四多元函数微分学 1. 偏导数全微分及其几何意义, 可微与偏导存在连续之间的关系, 复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 混合偏导数与顺序无关性, 二元函数中值定理与 Taylor 公式. 2. 隐函数存在定理隐函数组存在定理隐函数 ( 组 )

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磐许
7 years ago
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1 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 ( 初稿 ) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设, 提高大学数学课程的教学水平, 激励大学生学习数学的兴趣, 发现和选拔数学创新人才, 更好地实现中国大学生数学竞赛的目标, 特制订本大纲一竞赛的性质和参赛对象中国大学生数学竞赛的目的是 : 激励大学生学习数学的兴趣, 进一步推动高等学校数学课程的改革和建设, 提高大学数学课程的教学水平, 发现和选拔数学创新人才中国大学生数学竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生二竞赛的内容中国大学生数学竞赛分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题 ( 一 ) 中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容, 即, 数学分析占 50%, 高等代数占 35%, 解析几何占 15%, 具体内容如下 : Ⅰ 数学分析部分一集合与函数 1. 实数集有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界确界存在性定理闭区间套定理聚点定理有限覆盖定理上的距离邻域聚点界点边界开集闭集有界 ( 无界 ) 集上的 n 闭矩形套定理聚点定理有限复盖定理基本点列, 以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数映射变换概念及其几何意义, 隐函数概念, 反函数与逆变换, 反函数存在性定理, 初等函数以及与之相关的性质. 二极限与连续 1. 数列极限收敛数列的基本性质 ( 极限唯一性有界性保号性不等式性质 ). 2. 数列收敛的条件 (Cauchy 准则迫敛性单调有界原理数列收敛与其子列收敛的关系 ), 极限 lim(1 1 ) n e 及其应用. n n 3. 一元函数极限的定义函数极限的基本性质 ( 唯一性局部有界性保号性不等式性质迫敛性 ), 归结原则和 Cauchy 收敛准则, 两个重要极限 lim sin x 1, lim(1 1 ) x e x 0 x x x 及其应用, 计算一元函数极限的各种方法, 无穷小量与无穷大量阶的比较, 记号 O 与 o 的意义, 多元函数重极限与累次极限概念基本性质, 二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断一致连续性连续函数的局部性质 ( 局部有界性保号性 ), 有界闭集上连续函数的性质 ( 有界性最大值最小值定理介值定理一致连续性 ). 三一元函数微分学 1. 导数及其几何意义可导与连续的关系导数的各种计算方法, 微分及其几何意义可微与可导的关系一阶微分形式不变性. 2. 微分学基本定理 :Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式 (Peano 余项与 Lagrange 余项 ). 3. 一元微分学的应用 : 函数单调性的判别极值最大值和最小值凸函数及其应用曲线的凹凸性拐点渐近线函数图象的讨论洛必达 (L'Hospital) 法则近似计算. 1

