麗山高中學報第三期壹前言大考中心每年為高三的學生舉辦兩次測驗 --- 學科能力測驗指定科目考試, 兩次考試, 三份試卷, 約 45~50 題試題, 對高中數學課程的教學影響深遠每到考季, 不只考生焦慮, 任教高三的數學教師也備感壓力, 主因是數學這一科成績無論在推薦甄試申請的倍率篩選

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遇须尚
5 years ago
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1 高中數學優良試題之研發高中數學優良試題之研發黃靜寧老師摘要本文的目的在於就高中數學優良試題之研發, 提供兩種方法即如何針對大考中心的測驗目標評選優良試題, 以及如何將大考試題加以修題並應用於教學評量前者在方法的應用上, 首先著重於了解學科能力測驗與指定科目數學考科的測驗目標, 透過對大考試題的解析, 再對應教學目標, 從而了解優良試題的評量重點與其涵蓋之數學觀念至於後者, 則是先將大考試題的解題過程與教學目標進行分析, 參照答對率與鑑別度, 進行適當之修題二者之目的, 皆在於希望教師透過研發高中數學優良試題, 提供教師教學模式之修正與調整的方向, 或是增進教學與評量的成效, 進一步提升教學品質關鍵字 : 高中數學優良試題優良試題的研發測驗目標試題解析教學目標修題評量學科能力測驗指定科目考試

2 麗山高中學報第三期壹前言大考中心每年為高三的學生舉辦兩次測驗 --- 學科能力測驗指定科目考試, 兩次考試, 三份試卷, 約 45~50 題試題, 對高中數學課程的教學影響深遠每到考季, 不只考生焦慮, 任教高三的數學教師也備感壓力, 主因是數學這一科成績無論在推薦甄試申請的倍率篩選, 或指考成績分發的加權計分, 採計使用上相較其他學科均是排名第一數學學科中心透過命題技術工作坊, 結合不同學校數學教師的觀點與討論, 評選出歷屆大考的優良試題, 每位教師再就各自專長命題, 提供全國高中數學教師參考, 作為教學的教材或評量的工具, 日後各校或各區的數學教師也可參照此次命題技術工作坊的運作模式, 就近結合周遭的數學教師, 共同開發新的優良試題, 提升教學品質在此, 筆者就下列兩項主要內容, 提出報告, 供大家參考 ( 一 ) 命題技術工作坊所評選的部分優良試題與大考中心測驗目標做相對應 ( 二 ) 如何應用大考試題加以修題貳優良試題與大考中心測驗目標之對應一學科能力的測驗目標 : ( 一 ) 概念性知識 : 例如 : 能辨認某概念 ; 能確認概念中的基本數學原理例題 : 如右圖, 兩直線 L L 之方程式分別為 L : x + ay + b =0, L : x + cy + d =0 ; 試問下列哪些選項是正確的?. a > 0. b > 0 3. c > 0 4. d > 0 5. a c > 出處 : 9 學年度學科能力測驗選填題第 6 題

3 高中數學優良試題之研發試題解析 : L : 將 x + ay + b =0 化為 L : 將 x + cy + d =0 化為 L 的斜率 = > a 0 a < 0, b y = x, a a d y = x ; c c L 的斜率 = L 的 y - 截距 = b <0 且 a < 0 b < 0, a L 的 y - 截距 = d >0 且 c < 0 d > 0, c L 的斜率 > L 的斜率 > a> c a c 答案 :4, 5 > c 0 c < 0 測驗目標 : 能從圖形判斷直線斜率的正負與大小, 與直線截距的意義教學目標 : 此題測驗內容包含斜率與截距, 評量重要而基礎之數學概念, ( 二 ) 程序性知識 : 只要先將直線的一般式化為 y = mx + k 的形式, 再對照圖形作判斷即可作答, 並無複雜的計算過程但在大考中心公布統計資料發現得分率為 4%, 全對僅有 3%, 顯示有學生直接將直線方程式中 y 的係數當斜率, 常數項當成 y - 截距造成錯誤課堂上, 教師有必要對學生強調直線方程式, 只有斜截式 y = mx + k, 才能同時判斷直線的斜率與 y - 截距例如 : 能讀圖查表或運用適當的公式與步驟例題 : 設 a,b 為正整數若 b = 9a, 且 a+ b> 80, 則 a 的最小可能值為 5 出處 : 97 學年度學科能力測驗選填題第 F 題 b b 試題解析 :[ 解法 ] b = 9a, 將 a = 9 代入 a+ b> 80 + b > 80 9 b + 8b> 80 9 b + 8b 50 > 0 ( b+ 60)( b 4) > 0 b> 4或 b< 60 b > (4) 9 a> (4) a> (4) 且 a 為完全平方數 a 的最小可能值為 (5) = 5 [ 解法 ] b = 9a = 3 a 且 a,b 為正整數, a 為完全平方數設 a = k, k 為正整數代入 a+ b> 80 b = 9a = 3 k = (3 k) a= k, b= 3k 3

