標題

3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c <<+c 角的關係 :0 <,,<180, 且 ++=180 () 三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用三角函數邊角的關係 式間接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c? c? c? c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然是 sin 面積 = 1 sin 同理由對稱性得 的面積公式 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin 例子 : 已知正 每邊的長是, 求其面積 結論 : 面積記憶法 利用三角函數定義, 由 = 1 底 高, 導出兩邊夾角求面積, 即 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin ( 兩邊夾一角 ) ~ 3 1~

[ 例題 1] 四邊形, 設 θ 為對角線 與 的一個交角, 1 求證 : 此四邊形的面積為 sinθ [ 例題 ] 設 為直角三角形,EF 是以 為一邊向外作出的正方形, G 是以 為一邊向外作出的正方形, 若 =5 =4 =3, 試求 ()cos( E) () E 的面積 F ns:() 3 5 ()6 E G ( 練習 1) 四邊形兩對角線為 1 與 5, 若兩對角線的夾角為 θ 1,θ, 且 θ 1 =θ 則其 面積為 ns:15 3 ( 練習 ) 已知一三角形 的二邊 =5,=8,cos= 4 5, 則 的面積 ( 乙 ) 正弦定理 為 ns:1 國中幾何曾經學過 大邊對大角 這個性質, 但這個性質只說角大則邊大, 邊大則角大, 這種說法似乎只是一種對於邊角關係的 定性描述, 那麼邊角之間有沒有 定量的描述 呢? 我們用以下的定理來回答這個問題 : 正弦定理 : 在 中, 以,,c 表示,, 之對邊長度, 則 sin = sin = c sin =R, 其中 R 為 外接圓的半徑 ~ 3 ~

證明 : 由前面三角形的面積公式 :S = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin 等號兩邊同除 c, 可得 sin c = sin = sin sin = sin = c sin 但是 sin = sin = c sin =? 我們由以下的證明來說明 : 我們將 分成直角 銳角 鈍角三種情形來討論, 如下圖所示 : O O O (1) 當 =90 () 當 <90 (3) 當 >90 (1) =90 sin90 = = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R () 為銳角 : 過 做圓 O 的直徑, 因為 與 對同弧 ( ), 因此 = 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R (3) 為鈍角 : 過 做圓 O 的直徑, 因為 + =180, 所以 sin =sin(180 )=sin 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R 結論 : 正弦定理的用法 正弦定理 sin = sin = c sin =R 的轉換 ( 以 R 為媒介 ) () 比例型 : = () 邊化角 :=,=,c= (c) 角化邊 :sin=,sin=,sin= ~ 3 3~

[ 例題 3] 中,,,c 分別代表,, 之對邊長度 : (1) 若 (+c):(c+):(+)=5:6:7, 試求 sin:sin:sin () 若 =55, =65,=10 公分, 試求外接圓半徑 ns:(1)4:3: () 10 3 3 公分 [ 例題 4] 設圓內接四邊形 中 =30, =45, =, 則 = ns: c ( 練習 3) 利用三角形的面積公式與正弦定理, 證明 : 的面積為 4R (R 為外接圓半徑 ) ( 練習 4) 在下列各條件下, 求 的外接圓半徑 R 3 (1) =70, =80,=3 ()=,cos= ns:(1)r=3()r= ( 練習 5) 中, =60, =75, = 3+1, 求 (1) 之長 () 之長 ns:(1) = 6() = (sin75 = + 6 4 ) ( 練習 6) 以,,c 分別表示 之三邊,, 的長, 試在下列各條件下, 求 sin:sin:sin ( 已知 sin75 = 6+ 4 ) (1) =30, =45 () : : =3:4:5 (3) + c=0 且 3+ c=0 (4)(+):(+c):(c+)=5:6:7 ns: (1): : 6+ () : 3: 6+ (3)3:5:7 (4)3::4 ~ 3 4~

