- PDF Free Download

Size: px

Start display at page:

Download ""

眇功衷
5 years ago
Views:

1 الکترونیک فصل اول 3 دکتر رحمتی ددر سرس : ttp://.ut.ac./aat/ آدرس Eal و Wbt براي تکالیف و...: ١ apt On H Fquncy Mdl Tant ٢

2 شرایط ترانزیستورها درمدل : B : BE : wad all صدق کند. ترانزیستور ها در ناحیه فعال باشند. سیگنال ورودي در شرایط nal 25 ٣ پارامتر هاي مدار باز z z z z b c z z 2 b z b 2 c b b 2 c z 22 c Z Z Z Z c 2 b 22 c ٤

3 مدار معادل با پارامترهايZ _ 2 Z Z22 Z Z Z Z Z b BE b B c TE b c b BE B ct c E b B c TE c c b E B TE Z 2 _ ٥ مدار معادل با پارامتر هاي Y B 2 _ y 2 _ y 2 2 _ E _ y y 22 2 y b b c B BE E TE y y y 2 2 b c c c b b b c b B E BE TE B BE E TE B BE BE TE ٦

4 مدار معادل هایبرید b c _ c _ b c b _ c b B c E TE b BE c E b B TE b b c c c b BE B E TE E B TE ٧ BJT مهمترین عامل که سبب تغییر رفتار ترانزیستور می شود خازن هاي داخلی ترانزیستور هستند. در فرکانس هاي بالا یک تکه سیم هم خاصیت خازنی هم خاصیت سلفی دارد. اتصالات pn بایاس مخالف یک خازن تشکیل می دهند که ظرفیت خازن وابسته به سطح پیوند عرض ناحیه تخلیه و جنس دي الکتریک می باشد. در بایاس موافق نیز اثر خازنی وجود دارد اما اثر خازنی آن فقط به علت اتصال نیست بلکه به علت خازن پخش(دفیوژن نیز می باشد. ٨

5 خازن D D این خازن یک خازن فیزیکی نیست در نتیجه به سطح ناحیه تخلیه بستگی ندارد. این خازن عمدتا به جریان نقطه کار وابسته است. D W 2D 2 B B. ٩ B E n p n B مقاومت سطح نوع اتصال بزرگ کوچک فلز- B کوچک بزرگ فلز- کوچک بزرگ فلز- E ١٠

6 B x B b c E مدل هایبرید ١١ (از کتاب سدرا Fu 5.67 T -quncy ybd- dl. ١٢

7 مقدار عددي پارامترها x : : اهم وابسته به نقطه کار ترانزیستور در رنج کیلو اهم کمتر از در حدود چند مگا اهم در حدود چند کیلو اهم : در حدود چند پیکو فاراد : : وابسته به نقطه کار ترانزیستور A Q ١٣ محاسبه پارامترهاي مدل ترانزیستور x R b c c b α E c E b BE t BE BE Q T BE T E ١٤

8 B R c _ b c E با اتصال کوتاه شدن خروجی خواهیم داشت. R b c _ ١٥ c b b b Q T x x ١٦

9 O (ورودي مدار باز ( x محاسبه b c b c b ( b c ( b b c b b b b b b b b b b c c c c b b b b << b b c b ١٧ c c b c c c c c ( ( ( ١٨

10 : محاسبه بهره جریان خروجی اتصال کوتاه و فرکانس قطع 3dB x b x b ١٩ b b b jω b jω B ( β 2 j β c b ( β 2 ٢٠

11 B 3dB β A 2l 2l db 2 β >> β A 2l 2l db β هر برابر شدن فرکانس باعث کاهش 2dB در بهره می گردد. هر 2 برابر شدن فرکانس باعث کاهش 6dB در بهره می گردد. ٢١ 2 پهناي باند بهره جریان در حالت اتصال کوتاه: B. W H L β بهره جریان در فرکانس هاي بالا: β >> β b فرکانسی است که در آن بهره جریان خروجی اتصال کوتاه برابر یا db Unty an quncy : T : T β T β ٢٢

12 روتسیزنارت يلااب سناکرف لدم ٢٣ T هرهب دناب يانهپ * ( 2 ( 2 β T ( 2 T T 2. τ τ β 2 روتسیزنارت يلااب سناکرف لدم ٢٤ cut dn an xpn ( ; c / b.

