Microsoft Word - 第1章_99_.doc

Transcription

1 第一章三角 第一章三角. 直角三角形邊的比例 : 設有一直角 - 直角三角形的邊角關係 乁重點整理乁 Δ ABC, 則與 Δ ABC 相似的任一直角三角形之兩邊的比值會等於 Δ ABC 對應的兩邊比值, 即此值與三角形的大小無關. 設直角 Δ ABC 中, C = 90, A 的對邊長為 a, a 鄰邊長為 b, 斜邊長為 c, 則為一定值, 此定值 c 稱為 b A 的正弦 (sine), 記作 sin A. 同理 c 亦為 一定值, 此定值稱為 a 定值稱為 b A 的餘弦 (cosine), 記作 cos A; A 的正切 (tangent), 記作 tan A.. 三角函數的性質 : sinθ () 商數關係 : tan θ = cosθ 0 < θ < 90 () 平方關係 : sin θ + cos θ = () 餘角關係 : sin( 90 θ ) = cosθ, cos( 90 θ ) = sinθ.. 銳角三角函數的增減 : () 若 0 < α < β < 90, 則 sin α < sin β ( 增函數 ), cos α > cos β ( 減函數 ), tan α < tan β ( 增函數 ). () 若 0 < θ < 5, 則 sin θ < cosθ ; 若 () 若 0 < θ < 90, 則 sin θ < tanθ. 5 < 90 < θ, 則 cos θ sinθ < < tanθ <. 例. 求 ( + sin 5 + tan 0 )( cos 5 + tan 60 ) 之值. 7 答 : +

2 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 : 求值 : log tan60 + log tan5 -log sin0 + log5 + log6-log cos5 答 : 例. 設 B 為銳角且 cos B =, 求 sinb 與 tanb 答 :sinb =, tanb = 5 類題 : Δ ABC 中, C = 90, BC = 50, cos A =, 求 AB 及 AC. 5 答 : 50 AB =, AC = 00 例. 等腰三角形 Δ ABC 中, AB = AC = 5, BC = 6, 求 :()sinb 及 cosb ()sina 及 cosa 答 :()sinb = 5, cosb = 5 7 ()sina =, cosa = 5 5 例. 利用幾何方法求 sin5 cos5 及 tan5 之值. 答 : sin5 = 6, cos5 = 6 +, tan5 =

3 類題 : 求 sin.5, cos.5, tan.5 之值. 第一章三角 答 : sin.5 =, cos.5 = +, tan.5 = 例 5. Δ ABC 中, A = 90, AB = AC, D 為 AC 中點, 令 DBC = θ, 求 tanθ. 答 : 類題 :. 若 θ 為銳角且 sinθ = 7, 求 θ 之其餘三角函數值. 5. Δ ABC 中, AD BC, AB = 5, sinb =, sinc =, 求 : 5 7 ()AD () AC () BC.. 半徑為 a b (a > b) 的二圓相外切, 設兩外公切線之夾角 θ, a b 證明 : tanθ =. ab 答 :.cosθ =, tanθ = 7. () AD = 5 () AC = 7 () BC = 8 例 6. 設 H 為銳角三角形 ABC 之三高的交點, AB = c, 則 AH 之長為 () ccos Asin C ccos A ccos A () ccos AcosC () ccos Atan C () (5) cosc sin C. 答 :(5)

4 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 7. 求值 : () () sin 7 + sin 5 () (sin 5 + sin 9 ) + (sin 5 sin 9 ) cos 0 + cos 0 + cos 0 + cos 70 + cos 80 答 :() () () 例 8. 設 θ 是一銳角, 化簡下列各式 : sinθ cosθ () () sin θ + sin θcos θ + cos θ () + cosθ sinθ sin θ cos θ + cos θ 答 :() 0 () () 類題 : 設 θ 為銳角, 化簡下列各式 : () (sin θ ) (cos θ ) (tan θ ) sinθ cosθ tanθ + () ( tan θ ) cos θ + tan θ 答 :.. 例 9. 設 θ 為銳角, 若 sinθ cosθ =, 求 : ()sinθ cosθ () sin θ cos θ () sin θ + cos θ () sinθ + cosθ (5) sinθ 及 cosθ. 答 :() 8 7 () 5 5 () 6 + () (5) sinθ =, cosθ =. 6 6

5 類題 :. 設 0 < θ < 5, 試化簡 sinθ cosθ + sinθcosθ.. 設 θ 為銳角, 若 tanθ =, 求 + 之值. + sin θ sin θ. 設 0 < θ < 90, 若 sin θ + cos θ = sinθcosθ, 求 tanθ. 答 :. sinθ. 0. 或 第一章三角 5 例 0. 設 cosθ + sinθ =, 且 0 < θ < 90, 求 sin θ + cos θ [88. 自然組 ] + 6 答 : 5 類題 : 設 0 < θ < 5 5, 已知 tanθ + =, 求下列各式之值 : tanθ () sinθ cosθ () sinθ + cosθ () sinθ cosθ 三角恒等式證明的一些原則 答 :() 5 () 7 5 () 5. 由繁化簡. 相減為零. 化為同一式. 單純化 5. 活用平方關係 sin θ + cos θ = + sinθ cosθ 例. 求證 : + = cosθ + sinθ cosθ 例 求證 : + cosθ cosθ = cosθ + cosθ tanθ sinθ

6 6 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 求證 : sin θ (sin θ + ) = + sinθ cosθ + sinθ + cosθ 類題 : 設 θ 為銳角, 試證下列三角恆等式 : + sinθ cosθ + sinθ + cosθ. =.. + sinθ + cosθ + sinθ cosθ tanθ 6 6 sin θ + cos θ = cos θ + cos θ. tan θ sin θ = tan θsin θ

7 綜合練習 第一章三角 7. 下列何者最小?(A) cos0 (B) cos (C) sin0 (D) sin (E) sin8.. Δ ABC 中, C = 90, tana =, 若 Δ ABC 之周長為, 求其三邊長.. Δ ABC 中, C = 90, AB = c, BC = a, CA = b, 若 a = b, 求 sina 及 tanb.. 一圓內接正十八邊形的邊長與外切正十八邊形的邊長之比值為 (A) sin0 (B) cos0 (C) tan0 (D) sin0 (E) cos0 ( 單選 ) 5. Δ ABC 中, A = 60, C = 90, BD 是 B 的分角線, 如右圖, 試由 AD : DC = AB : BC = :, 求 sin5 與 cos5 6. Δ ABC 是一個頂角為 6 的等腰三角形, AD 與 CE 分別為 A 與 C 的分角線, 如右圖. 試利用 Δ CBE ~ Δ ABC, BD 求 AB ( 即 sin8 ) 之值. 7. 右圖中, 圓 O 是單位圓, OA, OC,OE 都是圓的半徑, 直線 AB 與直線 EF 分別是過 A, E 兩點的切線, CD 垂直 直線 OA, 令 AOB = θ, 試以 θ 的三角函數值表示 AB, CD, OD 等線段. 8. 設 Δ ABC 的三頂點 A, B, C 所對邊的邊長分別為 a, b, c, AH 為高, 則 AH 之長為何? (A) bsinb (B) csinc (C) bsinc (D) csinb (E) asina [88. 學測 ] 9. 有一等腰三角形底邊為 0, 頂角 7, 下列何者可以表示腰長? 5 (A) 5sin6 (B) 5tan6 (C) tan 6 (D) 5 cos6 (E) 5 sin 6 [89. 學測 ] 0. 已知 θ 為銳角, 且 cosθ, 求 θ 的範圍.. 設 a = sin, b = cos, c = sin, d = cos, e = sin 8, f = cos 8, g = sin 7, 試比較其大小. 化簡 : 89 sin k k =.. 設 0 < θ < 90 cosθ + sinθ, 若 tanθ =, 求之值 cosθ + sinθ

8 8 鳳中數學講義 ( 三 ). 若 cosθ = tanθ, 求 :() sinθ () + sin θ + sin θ. 5. 設 n n f( n) = sin θ + cos θ 且 f () =, 則下列何者為真? (A) f() = f() (B) f() = f() (C) f() = (D) f() = f() = f() = f() (E) f() =. 6. x + kx+ = 0 的二根為 sinθ 與 cosθ, 其中 0 < θ < 90, 求 k. 7. 已知 sinθ cosθ =, 且 sinθ 及 cosθ 為 x + px+ q = 0 的兩個根, 求 的值. 8. 設 0 < θ < 5, 且 + 為 x p 8q (tan θ + ) x+ = 0 的一根, 求 tanθ 的值 tanθ.(e). 6, 8, 0. sina = 5, tanb = cos5 = 答案. (E) 5. sin5 = 6 7. AB = tanθ, CD = sinθ, OD = cosθ, 8. (C)(D) 9. (E) 0. 5 θ 60. a< c< f < e< d < g < b () 5 () (D)(E) 6. ( ) 7. 8.

