44 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月圖 3 利用這三個定理, 再加上畢氏定理插值法以及一些三角恆等式, 托勒密就可以編製出弦表, 真正達到他所說的以儘可能少的命題, 正確地求出各種圓心角所對應的弦長英國數學家 ugustus e Morgn (806-87) 稱讚弦表為

Size: px

Start display at page:

Download "44 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月圖 3 利用這三個定理, 再加上畢氏定理插值法以及一些三角恆等式, 托勒密就可以編製出弦表, 真正達到他所說的以儘可能少的命題, 正確地求出各種圓心角所對應的弦長英國數學家 ugustus e Morgn (806-87) 稱讚弦表為"

淡于
7 years ago
Views:

1 星空燦爛的數學 (II) 一一托勒密定理蔡聰明托勒密 3 冊的著作 lmġest ( 西元 50 年 ) 集古希臘天文學的大成, 並且展示了歐氏幾何學與三角學的美妙應用他為了編製弦表 (the tle of hords) 創立下面三個幾何定理 : 定理 : 考慮圓 O, 假設 O 為直徑, O, 為 O 的平分點, 作 = E, 見圖, 則 EO 為圓內接正十邊形的邊長, E 為圓內接正五邊形的邊長的內接四邊形, 則 = + () 亦即兩條對角線的乘積等於兩雙對邊乘積之和 E O 圖 2 圖定理 2: ( 托勒密定理 ) 設為圓定理 3: 在一圓中, 若弦小於弦{{{{, 並且與是相應的劣弧, 則 {{ > {{ (2) 43

2 44 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月圖 3 利用這三個定理, 再加上畢氏定理插值法以及一些三角恆等式, 托勒密就可以編製出弦表, 真正達到他所說的以儘可能少的命題, 正確地求出各種圓心角所對應的弦長英國數學家 ugustus e Morgn (806-87) 稱讚弦表為希臘最美麗的作品之一 (one of the most eutiful in the Greek writers) 有關定理所涉及的數學與弦表的編製, 我們在參考資料 [] 裡已有詳盡的解說本文我們要進一步來探討定理 2 以及在其周邊所發展出來的一些美妙結果 ( 定理 3 留待下文 ) 一托勒密定理的發現托勒密遵循古希臘的數學傳統, 只展示完成後的數學結果, 而抹掉探索的發現過程, 將數學按定義定理證明三部曲的演繹方式來呈現, 嚴謹抽象且乾燥面對這種情況, 笛卡兒 (esrtes, ) 辯解說, 並不是古希臘哲學家看輕發現過程, 而是因為太重視了, 以致不願公諸於世, 鴛鴦繡取憑君看, 莫把金針度與人 el ( ) 甚至批評 Guss ( ) 說, 他像一頭狡猾的狐狸在沙地上一面走, 一面用尾巴抹掉走過的足跡科學哲學家 E Mh (838-96) 說得好 : 你無法了解一個理論, 除非你知道它是如何發現的把這句話中的理論代換為定理或公式也適用下面我們就採取三個角度來重建托勒密定理的發現過程, 但願拋磚引玉甲畢氏定理的兩元化直角三角形最重要且漂亮的結果就是畢氏定理 : 如圖 4, 若 = 90, 則 2 = (3) 亦即直角三角形的斜邊平方等於兩股的平方和圖 4 現在取兩個如圖 4 的直角三角形, 合成一個長方形, 見圖 5, 並且將 (3) 式改寫成 = + (4) 進一步將 (4) 式解釋為長方形的兩條對角線乘積等於兩雙對邊乘積之和這個過程我們稱之為畢氏定理的兩元化