13 Fu 5.69 Bd plt u u. ٢٥ تمرین: مقدار جریان ناشی از خازن و را در نظر بگیرید و نشان ناچیزاست. دهید نسبت به جریان b ٢٦

14 قضیه میلر Z 2 Z Z2 2 K Z Z KZ Z Z2 K K K ٢٧ مدار امیتر مشترك در فرکانس بالا R R R R 2 R 2 B x b b _ b c _ ٢٨

15 A < c b b K k 2 در مدار معادل اصلی داریم: قضیه میلر K Kعدد منفی بزگی است. ٢٩ است همچنین خیلی بزرگتراز 2 خیلی بزرگتر از است به همین دلیل می توان از آن ها صرف نظر کرد. حال قضیه میلر را براي خازن ها به کار می بریم. ( K K ( 2 ( K R L است و می توان از آن خیلی بزرگتر از امپدانس صرف نظر کرد بنابراین خواهیم داشت: b R L K O b R L ٣٠

16 چون یک خازن در ورودي و یک خازن در خروجی داریم خواهیم داشت: τ. τ. R L براي بدست آوردن باید امپدانس حاصل از تونن دو طرف خازن R L و سمت چپ آن بی را با هم موازي کنیم که سمت راست آن نهایت است. ثابت زمانی خروجی خیلی کوچکتر از ثابت زمانی ورودي است و به همین خاطر به τ ثابت زمانی غالب می گویند چون این ثابت زمانی پهناي باند را مشخص می کند به همین خاطر می توان از τ صرف نظر کرد. با افزایش خازن هاي داخلی پهناي باند کاهش می یابد. τ ٣١ را صفر در نظر می گیریم براي صفر کردن بنابراین خواهیم داشت: b b * K A jω b ( H 2 R L τ b b j ω A jω j H 2 >> [ H ( R A H L H ٣٢

17 ( دیدیم که است پس داریم: > β β H 2 R L پس نتیجه می گیریم با افزایش که β براي وقتی است که R L پهناي باند کاهش می یابد. معمولا بهره و پهناي باند رابطه عکس دارند به طور مثال در امیتر مشترك R L باعث افزایش بهره ولتاژ می گردد. ولی پهناي باند کاهش می افزایش یابد. ( A R L عامل اصلی کاهش پهناي باند درامیتر مشترك به علت اثر میلري است. ٣٣ تمرین: ( H حاصلضرب بهره جریان وسط باند در پهناي باند( امیتر مشترك را بدست آورید. مدار ٣٤

18 بهره ولتاژ مدار امیتر مشترك با صرف نظر از R x ١ ٢ O b G R L G x R R L G L b ( b (2 KL: ( b G b ( ( b ( ٣٥ A GR L( 2 ( RL [ L ( G ] ( G R A 5Ω kω K( ( ( تابع تبدیل داراي یک صفر ودو قطب است. x 2 Ω 3pF مثال: حال فرض کنید: pf R L 2kΩ 5Ω صفر و قطب ها عبارت خواهند بود از : ٣٦

19 .6 * ad / c.75* 7 K 6.67* 7 ad / c 2 7.3* 8 2 قطب غالب 2 τ تقریبا ثابت برابر است. نسبت τ ٣٧ بهره ولتاژ مدار امیتر مشترك(با قرار دادن در فرکانس وسط باند: A R R L اگر مدار طوري باشد که خازن کوپلاژ و باي پاس L می شود و در نتیجه بهره درفرکانس نداشته باشد پایین و بهره وسط باند با هم برابر می شوند. ولی اگر خازن کوپلاژ یا باي پاس داشته باشیم بهره در فرکانس ( پایین دیگربرابربهره وسط باند نخواهد شد. L بهره وسط باند با اتصال کوتاه کردن خازن هاي خارجی و اتصال باز کردن خازن هاي داخلی بدست می آید. ٣٨

20 .١.٢.٣ پهناي باند بهره ولتاژ را قرار می دهیم در نتیجه می آید. jω را بدست می آوریم. A ( j ω A ( jω بدست قرار می دهیم از این رابطه A H را مساوي آید(دو جواب بدست می آید که فرکانس 2 بدست می کمتر قابل قبول است. است در این مثال H 2. 8MHz است و 2.785MHz 2 پس قطب غالب پهناي باند را تعیین کرده است. A ( jω ٣٩ محاسبه بهره ولتاژ و پهناي باند با استفاده از قضیه میلر و تقریب هاي قابل قبول ٤٠

