منابع Dscrt vt Systm Smulato, Jrry Baks t all, Fourth dto, 005, Prtc-Hall Hadbook of Smulato, dtd by Jrry Baks, 998, Joh-Wly Stochastc Dscrt vt Systms, Arm Zmmrma, 008, Sprgr Smulato: Th Practc of Modl Dvlopmt ad Us, Robso, 004, Joh-Wly Smulato ad th Mot Carlo mthod, Scod dto, Rubst ad Kros, Scod dto, 008, Joh-Wly A Itroducto to Computr Smulato, Woolfso ad Prt, 998, Oford Uvrsty Prss شبیه سازي کامپیوتري ادامە منابع فهرست موضوعی Smulato modlg: Hadbook A Practcal Approach, Chug, 004, CRC Prss Smulato Modlg ad Aalyss wth Ara, Altok ad Mlamd, 007, Acadmc Prss Computr Smulato Tchqus: Th dftv troducto, Harry Prros, Computr Scc Dpartmt, NC stat uvrsty, Ralgh, NC, 008, http://www.csc.csu.du/faculty/prros// smulato.pdf شبیهسازي سیستمهاي گسسته پیشامد هاشم محلوجی انتشارات دانشگاه صنعتی شریف علم و هنر شبیهسازي ترجمه علی اکبر عرب مازار مرکز نشر دانشگاهی آموزش شبیهسازي عملیات با Ara شهروز انتظامی و عبدالوحید خراسانی انتشارات ناقوس آشنایی با مفاهیم و مراحل شبیه سازي مثال هایی از شبیه سازي و مفاهیم مدل سازي سیستم ها آمار در شبیه سازي (مفاهیم آمار توزیع ها و ساخت مقادیر تصادفی اعداد تصادفی تحلیل داده هاي ورودي به مدل) تصدیق و اعتبارسنجیمدلهاي شبیهسازيکامپیوتري تحلیل داده هاي خروجی و مقایسه و انتخاب آلترناتیو برتر بهینه سازيدر مدل هاي شبیه سازي آموزش صورت کلی نرمافزارهاي آماري و شبیه سازي Mtab) (D, Ara, Showflow,
پیشگفتار شبیهسازي در یک نگاه شبیهسازي چه به صورت دستی چه به صورت کامپیوتري تقلیدي از عملکرد سیستم واقعی با گذشت زمان است که به ایجاد ساختگی تاریخچه سیستم و بررسی آن به منظور دستیابی به نتیجهگیري در مورد ویژگیهاي عملکرد واقعی آن می پردازد. شبیه سازي اصولا به شکل مجموعهاي از فرضهاي مربوط به عملکرد سیستم در چارچوب رابطههاي ریاضی و که: منطقی میباشد. شبیهسازي یکی از پرکاربردترین ابزار موجود علم تحقیق در عملیات است طراحی مناسب تجربه هاي شبیه سازي آزمایش و معتبرسازي مدل به کارگیري روش هاي تحلیلی گردآوري و تحلیل صحیح داده ها اجازه ارزیابی عملکرد سیستمرا پیش از پدید آمدن میدهد. مقایسه گزینه هاي گوناگون را بدون ایجاد اختلال در سیستم واقعی مسیر می کند. فشردهسازي زمان را به منظور اتخاذ تصمیمهاي به موقع انجام می دهد. ساختار ساده و استفاده از نرمافزارها امکان استفاده بسیاري را فراهم میکند. سیستم و محدودۀ عمل یک سیستم گروهی است از اشیا که در راستاي تحقق مقصودي معین در چارچوب روابط یا وابستگیهاي متقابل به یکدیگر پیوسته هستند. مفاهیم و تعاریف فصل اول محیط سیستم: عواملی خارج از سیستم که تحت کنترل نیستند ولی میتوانند بر عملکرد سیستم اثر بگذارند محیط سیستم خوانده میشود. یک سیستم معمولا تحت تا ثیر تغییراتی است که در خارج سیستم اتفاق میافتد. این تغییرات اصطلاحا در محیط یا پیرامون سیستم اتفاق میافتند. در مدل سازي یک سیستم تصمیمگیري نسبت به مرز بین سیستم و محیط سیستم از نکات ضروري و مهم است.
نکتهاي در تعریف سیستم ارکان سیستم اگر عوامل بیرونی به طور جزي ی سیستم را تحت تا ثیر قرار دهند میتوان: INPUT PROCSS OUTPUT تعریف سیستم را گسترش داد تا عوامل بیرونی را در برگیرد. عوامل بیرونی را نادیده گرفت. میتوان عوامل بیرونی را به عنوان وروديهاي سیستم در نظر گرفت. FDBACK اجزاء سیستم مثال نهاد یا موجودیت (tty) عنصري مورد توجه در سیستم است. عناصر موقتی که در سیستم جاري شده و داراي دیمانسیون مشخص هستند. مشخصه یا خصیصه (Attrbut) ویژگی موجودیت است و آنرا توصیف میکند. فعالیت (actvty) هر فعالیت بیانگر یک پریود زمانی با طولمشخص است. وضعیت یا حالت سیستم: (Stat) مجموعه متغیرهاي لازم براي توصیف سیستم در هر لحظه از زمان با توجه به هدف مطالعه سیستم و معمولا با مقادیر عددي تخصیصی به مشخصههاي موجودیتها تعریف میشود. واقعه یا پیشامد (vt) رویدادي لحظهاي است که میتواندوضعیت سیستمرا تغییر دهد. سیستم بانک قطارسریع اسیر تولید ارتباطات موجودي نهاد مشتري مسافر ماشین ها پیام ها انبار خصیصه ها مانده حساب جاري مبدا مقصد سرعت ظرفیت آهنگ از کار ماندگی طول مقصد ظرفیت فعالیت سپرده گذاري سفر جوشکاري برش مخابره خارج سازي کالا از انبار پیشامد ورود ترک ورود به ایستگاه رسیدن به مقصد از کارماندگی ورود به مقصد تقاضا متغیرهاي حالت تعداد خدمت دهنده هاي مشغول تعداد مشتریان منتظر تعداد مسافران منتظر در هر ایستگاه تعداد مسافران در سفر وضعیت ماشین ها (مشغول بیکار از کار افتاده) تعداد پیام هاي در انتظار مخابره سطوح موجودي تقاضاي پس افت
مشخصه هاي ثابت و متغیر مشخصه در خط مونتاژ مشخصهها توصیف کننده موجودیتها هستند. مقدار یک مشخصه میتواند در طول زمان تغییر کند (مشخصه متغیر) و یا تغییر نکند (مشخصه ثابت). معمولا بیشتر علاقمند به مدل کردن مشخصههايمتغیر هستیم. مثال هایی از مشخصههاي متغیر: تعداد قطعات در خط مونتاژ. وضعیت یک ماشین ) که منجر به درصد استفاده از ماشین میشود). زمان تکمیل مونتاژ اینکه دکتر مشغول و یا بیکار است. موجودیتها کارگران ماشینآلات ایستگاههاي کاري مشخصه ها a) وضعیت کاري (بیکار( 0 ) یا مشغول( )) b) ایستگاههاي کاري تخصیص یافته ) و و و...) a) وضعیت (بیکار( 0 ) مشغول( ) منتظر تعمیر () تحت تعمیر () در حال راهاندازي( 4 )) b) عمر c) زمان عملیات a) تعداد قطعات منتظر در صف (0...) مثال هایی از مشخصههاي ثابت: مسیر تولید یک محصول توالی مواردي که میبایست روي یک مریض با نوع خاصی از درمان صورت گیرد. محصولات مونتاژي a) موعد تحویل b) استقرار مدل سازي روش صحیح مدل سازي مدلسازي یک اقدام مهم در جهت ایجاد یک نمونه ساده شده از یک سیستم کامل با هدف پیش بینی معیارهاي قابل اندازه گیري عملکرد سیستم می باشد.اصولا یک مدل به منظور گرفتن جنبه هاي رفتاري خاص از یک سیستم و کسب آگاهی و بینش از رفتار سیستم طراحی می شود. شروع با مدلی بسیار ساده تکمیل تدریجی مدل به منظور ایجاد مدلی مفید از یک فرایند دو مرحلهاي استفاده میشود. مدل دقیقا همانند سیستم واقعی نیست. بلکه تنها شامل تعدادي از جنبههاي اساسی و کلیدي سیستم است که براي هدف مطالعه سیستم تا ثیرگذار هستند. از این رو مدل خلاصهاي از سیستم مورد بررسی است. فرایند ساختن مدل براي افراد متخصص و تصمیم گیرندگان مختلف روشی اصولی صریح و موثر را فراهم میسازد تا بتوانند قضاوت و ادراک خود را درباره موضوع متمرکز سازند. همچنین با معرفی چارچوبی دقیق مدل را میتوان به عنوان ابزاري موثر در برقرار کردن ارتباط به عنوان کمک در کار تفکر روي موضوع به کار برد. تجزیه: ساده کردن سیستم از طریق حذف جزي یات یا از طریق پذیرش فرضهایی است که روابط حاکم بر عوامل را مهارپذیر میکند. عمل ساده کردنعموما منجر به موارد زیرمی شود: ترکیب تبدیل متغیرها به مقادیر ثابت حذف یا ادغام متغیرها در یکدیگر فرض خطی بودن روابط افزودن محدودیتهاي بیشتر 4
