08 學年度技術校院四年制與專科學校二年制統一入學測驗數學 () 試題 試題分析 : 08 年數學 卷, 試題中三角 指數 對數及微積分排組機份量較其他單元為重外, 其 他各單元都均勻分配, 所以整體性而言, 除 4 9 0 9 較難, 其餘中間偏易, 所以今年數學成績比去年降 0 分左右 各章節配分情形 98 年 99 年 00 年 0 年 0 年 0 年 04 年 05 年 06 年 07 年 08 年 三角函數 4 4 4 4 4 4 4 多項式與函數 不等式 平面上直線 4 平面上的圓 極限 微積分 4 4 指數與對數 方程式論 圓錐曲線 向量 複數 數列級數 排列組合 機率 行列式 統計 數學 參考公式. 三角函數的和角公式 : si(+)=sicos+cossi;cos(+)=coscos-sisi. 若 為一元二次方程式 ax +bx+c=0 的兩根, 則 += b c = a a. 若一複數 z 其極式為 z=r(cos+isi), 其中 r= z, 則 z =r (cos+isi), 其中 為正整數 4. 扇形面積 = r 且周長 L=r+r, 其中 r 為扇形的半徑, 為扇形的圓心角 5. 拋物線方程式 (y-k) =4c(x-h): 頂點 (h,k), 焦點 (h+c,k), 準線 x=h-c (x h) (y k) 6. 橢圓方程式 + =,a b>0; 中心 (h,k), 焦點 (h±c,k), 其中 c a b = a b (x h) (y k) 7. 雙曲線方程式 - =: 中心 (h,k), 焦點 (h±c,k), 其中 c= a b a b 選擇建功 尊榮一生
8. 相異物的直線排列數 Pk =!, 不可重覆的組合數 k =! ( k)! k!( k)! 9. 設有一組抽樣資料 x,x,,x, 其算術平均數為 x, 則樣本標準差為 S= i (x x). 已知 u =(,), v =(x+4,y-) 及 w =(x,y), 若 u 與 v 垂直且 u 與 w 平行, 則下列何者正確? ()x= ()y=- ()y= (D)x=- x+4+y-=0 x = y y=x 代入 x+4+x-=0x=- y=-. 若 <log 0.5 (+)<4, 則 x 的範圍為何? ()- 8 <x<- 4 ()- 5 <x<- 7 (D)- 5 <x<- 6 64 x+>0x> 4 >x+> 7 5 >x> 6-5 <x< 7 6 ()- 7 6 <x<- 8. 有兩條直線 L :x-5y= L :x+y= 將平面分成四個區域, 如圖所示, 試問區 x 5y x 5y x 5y 域 可用哪一組不等式表示? () () () x y x y x y x 5y (D) x y 選擇建功 尊榮一生
x-5y x+y 4. 已知下列兩個聯立方程組有相同的解 (x,y,z), 試問 a 的值為何? ()- ()0 () (D) x 4y z 4 x y z=a 5x y z == 4x 5y z = x 4y z = 4 5x y z = x y z=a 4x 5y z = +x-6y= 5 +4x-7y= 6 5 7-6 6x= y=0 z= 代入 +0-=aa=0 D 5. 已知扇形的面積為 且其周長為 5, 試問此扇形的半徑為何? () 5 (D) () () rs= r+s=5 rs=r +rs=5r r -5r+=0 r 時 8( 不合 ) (r-)(r-)=0 則 r 時 ( 合 ) 6. 有一梯子斜靠於牆上, 且梯子 地面及牆面構成一個 0 60 90 的直角三角形 若 梯子沿牆面下滑公尺時, 則梯子 地面及牆面構成一個 45 45 90 的直角三角形 試問梯長為多少公尺? () () 6 () + (D) 6 + 選擇建功 尊榮一生
D x si60= x = x= 6 則 x= = + 7. 已知 f(x) 與 g(x) 均為多項式, 若以 x -x+ 除 f(x) 所得餘式為 x-4, 以 x- 除 g(x) 所得餘式為 5, 則以 x- 除 f(x)+g(x) 所得餘式為何? ()-4 () - () (D)4 f()=- g()=5 所求 f()+g()=-+5=4 x 5x6 8. 已知 (x )(x ) = x + x x, 其中 與 為實數, 則 ++=? () -5 ()0 ()8 (D)0 原式 x +5x+6=(x +)+(x+)(x-) 令 x=0=5=4 比較 x =+=- 比較常數 6=-=- 9. 已知坐標平面上三直線 L :x+y= L :x-y= L :x-ay=-, 且這三直 線將平面分成六個區域, 則 a 不可以是下列哪一個值? () () ()- (D)-9 依題三線不可平行或共線 L //L -= a a=- L //L = a a= x y = x = x y = y= ( 代入 L )+ a =- a=-9 0. 某次啦啦隊競賽規定, 每隊組隊人數 8 人且男 女生均至少 人 某班共有 4 名男生 與 6 名女生想參加啦啦隊競賽, 若由此 0 人中依規定選出 8 人組隊, 則共有多少種組 隊方式? ()45 ()60 ()75 (D)90 選擇建功 4 尊榮一生