( 丙 ) 餘弦定理直角三角形中的寶藏是畢氏定理 即在直角 中, 若夾角 =90 則知兩鄰邊,, 可由畢氏定理 c = + 求出對邊 c; 對於一般的三角形, 如果夾角給定, 但不一定是直角, 如何求第三邊的長呢? 此時, 餘弦定理就代替了直角三角形 特有的畢氏定理 E 觀察右上圖, 為直角三角形, 且 ==E=,=c,=, 根據商 高定理可得 = + c, 即 + c =0 在鈍角 與銳角 E 中我們考 慮 + c 與 + c E 的值, 從圖形中可猜出 + c <0 而 + c E >0, 但進一步我們不禁會問這兩個值會不會與邊或角的三角函數有 關呢? 我們用以下的定理回答這個問題 : 例子 : 設 中, =30, =6, =7, 請求出 =? [ 解法 ]: 作高, =6 cos30, =6 sin30 =7 6 cos30 在 中, =90 = + =(6 sin30 ) +(7 6 cos30 ) =6 (sin 30 )+7 6 7 cos30 +6 (cos 30 ) =6 (sin 30 + cos 30 )+7 6 7 cos30 =6 +7 6 7 cos30 30 上例的解法, 對於 為鈍角或直角時都會成立, 我們將其寫成底下的定理 餘弦定理 : 在 中, 若,,c 為,, 之對邊長, 則 = +c c cos = +c c cos c = + cos ~ 3 5~

證明 : 在 中, 依 為銳角 直角 鈍角三種情形來說明 : 設 點對 邊或其延長線的垂足點為 (1) 為銳角 () 為直角 (3) 為鈍角 = Qcos>0 Qcos=0 Qcos<0 = =c cos = =c co = + =c+ cos =c cos 由以上的討論可知 : 不論 為銳角 直角 鈍角均可得 =c cos 又因為 = = + =(c cos) +( sin) =c c cos+ cos + sin =c + c cos 故 = +c c cos, 同理可證 = +c c cos,c = + cos [ 畢氏定理的圖解 ] 歐幾里得證明了矩形 GH 面積 =S 1, 矩形 GF 面積 =S, 因此可得 S 3 =S 1 +S S S 1 據此可證明 = + E [ 餘弦定理的圖解 ] S 3 餘弦定理的面積證法 : F G H c = + =( + )+( + ) = + cos c ~ 3 6~

結論 : () 由餘弦定理, 可知 cos= +c c,cos= c + c,cos= + c () 從 () 可知 =90 = +c <90 < +c >90 > +c [ 例題 5] 在 中已知 sin:sin:sin= 4:5:7, 則求 cos =?sin=? ns: 1 5 6 5 ( 練習 7) 中, =3, =4, 角度如下, 試分別求出 之長 (1) =60 () =90 (3) =138 已知 cos4 =0.7431 ns:(1) 13()5(3)6.54 ( 練習 8) 池塘旁有, 兩點, 小明想知道, 兩點間的距離, 他採用底下兩種 方法, 試根據所得資料求出 距離?( 兩者所在地點可能不同 ) 法一 : 他走到遠處 點, 並量得 =60, =7m =10m, 請問 =? 法二 : 他走到遠處 點, 並測得 =60, =75 =10m, 請問 =?ns:(1) 79() 10 6 3 7m 60 10m 10m 60 75 ( 練習 9) 在 中, 若,,c 分別代表 的三邊長 之長 (1) 試證 := cos+c cos,= cos+c cos,c=cos+cos () 利用 (1) 去證明 : = +c ccos ( 練習 10) 中, 若 (++c)(+ c)=3c, 則 = ns:60 ( 練習 11) 中, 若 sin:sin:sin= ::( 3 1), 則 = ns:135 ~ 3 7~

