内容提要 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 2 / 19

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1 统计假设检验周晓聪中山大学计算机系 2016 年 9 月 isszxc@mail.sysu.edu.cn 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 1 / 19

2 内容提要 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 2 / 19

3 内容提要假设检验基本思想 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 3 / 19

4 假设检验基本思想假设检验 (hypothesis testing) 与假设 (hypothesis) 假设检验是根据样本来推断总体的一些给定陈述是否成立的过程这些陈述称为假设男生比女生编写的程序更容易出现错误学习过 C++ 语言的学生在学习 Java 语言时更容易取得好成绩白盒测试比黑盒测试更容易检测到程序中的错误备选假设 (alternative hypothesis)( 研究假设 )H 1 试验者希望证实的假设原假设 (null hypothesis)( 零假设检验假设 )H 0 在假设检验中需要被检验的假设原假设的拒绝 (reject) 与接受 (accept) 如果样本数据强有力地与原假设不一致, 那么拒绝零假设如果样本数据与原假设不矛盾, 或是没有充足理由显示数据和原假设有冲突, 那么不能拒绝原假设, 从而接受原假设周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 4 / 19

5 假设检验的步骤假设检验基本思想根据研究目标, 针对总体给出原假设和备选假设确定显著水平和假设检验方法通常的显著水平为 α = 0.1, 0.05, 0.01 等每种假设检验方法都有它的适用前提总体的分布多个随机变量之间的独立性样本数据的度量类型 (scale types) 选择检验统计量好的检验统计量在判断样本数据是否和原假设一致方面是一个敏感的指标根据检验统计量显著水平确定临界区域 (criterion) 单边 (one-sided) 假设检验 : 临界区域只是一个区间,(a, ) 或 (, a) 双边 (two-sided) 假设检验 : 临界区域有两个区间,(, b) 和 (a, ) 根据样本计算统计量值, 如果该值落在临界区域拒绝原假设, 否则不能拒绝原假设周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 5 / 19

6 检验假设中的错误假设检验基本思想第一类错误 (type I error) 拒绝了正确原假设的错误 P(Type-I-error) = P(reject H 0 H 0 true) H 0 为真, 但根据样本数据计算的统计量落在临界区域显著水平 (level of significance)α 是拒绝正确原假设的最大概率第二类错误 (type II error) 接受了不正确原假设的错误 β = P(Type-II-error) = P(NOT reject H 0 H 0 false) H 0 为假, 但接受了 H 0 的概率记为 β 检验功效 (power) 拒绝错误原假设的概率, 等于 1 β 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 6 / 19

7 检验假设中的错误假设检验基本思想周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 6 / 19

8 检验假设中的错误假设检验基本思想 β = b a f 2 (x)d(x) 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 6 / 19

9 检验假设中的错误假设检验基本思想通常,α 的减小会使得 β 增加功效与备选假设相关例如, 通常单边假设检验的功效比双边假设检验的功效大功效与样本容量相关通常样本容量增大可增加功效不同的假设检验方法功效不同通常参数假设检验比非参数假设检验有更高的功效周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 6 / 19

10 假设检验基本思想一个非统计的简单假设检验例子试验者想确定一个交通工具是否是小汽车试验者知道小汽车有四个轮子, 但是其他的交通工具也可能是四个轮子假设原假设 H 0: 该交通工具是小汽车备选假设 H 1: 该交通工具不是小汽车统计量 t = 该交通工具的轮子数目临界区域 C = {n N n 4} 决策若 t C 拒绝原假设, 否则不拒绝原假设周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 7 / 19

11 一个二项式检验的例子假设检验基本思想 Definition ( 二项式分布 (binomial distribution)) 在含有 n 次独立基本试验的试验中, 每个基本试验有两种结果 : 成功和失败, 其概率分别是 p 和 q = 1 p 设随机变量 X 是在 n 次独立基本试验中成功的总次数, 则 X 服从的分布称为二项分布, 其概率密度函数是 : ( ) n P(X = x) = p x q n x x 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

