(99 課綱 ) 第四冊第四章二次曲線 4-1 拋物線 目標 首先由拋物線的定義及拋物線的尺規描點作圖來認識拋物線 ; 再以解析法推導出拋物線的標準式及經過平移 伸縮後的拋物線方程式 作為進一步探討拋物線的基礎 討論 在西元十五世紀之前 人們一直相信地球是宇宙的中心 直到十六世紀哥白尼 ( 波蘭 1473~1543) 首先提出日心學說 認為所有行星都是循著圓形軌道繞太陽運行 之後伽利略 ( 義大利 1564~164) 改良了傳統望遠鏡 用來觀察行星軌跡 而大力支持日心學說 另一方面 克卜勒 ( 德國 1571~1630) 也根據對火星的長期觀測 修正了哥白尼圓形軌道的理論 著名的克卜勒定律指出行星循橢圓軌道繞行太陽 最終牛頓 ( 英國 1643~177) 提出萬有引力定律 並用數學證明在單一重力源的作用下 天體的運行軌道有且只有三種 即拋物線 橢圓 雙曲線 這三種曲線都是平面曲線 且可以二次方程式描述 統稱為二次曲線 定義 1. 直圓錐面 : 空間中 兩不互相垂直的直線 L M 相交於一點 V 固定直線 L 為軸 將直線 M 繞點 V 在空間中旋轉一周 所得的圖形稱為直圓錐面 其中直線 L 稱為主軸 點 V 稱為頂點 變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線. 直圓錐面與不過頂點的平面之截痕 : 設 L M 是相交於 V 點的兩條直線 讓 M 以 L 為軸旋轉 所得的曲面就是一個直圓錐面 Ω 再用一個不過 V 點的平面 E 去切割 Ω 所得的曲線稱為圓錐曲線 設 L M 的夾角為 α 割平面和軸線 L 的夾角為 β 則 π (1) 當 β = 時 即平面與主軸垂直 截痕為圓 π () 當 > β > α 時 即平面稍傾斜時 截痕為橢圓 (3) 當 β = α 時 即平面再稍傾斜使它與一母線平行時 截痕為拋物線 (4) 當 0 β < α 時 即平面再傾斜使它與直圓錐面的上下兩部分都相交時 截痕為雙曲線 1
問題 x y z 1. 直線 L : = = L 與 z 軸交於 ( 000) 將 z 軸固定而 L 繞 z 軸旋轉一周所 1 1 1 得的直圓錐面 Ω 試判別下列各題分別為何種圖形 : (1) 平面 E : z = 3 E 與 Ω 的交線 () 平面 F : x y z = 3 F 與 Ω 的交線 (3) 平面 G : x + y + z = 1 G 與 Ω 的交線 (4) 平面 H : x y z 4 = 0 H 與 Ω 的交線. 平面與直圓錐面 Ω 的截痕還有哪些圖形? ( 解 : 直圓錐面與過頂點的平面之截痕有一點 一直線 兩相交直直線 ) 3. 若將直圓錐面 Ω 改成直圓柱面後 則截痕有哪些可能圖形? 4. 直圓錐面方程式如 x + y = z ; 直圓柱面方程式如 x + y = c
圖形 圓錐曲線 (conic section) 常見圖形 : 1. 圓 (circle):. 橢圓 (ellipse): 3. 拋物線 (parabola): 4. 雙曲線 (hyperbola): 3
討論 設在平面上給定一直線 L 及不在 L 上的定點 F 則所有到點 F 的距離等於到直線 L 距離的動點 P 所形成的圖形稱為拋物線 如圖所示 其中直線 L 稱為準線 點 F 稱為焦點 當拋物線 Γ 以 L 為準線 F 為焦點時 過 F 且垂直於 L 的直線 N 稱為對稱軸 ( 簡稱軸 ) N 與 Γ 的交點 A 稱為頂點 頂點 A 到焦點 F 的距離 AF 稱為焦距 如圖所示 給定拋物線 Γ 的準線 L 及焦點 F 時 可以利用直尺及圓規作圖 ( 尺規作圖 ) 描畫出 Γ 上的一些點 再以圓滑曲線連接 就可以呈現 Γ 的圖形 首先 在 L 上取任意點 Q 過 Q 作 L 的垂線 M 再作 QF 的中垂線交直線 M 於 P 則 PF = PQ =d( P L ) 故點 P 在拋物線 Γ 上 如圖所示 ; 逐次改變點 Q 的位置 並作出對應的點 P 再將這些點 P 以平滑曲線連接 就得到 Γ 的近似圖形 如圖 4
