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1 一. 函数的概念. 用变上 下限积分表示的函数 其中 ( t ( (dt t ϕ ( ( t dt ϕ 连续 则 ϕ d. 两个无穷小的比较 d 连续 则 其中 ϕ ϕ 可导 ( t [ ϕ ] [ ϕ ] ϕ 设 lim lim g 且 lim g si 公式. lim l 公式. lim e ; lim e ; lim v ( v v e 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 ( 数学一和数学二 时 e Λ ( 当!! ( l 称 是比 g [ g ] 称 g 是比 小 ( l 称 与 g ( l 称 与 g g ~ 高阶的无穷小 记以 是同阶无穷小 低阶的无穷 是等价无穷小 记以. 常见的等价无穷小当 时 si ~ t ~ rcsi ~ rct ~ cos ~ e ~ l ( ~ ( ~ 二. 求极限的方法. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则. 两个准则 准则. 单调有界数列极限一定存在 ( 若 ( 为正整数 又 m ( 为正 整数 则 lim A 存在 且 A m ( 若 ( 为正整数 又 M ( 为正 整数 则 lim A 存在 且 A M 准则.( 夹逼定理 设 g h 若 lim g A lim h A 则 lim A. 两个重要公式 5 si Λ! 5! ( (! 4 cos Λ! 4!! ( ( ( Λ ( ( l 5 rct Λ 5 ( ( ( [ ] ( ( ( Λ ( Λ!! 6. 洛必达法则 法则.( 型 设 ( lim lim g ( 变化过程中 ( lim A ( 或 g 则 lim A ( 或 g ( 注 : 如果 lim g g 皆存在 不存在且不是无穷大量情形 则 不能得出 lim 不存在且不是无穷大量情形 g 法则.( 型 设 ( lim lim g ( 变化过程中 g 皆存在 Edited 杨凯钧 5 年 月

2 ( lim A ( 或 g 则 lim A ( 或 g 7. 利用导数定义求极限 基本公式 : lim ( ( ( [ 如果 值 如果对于区间 [ ] 上的任一点 总有 M 则称 M 为函数 在 [ ] 小值 m 上的最大值 同样可以定义最 定理.( 介值定理 如果函数 在闭区间 [ ] 上 连续 且其最大值和最小值分别为 M 和 m 则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c 在 [ ] 上至少存在一个 ξ 使 存在 ] 8. 利用定积分定义求极限 基本公式 lim d [ 如果存在 ] 得 ( ξ c 推论 : 如果函数 在闭区间 [ ] 上连续 且 三. 函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类 : ( 第一类间断点 是函数 的间断点 如果 设 处的左 右极限都存在 则称 点 是 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点 ( 第二类间断点 在间断点 的第一类间断 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点 四. 闭区间上连续函数的性质 在闭区间 [ ] 上连续的函数 性质 这些性质以后都要用到 有以下几个基本 定理.( 有界定理 如果函数 在闭区间 [ ] 连续 则 必在 [ ] 上有界 上 定理.( 最大值和最小值定理 如果函数 在闭 区间 [ ] 上连续 则在这个区间上一定存在最大值 M 和 最小值 m 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下 : 定义设 ( M 是区间 [ ] 上某点 处的函数 与 异号 则在 内至少存在一个点 ξ 使得 ( ξ 这个推论也称为零点定理五. 导数与微分计算. 导数与微分表 ( c d ( c ( 实常数 d( d ( si cos ( cos si ( t sec ( cot csc ( sec sec t ( csc csc cot d si cos d d cos si d d t sec d cot csc ( 实常数 d d d sec sec t d d csc csc cot d ( log ( > l d d log ( > l ( l d l d l > d l d ( > Edited 杨凯钧 5 年 月

3 ( e e de e d ψ ( t 存在 且 ϕ ( t 则 ( rcsi d rcsi d d ψ ( t ( ϕ ( t ϕ ( t ( rccos rc cot ( rct [ l( ] d l d rccos d rct d drc cot d ( d [ l( ] d l ( d. 四则运算法则 [ ± g ] ± g [ g ] g g g. 复合函数运算法则 g g g d ( g 设 ( ϕ 如果 ϕ 在 处可导 ( 在对应点 处可导 则复合函数 [ ϕ ] 且有 d d d d [ ϕ ] ϕ 对应地 ( d [ ϕ ] ϕ d 在 处可导 由于公式 ( d 不管 是自变量或中间变量 都成立 因此称为一阶微分形式不变性 4. 由参数方程确定函数的运算法则 设 ϕ( t ψ ( t 确定函数 其中 ( t ϕ d d 二阶导数 d d d d d dt d dt 5. 反函数求导法则 ψ 设 的反函数 g( 则 g ( 二阶导数 g ( [ g( ] d d d [ g ( ] [ g( ] ( [ ] { [ g( ]} 6. 隐函数运算法则 设 是由方程 F ( 法如下 : 把 F ( ( t ϕ ( t ψ ( t ϕ ( t [ ϕ ( t ] 两者皆可导 且 ( d 所确定 求 的方 两边的各项对 求导 把 看作中间变 量 用复合函数求导公式计算 然后再解出 的表达式 ( 允 许出现 变量 7. 对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数 然后再用隐函数求导 方法得出导数 对数求导法主要用于 : 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数 [ ] g 常用的一种方法 Edited 杨凯钧 5 年 月

4 g l e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行 ( 在闭区间 [ ] 上连续 ; 8. 可微与可导的关系 在 处可微 在 处可导 9. 求 阶导数 ( 正整数 先求出 Λ 总结出规律性 然后写出 最后 用归纳法证明 有一些常用的初等函数的 阶导数公式 ( e e ( ( > ( l ( 在开区间 ( 内可导 ; 则存在 ξ ( ξ 使得 或写成 ( ξ ( ( < ξ < θ 有时也写成 ( ( ( ( < θ < ( si (4 cos (5 l π si π cos! 这里 相当 或 都可以 可正可负 推论. 若 在 ( 内可导 且 则 在 ( 内为常数 推论. 若 g 在 内皆可导 且 两个函数乘积的 阶导数有莱布尼兹公式 其中 ( v v [ ] ( ( ( v C v C 假设 和 v 微分中值定理一. 罗尔定理 设函数 满足!!(! 都是 阶可导 ( 在闭区间 [ ] 上连续 ; ( 在开区间 ( 内可导 ; ( ( g 则在 ( 内 g c 一个常数 三. 柯西中值定理 ( 数学四不要 设函数 和 g 满足 : ( 在闭区间 [ ] 上皆连续 ; 其中 c 为 ( 在开区间 ( 内皆可导 ; 且 g 则存在 ξ g g g 使得 ( ξ ( ξ ( < ξ < ( 注 : 柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广 特 殊情形 g 时 柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理 四. 泰勒定理 ( 泰勒公式 ( 数学一和数学二 则存在 ξ 使得 ( ξ 二. 拉格朗日中值定理 设函数 满足 4 定理.( 皮亚诺余项的 阶泰勒公式 设 在 处有 阶导数 则有公式 ( ( ( Λ R!!! Edited 杨凯钧 5 年 月