12 一个二项式检验的例子假设检验基本思想试验者对一个软件系统的测试得到了该软件系统的一些错误一类错误使得系统崩溃, 一类错误没有使得系统崩溃试验者想验证该软件系统的崩溃型错误是否少于非崩溃型错误试验者从软件系统中检测到一个错误看作一次独立基本试验, 得到崩溃型错误的概率为 p 假设 : 原假设 H 0 :p = 1/2 备选假设 H 1 :p < 1/2 统计量 :n 次检测中得到的崩溃型错误总数 X, 它服从二项分布对于显著水平 α, 作如下决策 : 计算使得如下概率小于 α 的最大 k, 该最大 k 记为 k ( ) α: ( ) k n P(X k) = ( 1 i 2 )i ( 1 2 )n i = 1 k n 2 n i i=1 如果实际得到的崩溃型错误数小于等于 k α 则拒绝原假设, 否则不拒绝原假设 i=1 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

13 一个二项式检验的例子假设检验基本思想 Example 若试验者从软件系统一共测得 15 个错误, 且确定显著水平 α = 0.10, 则不难得到 : P(X 4) = 1 4 ( ) 15 = < α 2 15 i i=1 P(X 5) = 1 5 ( ) 15 = > α 2 15 i 从而得到 k α = 4 i=1 实际检测得到的崩溃型错误数小于等于 4 拒绝原假设, 否则不拒绝原假设拒绝原假设意味着, 该软件系统中检测到崩溃型错误的概率要小于检测到非崩溃型错误周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

14 一个二项式检验的例子假设检验基本思想假设检验的心理依据 : 小概率原理小概率的事件在一次试验中几乎不会发生对于上述例子如果该软件系统中检测到崩溃型错误的概率是 1/2, 则在一共测得 15 个错误的情况下只有 4 个错误是崩溃型错误的概率非常小 (=0.059) 因此原假设该软件系统中检测到崩溃型错误的概率是 1/2 不合理! 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

15 一个二项式检验的例子假设检验基本思想上述检验的功效 (power) 与检测到崩溃型错误的实际概率有关若该概率是 a, 则这时检测到小于等于 k α 个崩溃型错误的概率是 : ( ) k α n 1 β = a i (1 a) n i i 该概率就是上述检验的功效 i=1 因为该概率是在原假设错误 ( 即 a < 1/2 时 ) 而拒绝原假设的概率当 a = 0.05 时, 上述概率几乎等于 1, 而当 a 越接近 1/2, 检验的功效就越小周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

16 一个二项式检验的例子假设检验基本思想检验的 p- 值是根据样本的已知观察值能够拒绝原假设的最小显著水平对于上述例子, 若总检测次数是 15, 其中崩溃型错误数是 4, 则其 p- 值等于 P(X 4) = ( ) 4 15 = i 该概率是原假设成立时能够检测到小于等于 4 个崩溃型错误的概率 i=1 因此它也是在原假设成立, 而在观察到 4 个崩溃型错误数但拒绝原假设时所犯的错误 ( 第一类错误 ) 的概率通常的统计假设检验报告是报告 p- 值 p- 值小于给定的显著水平则拒绝原假设, 否则不拒绝原假设周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 8 / 19

17 内容提要参数检验与非参数检验 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 9 / 19

18 参数检验与非参数检验参数假设检验与非参数假设检验参数假设检验 (parametric tests) 总体的分布已知 ( 通常是正态分布 ) 假设是针对总体分布的某些参数 ( 例如均值方差等 ) 样本数据的度量类型需要是定距 (interval) 尺度或定比 (ratio) 尺度通常具有较高的功效 (power) 因为这种方法既利用了样本数据, 又利用了总体的分布信息周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 10 / 19

19 参数检验与非参数检验参数假设检验与非参数假设检验参数假设检验 (parametric tests) 非参数假设检验 (non-parametric tests) 不对总体的分布做任何假设或只做一些诸如对称性连续等简单假设可以对更多类型的假设进行检验例如, 对总体的分布情况进行检验 ( 总体是否符合某种分布?) 样本数据的度量类型可以是定序 (ordinal) 尺度甚至定名 (nominal) 尺度许多非参数假设检验方法建立在对样本数据的秩 (rank) 的分析基础上在参数和非参数两种方法都可用时, 参数方法通常具有较高的功效周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 10 / 19