定義 1. 拋物線 ( 截痕 ): 當 β = α 時 則割平面 E 和 Ω 交於開口的一支 這時 我們只能塞進一個球 它和 Ω 相切於圓 C 和割平面相切於 F 點 另外 圓 C 所在的平面和割平面交於一條直線 L 稱為準線. 拋物線 (parabola): 在一平面上 設 F 為一定點 L 為不過 F 的一條固定直線 則到定點 F 與到直線 L 的距離相等的所有點所形成的圖形稱為拋物線 定點 F 稱為焦點 (focus)) 定直線 L 稱為準線 (directrix) 3. 對稱軸 (axis of symmetry): 過焦點且垂直準線的直線稱為對稱軸 ( 或軸 ) 4. 頂點 : 拋物線與對稱軸的交點 5. 焦距 (focal length): 焦點到頂點的距離 一般以 c 表示 6. 弦 : 拋物線上任意兩相異點的連線段 7. 焦半徑 : 拋物線上任一點與焦點的連線段 8. 焦弦 : 通過焦點的弦 9. 正焦弦 (latus rectum): 垂直對稱軸的焦弦 一般以 4 c 表示 註 :( 正焦弦長 ) = 4 ( 焦距 ) 證明 : ( 正焦弦長 ) = AB = AF = FM = ( OF) = 4 ( 焦距 ) = 4 c 10. 內部 外部 : (1) 拋物線含焦點的區域內的任意點 I 恆有 IF < IQ 即 I 到焦點的距離恆小於 I 到準線的距離 稱這一部份為內部 ( 註 : IF < FP + PI = QP + PI = IQ ) () 拋物線不含焦點的區域內的任意點 E 恆有 EF < EH 即 E 到焦點的距離恆大於 E 到準線的距離 稱這一部份為外部 ( 註 : EH < EQ < EP + PQ = EP + PF = EF ) 內部外部 5
11. 開口大小 : 拋物線的焦距越大 它的開口就越大 ( 註 : PQ ' = PQ + QQ' = PQ + RR' = PF + FF' > PF' 即 PF ' > PQ' 也就是 : 拋物線 Γ 上除頂點 O 之外的任意點 P 到拋物線 Γ ' 的焦點 F ' 的距離恆小於 P 到準線 L' 的距離 換句話說就是 : 拋物線 Γ 除了頂點之外其餘的點都在拋物線 Γ ' 的內部 因此 拋物線的焦距越大 它的開口就越大 ) 6
討論 1. 在坐標平面上 將一個焦距為 c ( c > 0 ) 的拋物線 Γ 擺放在適當位置 可以使其方程式簡單一些 今取原點為頂點 x 軸為對稱軸 焦點為 Fc (0) 則準線為 L: x+ c= 0( 即 x = c ) 如圖 則由定義知 : 點 Px ( y) 在 Γ 上的充要條件為 ( x c) + y = x+ c 這就是拋物線 Γ 的方程式 再兩邊平方去根號及絕對值符號 ( 仍為充要條件 ) 成為 ( x c) + y = ( x+ c) x cx + c + y = x + cx + c 得到 y = 4cx 故 Γ 的方程式可表為 y = 4cx 由於當點 ( x0 y0) 在 Γ 上時 y0 = 4cx0 也就有 ( y0) = 4cx0 即點 ( x0 y0) 在 Γ 上 故拋物線 Γ 的確對於它的對稱軸 ( 此時為 x 軸 ) 對稱 上述推導方程式的過程中 並未用到焦點 Fc (0) 的 c > 0 故 c < 0 時 方程式仍為 y = 4cx其圖形如之前圖形所示 若拋物線的頂點在原點 對稱軸為 y 軸 焦點為 F(0 c ) ( c 0 ) 則準線為 L: y+ c= 0 仿前述過程可導出方程式為 x = 4cy 其圖形如圖 方程式 x = 4cy 及 y = 4cx 都稱為拋物線的標準式. 頂點為原點 焦距為 1 開口向右的拋物線為 y = 4x 若將此拋物線以原點為中心 伸縮 c 倍 ( c > 0 ); 換言之 將 x 坐標 y 坐標都伸縮 c 倍 則拋物線 y = 4x上的點 ( x0 y 0) 變換成 ( cx0 cy 0) 由於點 ( 0 ) x y0 在 y = 4x上 故 y0 = 4x0 於是 ( cy ) = c y = c 4x = 4 c( cx ) 0 0 0 0 表示點 ( cx0 cy0) 在拋物線 y = 4cx上 原焦點為 (1 0) 新焦點為 (0) c 如圖 因此 焦距為 c 的拋物線只是把焦距為 1 的拋物線伸縮 c 倍而已 7