9 廣義角與極坐標 第一章三角 9 乁重點整理乁. 廣義角 : 設有一射線 OA, 則由射線 OA 繞端點 O 旋轉至射線 OB 所成的角, 稱為有向角, 其中射線 OA 稱為始邊, 射線 OB 稱為終邊. 並規定逆時針方向旋轉的角度為正 角, 順時針方向旋轉的角度為負角. 此時角度有正有負, 也不再侷限於 0 ~ 60 之間, 故稱為廣義角.. 標準位置角 : 將一廣義角的頂點置於坐標平面的原點, 始邊置於 x 軸正向, 這樣的角稱為標準位置角. () 若一標準位置角之終邊在第一象限內, 則稱此角為第一象限角, 其他二 三 四象限亦同. 即 : { θ 60 k < θ < 60 k + 90, k Z } { θ 60 k + 90 < θ < 60 k + 80, k Z } { θ 60 k + 80 < θ < 60 k + 70, k Z } { θ 60 k + 70 < θ < 60 ( k + ), k Z } 表第一象限角. 表第二象限角. 表第三象限角. 表第四象限角. () 若一標準位置角的終邊在 x 軸或 y 軸上, 則稱為象限角 ( 軸上角 ) 如 : 0, ± 90, ± 80, ± 70, ± 60,.. 同界角 : 若兩個廣義角 α, β 有共同的始邊與共同的終邊, 則稱 α 與 β 為同界角, 此時 α 與 β 相差 60 的整數倍, 即 α β = 60 k, 其中 k 為整數. 一個角度的同界 角有無限多個, 其中介於 0 與 60 之間者只有一個, 稱為最小正同界角 ; 介於 0 與 60 之間者也只有一個, 稱為最大負同界角. 例 :0 的同界角有,-050,-690,-0, 0, 90, 750, 0, 其中 為最小正同界角, 為最大負同界角.

10 0 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 下列各標準位置角分別是那一象限角? ()00 ()-5 ()585 ()-0 答 :() 四 () 二 () 三 () 四 例.() 70 () 60 是那一象限內的角? 並求其最小正同界 最大負同界角. 為第幾象限角? 並求其最小正同界角與最大負同界角. 答 :() 三, 0, -50 () 一, 60, -00 例 若 θ 為第二象限角, 則 () θ () θ 不可能為那一象限內的角. 答 :()Ⅱ Ⅳ ()Ⅲ 類題 :. 50 為第 象限角, 其最小正同界角及最大負同界角為何?. 若 θ 為第一象限角, 求 () θ 可為第 象限角 () θ 可為第 象限角. 答 :. 二, 70,-90.()Ⅰ Ⅲ()Ⅰ Ⅱ Ⅲ

11 . 廣義角的三角函數 : 乁重點整理乁 設 θ 為廣義角, 點 P(x, y) 是 θ 終邊上異於原點 O 的一點, 定義 θ 的三角函數為 y x y sinθ =, cosθ =, tanθ =. ( x 0 ) r r x 第一章三角 OP r x y = = + > 0, 5. 三角函數值的符號判斷 : 正負象限函數 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sinθ cosθ tanθ 角度的轉換 : θ 為廣義角, k 為整數. () 同界角 : sin(60 k + θ ) = sinθ, cos(60 k + θ ) = cosθ, tan(60 k + θ ) = tanθ () 負角 : sin( θ ) = sinθ, cos( θ ) = cosθ, tan( θ ) = tanθ () 餘角 : sin(90 θ ) = cosθ, cos(90 θ ) = sinθ () 補角 : sin(80 θ ) = sinθ, cos(80 θ ) = cosθ, tan(80 θ ) = tanθ (5) sin(80 + θ ) = sinθ, cos(80 + θ ) = cosθ, tan(80 + θ ) = tanθ (6) sin(90 + θ ) = cosθ, cos(90 + θ ) = sinθ (7) sin(70 θ ) = cosθ, cos(70 θ ) = sinθ (8) sin(70 + θ ) = cosθ, cos(70 + θ ) = sinθ 設 f 與 g 互為餘函數, 則上述 8 種情況可歸納為 ± f( θ ), f(90 k ± θ ) = ± gx ( ), 當 當 k k 為偶數時, 為奇數時 其中的 ± 號視 90 k ± θ 所在的象限中 f 的符號決定.

12 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 求下列各廣義角的三角函數值 () sin( 80 ) () sin( 5 ) () cos800 () cos( 000 ) (5) tan 05 答 : () 0 () () () (5) 例 5 設 θ θ θ θ 分別為第一 二 三 四象限角, 且都介於 0 與 60 已知 cosθ = cosθ = cosθ = cosθ =, 請問下列哪些選項是正確的? 之間. () θ < 5 () θ + θ = 80 () cosθ = () sinθ = (5) θ = θ 學測 答 :()() 5 例 6 () 設 tanθ + =, 且 sinθ < 0, 求 sinθ + cosθ 的值 tanθ () 設 0 < θ < 90, 且 sinθ cosθ =, 求值 : sinθ cosθ + tan θ + tan θ 7 答 :() ()

13 第一章三角 類題 :. 設 P(-, y) 為 θ 終邊上的點且 sinθ =, 求 y 及 cosθ. 5. 設點 (sinθ + cosθ, tan θ cosθ 在第四象限內, 則 θ 為第幾象限角? 5sinθ + 8. 若 tanθ =, 求 5cosθ 7 之值.. 若 70 < θ < 60, 且 sinθ + cosθ =, 求 cosθ 的值. [8. 學測 ] 5 5. 設 f ( θ) = sin θ + cosθ, 求 f ( θ ) 之最大值及最小值. 6. 如下圖 BAC = θ, ABD = ACD = 90, AB = a, BD = b. 則 下列選項何者可以表示 CD? (A) asinθ + bcosθ (B) asinθ bcosθ (C) acosθ bsinθ (D) acosθ + bsinθ (E) asinθ + btanθ [9. 數學乙 ] 7. 如下圖, 單位圓 O 與 y 軸交於 A B 兩點, 角 θ 的頂點為原點, 始邊在 x 軸的正向上, 終邊為 OC, 直線 AC 垂直於 y 軸且與角 θ 的終邊交於 C 點, 則下列哪一個函數值為 AC? (A) sinθ (B) cosθ (C) tanθ (D) [86. 社會組 ] tanθ (E) cosθ 答 :. y =-,. 5 cosθ = 5. 四. θ Ⅱ, 5., -6 6.(B) 7.(D) ; θ Ⅳ,

14 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 7. 求下表中各三角函數值 : 角度 θ 函數值 sinθ cosθ tanθ 例 8. 求值 : sin 0 + tan( 5 ) + cos( 90 ) 答 : 例 9. 將下列各函數值用同一函數的銳角三角函數表示出來 () sin 00 () cos( ) () tan89 答 :() sin 60 () cos9 () tan88 例 0.() 設 cos( 00 ) = k, 以 k 表示 tan 80 () 求 80 cos k k = 與 80 sin k = k 之值. 答 :() k ()-, 90 k

15 類題 :. 求 sin (5 + α) + sin (5 α). 設 sin( 00 ) = k. 比較 a = sin 755, 之值., 以 k 表示 tan90. b = cos5, c = tan( 5 ) 的大小關係 求滿足 cos θ + cos 6θ + cos 7θ =, 且 50 θ 若 sin x =, 90 < x < 80, 則下列選項何者為真? 5 () cos x = () tan x = () 5 tan x = () 5 cos x = (5) 5 sin x = 第一章三角 5 的 θ 有幾個? 90 學測 答 :.. k. c > b > a. 5.()()(5) k