20 参数检验与非参数检验参数假设检验与非参数假设检验参数假设检验 (parametric tests) 非参数假设检验 (non-parametric tests) 假设检验方法的健壮性 (robustness) 如果一种分析数据的方法的某个假设条件不成立但它仍然是近似有效的, 则称该方法是健壮的通常健壮性所针对的是总体分布正态性这个条件例如, 特别是当样本容量很大时, 即使总体分布只是近似正态分布, 参数方法 t- 检验也非常有效从另一角度说, 因为非参数方法所需的假设条件少, 因此它比参数方法具有更好的健壮性后面结合试验设计与分析将对假设检验做进一步介绍周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 10 / 19

21 内容提要参数检验举例 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 11 / 19

22 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验 Example ( 程序员编程效率 ) 假设某公司程序员编写万行 Java 代码所需要工作时间服从正态分布 N(µ 0, σ 2 ) 其中 µ 0 = 33.5 小时, 而 σ = 1.6 小时现该公司想试验使用 C++ 语言编程,8 个程序员编写万行 C++ 代码所需工作时间分别为 : 35.6, 37.6, 33.4, 35.1, 32.7, 36.8, 35.9, 34.6 现在问使用 C++ 语言编程的工作效率与使用 Java 语言编程的工作效率有无显著差异? 如果有显著差异, 编写 C++ 程序的时间是否显著高于编写 Java 程序的时间? 如果上述方差 σ 未知, 又该如何检验? 设显著水平 α = 0.05 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

23 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验假设 : 记公司程序员使用 C++ 语言编写万行代码所需时间均值为 µ 原假设 H 0:µ = µ 0 备选假设 H 1:µ µ 0( 双边检验 ), 或 µ > µ 0( 单边检验 ) 统计量前一个备选假设对应是否有显著差异的问题后一个备选假设对应编写 C++ 程序的时间是否显著高于编写 Java 程序的时间问题当原假设 H 0 成立时, 由于 σ 已知, 下述统计量服从标准正态分布 N(0, 1): 其中 X 为样本均值 u = X µ0 σ/ n N(0, 1) 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

24 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验双边检验决策 : 给定显著水平 α 计算 ( 实际上是查正态分布表 ) 得到如下 u α: P( u u α) = α 根据样本均值 X 计算统计量 u 的值, 设为 u 0 若 u 0 > u α 拒绝原假设, 否则不拒绝原假设周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

25 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验单边检验决策 : 给定显著水平 α 计算 ( 实际上是查正态分布表 ) 得到如下 u 2α: P(u u 2α) = α 根据样本均值 X 计算统计量 u 的值, 设为 u 0 若 u 0 > u 2α 拒绝原假设 ( 接受备选假设 ), 否则不拒绝原假设 R 软件没有提供进行 u- 检验的函数, 但很容易编程实现函数 pnorm(q, mean, sd) 可得到正态分布的累积分布 pnorm(q, 0, 1) 计算标准正态分布 P(u q) 的值函数 qnorm(p, mean, sd) 可得到正态分布的分位数 qnorm(p, 0, 1) 计算标准正态分布使得 P(u q) = p 的 q 值周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

26 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验 Example ( 程序员编程效率的 u- 检验 ) 计算 u 0 : u 0 = 1.6/ 8 = 查正态分布的双侧分位数表得 u 0.05 = 1.96, 而 u 0.1 = 由于 u 0 > u 0.05 > u 0.1, 对于上述单边检验和双边检验, 均拒绝原假设即使用 C++ 编程万行代码时间显著多于使用 Java 语言编程假设检验的 p 值均远小于设定的显著水平 α = 0.05 单边检验的 p 值等于 , 双边检验的 p 值等于周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

27 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验假设 : 记公司程序员使用 C++ 语言编写万行代码所需时间均值为 µ 原假设 H 0:µ = µ 0 备选假设 H 1:µ µ 0( 双边检验 ), 或 µ > µ 0( 单边检验 ) 统计量当原假设 H 0 成立时, 若方差 σ 未知, 前面的 u 不再是统计量, 而要使用样本方差代替其中的 σ: 因为统计量中不能含有未知量 t = X µ0 S/ n 这里 X 为样本均值,S 为样本方差 t(n 1) 在前面的幻灯片我们看到, 上述统计量 t 满足 t(n 1) 分布周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