5 余项 ( [ ] 其中 ( ( lim R R 称为皮亚诺 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形 根据不同情形取适当的 所以对常用的初等函数如 si cos l( 和 ( e 阶泰勒公式都要熟记 ( 为实常数 等的 定理 ( 拉格朗日余项的 阶泰勒公式 设 在包含 的区间 [ ] 上有 阶连续导数 则对 [ ] 间 (! 内有 阶导数 在 有公式 ( ( ( Λ R 其中 R 称为拉格朗日余项! ( ( ξ (!! ( ξ 在 与 之 上面展开式称为以 为中心的 阶泰勒公式 当 时 也称为 阶麦克劳林公式 如果 lim R 数 这在后面无穷级数中再讨论 导数的应用 : 一. 基本知识. 定义 点 则 设函数 在 那么泰勒公式就转化为泰勒级 内有定义 是 内的某一 如果点 存在一个邻域 使得对此邻域内的任一点 的一个极小值 称 为函数 的一个极小值点 函数的极大值与极小值统称极值 极大值点与极小值点统称极值点. 必要条件 ( 可导情形 设函数 在 处可导 且 为 点 则 ( 我们称 满足 ( 的 为 数的极值点一定是驻点 反之不然 的一个极值 的驻点可导函 极值点只能是驻点或不可导点 所以只要从这两种点中进一步去判断. 第一充分条件 设 在 处连续 在 < δ 内可导 ( 不存在 或 ( < 如果在 ( δ 内的任一点 处 有 > 而在 ( δ < 则 为极大值 内的任一点 处 有 为极大值点 ; 如果在 ( δ 内的任一点 处 有 < 而在 ( δ > 则 为极小值 如果在 ( δ 内的任一点 处 有 为极小值点 ; 内与 ( δ 处 的符号相同 那么 极值点 内的任一点 不是极值 不是 ( 总有 < 则称 为函数 的一个极大值 称 为函数 的一个极大值点 ; 如果点 存在一个邻域 使得对此邻域内的任一点 ( 总有 > 则称 为函数 5 4. 第二充分条件 设函数 在 处有二阶导数 且 ( 则 当 ( 时 < 当 ( 时 > 为极大值 为极小值 为极大值点 为极小值点 Edited 杨凯钧 5 年 月

6 二. 函数的最大值和最小值. 求函数 在 [ ] 上的最大值和最小值的方法 在 内是凸的 求曲线 的拐点的方法步骤是 : 首先 求出 在 内所有驻点和不可导点 Λ 其次计算 ( ( Λ 最后 比较 ( ( Λ 其中最大者就是 在 [ ] 小者就是 在 [ ] 上的最小值 m. 最大 ( 小 值的应用问题 上的最大值 M ; 其中最 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间 然后再求出目标函数在区间内的最大 ( 小 值 三. 凹凸性与拐点. 凹凸的定义 恒有 设 在区间 I 上连续 若对任意不同的两点 > [ ] [ ( ( ] < ( ( 则称 在 I 上是凸 ( 凹 的 在几何上 曲线 ( 上 面 则 如果曲线 线之上 ( 下 则. 拐点的定义 是凸 ( 凹 的 上任意两点的割线在曲线下 有切线的话 每一点的切线都在曲 是凸 ( 凹 的 曲线上凹与凸的分界点 称为曲线的拐点. 凹凸性的判别和拐点的求法 设函数 在 ( 内具有二阶导数 如果在 ( 内的每一点 恒有 > 在 内是凹的 ; 如果在 ( 内的每一点 恒有 < 则曲线 则曲线 ; 第一步 : 求出二阶导数 第二步 : 求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的 点 ; 第三步 : 对于以上的连续点 检验各点两边二阶导数的符号 如果符号不同 该点就是拐点的横坐标 ; 第四步 : 求出拐点的纵坐标 四. 渐近线的求法. 垂直渐近线 若 lim 或 lim ( 则 为曲线 的一条垂直渐近线. 水平渐近线 若 lim 或 lim 则 是曲线 的一条水平渐近线. 斜渐近线 若 lim 或 lim 则 lim [ ] lim [ ] 是曲线 五. 曲率 ( 数学一和数学二 的一条斜渐近线 设曲线 它在点 ( 若 则称 R [ ( ] M 处的曲率 为点 ( M 处 的曲率半径 在 M 点的法线上 凹向这一边取一点 使 M R 则称 为曲率中心 以 为圆心 R 为半 径的圆周称为曲率圆 不定积分一. 基本积分公式. d C ( 实常数 6 Edited 杨凯钧 5 年 月

7 . d l C. d C l e d e C 4. cos d si C 5. si d cos C ( > 6. sec d d t C cos 7. csc d d cot C si 8. t sec d sec C 9. cot csc d csc C. t d l cos C. cot d l si C. sec d l sec t C. csc d l csc cot C d 4. rcsi C d 5. rct C 是非常熟练地凑出微分 ( > ( > d 6. l C ( > d 7. ± C ± 二. 换元积分法和分部积分法. 第一换元积分法 ( 凑微分法 设 ( d F( C 又 ϕ [ ϕ ] ϕ d [ ϕ ] dϕ F ( C F[ ϕ ] C l ( > 可导 则 令 ϕ ( d ( 常用的几种凑微分形式 : d d ( ( ( d ( d( ( d ( ( l ( l d( l d (4 d d (5 ( ( d (6 ( d ( d( ( > l ( e e d ( e d( e (7 ( si cos d ( si d( si (8 ( cos si d ( cos d( cos (9 ( t sec d ( t d( t ( ( cot csc d ( cot d( cot ( ( sec sec t d ( sec d( sec ( ( csc csc cot d ( csc d( csc rcsi ( d ( rcsi d( rcsi rccos (4 d ( rccos d( rccos rct rc cot d (5 d ( rct d( rct (6 ( rc cot d( rc cot 这里要求读者对常用的微分公式要 倒背如流 也就 7 Edited 杨凯钧 5 年 月

