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陵滇靳
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1 第九章秩和检验

2 计量资料计数资料参数统计非参数统计 t 检验 F 检验 u 检验秩和检验

3 参数统计 (parametric statistics ) 前面学习的统计方法如 t 检验和方差分析, 都有一定的适用条件, 即要求样本来自正态总体, 并且方差齐性 (Homogeneity of Variance); 并对总体分布的参数 ( 如总体均数 ) 进行估计和检验 f ( x) 1 e 2 ( X ) 正态分布有几个参数?

4 ( x ) f ( x) e, x 2 2 σ 1 σ 2 μ 1 μ 2

5 隐含假设是方差相等 ( 齐性 )

6 参数检验的特点分析目的 : 对总体参数 (μ 或 π) 进行估计或检验分布 : 要求总体分布已知, 如 : 连续性资料正态分布计数资料二项分布 Poisson 分布等统计量 : 有明确的理论依据 (t 分布 u 分布 ) 有严格的适用条件, 如 : 正态分布 Normal distribution 总体方差齐 Equal Variance 数据间相互独立 Independent 条件不满足时采用非参数统计的方法

7 非参数统计 (nonparametric statistics ) 又称秩转换的非参数检验或秩和检验 (Rank sum test) 对总体分布不做严格假定, 也不对总体参数进行统计推断, 而是直接对总体分布的位置进行假设检验由于这类方法不受总体参数的限制, 故称非参数检验, 又称任意分布检验 (distribution-free test)

Frank Wilcoxon, (1892-1965) Frank Wilcoxon, 是英国生物化学家统计学家 Wilcoxon 利用统计学方法研究植物病理学一生共发表论文 70

8 Frank Wilcoxon, ( ) Frank Wilcoxon, 是英国生物化学家统计学家 Wilcoxon 利用统计学方法研究植物病理学一生共发表论文 70 余篇他首次引入了两样本非参数检验方法两个著名的非参数方法 :Wilcoxon signed -rank test Wilcoxon rank-sum test 就是以他的名字命名的

9 非参数检验适用范围实际工作中, 非参数统计方法可以发挥作用的情形有 : 1 总体分布形式未知或分布类型不明 ; 尤其是对于分布不知是否正态的小样本资料 2 分布呈非正态而又无适当数据转换方法的偏态分布的资料 ( 非正态分布的资料 ): 3 等级资料 : 不能精确测定, 只能以严重程度优劣等级次序先后等表示单向有序行列表资料 4 不满足参数检验条件的资料 : 各组方差明显不齐 5 数据一端或两端是不确定数值 ( 必选 ), 如 >50kg 等

10 非参数统计的主要优点 1 由于没有条件限制, 适用范围广它可适用于有序分类资料偏态分布资料变异较大或方差不齐的资料分布型不明的资料及有特大特小值或数据的某一端有不确定数值的资料 2 搜集资料方便由于非参数统计在搜集资料时可用等级或符号来评定观察结果, 因而搜集资料十分方便, 更符合实际情况 3 具有较好的稳健性参数检验是建立在严格的假定条件的基础上, 一旦不符合假定条件, 其推断的正确性将受到质疑非参数检验则是带有最弱的假定, 所受条件限制很少, 稳健性好

11 非参数统计的主要优点非参数检验比较的常常是中位数, 而中位数具有较好的耐极端值的作用将变量值从小到大或从弱到强转换成秩后再计算检验统计量, 从而推断一个总体表达分布位置的中位数 M 和已知 M 0 两个或多个总体的分布是否不同特点 : 对总体分布的形状差别不敏感, 只对总体分布的位置差别敏感

12 非参数统计的主要缺点对适宜用参数方法的资料, 若采用非参数处理, 因没有充分利用资料提供信息, 而使检验效率降低, 会增加 Ⅱ 类错误 ( 假阴性 ) 的概率反之, 如果不符合参数检验的条件, 非参数检验有极高的检验效率 β α

13 非参数统计的基本思想非参数检验是一种与总体分布无关的统计方法, 它不比较参数, 而是通过比较分布的位置来完成统计检验基本思想是基于秩次 ( 通过编秩, 用秩次代替原始数据信息来进行检验 ) 即检验各组的平均秩是否相等如果经检验得各组的平均秩不相等, 则可以推论数据的分布不同, 进一步可推论各分布间分布位置发生了平移

14 秩次和秩和非参数检验的方法很多, 秩和检验是较常用的, 检验效率较高的一种其基本原理是编秩求和秩次 (rank): 将数值变量值从小到大, 或等级变量值从弱到强所排列的序号秩和 : 用秩次号代替原始数据后, 所得某些秩次号之和, 即按某种顺序排列的序号之和, 称为秩和