28 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验双边检验决策 : 样本容量为 n 给定显著水平 α, 查 t 分布双侧分位数表 t n 1,α 根据样本均值 X 和样本方差 S 计算统计量 t 的值, 设为 t 0 若 t 0 > t n 1,α 拒绝原假设, 否则不拒绝原假设单边检验决策 : 样本容量为 n 给定显著水平 α, 查 t 分布双侧分位数表 t n 1,2α 根据样本均值 X 和样本方差 S 计算统计量 t 的值, 设为 t 0 若 t 0 > u n 1,2α 拒绝原假设, 否则不拒绝原假设注意 : 若是查正态分布 (t 分布 ) 的单侧分位数表, 则双边检验查 u α/2, t n 1,α/2 单边检验查 u α, t n 1,α R 软件提供了函数 t.test(x, mu) 可执行 t- 检验周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

29 参数检验举例参数假设检验举例 :u 检验和 t 检验 Example ( 程序员编程效率的 t- 检验 ) 计算 t 0 : 样本容量为 8 t 0 = 样本均值为 35.2, 而样本方差为 / 8 = 查 t 分布的双侧分位数表得 t 7,0.05 = 2.365, 而 t 7,0.1 = 由于 t 0 > t 7,0.05 > t 7,0.1, 对于上述单边检验和双边检验, 均拒绝原假设即使用 C++ 编程万行代码时间显著多于使用 Java 语言编程检验的 p 值小于设定的显著水平 α = 0.05 单边检验的 p 值等于 , 双边检验的 p 值等于周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 12 / 19

30 常用参数检验列表参数检验举例 (1) u = X µ 0 σ/ n N(0, 1) (2) t = X µ 0 S/ n t(n 1) 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 13 / 19

31 常用参数检验列表参数检验举例 (3) χ 2 = n (X i µ) 2 /σ0 2 χ2 (n) (4) χ 2 = i=1 (n 1)S2 σ 2 0 χ 2 (n 1) 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 13 / 19

32 常用参数检验列表参数检验举例 X Y (5) u = N(0, 1) σ 1 2/n 1 + σ 2 2/n 2 X Y (6) u = 近似服从 N(0, 1), n 1, n 2 50, σ 2 S 1 2/n 1 + S 2 2/n 1 σ2 2 2 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 13 / 19

33 常用参数检验列表参数检验举例 X Y (7) t = S/ t(n 1 + n 2 2), S 2 = (n 2 1 1)S1 + (n 2 1)S2 2, σ 2 1 1/n 1 + 1/n 2 n 1 + n 2 2 = σ2 2 = σ2, σ 2 = S 2 (8) F = S2 1 S 2 2 F(n 1 1, n 2 1), σ 2 1 = σ2 2 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 13 / 19

34 内容提要非参数检验举例 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 14 / 19

35 非参数检验举例非参数假设检验举例 :Wilcoxon 检验 Example ( 学习效果影响检验 ) 在 Java 语言课程中检验已学习过 C++ 语言对学习 Java 语言有无影响随机选择 12 个学生进行研究, 其中 4 个学习过 C++ 语言原假设 H 0: 学生在学习 Java 语言的表现不取决于他们是否学习过 C++ 语言备选假设 H 1: 学生在学习 Java 语言的表现与他们是否学习过 C++ 语言有关构造假设检验模型假设 12 个学生是所有学生中的一组随机样本将 12 个学生按照期末考试成绩从好到差排序, 以 1 到 12 标记成绩排名作为学生的秩 (rank) 在该模型下的假设细化为 : 原假设 H 0 : 学过 C++ 语言 4 位学生的秩是 1 到 12 的一个随机样本备选假设 H 1 : 学过 C++ 语言的 4 位学生的秩整体比 12 个学生中随机抽取 4 个学生的秩要大或小周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 15 / 19

36 非参数检验举例非参数假设检验举例 :Wilcoxon 检验检验统计量 :4 个学生的秩和 T 临界域的确定每个可能的结果是从 1 到 12 中抽取的 4 个数 ( 对应学生的秩 ) 总共有 ( 12 4 ) = 495 中抽取方法若 H 0 为真, 则 4 个学生的秩应该是 12 种可能中的一组随机样本即每 4 个秩的选择得到的样本点应该是等可能考察 4 个学生的秩和 T 较大和较小值对应的样本点 T 的最大值是 42( 即 (9,10,11,12)), 最小值是 10( 即 (1,2,3,4)) 其他较大值和较小值包括 : 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 15 / 19