8 rct (7 d rct d rct ( 8 [ l( ] d [ l( ] d( l( ( > [ ] ( A l ( 然后再作下列三种三角替换之一 : 根式的形式 所作替换 si t 三角形示意图 ( 求反函数用 ( 9 [ l( ] d [ l( ] d( l( ( > ( d l C ( t t sect. 分部积分法. 第二换元积分法 设 ϕ( t 可导 且 ( t [ ( t ] ( t dt G( t C ϕ ϕ 则 ( t 其中 t ϕ 为 ϕ( t 的反函数 ϕ 若 [ ] C 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数 通过换元把根式去掉 其常见的变量替换分为两大类 : 第一类 : 被积函数是 与 由 e 构成的代数式的根式 例如 或 与 e 等 只要令根式 g t 解出 ϕ ( t 式 那么就作这种变量替换 ϕ( t 即可 或 c d 已经不再有根 第二类 : 被积函数含有 B C ( A A 如果仍令 A B C t 解出 ϕ( t 仍是根号 那么这样变量替换不行 要作特殊处理 将 A > 时先化为 [( l ] A ± A < 时 先化为 8 设 v 令 ϕ d [ ϕ( t ] ϕ ( t dt G( t C G ϕ v 有一定规律 均有连续的导数 则 dv ( v v d d 或 ( v ( d ( v ( ( v ( 使用分部积分法时被积函数中谁看作 谁看作 ( P e P si P cos 情形 P 为 次多项式 为常数 要进行 次分部积分法 每次均取 e si cos 为 v ; 多项式部分为 ( P l P rcsi 形 P 为 次多项式取 P 为 rct 为 rcsi 数的形式发生变化 再考虑其它方法 P rct 情 v 而 l 用分部积分法一次 被积函 ( e si e cos 情形 进行二次分部积分 法后要移项 合并 (4 比较复杂的被积函数使用分部积分法 要用凑微 Edited 杨凯钧 5 年 月

9 分法 使尽量多的因子和 d 凑成 [ ] 称为变上限积分的函数 一. 定积分的概念与性质. 定积分的性质 ( d ( d d ( [ ] d d c (4 d d d( c 也可以在 [ ] 之外 (5 设 g ( d g (6 设 d c 则 < m M ( d M ( m (7 设 < 则 d (8 定积分中值定理设 在 [ ] ξ [ ] 使 d d ( ξ 定义 : 我们称 分平均值 (9 奇偶函数的积分性质 d ( 奇函数 d d d ( 偶函数 ( 周期函数的积分性质 设 以 T 为周期 为常数 则 d T T d 二. 基本定理. 变上限积分的函数 则 d 上连续 则存在 为 在 [ ] 上的积 定义 : 设 在 [ ] 上可积 则 ( t F dt 定理 :( 若 在 [ ] 上可积 则 F ( t 在 [ ] 上连续 ( 若 在 [ ] 上连续 则 F ( t [ ] 上可导 且 F ϕ 推广形式 : 设 F ( t 连续 ϕ dt ϕ 则 [ ϕ ] ϕ [ ϕ ] F ϕ. 牛顿一莱布尼兹公式 dt dt 在 ϕ 可导 设 在 [ ] 上可积 F 为 在 [ ] 一个原函数 则有 d F F F ( 注 : 若 在 [ ] 上任意 上连续 可以很容易地用上面 变上限积分的方法来证明 ; 若 在 [ ] 一莱布尼兹公式仍成立 但证明方法就很复杂 三. 定积分的换元积分法和分部积分法. 定积分的换元积分法 上可积 牛顿 设 在 [ ] 上连续 若变量替换 ϕ( t ( ϕ ( t 在 [ β ]( 或 [ ] ( ϕ ( ( β β 上连续 ; 满足 ϕ 且当 t β 时 β ϕ ( t 则 d [ ϕ ( t ] ϕ ( t. 定积分的分部积分法 设 v 在 [ ] 上连续 则 v d v vd 或 dv v v d dt 9 Edited 杨凯钧 5 年 月

10 定积分的应用一. 平面图形的面积. 直角坐标系 [ ]d 模型 I 其中 [ ] [ ] d 模型 II ( ( c 其中 ( ( [ c d]. 构坐标系 模型 I β r ( θ dθ [ ] dθ β 模型 II r ( θ r ( θ 二. 平面曲线的弧长 ( 数学一和数学二. 直角坐标系 连续的导数 ] 设光滑曲线 ( [ 也即 弧长 [ ] d 而 d [ ] d. 构坐标系 也称为弧微分 设光滑曲线 r r( θ ( θ β [ r ( θ 在 [ β ] 有连续导数 ] β 弧长 [ r ( θ ] [ r ( θ ] dθ. 参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线 有 上 ( t C ( t β [ ( t ( t ( t [ β ] 上有连续的导数 ] 在. 参数形式表出的曲线所围成的面积 设曲线 C 的参数方程 ϕ ψ ( t ( t ( t β ϕ ( ψ ( β ϕ ( t 在 [ β ] [ ] β 上有连续导数 且 ( t ϕ 不变号 ( t ( 或 ψ 且连续 则曲边梯形面积 ( 曲线 C 与直线 和 轴所围 成 β ( t ϕ ( t d ψ dt 曲线 C 的弧长 β [ ( t ] [ ( t ] dt 三. 特殊的空间图形的体积 ( 一般体积要用二重积分. 已知平行截面面积的立体体积 设空间一个立体由一个曲面和垂直于 z 轴两平面 z c 和 d z 所围成 z 轴每一点 z( c z d 且垂直于 z 轴的立体截面的面积 ( 为已知的连续函数 则立体体 积 V d c ( dz. 绕坐标轴旋转的旋转体的体积 ( 平面图形由曲线 与直线 和 轴围成绕 轴旋转一周的体积 Edited 杨凯钧 5 年 月

11 V π d 绕 轴旋转一周的体积 V π d V π c d ( ( 平面图形由曲线 ( d 和 轴围成 绕 轴旋转一周的体积 d V π ( c 与直线 c 四. 绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积 ( 数学一和数学二 设平面曲线 C 位于 轴上方 它绕 轴一周所 AB 得旋转曲面的面积为 绕 轴旋转一周的体积. 设 AB 的方程为 ( 则 π [ ] d. 设 AB 的极坐标方程为 r r( θ ( θ β 则 π β r( θ siθ [ r ( θ ] [ r ( θ ] dθ. 设 AB ( t β 的参数方程为 ( t ( t 则 π β ( t [ ( t ] [ ( t ] dt 常微分方程二. 变量可分离方程及其推广. 变量可分离的方程 P Q Q d ( 方程形式 : ( 通解 Q ( P d C ( 注 : 在微分方程求解中 习惯地把不定积分只求出它的一个原函数 而任意常数另外再加 ( 方程形式 : M 通解 N ( d M N ( M M N d N ( M N ( ( ( C. 变量可分离方程的推广形式 ( 齐次方程 d 令 d d d 则 ( d d c c l ( Edited 杨凯钧 5 年 月