2 四多元函数微分学 1. 偏导数全微分及其几何意义, 可微与偏导存在连续之间的关系, 复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 混合偏导数与顺序无关性, 二元函数中值定理与 Taylor 公式. 2. 隐函数存在定理隐函数组存在定理隐函数 ( 组 ) 求导方法反函数组与坐标变换. 3. 几何应用 ( 平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线 ). 4. 极值问题 ( 必要条件与充分条件 ), 条件极值与 Lagrange 乘数法. 五一元函数积分学 1. 原函数与不定积分不定积分的基本计算方法 ( 直接积分法换元法分部积分法 ) 2 有理函数积分 : R(cos x,sin x) dx型, R( x, ax bx c ) dx型. 2. 定积分及其几何意义可积条件 ( 必要条件充要条件 : i x i ) 可积函数类. 3. 定积分的性质 ( 关于区间可加性不等式性质绝对可积性定积分第一中值定理 ) 变上限积分函数微积分基本定理 N-L 公式及定积分计算定积分第二中值定理. 4. 无限区间上的广义积分 Canchy 收敛准则绝对收敛与条件收敛 f ( x ) 非负时 a f ( xdx ) 的收敛性判别法 ( 比较原则柯西判别法 ) Abel 判别法 Dirichlet 判别法无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法几何应用 ( 平面图形面积已知截面面积函数的体积曲线弧长与弧微分旋转体体积 ), 其他应用. 六多元函数积分学 1. 二重积分及其几何意义二重积分的计算 ( 化为累次积分极坐标变换一般坐标变换 ). 2. 三重积分三重积分计算 ( 化为累次积分柱坐标球坐标变换 ). 3. 重积分的应用 ( 体积曲面面积重心转动惯量等 ). 4. 含参量正常积分及其连续性可微性可积性, 运算顺序的可交换性. 含参量广义积分的一致收敛性及其判别法, 含参量广义积分的连续性可微性可积性, 运算顺序的可交换性. 5. 第一型曲线积分曲面积分的概念基本性质计算. 6. 第二型曲线积分概念性质计算 ;Green 公式, 平面曲线积分与路径无关的条件. 7. 曲面的侧第二型曲面积分的概念性质计算, 奥高公式 Stoke 公式, 两类线积分两类面积分之间的关系. 七无穷级数 1. 数项级数级数及其敛散性, 级数的和,Cauchy 准则, 收敛的必要条件, 收敛级数基本性质 ; 正项级数收敛的充分必要条件, 比较原则比式判别法根式判别法以及它们的极限形式 ; 交错级数的 Leibniz 判别法 ; 一般项级数的绝对收敛条件收敛性 Abel 判别法 Dirichlet 判别法. 2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性 Cauchy 准则一致收敛性判别法 (M- 判别法 Abel 判别法 Dirichlet 判别法 ) 一致收敛函数列函数项级数的性质及其应用. 2

3 3. 幂级数幂级数概念 Abel 定理收敛半径与区间, 幂级数的一致收敛性, 幂级数的逐项可积性可微性及其应用, 幂级数各项系数与其和函数的关系函数的幂级数展开 Taylor 级数 Maclaurin 级数. 4.Fourier 级数三角级数三角函数系的正交性 2 及 2 l 周期函数的 Fourier 级数展开 Beseel 不等式 Riemanm-Lebesgue 定理按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理. Ⅱ 高等代数部分一多项式 1. 数域与一元多项式的概念 2. 多项式整除带余除法最大公因式辗转相除法 3. 互素不可约多项式重因式与重根. 4. 多项式函数余数定理多项式的根及性质. 5. 代数基本定理复系数与实系数多项式的因式分解. 6. 本原多项式 Gauss 引理有理系数多项式的因式分解 Eisenstein 判别法有理数域上多项式的有理根. 7. 多元多项式及对称多项式韦达 (Vieta) 定理. 二行列式 1. n 级行列式的定义. 2. n 级行列式的性质. 3. 行列式的计算. 4. 行列式按一行 ( 列 ) 展开. 5. 拉普拉斯 (Laplace) 展开定理. 6. 克拉默 (Cramer) 法则. 三线性方程组 1. 高斯 (Gauss) 消元法线性方程组的初等变换线性方程组的一般解. 2. n 维向量的运算与向量组. 3. 向量的线性组合线性相关与线性无关两个向量组的等价. 4. 向量组的极大无关组向量组的秩. 5. 矩阵的行秩列秩秩矩阵的秩与其子式的关系. 6. 线性方程组有解判别定理线性方程组解的结构. 7. 齐次线性方程组的基础解系解空间及其维数四矩阵 1. 矩阵的概念矩阵的运算 ( 加法数乘乘法转置等运算 ) 及其运算律. 2. 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系. 3. 矩阵的逆伴随矩阵矩阵可逆的条件. 4. 分块矩阵及其运算与性质. 5. 初等矩阵初等变换矩阵的等价标准形. 6. 分块初等矩阵分块初等变换. 五双线性函数与二次型 1. 双线性函数对偶空间 3

