验 通常情况下, 由于存在中心极限定理, 只要数据分布不是呈现强烈的偏态, 单样本 t 检验均适用 统计描述 : 集中趋势 离散趋势 统计分析 : 正态性 方差齐性 Analyze Descriptive Statistics Explore Analyze Compare Means Means 完全随机设计两组独立计量资料均数间比较 目的 : 推断两个样本是否来自相同的总体, 即检验两个样本所代表的总体的均数是否相等 无效假设 H 0 :μ 1 = μ 2 两个样本均数间的差异完全是抽样误差造成 备择假设 H 1 :μ 1 μ 2 两个样本均数间的差异除抽样误差外, 确实存在差别 4

5 比较变量 :steroid 分组变量 :group Independent-Samples T Test 过程 主对话框 Test Variables: 选入需要分析的变量 Grouping Variable: 选入并定义分组变量 Independent-Samples T Test 过程 Independent-Samples T Test 过程 Define Groups 子对话框 Use specified values: 指定两组比较 Cut point: 按照某个分界值比较, 分为 < 和 适用条件 独立性 : 通过专业知识判断 ( 传染病 ) 方差齐性 : 方差齐性检验 正态性 : 有一定的耐受力 ; 分组正态性考察 不符合上述条件时 校正 t 检验 变量变换 非参数检验 3. 配对 t 检验 配对设计 : 控制可能存在的非处理因素的影响, 适用于个体变异较大的研究 自身配对 : 同一对象接受两种处理或一种处理的前后 异体配对 : 受试对象按某重要特征 ( 但非处理因素 ) 相近的原则配对, 随机接受两种处理 同一受试对象两个部位的数据配对 同一样品用两只方法 / 仪器检测的结果配对 5

6 两个互相配对的变量 :X1 - X2 Paired-Samples T Test 过程 主对话框 Paired Variables: 成对选入配对变量 Paired-Samples T Test 过程 4. 单因素方差分析 完全随机设计多组独立计量资料均数间比较的单因素方差分析 不能采用两两 t 检验 目的 : 检验某个因素不同水平的差异, 是否会给观察变量带来影响, 即比较多组间的样本均数 无效假设 H 0 : 各组总体均数相等 备择假设 H 1 : 各组总体均数不相等或不全相等 基本原理 变异分解总变异 = 随机误差 + 处理因素引起的变异 = 组内变异 + 组间变异 比较变量 :age 分组变量 :group 组内变异 : 各组内部的差异, 反映个体差异 ( 即随机变异 ) 的大小 组间变异 : 各组均数的差异, 反映个体差异的影响与可能存在的处理因素的影响之和 6

7 One-Way ANOVA 过程 主对话框 Dependent List: 选入需要分析的变量 Factor: 选入分组变量 One-Way ANOVA 过程 Post Hoc 子对话框 One-Way ANOVA 过程 Options 子对话框 Statistics: 提供可选的统计指标 Means plot: 用各组均数做图, 辅助判断均数间趋势 One-Way ANOVA 过程 适用条件 本质上与两样本 t 检验相同 独立性 方差齐性 正态性 两两比较方法的选择 多重比较 线性对比 正交对比等 控制 Ⅰ 类错误 7

8 两两比较的方法 两两比较的方法 探索性研究 : 例如多个均数间的两两比较, 且每组对象数相等, 考虑 Tukey 证实性研究 : 例如多个试验组分别与对照组比较, 或某几组在专业上有特殊意义的均数间的比较, 考虑 Bonferroni LSD LSD:t 检验的变形, 在标准误和自由度的计算上利用了全部样本信息, 结果较为准确 未进行校正, 因此 LSD 最灵敏 / 最容易得出阳性结论 Bonferroni:α/c,c 为两两比较的总次数 SNK: 保证 H 0 成立时总 α 等于实际设定值, 从而控制 Ⅰ 类错误 Tukey: 控制所有比较中最大的 Ⅰ 类错误概率值不超过 α Scheffe: 检验各个均数的线性组合, 控制整体 α 等于 0.05 适用于各组对象数不等, 相对保守不敏感 5. 多因素方差分析 随机区组设计多组相关计量资料的均数间比较 Analyze General Linear Model Univariate 基于秩次的非参数检验 秩 顺序统计量 : 非参数检验的理论基础, 即对数据从小到大进行排序, 并将序号取代原始数据进行统计分析 秩 (rank): 即上述的排序号 同秩 (ties): 绝对值相等的数据, 常取平均秩次 分布类型检验 拟合优度检验, 即检验样本所在总体是否服从已知的理论分布 Chi-square: 检验二项 / 多项分类变量分布 Binomial: 检验二项分类变量分布 Runs: 检验样本序列随机性 1-Sample K-S: 检验样本是否服从各种常用分布 8