4 麗山高中學報第三期 k + 6k 80 > 0 ( k + 0)( k 4) > 0 k > 4 or k < 0 ( 不合 ) k = 5 測驗目標 : 能解一元二次不等式時 a 的最小可能值為 (5) = 5 教學目標 : 上列兩種解法差異不大, 但 b + 8b 50 > 0 與 k + 6k 80 > 0 兩個不等式, 對學生而言, 卻是考驗因式分解的功力, 如何透過讀題了解題意, 選擇較方便解題的假設, 在解題過程中, 減少繁瑣的計算, 是平日練習過程必須培養的能力 ( 三 ) 解決問題的能力 : 例如 : 能應用數學知識選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性例題 : 已知平面坐標上圓 O : ( x 7) + ( y ) = 44 與 : ( ) ( 3) 9 O x+ + y = 相切, 且此兩圓均與直線 L: x=- 5相切若為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 與 O 的圓心, 則的焦點坐標為 ( 化為最簡分數 ) 出處 :97 學年度學科能力測驗選填題第 H 題試題解析 : 根據題意為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 與 O 的圓心, 利用拋物線的定義 : 拋物線上任一點到準線的距離與到焦點的距離相等, 設 O 與 O 即為圓心, 由下圖可以得到, 的焦點為圓 O 與圓 O 相切的點 F, 即 F 為 OO 的內分點, 且 OF : OF = r: r = : 3 = 4: 4 ( ) 利用內分點公式可得, 的焦點坐標為 (, ) = (, )

5 高中數學優良試題之研發測驗目標 : 能將圓與圓相切圓與直線相切的關係轉化為拋物線的定義教學目標 : 此題透過圓與圓外切圓與直線相切的關係, 應用在拋物線上, 學生必須能了解題目條件畫出幾何圖形與拋物線定義的聯結 ( 如上圖 : 圖中的 F 即為題目要求之 Γ 的焦點 ), 才容易作答, 所以學生平時就要養成利用作圖來解題的習慣, 教學現場, 應經常將代數式與幾何圖形作對應, 強調數形合一的重要性, 當學生面對沒有圖形的代數式, 才知如何下筆二指定科目數學考科的測驗目標 : ( 一 ) 概念性知識 : 例如 : 能辨認某概念 ; 能確認概念中的基本數學原理例題 : 一正立方體的八個頂點中有四個頂點, 各頂點彼此之間的距離都是, 則此正立方體的體積為 () () 出處 :9 年數學甲單選題第題 (3) (4) 4 試題解析 : 藉由下圖找出符合條件的四個頂點, 推出正立方體的邊長為, 即可得正立方體的體積為測驗目標 : 評量能否根據題意找出符合條件的四個頂點教學目標 : 此題不同於常見的考法, 採取逆向命題, 平時應加強學生空間幾何的推理能力 ( 二 ) 程序性知識 : 例如 : 能讀圖查表或運用適當的公式與步驟解題例題 : 空氣品質會受到污染物排放量及大氣擴散等因素的影響某一機構為瞭解一特定地區的空氣品質, 連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度再會製這二十八筆資料的散佈圖 ( 見下圖 ), 現根據該圖, 可知 () 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的標準差大於 5 () 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的中位數為 5 (3) 此筆資料中, 平均風速的中位數介於 45 與 50 間 (4) 若以最小平方法數據集中趨勢的直線, 則該直線的斜率小於 0 5