15 秩次和秩和例 1 设有以下两组数据 : A 组 B 组两组各有 5 个变量值现在依从小到大的顺序将它们排列起来, 并标明秩次, 结果如下 : A 组秩次 B 组秩次

16 平均秩次 = 平均秩次 = A 组 :- ± B 组 : 秩次

17 TA TB T 总 N N( N 1) 2 T 总 = 12 (12+1)/2 = 78 = T A + T B 备注 : 将等级变成秩次的方法称为秩变换 (rank transformation) 秩次反映等级的高低 ; 秩和反映各组秩次的分布位置秩和检验就是通过秩次的排列求出秩和, 从而对总体的分布进行假设检验的方法至于秩次排列的顺序, 从小到大和从大到小的检验结果是相同的

19 第九章秩和检验第一节配对设计资料的符号秩和检验第二节完全随机设计两样本比较的秩和检验第三节完全随机设计多个样本比较的秩和检验第四节随机区组设计资料的秩和检验第五节多个样本两两比较的秩和检验第六节例题和 SPSS 电脑实验

20 第一节配对设计资料的符号秩和检验 (Wilcoxon signed-rank test) 一基本思想二检验步骤

21 一基本思想符号秩和检验 : 是由 Wilcoxon 于 1945 年提出, 又称 Wilcoxon 符号秩检验常用于检验差值的总体中位数是否等于零配对资料有 : 同对的两个受试对象分别接受不同处理同一样品用两种不同方法测试同一受试对象处理前后的比较或不同部位测定值比较

22 例 9-1 某医院检验科试用新旧两种方法检测谷丙转氨酶, 新法的检测时间缩短了 10 分钟用两种方法检测同一份血清, 结果见表 9-1 问两法测得结果有无差别? 表 9-1 两法检测血清中的谷丙转氨酶 [nmol/(s L)] 样本号旧法新法差值正差值秩次负差值秩次 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷=⑵-⑶ ⑸ ⑹ T + =18.5 T - =36.5

23 分析步骤 : 1. 建立检验假设, 确定检验水准 H 0 : 两法检测结果相同, 即差值总体中位数等于零,M d =0 H 1 : 两法检测结果不同, 即差值的总体中位数 M d 0 α= 选择检验方法计算统计量 ⑴ 编秩 : ⑵ 求秩和 : 本例按双侧检验,T=T + = 确定 P 值做出推论查附表 7 T 界值表 ( 配对比较的符号秩和检验用 ), 若检验统计量 T 值在 T α 界值范围内, 其 P> α; 若 T 值在 T α 上下界值范围外, 则 P<α

24 正态近似法 n>25 时,T 分布近似正态分布可用正态近似法作 u 检验 :

25 相同秩次较多时的校正值注意 : 仍为非参数检验

26 ? 配对符号秩检验基本思想

27 表 n=5 时秩和 T 的分布 T( 秩和 )(1) 秩和组成情况 (2) f(3) 概率 (4) 合计

28 配对符号秩检验基本思想 H 0 为真时,T 服从对称分布, 大多数情况下,T 在对称点 n(n+1)/4 附近 H 0 为非真时,T 呈偏态分布, 大多数的情况下,T 远离对称点为 n(n+1)/4

29 符号秩检验的基本思想可以证明 : 当 H 0 (M d =0) 成立时, 任一配对的差值出现正号与负号的机会均等, 因此, 秩和 T + 与 T - 的理论数 ( 期望值 ) 也应相等, 由 T + 与 T - 之和为 n(n+1)/2 可知,T + 与 T - 的理论数为 n(n+1)/4, 当 n 很大时,T 近似服从均数 T 为 n(n+1)/4, 方差为 n(n+1)(2n+1)/2 4 的正态分布 H 0 不成立时, 统计量 T 呈偏态分布, 并且在大多数情况下 T 远离 n (n+1)/4 因此, 在 H 0 成立的情况下 T 远离 n(n+1)/4 为小概率事件, 可认为在一次抽样中是不会发生的, 故当出现这种情况时推断拒绝 H 0

30 配对资料的编秩规则按照配对设计, 先求出对子之间的差值按其差值的绝对值, 从小到大进行排序, 其序号即秩次, 并在秩次之前保持原差值的正负号不变编秩遇到差值为零时则舍去不编秩对绝对值相等的差值若符号不同取平均值, 并在秩次之前保持原差值的正负号