12 d ( ( c( 令 c d d 则 ( d d c ( d ( c c 当 c c 的解 ( β 情形 先求出. 一阶线性非齐次方程 P Q d 用常数变易法可求出通解公式 C e P 令 d 代入方程求出 C 则得 d [ Q e d C] d P P e. 贝努利方程 P Q d 令 z dz d 再按照一阶线性非齐次方程求解 把原方程化为 ( P z ( Q 令 v β 则 dv d 方程情形 v v 属于齐次 v v 当 情形 令 λ 4. 方程 : d d Q ( P( 可化为 P( Q( 以 为自变量 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解 四. 全微分方程及其推广 ( 数学一. 全微分方程 P ( d Q( Q 满足 P 则 令 则 d c λ d d ( c d 属于变量可分离方程情形 三. 一阶线性方程及其推广. 一阶线性齐次方程 P d c λ c P d 它也是变量可分离方程 通解公式 Ce ( c 为任意常数 通解 : ( C 其中 ( 满足 d ( P( d Q( 求 ( 的常用方法 第一种 : 凑全微分法 ( d Q( Λ d( P 把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流 就很有帮助 ( d d ; ( d d ; Edited 杨凯钧 5 年 月

13 ( d d( ; d (4 d( l d d l ; (5 ; d d l (6 d (7 d ; d (8 d ; d (9 d rct ; d ( d rct ; d ( d l ; d ( d l ; d ( d d (4 d (5 d (6 d ( ; ; ; d rct( ; ( d rct( ; 第二种 : 特殊路径积分法 ( 因为积分与路径无关 ( ( ( P( d Q( ( P( d Q( 第三种 : 不定积分法 由 P( 得 P d C 对 求导 得 ( P( [ d] C ( Q 求出 C ( 积分后求出 C (. 全微分方程的推广 ( 约当因子法 设 P ( d Q( Q P 不满足 但是存在 R ( 不是全微分方程 使得 R ( P( d R( Q( 微分方程 RQ 也即满足 则 ( [ ] [ RP] R 称为约当因子 按全微分方程解法仍可求出 ( P( d R( Q( d( R 为全 通解 ( C 这种情形 求约当因子是关键 特殊的高阶微分方程 Edited 杨凯钧 5 年 月

14 一. 可降阶的高阶微分方程 任意常数 仍为同方程的解 特别地 当 λ 方程类型 ( ( 通解 次 解法及解的表达式 ( d C C Λ 令 p 则 p 原方程 ( p p 一阶方程 设其解 为 g p C C 则原方程的通解为 即 g ( C g d C 令 p 把 p 看作 的函数 则 dp dp d d dp p 把 的表达式代入原方程 得 dp ( p 一阶方程 p 设其解为 p g( C 即 g( C 则原方程的通解为 d C g ( C ( λ 为常数 也即 与 通解为 C C. 若 解 则 特解 线性无关时 则方程的 为二阶非齐次线性方程的两个特 为对应的二阶齐次线性方程的一个. 若 为二阶非齐次线性方程的一个特解 而 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解 则 为此二阶非齐次线性方程的一个特解 4. 若 为二阶非齐次线性方程的一个特解 而 C C 为对应的二阶齐次线性方程的通解 ( C C 为独立的任意常数 则 C C 是此二阶非齐次线性方程 的通解 5. 设 与 分别是 q p 与 q p 的特解 则 是 q p 的特解 二. 线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构 其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程 二阶齐次线性方程 q p ( 二阶非齐次线性方程 q p (. 若 为二阶齐次线性方程的两个特 式 三. 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程. 二阶常系数齐次线性方程 p q 其中 p q 为常数 λ pλ 特征方程 q 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形 ( 当 p 4q > 特征方程有两个不同的 解 则它们的线性组合 C C ( C C 为 实根 λ λ 4 Edited 杨凯钧 5 年 月

15 则方程的通解为 λ λ Ce Ce 通解 : C C λ λ ( 当 p 4q 特征方程有二重根 λ C C e 则方程的通解为 ( 当 p 4q < 特征方程有共轭复根 ± iβ 则方程的通解为 e ( C β C si. 阶常系数齐次线性方程 ( ( cos β p p Λ p p 其中 p i ( i Λ 相应的特征方程 为常数 λ λ λ Λ p p p p 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似 ( 若特征方程有 个不同的实根 则方程通解 ( 若 λ λ λ C e Ce Λ λ λ λ Λ C λ 为特征方程的 重实根 ( e λ λ C C Λ C e 则方程通解中含有 ( 若 ± iβ 为特征方程的 重共轭复根 ( e 则方程通解中含有 [( C C Λ C cosβ ( Λ si ] β 由此可见 常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定 但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得 因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解 四. 二阶常系数非齐次线性方程 方程 : p q 其中 p q 为常数 5 其中 C C 为对应二阶常系数齐次线性 方程的通解上面已经讨论 所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解 如何求? 我们根据 的形式 先确定特解 的形式 其中 包含一些待定的系数 然后代入方程确定这些系数就得到 特解 常见的 的形式和相对应地 的形式如下 :. P 其中 P 为 次多项式 ( 若 不是特征根 则令 R Λ 实常数 其中 i ( i Λ 为待定系数 ( 若 是特征方程的单根 则令 R ( 若 是特征方程的重根 则令 R. P e 其中 P 为 次多项式 为 R ( 若 不是特征根 则令 e ( 若 是特征方程单根 则令 Edited 杨凯钧 5 年 月 R e ( 若 是特征方程的重根 则令. P e P e cos β e R e si β 或 其中 P 为 次多项式 β 皆为实常数 ( 若 ± iβ 不是特征根 则令 [ R cos β T si β ] R Λ 其中 ( i Λ i 为待定系数 T ( i Λ Λ i 为待定系数

16 e ( 若 ± iβ 是特征根 则令 [ R cos β T si β ] 五. 欧拉方程 ( 数学一 ( p Λ p p 其中 p i ( i Λ t e 为常数称为 阶欧拉方程 令 代入方程 变为 t 是自变量 是未知函数的微 分方程 一定是常系数齐次线性微分方程 注意下面变换公式 : dt e t d dt d dt dt d dt. 数量积 cos 其中 为向量 间夹角 为数量也称点乘 表示向量 在向量 上的投影 即 Pr j 4. 向量积 也称为叉乘 si d d dt d d dt e d d e dt d dt dt e dt d e dt t t t t dt 的方向按右手法则垂直于 所在平面 且 i j d d d dt dt 向量代数与空间解析几何三. 向量的运算 { } i j i { } j c c { c c c } i c j c 是向量 等于以 为邻边的平行四边形的面积 ( c 5. 混合积 : 定义 ( c ( c c c c 几何意义 ( c 坐标公式 表示以 c 为棱的平行大面体 的体积 四. 两向量间的关系 设 { } { }. 加法 { } 减法 { }. 数乘 { λ λ λ } λ ( λ 是常数 向量的加 减和数乘运算统称线性运算 6 关系向量表示向量坐标表示 间夹 角 ϕ 与 垂直 cos ϕ cos ϕ Edited 杨凯钧 5 年 月