مدل فیزیکی مدل انواع مدل ها یک شي فیزیکی ساده شده با مقیاس کوچک شده می باشد. (مانند مدل هواپیما) تحلیلی یا ریاضی مجموعه اي از معادلات و ارتباطات میان متغیرهاي ریاضیاتی میباشد. (مانند مجموعه اي از معادلات که توصیف کننده جریان کاري در خط تولید در کارخانه میباشد) مدل کامپیوتري (شبیهسازي) شرح برنامهاي از سیستم میباشد. شبیه سازي شبیهسازي بیان رفتار پویاي یک سیستم در حالت پایدار به واسطه حرکت آن از یک وضعیت به وضعیت دیگر بر اساس قواعد عملیاتی تعریف شده است. اصولا در شبیهسازي از کامپیوتر براي ارزیابی عددي یک مدل استفاده شده و در آن دادهها به جهت تخمین ویژگیهاي موردنظر مدل جمعآوري میشوند. شبیهسازي کامپیوتري در عامترین معنایش فرایند طراحی مدلی ریاضی- منطقی از سیستم واقعی و آزمایش این مدل با کامپیوتر است. فرایند مدلسازي با استفاده از روابط ریاضی- منطقی و همچنین اجراي مدل به وسیله کامپیوتر به شبیهسازي کامپیوتر میگویند. حالت پایدار شبیه سازي به عنوان یک سیستم Stady Stat 5
کامپیوتر در شبیه سازي مراحل ساخت مدل شبیه سازي کامپیوتر دادههاي موردنظر در ارتباط با موجودیتهاي شبیهسازي شده را ث تب کرده و یک نمونه ترکیبی از دادههاي عملکردي سیستم را ایجاد میکند. سپس مفاهیم آماري براي تحلیل این نمونه دادهها در ارتباط با کمیتهاي مختلفی چون موارد زیر مورد استفاده قرار میگیرد: زمانهاي انتظار توان عملیاتی طول صف زمانهاي پردازش میزان استفاده از منابع... فرمولهبندي و تعریف مساله تعیین اهداف و طرح کلی پروژه تحلیل مسي له جمع آوري داده اطلاعات ساخت مدل ممیزي مدل معتبرسازي مدل طراحی و اجراي آزمایش هاي شبیه سازي. تحلیل خروجی تفسیر و مستندسازي اجراء انواع شبیه سازي Dscrt vt Systm Smulato Cotuous Systm Smulato 6
Som Applcatos Facal grg/quattatv fac Computr prformac modlg Srvc dustrs Maufacturg Mltary Trasportato ad logstcs شبیهسازي سیستمهاي گسسته پیشامد Dscrt vt Systm Smulato شبیهسازي سیستمی که متغیرهاي حالت آن فقط و فقط در نقاط گسستهاي از زمان در لحظه وقوع رویداد اتفاق بیفتد را شبیهسازي سیستمه يا گسسته پیشامد مینامند. در حقیقت وضعیت چنین سیستمی در لحظههاي گسسته اي از زمان به روز رسانی میشود. مثال هایی براي تولید مراکز خدماتی و حمل و نقل یک کارخانه تولیدي به همراه ماشینها پرسنل وسایل حمل و نقل و فضاهاي انبار یک بانک با انواع مختلف مشتریان خدمت دهندگان و تسهیلات نظیر پنجرههاي پاسخگویی ماشینهاي ATM پرداخت وام و... یک شبکه توزیع کالا از کارخانجات انبارها و شبکههاي حمل و نقل 7
شبیه سازي در یک مثال سیستمی شبیه سازي سیستم هایی با خصوصیت تصادفی خود میتوان چنین گفت که اکثر سیستم هاي موجود معرفی شده خاصیت تصادفی بودن را با به همراه دارند. منظور از این جمله این است که سیستمها همواره عملکرد یکسانی ندارند. همین امر باعث می شود با توجه به نظریه هاي آماري خصوصیت تصادفی بودن را براي سیستمها فرض صحیحی دانست. در این درس با شناسایی خصوصیت تصادفی آماري جامعه مورد بررسی با استفاده از تکنیکهاي آماري به شبیهسازي سیستم ها براي مطالعه وضعیت در حالت پایدار سیستم میپردازیم. مونت کارلو اساس روش مونت کارلو If X ~ f Proof G ad Y FX f d Y ~ 0. Y y py y pf y p F y F F y dgy ( y) g( y) dy g( y) ; 0 y Y ~ 0. X y تعریف روشی است که در آن به منظور حل مسایل غیر تصادفی یا برخی مسایل تصادفی که گذشت زمان هیچ نقش اساسی در آنها ندارد از اعداد تصادفی (اعداد تصادفی یکنواخت در بازه صفر تا یک) استفاده میشود. y F y 0 تاریخچه در خلال جنگ جهانی دوم از رمز مونت کارلو که تعریفی مطابق بالا دارد براي حل مساي لی در ساخت بمب اتمی استفاده شده است. 0 8
I b a g d تعیین تابع توزیع تابعی از متغیرهاي تصادفی تکنیک تابع توزیع تکنیک تبدیل یک متغیره تکنیک تبدیل چند متغیره تکنیک تابع مولد گشتاور حل: مثالی براي روش مونت کارلو فرض کنید انتگرال زیر با روش هاي متداول حل نمی شود روش حلی با استفاده از مونت کارلو اراي ه کنید. فرض : X ~ a,b f ( ) b a : Y فرض Y b ag Y b ag Y b a g B a g d I g X W khw that: Y b a g ( b a) Solvg procsss : w ca produc radom umbr ( X, X,..., X g X ad th calculat th b a b a f ( ) d ~ 0, ) چه وقت شبیه سازي ابزار مناسبی است در این درس شبیه سازي با روش مونت کارلو انجام می شود مطالعه بررسی و آزمایش روابط متقابل هر سیستم یا زیر سیستم پیچیده و پویا. اعمال تغییرات اطلاعاتی سازمانی و محیطی و مشاهده تا ثیر این تغییرات بر رفتار سیستم. استفاده از شناخت به دست آمده در شبیهسازي براي پیشنهاد انجام اصلاحات روي سیستم در دست بررسی. شناسایی مهمترین متغیرها و روابط متقابل آنها با ایجاد تغییر در وروديهاي شبیهسازي و بررسی خروجیها. به عنوان ابزاري آموزشی به منظور تقویت روشهاي تحلیلی. آزمایش طرحها یا خط مشیهاي جدید پیش از اجرا و کسب آمادگی لازم براي روبرو شدن با پیشامدهاي احتمالی. تحقیق در مورد پاسخهاي تحلیلی 9
Dsadvatags Advatags Smulato caot gv accurat rsults wh th put data ar accurat. Smulato caot provd asy aswrs to compl problms. Smulato caot solv problms by tslf. prmtato comprssd tm Rducd aalytc rqurmts asly dmostratd modls نرم افزارهاي شبیه سازي نرم افزارهاي شبیه سازي پیچیده بودن شبیهسازي سیستمهاي واقعی استفاده از نرمافزارهاي کامپیوتري را باعث میشود. در اصل نرمافزار کامپیوتري چارچوبی را براي ساخت مدل فراهم میکنند که کار مدلساز را نسبت به موارد زیر راحت میکنند: چگونگی پردازش وروديها عملیات ثبت دادهها گزارشهاي خروجی تسهیل در تولید دادههاي تصادفی جمع کردن دادهها در متغیرهاي خروجی 0
trprs Dyamcs Som crtra for smulato softwar Slcto نرم افزار D در این کلاس اراي ه خواهد شد که نسخه دانشجویی آن در دسترس خواهد بود. rcss فصل دوم مثال هایی از شبیه سازي. Thk of stuatos whr smulato could b usd, for stac, from day-to-day lf, a plac of study or work. What aspcts of ach stuato mak smulato approprat?. Tak a typcal opratos systm, prfrably o that ca b obsrvd (.g. a bak or suprmarkt), ad dtfy th lmts of varablty, trcoctdss ad complty.. Thr ar may cas studs dscrbg th applcato of smulato to ral problms. Obta ad rad som smulato cas studs. Why was smulato usd? What bfts wr obtad? Som jourals that oft publsh smulato cas studs ar: II Solutos, Itrfacs, OR Isght ad th Joural of th Opratoal Rsarch Socty. Th Wtr Smulato Cofrc procdgs (www.wtrsm.org) clud may cas studs. Smulato softwar supplrs also publsh cas studs o thr wb sts. 4. Two pots A ad B ar slctd radomly th ut squar. Lt D dot th dstac btw thm. Usg Mot Carlo: stmat (D) ad Var(D). Plot a mprcal dstrbuto fucto for D. Suggst a mor ffct mthod for stmatg P (D>.4), barg md that ths probablty s vry small.