16 6 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習. 求下列各函數值 :() sin 000 () cos( 600 ) () tan( 600 ). 已知點 P (, y) 與 Q (x,-) 分別在有向角 α 與 β 的終邊上, 如果 x, y 為正數且 y x = 5, tanα + tan β = 0, 求 tanα + tan β 之值.. 求 80 sin( k ) k = 與 80 cos( k ) 之值. k =. 已知 sinθ =, 且 θ 為第三象限角, 求下列各式的值 () cosθ () sin(80 θ ) () cos( θ 90 ) 5. 設 cos θ = k( 0), 以 k 表 tanθ. 6. 比較下列 a, b, c, d 之大小關係 : a = sin870, b = cos( 0 ), c = tan0, () cos( θ 70 ) d = cos900. (5) tan(80 + θ ). 7. 將半徑為 之半圓周 AB 分成 80 等分, 設等分點依次為 P, P,, P79, 求 79 APk 之值. k = 8. 在 Δ ABC 中, 下列哪些選項的條件有可能成立? (A) sin A= sin B = sin C = (B) sin A, sin B, sin C 均小於 (C) sin A, sin B, sin C 均大於 (D) sin A= sin B = sin C = (E) sin A= sin B =, sin C =. [9. 學測 ]. () () (). 7.() () () () 答案 (5) 7. 0, 0 k 5.tanθ = ± 6. c > a > b > d k (A)(B)(E)

17 極坐標 第一章三角 7 7. 極坐標 : 選定一水平射線, 端點 O 稱為極 ( 點 ), 此射線稱為極軸. 對於平面上任一異於 O 的 點 P, 若以極軸為始邊, 射線 OP 為終邊的廣義角為 θ, 且 P 點的極坐標為 [ r,θ ], 其中 r > 0, 其中 θ 為任意角. 乁重點整理乁 0 < 60 OP = r, 則定義 θ, 並規定極點 O 的極坐標為 [ 0,θ ], 例. 將下列各極坐標化為直角坐標 : (), 60 (), 5 () 5, 0 (), 答 :()(, ) ()(, - ) ()(5, 0) () (cos, sin ) 例. 下列以直角坐標表示的各點, 試分別求其極坐標 : ()(,) () (, ) () (0,) () ( 5,0) (5) (+, ) (6) (cos70, sin 70 ) 答 :()[,5 ] ()[,0 ] ()[,90 ] ()[5,80 ] (5)[,5 ] (6)[,90 ] 類題 : 極坐標平面上兩點 P, 95, Q, 5 () PQ 長 () Δ OPQ 的面積 且 O 為極點, 求 答 :() 7 ()

18 8 鳳中數學講義 ( 三 ) 生命教育文章欣賞 人生三十年某日在閻羅王殿上, 牛頭馬面押著張三進來, 閻羅王撫尺一拍, 喝道 : 張三! 你前世為人, 雖然沒做什麼惡事, 但也沒修上等善事, 你來生仍為人, 壽命三十年 張三聽完, 憂喜參半, 跪下請求 : 閻羅王! 三十年的人生太短了, 我才剛要享受美好人生就命終了, 求您行行好, 再加幾年吧! 閻羅王吆喝: 不得討價還價, 到一邊等候發落 此時, 牛頭馬面又押著李四進來, 閻羅王吆喝 : 李四, 你前世為人, 游手好閒 好吃懶做, 罰你下輩子出生當牛, 壽命三十年 李四聽完, 跪地求饒 : 閻羅王! 當牛太辛苦了, 吃的是粗糙的草, 睡的是髒濕的牛棚, 不論烈日風雨都要下田, 還要遭主人的鞭打 三十年實在太長了, 可不可以減半, 十五年就好 閻羅王 : 豈有此理, 那多出來的十五年難道要我替你受不成? 就在此時, 張三跳出來說 : 閻羅王! 不如這樣吧! 李四多出來的十五年就分給我, 這樣問題就解決了 閻羅王想一想, 好像也可行, 於是叫判官在生死簿上記下來 接著, 趙五被押進來, 閻羅王 : 趙五! 你前世為人, 不安於室, 欺壓善良, 作威作福, 罰你下輩子出生當狗, 壽命三十年 趙五立刻跪下 : 閻羅王! 當狗太可憐了, 吃的是主人的剩菜剩飯, 不僅要看好門戶, 主人心情不好時就踹我一腳 求求您行行好, 可不可以減半, 十五年就好 此時, 張三又重施故技, 接收了十五年 最後是錢六, 閻羅王吆喝 : 錢六! 你前世為人, 虛擲生命, 無所作為, 罰你下輩子出生當猴子, 壽命三十年 錢六又跪下來 : 閻羅王! 當猴子在樹林中風吹雨打, 又怕被獅子 老虎吃掉, 一不小心還可能中獵人的毒箭, 每天提心吊膽, 害怕死亡的到來, 這種日子太難過了, 我只要十五年就好了 張三又急忙的將多餘的十五年承擔下來 於是, 他們四人各取所需, 歡喜的投胎去了 張三當人, 壽命七十五歲 李四 趙五 錢六分別當牛 狗 猴子, 壽命均為十五歲 心得分享 : 我們每個人的一生大致就是他們四人的組合體 張三的壽命雖然有七十五歲, 但只有三十年是真正當 人 的時間, 有十五年是 牛 的壽命, 有十五年是 狗 的壽命, 有十五年是 猴子 的壽命 我們當人如果不覺悟, 就會渾渾噩噩地循著張三的 生命模式 : 三十歲以前, 父

19 第一章三角 9 母供給我們讀書, 吃喝玩樂, 過著 人 的生活 三十到四十五歲, 為家庭 事業 子女打拼, 身心疲累, 像 牛 一樣 四十五到六十歲, 年紀漸長, 有人退休了, 有人生病了, 每天坐在家門口, 等待著兒女回來, 就像看門的 狗 一樣 六十到七十五歲, 步入老年, 日薄西山, 等著卻又害怕死亡的到來, 就像 猴子 一樣 我們若能及早覺悟, 就會隨時善用生命做利益他人的事, 並且不斷地淨化心靈, 如此, 我們不論在任何年齡都會有充實 自在的心境 雖做凡夫事, 不著凡夫意

20 0 鳳中數學講義 ( 三 ) 正弦定理 餘弦定理 乁重點整理乁. 面積公式 : 設 Δ ABC 三內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 則 Δ ABC 面積 = bcsin A = casin B = absin C.. 正弦定理 : 設 Δ ABC 三內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 且外接圓半徑為 R, a b c 則 = = = R. sin A sin B sin C 推論 :a = R sin A, b = R sin B, c = R sin C, 故 a : b : c = sin A : sin B : sin C.. 餘弦定理 : 設 Δ ABC 三內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 則 a b c bccosa 推論 : () = +, b + c a cos A =, bc b a c accosb = +, a + c b cos B =, ac () 若 A 為鈍角 cos A < 0 若 A 為直角 cos A = 0 若 A 為銳角 cos A > 0 a > b + c a = b + c a < b + c. c a b abcosc = +. a + b c cosc =. ab '. 海龍公式 ( Heron s formula) : 設 Δ ABC 三內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 則 a+ b+ c Δ ABC 面積 = s( s a)( s b)( s c), 其中 s =. 5. 外接圓半徑與內切圓半徑 : 設 Δ ABC 三內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 且外接圓半徑為 R, 內切圓半徑 abc Δ a+ b+ c 為 r, 則 R =, r =, 其中 Δ 表 Δ ABC 面積, s =. Δ s