3 星空燦爛的數學 (II) 45 另一方面, 我們也可以將兩個直角三角形安置如圖 6 之鳶形由鳶形的面積公式可知 = 2 從而 = + (5) 因此, 對於圖 6 之鳶形亦有 : 兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之和圖 5 圖 7 圖 6 圖 8 推廣 y x d 圖 9 其次, 長方形與上述之鳶形皆可內接於一個圓之內, 參見圖 7 與圖 8 根據這兩個內接四邊形之特例, 其邊與對角線的關係, 我們大膽地飛躍, 猜測任意的圓內接四邊形也都具有 : 兩條對角線的乘積等於兩對邊乘積之和, 亦即 ( 參見圖 9) xy = + d (6) 對於一個猜測, 若可以找到一個反例, 那麼猜測就被否定掉, 應丟棄 ; 如果可以提出證明, 那麼猜測就上昇為定理 ; 如果找不到反例, 也提不出證明 ( 如數論的 Goldh 猜測與雙生質數猜測 ), 那麼猜測就暫時停留在猜測的地位, 有待後人繼續努力尋求解決對於 (6) 式之猜測, 我們可以提出證明, 從而建立了定理 2 之托勒密定理特別地, 畢氏定理是托勒密定理的特例, 但卻是生出托勒密定理的種子一般數學書都只將畢氐定理看成是托勒密定理的腳註, 甚為可惜! 乙三角恆等式為了天文學的測星與幾何學的測圓, 我們必須知道各種圓心角 θ 所對應的弦之長, 參見圖 0 我們不妨假設圓的半徑 R =, 因為一切都是比例問題

4 46 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月 O R θ O α β 圖 0 圖 2 對於圓內接正三四五六十邊形之邊長, 只需用一點兒歐氏平面幾何的知識, 就可以求得但是, 對於其它較一般的弦長, 我們就必須使用一些三角恆等式, 最主要是和角公式差角公式與半角公式, 我們分述如下 : (i) 和角公式問題 : 在圓內, 已知兩弦與之長, 試求弦之長, 參見圖 O 在圖 2, 過點作圓的直徑, 連結與, 於是上述問題就相當於已知圓周角 α 與 β 所對應的弦與, 欲求和角 α + β 所對應的弦由正弦函數的和角公式 sin(α+β) = sin α os β+osα sin β (7) 以及正弦定律可知 2R = 2R 2R + 2R 2R (8) 再利用畢氏定理求出與, 代入上式就得到 = 2R 這樣就解決了問題 4R R 4R 2 2 (9) 同時, 我們另有收獲 : 將 (8) 式兩邊同乘以 (= 2R) 的平方, 則得 = + (0) 圖換言之, 對於圓內接四邊形有一條對角線為直徑的情形, 我們已證得 (7) 式的

5 星空燦爛的數學 (II) 47 和角公式等價於 (0) 式, 而 (0) 式是說兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之和問題 2: 在圓內, 已知兩弦與之長, 試求弦之長, 參見圖 3 O 以及正弦定律可知 2R = 2R 2R 2R 2R (2) 再利用畢氏定理求出與, 代入 (2) 式就得到 = 2R 2R 這樣就解決了問題 2 2R 得到 4R 2 2 4R 2 2 (3) 額外的收獲是 : 由 (2) 式與 = 圖 3 α β O = + (4) 換言之, 對於圓內接四邊形有一邊為直徑的情形, 我們已證得 (2) 式的差角公式等價於 (4) 式, 而 (4) 式是說兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之和丙餘弦定律設的三邊為,,, 則餘弦定律就是圖 4 如圖 4, 過點作直徑, 連結, 那麼問題 2 就相當於已知兩圓周角 α 與 β 所對應的弦與, 欲求差角 α β 所對應的弦由正弦函數的差角公式 sin(α β) = sin α osβ osαsin β () 2 = os (5) 參見圖 5 圖 5