37 非参数检验举例非参数假设检验举例 :Wilcoxon 检验检验统计量 :4 个学生的秩和 T 临界域的确定每个可能的结果是从 1 到 12 中抽取的 4 个数 ( 对应学生的秩 ) 总共有 ( 12 4 ) = 495 中抽取方法若 H 0 为真, 则 4 个学生的秩应该是 12 种可能中的一组随机样本即每 4 个秩的选择得到的样本点应该是等可能考察 4 个学生的秩和 T 较大和较小值对应的样本点总共有 12 个 T 14, 以及 12 个 T 38 的样本点, 即 P(T 14 或 T 38) = = 从而若决策 ; 当 T 14 或 T 38 时拒绝原假设, 否则不拒绝原假设则错误拒绝正确原假设 ( 犯第一类错误 ) 的概率为例如, 若 4 个学过 C++ 语言的学生的秩分别是 2, 5, 6, 9 则 T = 22, 不能拒绝原假设即 4 个学过 C++ 语言的学生学习成绩与其他学生无明显差别周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 15 / 19

38 内容提要总结与进一步阅读 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 16 / 19

39 总结总结与进一步阅读统计假设检验的基本步骤根据研究目标给出原假设和备选假设确定显著水平, 选择检验方法, 统计量并计算临界区域根据样本观测值计算统计量确定是拒绝还是接受原假设统计假设检验的错误概率一类错误 : 原假设不该拒绝而被错误拒绝的概率显著水平 α 是错误拒绝原假设的最大概率检验 p 值是由样本观测值计算得到的因拒绝原假设而犯错的概率检验 p 值也是原假设正确时能够观察到样本实际观测值的概率二类错误 : 原假设应该拒绝但没有拒绝的概率, 记为 β β 的值受到样本容量显著水平以及备选假设的影响检验的功效 (power) 定义为 1 β 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 17 / 19

40 总结总结与进一步阅读参数假设检验总体分布已知 ( 通常是正态分布 ) 假设是针对总体的某个参数 ( 均值或方差 ) 具有较高的功效, 但对总体分布有较多的假设前提例如, 总体分布需要是正态分布, 或者样本容量足够大例如, 有时需要知道有关总体的另外一些参数的值等非参数假设检验对总体分布的假设前提较少对总体分布没有任何要求, 或只要求有对称性等具有较好的稳健性, 但功效相对较低稳健性 (robustness) 指当某个假设条件不成立时检验方法仍然有效通常是对样本的秩统计量进行检验周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 18 / 19

41 进一步阅读总结与进一步阅读任何一本关于统计学的教材都会讲授有关假设检验的知识推荐阅读 Montgomery 等的 Applied Statistics and Probability for Engineers [1] Mendenhall 等的 Statistics for Engineers and the Sciences [2] 如果要结合 R 语言, 可阅读 Dalgaard 的 Introductory Statistics with R [3] Cohen 等的 Statistics and Data with R: An Applied Approach Through Examples [4] 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 19 / 19

42 Douglas C. Montgomery and George C. Runger. Applied Statistics and Probability for Engineers. John Wiley and Sons, Inc., fifth edition, William Mendenhall and Terry Sincich. Statistics for Engineering and the Sciences. Prentice Hall, fifth edition, 中文版 : 梁冯珍, 关静等译. 统计学 ( 原书第 5 版 ). 机械工业出版社,2009 年 8 月. Peter Dalgaard. Introductory Statistics with R. Springer, second edition, Yosef Cohen and Jeremiah Y. Cohen. Statistics and Data with R: An Applied Approach Through Examples. John Wiley and Sons, Inc., () August 31, / 19

)

.. 1. 2. ) () () Pilot test () 1. 2. 3. 4. Scale (1). (nominal scale) 1. 2. 3. (1,2,3) (scale value) (arithmetic mean) (median) (mode) (chi-square test) (2). (ordinal scale) 5 1 A>B>C>D>E A B C D (non-parametric

内容提要 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读 周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程 讲稿 2016 年 9 月 2 / 19

内容提要 1 假设检验基本思想 2 参数检验与非参数检验 3 参数检验举例 4 非参数检验举例 5 总结与进一步阅读周晓聪 ( 中山大学 ) 实证软件工程讲稿 2016 年 9 月 2 / 19