第八章总体参数估计

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骅盼森
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1 统计方法描述统计推论统计参数估计假设检验

2 参数估计点估计区间估计 Z 检验推论统计内容假设检验参数检验非参数检验 t 检验 F 检验 q 检验计数资料计量资料符号检验符号秩次检验秩和检验中位数检验 χ 检验相关样本独立样本

3 什么是参数估计? 当在研究中从样本获得一组数据后, 如何通过这组数据信息, 对总体特征进行估计, 也就是如何从局部结果推论总体的情况, 称为总体参数估计总体参数估计可分为点估计和区间估计两种因为一般情况下, 总体参数大都属未知, 要对它进行估计, 就要依据上章所述的样本分布理论进行推论对参数模型下的估计参数估计 ; 对非参数模型下的估计非参数估计 ( 非参数的概念, 339)

4 假设你正在研究平均一个人平均寿命报告研究结果的方法有以下两种 : 60 或者 50 到 70 之间, 请考虑它们各自的优缺点

5 一点估计的定义用样本统计量来估计总体参数样本统计量为数轴上某一点值, 估计的结果也以一个点的数值表示优点 : 提供总体参数的估计值如 : 对总体平均数 μ 的估计, 用样本均数 ; 对总体参数 σ 的估计, 常用样本方差 ; 对总体相关系数 ρ 的估计, 常用样本相关系数 r

6 ⑴ 无偏性 : 即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值, 其偏差的平均数为 0 X 是 µ 的无偏估计,S - 是 σ 的无偏估计 E(S ) (-)/ σ, S - ()/(-) S ⑵ 有效性 : 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时, 无偏估计变异小者有效性高, 变异大者有效性低, 即方差越小越好 X,M0,Md 都是 µ 的无偏估计, 但只有 X 的变异最小

7 ⑶ 一致性 : 当样本容量无限增大时, 估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数, 估计值越来越精确, 逐渐趋近于真值当 N, X µ,s - σ ⑷ 充分性 : 指一个容量为的样本统计量, 是否充分地反映了全部个数据所反映总体的信息 M0,Md 只反映了部分数据, X 反映所有样本数据 S - 比 Q 更具有充分性

8 一个好的点估计, 应能满足上述 4 个条件不足之处 : 点估计总是以误差的存在为前提, 又不能提供正确估计的概率例如我们只能大体上知道样本容量比较大时, 多数的 X 靠近 μ, 但大到什么程度, 多数靠近到什么程度, 还是不清楚区间估计可弥补这个缺点

9 区间估计的定义根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围, 它虽不具体指出总体参数等于什么, 但能指出总体的未知参数落入某一区间的概率有多大

10 ⑴ 置信区间 ( 置信间距 ) : 指在一定可靠程度上, 总体参数所在的区域距离或区域长度 ⑵ 置信界限 ( 临界值 ): 置信区间的上下两端点值 ⑶ 显著性水平 ( 意义阶段 / 信任系数 ): 指估计总体参数落在某一区间时, 可能犯错误的概率, 用符号 α 表示 ⑷ 置信度 ( 置信水平 ):- α.95 置信区间.05 显著性水平的置信区间.99 置信区间.0 显著性水平的置信区间

11 ⑴ 区间估计是根据样本分布理论, 用样本分布的标准误计算区间长度, 解释总体参数落入某置信区间可能的概率 ⑵ 区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围大小两个问题人们在解决实际问题时, 总希望估计值的范围小一点, 成功的概率大一些但在样本容量一定的情况下, 二者不可兼得妥协办法 : 在保证置信度的前提下, 尽可能提高精确度

12 统计分析中一般规定 : 正确估计的概率 ( 置信水平 ) 为.95 或.99, 那么显著性水平则为.05 或.0 这是依据.05 或.0 属于小概率事件, 而小概率事件在一次抽样中是不可能出现的原理规定的 α0.0 表示反复抽样 000 次, 则得到的 000 个区间中不包含真值的仅为 0 个左右 ⑶ 区间估计的原理是样本分布理论在计算区间估计值解释估计的正确概率时, 依据的是该样本统计量的分布规律及样本分布的标准误样本分布可提供概率解释, 而标准误的大小决定区间估计的长度一般情况下, 加大样本容量可使标准误变小