9 分布位置检验 1.Wilcoxon 符号秩检验 检验样本所在总体的分布位置 形状是否相同, 即常用的 非参数检验 2 Independent Samples: 比较两个独立样本 K Independent Samples: 比较多个独立样本 2 Related Samples: 比较两个配对样本 K Related Samples: 比较多个配对样本 完全随机设计单组样本的基于秩次的非参数检验 原理 : 假设处理因素无效应, 则差值的总体分布为对称, 总体的中位数为 0 需新建一个常量列以表示总体中心位置 ( 即中位数 ) 目的 : 检验总体中位数是否等于某一理论值, 即检验差值的总体中位数是否为 0 编秩 按差值的绝对值从小到大编秩, 并按差值的正负号给秩次加上符号 新建立的常量列 :median 编秩时, 丢弃差值为 0 的数据, 样本量会减少 差值的绝对值相等 ( 同秩 ) 时, 取平均秩次 最终求秩和, 并确定统计量, 进行统计推断 Two Related Samples 过程 Two Related Samples 过程 主对话框 : Test Pairs List: 选入需要分析的变量对 Test Type:Wilcoxon 9

10 2. 两样本秩和检验 完全随机设计两组独立样本的基于秩次的非参数检验 目的 : 推断两个样本代表的总体分布是否相同 无效假设 H 0 :Md 1 = Md 2 两个总体的分布位置相同 备择假设 H 1 :Md 1 Md 2 两个总体的分布位置不同 比较变量 :steroid 分组变量 :group 将原始数据混合后从小到大编秩, 有相同数据取平均秩次 ; 求秩和, 确定统计量, 进行统计推断 Two Independent Samples 过程 主对话框 : Test Variable List: 选入需要分析的变量 Grouping Variable: 指定分组变量 Test Type: Mann-Whitney U 两样本秩和检验 Kolmogorov-Smirnov Z 两个样本是否来自同一总体 Two Independent Samples 过程 3. 多样本秩和检验 完全随机设计多组独立样本的基于秩次的非参数检验 目的 : 推断多个样本代表的总体分布是否相同 无效假设 H 0 :k 个总体的分布位置相同 备择假设 H 1 :k 个总体的分布位置不同 比较变量 :age 分组变量 :group 将原始数据混合后从小到大编秩, 有相同数据取平均秩次 ; 求秩和, 确定统计量, 进行统计推断 10

11 K Independent Samples 过程 主对话框 : Test Variable List: 选入需要分析的变量 Grouping Variable: 指定分组变量 Test Type: Kruskal-Wallis H: 多样本秩和检验 Median: 中位数检验, 检验效能最低 Jonckheere-Terpstra: 适用于连续性变量或有序分类变量 K Independent Samples 过程 K Independent Samples 过程 非参数检验的两两比较 样本量较小, 直接进行两组间的非参数检验 (Ⅰ 类错误发生概率增大 ), 可以部分抵消非参数方法检验效能偏低的问题 (Ⅱ 类错误发生概率增加 ) 样本量较大, 调整检验水准 α(bonferroni); 或进行秩变换分析 Transform Rank cases 以秩代替原始数据进行 ANOVA, 并使用 SNK 进行两两比较 4. 配对设计的秩和检验 配对设计两组相关样本的基于秩次的非参数检验 两个互相配对的变量 :X1 - X2 原理 : 配对数据差值的总体中位数是否为 0 Wilcoxon: 配对设计的秩和检验 Sign: 符号检验, 只利用正负号, 效率较低 McNemar: 即配对卡方, 只用于两分类资料, 特别适用于自身对照设计 Marginal Homogeneity: 多分类配对卡方, 适用于有序多分类 11

12 Two Related Samples 过程 主对话框 : Test Pairs List: 选入需要分析的变量对 Test Type:Wilcoxon Two Related Samples 过程 5. 随机区组设计的秩和检验 随机区组设计多组相关样本的基于秩次的非参数检验 原理 :k 个总体的位置参数是否相等 Friedman: 随机区组设计的秩和检验, 在区组内编秩 Kendall s W:Kendall 和谐系数, 表示 K 个指标相互间关联性程度 (0-1), 在纵向的处理上编秩 Cochran s Q: 多样本情况下 McNemar 检验的发展, 只适用于两分类变量 处理方案变量 :A B C 区组变量 :block K Related Samples 过程 主对话框 : Test Variables: 选入需要分析的变量 Test Type:Friedman K Related Samples 过程 12

13 陆一涵 公共卫生安全教育部重点实验室复旦大学公共卫生学院 13

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