شروع با مثالی ساده Th thr phas smulato approach Th dscrt-vt smulato approach
توضیح مدلی پیچیده تر I th A-phas, whch s also kow as th smulato cutv, th tm of th t vt s dtrmd by spctg th vt lst. Th smulato clock s th advacd to th tm of th t vt. I th B-phas all B-vts du at th clock tm ar cutd. I th C-phas all C-vts ar attmptd ad thos for whch th codtos ar mt ar cutd. Sc th succssful cuto of a C-vt may ma that aothr C-vt ca ow b cutd, th smulato cotus to attmpt C-vts utl o furthr vts ca b cutd. Th smulato th rturs to th A-phas ulss t s dmd that th smulato s complt. Typcally a smulato s ru for a prdtrmd ru-lgth or possbly a st umbr of arrvals. پیشامدها : B : B : B شبیه سازي دستی براي مثال ورود مشتري به صف روتر ورود مشتري y به صف روتر خروج مشتري از روتر : B 4 خروج مشتري از اپراتور : B 5 خروج مشتري از اپراتور
4- - - - - 4-8- 6-7- 8-5- 6-4
توسعه مثال فرض کنیدورود مشتریان داراي یک توزیع احتمالی به شرح زیر است: %60 مشتریان از نوعX هستند. 9- %40 مشتریان از نوعY هستند. همچنین فرض کنید با جمعآوري اطلاعات به این نتیجه رسیدهایم که زمان بین دو ورود بر حسب مشتریان داراي توزیع فراوانی به قرار زیر است. سیستمرا مجدد شبیهسازيکنید. مشتري y مشتري کاربرد مونت کارلو با تکیه بر اصل مونت کارلو میتوان گفت که تابع توزیع تجمعی نوع مشتري و زمان بین دو ورود داراي توزیع احتمالی یکنواخت است. توزیع تجمعی توزیع تجمعی احتمال نوع مشتري توزیع تجمعی 0.4 احتمال 0.4 زمان بین دو ورود متوالی مشتري 0 4 4 5 5 6 6 7 0.4 0.0 0.8 0.09 0.04 0.0 0.8 0.68 0.86 0.95 0.99 X Y 0.6 0.4 0.6 احتمال زمان بین دو ورود متوالی مشتري y با توجه به احتمالات دو رقم اعشاري در جداول و در نظر داشتن خصوصیت مونت کارلو میتوان ارقام تصادفی به شرح زیر براي رویدادهاي مثال در نظر گرفت. اعداد تصادفی اعداد تصادفی توزیع تجمعی احتمال نوع مشتري اعداد تصادفی توزیع تجمعی احتمال زمان بین دو ورود متوالی 0 4 4 5 5 6 6 7 0.4 0.4 0.0 0.8 0.09 0.04 0.0 0.4 0.8 0.68 0.86 0.95 0.99 00 4 7 8 67 68 85 86 94 95 98 99 X 0.6 0.6 00 59 60 99 توزیع تجمعی احتمال 0.4 زمان بین دو ورود متوالی مشتري Y 0 4 4 5 مشتري y 0.5 0. 0.0 0. 0.0 0.5 0.7 0.67 0.80 00 4 5 6 7 66 67 79 80 99 0 4 4 5 0.5 0. 0.0 0. 0.0 0.5 0.7 0.67 0.80 5
فرض پیش بینی وضعیت سیستم با استفاده از روش مونت کارلو Customr umbr Fst radom umbr 4 Customr typ X Scod radom umbr 7 Itr-arrval tm rag Thrd radom umbr 4 Itr-arrval tm.4 فرض را بر این بگیرید که اعداد تصادفی یکنواخت با استفاده از رویههاي مشخصی قابل تولید شدن هستند. به عنوان مثال جدول زیررا به عنوان اعداد تصادفی یکنواخت در نظر بگیرید. 44 X 4 8.8 9 X 4.4 4 90 Y 05 0 8 0.8 5 8 Y 5 66.66 6 X 4 86.86 7 56 Y 45 4.4 8 79 Y 9.9 9 5 X 6 55.55 0 4 X 0 0 48 0.48 صف تک مجرایی پیش بینی وضعیت سیستم با استفاده از روش مونت کارلو فرض کنید مدت ورود دو مشتري متوالی به صفی تا 8 دقیقه با احتمالهاي یکسان میباشد. همچنین مدت زمان خدمتدهی نیز بین تا 6 دقیقه با احتمالهاي مشخص در جدول زیر است. مدت بین ورود احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی مدت خدمتده ي 4 5 6 احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی 0-0 -0-60 6-85 86-95 96-00 0 0. 0.6 0.85 0.95 0. 0. 0. 0.5 0. 0.05 توزیع مدت هاي بین دو ورود متوالی توزیع مدت هاي خدمت دهی 00-5 6-50 5-75 76-500 50-65 66-750 75-875 876-000 0.5 0.50 0.75 0.500 0.65 0.750 0.875.000 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 4 5 6 7 8 6
نتایج ادامه نتایج Ma of 68 Srvc Tm.4 0.=6*5+0.05*4+0.*+0.5*+0.*+0.*0.= امید ریاضی مدت زمان خدمت دهی 8.4 5 متوسط زمان بین دو ورود متوالی 8.4 مدت زمان بین دو ورود 0-8.0 احتمال بیکاري خدمت دهنده 86 56 Ma of Qu Tm.8 0 56.4 متوسط زمان آن هایی که به انتظار می ایستند 0/=0.65 =(کل مشتریان)/(تعداد مشتریانی که به انتظار می مانند)=احتمال انتظار =.8 +.4 0/4=6. =متوسط ماندن در سیستم ادامه نتایج صف با دو خدمت دهنده اکثر مشتریان ناچار به انتظار در صف هستند مدت زمان بیکاري زیاد نیست. یک رستوران را با دو تحویل (هابیل و خباز) دهنده غذا به مشتریان در نظر بگیرید. هنگام ورود سفارش جدید به رستوران هر خدمت دهنده که بیکار باشد کار را انجام میدهد و در زمانی که هر دو بیکارند هابیل به دلیل تجربه بیشتر در این امر سفارش دهی به مشتریان را به عهده می گیرد. با توجه به این که زمان خدمت هر خدمت دهندهو زمان ورود متوالیمشتریان داراي توزیع احتمالی مشخص است سیستم فعلی را تحلیل کنید. توزیع مدتهاي بین سفارش مشتریان تخصیص ارقام تصادفی احتمال تجمعی احتمال مدت بین دو سفارش 0-5 6-65 66-85 86-00 0.5 0.65 0.85 0.5 0.4 0. 0.5 4 مدت خدمتدهی 4 5 توزیع خدمت دهی هابیل تخصیص ارقام تصادفی احتمال تجمعی احتمال 0-0 0. 0. -58 0.58 0.8 59-8 0.8 0.5 84-00 0.7 توزیع خدمت دهی خباز تخصیص ارقام تصادفی احتمال تجمعی احتمال مدت خدمتدهی 0-5 6-60 6-80 8-00 0.5 0.6 0.8 0.5 0.5 0. 0. 4 5 6 7
خلاصه نتایج شبیه سازي مسا له رستوران آمار حاصله از شبیه سازي 56 90% درصد مشغولیت هابیل 6 4 69% درصد مشغولیت خباز 6 9 5% درصد افراز انتظار کشیده 6 / مدت وسط زمان انتظار افراد در صف 9 مسا له پسرک روزنامه فروش فرضیات فردي تعدادي روزنامه براي فروش در یک دوره میخرد. نکته قابل توجه در ا نی مساله این است که روزنامه فروش در انتهاي دوره روزنامه هاي باقیمانده را بایستی به قیمت کاغذ باطله بفروشد. درآمد فروش روزنامه باطله + سود از دست رفته- هزینه خرید - درآمد فروش = سود نوع روز خوب متوسط بد توزیع اختمالی نوع روز تخصیص ارقام تصادفی احتمال تجمعی احتمال 0-5 0.5 0.5 6-80 0.80 0.45 8-00 0.0 توزیع روزنامههاي مورد تقاضا توزیع احتمال تقاضا خوب متوسط بد تقاضا 0.4 0. 0.6 0. 0.06 0.00 0.00 0.0 0.8 0.40 0.0 0.08.04 0.00 0.0 0.05 0.5 0.0 0.5 0.5 0.07 40 50 60 70 80 90 00 0 7 8
خلاصه نتایج شبیه سازي مسا له روزنامه فروش سیاست بهینه فرض میکنیم که شبیهسازي را براي خرید 70 روزنامه طی یک دوره 0 روزه انجام می دهیم جدول فوق را براي تعداد خریدهاي مختلف روزنامه در ابتداي روز اجرا می کنیم. جدولی که متوسط سود بیشتري را توسط شبیه سازي نشان دهد مشخص کنندۀ سیاست بهینه تهیه روزنامه در ابتداي روزاست. 0*70-0+*60-*0= سود مساله موجودي خلاصه نتایج شبیه سازي مساله موجودي متوسط موجودي در انتهاي روز 87.5 5 فرض کنید در یک سیستم کنترل موجودي هر 5 روز یک بار موجودي بررسی شده و در صورتی که مقدار موجودي کمتر از واحد باشد سفارش صادر می گردد که موجودي به واحد برسد. سطح موجودي ابتداي دوره واحد و ورود یک سفارش 8 واحدي در دو روز بعد دیده شده است. تقاضاي روزانه و مهلت تحویل براي کالاهاي انبار داراي توزیع احتمالی به شرح زیر است. وضعیت این سیستم را به کمک شبیه سازي بررسی نمایید. تقاضا احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی 0 4 مهلت تحویل احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی احتمال رخدادکمبود 5 روز 9
