Microsoft PowerPoint - ch14 nonparametric(本科)

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弩康
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1 医学统计学第九次课基于秩次的统计方法假设检验知识回顾研究目的检验方法两大样本均数比较两小样本均数比较多个样本均数比较 ANOVA U-test T-test

2 参数统计与非参数统计参数统计 (parametric statistics): 样本所来自的总体分布具有某个已知的函数形式 ( 如正态分布 ), 而其中有的参数是未知的, 统计分析的目的是对这些未知的参数进行估计或检验非参数统计 (non-parametric statistics) 不考虑研究对象总体分布的具体形式, 也不对总体参数进行统计推断, 而是通过检验样本所代表的总体分布形式是否一致来得出统计结论由于这类方法不受总体参数的限制, 故称非参数统计法, 或称为不拘分布的统计方法 (distribution-free statistics) 无分布形式假定的统计分析方法 (assumption free statistics)

3 基于秩次的统计方法是非参数统计方法中的一种! 秩次的概念秩次 (rank) 就是将观察值按顺序由小到大排列, 并用序号代替变量值本身, 秩次即通常意义上的序号 contents 第一节两独立样本差别的秩和检验第二节配对设计资料的秩检验第三节完全随机设计多组差别的秩和检验第四节多组差别秩和检验的注意事项

4 第一节两独立样本差别的秩和检验 (Wilcoxon 两样本比较法 ) 观测值 X X ± σ A: ±29.41 B: ±11.7 方差齐性检验 : F F = > S ( 大 ) = S ( 小 ) F / 2,7, = = 4.99, P < 0.05 两样本方差不齐, 不能应用 t 检验

5 采用 Wilcoxon 秩和检验 (rank sum test) 一建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 样本来自两个相同总体 ( 样本的每个观察值来自两总体的概率均为 0.5) H 1 : 样本来自两个不同的总体 ( 样本的每个观察值来自两总体的概率不等 ) 二计算检验统计量基本思想 : 假定原假设 H 0 成立, 合并两样本, 将观察值由小到大排列, 编写秩次定义检验统计量 T 如公式 (14-1) 所示 : 较小例数组的秩和, n1 n2, n1 n2是两组的例数 T = min( R1, R2 ), n1 = n2, R1 R2是两组的秩次之和在 H 0 成立的条件下,T 值应接近平均秩和 n 0 (1+N)/2, 其中 N=n 1 +n 2,n 0 =min(n 1,n 2 ) 如果 T 值严重偏离平均秩和, 则提示 H 0 可能是不正确的

6 表 14-1 两独立样本秩和检验计算表 A 样本 B 样本观察值秩号观察值秩号两样本混合后统一编 17 7 秩, 求得秩号 9 12 分别计算秩和 n 1 =8 R 1 =89 n 2 =8 R 2 =47 三查附表 9 确定检验界值的区间, 得到 P 值原则 : 如果 T 位于检验界值区间内,P>α, 不拒绝 H 0 ; 如果 T 位于检验界值区间外, P α, 拒绝 H 0, 接受 H 1 ( 内大外小等 ) 本例中,T=47, 取 α=0.05, 根据附表 9 双侧检验界值区间为 (49,87),T 位于区间外, 所以 P<0.05

7 四下结论 P<0.05, 因此在 α=0.05 的水准上, 拒绝 H 0, 接受 H 1, 认为两样本不是来自同一总体 Wilcoxon 秩和检验的基本步骤 : 1. 建立检验假设, 确定检验水准 α 2. 混合编秩, 分组求秩和, 计算检验统计量 T 值. 查附表 9, 得检验界值区间, 确定 P 值 4. 作出结论

