99 課綱指定科目考試數學甲 乙命題方向命題方向 壹 99 課綱說明 民國 99 年正式實施的 普通高級中學課程綱要 ( 民國 97 年 1 月 24 日發布, 簡稱 99 課綱 ), 數學 科目包括高一 高二的必修課程( 即數學 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 及 IV), 以及高三數學甲 Ⅰ Ⅱ, 與數學乙 Ⅰ Ⅱ 的選修課程, 其中數學 IV 分為 A B 兩版,B 版擴充了 A 版的內容, 所增加的題材在課程綱要中以 號區隔 為因應九九課綱,102 年之後的指定科目數學仍將分為數學甲 數學乙兩個, 除了數學甲涵蓋 B 版 數學乙涵蓋 A 版之必修課程以外, 並且延續自 98 年起的方式, 逐一針對課程單元釐定考試範圍, 使得這兩個的測驗內容有所不同 貳 99 課綱指考數學甲 乙測驗範圍 學科能力測驗評量學生高一 高二課程中的基本數學能力 ; 指定科目考試所評量的面向, 以進階的閱讀 表達 推理以及連結能力為主 另外, 為協助大學校系選才, 在測驗內容上, 須考量學生未來修習各校系專業課程時所需之數學知識, 並針對這些知識進行較具深度的評量 一般而言, 數學乙的試題計算量較少, 整合性試題在比例上也較少 ; 數學甲則較多整合數個概念的問題, 計算量也較多 由本中心所發問卷結果顯示 : 選擇採計數學甲的校系主要希望學生具備函數 方程式 機率 微積分 矩陣 幾何等數學知識 ; 選擇採計數學乙的校系則希望學生具備函數 方程式 機率 統計 排列組合等數學知識 因此, 數學甲與數學乙的測驗內容將做適當的區隔, 其測驗內容略述如下 ( 一些單元只含部分章節, 請詳見附錄 ): 1
數學甲 數學乙 測驗內容高一數學 : 數與式 多項式函數 指數與對數函數 機率 ; 高二數學 : 三角 直線與圓 平面向量 空間向量 空間中的平面與直線 矩陣 ; 選修科目數學甲 : 機率統計 Ⅱ 三角函數 極限與函數 多項式函數的微積分 高一數學 : 數與式 多項式函數 指數與對數函數 排列組合 機率 數據分析 ; 高二數學 : 直線與圓 平面向量 矩陣 ; 選修科目數學乙 : 機率統計 Ⅱ 極限與函數 指定科目數學在評量上述測驗內容時, 自然包含修習這些內容所需之先備知識和基本工具 ( 請詳見附錄 ) 就 99 課綱指考數學甲 乙試卷題型而言, 指考數學甲 乙題型包括選擇題 ( 單選題 多選題 ) 選填題, 及非選擇題, 各有不同的目的 其中, 選擇題評量數學概念, 並鼓勵學生根據給予的選項作判斷 ; 選填題則評量考生主動解題的能力 ; 非選擇題則進一步評量考生解題時的論證過程及表達能力 2
二 多項式函數附錄 下表為 99 課綱數學科各章節, 並列出數學甲 數學乙相對應的測驗範圍 各試題解題的主要概念, 出自標示 的章節中; 標示 的章節不是主要的測驗範圍, 但解題時會用到此章節的基本概念或技巧 ; 標示 表示不在該的直接命題範圍內, 但試題有多種解法時, 若用此章節的概念或技巧解題, 仍可得分 第一學年數學 I( 函數 ) 4 學分 主題子題內容 一 數與式1. 數與數線 1.1 數線上的有理點及其十進位表 示法 備註 1.2 實數系 : 實數的十進位表示法 1.2 不含非十進位 四則運算 絕對值 大小關係 1.3 乘法公式 分式與根式的運算 2. 數線上的幾何 2.1 數線上的兩點距離與分點公式 2.2 含絕對值的一次方程式與不等 式 1. 