6 麗山高中學報第三期出處 :96 年數學甲多選題第 8 題試題解析 : 從這二十八筆資料的散佈圖, 可得該氧化物最大濃度值介於 5~5, 僅有一筆資料顯示該氧化物最大濃度值小於 5, 因此標準差不可能大於 5 全部資料共有 8 筆, 樣本數為偶數, 中位數應是中間兩個數的平均值,8 筆資料中僅有一筆是 5, 因此中位數不可能為 5 橫坐標平均風速的資料則明顯看出中位數介於 45 與 50 間, 全部 8 筆資料由左上往右下分佈, 數據集中趨勢的直線之斜率為負答案 :(3)(4) 測驗目標 : 以散佈圖評量統計的基本概念, 如標準差中位數與數據集中趨勢教學目標 : 關於高中數學統計課程的教學, 應著重於統計圖表的判讀, 與解釋統計量的意義, 不宜對統計數據的計算作過度運算 ( 三 ) 閱讀與表達能力 : 例如 : 能讀懂題目, 並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程例題 : 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點我們將原點以外的格子點分層, 方法如下 : 若 (, ) 0, 0 以外的格子點, 且 a 和 b 中最大值為 n, 則稱 ( a, b ) 是在第 n 層的格子點 ( 例如 ( 3, 4 ) 是在第 4 層 ; a b 是原點 ( ) ( 8, 8 ) 是在第 8 層 ) 則在第 5 層的格子點個數為 0 出處 :96 年數學乙選填題第 B 題試題解析 : 藉由坐標軸畫出第 n 第層的格子點個數 =4 4=4 ( ) 層的格子點略圖, 可以得到 6

7 高中數學優良試題之研發第層的格子點個數 =4 4=4 ( ) 第 3 層的格子點個數 =4 6=4 ( 3) 第 n 層的格子點個數 = 4 ( n) 故在第 5 層的格子點個數為 4 ( 5)=0 測驗目標 : 評量能否將題意轉化為數學語言教學目標 : 培養能夠對於一個新的定義, 自己動手操作, 了解符號的意義與數字的運算, 透過觀察歸納發現規律的步驟, 進而解決問題 ( 四 ) 連結能力 : 例如 : 能融會貫通數學中不同領域的概念, 或連結數學以外其他學科知識或生活經驗例題 : 假設 a, b 是整數, 且 b 0 已知 a b c= + i是實係數一元二次方程 3 3 式 x + kx + = 0的一個解請問下列哪些選項是正確的? () 是上述方程式的另外一個解 c () a b i c = 3 3 7

8 麗山高中學報第三期 (3) c+ = k c (4) k 一定是整數 (5) a 一定是奇數出處 :96 年數學乙多選題第 6 題試題解析 : 利用一元二次方程式根與係數的關係得知 x + kx + = 0的兩根之積為, 兩根之和為 k, 當有一解為 c, 則另外一個解為 c a b 實係數方程式的虛根成對出現, 故 i c = 3 3, c+ = k c a b a b ( + i) ( i) = a b + = a + b = 9 9 9, 當 a =± 時, b =±, 又 a =±3, b = 0, a c+ = = k 不一定 c 3 是整數又 a + b = 9 且 b 為偶數, 故 a 為奇數 a 一定是奇數答案 :,,5 測驗目標 : 評量共軛複數根與係數, 與整數的概念教學目標 : 此題測驗的內容為實係數方程式的複數根 ( 虛根 ) 成對出現與一元二次方程式根與係數的關係, 都是歷年常考的數學基本觀念, 但不曾結合兩者於同一題, 所以此題答對率很低, 尤其低分群的學生更出現負值的得分率, 因此應指導高三的學生在做複習工作時, 應花時間對不同章節相關的數學知識予以統整 ( 五 ) 推理論證的能力 : 例如 : 能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明例題 : 一實驗室培養兩種菌, 令 a 和 b 分別代表兩種培養菌在時間點 n 的數量, 彼此有如下的關係 : 若二階方陣 n n 8

9 高中數學優良試題之研發 A= a b an+ 3 an 滿足 =A,( 其中 ), c d bn+ 3 bn 則出處 :94 年數學乙選填題第 E 題試題解析 : 先由題意轉成矩陣型式得測驗目標 : 評量將遞迴關係式轉換成矩陣模式與矩陣的基本運算教學目標 : 在大考中心的統計資料顯示此題的答對率是 7%, 屬於偏難的試題, 由此可發現學生的推理論證的能力有待加強, 此題解題過程的兩個主要步驟分別是 () 將遞迴關係式改寫成矩陣模式, ( 六 ) 解決問題的能力 : () 推論出 ; 缺一不可例如 : 能應用數學知識選擇有效策略及推理能力解決問題, 並能檢驗結果的合理性與正確性例題 : 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇天停止供水若要求停水的兩天不相連, 則自來水公司共有多少種選擇方式? 答 : 5 種出處 :9 年數學乙選填題第 D 題 7 試題解析 : 由 7 天中任意選擇天停止供水的選法有 C = 種, 相連兩天的選法有 6 種應予扣除, 故自來水公司共有 5 種選擇方式測驗目標 : 題目設計的情境簡單易懂, 以當年熱門的時事問題, 評量學生排列組合的能力教學目標 : 無論那一個單元的教學, 都應指導學生如何將概念性的數學知識轉化為解決問題的能力, 學生能將數學知識與生活相結合, 才能活用所學的數學知識 9