21 第一章三角 例. Δ Δ ABC 中, 若 D, E 分別為 AB, AC 上的點, 試證 : ADE 面積 ΔABC面積 = AD AE AB AC. 類題 :. 在 Δ ABC 中, 已知 BC =, CA = 7,. 設 Δ ABC 中, BC = 5, BCDE, 求 :() cos ACD () ACD tan C =, 求 Δ ABC 的面積. AC =, AB =, 今以 BC 為一邊向外作正方形 Δ 的面積. [87. 社會組 ]. 在 Δ ABC 中, 已知 D, E, F 分別為 AB, BC, CA 上的點, 且滿足 AD BD =, BE CE =, CF AF =, ΔDEF面積求 ΔABC面積. 答 :. 5 5.()- 5 ()8. 5 例. 凸四邊形 ABCD 中, 若兩對角線 AC 與 BD 之夾角為 θ, 試證 : 此四邊形的面積為 AC BD sinθ. 類題 : 一等腰梯形的兩對角線之銳夾角為 60, 且面積為, 求其對角線的長. 答 : 例. Δ ABC 中, AB = 8, AC = 5, A = 60, 求 A 的內分角線段長. 答 : 0

22 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 : Δ ABC 中, AB =, AC =, D 在 BC 上, BAD = 60, CAD = 5, 求 AD 長. 答 : 例.() Δ ABC 中, A = 60, BC = 5, 求 Δ ABC 的外接圓半徑長. () 如圖所示, ABCD 為圓內接四邊形, 若 DBC = 0, ABD = 5, CD = 6, 求線段 AD. (95 學測 ) 5 答 :() ()6 類題 :. Δ ABC 中, AB =, A = 65, B = 70, 求外接圓半徑 R.. Δ ABC 中, 已知 BC =, sin A < sinb, 且 sina 與 sinb 為 8x x+ = 0, 的兩根, 求 Δ ABC 的外接圓半徑 [8. 社會組 ] 答 :.. + 例 5. Δ ABC 中, B = 0, AB =, AC =, 求 BC 長. 答 : 或 8

23 類題 :. Δ ABC 中, a-b+c=0, a+b-c=0, 求 sina:sinb:sinc.. 試証 : 任意 Δ ABC 中, sin A+ sin B > sin C. 第一章三角. 試證 : Δ ABC 中, ( b c ) sin A + ( c a ) sin B + ( a b ) sin C = 0. 答 :. : 5 : 7. 略. 略 例 6.() Δ ABC 中, AB =, AC =, A = 60, 求 BC 長 () Δ ABC 中, AB = 5, BC = 7, AC =, 求 A. 答 :() () 0 類題 :. Δ ABC 中, 已知 sina:sinb:sinc = 5:6:7, 求 cosa 值.. 設 x, x +, x + 為一鈍角三角形的三邊長, 求 x 的範圍.. Δ ABC 中, AB =, AC = +, A = 0, 求 () BC () C [8. 自然組 ] 答 :. 5 7.< x <.() () 5 例 7. 若三角形 ABC 的 AB = 8 AC = 5 及 cos BAC =, 求 sin ACB. 97 數學乙 5 答 : 5

24 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 8.. 四邊形 ABCD 中, AB =, BC = 5, CD = 5, DA = 7, 且 DAB = BCD = 90 求對角線 AC 長., 00 學測 答 : 例 9. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = 5, BC =, CD =, D = 0 求 () DA 及 AC () 四邊形 ABCD 的面積. 答 :() DA =, AC = 9 () 類題 :. 設 Δ ABC 中, C = 60 b a, 試證 : () + = () ( a+ b+ c)( a+ b c) = ab. a+ c b+ c. Δ ABC 中, A = 05, C = 60, b = 8, 試解此三角形.. 已知圓內接四邊形的各邊長為 AB =, BC =, CD =, DA = BD 的長度為 [86. 學測 ], 則對角線. 四邊形 ABCD 為一梯形, AD // BC, B = 5, C = 0, AD =, BC = 5, 求此梯形面積,

25 第一章三角 5 5. 請就以下條件, 分別討論 Δ ABC 各有幾組解? () a = 6, b = 0, A = 0 () a = 6, b = 0, A = 50 A = 50 () a =, b =0, A = 已知四邊形 ABCD 中, AB = 8, CD = 8, AD =, 且 B = D = 60 求 BC 長.[89. 社會組 ], 答 :. 略. B = 5, a = 6 + 8, c = () 二組 () 無解 () 一組 6. 或 5 例 0. 已知 Δ ABC 的三邊長為 BC =, AC = 5, AB = 6, 求 : () Δ ABC 的面積 () Δ ABC 的內切圓半徑 r () 外接圓半徑 R ()sina:sinb:sinc (5)cosA:cosB:cosC (6) ha : hb : h c (7) 此三角形的形狀為何? 5 答 :() () r = () R = ():5:6 (5)9:5:(-) (6)0:6: (7) 鈍角三角形

26 6 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 :. 設 G 為 Δ ABC 的重心, 且 GA = 7, GB = 8, GC = 9, 求 Δ ABC 的面積及 BC.. Δ ABC 中, a = 5, b = 6, c = 7, 求 :() Δ ABC 的面積 () R () r () AC 的中線長 (5) B 的分角線段長.. 一鈍角三角形的三邊長為連續的正整數, 求三邊長. 5 6 答 :. 6 5 ;.() 6 6 () () 6 () 7 (5) 05. 三邊長為,, 例. 在 Δ ABC 中, 若 D 在 BC 邊上, 且 AB = 7, AC =, BD = 7, CD = 8, 求 AD (95 學測 ) 答 :7 類題 :. 已知 Δ ABC 三邊長分別為 AB = 7, BC = 5, AC =, 延長 BC 至 D, 如下圖所 示, 使得 CD =, 求 AD 長. [86. 社會組 ]. Δ ABC 中, D 為 BC 邊上一點, 且 AB = AC = 5, AD =, BD =, DC = a, 求 a. [9. 數學乙 ] 答 : 例. 如下圖所示, 在 Δ ABC 中, A 的平分線 AD 交 BC 於 D; 已知 BD =, DC = 6, 且 AB = AD, 求 cos A 值. [9. 學測 ] 答 :

27 第一章三角 7 例.() 試證平行四邊形定理 : ABCD 對角線長之平方和等於各邊平方之和 () 平行四邊形 ABCD 中, 若 AB = 6, BC = 8, 求 AC + BD 之值. 答 :()00 例.() 中線定理 : Δ ABC 中, M 為 BC 之中點, 試證 : AB + AC = ( AM + MB ) () Δ ABC 中, AB = 5, BC = 6, CA = 7, M 為 BC 中點, 求 AM 長. 答 :() 7

28 8 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習. Δ ABC 中, 若 ( ) sin sin sin a+ b+ c = A+ B+ C, 求 Δ ABC 外接圓半徑.. Δ ABC 中, 設 (b + c):(c + a):(a + b) = :5:6, 求 () sina:sinb:sinc ()cosa.. Δ ABC 中, A = 60, B = 75, AC = +, 求 :() BC 長 () AB 長.. Δ ABC 中, B = 05, AB =, BC =, 求 : () Δ ABC 的面積 () AC 長 () A 的角度. 5. Δ ABC 中, AB =, AC =, B = 0, 求 :() BC 長 () 6. Δ ABC 中, A = 60, AB = 8, AC =, 求 : C 的角度. () A 的內角平分線段長 () BC 邊上的中線長 () BC 邊上的高. 7. Δ ABC 為一個鈍角三角形, a =, b = 5, 求 c 的範圍. 8. 求三邊長為 5, 6, 7 的三角形的面積. 9. 設一三角形的三中線長為, 5, 6, 求此三角形的面積. 0. 試證 : Δ ABC 中, sina + sinb > sinc.. Δ ABC 的周長為 0, 內切圓半徑為, A = 60, 且 b < c, 求 : () Δ ABC 的面積 () 三邊長 () 外接圓半徑.. 設一三角形的三高為 h a = 6, h b =, h c =, 求 : () 最小角的餘弦值 () 三邊長 () 面積 () 內切圓半徑.. 設 Δ ABC 滿足下列條件, 試分別判別其形狀 : () sin A+ sin B < sin C () a cosa b cosb + c cosc = 0 () cosb sinc = sinb cosc.. Δ ABC 中, B = 60, () BC 長 () AC 長 () Δ ABC 的面積. B 的分角線交 AC 於 D, 已知 AB = 6, BD =, 求 : 5. Δ ABC 中, AB = 5, BC = 6, CA = 7, 分別以 Δ ABC 的各邊向外作正方形 ABPQ BCTU ACSR, 求六邊形 PQRSTU 的面積. 6. 四邊形 ABCD 中, AB = 6, BC =, CD =, 若 B = C = 0, 求 AD. 7. 在 Δ ABC 中, AB = 0, AC = 9, cos BAC =, 設點 P Q 分別在 AB AC 上使得 ΔAPQ 8 之面積為 Δ ABC 面積之一半, 則 PQ 之最小可能值為何? ( 化成最簡分數 ) (98 學測 ) 8. 在 Δ ABC 中, M 為 BC 邊之中點, 若 AB =, AC = 5 0, 且 BAC = 0, 求 tan BAM ( 化成最簡根式 ) (96 學測 )