31 第二节完全随机设计两样本比较的秩和检验一基本思想二检验步骤

32 一基本思想进行完全随机设计的两组数值变量资料和两组有序分类变量资料的比较时, 若两个样本总体不能满足正态性和方差齐性的要求, 可采用 Wilcoxon Mann-Whitney test 进行两样本比较的秩和检验目的是比较两样本分别代表的总体分布是否相同如果 H 0 成立,n 1 与 n 2 确定后, 则 n 1 样本的秩和 T 与其平均秩和 n 1(n+1)/2 不应该相差很大 ; 如相差悬殊, 超出所列界值范围, 就怀疑 H 0, 接受 H 1 提示两总体分布位置不同

33 假设检验的要点 : 1. 混合编秩数据相等时取平均秩 2. 分别求两组的秩和 3. 以样本量较小组样本量较小组的秩和为 T 4. 查成组设计的 T 界值表确定 P 值

34 如果 n 1 >10 或 n 2 >20 则可用正态近似法 : 当相同秩次较多时用校正公式 : t i 为第 i 个相同秩次的个数

35 二检验步骤 ( 一 ) 两组数值变量资料的秩和检验 ( 二 ) 两组有序分类变量资料的秩和检验

36 例 9-2 测得铅作业与非铅作业工人的血铅值 (μmol/l) 见表 9-2, 问两组工人的血铅值有无差别? 铅作业组表 9-2 两组工人的血铅 (μmol/l) 非铅作业组血铅值秩次血铅值秩次 n1=7 秩和 =93.5 n2=10 秩和 =59.5

37 二检验步骤 1. 建立假设确定检验水准 H 0 : 两组工人血铅值的总体分布相同 ; H 1 : 两组工人血铅值的总体分布不同 α= 选择检验方法计算统计量 ⑴ 编秩 : ⑵ 求 T 值 : 分别求两组秩和本例 :n 1 =7,n 2 =10,T= 确定 P 值做出推论由 n 1 n 2 -n 1 查附表 8, 若 T 值在 T 界值范围内, 则 P>α; 若 T 值在界值范围外或等于界值, 则 P α

38 例 9-3 某医院用复方石苇冲剂治疗老年慢性支气管炎患者 216 例, 疗效见表 9-3, 问该药对两型支气管炎治疗效果是否相同? 表 9-3 复方石苇冲剂治疗两型老年慢性支气管炎疗效的比较疗效人数合计秩次范围平均秩次秩和 ⑴ 单纯型喘息型 ⑷ ⑸ ⑹ 单纯型喘息型 ⑵ ⑶ ⑺=⑵⑹ ⑻=⑶⑹ 控制 ~ 显效 ~ 好转 ~ 无效 ~ 合计

1. 建立检验假设 : H 0 : 两型支气管炎疗效分布相同 ; H 1 : 两型支气管炎疗效分布不同 α=0.05 2. 计算检验统计量 ⑴ 编秩 ⑵⑵ 求秩和 ⑶ 计算 u 值 c (82 82)( 78 78)( 30 3 3 1 3 216 u c = 3.628 0.8938 =3.

39 1. 建立检验假设 : H 0 : 两型支气管炎疗效分布相同 ; H 1 : 两型支气管炎疗效分布不同 α= 计算检验统计量 ⑴ 编秩 ⑵⑵ 求秩和 ⑶ 计算 u 值 c (82 82)( 78 78)( u c = = )( ) 确定 P 值做出推论 u c =3.837>2.58, 故 P<0.01, 按水准拒绝 H 0, 接受 H 1, 差异有统计学意义, 提示复方石苇冲剂治疗两型支气管炎的疗效不同, 对单纯型疗效较好 ( 疗效由好到差排序, 其平均秩和较小 )

40 第三节完全随机设计多个样本比较的秩和检验 (Kruskal-Wallis 法 ) H 检验一多组有序分类变量资料的秩和检验二多组数值变量资料的秩和检验

41 基本思想进行完全随机设计的多个数值变量资料的检验时, 若它们的总体不能满足正态性和方差齐性的要求, 可采用 Kruskal-Wallis 秩和检验, 也称 K-W 检验或 H 检验还可用于多组有序分类变量资料的比较其目的是比较多个样本分别代表的总体分布位置是否相同此时卡方检验只能检验出各组间内部的构成比不同, 而不能比较各组间的优劣关系