6 48 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月二猜測的檢驗與證明 d 當我們得到一個數學猜測後, 接著會進一步用一些特例加以檢驗 (test) 或乾脆就去證明它圖 6 將翻轉 80, 但讓底邊重壘在一起, 就得到如圖 6 之等腰梯形, 它可內接於一個圓之內, 這也可看作是三角形的兩元化因為 d = = 2 os, 所以 (5) 式就變成 = + d (6) 換言之, 餘弦定律等價於圓內接等腰梯形的兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之和總結上述, 我們由熟知的畢氏定理三角學的和角公式差角公式以及餘弦定律出發, 看出幾類特殊的圓內接四邊形, 它們的邊與對角線的關係都具有相同的模式 (pttern), 於是我們就大膽將此模式推展到所有的圓內接四邊形, 得到猜測 : 對於圓的任意內接四邊形, 恆有兩條對角線之乘積等於兩雙對邊乘積之和這個探索過程好比是從海上冰山的一角, 發現整座冰山 ; 由特殊飛躍到普遍, 以有涯逐無涯 ; 從顯在的線索追尋出潛在的真相 ; 從而形成了數學的發現之旅這個過程通常是苦樂參半, 失敗與成功並存甲檢驗在坐標方格紙上作出兩個圓與圓內接四邊形在圖 7 中, = 5 2, = 26, = 26, = 2, = 6, = 52; 在圖 8 中, = 2 7, = 2, = 3 2, = 34, = 8, = 34; 我們驗知上述猜測是成立的圖 7

7 星空燦爛的數學 (II) 49 (7)+(8) 得到 + = (E + E) = 圖 8 要找到反例似乎是不容易, 那麼我們就嘗試證明吧乙證明 E E 圖 9 在圖 9 的左圖, 作 E 線段, 交於 E 點, 並且使得 E =, 則 E 於是 E = = E (7) 又 E, 所以 E = = E (8) 這就證明了猜測, 從而建立定理 2 之托勒密定理註 : E 之補助線, 堪稱為定乾坤一線, 精巧美妙另外, 我們也可以如圖 9 的右圖向外作 E, 交的延長線於 E 點, 並且使得 E = 然後, 透過 E 與 E, 證得托勒密定理托勒密定理除了上述綜合幾何的證法之外, 還有其它證法, 例如複數法反演變換法 (method of inversion) Simpson 定理加上交叉比 (ross-rtio) 定理等等, 都各有千秋例如綜合幾何法簡潔如手工藝, 反演變換法威力強大似機器文明三極端化與推廣我們都知道, 直線與圓屬於同一家族, 即圓的家族今想像圓的半徑 r, 那麼圓就變成直線並且圓的內接四邊形就變成直線上按序的四點見圖 20 此時, 托勒密定理的結果仍然成立, 其證明只是分配律的應用 : 圖 20

8 50 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月 + = + ( + + ) = + + ( + 2 ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) = 定理 4: (Euler 定理 ) 設為直線上按序的四點, 則 + = (9) 看過極端化, 接著是推廣三角形具有穩固性並且皆內接於一個圓之內, 但四邊形則不然四邊形欲內接於一個圓之內, 其充要條件是一雙對角互補如果為平面上任意的凸四邊形, 不必內接於一個圓之內, 那麼托勒密定理如何修正呢? 先觀察特例, 如圖 2, 考慮由兩個單位正三角形併成的四邊形, 此時顯然有 3 < + 因此, 對於不共圓的四邊形, 我們猜測 : 兩條對角線的乘積小於兩雙對邊乘積之和 3 圖 2 E 圖 22 我們嘗試來證明這個猜測如圖 22, 設為一般的凸四邊形作出 E 點, 使得 E = 且 E = 於是 E, 故亦即另外又有並且 E = = E (20) E = = E 所以 E, 於是亦即 (20)+(2) 得到 E = = E (2) + = (E +E) 因為 E + E, 所以 +