29 第一章三角 9..()7:5: ()- 答案.() 6 ().() + () 6 + () 5 5.() 或 () BC = 時, C = 60 ; BC = 時, C = () () () 7 7. A 為鈍角時, 7 < c < 9 ; C 為鈍角時, < c < () () 6 5 5, 8 0. 略.() 0 ()a = 7, b = 5, c = 8 () 5 5, 5 5 () ().() 鈍角 Δ () 直角 Δ () 等腰 Δ.() () ()

30 0 鳳中數學講義 ( 三 ) - 和角公式與差角公式 乁重點整理乁. 和差角公式 : () cos( α β) = cosαcos β + sinαsin β () cos( α + β) = cosαcos β sinαsin β () sin( α + β) = sinαcos β + cosαsin β () sin( α β) = sinαcos β cosαsin β tanα tan β tanα + tan β (5) tan( α β) = (6) tan( α + β) = + tanα tanβ tanα tanβ 例. 求 cos5 的值. 6 + 答 : 類題 :. 求下列各值 :() cos 75 ()sin05 () tan5. 答 :() 6 () 6 + ()- 例. 已知 sin 5 = a, cos 5 = b, 則下列那些選項是對的? (A) ab (B) sin0 = a b (C) sin0 = ab a b (D) ab + a b = (E) a b + b a. 答 :(A)(C)(D) 類題 :.sin8 = a, cos 6 = b, 則下列那些是對的? (A) cos = a b + b a (B) sin = ab a b (C) sin7 = ab + a b (E) 以上皆非. (D) = b b a a cos7

31 第一章三角. 若點 A(sinα, cosα), 點 B(cosβ, sinβ), 且 α + β = 0, 求 AB 長.. 求 sin 85 cos 5 cos85 sin 5 值.. 求 sin00 sin( 60 ) + cos 00 cos( 80 ) 值. 答 :.(A)(B)(C). 6.. 例. 設 Δ ABC 中, sin A+ cosb= 5, sin B+ cos A= 5, 求 C. 答 :90 例. 設 A B 均為銳角且 sina =, sinb =, 求 A + B 的角度. 答 :0 討論 : 你會利用 sin(a + B) 來求 A + B 的角度, 還是 cos(a + B)? 類題 :. 設 90 < α < 80, 90 < β < 80, 且 sinα =, 5. 設 0 < α < 90, 0 < β < 80, 且 α + β 的角度. 答 :.5., 5 tanα =, cos β =, 求 α + β. 0 tan β =, 求 tan( α + β ) 的值, 並求 例 5. 設 Δ ABC 為邊長 5 的正三角形, P 點在三角形內部, 若 PB =, PC =, 求 cos ABP ( 四捨五入到小數點後第二位, 的近似值是., 的近似值是.7 ) (98 數甲 ) 答 : 0.9

32 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 : 將點 P(-, ) 繞原點 O 依逆時針方向旋轉 60 到 Q 點, 求 Q 點坐標. 答 : (, ) 例 6. 5 Δ ABC 中, 三內角 A B C 的對邊長為 a b c, 若 sina =, cosb =, 5 求 a:b:c. 答 :5:9:6 類題 : 在 Δ ABC 中, 已知 AB = 5, cos ABC =, 且其外接圓半徑為 5, 求 sin BAC ( 化成最簡分數 ) (99 數甲 ) 例 7. 設 α + β = 5, 求 ( + tan α)( + tan β) 的值. 答 : 65 答 : 類題 :. 求 ( + tan8 )( + tan 7 ) 值.. 設 tan( α β ) =, tan( β γ) =, 求 tan( γ α) 的值.. 求 ( + tan )( + tan )( + tan ) ( + tan )( + tan ) 值. 答 :.. 7.

33 例 8. () 已知 tanθ =, tan ( θ φ) =, 求 tanφ 的值. [ 提示 : φ θ ( θ φ) () 如右圖, ABCD, CDEF, EFGH 皆為正方形. 若 EBF = α, AGB = β, 試求 : tan( α + β ) 及 α + β 之值 第一章三角 = ] 答 :() (), 5 類題 : 已知 A+ C = 5 且 tan(a + B + C) =, 求 tan B. 答 : 例 9. () 試證 : sin( x + y) sin( x y) = sin x sin y () 求 sin 7.5 sin 7.5 的值 答 :() 略 () 類題 :. 求 sin(60 x)sin(60 + x) 的最大 最小值.. α + β = 0, 求 sin α sin β 的最大 最小值.. 求 cos( α + 0 ) cos( α 0 ) + sin( α + 60 ) sin( α 60 ) 的值. 答 :.,.,. 0

34 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習 sin50 cos0 cos0 sin70. 化簡 :. cos70 sin80 + cos0 cos80. 若 abc 0, a c 且 tanα 與 tan β 是 ax + bx + c = 0 之二根, 以 a b c 表示. tan( α + β). 若 sinα + sin β + sinγ = 0, cosα + cos β + cosγ = 0, 求 cos( α β) 之值..() 求 sin 90 cos 0 + cos 90 sin 0 之值. () 求 cos60 cos 0 + sin 60 sin 0 之值 設 0 < α < 90, 90 < β < 80, 且 sinα =, cos β =, 求 sin( α + β) 之值 設 sina 與 sinb 為 x + px+ q= 0 之兩根, 試以 p q 表示 sin( A+ B)sin( A B). 7. 設 α, β, γ 為銳角, 且 tanα =, tan β =, tanγ =, 求 α + β + γ. 8. 設 α, β, γ 為 Δ ABC 的三內角, 試證 : tanα + tan β + tanγ = tanα tan β tanγ. 9. 設 0 < α < 90, 90 < β < 0, 若方程式 x x = 0 二根為 tan α, tan β, 求 α + β. 0. Δ ABC 中, tanb =, tanc =, b = 00, 試求 tana sin A 及 a.. 設 60 x 60, 求 cos( x+ 60 )cos( x 60 ) 的最大 最小值.. 求 sin( x+ 0 )sin( x 0 ) 的最大值及最小值.. 設 sinα + sin β =, cosα + cos β =, 求 cos( α β).. 設 sinα + sin β =, cosα + cos β = 0, 求 cos( α β). 5. 右圖中, 每一小方格皆為邊長 單位的正方形, 求 ABC 的正切值. 答案. c a...() () 5. b 略 ,, 60 5., 0 ± p p q 7.,

35 第一章三角 5 乁重點整理乁. 二倍角公式 : () sin θ = sinθcosθ () tanθ () tan θ = tan θ. 三倍角公式 : cos = cos sin = cos = sin θ θ θ θ θ () sin θ = sinθ sin θ () cos θ = cos θ cosθ θ. 半角公式 :( 取正號 或取負號, 由所在象限來決定 ) θ cosθ θ + cosθ θ cosθ cosθ sinθ () sin =± () cos =± () tan =± = = + cos θ sin θ + cos θ cosθ + cosθ. 降次公式 :() sinθ cosθ = sin θ () sin θ = () cos θ = 例. () 已知 sinθ = 且 cosθ > 0, 下列哪些選項是正確的? (A) tanθ < 0 (B) tan θ > (C) 9 sin θ > cos θ (D) sin θ > 0 (E) 標準位置角 θ 與 θ 的終邊位在不同的象限 θ θ () 設 sinθ = cos, 求 sin 及 cos θ. 00 學測 答 :() (A)(B) (), 7 ± ; ±, 0 類題 :. sinx cosx = a, 試將 () sinx ()cosx 以 a 表出. cos θ =, 求. sin0 = (A)sin70 cos70 sin θ + cos θ 之值. (B)tan70 (C) cos 70 sin 70 (D)sin70 (E) 以上皆非. 答 :.() a () a a ±. 6.(A)