13 区间估计与标准误区间估计的置信区间统计量 - 标准误到统计量 + 标准误

14 复习 z X σ/ μ () 总体分布为正态, 总体方差 σ 已知, 样本平均数的分布为正态分布 () 总体分布非正态, 但总体方差 σ 已知, 这时当样本足够大时 (>30), 其样本平均数的分布为正态分布 (3) 总体分布为正态, 总体方差 σ 未知, 样本平均数的分布为 t 分布 (4) 总体分布非正态, 总体方差 σ 未知, 若满足 >30, 其样本平均数的分布为 t 分布 t s X / μ

15 一总体平均数估计的计算步骤 : ⒈ 利用抽样的方法抽取样本, 计算出样本的平均值 X和标准差 S ⒉ 计算样本平均数的标准误 SE X : 当总体方差已知时, 样本平均数的标准误的计算为 : σ SE X 当总体方差未知时, 样本平均数的标准误的计算为 : S SEX

16 ⒊ 确定显著性水平和置信水平 ⒋ 根据样本平均数的抽样分布确定查何种分布表, 确定理论值 ⒌ 确定置信区间 : 当理论值为 Z 时, 置信区间为 : t ⒍ 解释总体平均数的置信区间 X X Z 记为 : SE [ X Z SE, X + Z SE ] 当理论值为 t 记为 : α α SE X X α α µ µ [ X t SE, X + t SE ] α α X X X X + + t Z α α α α SE 时, 置信区间为 : SE X X X X

17 ⒈ 当总体分布为正态分布时,( 无论样本容量的大小, 从该总体抽取的样本分布均成正态分布 ) 对总体平均数的估计可以依正态分布进行估计例已知某市 6 岁正常男童体重的总体方差为 6.55 公斤, 从该市随机抽取 5 名 6 岁男童, 其平均体重为 0.4 公斤, 试求该市 6 岁男童平均体重的 95% 和 99% 的置信区间例已知某市 6 岁正常男童体重的总体方差为 6.55 公斤, 从该市随机抽取 40 名 6 岁男童, 其平均体重为 0.4 公斤, 试求该市 6 岁男童平均体重的 95% 和 99% 的置信区间

18 σ 解 : SE X % 的置信区间的显著性水平 α0.05, 因此,μ 的 95% 的置信区间为 : 即 : μ 的 99% 的置信区间为 : Z α µ µ µ 即 : 8.7 µ. 故该市 6 岁男童平均体重 μ 的 95% 的置信区间为 [9.,.69];99% 的置信区间为 [8.7,.]

19 ⒉ 当总体为非正态分布时 ( 只有当样本容量 >30 时, 此时样本抽样分布渐近正态分布这时可依正态分布进行估计, 否则不能对总体平均数进行估计 ) 例 3 已知某区 5 岁男生立定跳远的方差为 436.8cm, 现从该区抽取 58 名 5 岁男生, 测得该组男生立定跳远的平均数为 98.4cm, 试求该区 5 岁男生立定跳远平均成绩的 95% 和 99% 的置信区间

20 解 : 由题意知 : 由于样本容量 (58) 大于 30, 该样本的抽样分布为渐进正态分布 SE X σ 因此,μ 的 95% 的置信区间为 : μ 即 93.0μ03.79 μ 的 99% 的置信区间为 : μ 即 9.3μ05.5 故该区 5 岁男生立定跳远的平均成绩有 95% 的可能落入 [93.0,03.79] 内, 有 99% 的可能落入 [9.3, 05.5] 内

21 ⒈ 当总体分布为正态分布时 ( 无论样本容量的大小, 从该总体抽取的样本所形成的分布均服从自由度为 - 的 t 分布, 对总体平均数的估计可依 t 分布进行估计 ) 例 4 从某市抽取 0 名 7 岁女童, 经测量, 这 0 名女童的平均身高为 6cm, 标准差为 5cm, 试求该市 7 岁女童总平均身高的 95% 和 99% 的置信区间例 5 从某市抽取 36 名 7 岁女童, 经测量, 这 36 名女童的平均身高为 5.8cm, 标准差为 4.8cm, 试求该市 7 岁女童总平均身高的 95% 和 99% 的置信区间

22 解 : 由题意知, 其总体方差未知, 但其总体分布为正态分布, 则此样本均数的分布服从 t 分布, 可以依 t 分布对总平均身高 μ 进行估计 S 5 SE X.5; df 9 查 t值表可知 : t.093; t 0.05 ( 9) 0.0 ( 9) 因此, µ 的 95% 的置信区间为 : µ 即 3.59 µ 8.4 µ 的 99% 的置信区间为 : µ 6 + 即.7 µ