21 R x ١ ٢ O b R L ( RL R L R x b R L ٤١ b b R L G G jω ' A RLG RL G jω R jω ( R x x A RL R A τ [ ( R ][ ( R ] x L A ( R x jω ( R H x 2τ ٤٢

22 A A jωτ A ω j ω H H است. براي مثال قبل 3MHz دو نکته: تعداد ثابت زمانی هاي مستقل لزوما با عناصر ذخیره کننده انرژي برابر نیست. تعداد قطب هاي تابع تبدیل با تعداد ثابت زمانی هاي مستقل برابر است..١.٢ ٤٣ حاصل ضرب بهره در پهناي باند A H RL R 2 [ ( R x ][ x ( R ] L T 2 ( A H RL T ( R 2 x T R L ٤٤

23 تعریف پهناي باند Apl an u quncy ٤٥ نکته: با توجه به روابط گفته شده است در نتیجه براي H > H اینکه ترانزیستور بتواند در فرکانس بالاتري کار کند به جاي منبع جریان در ورودي از منبع ولتاژ استفاده می کنیم. ٤٦

24 رفتار فرکانسی مقاوت ورودي و خروجی در آرایش امیتر مشترك Z OUT Z n R x Z n b R ٤٧ R x b R L امپدانس ورودي مدار امیتر مشترك در فرکانس هاي پایین بیشتر است. امپدانس خروجی مدار امیتر مشترك: Z O O jω ٤٨

25 Z n ( R [ ( ] [ ( R] R l Z n Z n ( Z OUT l Z ut Z ( ut ٤٩ تقویت کننده کلکتور مشترك R R O R O R O R R O R T EQ R R O c R در صورت وجود مقاومت در امیتر R R R ( R E ٥٠

26 : بار هاي خازنی بار هاي خازنی را به صورت یک مقاومت موازي با یک خازن مدل می کنند. بار هاي خازنی توسط تقویت کننده هایی تغذیه می شوند که داراي مقاومت خروجی کوچک با شند تا ثابت زمانی کمتر و درنتیجه پهناي باند بیشتري را شامل شود. ٥١ R L R L Z L R B x B b E b L RL ٥٢

27 A : O با صرف نظر از و خواهیم داشت ( GL L ( b ( ( b KL ( b b G ( b ( G R ( L 2 RL ( L [( R G L ( RL ( G RLL] ( RL G بهره در فرکانس وسط باند یا از خازن ها صرف نظر می کنیم را صفر می کنیم. ٥٣ خازن هاي کوپلاژ و باي پاس در مدار ac اتصال کوتاه می شوند در حقیقت اثر آن ها در فرکانس پایین است که با کاهش فرکانس مدار باز می شوند و باعث کاهش بهره می شوند. خازن هاي داخلی ترانزیستور در فرکانس هاي بالا بر اثر افزایش فرکانس اتصال کوتاه می شوند و باعث کاهش بهره می شوند. بدست آوردن فرکانس قطع بالا : را بدست می آوریم. R A L RL A با جایگذاري A را بدست می آوریم. ( jω jω با حل معادله زیر بدست می آید. A A ( jω ω ω 2 H ω H ٥٤

28 تمرین در مدار با مشخصات زیر و را با انجام قضیه میلر ساده کنید و و پهناي باند مدار را بدست آورید. A R L 2kΩ L nf k x Ω 3pF p R 5Ω 5υ ٥٥ R B B x E b L RL RL K > R b L ( k 2 2 ٥٦

29 : R B x B E R b L R L R O O b ( b ( b GL L b R تمرین: از ادغام سه رابطه فوق A را بدست آورید. ٥٧ RL A( R R R ' ( ( L L L A ( R L RL R L ' ( R L ( R L A ( ( τ ( τ A ٥٨

30 تابع تبدیل دو قطب دارد که بر اثر ثابت زمانی هاي خروجی و ورودي ایجاد می شوند. τ ( R x R τ L( R L R L L L L R خازن بار ثابت زمانی خروجی را ایجاد کرده است بنابراین بارهاي اهمی خالص ثابت زمانی خروجی ناچیزي دارند. ٥٩ τ حالت اول: << τ : H R ( L b L b RL مشترك به دلیل ضریب در مدار امیتر مشترك فرکانس قطع بالاي مدار امیتر به مراتب کوچکتر از فرکانس قطع بالاي مدار کلکتور مشترك مدار است. ٦٠ jω b R jω ( R x jω x ( R A L A ( jω RL jω ( R x J H E: H 2 ( R 2 [ ( R ][ ( R ] R x L