9 星空燦爛的數學 (II) 5 並且等號成立的充要條件是 E 落在對角線上, 亦即,,, 四點共圓定理 5: ( 推廣的托勒密定理 ) 設為平面上任意凸四邊形, 則 + (22) 並且等號成立的充要條件為四點共圓註 : 事實上, 上述定理對於平面上任意四邊形都成立, 不必侷限於凸四邊形另外, 當四點不在同一平面上, 而是在空間的情形, (22) 式仍然成立進一步, 對於 (22) 式, 我們可以再精進我們要探尋不等號兩邊到底相差多少, 最好能夠求出差額的明白表式在圖 22 中, 因為 E =, E = 所以 E = 2π ( + ) 對於 E 使用餘弦定律得到 2 = E 2 + E 2 2E E os( E) = E 2 + E 2 2E E os( + ) 兩邊同乘以 2, 則有 2 2 = ( E) 2 +( E) 2 2( E) ( E) os( + ) (23) 定理 6: ( 強型的推廣之托勒密定理 ) 設為平面上之四邊形, 四邊長為,,, d, 兩條對角線長為 x, y, 見圖 23, 則 x 2 y 2 = d 2 2d os( + ) x d 圖 23 y (24) 註 : 在 (24) 式中, + 表示四邊形一雙對角之和因為 = 360, 所以 os( + ) = os( + ), 從而 (24) 式中的 os( + ) 可以改成 os( + ) 另一方面, 四邊形的面積 S 為 S 2 = (s )(s )(s )(s d) d os 2 + ( ) 2 其中 s = ( d) 2 (24) 式多麼像三角形的餘弦定律! 美中不足的是, 當點趨近於點, 四邊形退化為三角形時, (24) 式無法化約為餘弦定律上述定理 6 含納先前所有的結果, 包括推廣的托勒密定理, 托勒密定理, 餘弦定律, 三角學的和角公式與差角公式, Euler 定理, 畢氏定理等等, 內容真豐富因此, 定理 6 堪稱為平面幾何學的一個絕妙結果

10 52 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月四托勒密定理的應用托勒密定理除了內涵豐富之外, 還可以用來建構弦表最奇特的是, 在 964 年幾何學家 Pedoe [2] 給出托勒密定理在光學上的一個美妙的應用, 證明 Snell 的折射定律等價於費瑪的最短時間原理在此, 值得作個歷史註記, 托勒密最早透過實驗, 研究光的折射現象, 但是他並沒有發現折射定律, 這段有趣的歷史我們留待另文介紹大家都知道, 光線在不同密度的兩種介質之間行進 ( 如空氣與水 ), 會產生折射現象 Snell ( ) 在 62 年發現所走的路徑遵循折射定律 ( 參見圖 24): P M 光線 sin θ = sin θ 2 v 2 (25) θ Q θ 2 光速 N 圖 24 甲介質 P 2 乙介質光速 v 2 為什麼光子會遵循這樣的一條經驗定律呢? 這就需要提出一個理論 (theory) 來解釋 Fermt (60-665) 在 662 年提出最短時間原理 (priniple of lest time): 即光子走的是費時最少的路徑他利用這個原理與微分法 ( 雛形 ), 推導出 Snell 的折射定律因此, 折射定律就有了更上一層樓的理論基礎甲微分法如圖 24, 設 P M =, P 2 N =, MN =, MQ = x, 則光沿 P Q P 2 走所費的時間為於是 T(x) = T (x) = 2 + x ( x) + 2 v 2 x 2 + x 2 = sin θ sin θ 2 v 2 容易驗知 T (x) = 0, 即就是 T(x) 的最小值 sin θ = sin θ 2 v 2 x v ( x) 2 ekenh 與 ellmn 在參考文獻 [3] 裡說, 欲求 T(x) 的最小值, 利用微分法很容易解決, 但卻無法用初等的不等式得到乙幾何論證法下面我們就利用托勒密定理來證明 : Fermt 的最短時間原理等價於 Snell 射定律如圖 25, 假設 L 為兩介質的界線, 通過 P, Q, P 2 三點作一圓, 半徑為 R 再過 Q 點作一直線垂直於 L, 交圓周於點令 Q 為在直線 L 上變動的點