42 H 值的计算 t j 为第 j 个相同秩次的个数

43 例 9-4 某医院用 3 种复方制剂治疗慢性胃炎, 数据见表 9-4, 试比较其疗效表种复方制剂治疗慢性胃炎疗效比较例数合计秩次范围平均秩次秩和 (Ri) 疗效复方 Ⅰ 复方 Ⅱ 复方 Ⅲ ⑷ ⑸ ⑹ 复方 Ⅰ 复方 Ⅱ 复方 Ⅲ ⑴ ⑵ ⑶ ⑺=⑴⑹ ⑻=⑵⑹ ⑼=⑶⑹ 痊愈 ~ 显效 ~ 有效 ~ 无效 ~ 合计

44 1. 建立假设确定检验水准检验步骤 H 0 : 三种复方制剂疗效的总体分布位置相同 H 1 : 三种复方制剂疗效的总体分布位置不同或不全相同 α= 选择检验方法计算统计量 ⑴ 编秩 : 同例 9-3 ⑵ 求秩和 (R i ) 和统计量 H 值 : 2 12 Ri H 3( n 1) n( n 1) n i (53 53) ( ) ( ) ( ) c H c H c

45 4. 确定 P 值, 作出推断结论 ⑴ 小样本情况 : 当组数 k 3, 且 n i 5 时, 可查 H 界值表, 确定 P 值如果 H > H, 则 P < ; 反之,P > ⑵ 大样本情况 : 若 k>3 或 n i >5 时, 理论上,H 近似服从自由度为 k-1 的 χ 2 分布, 可查 χ 2 界值表确定 P 值本例需查 χ2 界值表 ( 附表 6) 得 χ ,2=5.99,P<0.05, 按 α=0.05 水准, 拒绝 H 0, 接受 H 1, 差异有统计学意义, 提示 3 种复方制剂治疗慢性胃炎疗效不同或不全相同

46 二多组数值变量资料的秩和检验例 9-5 检测不同程度再生障碍性贫血患者血清中可溶性 CD 8 抗原水平 (U/ml) 见表 9-5⑴ ⑶ ⑸ 列, 不同程度再生障碍性贫血患者血清中可溶性 CD 8 抗原水平有无差别? 表 9-5 不同程度血清中可溶性 CD8 抗原水平 (U/ml) 正常组秩次轻度组秩次重度组秩次 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ R i n i R i

47 检验步骤 1. 建立假设确定检验水准 H 0 :3 组血清中可溶性 CD8 抗原水平总体分布位置相同 H 1 :3 组血清中可溶性 CD8 抗原水平总体分布位置不同或不全相同 = 选择检验方法计算统计量 ⑴ 编秩 : 将 3 组检测值分别由小到大排序, 统一编秩 ⑵ 求秩和 : 各组平均秩和 =R i /n i, 计算 H 值 ) H ( 确定 P 值做出推论本例 k 3, 最小样本例数 >5,ν=k-1=2, 查 χ 2 界值表得 χ ,2=5.99,P<0.05, 拒绝 H 0, 接受 H 1, 差异有统计学意义, 提示 3 组血清中可溶性 CD8 抗原水平不同或不全相同

48 第四节随机区组设计资料的秩和检验随机区组设计 (randomized block design) 亦称配伍组设计, 实际上是应用分层 (stratification) 的思想, 事先将全部受试对象按某些特征分为若干个区组 (block), 使每个区组内研究对象的特征尽可能相近同一样本给予不同处理的比较亦属随机区组设计由于区组内的个体特征比较一致, 减少了个体间差异对研究结果的影响, 一般而言, 较成组设计在相同的样本量条件下检验效能更高随机区组设计资料的秩和检验又称为 Friedman M 检验 (Friedm an s M test)

49 第四节随机区组设计资料的秩和检验一基本思想二检验步骤

50 一基本思想各区组内的观察值按从小到大的顺序进行编秩 ; 如果各处理的效应相同, 各区组内秩次 1,2,,k 应以相等的概率出现在各处理 ( 列 ) 中, 各处理组的秩和应该大致相等, 不太可能出现较大差别如果按上述方法所得各处理样本秩和 R 1,R 2,,R k 相差很大, 就有理由怀疑各处理组的总体分布是否相同

51 原始数据区组 Friedman M 检验法 : 处理组 1 2 k 1 n 11 (3) n 12 (1) n 1k (2) 2 n 21 (2) n 22 (4) n 2k (3) 秩次区组间分别进行编秩 b n b1 (1) n b2 (2) n bk (4) T i T 1 T 2 T k 计算各组秩和

52 查表法 : 统计量 M 的计算 : M ( T T ) i 2 T i b k ( k 1) / 4 以配伍组数 b 和处理组数 k 查 M 界值表, 确定 P 值

53 χ 2 分布近似法 : 12 2 T 2 b k i bk( k 1) 3 ( 1) 校正公式 : 2 C j j C 1 ( t t ) / bk( k 1)