مسا له پایایی سیاست هاي پیش رو یک ماشین فرز بزرگ سه برینگ مختلف دارد که در جریان کار دچار خرابی میشوند با خرابی برینگ فرز از کار افتاده و تعمیرکار براي نصب برینگ تازه احضار میشود مدت عمر هر برینگ و مدت تا خیر تعمیرکار در ورود به محل براي تعمیر برینگ ها متغیرهاي تصادفی به شرحزیر می باشند: عمر برینگ احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی مدت تاخیر(دقیقه) 5 0 5 احتمال 0.6 0. 0. احتمال تجمعی 0.6 0.9 تخصیص ارقام تصادفی در حال حاضر هر برینگی که از کار می افتد تعویض می گردد. با توجه به هزینه هاي زیر چنین وضعیتی را تحلیل کنید. سیاست بهبود دهنده اي براي تغییر وضعیت این دستگاه پیشنهاد داده و با استفاده از شبیه سازي آن را تحلیل کنید. 6: هزینه هر برینگ واحد پول در ساعت: دستمزد تعمیرکار 5 واحد پول در دقیقه :هزینه مدت از کار ماندگی فرز 0 دقیقه = برینگ 0 دقیقه = برینگ 40 دقیقه = برینگ -6 7-9 0 0-0 - 4-48 49-6 6-70 7-8 8-84 85-90 9-95 96-00 0. 0. 0.48 0.6 0.7 0.8 0.84 0.9 0.95 0. 0. 5. 0. 0.09 0. 0.0 0.06 0.05 0.05 00 00 00 00 400 500 600 700 800 900 شبیه سازي وضعیت فعلی هزینه ها در وضعیت فعلی (0000 ساعت) = 76 6 * 46 = هزینه برینگ ها =650 5 * (0+5+95) = هزینه مدت تا خیر 4600= 5 *0* 46= هزینه مدت از کارافتادگی حین تعمیر 46*0*(/60)=84 =هزینه تعمیرکار 84= = 76 +650+4600+ هزینه کل 770 0
پیشنهاد هزینه ها در وضعیت پیشنهادي 54*6=864 =هزینه برینگها 5*5=65 =هزینه تا خیر 8*40*5=600 =هزینه مدت از کارافتادگی 44=(/60)*40*8= هزینه تعمیرکار 84= = 864 +65+600+ هزینه کل 5 تعویض هر سه برینگ در صورت رخداد یک خرابی If X ~ N(, ) شبیه سازي زاغە مهمات یک اسکادران جنگی قصد بمباران یک زاغە مهمات به صورت شکل زیر را دارد. با توجه به مشخصات بمب افکن ها در صورت نشانه گیري مرکز زاغه توسط آن ها بمب ها با توزیع نرمال با انحراف معیار 00 در جهت افق و 600 در جهت عمودي به زمین اصابت می کنند. احتمال نابودي زاغه توسط یک اسکادران با 0 هواپیما را توسط شبیه سازي بیابید. یک نکتە مهم X Z ~ N(0,) X Z X ~ N(0,600) X 00Z Y ~ N(0,00) Y 600Z
اعداد تصادفی نرمال استاندارد نتایج شبیه سازي مساله اسکادران تقاضا در مهلت تحویل نتایج شبیه سازي مساله تقاضا در مهلت تحویل تقاضا براي محصولی داراي توزیع احتمالی به شرح زیر است. زمانی که تقاضایی به وجود می آید تقاضاي روزانه احتمال 6 0.5 5 0. 4 0.5 0. دستور ساخت داده می شود. زمان دریافت سفارش تا تحویل آن به مشتري به زمان تحویل شهرت یافته است که آن هم داراي توزیع احتمالی به شرح زیر است. با توجه به این اطلاعات وضعیت این سیستم را از لحاظ موجودي به کمک شبیه سازي مدل نمایید. مدت تحویل احتمال دور ارقام تصادفی مهلت تحویل مهلت تحویل ارقام تصادفی براي تقاضا 87 4 8 8 9 6 تقاضا تقاضا در مهلت تحویل 0 5 6 4 5 4 5 57 9 0. 0.4 0.6
نتیجه گیري از مثال ها مرور مجدد مسي له رستوران در راستاي مفاهیم شبیه سازي هر شبیهسازي گسسته پیشامد مدلسازي طی زمان از سیستمی است که تمام تغییر حالتهاي آن در لحظههاي گسسته زمان یعنی در لحظههاي وقوع پیشامدها رخ میدهد. در حقیقت شبیهسازي پیشامد با ایجاد توالیی از تصاویر پیش میرود که معرف تکوین سیستم طی زمان است. حالت سیستم نهاد (t) L: Q تعداد افراد در صف نه مشتري و نه خدمت دهنده براي اینکه در قالب متغیرهاي حالت نیاز به معرفی صریح برخی اینکه مگر ندارند متوسط هاي مربوط به مشتري مدنظر باشد. (t) L: A وضعیت هابیل = (t) L A اگر هابیل مشغول باشد. 0= (t) L A اگر هابیل بیکار باشد. (t) :L B وضعیت خباز = (t) L B اگر خباز مشغول باشد 0= (t) L B اگر خباز بیکار باشد شبیه سازي معدن سنگ اطلاعات موجود در شبیه سازي معدن سنگ قرار است شش کامیون وظیفه حمل و نقل در این سیستم را به عهده بگیرند. می توان زمان سفر از بارگیري بارگیري تا توزین را در نظر نگرفت توزین مدت توزین 6 احتمال 7/0 /0 احتمال تجمعی 7/0 تخصیص ارقام تصادفی -7 8-0 مدت سفر 40 60 80 00 احتمال 4/0 /0 /0 /0 احتمال تجمعی 4/0 7/0 9/0 تخصیص ارقام تصادفی -4 5-7 8-9 0 بارگیري در این مسیر سنگ معدن تحویل قطار می شود مدت بارگیري 5 0 5 احتمال احتمال تجمعی تخصیص ارقام تصادفی - 4-8 9-0 /0 8/0 /0 5/0 /0
متغیرهاي حالت پیشامدها (t) L: Q تعداد کامیون ها در صف بارگیري 0 تا 4 :L(t) تعداد کامیون ها در حال بارگیري 0 و و (t) W: Q تعداد کامیون ها در صف توزین 0 تا 5 :W(t) تعداد کامیون ها در حال توزین 0 و ورود کامیون به صف بارگیري در زمان t خروج کامیون از بارگیري (ورود به صف توزین) در زمان t خروج کامیون از توزین [AL Q (t), t, DT ] [L, t, DT ] [W, t, DT ] فرضیات ضروري براي شبیه سازي آمارهاي تجمعی 0 6 5 0 6 5 5 وضعیت سیستم در لحظه صفر جدول اعداد تصادفی 0 مدت بارگیري مدت توزین 60 مدت سفر B: S زمان تجمعی استفاده از دستگاه توزین B: L زمان تجمعی استفاده از دستگاه هاي بارگیري 80 40 40 00.. بارگیري توزین بارگیري 4
بارگیري توزین نتایج شبیه سازي معدن سنگ نتایج شبیه سازي معدن سنگ بارگیري خلاصه نتایج شبیه سازي معدن سنگ سوال... درصد زمان بهره برداري از هر دستگاه باگیري 49/=4.5 4.5/ 76 * 00 = % درصد زمان بهره برداري ازدستگاه توزین: آیا نتایج به دست آمده قابل اعتماد است چرا چگونه نتایج این شبیهسازي را معتبر نماییم آیا اضافه کردن یک دستگاه توزین دیگر وضعیت معدن را بهبود میدهد براي جواب دقیق به این سوال به چه پارامترهاي دیگري نیاز دارید 4. آیا میتوانید شبیه سازي این مثال را آسانتر انجام دهید چگونه 76/76 * 00 = 00% 5. فلوچارتی براي توسعه یک مدل شبیهسازي این معدن اراي ه کنید 5
rcss. Followg a dscusso wth th arport s opratos maagr, mor accurat data o th tak-off ad ladg of aroplas hav com to lght. Aroplas ar classfd to two szs: small ad larg. Small aroplas oly rqur a.5-mut slot o th ruway, whl larg aroplas rqur.5 muts. It s pctd that 70% of aroplas wll b small. Th tm btw aroplas arrvg for ladg s pctd to b as follows: زبان هاي شبیه سازي سیستم هاي گسسته پیشامد زبان هاي برنامه نویسی نرمافزارهاي شبیه سازي بزرگترین حسن برنامههاي شبیهسازي ساختار مشخص و آماده آنها براي شبیهسازي سیستمهاي گسسته پیشامد است Th tm btw arrvals for tak-off s pctd to b th sam. Dvlop a thrphas dscrt-vt smulato of th problm. a) Df th B-vts ad C-vts for th problm. b) Crat sampls from th dstrbutos for tr-arrval tm ad aropla sz. c) Smulat a prod of oprato at th arport. rcss. تمرینهاي 9 و 0 و و 4 فصل دوم کتاب شبیهسازي سیستمهاي گسسته پیشامد. تمرینهاي 4 0 فصل سوم کتاب شبیهسازي سیستمهاي گسسته پیشامد ترجمه دکتر محلوجی (رسم فوچارت و برنامه نویسی به زبان C). فلوچارتی براي مساله قدم زدن تصادفی به منظور مدل کردن این مساله با استفاده از تکنیک شبیهسازي اراي ه کنید. (توضیح مساله) فصل سوم آمار در شبیه سازي مفاهیم و تعاریف توزیع هاي آماري گسسته و پیوسته و مقادیر تصادفی ساخت اعداد تصادفی تحلیل داده هاي ورودي 6