36 6 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 如右下圖, 直角三角形 ABD 中, A 為直角, C 為 AD 邊上的點. 已知 6 AB = 5, ABD = ABC, 則 BD = ( 化成最簡分數 ) 99 學測 BC =, 答 : 90 7 例. 已知 Δ ABC 中, AB =, BC = 且 A= C, 則 AC = ( 化成最簡分數 ) (99 學測 ) 答 : 5 例. 坐標平面上, 以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A (, 0), B, C, 且 AB = BC. 已知 銳角三角形 OAB 的面積為 0, 求 Δ OAC 的面積. 97 學測 答 : 5

37 例 5. 設 80 < θ < 60, 且 5sin θ 9 cosθ =, 求 sin θ 第一章三角 7 及 cos θ. 答 : 5 5, 5 5 類題 :. 下列何者為真? (A)sin 5 = cos 5 = (B)sin.5 = (C)cos.5 = + (D)sin.5 = + (E)cos.5 = 令 sinθ =, 90 < θ < 80, 則 5 (A)cosθ = 5 (B)sinθ = 5 θ (C)sin = 0 θ (D)cos = 0 7 (E)sinθ = 設 sinθ = θ 且 80 < θ < 70, 求 tan 之值. 答 :.(A)(B)(C)(D)(E).(A)(C)(E). 5 例 6. 令 cosx = t, 試以 t 表出 8 8 (sin x cos x). 答 : t t 6 6 類題 :. cosθ = t, 則 (sin θ cos θ ) = (A) t+ t (B) t t (C). tanθ = t, 試將 sin t+ t (D) t t (E) θ cos θ 以 t 表出. t + t. 答 :.(D). t + t

38 8 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 7. tan x =, 求 sin x 與 cos x 之值. 答 :, 5 5 θ 類題 : 令 x = tan, 試以 x 表出 cos θ. 6x + x 答 : + x + x 例 8. 求 cos0 cos0 cos80 的值. 答 : 8 例 9. 求 cos.5 + cos cos.5 + cos 57.5 之值. 答 : 類題 : 化簡 sin.5 + sin sin.5 + sin 答 :

39 例 0. 8x 7x a = 之二根為 sinθ, cosθ, 求 a. 第一章三角 9 答 : 類題 :. sinθ cosθ 是 x 5x m 0 + = 之二根, 求 sinθ 及 m.. sinα sin β 是方程式 x + ax+ b = 0 之二根, 求 sin ( α + β ) sin ( α β ) 之值. ( 以 a, b 表出 ) 答 :. sinθ = 6 9, m = 8 9. a a ± b 例. sinθ cosθ =, 求 sinθ + cosθ 之值. 5 答 : 7 類題 :. 設 cosθ = x +, 試以 x 表 x () cosθ () cosθ () cos nθ. () 提示 : 用數學歸納法, 設 n = k, k 時均成立, 當 n = k + 時, 利用 k+ k k x + = ( x + )( x+ ) ( x + ) k+ k k x x x x. 設 x = sinθ + cosθ, 試將 sinθ cosθ 表成 x 的多項式.. 於 90 < x < 70 內, cos x + cos x + cos 6x = 有多少個解? 答 :.() x x + () x + () x x n + n x. x x. 個

40 0 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 試求 sin8 之值. 5 答 : 下面的表格中, 列舉了正餘弦在 的三角函數值 角度 函數 sinθ cosθ 類題 : 求 sin6 sin 7 sin08 sin =? 答 : 6 5

41 第一章三角 綜合練習. 求 + sin5 cos5 ( ) cos 5 sin 5 之值. + sinθ + cosθ. 試證 : = + sinθ cosθ θ tan.. 求. 設 sinθ 和 cosθ 為 x + px+ q= 0 之二根, 以 p q 表示 sin θ θ θ (cos sin ) 之值. cos.5 + cos cos.5 + cos 57.5 的值. 5. 設 0 < α < 90, 試化簡 : + sinα sinα. 6. 設 0 x < 60, 求 cosx + sinx 的最大 最小值. 7. θ 是銳角, + 為 x (tan θ + ) x+ = 0 的一根, 試求 sinθ 及 θ. tanθ 8. Δ ABC 中, 若 sina cosc = cosa sinb, 判斷 Δ ABC 的形狀. 9. 下列那些是 8x 6x+ = 0 的根 (A) sin0 (B) sin0 (C) sin0 (D) sin60 (E) sin50. A 0. 如圖, θ 是一個有向角, AB =, BC = 5, 求 sinθ.. 若 sinθ 為 x + x = 0 之一根, 求 cosθ. B. 設 0 x < 60, 解三角方程式 cosx = sinx.. 依下列步驟解三角方程式 cosθ sinθ + = 0, 其中 0 θ 80, () 設 x = sinθ, 將原方程式化成 x 的三次方程式. () 解 () 中方程式的解, 進而求得原三角方程式的解. θ C.. 略. 答案 α. + p + q 5.sin 6., 7., 5 或 直角或等腰 9.(A)(C)(E) ,50 或 70 9.() 8x x 6x+ = 0 () x = 或 ±, θ = 0, 50, 60, 0

42 鳳中數學講義 ( 三 ) 5 三角測量 乁重點整理乁. 利用電算器求三角函數值.. 利用三角函數值表, 求某一定角的三角函數值.. 利用內插法求三角函數值的近似值. 註 :( 度 = 60 分, 分 = 60 秒 ; 或以符號表示, 即 = 60, = 60.) 例. () 利用三角函數值表, 查出 sin 0 與 sin 0 之值. () 利用內插法, 求 sin 8 之值. 答 :() sin 0 = 0.9,sin 0 = 0.96 ()0.956 例. 廣場上插了一支紅旗與一支白旗, 小明站在兩支旗子之間. 利用手邊的儀器, 小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍 ; 小明往正北方走了 0 公尺之後再測量一次, 發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 倍. 試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項? () 60 公尺 () 65 公尺 () 70 公尺 () 75 公尺 (5) 80 公尺 (97 學測 ) 答 :

43 第一章三角 乁重點整理乁. 測量術語 : () 水平線及鉛直線 () 觀物線 ( 視線 ): 眼與物之連線 () 方位 : A 在 O 之北 東 B 在 O 之北 8 西 C 在 O 之南 西 D 在 O 之南 5 東 () 仰角 俯角 : 仰角 : 視線與水平線之夾角 ( 視線在上 ) 俯角 : 視線與水平線之夾角 ( 視線在下 ) 5. 簡易測量解題步驟 : () 作圖形 ( 平面圖或立體圖 ) () 標出已知量及假設未知量 () 解出未知量 ( 以銳角的三角函數值解之 ) Note: 當圖形是直角三角形時, 常可用三角函數的定義或畢氏定理解之. 例. 在高 50 公尺之山頂, 依同一方向測得地面 A, B 二處之俯角為 5 及 0, 試求 A, B 之距離 答 :50( ) 公尺

44 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 : 有一建築物其屋頂的縱切面圖形如下 : 如果 B = 5, BAC = 0, AB = 8 公尺, 求屋 頂距橫樑 BC 的高 h 及橫樑 BC 之長. 答 :h.59( 公尺 ), BC.7 公尺 例 如圖, BD 是湖面, A 點離湖面 50 公尺, 在 A 點仰望對岸山頂 T 的仰角為 0, 俯視山頂在水中的倒影 T 的俯角為 5, 求山頂離湖的高度. 答 : 50 ( + ) 公尺 例 5. 根據氣象預報, 某颱風於某日下午 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 00 公里處, 暴風半徑為 50 公里, 以每小時 50 公里的速率朝 北 0 西 等速直線前進, 設此颱風的速度方向及暴風半徑都不變, 求鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有 小時. [80. 社會組 ] 答 :8 類題 : 海中一小島, 四周 x 浬內布設水雷, 今有一艦於 A 處望該島在北 60 西, 向西行駛 0 浬後至 B 處再望該島, 則在北 0 西, 若此艦之航向不變, 布雷半徑 x 最大未超過多少浬時, 該艦方無危險? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 浬 答 :(A)