男 6 女 4 6 6 =6 男 5 女 4 6 5 =4 4 男 4 女 4 4 6 4 =5. 下列何選項的值為組合數? () 由 8 人中選 人分別擔任班長 副班長與康樂 8 股長 所有的可能情形 ()(x-) 8 展開式中,x 項的係數 () 共 8 個字母任意排列 所有的可能情形 (D) 8 枝相同的筆全部分給 人且每人至少得到 枝筆 所有的可能情形 8! 5!! = 8. 利用簡單隨機抽樣, 從 0 位同學中選取 位同學參加比賽, 若選中 位同學均為男 生的機率小於 0, 則選中 位女生機率的最小值為何? () 7 () 8 () 5 5 5 (D) 45 令男生有 人 < 0 0 45 < 0 < 45 0 =4.5 7 取 女生 7 人, 所求 = 0 45 = 7 5. 已知 {a } 為等差數列且滿足 a >0 a 5 =a 則當 為多少時,a 開始為負數? ()4 ()5 ()6 (D)7 a +4d=(a +d)a +9d=0a =- 9 d(a >0,d<0) a =a +(-)d<0-9 d+(-)d<0 D 除以 d- 9 +->0> 取 6 d x 4. 已知 F(x)= [ (t )dt] dx, 則 F()=? ()- ()0 () (D) F(x)=x + F()= 5. 已知函數 f(x) 的導函數為 g(x)=x f(x) f() -4x+, 則 lim =? ()- () x x - () (D) 選擇建功 5 尊榮一生
f '(x)=g(x)=x -4x+ f(x) f() lim =f '()=- x x D 6. 若點 P(x,y) 為有向角 終邊上一點且 xy 0, 則下列何者正確? ()xsi>0 ()ycos>0 ()xcot>0 (D)yscs>0 x y y csc=y y csc>0 y cos isi 7. 在 中, 若為實數其中 i=, 則 必為何 (cos isi )(cos isi ) 種三角形? () 等腰三角形 () 銳角三角形 () 直角三角形 (D) 鈍角三角形 cos isi = cos(--)+isi(--) R (cos isi )(cos isi ) --=0 =+ 為直角 8. 下列為四個班級某次數學測驗的成績分組資料, 若以各組的組中點取代該組資料的原 始數據, 則何者的成績標準差最小? () () () (D) 標準差愈小其資料愈集中, 答案 () 大部分資料值集中於 50~60;60~70 D 標準差最小 9. 已知坐標平面上三直線 L L 與 L, 若直線 L 為水平線,L 與 L 的斜率分別為與 -, 且直線 L 被 L 與 L 所截出的線段長為 6, 則此三直線所圍成的三角形面積為多 少平方單位? ()9 ()5 ()78 (D)56 設 L 及 L 均過 (0,0) 選擇建功 6 尊榮一生
t+y=0y=- t t+5+ 9 t=0t=-8 y= 6 三角形面積為 =56 0. 已知 log 4 (4 x - x +5)=x+, 試問 log(x 5 x )=? () () ()4 (D)5 log 4 (4 x - x +5)=log 4 4 x+ 4 x - x +5=4 x 4 令 x = -+5=4 =- ( 不合 ) =4 則 x =4= +-5=0 (+)(-4)=0 x=,log(x 5 x )=log00= D k. 計算 lim ( ) =? () k () () (D) 8 ( ) 原式 = lim = lim ( )= lim = x. 已知點 F 及直線 L 分別為橢圓 5 + (y ) = 的焦點及短軸 若以直線 L 為準線及 9 點 F 為焦點所作出拋物線的方程式為 4c(x-h)=(y-k), 則 chk =? () ()8 ()6 (D)4 a=5,b= c=4 又 中心 (0,) 則點 F(4,) 或 (-4,) 拋的頂點 (,) 或 (-,) 拋為 4( )( x- )=( y- ) 故 拋為 4(- )( x+ )=( y- ) chk = =4 x. 已知 F F 為橢圓 69 + y 44 = x 的焦點, 且 F F 4 為雙曲線 6 - y 9 = 的焦點 若 P 點為上述橢圓與雙曲線之交點, 則下列何者正確? () PF + PF =4 () PF + PF 4 =6 () PF - PF =6 (D) PF - PF 4 =6 選擇建功 7 尊榮一生
橢圓與雙曲線的焦點同位置又 橢圓之 a= 故 PF + PF 4 = PF + PF =a=6 4. 已知 O(0,0) P(-,4) 與 Q(x,y) 為坐標平面上三點 若以 O 為圓心,OP 為半徑, 逆時針方向轉動 0 後,P 點與 Q 點重疊, 則下列何者正確? ()x= 4 ()x= 4 ()y= 4 (D)y= 4 0 cos(+0)=coscos0-sisi0 x= 4 x 5 =( ) ( 5 )-( 4 5 ) ( ) 5. 小明設計了一款迴力鏢, 已知將此迴力鏢擲出後, 迴力鏢過了時間 t 秒後與小明的距 00t 離 f(t)= t 公尺, 若在 t 0 秒時, 迴力鏢離小明最遠, 則 t 0 =? () () () 9 (D)4 00(t 9) t(00t) f '(t)= 令 f '(t)=0, 則 00t +900-00t =0 (t 9) 00t =900t =9 即 t=± 故 t 0 = 選擇建功 8 尊榮一生