متغیر تصادفی مفاهیم تعاریف متغیر تصادفی تابعی حقیقی است از فضاي نمونه به مجموعە اعداد حقیقی که به هر پیشامد ( ) : S R فضاي نمونه عددي حقیقی نسبت می دهد. F px متغیر تصادفی گسسته انواع متغیر تصادفی X را متغیر تصادفی گسسته مینامند اگر مقادیري که X میگیرد متناهی یا نامتناهی شمارا باشد. 0 p p تعداد سفارشهایی که به کارگاه میرسد انداختن یک تاس و آمدن یک عدد خاص تاس ناسالم که احتمال آمدن هر وجه آن با عدد هر وجه متناسب است. متغیر تصادفی پیوسته X را متغیر تصادفی پیوسته مینامند اگر مقادیري که X میگیرد فاصلهاي از مجموعه فواصل باشد. f 0 0 0 f d f d 0 عمر یک لامپ تابع توزیع تجمعی f p t lm F lm F 0 pa b Fb Fa ; a b dt If X was Cotus stochastc varabl th a b pa b pa b pa b F(b) F( a f p ) b a d 7
8 سنایراو یضایر دیما رواتشگ d f p () d f p () ) ( var d f p ) ( ) ( ) ( ) ( لاثم - فصنم ریغ سات - پملا رمع X 4 5 6 ) P( / / / 4/ 5/ 6/ F(X) / / 6/ 0/ 5/ 4 4 8 ) ( 8 0.45 0 0 0 0 Var d Var dt dt F p o f t t. 8.78 4. var 4. 6 6... هنایم و دم دم.دهد یم يور همه زا رتشیب هک تسا یفداصت ریغتم زا يرادقم هتسسگ ریغتم رد دم تسا عیزوت عبات ممیسکام رادقم هتسویپ ریغتم رد دم هنایم F(X<)=/ :هک تسا یفداصت ریغتم زا يرادقم هتسویپ یفداصت ریغتم رد هنایم :هک تسا ينیلوا هتسسگ یفداصت ریغتم رد هنایم ) ( X p لاثم فصنم ریغ سات پملا رمع 865. l 0 0 dt dt t t 5 5 X p
ضریب چولگی و کشیدگی ] Var [ ضریب مربع مورد توجه قرار می گیرند. C [ ] کشیدگی [ انتهاي توزیع ] X 4 [( [ ]) ] [( [ ]) ] ] v[ چولگی k[ ] 4 [ ] [ ] با وجود اینکه تعداد گشتاورها نامحدود می باشند ولی در عمل فقط تعداد کمی از آن ها اگر توزیع چوله به چپ باشد چولگی منفی و اگر چوله به راست باشد چولگی مثبت و در صورت متقارن بودن چولگی صفر می شود. این معیار نیز براي اندازه گیري میزان پراکندگی که به صورت مقداري بی واحد نرمال شده است. اگر کشیدگی انتهاي تابع کم باشد این معیار منفی صورت زیاد بودن کشیدگی مثبت می باشد. یا تغییرات X به کار می رود با این تفاوت و اگر کشیدگی متوسط باشد صفر و در توزیع هاي رایج متغیرهاي تصادفی گسسته و ساخت مقادیر شبه تصادفی توزیع یکنواخت گسسته روش هاي ساخت مقادیر تصادفی روش تبدیل معکوس روش تبدیل مستقیم روش رد و قبول روش پیچش چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع یکنواخت گسسته p( ) ;,,,...,k k ( ) k k k Var( ) ( ) ( ) k k( k ) k * k k( k )(k ) ( k ) * k 6 4 k k k ( ) k 9
توزیع برنولی متغیر تصادفی برنولی () داراي دو نتیجه پیروزي و شکست می باشد. بنابراین فضاي نمونه را می توان به شکل {0,}=S در نظر گرفت که در آن 0 نشانگر شکست و نشان دهنده پیروزي است. توزیع برنولی به صورت Br(p) نشان داده می شود که در آن p احتمال موفقیت و در نتیجه p احتمال شکست می باشد. نکات زیر در مورد این متغیر تصادفی قابل استخراج است. فرض توزیع بینم (دو جمله اي) کنید متغیر تصادفی برنولی با هم جمع شوند. حاصل متغیر تصادفی است که می توان آن را با عنوان تعداد پیروزي ها در آزمایش برنولی تعبیر نمود. تابع توزیع ا نی تصادفی را می توان به صورت زیر بدست آورد: با توجه به تعریف متغیر تصادفی دو جمله اي داریم: متغیر p q p 0 0,... othrws X X p q p q pq 0 p p q p p p 0 0 0 0 0 0 p جمله اي چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع دو نکتھ p p q p p p q 0 Var( ) var p p p p p var var p pq pq X... X qp q p p p p 0 p 0 q p Var( ) p p q ; 0, ( ) ( p 0 q) p p( p) pq چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع برنولی مثال توزیع هندسی (X) تعداد در یک فرایندساخت چیپ هاي نیمه رسانایی با % درست معیوب تولید میشوند. در این سیستم تولیدي هر روز یک نمونه 50 تایی گرفته شده و اگر در نمونه بیشتر از معیوب باشد فرایند متوقف میشود. احتمال توقف فرایند را در هر روز بیابید. آزمایش هاي برنولی مستقل از هم را در نظر بگیرید. متغیر تصادفی هندسی آزمایش هاي برنولی تا رسیدن به اولین موفقیت می باشد. این توزیع به شکل G(p) نشان داده می شود. (p احتمال موفقیت و p احتمال شکست می باشد). از آنجا که تعداد آزمایش ها نامحدود می باشد فضاي حالت به شکل متغیر تصادفی به شکل زیر می باشد و داریم: S={,,,k,...} است. تابع احتمال P() =q p; =,, () =/p توزیع هندسی به طور گسترده در مدل هاي ریاضی به علت خاصیت بی var() =q/p p k k p( ) ; حافظگیاین توزیع استفادهمی شود. بی حافظگی یعنی: چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع هندسی 50 حل: ابتدا بایستی متغیر تصادفی در این سوال تعریف شود. p 0.0 0.98 X تعداد واحدهاي ناقص p px p 0 p p 0.9 0.08 50 0.0 var 50 0.0 0.98 0. 98 0
p( p p q, p مثال در مثال قبل احتمال اینکه سومین نمونه اولین معیوب باشد را بیابید. P(=) =0.98 *0.0 پیروزي: یافتن معیوب توزیع پواسون... ) lm!... lm!! var p pq lm k k 0! k0 k! k0! f ( ) ( f lm0 f ( ) p( )! Var( )??? چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع پواسون در نتیجه متغیر تصادفی تمام خصوصیات تابع احتمال را دارد و تابع توزیع آن تقریبی از k تابع توزیع متغیر تصادفی دو جمله اي است. مثال اگر تقاضا در مهلت تحویل براي محصولی داراي توزیع پواسون با میانگین 0 داشته باشد با فاصله اطمینان %95 در برابر کمبود نقطه سفارش مجدد را p! 0! 0 مشخص نمایید. توزیع هاي رایج متغیرهاي تصادفی پیوسته 0 0 0.95 0!,,... 5
توزیع یکنواخت توزیع مثلثی متغیر تصادفی یکنواخت X در بازه S=[a,b],b>a مقادیري را اختیار می کند که داراي احتمال یکسان می باشند. توزیع یکنواخت تابع چگالی به شکل زیر می باشد: به صورت Uf(a,b) نشان داده می شود. متغیر تصادفی توزیع مثلثی X مقادیر موجود در بازه S=[a,b] را اختیار می کند. احتمال در زیربازه [a,c] به صورت خطی افزایش می یابد و در زیربازه [c,b] به صورت خطی کاهش می یابد. بنابراین تابع چگالی این متغیر داراي شکل مثلثی می باشد. توزیع مثلثی با آن به صورت زیر به دست می آید: نماد Tra(a,c,b) نشان می دهند و تابع چگالی f ( a) ( b a)( c a) ( b ) ( b a)( b c) 0 چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نمایی a c a b c c b ( ) a b c ab ac bc b Var( ) 8 f p b a 0 a b othrws F 0 a b a a a b b a b چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع یکنواخت پیوسته X b a var b a B d 0 ~ Gamma(, ) Var! 0 f 0 othrws If X has p( ) dstrbuta o th Var X X p f var 0 0 othrws s t s p t st s t t s p s p ~ p( ) توزیع نمایی p t F خاصیت بی حافظگی توزیع نمایی 0 چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نمایی تابع گاما تابع توزیع گاما توزیع گاما f X ( X ) * ( X ) چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع گاما Var( X ) * Var ( X ) X has Gamma, dstrbuta o
توزیع کاي دو توزیع ارلنگ همان تابع توزیع گاما در حالتی است که N است. در این حالت داریم ~ rlag(, ) f! F 0! چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع ارلنگ v ~ Gamma(, ) v ( ) v 0 f v 0 othrws ~ Ch - squar( ) f v ( ) v 0 v 0 othrws چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع کاي دو مثال مثال دو لامپ با عمر متوسط 000 ساعت با توزیع نمایی به گونهاي بسته شدهاند که در صورت خارج شدن یکی لامپ دیگر روشن میشود. احتمال اینکه بعد از 60 ساعت لامپی روشن باشد چقدر است. یک معاینه پزشک سه مرحله دارد که هر کدام داراي توزیع نمایی با میانگین 0 دقیقه X=X +X + X است. با این فرضیات احتمال مدت معاینه کمتر از 50 دقیقه باشد را بیابید. X ~XP (/0) X ~XP (/0) X ~XP (/0) F 50 050 0 50.5.5 0! 0! 0.54 0.457 k ˆ k 60 M 40 0 0 0 Prpard By Dr. Kazmpoor X=X +X X ~XP (/000) X ~XP (/000) F F 0.64 0.6 000 000 0.60! 0.6! 0! 0.66 0.64