31 R τ >> τ B x حالت دوم: E b L R L R b L A ( jω RL jωlrl ω H R RL R τ L L ( [ L ] jω L A RL ω A j RL ω H ٦١ حالت سوم : ثابت زمانی هاي ورودي و خروجی در مقابل هم قابل صرف نظر نباشند. H 2 ( τ τ ٦٢

32 L محاسبه براي محاسبه ثابت زمانی هر خازن خازن هاي دیگر را اتصال کوتاه می کنیم. محاسبه ω L J τ J ٦٣ براي محاسبه ثابت زمانی هر خازن خازن هاي دیگر را مدار باز می کنیم. ω H τ J H چند نکته: امپدانس ورودي به مراتب بزرگتر از امیتر مشترك است. امپدانس ورودي کلکتور مشترك داراي خاصیت خازنی کم است. در حالی که در امیتر مشترك داراي خاصیت خازنی زیاد است. را در نظر بگیریم به دلیل ضریب نزدیک حتی اگر اثر میلري واحد باز هم اثر خازنی کم است. بر خلاف E که خازن میلر شده به دلیل ضریب K زیاد خاصیت خازنی Z n را زیاد می کند. ٦٤

33 خازن O ZO (اثر در خروجی منفی بسیار کم است اثر میلري است و ثابت زمانی منفی ایجاد می کند که در نهایت منجر به افزایش پهناي باند می شود. ٦٥ تقویت کننده بیس مشترك R O R E R R R2 R 2 O R E b x R 3 x ٦٦

34 در گره هاي تعیین شده معادلات گره را نوشته پس از ساده کردن بر حسب بدست می آید. A O رابطه بدست آمده دو قطب و یک صفر دارد. تقریب ها O x R E R E b R B ٦٧ b b ٦٨

35 R O R E R EQ T ثابت زمانی ورودي به علت کوچک بودن کوچک است. ثابت زمانی خروجی نیز عدد کوچکی خواهد بود. مدار بیس مشترك داراي پهناي باند به مراتب بزرگتري از امیتر مشترك است وپهناي باند آن با مدار کلکتور مشترك در یک اشل است. ٦٩ مقاومت ورودي مدار بیس مشترك با افزایش فرکانس مقاومت ورودي کوچک می شود. مقاومت خروجی مدار بیس مشترك خاصیت خازنی کمی دارد. مقدار زیادي دارد. j ω Z O ٧٠

36 FET ها در فرکانس بالا ٧١ مدارمعادل FET ها در فرکانس پایین G D d در ناحیه فعال پیوند گیت و کانال در بایاس مخالف است و یک خازن بین G و D و یک خازن بین وG خواهیم داشت. d D G d ٧٢

37 d d d d G D G D d خازن پراکندگی ٧٣ D DQ P GQ G در JFET ها خازن ها را معمولا به صورت تقریبی مشخص می کنند اما در بعضی موارد به صورت تابعی از ولتاژ دو سرآن ها داده می شود. درMOFET ها نیزخازن آن ها را معمولا به صورت تقریبی مشخص می کنند. ٧٤

38 : خازن ورودي در حالت سورس مشترك به شرطی که خروجی اتصال کوتاه باشد. d خازن خروجی در حالت سورس مشترك در حالی که ورودي اتصال کوتاه باشد. : O d d ω وقتی ورودي اتصال کوتاه باشد d d jω ω d d d d d d بهره ولتاژ مدار باز در فرکانس پایین: ٧٥ تقویت کننده سورس مشترك بدون مقاومت منبع ٧٦

39 G d D d d R D A ( jωd ( O jωd RD d jωd A ( jω G jω( _ A( G D d d d D d D A ( A ( jω ωh 2 H R D D d ٧٧ تمرین: فرکانس قطع مدار مورد بحث را با پارامتر هاي زیر محاسبه کنید. d 2 pf pf d R kω D D d 2 D A DQ 5A P 4 : JFET ٧٨