23 解 : 由题意知, 其总体方差未知, 但其总体分布为正态分布, 则此样本均数的分布服从 t 分布, 可以依 t 分布对总平均身高 μ 进行估计 S SE X 查 t值表可知 : t 因此, µ 的 95% 的置信区间为 : 即 4.5 µ 7.45 µ 的 99% 的置信区间为 : 即 3.57 µ 8.03 ( 30) 0.0 ( 30) µ µ ; df.04; t

24 ⒉ 当总体为非正态分布时 ( 只有当样本容量 >30 时, 此时样本抽样分布服从自由度为 - 的 t 分布, 这时可依 t 分布对总体平均数进行估计, 否则不能对总体平均数进行估计 ) 例 6 某校进行一次数学考试, 从中抽取 40 名考生, 经计算, 这 40 名考生的平均成绩为 8 分, 标准差为 7 分, 试求全体考生平均成绩的 95% 和 99% 的置信区间

25 解 : 由题意知, 其总体方差未知, 其总体分布也未知, 但 40>30, 因此可以依 t 分布对全体考生平均成绩 μ 进行估计 S SE X 查 t值表可知 : t 因此, µ 的 95% 的置信区间为 : 8 即 µ 84.6 µ 的 99% 的置信区间为 : µ µ 8 + 即 µ ; df.0; t ( 40) 0.0 ( 40)

26 一总体标准差的区间估计估计总体标准差的步骤与估计总体平均数的步骤大致相同但有两点需要说明 : ⒈ 从抽样分布的讨论已知,( 当总体为正态分布时 ) 样本标准差的抽样分布在 >30 时为渐近正态分布, 总体标准差可依正态分布来估计当 <30 时, 总体标准差则无法估计 ⒉ 从理论上讲, 样本标准差分布的标准差标准误可由 SE S σ 来计算, 但由于总体标准差未知, 可用总体标准差的无偏估计量 S- 作为替代来计算标准误即 S SE S

27 例 7 某区一次英语统考中, 随机抽取 40 名考生, 计算其英语成绩的标准差为 5.6, 试求该区英语统考成绩总标准差的 95% 和 99% 的置信区间解 : 由题意知, 由样本标准差估计总体标准差, 且 >30, 可依正态分布估计 S S 5.6 SES 因此, σ的 95% 的置信区间为 : σ 即 :.5 σ 9.05 σ的 99% 的置信区间为 : σ 即 :.03 σ

28 根据对抽样分布的讨论可知, 分布的特征之一是从正态分布总体中, 随机抽取容量为的样本, 其样本方差与总体方差比值的分布为分布即 : χ χ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 : 6 7 6) (7 α α α α χ σ χ χ σ χ χ σ σ σ χ S S S S S S X X 或来确定总体方差的置信区间值与样本方差, 我们可利用理论由公式

29 解 : 由于智力测验分数一般认为服从正态分布, 由该总体中抽出的样本在估计总体方差时符合 χ 分布 df χ 时, 查 χ 值表得 : χ 8.9; χ 则 σ 的 95% 的置信区间为 : χ σ 3.9 σ 的 99% 的置信区间为 : σ , χ , 即 : 43.9 σ , 即 :37.44 σ , χ

30 解 : 已知 40,S5.6,df-39, 查值表得 : χ.69 : ; : 99% 9.97 : ; 64.6 : 95% :45.73., : 99% :64.6, : 95% , 4.4; 59.3, ), 40 ( σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ χ χ χ χ χ 即的置信区间的即的置信区间的即的置信区间的即的置信区间的可得值作近似计算的以 df

31 由例 9 的结果来看, 与例 7 的结果相近但值得注意的是, 用总体方差的估计方法的一个前提条件是总体应服从正态分布, 若总体不服从正态分布, 则不适用此方法因此, 当总体为正态, 样本容量 <30 时, 用总体方差的估计方法估计总体标准差较为方便准确

32 ( ) 7 8 : F S S F S S F F F F F F F α α α σ σ α 两总体方差之比的置信区间为的倒数根据这一特性, 为, 如即中一侧的理论值为其对应另一侧的倒数, 分布分布的特性, 分布为一族分布, 根据

33 例 0 某区对该区所辖三年级小学生进行身体检查, 在检查时, 从中随机抽取了男生 50 名, 女生 40 名, 经测量,50 名男生体重的标准差为.8 公斤,40 名女生体重的标准差为.7 公斤, 试求该区三年级小学生男女体重的方差之比的 95% 和 99% 的置信区间