( 練習 1) 設,,c 為 的三邊長且滿足 ( +c) +(3+ c) =0, 若 θ 為 的最大內角, 求 cosθ = ns: 1 ( 丁 ) 正餘弦定理的應用 (1) 解三角形 : () 三角形的全等性質有 SSS SS S S 斜股性質, 我們可以利用正餘弦定理來解出唯一的三角形 ()SS 型的討論 : 中, 若已知, 及 [ 想法 ]: 設 =, 利用尺規在 的邊 X 上做出 點使得 = 想要找出 另一個頂點, 則圓規打開的半徑大小, 一定要比頂點 到 X 的距離大才有交點 (1 ) 為銳角時, 頂點 到 X 的距離 h= sin <h 時, 找不到 點 無解 ( 如圖一 ) =h 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖二 ) h<< 時, 有兩個 點 有兩解 ( 如圖三 ) 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖四 ) ( ) 為鈍角時, 頂點 到 X 的距離 = 時, 找不到 點 無解 ( 如圖五 ) > 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖六 ) h h 圖一 X 圖二 X h h 圖三 X 圖四 X 圖五 X ~ 3 8~ 圖六 X

[ 例題 6] 已知三邊 求三角 已知 SSS 解三角形 中,= 3,=,c= 6, 試求三個內角 ns: =10, =45, =15 [ 例題 7] 已知兩邊夾角 SS 解三角形求全部邊角 設 中, =, = 3+1, =30, 試求,, ns: =, =45, =105 [ 例題 8] 已知二邊一對角 即知 SS 解三角形 已知 中, =15, =15 3, =30, 則 =? =? ns: =90, =30; =30, =15 ~ 3 9~

[ 例題 9] 已知一邊兩角求邊與角 S 中, =45, =60, =7, 求 及 之長 (sin75 = ns: = 7 ( 3+1), = 7 6 6+ 4 ) ( 練習 13) 在下列各條件中, 解三角形 (1)=1,=, =60 ns: (1) 無解 ()c= 3,=90,=60 ()=1,=, =30 (3)c= 6+,=45,=75 (3)= 3,=, =60 (4) 有兩組解 c= 3+1,=45,c=105 (4)=,=, =30 c= 3 1,=135,c=15 ( 練習 14) 由下列條件解, 何者恰有一解?() =40, =60, =80 () =,=4,c=6 () =1,=, =30 () =1, =3, =30 (E) =1,=4, =40 ns:()(e) ( 練習 15) 中,=1,= 3, =30, 求 =?, =? ns:1,10 ( 練習 16) 中, 設 c=8, =105, =45, 求 =? ns:8 () 求三角形的面積 : ()Heron 公式 設 中,,,c 分別為,, 之對邊長, 令 s= ++c 則 S = s( s )( s )( s c) [ 證明 ]: 由餘弦定理,cos= +c S = 1 c sin=1 c c 1 cos, = 1 c + c 1 ( ) c = 1 c 1 c (c) ( +c ) = 1 4 [(+c) ][ ( c)] ~ 3 10~

= 1 4 (+c+)(+c )(+ c)( +c) = 1 4 (s)(s )(s c)(s ) = s( s )( s )( s c) () 三角形 的面積 = r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) [ 證明 ] 三角形 的面積 = I+ I+ I = 1 c r+1 r+1 r I = 1 (++c) r = r s 三角形 的面積 = 1 底 高 = 1 csin(1 兩邊乘積 夾角的正弦值 ) = s( s )( s )( s c) s= 周長之半 c = 4 R (R 為三角形 外接圓的半徑 ) =r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) ( 練習 17) 已知 之三邊長分別為 4,6,8, 則 (1) 的面積 =?() 邊長 6 所對應的高 =? (3) 的內切圓半徑 =?(4) 的外接圓半徑 =? ns:(1)3 15 () 15 (3) 15 3 16 15 (4) 15 ( 練習 18) 有一凸多邊形, 若 =, =6, =4, =6, =30, 則 此四邊形的面積 =? ns:3+8 ~ 3 11~

(3) 三角形或多邊形的邊角計算 : [ 例題 10] 三角形的中線定理三角形 中, 設 =c,=,=, 為 之中點, 1 試證 : + = + [ 例題 11] 已知圓內接四邊形 的各邊長為 =1, =, =3, =4, 則 (1) =? ()sin =? (3) 的面積 ns:(1) 55 7 () 6 7 (3) 6 1 3 4 ~ 3 1~