4 2. 二次型及其矩阵表示. 3. 二次型的标准形化二次型为标准形的配方法初等变换法正交变换法. 4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性惯性定理. 5. 正定半正定负定二次型及正定半正定矩阵六线性空间 1. 线性空间的定义与简单性质. 2. 维数, 基与坐标. 3. 基变换与坐标变换. 4. 线性子空间. 5. 子空间的交与和维数公式子空间的直和. 七线性变换 1. 线性变换的定义线性变换的运算线性变换的矩阵. 2. 特征值与特征向量可对角化的线性变换. 3. 相似矩阵相似不变量哈密尔顿 - 凯莱定理. 4. 线性变换的值域与核不变子空间. 八若当标准形 1. 矩阵. 2. 行列式因子不变因子初等因子矩阵相似的条件. 3. 若当标准形. 九欧氏空间 1. 内积和欧氏空间向量的长度夹角与正交度量矩阵. 2. 标准正交基正交矩阵施密特 (Schmidt) 正交化方法. 3. 欧氏空间的同构. 4. 正交变换子空间的正交补. 5. 对称变换实对称矩阵的标准形. 6. 主轴定理用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形. 7. 酉空间. Ⅲ 解析几何部分一向量与坐标 1. 向量的定义表示向量的线性运算向量的分解几何运算. 2. 坐标系的概念向量与点的坐标及向量的代数运算. 3. 向量在轴上的射影及其性质方向余弦向量的夹角. 4. 向量的数量积向量积和混合积的定义几何意义运算性质计算方法及应用. 5. 应用向量求解一些几何三角问题. 二轨迹与方程 1. 曲面方程的定义 : 普通方程参数方程 ( 向量式与坐标式之间的互化 ) 及其关系. 2. 空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系. 3. 建立空间曲面和曲线方程的一般方法应用向量建立简单曲面曲线的方程. 4. 球面的标准方程和一般方程母线平行于坐标轴的柱面方程. 4

5 三平面与空间直线 1. 平面方程直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义. 2. 从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面直线方程. 3. 根据平面和直线的方程, 判定平面与平面直线与直线平面与直线间的位置关系. 4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点平面直线之间的位置关系计算他们之间的距离与交角等 ; 求两异面直线的公垂线方程. 四二次曲面 1. 柱面锥面旋转曲面的定义, 求柱面锥面旋转曲面的方程. 2. 椭球面双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程. 3. 单叶双曲面双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面双曲抛物面的直母线的方法. 4. 根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题. 五二次曲线的一般理论 1. 二次曲线的渐进方向中心渐近线. 2. 二次曲线的切线二次曲线的正常点与奇异点. 3. 二次曲线的直径共轭方向与共轭直径. 4. 二次曲线的主轴主方向, 特征方程特征根. 5. 化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图. ( 二 ) 中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容, 具体内容如下 : 一函数极限连续 1. 函数的概念及表示法简单应用问题的函数关系的建立. 2. 函数的性质 : 有界性单调性周期性和奇偶性. 3. 复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数. 4. 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限. 5. 无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较. 6. 极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限. 7. 函数的连续性 ( 含左连续与右连续 ) 函数间断点的类型. 8. 连续函数的性质和初等函数的连续性. 9. 闭区间上连续函数的性质 ( 有界性最大值和最小值定理介值定理 ). 二一元函数微分学 1. 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数导数和微分的四则运算一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数反函数隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念分段函数的二阶导数某些简单函数的 n 阶导数. 5. 微分中值定理, 包括罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达 (L Hospital) 法则与求未定式极限. 5