17 设直线 L 的一般式方程为 与 平行 A B Cz 则通过 L 的所有平面方程 A B C z 为 二. 平面及其方程 ( A B C z ( A B C z. 法 ( 线 向量 法 ( 线 方向数 与平面 π 垂直的非零向量 称为平面 π 的法向量 通常记成 法向量{ m p} 的坐标称为法 ( 线 方向 数 对于给定的平面 π 它的法向量有无穷多个 但它所指的方向只有两个. 点法式方程已知平面 π 过 ( z M 点 其中 ( 6. 有关平面的问题两平面为 π π : A B Cz : A B C z 其法向量 { A B C} A 则平面 π 的方程为 ( B( C( z z π 与 π 间 夹角 ϕ cosϕ A A A B B C C B C A B C 或 ( r r 垂直条件 A A B B C C 其中 r { z } r { z}. 一般式方程 平行条件 A A B C B C A B Cz 其中 A B C 不全为零 z 前的系数表示 π 的 法线方向数 { A B C} 特别情形 : 是 π 的法向量 A B Cz 表示通过原点的平面 A B 平行于 z 轴的平面 A 平行 Oz 平面的平面 表示 Oz 平面 4. 三点式方程 设 A ( z B ( z C ( z 点不在一条直线上 则通过 A B C 的平面方程为 三 重合条件 M A A B B C C 设平面 π 的方程为 A B Cz ( z d : d A 而点 为平面 π 外的一点 则 M 到平面 π 的距离 B A B Cz C 三. 直线及其方程. 方向向量 方向数与直线平行的非零向量 称为直线 L 的方向向量 方向向量的坐标称为方向数. 直线的标准方程 ( 对称式方程 z z l m 5. 平面束 z z z z z z 其中 ( z 为直线上的点 l m 为直线的方 向数. 参数式方程 7 Edited 杨凯钧 5 年 月

18 lt mt z z t s { l m }t 为参变量 4. 两点式 设 A ( z B ( z 通过 A 和 B 的直线方程为 z z z z 为不同的两点 则 5. 一般式方程 ( 作为两平面的交线 : A B Cz 方向向量 A B C z { A B C } { A B C } 6. 有关直线的问题 两直线为 : z z L l m : z z L l m 直线 L 的方程为 : L 与 π 间夹角 ( A B Cz z z l m si A B Al Bm C C L 与 π 垂直条件 l m A B C L 与 π 平行条件 Al Bm C L 与 π 重合条件 Al Bm C L 上有一点在 π 上 多元函数微分学多元函数的偏导数与全微分四. 方向导数与梯度 ( 数学一 l. 平面情形 l m ( 在平面上过点 P ( z ( cos cos β 的方向导数 沿方向 L 与 L 间夹 角 θ cosθ l l l m m m l m l ( lim t ( t cos t cos β ( t 垂直条件 l l m m ( 在点 P ( z 处的梯度为 平行条件 l l m m grd ( ( ( 而方向导数与梯度的关系为 四. 平面与直线相互关系 l ( [ grd ( ] l ( cosl( grd ( l grd 多元函数微分法一. 复合函数微分法 锁链公式 模型. z ( v ( v v( 平面 π 的方程为 : 8 Edited 杨凯钧 5 年 月

19 v ; v v v 则 ( 确定 ( F ; F F z F 模型. ( z z( z z ( 确定 F z F ( z 则 ; F F 一. 求 z ( 第一步 多元函数的极值和最值 的极值 ( ( Λ l ( ( 求出驻点 模型. ( z z d d z z 第二步令 [ ] ( ( ( 若 < 则 不是极值 若 则不能确定 ( 需从极值定义出发 讨论 若 > 则 是极值 模型 4. w ( v ( v v( w w w v v v v v v 还有其它模型可以类似处理二. 隐函数微分法 进一步若 ( > 则 为极小值 若 ( < 则 为极大值 二. 求多元 ( 函数条件极值的拉格朗日乘子法 求 ( 的极值 约束条件 作 Λ ϕ ϕ ( Λ m Μ ( Λ ( m < ( Λ λ Λ λm ( Λ λi i ( Λ F F ϕ m i 设 F ( 则 ( 确定 z z( F ; F z F F z 9 Edited 杨凯钧 5 年 月

20 F Μ F F λ ϕ Μ F λ ϕ m m ( Λ ( Λ ( ( 求出 ( ( l Λ 是有可能的条件 Λ 极值点 一般再由实际问题的含义确定其充分性 这种方法的关键是解方程组的有关技巧 多元函数积分学二. 在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型 I : 设有界闭区域 {( ϕ ϕ } d c ψ ( ψ ( ( d 关于二重积分的计算主要根据模型 I 或模型 II 把二重积分化为累次积分从而进行计算 对于比较复杂的区域 如果既不符合模型 I 中关于 的要求 又不符合模型 II 中关于 的要求 那么就需要把 分解成一些小区域 使得每一个小区域能够符合模型 I 或模型 II 中关于区域的要求 利用二重积分性质 把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和 而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算 在直角坐标系中 两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段 具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分 求出它的积分区域 然后根据 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分 三. 在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分 也即 先固定 θ 对 γ 进行积分 然后再对 θ 进行积分 由于区域 的不同类型 也有几种常用的模型 模型 : 设有界闭区域 {( θ θ β ϕ ( θ γ ϕ ( θ } γ 其中 ϕ ϕ 在 [ ] 上连续 ( 在 上 连续 则 ( dσ ( ϕ d ϕ ( 模型 II : 设有界闭区域 d {( c d ψ ( ψ ( } 其中 ϕ ( θ ϕ ( θ 在 [ β ] 上连续 ( ( γ cosθ γ siθ ( dσ ( γ cosθ γ siθ 在 上连续 则 β d ϕ ( θ θ ϕ ( θ ( γ cosθ γ siθ γ dγ γ dγ dθ 模型 I : 设有界闭区域 {( θ θ π ϕ ( θ γ ϕ ( θ } γ 其中 ψ ( ψ ( 在 [ c d] 上连续 ( 在 上连续 则 ( dσ ( d 其中 ϕ ( θ ϕ ( θ 在 [ π ] 上连续 Edited 杨凯钧 5 年 月