X ~ N, f ) f ) f lm f ] توزیع نرمال امید ریاضی و واریانس توزیع نرمال X ~ N, ( ) f d Var( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) lm f ) Arg[ Ma f ( ) 0, چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نرمال 4) F px dt z dz 5) f z z ; z z ~ N0, If If X ~ N F p X 50 مثال مثال اگر تقاضا براي محصولی داراي توزیع نرمال با میانگین 5 و واریانس 9 باشد نقطه سفارش If X ~ N p مجدد را به گونهاي بیابید که کمبود فقط در %5 مواقع رخ دهد. 50,9 Calculat p( 56) 0 0.05 0 5 0.05 0 5 0 5 0.95.65 9.95 0 اگر به هنگام رسیدن تقاضا به 0 واحد سفارش خرید صادر شود فقط در %5 مواقع کمبود داریم. 56 50 56 p pz 0. 977 0 0 X F F0 0 0 p X ~ N 0.5 50,9 Calculat p( 56),4 Calculat p( 0) ad p(0 ) 0 0.587 0 0.5 0.0844 0. 4 4
X BTA Fucto : B(, ) ( ) Var ( ) ( ) ( ) X ~ Log, f ( ) ( ) Var( ) Not X (l- ) ( توزیع لوگنرمال, ) 0 X If Y has Logormal Dstrbuto ad Y th has Normal Dstrbuto چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع لوگنرمال متغیر تصادفی لوگنرمال همواره مثبت می باشد و اغلب براي مدلسازي فرآیندهاي تصادفی مالی به کا می رود. توزیع بتا ( ) ( ) BTA Dstrbuto : f ( ) B(, ) 0 ( ) ( ) d ( ), 0 X چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع بتا یک متغیر تصادفی بتا اغلب در آمار براي مدلسازي یک احتمال نامعلوم که متغیر تصادفی نامیده می شود به کار می رود. توزیع وایبول توزیع تی استیودنت X ~ T Studt ( ) 0, Var( ) Whr Z s a stadard ormal radom varabl, Y s a ch-squar radom varabl wth dgrs of frdom, ad Z ad Y ar dpdt. X has T-Studt dstrbuto X ~ Wbull, f ( ) -( ) ( ) ( ), 0 X Var ( ) ( ) ( ) متغیرهاي تصادفی وایبول در اغلب مدلسازي فرآیند فرسودگی اجزا در تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می شوند. چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع وایبول چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع تی استیودنت 5
توزیع فیشر نکته اي در باره توزیع هاي رایج آماري میتوان بسیاري از اتفافاتی که در پیرامون ما رخ میدهد را به یکی از توزیعهاي گفته شده با فاصله اطمینان خاصی نسبت داد. پس اگر بتوانیم در مورد یک متغیر تصادفی یکی از این توزیعها برازش کنیم تحلیلها در شبیهسازي سمت و سوي مشخص تري میگیرد. در ادامه این فصل تعیین توزیع مناسب و تخمین پارامترها براي یک سري ازدادههاي مشخص انجام خواهد گرفت. X ~ F, whr V ad W ar dpdt ch-squar radom varabls wth th corrspodg dgrs of frdom, X has F dstrbuto wth, dgrs of frdom. چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع فیشر Posso Procss Posso Procss Th sgl paramtr λ cotrols th rat at whch vts occur ovr tm. Sc λ s a costat, a Posso procss s oft rfrrd to as a homogous Posso procss. Th thrd codto s quvalt to p Nt s Ns t t! ; 0,,... A Posso procss s a spcal typ of coutg procss that s a fudamtal bas cas for dfg may othr typs of coutg procsss. Dfto: Th coutg procss {N(t), t 0} s sad to b a Posso procss wth rat λ, λ > 0, f N(0) = 0 th procss has dpdt crmts th umbr of vts ay trval of lgth t s Posso dstrbutd wth ma λt. 6
نکاتی در توزیع پواسون مثال ورود داراي توزیع پواسون با نرخ λ است p -p ورود به این صف داراي توزیع پواسون با نرخ λp است ورود به این صف داراي توزیع پواسون با نرخ λ(-p) است ورود به این فرآیند داراي توزیع پواسون با نرخλ است ورود داراي توزیع پواسون با نرخ λp است ورود داراي توزیع پواسون با نرخ λ(-p) است آهنگ ورود به یک فرایند داراي توزیع پواسان با میانگین 0 دقیقه است. احتمال اینکه در 0 m 60 0 6 0 6 t 6 p 0! 0 0. 00 یک دوره ساعته هیچ سفارش وارد نشود چیست رابطه میان فرآیند پواسون و توزیع نمایی اگر تعداد پیروزي ها در فاصله زمانی 0 تا t داراي توزیع پواسون باشد می توان نشان داد X ~ Posso( t) t ( t) pn( t) ; 0,,...! p( T t) p( T t) p( که زمان رسیدن به اولین پیروزي داراي توزیع نمایی است. t ( t) 0! 0 ) t f ( t) ( t t ~ p( ) t اثبات: صفر پیروزي در فاصله زمانی صفر تا t ساخت اعداد تصادفی ) t 7
و عدد تصادفی خواص ضمنی اعداد تصادفی یکی از موارد کلیدي در شبیه سازي سیستم هاي گسسته پیشامد تولید اعداد شبه تصادفی است. بدین منظوردو مرحله کلی وجود دارد: ساخت مجموعه اي از اعداد تست این که اعداد تولید شده تصادفی اند یعنی داراي توزیع یکنواخت بین صفر تا یک باشند (یعنی احتمال قرار گرفتن در هر فاصلهاي برابر با طول آن فاصله باشد). تابع چگالی امید ریاضی و واریانس اگر فاصله ) (0 مشاهده N/ در هر رده قرار گیرد. به رده یا زیر فاصله مساوي تقسیم شود انتظار میرود که از N احتمال مشاهده یک عدد در یک رده فاصله خاص مستقل از سایر مشاهدههاست. عنی همبسگی بین اعداد وجود نداشته باشد. اعداد تولید شده مستقل از هم باشند (یعنی هیچگونه ارتباطی بین مقدار فعلی متغیر تصادفی و مقدار پیشین آن وود نداشته باشد). خواص اعداد تصادفی روش هاي تولید اعداد تصادفی روش یا الگوریتم تولید اعداد تصادفی میبایست سریع باشد. روش میان ضربی الگوریتم نباید نیاز به مقدار زیادي حافظه کامپیوتر داشته باشد و میبایست قابل روش مضرب ثابت برنامهنویسی کامپیوتري باشد. روش همنهشتی جمعی طول دنباله اعداد تولید شده باید به اندازه کافی بلند باشد ) هب دلیل اینکه در نهایت از یک الگوریتم براي تولید اعداد تصادفی استفاده میشود. ایجاد سیکل اجتناب ناپذیر خواهد بود ولی طول سیکل بلند (مثلا چند میلیون و یا چند میلیارد) اهداف شبیهسازي lr cogrutal mthod مولدهاي همنهشتی خطی مولدهاي همنهشتی خطی ترکیبی Combd lr cogrutal mthod را تا مین خواهد کرد). 8
مثال lr cogrutal mthod m X ax c X: 0 مقدار اولیه هسته a: ضریب ثابت مولد c: مقدار ثابت مولد m: مقدار پیمانه نحوه انتخاب مقادیر پارامترها تا ثیر فراوانی در خواص آماري از قبیل میانگین واریانس و طول سیکل دارد. وقتی c مخالف صفر باشد مولد رامولد همنهشتی آمیخته مینامند و در صورتی که c برابر صفر باشد مولد همنهشت ضربی نامیده میشود. با استفاده از مقادیر 00=m 0,7=,7=a,4=c و بر اساس روش همنهشتی خطی X 7 R 0.0 R 0.77 0 00 00 X 7 00 R 0.5 00 4 77 77 00 00 00 00 X 7 7 4 50 0 00 X 7 77 4 5 5 دنبالهاي از اعداد تصادفی تولید کنید. Combd lr cogrutal mthod ampl با ترکیب دو یا چند مولد همنهشتی ضربی ممکن است طول دنباله اعداد تولید شده بیشتر شده و در نتیجه احتمال تولید اعداد بهتري وجود داشته باشد. 9