8 大样本情况下统计量的计算 : 当样本例数较大 (min(n 1,n 2 )>10 或 n 2 -n 1 >10), 可以按照公式 (14-2) 对 T 值进行 u 变换 : u = T n0 ( N + 1) / 2 (14 2) 1 n1 n2( N + 1) 12 利用标准正态分布对假设做出检验混合编秩的注意事项 : 1. 如果有相同的数值, 出现同秩 (ties) 时 :1 相同数据在同一组, 仍按顺序编秩 ;2 相同数据在不同组, 取其平均秩次例 1:A R A B R B 例 2:A R A B R B

9 混合编秩的注意事项 : 2. 样本较小时, 如果同秩较多, 检验结果会存在偏性, 应提高测量精度, 避免出现较多的同秩. 大样本时, 要对公式 (14-2) 进行适当的校正, 以减小同秩带来的偏性大样本同秩情况下对式 (14-2) 的校正 : 当两样本相同秩次较多 ( 超过总样本数的 25%) 时, 通过式 (14-) 的 c 进行校正,u 经校正后略增大,P 值相应减小 u c c = = u / c 1 i N ( t i t N i ) (14 其中,t i 是有相同秩号的数据个数如果数据中没有相同的数值,t i 全为 1, c=1, 否则 c<1 )

10 例 14-1 分别用 5% 咪喹莫特软膏和氟尿嘧啶软膏治疗尖锐湿疣的随机双盲临床研究的疗效观察结果见表 14-2 第 (1) (2) 列, 试比较两种药物治疗尖锐湿疣的疗效表 14-2 两种药物治疗尖锐湿疣疗效的秩和检验疗效 5% 咪喹氟尿合计 (t i ) 秩号范围平均秩次秩和莫特嘧啶 5% 咪喹氟尿莫特嘧啶 (1) 定性 (2) ()=(1)+(2) (4) (5) (6)=(1)(5) (7)=(2)(5) 治愈有 ~ 显效序 ~ 变好转量 ~ 无效 ~ 合计单向有序列联表资料, 用 χ 2 检验比较疗效将损失信息, 应采用秩和检验, 考虑等级之间的强弱关系

11 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 两组疗效相同 H 1 : 两组疗效不同 α= 混合编秩, 求各组秩和表 14-2 两种药物治疗尖锐湿疣疗效的秩和检验疗效 5% 咪喹氟尿合计 (t i ) 秩号范围平均秩次秩和莫特嘧啶 % 咪喹氟尿疗效合并混合编秩 2 莫特嘧啶 (1) (2) ()=(1)+(2) (4) (5) (6)=(1)(5) (7)=(2)(5) 治愈 ~ 显效序 ~ 求 1896 变好转 ~ 和有量无效 ~ 合计 R 1 R 2

12 . 计算检验统计量, 确定 P 值由于本例样本量较大且存在同秩, 故采用校正后的统计量 u c 1 根据公式 (14-1) 得到检验统计量 T: n 1 =1>n 2 =129 T= 例数较小组对应的秩和 =R 2 = 根据公式 (14-2) 计算 u: T n0 ( N + 1) / 2 u = 1 n1 n2( N + 1) ( ) / 2 = ( ) =

13 根据式 (14-) 计算 c: c = 1 N (228 = 1 = i ( t i t N i ) 228 ) + (17 17 ) + ( ) + (7 7) u c = u / c P > 0.05 = / < 根据 P 值, 下结论按 α=0.05 的检验水准, 不拒绝 H 0, 尚不能认为两种药物治疗尖锐湿疣的疗效有差异

14 注意 : Wilcoxon 秩和检验与一般文献中使用的 Mann-Whitney 的 U 检验是独立提出的, 但是两者的检验结果完全等价 ; 前者用 T 统计量, 后者用 U 统计量可任意选取 U 统计量的简单求法 : 把第一个样本的 n 1 (n 1 <n 2 ) 个观测值与第二个样本的 n 2 个观测值逐个比较, 小于记为 1, 相等记为 0.5, 大于记为 0, 求其和即为检验统计量 U 值