34 解 : 由题意和抽样分布的理论, 两样本方差之比应服从 F 分布已知可得 : S S 50, 当 α 0.05, df F F ( 40,40).05 ( 60,40) ( 49,39) 同理得 : F 40, S.7.88, F.8, S.8 S S 49, df.84; 由此得 : F F.95 39时, 查 F值表得 :.80, 求得其近似值 : ( 49,39).4,.99 ( 49,39) F.4

35 则得两方差之比的 95% 的置信区间 : σ σ , 即 : σ.964 σ 同理可得两方差之比的 99% 的置信区间 : σ σ , 即 : σ.964 σ 故该区三年级小学生男女体重的方差之比有 95% 的可能在区间 [0.6,.05] 之中, 有 99% 的可能落在区间 [0.5,.5] 之中 σ σ 在估计两总体方差之比时, 如果两方差相等, 则. 那么从这两总体抽取的两样本方差之比值大多数在上下波动, 此时就可以通过判定两总体方差的比值是否在的上下波动来判定两总体方差是否相等因此两总体方差之比的区间估计了可作为检验两总体方差是否相等的另一种方法

36 ㈠积差相关系数的抽样分布 ⒈ 当总体相关系数 ρ0 时, 样本相关系数的分布一般服从自由度为 - 的 t 分布, 随着样本容量的增大, 样本相关系数的分布渐近正态分布 ⒉ 当总体相关系数 ρ 0 时, ⑴ ρ > 0, 其分布为负偏态, ρ <0, 其分布为正偏态 ⑵ 当样本容量足够大 ( 即 500), 样本相关系数的抽样分布才渐近正态分布 ( 趋于正态很慢 )

37 ㈡积差相关系数的区间估计 ⒈ 当总体相关系数 ρ 0 时, 可依 t 分布估计总体相关系数利用下列公式求其标准误 SE r, 查 t 值表得理论值, 其置信区间为 : r ( 7 0) ⒉ 当总体相关系数 ρ 0 且 >500 时, 可依正态分布估计总体相关系数其标准误 SE r, 总体相关系数的置信区间为 : r SE r 7 r r t SE ρ r + t SE α r α r Z SEr ρ α r + Zα SE r SE r ( 9)

38 ㈡积差相关系数的区间估计 ⒊ 当总体相关系数 ρ 0 时, 且容量小于 500 时, 其样本相关系数的抽样分布极不稳定, 人们常用费舍法费舍利用下面公式将 r 转换为 Z 值, 且 Zr 的标准误为 Z r l + r r SEZ r 3 ( 7 ) Z 值渐近服从正态分布

39 + r ⒈a. 利用 FishZ 变换公式 Z r l r b. 查附表 8 把 r 转换为 Zr 值 ; ⒉ 利用公式 (7-) 计算 Zr 的标准误 ; ⒊ 在不同的显著性水平下确定 Z ρ 的置信区间 : Z r Zα SEZ Z ρ Zr + Zα e ⒋a. 用公式 r 计算 r 值 e Z Z r r SE b. 将 Z ρ 的置信上下限查附表 8, 从而得到 ρ 的置信区间注意 :Zr 与 Z α/ 意义不同 r

40 例某校给学生进行体验时, 抽取 40 名作样本, 计算得到他们的身高体重的相关系数为 0.55, 试求该学校学生身高与体重的相关系数的置信区间解 : 由题意知, 该学校学生身高, 体重的相关情况未知, 且样本容量 <500, 可用费舍 Z 函数对总体相关系数进行估计查 r Z 转换表 ( 附表 8), 当 r0.55 时,Zr0.68 计算标准误差 : SE r

41 Zρ 的 95% 的置信区间 : Z 即 : Z ρ 0.98 ρ Zρ 的 99% 的置信区间 : Z 即 : 0.08 Z ρ.08 ρ 查 r Zr 转换表 ( 附表 8) 得,ρ 的 95% 的置信区间为 : 0.3ρ0.73 ρ 的 99% 的置信区间为 :0..5ρ0.775

42 ㈠等级相关系数的抽样分布 ⒈ 当样本容量为 9 0 时, 样本相关系数的抽样分布为自由度为 - 的 t 分布 ⒉ 当 >0 时, 样本相关系数的抽样分布近似正态分布㈡等级相关系数的区间估计根据样本容量的不同选择不同的抽样分布进行估计, 其方法现与总体平均数的方法相似在计算标准误时, 两种情况的标准误计算公式均为 : r r R a SEr ρ rr + a SEr SE r ( 7 5) a tα or Zα,