تست یکنواختی و تست هاي استقلال تست یکنواختی توزیع اعداد تولید شده - آزمون هاي فراوانی براي تست یکنواختی توزیع اعداد تولید شده -- آزمون مربع کاي -- آزمون کالموگروف-اسمیرنف - آزمون هاي استقلال اعداد تولیید شده -- آزمون روند --- روندهاي صعودي و نزولی --- روندهاي کوچکتر و بزرگتر از میانگین --- آزمون روند براساس طول روند (طول روندهاي بزرگتر و کوچکتر از میانگین طول روندهاي صعودي و نزولی -- آزمون همبستگی -- آزمون افراز الگوریتم هاي تست یکنواختی اعداد تصادفی بر پایه تي وريهاي آماري یا آزمونهاي فرض میباشند. به عنوان مثال در تست توزیع یکنواخت ما دو فرض داریم که یکی بیان میکند که اعداد تصادفی توزیع یکنواخت دارند که ما آن را فرض صفر مینامیم و دیگري بیان می کند که اعداد تصادفی توزیع یکنواخت ندارند و ما ان را H مینامیم که در آمار به عنوان فرض جایگزین شناخته میشود. در این تست آماري علاقهمند به بررسی نتیجه فرض صفر رد کردن آن و یا عدم رد آن هستیم. (صحت فرض صفر رد فرض صفر ) p =احتمال خطاي نوع اول (فرض صفر غلط پذیرش فرض صفر) p =احتمال خطاي نوع دوم اعداد توزیع یکنواخت دارد اعداد داراي توزیع یکنواخت نیستند H 0 : H : ~ U[0,] R ~ U[0,] R 4-- آزمون شکاف مثال - آزمون کاي دو مثال - تست یکنواختی KS فرض کنید توسط یک رویه ساخت اعداد تصادفی اعداد زیر ساخته شده اند: اعداد زیر با یک رویه خاص تولید شده اند آیا این اعداد در سطح معنی دار %95 داراي تابع توزیع یکنواخت می باشند 0.8 و 0.4 و 0.05 و 0.9 و 0.44 آیا این اعداد به طور یکنواخت توزیع شده اند 6. 9 0.05,9 D Ma{0.,0.6} 0.6 D D0.05,5 0. 56 0.05,5 D D 0.6 D 0. دلیلی بر رد فرض صفر وجود ندارد دلیلی بر رد فرض صفر وجود ندارد 40
مقایسه آزمون مربع کاي و کالموگروف- اسمیرنف آزمون همبستگی آزمون k s تک تک مشاهدات را در نظر میگیرد ولی کاي دو مشاهدات را رده بندي کرده و بدین ترتیب تعدادي از دادهها حذف شده و دقت کم میشود. در مواردي که تعداد مشاهدات کم است k s به دلیل دقیق بودن قابل اعمال است و یل کاي دو بیشتر براي نمونههاي بزرگ کاربرد دارد. در کاي دو امکان برآورد پارامترها از طریق مشاهده نیز وجود دارد (با تغییر آزمون) ولی k s این انعطافپذیري را ندارد. کاي دو هم در مورد دادههاي پیوسته و هم گسسته قابل به کارگیري است تنها براي مواردي که تابع توزیع تجمعی جهشی نیست. قابل به کارگیري است. ولی k s اگر داده هاي تولید شده توسط یک مولد خاص تصادفی باشند نبایستی ه جی نظمی به هیچ طریقی میان آن ها وجود داشته باشد. در حقیقت براي بررسی عدم وجود نظم میان داده ها آزمون فرض زیر انجام می شود. در این آزمون می توان نشان داد که آماره آزمون برابر است با: در این رابطه پارامترهاي به صورت زیر به دست می آید: H : 0 H : ˆ m m m 0 0 ˆ Z M R M k0 m ˆ ˆ m km R (k)m 0.5 ˆ ˆ m M 7 (M ) مثال حل N 0 M 4 0.05 Z ˆ ˆ m ˆ m 0.05.96 (0.* 0.8 0.8* 0. 0.* 0.7 4 0.7*0.05 0.05*0.6) 0.5 0.945 *4 7 0.80 (4 ) 0.945 Z.56.96.56.96 0.80 0. 0.99 0.68 0.0 0.5 0.49 0. 0. 0.05 0.8 0.5 0.4 0.89 0.9 0.95 0. 0.4 0.58 0.64 0.60 0.9 0.8 0.7 0.6 0.8 0.75 0.69 0.9 0.88 0.87 توسط یک مولد خاص اعداد زیر تولید شده است. آیا بر اساس تست همبستگی می توان اعداد سوم هشتم سیزدهم... را در سطح %95 تصادفی دانست دلیلی بر رد فرض صفر وجودندارد 4
Data Collcto Data ar of cours ctral to th dvlopmt ad us of smulato modls. Much ffort may go to th dsg of th cocptual modl ad to th codg of th computr modl. Howvr, f th data that ar usd to dsg ad populat th modl ar accurat th th rsults from th modl wll also b accurat. Th coctrato o quattatv data, howvr, gors th mportac of qualtatv data as wll. تحلیل داده هاي ورودي طراحی مدل - گردآوري داده هاي خام....4 به منظور طراحی مدل معتبر از دادههاي ورودي مسله چهار قدم ضروري است: گردآوري داده هايخام تعیین توزیعهاي آماري براي دادههاي خام برآوردهایی پارامترهايمشخص کننده توزیع آزمون توزیعها در پایان این چهار مرحله در صورت رد فرض صفر به قدم دوم بر میگردیم. برنامهریزي: طراحی برگههایی براي جمعآوري اطلاعات با توجه به شرایط قبلی مسا له. البته در مراحل اولیه اشکالی ندارد که این برگهها چند بار تصحیح شود. این نکته را در جمع آوري اطلاعات به یاد داشته باشید که همواره در پی شناسایی اوضاع و احوال غیر معمول پیرامون مسا له باشد. تجزیه و تحلیل همزمان با گردآوري دادهها کافی بودن دادههاي گردآوري شده را از لحاظ مشخص کردن توزیعهاي آماري مورد نیاز به عنوان ورودي شبیهسازي تعیین کنید و دادههاي غیر مفیدي جمعآوري نکنید. ادغام مجموعه هاي همگن در داده ها همگنی دادهها را در دورههاي متوالی در چند روز مورد بررسی قرار دهید مثلا دادههاي - روز شنبه با - پنج شنبه ادغام کنید. براي داغاممی توانید آزمونهاي مقدماتی بررسی میانگین را انجام دهید. بررسی روابطهمیان دو یا چند متغیر بررسیخود همبستگی داده هاي ظاهرامستقل 4
- برآورد پارامترهاي توزیع - تعیین توزیعهاي آماري براي دادهها - نمودار فراوانی تقسیمبندي دادههاي جمعآوري شده قسمتبندي محور افقی با استفاده از تقسیمبندي متناسب مشخص کردن فراوانی براي هر طبقه تقسیمبندي محور عمودي به گونهاي که همه فراوانیها را در برگیرد رسم فراوانیها - تعیین توزیع احتمال فرضی استفاده از توزیع هاي تجربی تعداد فاصله رده اي k امکان پدبر نیست 5 تا 0 0 تا 0 0 50 00 >00 /5 استفاده از توزیع هاي آماري معروف (میانگین واریانس و ضریب تعیین توزیع می توانند کمک حال ما باشند) براي برآورد پارمترهاي یک توزیع بایستی از روشهاي آماري برآورد پارامترها استفاده نمود. از جمله این روش ها می توان به موارد زیر اشاره نمود: روش گشتاورها روش تخمین ماکزیمم درستنمایی روش برآورد بیزي m k k k m k p( X ) k k W us Quatl- Quatl Plot for ths scto 4- آزمون هاي برازندگی براي آزمون توزیعها براورد پارامترها در برخی توزیع ها آزمون مربع کاي آزمون مربع کاي با احتمال هاي برابر آزمون برازندگی کولموگروف- اسنیرنف KS 4
مثال ادامه مثال - آزمون مربع کاي فرض کنید با استفاده از نمونه گیري تعداد وسایل نقلیه وارد شده به یک تقاطع 0 4 به صورت زیر به دست آمده است. فرض کنید با مقایسه این جدول با جدول توزیع احتمال پواسون چنین به نظر رسیده است که این اعداد داراي توزیع احتمال فرضی پواسون باشد آزمون 5 6 7 8 9 مربوطه را براي تست این فرضیه انجام دهید. تعداد وسایلی که طی دوره 5 دقیقهاي به تقاطع میرسند (X) فراوانی اولین مرحله براي تست این فرضیه بدست آوردن پارامتر توزیع فرض شده براي اعداد داده ^ X 0 H :X شده است. با توجه به جدول برآوردهاي اراي ه شده براي توزیع هاي آماري داریم: Do' t has.64 H :X has posso dstrbuto posso dstrbuto If has posso dstrbuto th p( )!.84.84! 0 9 7 0 8 7 5 5 0 Sampl 0.5,7 7 (O - ) 7.68 0.05,5. X 0 4 5 6 7 8 9 0, Sampl Oفراوانی مشاهده شده 0 9 7 0 8 7 5 5 مثال ادامه 0.05,5 W rjct H فراوانی انتظاري.6 9.6 7.4. 9. 4 8.5 4.4 0.8 0. 0. (O- ) 0 7.87 0.5 0.80 4.4.57 0.6.6 W ca say that : p( 0) p( ) مثال ادامه.84 0.84 p( 0) 0.06 pctd frqucy :00*0.06.6 0!.84.84 p( ) 0.096 pctd frqucy:00* 0.096 9.6!.84.84 p( ) 0.74 pctd frqucy :00*0.74 7.4!....84.84.84 0!.84! 0 0.00 pctd frqucy :00*0.00 0. 0.00 pctd frqucy :00* 0.00 0. 44