15 第二节配对设计资料的秩检验 ( Wilcoxon signed rank test) 符号秩和检验由 Wilcoxon 于 1945 年提出, 作为配对 t 检验的替代方法检验配对资料的差值是否来自中位数为 0 的总体在数据满足配对 t 检验的要求时, 符号秩和检验的功效是配对 t 检验效能的 95% 左右

16 符号秩和检验的基本思想 : 在 H 0 成立的条件下 ( 两处理效应相同 ), 两配对样本的差数的正负是随机的, 则正差数的秩和与负差数的秩和应该相差不会太大 ; 反之, 若两秩和相差太悬殊, 则认为 H 0 的正确性受到怀疑, 从而拒绝 H 0 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 两处理效应相同 H 1 : 两处理效应不相同 α=0.05

17 2. 求两组数据的差数 d, 对差数的绝对值编秩号 1 差数为 0 的数据忽略不计 2 余下的 n 个差数按绝对值由小到大排秩号, 但排好后秩号要保持原差数的正负号差数绝对值相等时, 要以平均秩号表示. 分别求正负差数的秩和验算 :R + + R - = n ( n + 1 ) / 2 4. 计算检验统计量 R,R 取较小的一个秩和 1 小样本时 (n 25,n 为 d 0 的对子数 ), 通过查附表 10 得到 P 值, 原则是 : R > R 0.05 => P > 0.05 同 R 0.05 R > R 0.01 => 0.05 P > 0.01 向 R R 0.01 => P 0.01 性

18 2 大样本时 (n>25 ), 通过公式 (14-5) 进行转化, 采用正态近似法检验 : n( n+ 1)/ 4 R u = (14 5) n( n+ 1)(2n + 1)/ 24 当存在同秩时, 采用公式 (14-6) 对 u 加以校正 : n( n+ 1)/4 R u = (14 6) n( n+ 1)(2n + 1)/24 ( t i t )/48 其中,t i 是相同秩号的个数 i 例 14-2 采用配对设计, 用某种放射线的 A B 两种方式分别局部照射家兔的两个部位, 观察放射性急性皮肤损伤程度, 见表 14- 试用符号秩和检验比较 A B 两种方法的损伤程度是否不同

19 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 :A B 两种照射方式造成的急性皮肤损伤程度相同 H 1 : A B 两种照射方式造成的急性皮肤损伤程度不相同 α=0.05 表 14- 家兔皮肤损伤程度及其秩号家兔号皮肤损伤程度 ( 评分 ) 秩号 A 照射 B 照射差数正负 (1) (2) () (4)=()-(2) (5) (6) 对差数分 1 的绝对别值编秩记录合计 68 R=10

20 2. 求差数, 编秩号, 求秩和. 得检验统计量 R=10, 对子数 n=12 查附表 10 得 R 0.05 =14, R 0.01 = 7, R 0.05 > R > R 0.01, 所以 0.05 > P > 下结论在 α=0.05 水准上拒绝 H 0, 接受 H 1, 认为 A B 两种照射方式造成的急性皮肤损伤程度不同,B 照射的损伤程度比 A 照射严重正态近似法检验 : 同秩校正后 u = = n( n+ 1)/ 4 R n( n+ 1)(2n + 1)/ 24 12(12+ 1)/ 4 10 = (12+ 1)( )/ 24 u = n( n+ 1)/4 R n( n+ 1)(2n + 1)/24 ( t i t )/48 12(12+ 1)/4 10 = 12(12+ 1)( )/24 ( + = > P > > P > 0.01 i )/48

21 例 14- 补 2 用乙胺化学法与其相色谱法测定车间空气中 CS 2 的含量 (mg/m ), 结果如表 14- 补 2 所示, 问两法所得结果有无差别? 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 两法所得结果没有差别 H 1 : 两法所得结果有差别 α = 0.05 表 14- 补 2 两法测定车间空气中 CS 2 含量 (mg/m ) 样本号空气中 CS 2 的含量 (mg/m) 秩号化学法色谱法差数正负 (1) (2) () (4)=()-(2) (5) (6) 忽略不计对差数 7.5 分的绝对别值编秩记录合计 R=