40 R اگر منبع داراي مقاومت R باشد دو معادلھ گره در گره و O خواھیم نوشت. ھاي یك قطب خواھیم داشت. R اگر یک ثابت زمانی از بین می رود مقاومت دو سر برابر صفر است اگر R نكتھ : تابع تبدیل یك صفر و دو قطب خواھد داشت. اگر بتوان در یک حلقه شامل فقط خازن ها KL نوشت تعداد خازن ها بیش از تعداد ثابت زمانی هاي مستقل خواهد بود. ٧٩ تحلیل تقویت کننده سورس مشترك با استفاده از قضیه میلرو تقریب هاي قابل قبول a R b R ٨٠

41 خواهیم داشت : با استفاده از قضیه میلر براي خازن d K D ( d d D ( d2 d d D O d d d ( D G D O O d R D ٨١ چند نکته: در مدار هایی که R وجود دارد ثابت زمانی ورودي قطب غالب را تعیین می کند. پهناي باند FET در فرکانس هاي بالا توسط ثابت زمانی ورودي محدود می شود. در فرکانس هاي بالا امپدانس ورودي تقویت کننده کاهش می یابد. Y ادمیتانس خروجی O d jω O ٨٢

42 تقویت کننده درین مشترك تقویت کننده درین مشترك نیز مانند تقویت کننده کلکتور مشترك در مواردي استفاده می شود که بار داراي خاصیت خازنی باشد. R G D O L R L ٨٣ a R R G O d d R L L D R O ( GL jωl jωd ( jω ( R L A ( RL با صرف نظر از تابع تبدیل یک قطب و یک صفر دارد و مدار داراي یک ثابت R ٨٤ زمانی است.

43 H محاسبه A A 2 H تمرین: با همان پارامترهاي عددي براي. پهناي باند را براي.D را محاسبه کنید. d 2 pf pf d R kω D D d 2 D A DQ 5A P 4 : JFET ٨٥ مقایسه فرکانس قطع بالاي تقویت کننده هاي.Dو. H >. D H. از آنجا که در تقویت کننده درین مشترك بهره نسبت به تقویت کننده سورس مشترك کاهش یافته است افزایش پهناي باند قابل پیش بینی بود. ٨٦

44 روتسیزنارت يلااب سناکرف لدم ٨٧ دشاب رگا : R ( ( ( ( ( ( d L L d j j j G j G j ω ω ω ω ω O A L L R R A (.دراد رفص ود و بطق کی لیدبت عبات تسین یکی لقتسم ياه ینامز تباث دادعت اب اه ینامز تباث دادعت رادم نیا رد روتسیزنارت يلااب سناکرف لدم ٨٨ زا هدافتسا اب كرتشم نیرد هدننک تیوقت لیلحت لوبق لباق ياه بیرقت ورلیم هیضق

45 O RL تاثیر خازن صفر می شود. K R L K ( K 2 2 ( K خازن در ورودي R n uc d ( L R G d RL d L D ٨٩ τ O با توجه به کوچک بودن مقدار ثابت زمانی خروجی کوچک خواهد بود همچنین مقدار ثابت زمانی ورودي نیز کوچک است. d امپدانس ورودي.D در مقایسه با. بزرگتر است. Z RL ( L R d امپدانس خروجی هم در فرکانس پایین و هم در فرکانس بالا کم است. معمولا بهره جریان بزرگ است. j L ω d d ٩٠

46 تقویت کننده گیت مشترك R D R G R D اگر FET مورد استفاده در مدار فوق متقارن باشد بایسینگ مشخص می کند که ucو Dan کدام هستند. مقاومت ورودي تقویت کننده هاي گیت مشترك بسیار کم است و عملازیاد کاربرد ندارد ٩١ تقویت کننده هاي چند طبقه A A 2 H H 2 اگر بار تقویت کننده A برابر باشد تقویت کننده ها اثر متقابل بر روي هم ندارند. R n2 A A 2 H H 2 ٩٢

47 دو نکته: اگر از اثر بار گذاري تقویت کننده هاي acad بر روي یکدیگر صرف نظر کنیم پهناي باند تقویت کننده acad برابر H خواهد بود. H نیز کمتر خواهد بود. اما در عمل پهناي باند حتی از می توان پهناي باند تقویت کننده هاي acad را با مقاومت هاي موازي شبیه دانست. ٩٣ A A 2 H H 2 A n H n A A j H A AA... A 2 n A ( j ( j...( j H H2 Hn... تقویت کننده ها یک قطبی فرض می شوند [ ( ][ ( ]...[ ( ] 2 H H 2 Hn H H 2 H n ( n H H H 2 H n H K... K. H ٩٤