45 第一章三角 5 例 6 老張從旗桿底 O 點的正西方 A 點, 測得桿頂 T 點的仰角為 0, 他向旗桿前進 0 公尺至 B 點, 再測得桿頂的仰角為 60, 求 : () 旗桿高 () B 點與桿頂 T 點的距離 () 他由 B 點回頭向 A 點走到 C 點, 測得桿頂仰角為 5, 求 BC 的長. () 若他由 B 點向正南方走到 D 點, 測得桿頂仰角為 5, 求 BD 的長 (5) tan( AOD) 的值. [8. 自然組 ] 答 :()5 公尺 ;()0 公尺 ;()5( -) 公尺 ;()5 公尺 ;(5) 類題 :. 一人在山的正西方之地面某處, 測山頂的仰角為 5, 他往南走了 公里後, 再測山頂的仰角為 0, 求此山高.. 一塔高為 50 公尺, 在塔的東 0 北 A 處和東 60 南 B 處各有一觀測站, 測出塔頂的仰角分別為 60 和 5, 求 A 與 B 之距離. 答 :. km 707. 公尺.00 公尺 例 7. 有一艘軍艦以每小時 5 浬的速度向南 5 西的方向行駛, 於上午 0 時, 測得一燈塔位於其北 7 西的方向, 但到了中午 時, 再測得此燈塔在其北 東的方向. 試求 () 上午 0 時, 此艦與燈塔的距離 () 中午 時, 此艦與燈塔的距離 答 :() 浬 () 浬

46 6 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習. 有一向正北航行的船, 在北 5 東見一燈塔, 航行 0 公里後, 見該燈塔在北 0 東. 試問此船繼續向北航行時, 它與燈塔的最短距離為何?. 一塔高 50 公尺, 樹 A 在塔的正東方, 樹 B 在塔的正南方, 從塔頂測得 A 之俯角為 5, B 之俯角為 0, 求此二樹間的距離.. 設 A B C 為地面上三點, A 在 B 正南, C 在 B 正東, 有一塔在 B 之正西, 由 A B C 三點, 測塔頂仰角分別為 5 60 及 0, 若 AB = 00 公尺, 求 BC 及塔高.. 平面上有一正三角形 ABC, 其內心為 P, 邊長為 00 公尺. 今在 P 點直立一旗桿, 已知由 A 點測得桿頂 T 的仰角為 0, 則 : () AP 為 (A) (B) 00 (C) (D) 5 (E) 公尺 () 旗桿高為 (A) (B) 50 (C) (D) (E) 公尺 () A 點到桿頂 T 的距離為 (A) 50 (B) (C) 00 (D) (E) 公尺 () 若在 AP 上一點 Q, 測得桿頂 T 的仰角為 60, 則 Q 到桿頂 T 的距離為 (A) (B) (C) (D) 50 (E) 公尺 9 9 (5) AQ :QP 為 (A) : (B): (C) : (D) : (E) :[8. 自然組 ] 5. 將一長為 5 公尺的竹竿, 斜靠在垂直地面而高為 公尺的牆頭, 有部分伸出牆外. 假設竹竿與地面成夾角 θ, 竹竿伸出牆外部分 ( 牆的厚度不計 ) 於日正當中時, 在 a 地面的影長為 bcosθ tanθ +, 其中 a, b 為常數, 求數對 (a, b).[8. 社會組 ] 6. 某甲觀測一飛行中之熱氣球, 發現其方向一直維持在正前方, 而仰角則以等速遞減, 已知此氣球之高度維持不變, 則氣球正以 (A) 等速飛行 (B) 加速向某甲飛來 (C) 減速向某甲飛來 (D) 加速離某甲飛去 (E) 減速離某甲飛去 [88. 自然組 ]

47 第一章三角 7 7. 在坐標平面的 x 軸上有 A(, 0), B(-, 0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一 目標 C 點, 測得 BAC 及 ABC 之值後, 通知在 D( 5, -8) 的砲臺此兩個角的 正切值分別為 9 8 及 8. 求砲臺 D 至目標 C 的距離. [90. 學測 ] 8. 某人隔河測一山高, 在 A 點觀測山時, 山的方位為東偏北 60, 山頂的仰角為 5, 某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點, 山的方位變成在西偏北 60, 求山高. [9. 學測 ] 9. 某農場基於飛航安全考量, 限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不得超過 8, 某建築公司打算在離機場中心 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓, 在符合機場的限制規定下, 該大樓在地面以上最多可以蓋幾層樓 ( 參考數據 :sin8 =0.9, cos8 =0.990, tan8 =0.05) (95 指考數乙 ) 答案. 5 公里. 00 公尺. BC = 00 公尺, 塔高 = 50 6 公尺.()(C) ()(A) ()(D) ()(E) (5)(B) 5.(-,5) 6.(D) 公尺 9.8

48 8 鳳中數學講義 ( 三 ) 乁重點整理乁 Δ ABC 有三個角及三個邊, 一共六個量, 其中三個量已知, 而且至少有一個是邊長, 便可求得其餘三個量. 例如 : () 已知兩角角度及一邊長時, 第三角便可得知 ( 內角和 80 ), 再由正弦定理 : a b c = =, 即可求得另兩邊之長. sin A sin B sin C b + c a () 已知三邊時, 由餘弦定理 : cos A =. bc 可得 A 餘弦值, 進而確定 A, 同理確定 B, 則 C 亦確定. () 已知兩邊及其夾角時, 由餘弦定理可求得第三邊長, 三邊既定, 角度即確定. 利用以上這些有關三角形邊角之間的關係, 便可以處理許多測量上的問題. 例. 假設甲 乙 丙三鎮兩兩之間的距離皆為 0 公里, 兩條筆直的公路交於丁鎮, 其中之一通過甲 乙兩鎮而另一通過丙鎮. 今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 5, 則丙 丁兩鎮間的距離約為 ().5 公里 () 5 公里 答 : () 5.5 公里 () 6 公里 (5) 6.5 公里 (98 學測 ) 類題 :. 設有 A, B 兩個瞭望台, 兩台之間的距離為 00 6 公尺, 今發現海上有船 C, 又設 ABC = 05, BAC = 5, 問船 C 與瞭望台 A 相距多遠?. 某君在一廣場某一點出發, 先往東北方前進 50 公尺後轉往正西方向行進, 一段時間後測得原出發點在他的南偏東 60 方向, 則此時他距原出發點大約 (A) 5 公尺 (B) 公尺 (C) 50 公尺 (D) 7 公尺 (E) 87 公尺 [9. 學測補考 ] 答 :. 00 ( + ) 公尺. (D)

49 第一章三角 9 例. 在與水平面成 0 的東西向山坡上, 鉛直 ( 即與水平面垂直 ) 立起一根旗竿. 當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時, 旗竿的影子長為 公尺, 如下圖所示 ( 其中箭頭表示陽光投射的方向, 而粗黑線段表示旗竿的影子 ). 試問旗竿的長度最接近以下哪一選項?() 9. 公尺 () 9.8 公尺 () 0.7 公尺 (). 公尺 (5).7 公尺 97 數學甲 參考數值 : sin0 0.7, sin 0 0., cos , cos ,.7 答 :() 西 0 東 例. 某人於山麓測得山頂的仰角為 5, 由此山麓循 5 斜坡上行 00 公尺, 再測得山頂的仰角為 60, 求山高. 答 :50( 6 + ) 公尺 類題 : 傾斜 5 的斜坡頂端有一塔, 於坡上一點 A 測得塔之視角 ( 物體兩端與觀測點連線之夾角 ) 為 0, 沿坡道上行 00 公尺至 B 點, 再測塔之視角為 5, 求塔高. 答 :00 公尺