22 2. 求差数, 编秩号, 求秩和. 得检验统计量 R=10.5, 差数非零的对子数 n=9 查附表 10 得 R 0.05 =6, R 0.01 =2, R > R 0.05, 所以 P > 下结论在 α=0.05 水准上尚不能拒绝 H 0, 即根据测量到的资料, 尚不能认为化学法和色谱法测得 CS 2 含量不同第三节完全随机设计多组差别的秩和检验 ( Kruskal-Wallis 检验 )

23 Kruskal-Wallis 检验的基本思想 : 如果各组均来自同一总体, 则各组的平均秩和近似相等基本步骤 : 1. 建立检验假设, 确定检验水准 2. 混合编秩, 分组求秩和 R i, i=1 k,k 是处理的个数. 计算检验统计量 H 4. 确定 P 值, 作出推断结论

24 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : k 个处理效应相同 H 1 : k 个处理效应不全相同 α= 混合编秩, 分组求秩和 R i, i=1 k,k 是处理的个数将各组数据混合, 由小到大编秩遇有原始数据相同时, 取其平均秩次再将各组秩号分别相加, 求出各组的秩和 R i

25 . 计算检验统计量 H 检验统计量值 H 按式 (14-7) 计算 : 2 12 Ri H = ( N + 1) (14 7) N( N + 1) n i 式中,R i 为各组的秩和,n i 为各组样本的含量,N 为总的样本量当各组相同秩次较多时, 要对 H 进行校正 : H c = H C = 1 c ( t j t j ) ( N N) (14 )

26 4. 确定 P 值, 作出推断结论 1 小样本情况 : 当处理数 k, 且各组样本含量 n i 5 时, 可查附表 11 (H 界值表 ) 确定 P 值如果 H > H α, 则 P < α; 反之, P > α 2 大样本情况 : 若 k > 或 n i > 5 时, 理论上,H 近似服从自由度为 k-1 的 χ 2 分布, 可查附表 8(χ 2 界值表 ) 确定 P 值最后按 P 值作出推断结论例 14- 为了研究精氨酸对小鼠截肢后淋巴细胞转化功能的影响, 将 21 只昆明种小鼠随机等分成组 : 对照组 A 截肢组 B 截肢后用精氨酸治疗组 C 实验观测脾淋巴细胞对 HPA 刺激的增殖反应, 测量指标是 H 吸收量, 数据如表 14-4 所示

27 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 三组疗效相同 H 1 : 三组疗效不全相同 α= 0.05 表 14-4 脾淋巴细胞对 HPA 刺激的增殖反应 ( 测量指标 H 吸收量 cpm) A 组 B 组 C 组 H 吸收量秩号 H 吸收量秩号 H 吸收量秩号秩和 R i 平均秩和 R i =119/ 例数 n i 7 7 7

28 2. 混合编秩, 分组求秩和 R i. 计算检验统计量 H 本例不存在同秩, 根据公式 (14-7) 得 : 2 12 Ri H = ( N + 1) N( N + 1) n = 21(21 1) + 7 = i (21+ 1) 4. 确定 P 值, 作出推断结论本例处理数 k=, 各组样本含量均为 7, 超出了附表 11(H 界值表 ) 的范围因此, 查附表 8(χ 2 界值表 ) 确定 P 值由表得, 自由度为 2 时, χ 2 2,0.05 =5.99<H=9.848, 有 P<0.05 结论 : 在 α= 0.05 的水准上, 拒绝 H 0, 接受 H 1 认为组小鼠脾淋巴细胞对 HPA 刺激的增殖反应不全相同