3. 將頂點在原點 對稱軸為 x 軸的拋物線 y = 4cx平移向量 ( h k) 即原拋物線 y = 4cx上的點 ( x0 y 0) 移至點 ( x0 + h y0 + k) 由於點 ( x0 y 0) 在 y = 4cx上 故 y0 = 4cx0 於是 [( y0 + k) k] = 4 c[( x0 + h) h] 表示點 ( x0 + h y0 + k) 滿足方程式 ( y k) = 4 c( x h) 又拋物線 y = 4cx平移後仍為拋物線 且頂點由 (0 0) 移至 ( h k ) 焦點由 (0 c ) 移至 ( h+ c k) 準線由 x = c 移至 x = h c 對稱軸由 y = 0 移至 y = k 其開口方向不變 如圖 ( 其中 c > 0 ) 仿此 將頂點在原點 對稱軸為 y 軸的拋物線 x = 4cy 平移向量 ( h k) 即得拋物線 ( x h) = 4 c( y k ) 其頂點在 ( h k) 開口方向不變 如圖 4-9( 其中 c > 0 ) 4. 一般而言 開口向左右的拋物線方程式 ( y k) = 4 c( x h) 都可以化為 y + Dx+ Ey+ F = 0 ( D 0 ); 而開口向上下的拋物線方程式 ( x h) = 4 c( y k) 都可以化為 x + Dx+ Ey+ F = 0 ( E 0 ) 以上兩種情形 可以合併成一般化的形式 Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 其中 A C有一為 0 ( AC = 0 ) 但不皆為 0 反之 一個方程式形如上式時 可用配方法判定其圖形是否為拋物線 8
公式 1. 拋物線的標準式 : c 0 方程式 y = 4cx及 x = 4cy 的圖形都是拋物線 頂點在原點 焦距為 c (1) y = 4cx: 對稱軸是 x 軸 c > 0 時 開口向右 ; c < 0 時 開口向左 () x = 4cy : 對稱軸是 y 軸 c > 0 時 開口向上 ; c < 0 時 開口向下. 對稱軸為 x 軸的拋物線標準式 : 設拋物線 Γ 的頂點 O(00) 對稱軸為 x 軸 焦點 F ( c0)( c 0) 準線 L : x = c ( 即 x + c = 0 ) 則 Γ 的方程式為 y = 4cx 證明 : 設 P( x y) 為拋物線上的任一點 則 PF = d( P L) ( x c) + ( y 0) = x + c y = 4cx 3. 對稱軸為 y 軸的拋物線標準式 : 設拋物線 Γ 的頂點 O(00) 對稱軸為 y 軸 焦點 F ( 0 c)( c 0) 準線 L : y = c ( 即 y + c = 0) 則 Γ 的方程式為 x = 4cy 證明 : 設 P( x y) 為拋物線上的任一點 則 PF = d( P L) ( x 0) + ( y c) = y + c x = 4cy 4. 拋物線的標準式 ( c 0 ): 方程式頂點焦距對稱軸焦點準線開口方向 c > 0 向右 y = 4cx y = 0 ( x 軸 ) (0) c x+ c= 0 c < 0 向左 (0 0) c c > 0 向上 x = 4cy x = 0 ( y 軸 ) (0 c) y+ c= 0 c < 0 向下 5. 拋物線的平移 : (1) 將 y = 4cx 平移 ) ( h k 得 ( y k) x h) () 將 x = 4cy 平移 ) ( h k 得 ( x h) y k) 6. 頂點在 ( h k) 的拋物線 : 方程式 c > 0 c < 0 ( ) 4 ( y k = c x h) ( x h) = 4 c( y k ) 7. 拋物線方程式的表法 : (1) ( y k) = 4 c( x h) 可表為 y + Dx+ Ey+ F = 0 其中 D 0 () ( x h) = 4 c( y k ) 可表為 x + Dx+ Ey+ F = 0 其中 E 0 9