簡單多項式函數 1.1 一次函數 及其圖形 1.2 二次函數 的表示法 1.3 單項函數 : 奇偶性 單調性和圖 1.3 僅介紹 4 次 形的平移 ( 含 ) 以下的 單項函數 數學甲數學乙 ( 不含複數 ) 2. 多項式的運算與 2.1 乘法 除法 ( 含除式為一次式的 2.1 不含最高公因 應用 綜合除法 ) 除法原理 ( 含餘式定理 因式定理 ) 及其應用 插值多項式函數及其應用 式與最低公倍式 插值多項式的次數不超過三次 3. 多項式方程式 3.1 二次方程式的根與複數系 3.1 不含複數的幾 何意涵 3.2 有理根判定法 勘根定理 n a 的 意義 3.3 實係數多項式的代數基本定 理 虛根成對定理 3
附錄主題子題內容 式不等式 三 指數 對數函數備註 4. 多項式函數的圖 4.1 辨識已分解的多項式函數圖形 4.1 不含複雜的分 形與多項式不等 式 及處理其不等式問題 數學甲 數學乙 1. 指數 1.1 指數為整數 分數與實數的指數 定律 2. 指數函數 2.1 介紹指數函數的圖形與性質 ( 含 定義域 值域 單調性 凹凸性 ) 3. 對數 3.1 對數的定義與對數定律 4. 對數函數 3.2 換底公式 4.1 介紹對數函數的圖形與性質 ( 含 3.2 換底公式不宜牽涉太過技巧 定義域 值域 單調性 凹凸性 ) 性與不實用的 問題 5. 指數與對數的應 5.1 對數表 ( 含內插法 ) 與使用計算 5.1 不含表尾差 用 器 科學記號 5.2 處理乘除與次方問題 5.3 等比數列與等比級數 5.4 由生活中所引發的指數 對數方 程式與不等式的應用問題 認識定理的敍述介紹命題 充分條件 必要條件 與證明 充要條件 反證法 ( 含 2 為無理數 不在命題範圍內 的證明 ) 4
數學 II( 有限數學 ) 4 學分 主題子題內容備註 一 數列與級數二 排列 組合三 機2.1 古典機率的定義與性質 2.1 不含幾何機率率1. 數列 1.1 發現數列的規律性 1.2 數學歸納法 2. 級數 2.1 介紹 Σ 符號及其基本操作 1. 邏輯 集合與計 1.1 簡單的邏輯概念 : 介紹 數原理 或 且 否定 及笛 摩根定律 1.2 集合的定義 集合的表示法 與操作 1.3 基本計數原理 ( 含窮舉法 樹狀圖 一一對應原理 ) 1.4 加法原理 乘法原理 取捨 原理 2. 排列與組合 2.1 直線排列 重複排列 2.2 組合 重複組合 5 1.1 只談實數數列 不含二階遞迴 關係 1.2 不等式型式的 數學歸納法置 於數學甲 / 乙 I 數 列與極限中討 論 2.1 不含環狀排列 本章節要避免情境 不合常理 過深 或 同時涉及太多觀念 的題型 3. 二項式定理 3.1 以組合概念導出二項式定 3.1 不含超過二項 理 巴斯卡三角形 1. 樣本空間與事 1.1 樣本空間與事件 件 2. 機率的定義與 性質 3. 條件機率與貝 3.1 條件機率 貝氏定理 獨立 氏定理 事件 的展開式 數學甲 數學乙
主題子題內容備註 四 數據分析1. 一維數據分析 1.1 平均數 標準差 數據標準 1.1 只談母體數據 化 2. 二維數據分析 2.1 散佈圖 相關係數 最小平 方法 1. 演算法輾轉相除法 二分逼近法 附錄 2. 最小平方法 最小平方法的證明 分析, 不涉及抽 樣, 可用計算工 具操作 2.1 可用計算工具 操作 最小平方 法的證明置於 附錄 數學甲數學乙 不在命題範圍內 6