21 ( ( γ cosθ γ siθ 在 上连续 则 ( dσ ( γ cosθ γ siθ π ϕ d θ θ ϕ ( θ ( γ cosθ γ siθ γ dγ γ dγ dθ 模型 II : 设有界闭区域. 空间曲面的面积 {( γ θ θ β γ ϕ( θ } V [ ( ( ] dσ 其中 为闭曲面 在 平面上投影区域 ( 为上半曲面 z ( z A 为下半曲面 dσ 其中 为曲面 在 平面上投影 曲面 的方程 ( z z 其中 ϕ ( θ 在 [ β ] 上连续 ( ( γ cosθ γ siθ ( dσ ( γ cosθ γ siθ 在 上连续 则 β d ϕ ( θ θ γ dγ dθ ( γ cosθ γ siθ γ dγ 模型 III : 设有界闭区域 {( γ θ θ π γ ϕ( θ } 三重积分二. 三重积分的计算方法. 直角坐标系中三重积分化为累次积分 ( 设 Ω 是空间的有界闭区域 {( z ( z z ( ( } Ω 其中 是 平面上的有界闭区域 ( z ( 在 上连续 函数 ( z 在 Ω 上连 续 则 z ( dv d ( Ω z ( ( 设 Ω ( z β ( ( dz { } 其中 ϕ ( θ 在 [ π ] 上连续 ( ( γ cosθ γ siθ ( dσ ( γ cosθ γ siθ γ dγ dθ 在 上连续 则 π ϕ ( θ d θ ( γ cosθ γ siθ γ dγ 四. 二重积分在几何上的应用 Ω 其中 ( 为竖坐标为 z 的平面上的有界闭区域 则 β ( dv dz ( Ω ( z. 柱坐标系中三重积分的计算 d ( ddz ( γ cosθ γ siθ γ dγ dθ dz Ω. 空间物体的体积 相当于把 ( 化为极坐标 ( γ θ 而 z 保持不变 Edited 杨凯钧 5 年 月

22 . 球坐标系中三重积分的计算. 参数计算公式 ρ siθ cosϕ ρ ρ siθ siϕ θ π z ρ cosθ ϕ π 我们只讨论空间情形 ( 平面情形类似 设空间曲线 L 的参数方程 ( t ( t z z( t ( t β L 则 ( d [ ( t ( t z( t ] [ ( t ] [ ( t ] [ z ( t ] β dt ( 假设 ( 和 ( t ( t ( t z 皆连续 这 Ω Ω ( ddz ( ρ siθ cosϕ ρ siθ siϕ ρ cosθ ρ siθ dρ d θ dϕ 然后再根据 Ω 把三重积分化为关于 ρ θ ϕ 的累次 积分 曲线积分一. 第一类曲线积分 ( 对弧长的曲线积分 空间情形 : 空间一条逐段光滑曲线 L 上定义函数 ( 把曲线 L 任意分割为 段 Λ 在 ( ( ξ η s 存在并且相等 lim λ 上任取一点 如果对任意分割 任意取点 下列极限皆 ( ξ η s ( 这里 又表示第 段曲线的弧长 λ m 则称此极限值为 ( 在曲线 L 上的第一类曲 线积分 也称为对弧长的曲线积分 记以 L ( d 如果曲线 L 是封闭曲线 也记以 ( L d 样把曲线积分化为定积分来进行计算 二. 第二类曲线积分 ( 对坐标的曲线积分 空间情形 : 设空间一条逐段光滑有定向的曲线 L AB 函数 P ( Q ( R ( 把 L 任意分成 段 在 L 上皆有定义 Λ 在 ( 上起点坐标为 ( z ( z 终点坐标 ( 按 L 的定向决定起点和终点 令 ( 再在 lim λ z z z 上任意一点 ( ξ η s 考虑极限 [ P( ξ η s Q( ξ η s R( ξ η s z ] 其中 λ 仍是 段弧长中最大值 如果对任意分割 任 意取点 上述极限皆存在并且相等 则称此极限值为 ( Q ( 和 R ( P 对空间曲线 L 的第二 类曲线积分 也称对坐标的曲线积分 记以 P ( d Q( R( dz L 它的向量形式为 F d L 其中 F { P( Q( R( } { d dz} d 如果 L 是空间封闭曲线也要说明 L 的定向 在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针 必须用其他方式 Edited 杨凯钧 5 年 月

23 加以说明 [ P( cos Q( cos β R( cos ]ds γ AB. 参数计算公式 我们只讨论空间情形 ( 平面情形类似 设空间有向曲线 L 的参数方程 ( t ( t z z( t 起点 A 对应参数为 终点 B 对应参数为 β ( 注意 : 现在 和 β 的大小不一定 < β 如果 ( Q ( R ( 皆连续 又 ( t P ( t z ( t 也都连续 则 P ( d Q( R( L AB { P [ ( t ( t z( t ] ( t Q[ ( t ( t z( t ] ( t R[ ( t ( t z( t ] z ( t } β 这样把曲线积分化为定积分来计算 值得注意 : 如果曲线积分的定向相反 则第二类曲线积分的值差一个负号 而第一类曲线积分的值与定向无关 故曲线不考虑定向 dz dt ( 其中 cos cos β cos γ 为曲线弧 AB 上点 处沿定向 A 到 B 方向的切线的方向余弦 四. 格林公式关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理 它的结论就是格林公式 定理.( 单连通区域情形 设 平面上有界闭区域 由一条逐段光滑闭曲线 L 所围成的单连通区域 当沿 L 正定向移动时区域 在 L 的左边 函数 P ( ( 偏导数 则有 Q P d Pd Q 在 上有连续的一阶 L Q 三. 两类曲线积分之间的关系. 平面情形设 L AB 平面上一个逐段光滑有定向的曲线 P ( ( AB P Q 在 L 上连续 则 ( d Q( [ P( cos Q( cos β ] 其中 cos β AB cos 为曲线弧在点 ( ds 处沿定向 定理.( 多连通区域情形 设 平面上有界闭区域 是 ( 连通区域 ( 也即 有 个 洞 它的边界 L C Υ C ΥΛ Υ C 其中 C 的定向为逆时针方向 C C Λ 定向皆为顺时针方向 仍符合沿 L 的正定向移动时区域 在它的左边这个原则 A 到 B 方向的切线的方向余弦. 空间情形 设 L AB 为空间一条逐段光滑有定向的曲线 ( Q ( R ( P 在 L 上连续 则 ( d Q( R( P AB dz 则 函数 P ( ( Q 在 上有连续的一阶偏导数 Edited 杨凯钧 5 年 月