6 7. 函数的极值函数单调性函数图形的凹凸性拐点及渐近线 ( 水平铅直和斜渐近线 ) 函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分曲率曲率半径. 三一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念. 2. 不定积分的基本性质基本积分公式. 3. 定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分确定的函数及其导数牛顿 - 莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分. 7. 定积分的应用 : 平面图形的面积平面曲线的弧长旋转体的体积及侧面积平行截面面积为已知的立体体积功引力压力及函数的平均值. 四常微分方程 1. 常微分方程的基本概念 : 微分方程及其解阶通解初始条件和特解等. 2. 变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利 (Bernoulli) 方程全微分方程. 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程 : y (n) f( x), y f( x, y ), y f( y, y ). 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理. 5. 二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 : 自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数, 以及它们的和与积 7. 欧拉 (Euler) 方程. 8. 微分方程的简单应用五向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积. 2. 两向量垂直平行的条件两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程. 5. 平面与平面平面与直线直线与直线的夹角以及平行垂直的条件点到平面和点到直线的距离. 6. 球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形. 7. 空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六多元函数微分学 1. 多元函数的概念二元函数的几何意义. 2. 二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质. 3. 多元函数偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件. 4. 多元复合函数隐函数的求导法. 6

7 5. 二阶偏导数方向导数和梯度. 6. 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线. 7. 二元函数的二阶泰勒公式. 8. 多元函数极值和条件极值拉格朗日乘数法多元函数的最大值最小值及其简单应用. 七多元函数积分学 1. 二重积分和三重积分的概念及性质二重积分的计算 ( 直角坐标极坐标 ) 三重积分的计算 ( 直角坐标柱面坐标球面坐标 ). 2. 两类曲线积分的概念性质及计算两类曲线积分的关系. 3. 格林 (Green) 公式平面曲线积分与路径无关的条件已知二元函数全微分求原函数. 4. 两类曲面积分的概念性质及计算两类曲面积分的关系. 5. 高斯 (Gauss) 公式斯托克斯 (Stokes) 公式散度和旋度的概念及计算. 6. 重积分曲线积分和曲面积分的应用 ( 平面图形的面积立体图形的体积曲面面积弧长质量质心转动惯量引力功及流量等 ) 八无穷级数 1. 常数项级数的收敛与发散收敛级数的和级数的基本性质与收敛的必要条件. 2. 几何级数与 p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨 (Leibniz) 判别法. 3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. 4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念. 5. 幂级数及其收敛半径收敛区间 ( 指开区间 ) 收敛域与和函数. 6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质 ( 和函数的连续性逐项求导和逐项积分 ) 简单幂级数的和函数的求法. 7. 初等函数的幂级数展开式. 8. 函数的傅里叶 (Fourier) 系数与傅里叶级数狄利克雷 (Dirichlei) 定理函数在 [-l, l] 上的傅里叶级数函数在 [0, l] 上的正弦级数和余弦级数. 7

2. 数列收敛的条件 (Cauchy 准则迫敛性单调有界原理数列收敛与 1 其子列收敛的关系 ), 极限 lim(1 ) n e及其应用. n n 3. 一元函数极限的定义函数极限的基本性质 ( 唯一性局部有界性保号性不等式性质迫敛性 ), 归结原则和 Cauchy 收敛准则, 两个

2. 数列收敛的条件 (Cauchy 准则迫敛性单调有界原理数列收敛与 1 其子列收敛的关系 ), 极限 lim(1 ) n e及其应用. n n 3. 一元函数极限的定义函数极限的基本性质 ( 唯一性局部有界性保号性不等式性质迫敛性 ), 归结原则和 Cauchy 收敛准则, 两个附件 1 中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设, 提高大学数学课程的教学水平, 激励大学生学习数学的兴趣, 发现和选拔数学创新人才, 更好地实现中国大学生数学竞赛的目标, 特制订本大纲一竞赛的性质和参赛对象中国大学生数学竞赛的目的是 : 激励大学生学习数学的兴趣, 进一步推动高等学校数学课程的改革和建设, 提高大学数学课程的教学水平, 发现和选拔数学创新人才