50 50 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 如圖中, A, B 間有障礙物, 不能直接丈量. 今量得 AC = 80 公尺, BC = 5 公尺, 且 ACB = 60, 試求 A, B 兩點間之距離. 答 : 969 公尺 類題 : 如下圖, A, B 兩點分別位於一河口的兩岸邊. 某人在通往 A 點的筆直公路上, 距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 00 公尺的 D 點, 分別測得 ACB=60, ADB=0, 求 A 與 B 的距離 [87. 學測 ] 答 :50 7 公尺 例 5. 自山頂觀測正東方地面 A 點, 得俯角 0, 再觀測在南 0 西方向 B 點, 得俯角 5, 若山高為 h, 求 A, B 兩點之距離. 答 : AB = + h 類題 : 從塔之正東一點 A, 測得塔頂之仰角為 5, 在塔之南 60 東一點 B 測得塔頂之仰角為 0, 已知 A, B 兩點相距 50 公尺, 求塔高. 答 :50 公尺

51 第一章三角 5 例 6. 直線公路旁有一高塔, 在公路上某處測塔頂之仰角為 0, 前行 00 公尺, 再測塔頂仰角為 5, 又前行 00 公尺, 測仰角得 60, 求此塔高度. 答 :50 6 公尺 類題 : 一直線上三點 C, D, E 測得山頂之仰角分別為 0, 5, 60 ( 但 C, D, E 三點與山頂之垂足不共線 ), 若 CD =600 公尺, DE =00 公尺, 求山高. 答 : 00 5 公尺 例 7. 兩觀測站 P 與 Q 之間的距離為 k, 今有一架飛機 A 恰巧飛越某一大橋 B 上時, 由 P 站測得飛機 A 的仰角為 α, 稍後在地面上測得 BPQ =θ 和 BQP =φ, 試證 飛機的高度為 k sinφ tanα. sin( θ + φ)

52 5 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習. 兩觀測站 A 與 B 之距離為 0 公尺, 在同一時間於 A B 兩站分別測得飛機 P 之仰角為 0 5, 且由飛機 P 測得 A B 兩點之視角 ( 即 APB) 為 5, 求飛機當時的高度.. 在河的一岸有兩個觀測站 A, B 欲測另一岸 C, D 兩點間之距離, 測得 CAD = 5, DAB = 75, ABC = 0, CBD = 0, 如右圖所示, 今已知 A, B 相距 00 公尺, 求 C, D 距離.. 設有 A, B, C 三村, 一條河流自南向北, 河寬 公里, 且 A, B 兩村緊靠在河之東岸, B 在 A 之北 公里處, 自 B 朝北走 公里後, 搭小船西行, 過河後繼續往西走, 再走 公里即是 C 村, 今電信局想建一中繼台, 使此台與三村等距, 則此台距河之西岸多遠?. 從平地三點 A, B, C 測某山頂的仰角均為 60, 如下圖所示, 設 BAC=0, BC =50 公尺, 試求山的高度. 5. 一漁船在湖上等速直線前進, 已知上午 9 時 50 分, 漁船在觀測點 O 的北方偏西 70, 離 O 點 浬處. 上午 0 時 0 分, 則在觀測點 O 的北方偏東 50, 離 O 點 浬處, 求 : () 此漁船的時速 () 這段時間內, 漁船離觀測點 O 的最近距離. [8. 社會組 ]

53 第一章三角 5 6. 在 Δ ABC 中, 已知 C = 60, AC = 000公尺, BC = 000 公尺, 則 A 為度. ( 度以下四捨五入 )(.7, 7.66,.58) 88 學測 7. 氣象局測出在 0 小時期間, 颱風中心位置由恆春東南方 00 公里直線移動到恆春南 5 西的 00 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 四捨五入到整數 )[89. 學測 ] 8. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動, 開始時該物位置在 P 點, 一分鐘後其位置在 Q 點且 POQ = 90. 再過一分鐘後, 該物位置在 R 點且 QOR = 0. 請以最簡分數表示 tan ( OPQ). 9 數甲 9. 平面上有 A B C 三點, 已知 B C 之間的距離是 00 公尺, B A 之間的距離是 500 公尺, ACB 等於 60. 請問 A C 之間距離的最佳近似值是哪一個選項? () 500 公尺 () 600 公尺 () 700 公尺 () 800 公尺 9 數甲. 0 公尺 公尺. 5. () 7 浬 / 時 ;() 7 答案 公里 8 浬 公里 / 時 公尺 9.()

54 5 鳳中數學講義 ( 三 ) 一 生命教育文章欣賞 轉煩惱為快樂 有一個男人為了參加第二天的小學同學會, 他特地上街買了一條新長褲 他回家穿上後, 卻發覺長度多了十公分, 於是他請求媽媽替他改 媽媽說 : 身體不舒服, 想早一點休息, 今晚不想改 於是去請求太太替他改, 太太說 : 還有許多家事要做, 今晚沒有時間改 後來只好請求女兒替他改, 女兒說 : 今晚跟男朋友約好去跳舞, 沒有時間改 他想想, 既然如此, 明天穿舊的長褲去同學會也可以!當天晚上, 他媽媽心想 : 兒子平時對我很孝順, 他開口要求總不好拒絕他 於是起來替兒子改長褲, 剪短了十公分 他太太稍晚做完家事後, 心想 : 老公平時很有耐心, 今天他是因為不會縫針線才開口要求, 總不好拒絕他 於是替先生改長褲, 剪短了十公分 他女兒晚上回來想想 : 爸爸不阻止我去跳舞, 實在是個開明的老爸, 今天我實在應該替他修改長褲 於是替爸爸改長褲, 剪短了十公分 第二天早上, 三個女人分別告訴男主人此事 他一試長褲, 已經變成吊腳褲了 他當下的反應是哈哈一笑, 說道 : 我一定要穿去給同學看, 讓他們知道我的媽媽 太太 女兒對我多好! 結果, 老同學們一致稱讚他家庭經營成功, 他的媽媽 太太 女兒也都很高興 二 有一位住在火車站附近的老婆婆, 因為家中電話與火車站的電話號碼只差一個數字, 因此, 常有許多要查詢火車時刻表的民眾, 都會誤按號碼, 打到老婆婆家詢問 但老婆婆不知道火車的時刻, 只好請他打到火車站詢問 因為平靜的生活受到干擾, 長期下來, 使得老婆婆非常困擾 有一天, 老婆婆又接到同樣的電話, 且告訴他同樣的方式 但電話掛斷後, 老婆婆心中忽然閃過一個念頭 : 如果我去火車站取得時刻表, 下次再有人打電話來詢問時, 我就可以直接回答他的問題, 他就不必再打到火車站了 我也不困擾, 他也省時間, 何樂而不為呢? 老婆婆立刻衝到火車站拿了一份火車時刻表, 然後興高采烈地回家 從此之後, 她每天都充當火車站的接線生, 而且過得非常快樂

55 第一章三角 55 心得分享 : 故事一中的男人, 因為 善解 而領悟正面思考, 並且從中感受到家人的關心與溫暖 ; 故事二中的老婆婆, 因為 轉念 而得到欣喜快樂, 也明白 : 原來為人服務才能真正顯示出生命的意義與價值 兩者都非常值得我們學習 明朝的蕅益大師說 : 境緣無美醜, 美醜起於心 我們的生命型態由心識支配, 煩惱或快樂也是由自己的心來決定的 我們生命的煩惱與痛苦都是來自於 我 的念頭, 凡事都以我為中心 順我意者就高興, 心中有一個 我 得到滿足, 於是就助長貪念 ; 不順我意者就生氣, 心中有一個 我 無法滿足, 於是就助長瞋恨 因此, 我們的生命就處在貪欲與瞋恨的錯綜交雜循環中, 當然就痛苦了 如果凡事只想利益他人, 沒有 我 的念頭, 就不會覺得很累, 也沒有 我 在辛苦, 更沒有 我 在受委屈 如此, 心就處在平靜的空性中, 心平且安定, 自性智慧就顯露 生命就會呈現對一切法的喜悅與自在的境界, 這樣的境界才是值得我們去追求的真實快樂