24 Q P d Pd C Pd Q L C Q Pd Q 值 如果对任意分割和任意取点 下列极限皆存在且相等 λ ( ξ η s lim 则称这极限值为 ( 在曲面 上的第一类曲 五. 平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件 设 F { P( Q( } 的分量 P ( ( Q 在 单连通区域 内有一阶连续偏导数 则下面几条彼此等价. 对 内任意一条逐段光滑闭曲线 L 都有 L Pd Q. 任意 L AB 在 内 则 Pd Q 只依赖 于起点 A 和终点 B 与曲线 L AB 的取法无关 称为 曲线积分与路径无关. P ( d Q( d( AB 成立 Q P 4. 内处处有 成立 5. 向量场 F { P( Q( } V 具有 F grdv 元函数 ( 是有势场 即存在二 ( V V 数 具有 P Q 曲面积分一. 第一类曲面积分 ( 对面积的曲面积分. 定义 设 为分块光滑曲面 ( V 称为势函 在 上有定义 把曲面 任意分成 块小曲面 Λ 在 ( 上任取一点 ( ξ η s 把小曲面 的面积也记以 而 λ 表示各小块曲面直径的最大 面积分 也称对面积的曲面积分 记以. 基本计算公式 ( d 设曲面 的方程 z z( ( ( 上有连续偏导数 ( 在 上连续 则 ( d [ z( ] z 在 d 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二. 第二类曲面积分 ( 对坐标的曲面积分. 定义 设 为分块光滑有向曲面 ( 已指定一侧为定向 ( Q ( R ( P 皆在 上有定义 把 曲面 任意分成 个小曲面 Λ 而 ( 在 z 平面上投影的面积记以 ( z z 平面上投影的面积记以 ( 面积记以 ( ( ξ η s 限 lim λ z 又在 ( 在 在 平面上投影的 上任取一点 令 λ 是各小块曲面直径的最大值 考虑极 [ P( ξ η s ( Q( ξ η s ( R( ξ η s ( ] z z 如果对任意分割 任意取点 极限值都存在并且相等 则这个极限限称为 P ( Q ( R ( 在 有向曲面 上的第二类曲面积分 也称为对面积的曲面 4 Edited 杨凯钧 5 年 月

25 积分 记以 ( dz Q( dzd R( P d 如果令 F { P Q R} d { dz dzd d} 则向量形式为 F. 基本计算公式 d 如果曲面 的方程 z z( ( ( z 在 上连续 R ( 在 上连续 则 ( d R[ z( ] ± R d 若曲面 指定一侧的法向量与 z 轴正向成锐角取正号 成钝角取负号 这样把这部分曲面积分化为 平面上的二重积分 类似地 曲面 的方程表示为 ( ( z 则 ( dz P[ ( z] ± P YZ dz 曲面 指定一侧的法向量与 轴正向成锐角取正号 成钝角取负号 如果曲面 的方程表示为 ( z ( z z 则 ( dzd Q[ ( z z] ± Q ZX dzd 令 F { P Q R} { coscos β cosγ } Pdz Qdzd Rd F d 四. 高斯公式 定理.( 单连通区域 设 Ω 是由分块光滑曲面 围成的单连通有界闭区 域 P ( Q( R( 偏导数 则 P 在 Ω 上有连续的一阶 Q R dv Pdz Qdzd Ω ( 外侧 [ P cos Q cos β R cosγ ] 其中 量的方向余弦 d cos cos β cosγ 为 在点 ( 定理.( 多连通区域 Rd 处的法向 设 Ω 是 ( 连通区域 外面边界曲面 为外侧 每一个 洞 的边界曲面 ( 为内侧 彼此不 重叠 都在 的内部 这些曲面都是分块光滑的 Ω 是 有界闭区域 P ( Q( R( 续的一阶偏导数 则 在 Ω 上有连 曲面 指定一侧的法向量与 轴成锐角取正号 成钝角取负号 由此可见 第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的 绝大多数情形都用下面的定理进行计算 但是当 P Q R 有些为 只剩下一项或二项时 也有可能用基本公式进行计算 三. 两类曲面积分之间的关系 Pdz Qdzd Rd [ P cos Q cos β R cosγ ] 其中 cos cos β cosγ 为曲面 在点 ( 定向指定一侧的法向量的三个方向余弦 d 处根据 P Q R dv Pdz Qdzd Ω ( 外侧 Pdz Qdzd Rd K Rd ( 内侧 五. 斯托克斯公式定理 : 设 L 是逐段光滑有向闭曲线 是以 L 为边界的分块光滑有向曲面 L 的正向与 的侧 ( 即法向量的指向 符合右手法则 函数 ( Q( R( P 在包含 的一个空间区域 5 Edited 杨凯钧 5 年 月

26 内有连续的一阶偏导数 则有 L Pd Q Rdz dz P dzd Q d R 旋度 rotf F i P j Q R L R Q P R Q P dz dzd d 也可用第一类曲面积分 Pd Q Rdz cos cos β cosγ d P Q R 六. 散度与旋度讨论中有三个概念很重要 就是梯度 散度和旋度 前面我们已经讨论过梯度 : R Q P R Q P i j 称为 F 的旋度 斯托克斯公式可写成 dr ( rotf F d L 其中 dr ( d d d ( coscos β cosγ 无穷级数常数项级数. 基本性质 ( 如果 和 v 皆收敛 为常数 则 度 算 设 ( grd 称为 的梯度. 散度 设 F ( P( Q( R( P Q R 散度 divf F 称为 F 的散 高斯公式可写成. 旋度 Ω divfdv F d ( 外侧 ( coscos β cosγ v 收敛 且等于 ( ( 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变 ( 收敛级数具有结合律 也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛 而且其和不变 发散级数不具有结合律 引言中的级数可见是发散的 所以不同加括号后得到级数的情形就不同 lim( (4 级数 收敛的必要条件是 lim ( 注 : 引言中提到的级数 ( ( v 具有 不存在 因此收敛级数的必要条件不满足 故 发散 调和级数 满足 lim 但 却是分散的 所以满足收敛级数的必要条件 lim 设 F ( P( Q( R( 而 收敛性尚不能确定. 两类重要的级数 6 Edited 杨凯钧 5 年 月