第二學年數學 III( 平面坐標與向量 ) 4 學分 主題子題內容備註 一 三角二 直線與圓三 平面向量1. 直角三角形的 1.1 直角三角形的邊角關係 ( 正 邊角關係 弦 餘弦 ) 平方關係 餘角 關係 2. 廣義角與極坐 2.1 廣義角的正弦 餘弦 正切 2.1 cot, sec, csc 置於 標 平方關係 補角 2.2 直角坐標與極坐標的變換 3. 正弦定理 餘弦 3.1 正弦定理 餘弦定理 定理 數學甲 I 數學 乙 I 4. 差角公式 4.1 差角 和角 倍角 半角公 4.1 不含和差化積 式 5. 三角測量 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量 1. 直線方程式及 1.1 點斜式 其圖形 1.2 兩線關係 ( 垂直 平行 相 交 ) 聯立方程式 2. 線性規劃 2.1 二元一次不等式 2.2 線性規劃 ( 目標函數為一次 式 ) 3. 圓與直線的關 3.1 圓的方程式 係 積化和差公式 5.1 可使用計算器求 出三角函數值 數學甲 數學乙 ( 不含極 坐標 ) 3.2 圓與直線的相切 相割 不 3.2 不含兩圓的關係 相交的關係及其代數判定 1. 平面向量的表 1.1 幾何表示 坐標表示, 加減 示法 法 係數乘法 1.2 線性組合 平面上的直線參 數式 2. 平面向量的內 2.1 內積與餘弦的關聯 正射影 積 與高 柯西不等式 2.2 直線的法向量 點到直線的 距離 兩向量垂直的判定 3. 面積與二階行 3.1 面積公式與二階行列式的定 列式 義與性質 兩向量平行的判 定 3.2 兩直線幾何關係的代數判 定 二階克拉瑪公式 7
數學 IV( 線性代數 ) 4 學分 註 : 數學 IV 分為 A B 兩版,B 版擴充了 A 版的內容, 所增加的題材在課程綱要中以 號區隔 主題子題內容 一 空間向量二 空間中的平面與直線備註 1. 空間概念 1.1 空間中兩直線 兩平面 及 1.1 僅作簡單的概 直線與平面的位置關係 2. 空間向量的坐 2.1 空間坐標系 : 點坐標 距離 標表示法 公式 2.2 空間向量的加減法 係數乘 法, 線性組合 3. 空間向量的內 3.1 內積與餘弦的關聯 正射影 積 與高 柯西不等式 兩向量 垂直的判定 4. 外積 體積與 4.1 外積與正弦的關聯 兩向量 行列式 所張出的平行四邊形面積 4.2 三向量所張出的平行六面體 體積 念性介紹 4.3 三階行列式的定義與性質 4.3 不含特殊技巧行 1. 平面方程式 1.1 平面的法向量 兩平面的夾 2. 空間直線方程 式 3. 三元一次聯立 方程組 角 點到平面的距離 2.1 直線的參數式 直線與平面 的關係 2.2 點到直線的距離 兩平行 線的距離 兩歪斜線的距 離 3.1 消去法 3.2 三平面幾何關係的代數判 定 列式題型 數學甲 數學乙 ( 只含 消去法 ) 8
主題 三 矩陣四 二2. 橢圓 2.1 橢圓標準式 ( 含平移與伸縮 ) 次曲線子題 內容 備註 數學甲 1. 線性方程組與 1.1 高斯消去法 ( 含矩陣的列運 1.1 重點在於矩陣 矩陣 算 ) 三角化的演算 法 2. 矩陣的運算 2.1 矩陣的加法 純量乘法 乘 法 3. 矩陣的應用 3.1 轉移矩陣 二階反方陣 4. 平面上的線 4.1 伸縮 旋轉 鏡射 推移 性變換與二 4.2 線性變換的面積比 4.2 此處面積指兩向 階方陣 量所張出的平 行四邊形面積 1. 拋物線 1.1 拋物線標準式 不含斜或退化的二 次曲線 ; 不含直線與 3. 雙曲線 3.1 雙曲線標準式 ( 含平移與伸 二次曲線的關係 ( 指 縮 ) 弦與切線 ); 不含圓 錐曲線的光學性質 數學乙 不考 9