11 星空燦爛的數學 (II) 53 P θ Q Q L 並且等號成立的充要條件為 Q = Q 根據正弦定律與 (26) 式知 P =2R sin(π θ )=2R sin θ =2kR θ 2 P 2 =2R sin θ 2 = 2kRv 2 P 2 代入 (27) 與 (28) 兩式, 得到 P P 2 Q = 2kR v 2 T Q P P 2 Q 2kR v 2 T Q 圖 25 再假設 P Q P 2 為光子實際所走的路徑, 即滿足折射定律之路徑, 並且令 sin θ = sin θ 2 v 2 = k (26) T Q = P Q + Q P 2 為所費的時間 ; 而走 P Q P 2 之路所費的時間為 T Q = P Q + QP 2 v 2 我們要證明 : T Q T Q, 並且等號成立的充要條件是 Q = Q 密定理知在圓內接四邊形 P Q P 2 中, 由托勒 P P 2 Q = P Q P 2 + Q P 2 P (27) 另一方面, 對於四邊形 P P 2 Q, 由推廣的托勒密定理知 P P 2 Q P Q P 2 +QP 2 P (28) 今因 Q Q, 所以 P P 2 Q P P 2 Q 從而 T Q T Q 換言之, 最短時間路徑與 Snell 折射定律之徑合而為一 d 圖 26 Q P 圖 27 習題 : (992 年大學聯考自然組試題 ) 如圖 26, 四邊形內接於半圓內, = d 為直徑, 試證 d 為方程式 x 3 ( )x 2 = 0 之一根

12 54 數學傳播 24 卷期民 89 年 3 月習題 2: 如圖 27, 設為圓的{{內接正三角形, 在圓弧上任取一點 P, 連結 P 交於 Q 點, 試證 : (i) P = P + P, (ii) PQ = P + P 五邏輯網路路 : 我們將本文的結果整理成如下的邏輯理這個網路讓我們對全局的概況與知識發展的理路有清晰的圖像 (piture), 它還可以繼續不斷延拓生長圖 29 圖 28 是從大自然拾取的一個葉片, 而圖圖是高斯 (Guss, ) 的大腦, 它

13 星空燦爛的數學 (II) 55 們所展現的紋理相像於上表之邏輯網路葉片與大腦的結構精微美妙, 數學的結構亦然! 前兩者是大自然的產物, 後者是人類思想的創造生物世界的生長機理和數學的生長理路, 是同曲之下的分工, 合演宇宙的創生交響曲六結語古希臘人由於天文測量航海測圓之需要, 導致弦表的編製, 從而發現美麗的托勒密定理, 再逐步開展出數學的一片小天地, 直接通往幾何學與三角學的核心這條路徑的風景秀麗, 處處曲徑通幽, 非常值得中學生到此一遊古典的數學在亞歷山卓 (lexndri) 的星空下, 燦爛地閃耀輝映, 星空多麼希臘! Snell s lw merin Mthmtil Monthly, Vol 7, pp , E ekenh nd R ellmn, n Introdution to Inequlities, Yle Univ Press, 96 4 H Eves, n Introdution to the History of Mthemtis The Sunders ollege Pulishing, S Smursky, The Physil World of the Greeks Prineton University Press, Kntorovih, Sientifi isovery, Logi nd Thinking Stte University of New York Press; S Posmentier, Exursions in dvned Euliden Geometry Revised Edition, ddison-wesley Puslishing ompny, 979 參考資料蔡聰明, 星空燦爛的數學 (I) 托勒密如何編製弦表? 數學傳, 第二十三卷第二期, Pedoe, geometri proof of the equivlene of Fermt s priniple nd 本文作者任教於台灣大學數學系

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題