48 R O R O ٩٥ پهناي باند حاصل از این دو طبقه از پهناي باند تقویت کننده امیتر مشترك بیشتر است. تمرین: با همان پارامتر هاي داده شده نسبت و پهناي نظر کنید. باند را بدست آورید. از و صرف E چند نکته: ثابت زمانی هاي تقویت کننده کلکتور مشترك کوچکتر از ثابت زمانی تقویت کننده امیتر مشترك است. τ ثابت زمانی ورودي امیتر مشترك ثابت زمانی غالب n از آنجا که > τ E ut E است و پهناي باند را تعیین می کند. چون خیلی کوچک است ثابت زمانی ورودي که ثابت زمانی غالب است را کاهش می دهد. و در نتیجه پهناي باند را افزایش می دهد. R O. تقویت کننده acd تقویت کننده acd (حالت خاصی ازacad ( است که در آن طبقه اول امیتر مشترك و طبقه دوم آن بیس مشترك است. O R R 2 R بزرگ باشند از حاصل R و 2 اگر موازیشان می توان صرف نظر کرد. R L 2 R تمرین را از هر دو روش محاسبه کنید. H ٩٦

49 BB R R O پهناي باند تقویت کننده بیس مشترك از پهناي باند تقویت کننده امیتر مشترك بیشتر است. ( RL ( 2 2 R 2 خازن میلر شده به طور قابل ملاحظه اي کاهش یافته است و در نتیجه ثابت زمانی ورودي کاهش می یابد و بر اثر آن پهناي باند افزایش می یابد. تقویت کننده acd کار یک تقویت کننده امیتر مشترك را انجام می دهد. با این مزیت که داراي پهناي باند بیشتري است. ٩٧ R x R B 2 E 2 2 RO R E B 2 تقویت کننده تفاضلی اثر متقابل ترانزیستور ها طوري نیست که باعث افزایش پهناي باند شوند. O مقاومت خروجی.کم است همچنین مقاومت ورودي.Bنیز کوچک است. R تطبیق امپدانس به راحتی انجام می شود. Q Q 2 این تقویت کننده هم بهره ولتاژ و هم بهره جریان می دهد اما پهناي باند آن از امیتر مشترك بیشتر است. چهار ثابت زمانی دارد اماسه ثابت زمانی مستقل در مدار است. ٩٨

50 Fu 6.56 (a A B apl. (b Ant n t B ccut wt Q 2 plntd un a pnp tant. (c T MOFET n t ccut n (a. ٩٩ Fu 6.57 (a Equalnt ccut t apl n F. 6.56(a. (b pld qualnt ccut. Nt tat t qualnt ccut n (a and (b al apply t t ccut wn n F. 6.56(b. n addtn, ty can b aly adaptd t MOFET ccut n F. 6.56(c, wt 2 lnatd, placd wt, placd wt d, and placd wt. ١٠٠

51 R مقاومت ورودي از مقاومت امیتر مشترك ساده بیشتر است. امپدانس خروجی برابر امپدانس خروجی بیس مشترك است. پهناي باند آن از تقویت کننده کلکتور مشترك کمتر است. بهره جریان برابر بهره جریان Q است. بهره ولتاژ برابر بهره ولتاژQ2 است. ١٠١ E t R مثال: براي تقوی ت کننده هاي تک قطب (یا داري قطب غالب ( خواهیم داشت: O E - O پاسخ خروجی یک مدار R به ورودي شکل موج مربعی t R ( O. t. R E O O A J.9 t 2.3R E 2 R t t2 t 2.2R t.35 ١٠٢

52 پایان ١٠٣

n n معین نامنفی است زیرا: H H x A Ax Ax ,, 2, n نشان دهیم و قرار دهیم H A A یک ماتریس 1 1, 2 2,, n n 1 2 n نامیده می شوند و اگر A Ax Ax 1

n n معین نامنفی است زیرا: H H x A Ax Ax ,, 2, n نشان دهیم و قرار دهیم H A A یک ماتریس 1 1, 2 2,, n n 1 2 n نامیده می شوند و اگر A Ax Ax 1 معین نامنفی است زیرا:,,, نشان دهیم قرار دهیم یک ماتریس,,, نامیده می شند اگر ma, mi مقادیر تکین یک ماتریس Values: Sigula m باشد آنگاه ماتریس فرض کنید یک ماتریس بنابراین مقادیر یژه نامنفی می باشند. اگر این