29 完全随机设计多组差别的两两比较 : 方法 : 使用 Wilcoxon(Mann- Whitney) 秩和检验对任意两个处理组逐一进行比较分析注意 : 每次两处理间的检验水准 α 要进行适当的调整 : α = α/k,k 为比较的次数以例 14- 为例,Kruskal-Wallis 检验的结果是 : 在 α=0.05 的水准上, 拒绝 H 0, 接受 H 1 认为组小鼠脾淋巴细胞对 HPA 刺激的增殖反应不全相同现要求对 A C 间,B C 间进行比较, 则比较的次数 :k=2, 每次两组间比较的检验水准 :α = α/k=0.05/2=0.025 结果列于表 14-5 中

30 表 14-5 组间逐一比较结果对比组 Wilcoxon T Mann-Whitney U u P 值 A 组与 C 组比较 (<0.025) B 组与 C 组比较 (>0.025) 由此, 可得总的结论 : 在 α=0.05 的水准上, 可认为 C 组与 A 组的差异有统计学意义, 而 C 组与 B 组的差异无统计学意义第四节多组差别秩和检验的注意事项

31 一检验结论的正确理解 : Wilcoxon(Mann-Whitney) 法和 Kruskal-Wallis 法本质相同, 即检验各组的平均秩是否相等如果经检验得各组的平均秩不相等, 则可以推论数据的分布不同, 进一步可推论各分布间分布位置发生了平移 ; 反之, 如果各组平均秩相等, 不能说明数据的分布相同, 只是基于目前的样本尚不能认为得出分布不同的结论而已二同秩校正公式的替代方法 : Wilcoxon(Mann-Whitney) 法和 Kruskal-Wallis 检验统计量的同秩校正公式计算比较复杂, 可以借助方差分析中离差平方和分解的思想计算检验统计量, 所得检验统计量与用校正公式计算的相等

32 表 14-6 秩离差平方和的分解 ( 续例 14-) A 组秩号 B 组秩号 C 组秩号秩和 R i R 2 i 计算 : C = ( R = = 21, SS = SS 总组间 = R) 总 R SS H = SS 2 2 R n / υ / N = 2541, C = = i i 组间总 119 C = R = = = /(21 1) = 两组比较时, H 服从标准正态分布, 即 u = H

33 Chapter Summary 非参数统计的优点 : 1 适用范围广, 不论样本来自的总体分布形式如何, 都可适用 ; 2 某些非参数检验方法计算简便, 研究者在急需获得初步统计结果时可采用 ; 易于理解和掌握 ; 4 可用于不便精确测量的资料或等级资料

34 非参数统计的缺点 : 1 对符合用参数检验的资料, 如用非参数检验, 会丢失信息, 导致检验效率下降, 犯第 Ⅱ 类错误的可能性比参数检验大 2 虽然许多非参数检验计算简便, 但有些问题的计算仍显繁冗参数检验与非参数检验比较 1. 特点参数检验用随机变量的观察值作分析对总体参数作估计对总体参数作检验资料满足参数检验要求时, 首选参数检验非参数检验用反映观察值大小的秩次作分析不对总体参数作估计对总体分布作检验资料满足参数检验要求而用非参数检验时,β

35 2. 检验方法资料类型参数检验非参数检验两独立样本 t 检验 Wilcoxon 秩和检验两配对样本配对 t 检验符号秩和检验多样本方差分析 Kruskal-Wallis 秩和检验秩和检验分析思路配对 :Wilcoxon signed rank test R 查表法 (n 25)(P 值同向性 ) 两组 u (n>25) 计独立 :Wilcoxon rank-sum test T 查表法 ( P 值区间性 ) 量 (n 0 10 且 n i -n 0 10) 资 u u c 料 (n 0 >10 或 n i -n 0 >10) 多组完全随机 :Kruskal-Wallis test H ( P 值反向性 ) (k 且 n i 5 查 H 界值表 ) (n i >5 或 k> 查 χ 2 界值表 ) 等级资料两组 : Wilcoxon rank-sum test 多组 : Kruskal-Wallis test 两个不服从二元正态分布的变量之间相关性的衡量采用 Spearman 秩相关系数 r s, 需进行检验

36 作业 P227 三 -1 2 谢谢大家! 谢谢

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