27 ( 等比级数 ( 几何级数 r ( 当 r < 时 r 收敛 ; r 如果 如果 v 收敛 则 发散 则. 比较判别法的极限形式 收敛 ; v 发散 当 r 时 ( p 级数 p 当 p > 时 当 p 时 r p p 发散 收敛 ; 发散 设 若 lim v v ( Λ A ( 当 < A < 时 同时发散 ( 当 A 时 若 与 v 收敛 则 v 同时收敛或 收敛 ( 注 : p > 时 p 的和一般不作要求 但后 ( 当 A 时 若 收敛 则 v 收敛 面用特殊的方法可知 π 6. 比值判别法 ( 达朗倍尔 时 二. 正项级数敛散性的判别法 若 ( Λ 则 称为正项级数 这 Λ 所以 { } 是单调增加数列 它是否收敛就只取决于 是否有上界 因此 收敛 有上界 这是正项级数比较 判别法的基础 从而也是正项级数其它判别法的基础 设 > 而 lim ρ ( 当 ρ < 时 则 收敛 ( 当 > ρ ( 包括 ρ 时 则 ( 当 ρ 时 此判别法无效 ( 注 : 如果 lim 4. 根值判别法 ( 柯西 发散 不存在时 此判别法也无法用. 比较判别法 设 c > 当 N 时 cv > 皆成立 设 而 lim ρ ( 当 ρ < 时 则 收敛 7 Edited 杨凯钧 5 年 月

28 ( 当 > ρ ( 包括 ρ 时 则 ( 当 ρ 时 此判别法无效 发散 ( 条件收敛级数的正项或负项构成的级数 即 ( 或 ( 一定是发散的 事实上 比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论 应用时 根据所给级数的形状有 不同的选择 但它们在 ρ 情形都无能为力 数学上 有更精细一些的判别法 但较复杂 对考研来说 不作要求 4. 一类重要的级数 设 ( p ( 当 > p ( 时 p 是绝对收敛的 收敛 三. 交错级数及其莱布尼兹判别法. 交错级数概念 若 > (. 莱布尼兹判别法 设交错级数 ( 称为交错级数 满足 : ( ( lim Λ 则 ( 收敛 且 ( < 四. 绝对收敛与条件收敛. 定理 若. 定义 若 若 收敛 则 收敛 则称 收敛 而. 有关性质 < 一定收敛 ; 反之不然 为绝对收敛 ; 发散 则称 为条件 ( 绝对收敛级数具有交换律 也即级数中无穷多项任意交换顺序 得到级数仍是绝对收敛 且其和不变 幂级数 ( 当 ( 当 p 时 < p ( 时 ( p p 是条件收敛的 是发散的 一. 函数项级数及其收敛域与和函数 ( 数学一. 函数项级数概念 设 ( Λ 称为区间 I 上的函数项级数. 收敛域 设 如果常数项级数 ( I 是函数项级数 如果 ( 皆定义在区间 I 上 则 的收敛点 发散 则称 函数项级数 为收敛域 是 收敛 则称 的发散点 的所有收敛点构成的集合就称 所有发散点构成的集合称为发散域. 和函数 在 的收敛域的每一点都有和 它与 有关 8 Edited 杨凯钧 5 年 月

29 因此 收敛域 称 ( 为函数项级数 义域就是函数项级数的收敛域 二. 幂级数及其收敛域. 幂级数概念 的和函数 它的定 两种情形的收敛域就确定的 而 ( 的情形 还需讨论 ± R 两点上的敛散性 如果 lim l ( 包括 或 lim l( 包 括 则收敛半径 R ( 若 l 则 R ; 若 l l 则 R 如果上述两极限不成立 那么就要用其它方法求收敛半径 后面有所讨论 ( 称为 的幂级数 ( ( Λ 称为幂级数的系数 是常数 三. 幂级数的性质. 四则运算 当 时 称为 的幂级数 设 < ; g R 一般讨论 出有关 (. 幂级数的收敛域 有关问题 作平移替换就可以得 的有关结论 < R 则 ( ± ± g < mi ( R R ( Λ Λ g( 幂级数 的收敛域分三种情形 < mi ( R R ( 收敛域为 ( 亦即 皆收敛 我们称它的收敛半径 R ( 收敛域仅为原点 除原点外幂级数 发散 我们称它的收敛半径 R 对每一个 ( 收敛域为 ( R R 或 ( R R] 或 [ R R 或 [ R R] 皆 中的一种 我们称它的收敛半径为 R ( < R < 所以求幂级数的收敛半径 R 非常重要 ((. 分析性质 设幂级数 的收敛半径 R > ( 在 ( R R 为和函数 则有下列重要性质 ( 内可导 且有逐项求导公式 求导后幂级数的收敛半径不变 因此得出 在 9 Edited 杨凯钧 5 年 月

30 ( R R 内有任意阶导数 公式为 ( Λ < R ( Λ 下列基本公式应熟背 ( ( e! < < ( 在 ( R R 内有逐项积分公式 ( t dt t dt 且这个幂级数的收敛半径也不变 ( 若 在 R( R 有下列性质 : (i R lim R 成立 ( R lim 成立 ( R R R (ii d R d ( R 成立 (iii 在 R( R 成立 则 成立 不一定收敛 也即 R ( R 不一定成立 ( ( R 如果 的级数 后的级数 在 R( R 在 R( R 发散 那么逐项求导后 一定发散 而逐项积分 在 R( R 四. 幂级数求和函数的基本方法 有可能收敛. 把已知函数的幂级数展开式 ( 8. 将讨论 反过来用 <! ( ( si (4 ( cos! < (5 ( l( ( < ( 6 ( < < ( 为实常数 ( Λ (! (. 用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式. 用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程 从而求微分方程的解 五. 利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 ( 强化班再讨论 将函数展开成幂级数一. 泰勒级数与麦克劳林级数的概念. 基本概念 设函数 在点 的某一领域 任意阶导数 则级数 在 处的泰勒级数 ( ( (! < δ 内具有 称为函数 ( 注 : 这里泰勒级数是否收敛? 是否收敛于 都 不知道 特别地 当 则级数! ( 称为 的麦克劳林级数 Edited 杨凯钧 5 年 月

31 公式. 函数展成幂级数的条件 设 在 < R 内有任意阶导数 它的泰勒 ( ( (! ( ( ( Λ R! cos si <! 例 : ( (. 变量替换法 < R 其中 R 为 阶余项 它的拉格朗日型为 ( [ θ ( ] ( ( < θ < (!! e <. t 例 : e t (! ( ( 则 ( ( ( < R! 的充要条件为 lim R < 而且 在 处幂级数展开式是唯一的 特别地 时得到函数展成麦克劳林级数的充 分必要条件 R < 4. 逐项积分法 例 : l ( dt ( t t ( dt ( < 二. 函数展成幂级数的方法. 套公式 ( < R ( ( ( Λ! 例 e <! ( ( si <! 由此可得 l rct t ( 由此可得 ( dt π rct 4 ( t dt ( ( Λ (! < ( 为实常数. 逐项求导 Edited 杨凯钧 5 年 月