[ 例題 1] 中, 之內角平分線交 於, =3, =6, =10, 則 = ; = ns:; 7 [ 例題 13] 圓內接四邊形 中, =5, =1, =13, =10, 13 3 則 =? ns: 5 1 13 [ 例題 14] 中若滿足以下條件則其形狀為何? (1)cossin=sin () cos cos+c cos=0 ns:(1) 等腰三角形 () 直角三角形 ( 練習 19) 設 中,=15,=0,=10, 為 的分角線, 試求 =? ~ 3 13~

=?ns:=1,=3 6 ( 提示 : 可以利用內分比性質 ) ( 練習 0) 設 M 為 上 的中線, 請證明 : M = 1 4 ( +c +ccos) 79 ( 練習 1) 如右圖, 試求 =?ns: 1 5 3 4 ( 練習 ) 中, =75, = 6, =, 在 上且 =30, 求 =? ns: 6 ( 練習 3) 證明 : 平行四邊形 中, 對角線平方和 = 四個邊的平方和 ( 練習 4) 圓內接四邊形, = =, =90, =105, 求對角線 =? ns: ( 3+1) (sin105 = 6+ 4 ) ( 練習 5) 如右圖, 中, =6, =10, =10, =30, 則 = ns: 30 3 13 ( 練習 6) 設 滿足下列條件, 試分別決定其形狀 : (1)sin +sin <sin ()cos sin=sin cos ns:(1) 鈍角三角形 () 等腰三角形 綜合練習 (1) 一汽船在湖上沿直線前進, 有人儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50, 距離為 00 公尺, 一分鐘後, 於原地再測, 知汽艇到正前方偏右 70, 距離 300 公尺, 那麼汽艇再這一分鐘內行駛了公尺 () 在 中, 已知 =1,sin<sin, 且 sin 與 sin 為 8x 4 3 x+1=0 的兩根, 則 的外接圓半徑 =? (3) 如圖, 設每一小格皆為正方形, 求 cosθ=? (4) 中,= 3,=,c= 6, 試求 θ ~ 3 14~

(5) 已知 中, =, = 6 +, =105, 則 =? (6) 中, 設 =3,=4,tn= 3 4, 求 c=? (7) 設 之三高為 h =6,h =4,h c =3, 則求最小內角之餘弦為 ; 最小邊長 = (8) 圓內接四邊形, =5, =105, =90, =60, 求對角線 的長度 (9) 在 中, =75, =30, =1, =, 則 =? (10) 中, =60, =15, =4, 則 的外角平分線 長為多少? (11) 如圖, O=, O=, O=c, O= O=30, 試證 1 +1 = 3 c (1) 圓內接四邊形, 已知 =5, =5, =3, =10, O 則 =? (13) 如右圖, = 4,, 為以 為直徑的半圓上的二點, 且 = = 1, 則 =? (14) 設 中 =60, =, 1 =c, 今在 上取一點 使得 = 3, 令 s=, 則 s = () 1 9 ( +4c +4c) () 1 9 ( +4c +c) () 1 9 ( +4c c) () 1 9 (4 +c +c) (E) 1 9 (4 +4c c) (87 大學自 ) (15) 已知四邊形 中, = 8, = 8, = 3 且 = = 60 試求 之長 (16) 已知 三邊長分別為 =7, =5, =3, 延長 至, 如右圖所示, 使得 =, 則 =? (17) 如圖, 三角形 之三邊長為 =7, =8, =9, 若 E,FG 皆為正方形, ~ 3 15~