54 例只小鼠按不同窝别分为 8 个区组, 再把每个区组中的小鼠随机分配到 3 种不同的饲料组, 喂养一定时间后, 测得小鼠肝中铁含量 (μg/g), 结果见表 9-6, 问不同饲料的小鼠肝中铁含量是否有差别? 区组表 9-6 不同饲料组小鼠肝中铁含量 (μg/g) 饲料 A B C (2) 0.96(1) 2.07(3) (1) 1.23(2) 3.72(3) (1) 1.54(2) 4.50(3) (1) 1.96(2) 4.90(3) (1) 2.94(2) 6.00(3) (1) 3.68(2) 6.84(3) (1) 5.59(2) 8.23(3) (1) 6.96(2) 10.33(3) R i

55 检验步骤 1. 建立假设确定检验水准 H 0 :3 种饲料喂养的小鼠肝中铁含量总体分布相同 H 1 :3 种不同饲料喂养的小鼠肝中铁含量总体分布不同或不全相同 2. 选择检验方法计算统计量将各区组内数据由小到大编秩, 见括号内数字, 遇相同数值取平均秩次, 再求各处理组秩和 R i M ( ) 3 ( 8 3 1) ( 3 3 1) 3. 确定 P 值做出推论本例 :b=8,k=3, 查 M 界值表, 得 M 0.05 =5. 99,P<0.05, 按水准, 拒绝 H 0, 接受 H 1, 差异有统计学意义, 提示 3 种不同饲料的小鼠肝中铁含量不同或不全相同

56 第五节多个样本两两比较的秩和检验方法有 : 1 扩展的 t 检验 2 Nemenyi 法检验 3 q 检验几种方法理论上仍存在争议, 故 SAS SPSS 等软件没有提供这方面的分析

57 1. 多个处理组间两两比较 C k 2 1 k! 1 2!( k 2)! 2. 各处理组与同一个对照组的比较 2 k 1

58 第五节多个样本两两比较的秩和检验一完全随机设计多个样本两两比较二随机区组设计资料的两两比较

59 SPSS 的应用 : 配对设计的符号秩检验 : analyze nonparametric tests 2 related samples test pair list: 治疗前 - 治疗后 ok test type:wilcoxon

60 SPSS 的应用 : 完全随机设计的两样本比较的秩和检验 : analyze nonparametric tests 2 independent-samples ok test variable list: 分析变量 grouping variable: 分组变量 define groups: 分组变量的值 test type:mann-whitney U

61 SPSS 的应用 : 成组设计多样本比较的秩和检验 : analyze nonparametric tests k independent-samples ok test variable list: 分析变量 grouping variable: 分组变量 define groups: 分组变量的值 test type:kruskal Wallis H

62 SPSS 的应用 : 配伍组设计的秩和检验 : analyze nonparametric tests k related samples test variables: 变量 1 变量 2 变量 3 ok test type:friedman

63 目的要求 1. 掌握非参数检验的概念非参数检验与参数检验的区别 2. 了解秩和检验的基本思想和和适用条件 3. 掌握配对设计差值的 Wilcoxon 符号秩和检验 4. 成组设计两样本比较的 Wilcoxon 秩和检验 5. 成组设计多个样本比较的 Kruskal-Wallis H 秩和检验 6. 了解多个样本两两比较的 Nemenyi 法检验 7. 了解随机区组设计多个样本比较的 Friedman M 检验 8. 掌握 SPSS 软件 Nonparametric Tests 菜单中样本率与总体率比较的二项分布检验 9. 掌握配对设计非参数检验 ; 成组设计两样本比较得秩和检验 ; 成组设计多个样本比较得秩和检验 ; 随机区组设计资料的非参数检验在 SPSS 统计软件中的实现和结果解释 10. 熟悉 SPSS 进行配对比较的和两样本比较的秩和检验的分析命令分析过程以及分析结果的读取 11. 了解多个样本两两比较的 Nemenyi 法检验在 SPSS 中的实现过程

64 祝大家学习愉快!

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PowerPoint 演示文稿均数间的比较基于秩次的非参数检验假设检验的基本原理陆一涵 2017.10.16 为什么要做假设检验? 纸质数据库问题 : 样本参数与已知的总体参数不一致电子数据库分析数据库统计分析统计描述统计指标 + 图表样本来自已知总体, 其差别是由抽样误差造成 ( 个体变异 ) 统计推断参数估计样本来自总体与已知总体不同, 存在本质差异 ( 个体差异 + 总体差异 ) 假设检验基本原理

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