類型 1. 頂點在原點 ( 標準式 ): 方程式 y = 4cx ( 左右型 ) x = 4cy ( 上下型 ) 類型 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0 開口方向 向右 向左 向上 向下 圖形 Γ 範圍 x 0 x 0 y 0 y 0 頂點 O ( 00) ( 00) 焦點 F (c0) ( 0 c ) 準線 L x = c y = c 對稱軸 M y = 0 x = 0 焦距 c c 正焦弦長 4 c 4 c 離心率 e c e = = 1 a c e = = 1 a. 頂點不在原點 : 方程式 ( y k) x h) ( x h) y k) 類型 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0 開口方向 向右 向左 向上 向下 圖形 Γ 範圍 x h 0 x h 0 y k 0 y k 0 頂點 O ( h k) ( h k) 焦點 F ( h + c k) ( h k + c) 準線 L x h = c y k = c 對稱軸 M y k = 0 x h = 0 焦距 c c 正焦弦長 4 c 4 c 離心率 e c e = = 1 a c e = = 1 a 註 : 1. 到焦點距離 c 離心率 e = = 到準線距離 a. ( 二次式 ) = 0 可得對稱軸 ( 想成對稱需要有兩個 ) 3. ( 一次式 ) = c 可得準線 ( 想成線為一次函數 ) 4. 與 x 軸有兩個交點 則 x 有二次 ; 與 y 軸有兩個交點 則 y 有二次 10
方法 1. 求拋物線方程式的解題步驟 : (1) 先判別拋物線為上下型或左右型 (a) 若為上下型 則方程式為 ( x h) y k) 形式 ; (b) 若為左右型 則方程式為 ( y k) x h) 形式 () 求出頂點 以及 c ( 由開口方向判別正負 ) 註 : (1) 若為上下型 則方程式為 ( x h) y k) 可化為 x + dx + ey + f = 0 或 y = ax + bx + c 形式 () 若為左右型 則方程式為 ( y k) x h) 可化為 y + dx + ey + f = 0或 x = ay + by + c 形式. 拋物線的參數式 : (1) y t 4cx 上點的參數式可設為 P( t) t 4c R () t x = 4cy 上點的參數式可設為 P( t ) t R 4c (3) t ( y k) x h) 上點的參數式可設為 P( h + k + t) t R 4c (4) t ( x h) y k) 上點的參數式可設為 P( k + h + t) t R 4c (5) y = ax + bx + c 上點的參數式可設為 P( t at + bt + c) t R (6) x = ay + by + c 上點的參數式可設為 P( at + bt + c t) t R 11
問題 1. ax + by + c 若方程式為 = ( x h) + ( y k) 形式 則其圖形為斜拋物線 a + b 依照定義求出拋物線的頂點 焦點 準線 對稱軸 焦距 正焦弦長等. 設 a b c是實數 其中 a 0 求拋物線 y = ax + bx+ c的頂點坐標 焦點坐標 準線方程式及軸方程式 解答 : b 1 4ac b 由配方法可將 y = ax + bx+ c化為 ( x+ ) = 4 ( y ) a 4a 4a b 4ac b b 4ac b 1 b 4ac b + 1 故頂點為 ( ) 焦點為 ( + ) 即 ( ); a 4a a 4a 4a a 4a 4ac b 1 4ac b 1 準線為水平線 y = 即 y = ; 4a 4a 4a b 軸為過頂點的鉛直線 故為 x = a 3. 