則 EG = (18) 在 中之三邊長分別為 11,13,0, 則此三角形內切圓半徑為 ; 外接圓半徑為 (19) 郊外有甲, 乙, 丙三家, 兩兩相距 70,80,90 公尺, 今計畫公設一井, 井到三家必須等距, 則此距離為公尺 (0) 中滿足 cos= cos, 請問此三角形之形狀為何? (1) 中, 設 =c,=,=, 試證下列等式 : ()(sin sin)+(sin sin)+c(sin sin)=0 sin sin sin () = c (c)( c)sin+(c )sin+( )sin=0 (d)( cos cos)= c () 設 =3+t,=3 t t,c=4t () 若,,c 均為正數, 求 t 的範圍 () 若,,c 為 的三邊長, 求 t 的範圍 (c) 若,,c 為 的三邊長, 求最大角的度量 (3) 若 15 x 19 x 3 x 為一個鈍角三角形的三邊長, 求 x 的範圍 (4) 設 =60,P 為其內部一點且 P =10, 又 P 對於 的對稱點分別為 Q R, 則 QR=? 進階問題 (5) 中, 周長為 0, =60, 外接圓的半徑為 R= 7 3 3 又三角形的內切圓半徑為何? 則求各邊的邊長,,c, (6) 設 之三邊長為 3,x, y, 且邊長 3 之對角為 60, 試求 x+y 的範圍 (7) 設凸四邊形 之對角線 =p,=q, 兩對角線之交角為 θ () 試證 : 凸四邊形 之面積 = 1 pq sinθ () 若 +=10, 則凸四邊形 面積之最大值為何? ~ 3 16~

(8) 中, 設 =,=1 () 當 面積最大時, 求 c () 當 最大時, 求 c (9) 設 為半圓內接四邊形, 為直徑長為 d, 若 =, =, =c, 試證明 :d 為方程式 x 3 ( + +c )x c=0 的一根 (30) 試證明 : 的內切圓半徑 r=(s )tn s= 的半周長 (31) 如圖, 設 之內切圓半徑為 r, 外接圓半徑為 R, 內切圓切三邊於 P,Q,R, 則 PQR 的面積之值為何? ns: r 的面積 R R I Q P (3) 設圓內接四邊形 四邊之長分別為 =, =, =c, =d, 試證 : () = (c+d)(d+c) +cd () = (c+d)(+cd) d+c (c) =c+d (33) 已知三角形 的邊 =9, =8, =40, 在 上取一點, 在 上 取一點 E 而 E 把 的面積等分為二, 試問 : 若要求 E 之長度最短, (1) 100 19 () 3 +1 (3) (4) =10 及 E 之值應為何? 綜合練習解答 (5) = 7 (6) 5 或 5 (7) (8) (9) 7 8 (10) 40 ;16 15 15 =10 = 5( 6+ ) 3+1 3 (11) [ 提示 : 考慮 O= O+ O, 再利用三角形的面積公式, 即可得證 ] ~ 3 17~

(1) 8 (13) 7 (14) () (15) 3 或 5 (16) 7 (17) 14 (18) 3, 65 6 (19) 1 5 (0) 等腰或直角三角形 [ 提示 : 利用 cos= +c c,cos= +c c cos, 化簡可得 ( )(c )=0 ] 代入 cos= (1) ()()(c) 利用正弦定理將 sin sin sin 化成 R R c R 代入式子中運算 (d) 利用餘弦定理 () ()0<t<1 ()0<t<1 (c)10 (3) 3<x<11 (4) 10 3 [ 提示 QR=10 ] (5) =7,=8,c=5 或 =7,=5,c=8 r= 3 (6) 3<x+y 3 [ 提示 : 根據餘弦定理 =x +y xy=(x+y) 3xy (x+y) =3(xy+1), 因為 xy=x +y 3 xy 3 xy 3 (x+y) =3(xy+1) 1 ] (7) () 50 4 [ 提示 : 利用 pq 1 4 (p+q) ] (8) () 5 () 3 (9) [ 提示 : 如下圖, = + cos=c +d cdcos, 因為 =90, cos= c d, 代入前面的式子化簡即可得證 ] (30) [ 提示 : 如 (31) 題圖, 只需證明 R=s 即可 ] (31) [ 提示 : 如圖, PQR= RQI+ RPI+ PQI = 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )= 1 r (sin+sin+sin)= 1 4R r (++c)= r s R, =rs] (3) [ 提示 : 利用 = + cos=c +d cdcos, 而且 + =180 ] (33) = E =6 [ 提示 : 設 =x, E =y, E= 1 xysin40 = 1 = 1 ( 1 ~ 3 18~

9 8 sin40 ) xy=36 又因為 E =x +y xycos40 xy xycos40 =7(1 cos40 ) 等號成立時,x=y=6 ] ~ 3 19~