مثال - آزمون کاي با احتمال برابر براي توزیع نمایی آزمون کاي با احتمال برابر شود سوال اساسی در مواقعی که با توزیع هاي آماري پیوسته سر و کار داریم اینست طول هر دسته در رده بندي داده هاچقدر باشد. یک راهکار براي این امر بدین طریق توصیه می شود که بازه هایی با احتمال هاي یکسان ایجاد کنیم. این امر در ادامه با مثال توضیح داده می یک نمونه 50 تایی از چیپ هاي نیمه رسانا مورد آزمایش تعیین عمر قرار گرفته اند. نتایج عمر بر حسب روز 79.99.07 6.769 8.87 44.695 0.94 0.64 0.590 7.004.7.08 6.505 59.899 0.4.66 0.878 5.80.98.764 4.8 0.06 0.0.9 4.565 7.967.7.48 0.00.005.008.96 0.0 4.760 4.40 0.09.57 7.078 0.00.47.6 5.845 0. 5.009 0.4 9.00 7.579.960 0.54 0.9 4.56 به شرح جدول زیر شده است. مثال - ادامه مثال - نمودار هیستوگرام F a a W kow that : P ^ ; 0,,.., K a 0.084 (Why?) P a l p ; 0,,.., K W rcommd that : p 5 If w hav dtcal probablty for ach catgory th : p 5 k k k 5 For ths problm w suppos that k 8 p 0.5 45
مثال - نتیجه مثال - ادامه a 0 0 a l *0.5 0.59 0.084 a l *0.5.45 0.084... a a 7 8 l 7*0.5 4.755 0.084 آزمون KS مثال - تعیین فاصله رده اي در توزیع نرمال آزمون کالموگروف- اسمیرنف در مواردي که اندازه نمونه کوچک تر باشد و هیچ یک از پارامترهاي توزیع احتمال منتخب بر اساس داده هاي تجربی برآورد نشده باشد این آزمون بسیار سودمند است. F( ) ( ) ; - a a F( a) ( ) *p, If p 0.5 ( ) 0.5 a ( ) (.5) a.5 46
تمرین تمرین امید و واریانس تابع توزیع هندسی را بدست آورید. تمرین هاي 0 9 و 4 فصل چهارم کتاب شبیه سازي گسسته پیشامد امید و واریانس تابع توزیع گاما را به طور مستقیم بدست آورید. تمرین هاي 5 9 9 و 0 تا فصل هشتم کتاب شبیه سازي سیستم هاي گسسته امید و واریانس تابع توزیع بتا را به طور مستقیم بدست آورید. پیشامد امید و واریانس تابع توزیع وایبول را به طور مستقیم بدست آورید. تمرین هاي 8 7 6 4 و فصل نهم کتاب شبیه سازي گسسته پیشامد با استفاده از یک نرم افزار آماري شکل تابع توزیع گاما کاي دو وایبول و بتا را به چگونگی کاربرد رگرسیون خطی را در شیبه سازي توضیح دهید. ازاي پارامترهاي مختلف رسم نمایید. با استفاده از روش همنهشتی خطی و پارامترهاي زیر اعداد تصادفی مربوط را تولید روش ساخت اعداد تصادفی داراي توزیع برنولی دو جمله اي هندسی و پوسون اراي ه کرده و طول دنباله تصادفی تولید شده را بدست آورید. a=495 c=47 m=56 کنید. Vrfcato ad Valdato فصل چهارم از مهمترین وظایف در طراحی هر مدلی اعتبارسنجی مدل است. آزمایش و اعتبارسنجی مدل ها باعث می شود تردید نسبت به نتایج شبیه سازي میان کارشناسان از میان برداشته شده و نتایج مدل به منظور بهتر نمودن وضعیت سیستم ها استفاده شود. فرآیند تعیین اعتبار مدل دو هدف را دنبال می نماید: ایجاد مدلی که رفتار آن به قدري نزدیک به سیستم واقعی باشد که بتوان به جاي آن که تجربه را بر سیستمواقعی اعمال نمود برمدل اعمال نمود. ارتقاي اعتبار مدل به سطحی قابل پذیرش که مدیران و سایر استفاده کنندگان در شمار استفاده کنندگان از آن قرار گیرند. Vrfcato ad Valdato 47
آزمایش و اعتبار مدل آزمایش و اعتبار مدل به عنوان یک سیستم فرآیند آزمایش و تعیین اعتبار مدل را می توان در دو قسمت مجزا مورد بررسی قرار داد. منظور از آزمایش مدل مقایسه مدل ذهنی با مدلی کامپیوتري است. در حقیقت در اینجا بایستی پاسخ سوالاتزیر داده شود: آیا مدل به طرز صحیحی در قالب رمزي کامپیوتري معرفی شده است آیا رمز کامپیوتري به درستی ساختار منطقی مدل و پارامترهاي ورودي آن را معرفی کند. منظور از تعیین از اعتبار مدل مشخص کردن این نکته است که آیا مدل معرف سیستمسیستم هست یا نه تعیین اعتبار مدل اصولا با انجام یک فرآیند تکرارپذیر حاصل می شود Vrfcato of smulato modls Th purpos of modl vrfcato s th assur that th cocptual modl s rflctd accuratly th opratoal modl. Th cocptual modl qut oft volvs som dgr of abstracto about systm opratos or som amout of smplfcato of actual opratos. May commo-ss ca b gv for us th vrfcato procss: Hav th Opratoal modl chckd by som othr tha ts dvlopr Mak a flow dagram for ach acto for ach vt typ. Closly am th modl output for rasoablss udr a varty of sttg of th put paramtrs. 48
نکته اي در آزمایش یک مدل شبیه سازي Vrfcato of smulato modls آسان ترین راه براي آزمایش مدل شبیه سازي بررسی دقیق و فراگیر خروجی ها از جهت منطقی بودن آن ها است. Hav th opratoal modl prt th put paramtrs at th d of th smulato to b sur that ths paramtr valus hav ot b chagd advrttly. Mak th opratoal modl as slf-documtg as possbl. If th opratoal modl s amatd, vrfy that what s s th amato mtats th actual systm. Us of Itractv Ru Cotrollr or dbuggr ach softwar. Graphcal trfacs ar rcommdd for accomplshg vrfcato ad valdato. تعیین اعتبار مدل Calbrato ad Valdato Of Modls به طور کلی منظور از تعیین اعتبار مدل فرایند کلی مقایسه مدل و رفتار آن با سیتم واقعی و رفتار آن است. از لحاظ مفهومی آزمایش و معتبرسازي مدل دو قسمت جداگانه از هم هستند ولی با این وجود مدل سازها این دو مرحله را به طور همزمان انجام می دهند. همواره این موضوع را به خاطر داشته باشید که منظور از تطبیق مدل و واقعیت همپوشانی کامل نیست. 49
Fac Valdty اعتبار صوري Valdato: Thr-stp approach اولین گام در اعتبارسنجی مدل شبیه سازي چک کردن مدل از لحاظ ظاهري در چشم آگاهان به سیستم مورد نظر است. بدین منظور از نظرات افراد آگاه به سیستم در تمامی مراحل استفاده می شود. این افراد به طور کلی کمک شایانی در مرحله عیب زدایی از سیستم انجاممی دهند. بزرگترین حسن این افراد اظهار نظر در مورد خروجی مدل و شناسایی تغییرات غیر منطبق بر واقعیت است. به منظور وارسی صوري نحوه عمل مدل می توان از تحلیل حساسیت نیز استفاده نمود. این کار بدین طریق انجام می شود سپس تغیرات مدل با نظر کارشناس تطبیق داده می شود. که ابتدا برخی از پارامترهاي ورودي مدل تغییر کرده و. Buld a modl that has hgh fac valdty. Valdat modl assumpto (structural ad data assumpto). Compar th modl put-output trasformato to corrspodg put-output trasformatos for th ral systm تعیین اعتبار تبدیل هاي ورودي به خروجی مدل Valdat modl assumpto می توان فرض هاي مدل را به دو رده کلی تقسیم بندي نمود: فرض هاي ساختاري عموما این فرض ها مربوط به نحوه عملکرد سیستم ساده سازي هاي انجام شده و خلاصه کردن هاي سیستم بر می گردد. این فرض ها بایستی از راه مشاهده عملی در زمان هاي متفاوت مورد بررسی قرار گیرد. فرض هاي مربوط به داده ها عموما در در جمع آوري داده ها این فرض مورد آزمونقرارمی گیرد. عموما مدل یک تبدیل کننده ورودي به خروجی است. پس اگر ورودي هاي مدل مانند واقعیت باشند باسیتی خروجی هاي مانند سیستم واقعی مشاهده شود. اگر چنین اتفاقی حاصل شود یعنی مدل توانایی پیش بینی سیستم واقعی را دارد. براي بررسی این موضوع معمولا از داده هاي گذشته سیستم استفاده می شود. یعنی داده هاي گذشته سیستم که ثبت شده وجود دارند به مدل ساخته شده وارد می شوند و خروجی هاي مدل با خروجی هاي ثبت شده سیستم واقعی مقایسه می شوند. 50
تمرین سوال و 5 فصل 0 کتاب شبیه سازي گسسته پیشامد فصل پنجم تجزیه تحلیل نتایج خروجی و انتخاب آلترناتیو برتر 5