43 例某市进行数学与物理统考, 从中各抽取 5 名和 60 名学生作为样本, 经计算这两个样本的等级相关系数分别为 0.4 和 0.45, 试分别求出该市数学与物理成绩的相关系数的置信区间解 : 当 5 时, 该样本相关系数的抽样分布服从自由度为 3 的 t 分布, 可依 t 分布对总体相关系数进行估计样本相关系数的标准误 : SE r 查 t 值表得 r : t ( 3 ) , t( 3)

44 因此,ρ 的 95% 的置信区间为 : ρ 即 : 0. ρ 0.96 ρ 的 99% 的置信区间为 : 即 : ρ ρ ( 因为相关系数的最大值, 超过的自动舍去 ) 当 60 时, 该样本相关系数的抽样分布服从正态分布, 可依正态分布对总体相关系数进行估计其标准误为 : SE r r

45 因此,ρ 的 95% 的置信区间为 : ρ 即 : 0. ρ 0.68 ρ 的 95% 的置信区间为 : ρ 即 : 0.5 ρ 0.75

46 当前无法显示此图像㈠比率的样本分布比率的分布为二项分布在心理与教育实验调查中, 设具有某种属性的事件出现的比率 ( 即概率 ) 为, 则除此属性之外的事件出现的概率为 q (-) 从这样的二项分布总体中每次取大小为的样本 ( 即进 x 行次重复试验 ), 每次计算实得的比率 (x 为成功的次数 ), q, 当 5 或 q 5 时, 样本比率的分布为渐近正态分布平均数 µ 标准误 SE : x 样本比率是总体比率的点估计值, 当总体 q 未知时, 可用代替, 即 q σ q

47 二项分布用成功的次数表示 : µ,σ q ( 接近正态时 ) 用比率表示, 则都除以 : µ /, σ q/ q/ 比率的标准误与二项分布的标准差意义相同, 只是使用单位不同. 当 > 5 时, 比率的置信区间可写为 q q / < u < + Z / (7 7) - Zα α. 当 5( < q) 时 ( 或甚小时 ), 此时二项分布 ( 比率分布 ) 不接近正态, 比率的置信区间估计需直接根据二项分布的统计表 ( 附表 3) P5,477

48 q q u D + σ 标准误为 : 均数为 : 的分布为正态分布时, 统计量, 当与得到的样本, 及的两总体中随机抽取样本容量为与从总体比率分别为 - ) ( 的点估计值, 此时标准误的计算要用平均比率都可作为与, 则该两样本是取自同一总体, 该两样本比率如果 ) )( (... q q q q q q q q e e e e e e D e e e e σ σ q q + 则 σ 的点估计值 : 与作为与未知, 可分别用两样本的比率与如果 P36 公式 (8-5)

49 根据样本比率差异的样本分布, 当 5, 5 时, 比率差异的置信区间可用正态分布概率计算. 若, 置信区间为. 当时, - 0, 即总体比率之差为 0, 对它的置信估计, 可理解为比率之差在多大范围内可认为是取自比率之差为 0 的总体即样本比率之差在多大范围内可认为等于 0 - 统计上讲的相等, 是指一个范围, 即某值的置信区间 q q Z + ± / ) ( α ) ( ) ( / ) )( ( q q Z ± α

50 例 7-4. 某校从初三学生中随机抽取男生 00 人, 女生 50 人, 进行身体检查 : 发育正常且无任何疾病者中男生 6 人, 女生 74 人, 问该校初三男女学生发育正常且无任何疾病者的比率差异情况怎样? 例 7-5. 已知高等学校新生中男女性别比率相等, 今随机从两类学校 ( 文科与理科 ) 中各抽取一个学校分别为 A B, 查得 A 校招收新生 905 人, 其中呢男生 446 人呢,B 校长招收新生 08 人, 其中男生为 546 人问两类学校录取的新生中男生的比率差异之真实情况如何?

<4D F736F F F696E74202D20B5DACEE5D5C220CDB3BCC6CDC6B6CFB7BDB7A8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D>

<4D F736F F F696E74202D20B5DACEE5D5C220CDB3BCC6CDC6B6CFB7BDB7A8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D> 7.3 区间估计 iterval etimate. 在点估计的基础上, 给出总体参数估计的一个区间范围, 该区间由点估计量加减估计误差而构成估计误差区间半径置信区间样本统计量点估计置信下限置信上限 06/0/8 8 . 包含总体参数的区间是一个随机区间它有两个方面的含义一是估计误差大小二是估计误差发生的可能性大小 3. 估计误差发生的可能性大小是根据点估计量的抽样分布来确定的比如,

第八章 总体参数估计

第八章总体参数估计