試問幾個獨立條件可以決定拋物線方程式? 4. 給定拋物線 Γ 及其對稱軸 試找出此拋物線的焦點與準線? 5. 給定拋物線 Γ 的準線 L 及拋物線上的兩相異點 P Q 試找出此拋物線的焦點 F 位置? 6. 給定拋物線 Γ 的焦點 F 及拋物線上的兩相異點 P Q 試找出此拋物線的準 線 L? 7. 給定拋物線 Γ 的準線 L 焦點 F 及拋物線上的一點 P 試證明此 P 點為過此 點切線的切點? 8. 將一圓柱體沿著與軸成 45 角之平面截開 再延一母線剪開後展開成平面 則此截口曲線為何種形狀? 9. 給定一個拋物線的圖形 是否可用作圖方法求出此拋物線的焦點? 1
性質 1. 設拋物線的頂點 A 焦點 F 焦點在準線 L 上的投影點為 R 拋物線上的點 P 在準線上的投影點 Q 若 Q 離 R 越遠 則 P 離 A 越遠. 試證拋物線的一組平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行 證明 : 設拋物線為 y = 4cx 一組平行弦為 y = mx + k 且交拋物線於兩點 x y )( x ) ( 1 1 y y k 則 y ) m my 4cy + 4ck = 0 y1 + y c 得 = 為一定值 m 即平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行 3. 設圓 C' 與直線 L 不相交 (1) 若圓 C 與圓 C' 外切且與直線 L 相切 則其圓心軌跡為拋物線 () 若圓 C 與圓 C' 內切且與直線 L 相切 則其圓心軌跡為拋物線 ( 註 : 圖中 L' 為拋物線的準線 ) 4. 過拋物線上一點 P 的切線上除了切點 P 以外的點都落在拋物線的外部 5. 對稱性 : 可用變數變換或幾何方法說明拋物線對對稱軸對稱 13
作圖 1. 我們應該如何畫出拋物線? (1) 方法一 : 可用如下方法 : 給定一個定點 F 與一條直線 L ( 其中 F L ) 設 Q 在直線 L 上 取 FQ 的中點 R 過點 R 作 FQ 的中垂線 過 Q 作直線 L 的垂線 兩線的交點 P 就是滿足到定點與定直線等距離 ( 即 PF = d( P L) ) 的點 所有動點 P 所組成的軌跡即為拋物線 其中定點 F 稱為拋物線的焦點 定直線 L 稱為拋物線的準線 () 方法二 : 以一定點為圓心作同心圓 半徑分別為 1 3L 並作多組平行線 以其中一條當準線 可作出拋物線 14
(3) 方法三 : 設拋物線 Γ 以 L 為準線 F 為焦點 過點 F 作直線 L 的垂線 即得對稱軸 令垂足為 M 則 MF 的中點 A 為點點 在軸上取一點 X 使點 O 介於 M 與 X 之間 過 X 作軸的垂線 N 再以點 F 為圓心 MX 為半徑作圓 交直線 N 於 P P' 兩點 則 P P' 都是拋物線上的點 15
作圖 1. 給定一個拋物線的圖形 如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點 對稱軸 準線 頂點 正焦弦長 作法 : (1) 給定一個拋物線 () 作出平行弦中點軌跡為一平行於對稱軸的直線 (3) 作出一垂直於平行弦中點軌跡的直線 也會垂直於對稱軸 (4) 過垂直線中點作垂線 得對稱軸及頂點 (5) 畫出過頂點及一斜率為 的直線交拋物線於一點 (6) 從此點作對稱軸的垂線交於一點 ( 即焦點 ) 直線 PF P P F. 給定一個拋物線的圖形 如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點 對稱 軸 準線 頂點 正焦弦長 過某拋物線一定點之切線 (1) 過頂點作焦點的對 () 連接 PF 並過 P 作 (3) 連接 QF 並作中垂 稱點 並作對稱軸的垂線 ( 即準線 ) 準線的垂線交於 Q 點 線 ( 即過 P 點之切線 ) P Q P Q P F F F 16