選修 : 數學甲 I 4 學分 主題子題內容備註 一 機率統計Ⅱ二 三角函數1. 隨機的意義 1.1 隨機的意義 1.2 期望值 變異數 標準差 2. 二項分布 2.1 獨立事件 重複試驗 二項 分布 二項分布的性質 3. 抽樣與統計推 3.1 抽樣方法 : 簡單隨機抽樣 論 3.2 亂數表 3.3 常態分布 信賴區間與信心 水準的解讀 1. 一般三角函數 1.1 弧度 弧長及扇形面積公式 的性質與圖形 1.2 倒數關係 商數關係 平方 關係 1.3 三角函數的定義域 值域 週期性質與圖形 2. 三角函數的應 2.1 波動 : 正餘弦函數的疊合 用 2.2 圓 橢圓的參數式 3. 複數的幾何意 3.1 複數平面 絕對值 複數的 涵 極式 複數乘法的幾何意義 3.2 棣美弗定理, 複數的 n 次方 根 3.1 不含系統抽樣 部落抽樣 數學甲 2.1 不含不同週期 ( 不含橢 的三角函數疊圓的參數 合 式 ) 10
數學甲 II 4 學分 主題子題內容 一 極限與函數二 多項式函數的微積分附錄1. 數列及其極限 1.1 兩數列的比較 1.2 數列的極限及極限的性質 1.3 無窮等比級數 循環小數 1.4 夾擠定理 2. 函數的概念 2.1 函數的定義 圖形 四則運 算與合成函數 3. 函數的極限 3.1 函數的極限 3.2 連續函數 介值定理 1. 微分 1.1 導數與切線 2. 函數性質的判 定 1.2 微分的加 減 乘運算 2.1 遞增 遞減 凹凸性 函數 極值的一階與二階檢定法 2.2 三次多項式的繪圖 3. 積分的意義 3.1 定積分的意義 3.2 微積分基本定理 備註 1.2 以圖形 電腦展 示的範例建立 學生對於極限 的直觀 1.4 可用圖形或面 積意涵說明夾 擠定理 3.3 多項式函數的定積分與不定 3.3 不涉及分部積 積分的計算 4. 積分的應用 4.1 以求圓面積 球體體積 角 牛頓求根法 錐體體積 解自由落體運動 方程式為主 分與變數變換 法 數學甲 不在命題 範圍內 11
數學乙 I 3 學分 主題子題內容 一 機率統計Ⅱ1. 弧度 弧長 1.1 弧度 弧長及扇形面積公式二 三角函數1. 隨機的意義 1.1 隨機的意義 2. 期望值 變異 數 標準差 3. 獨立事件 3.1 獨立事件 2.1 期望值 變異數 標準差 4. 二項分布 4.1 重複試驗 二項分布 二項 分布的性質 5. 抽樣與統計推 5.1 抽樣方法 : 簡單隨機抽樣 論 5.2 亂數表 5.3 常態分布 信賴區間與信心 水準的解讀 2. 一般三角函數 2.1 倒數關係 商數關係 平方 的性質與圖形 數學乙 II 3 學分 關係 2.2 三角函數的定義域 值域 週期性質與圖形 備註 5.1 不含系統抽樣 部落抽樣 數學乙 主題子題內容 一 極限與函數1. 數列及其極限 1.1 兩數列的比較 備註 1.2 數列的極限及極限的性質 1.2 以圖形 電腦展 2. 無窮等比級數 2.1 無窮等比級數 2.2 循環小數 示的範例建立 學生對於極限 的直觀 2.3 夾擠定理 2.3 可用圖形或面積 3. 函數的概念 3.1 函數的定義 圖形 四則運 算與合成函數 4. 函數的極限 4.1 函數的極限 4.2 連續函數 介值定理 意涵說明夾擠 定理 數學乙 ( 不含夾 擠定理 ) 12