10 麗山高中學報第三期参如何應用大考試題修題範例參考試題 :9 年度學測補考第 F 題 x y 題目 : 設 P 為橢圓 Γ : + = 上的一點且位在上半平面若 F F為 Γ 之焦點, 且 5 9 FPF 為直角, 則 P y 點的坐標為 ( 化為最簡分數 ) 試題分析 : 項目 P Ph Pl D 參考答案統計值 0% 0.0 [ 解法 ] 結合橢圓與向量 ( 內積 ) 焦點坐標為 (4,0),(-4,0), 設 P 之坐標為 ( a, b ), 則向量,, 而 FPF 為直角的充要條件是與之內積為 0, 及 a 6 + b b 6 = 0 但 a = 5( ), 代入得 9 = b, 故 b 9 9 [ 解法 ] 結合橢圓與圓 9 9 = ( ), b= 4 4 利用幾何觀念, 半圓上的圓周角為直角, 求出以 FF 為直徑的圓與橢圓 x y Γ : + = 在上半平面的交點之 y 坐標即為所求 5 9 x y 故解聯立方程式 + = 與 9 x + y = 6 得 6y = 8 y =

11 高中數學優良試題之研發 [ 說明 ] 此題因為是學測補考試題, 所以就答對率或鑑別度而言, 都不屬於優良試題, 主要原因是參與考試的學生只有少數未通過第一次學測鑑定的學生, 但題目本身無論是 [ 解法 ] 或 [ 解法 ], 皆可評量出學生結合代數與幾何解題的能力參考試題 :94 年度學測第 0 題題目 : 設 F 與 F 為坐標平面上雙曲線 x y Γ: = 的兩個焦點,P 為 Γ 上一點, 使 9 6 得此三點構成一等腰三角形試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周長? () 0 () 4 (3) 8 (4) 3 (5) 36 試題分析 : 項目 P Ph Pl D 參考答案統計值 9% 48% 7% 0.3,5 [ 解法 ] F 與 F 為坐標平面上雙曲線 x y Γ: = 的兩個焦點, 故 FF = c= 0, 9 6 c 為焦距 P 為 Γ 上一點, PF PF = a = 6, a 為半貫軸長, 使此三點構成一等腰三角形, 由等腰的條件知頂點為 F 或 F 若 F 為頂點而 PF 為底邊, PF = 0, 而 PF = 或 0 6 故周長的可能值為 0+0+4=4 或 0+0+6=36 [ 說明 ] 學生對於答案是唯一性的試題, 通常較有把握, 但對於有多種情況符合條件的試題, 通常缺乏完備的思考, 不易完整答對, 關於這類的題型, 平時需多舉例說明修題過程 : 在參考試題的兩種解法中, 因筆者較偏好解法, 以參考試題為題幹融入參考試題的精神設計了下面的題目 : x y 新題設 F, F 為坐標平面上橢圓 Γ : + = 的兩個焦點, 點 P 在橢圓 Γ 上 5 9 試問下列哪些選項是正確? o () 若 FPF = 90 且 P 點在第一象限, 則 P 點的坐標為 (, ) 4 4 o () 使得 FPF = 90 的 P 點有 4 個 (3) 使得 F PF 為直角三角形的 P 點有 4 個 3

12 麗山高中學報第三期 (4) 若 F PF 為直角三角形, 則 F PF 的周長 =8 (5) 若 F PF 為直角三角形, 則 F PF 的面積 =9 [ 解法 ] o () FPF = 90 且 P 點在第一象限 P x y 點為 Γ : + = 與 x 5 9 象限的交點 P 點的坐標為 (, ) 4 4,() 正確 + y = 6在第一 () 利用圖形對稱可知 : 在橢圓 Γ 上有 4 個 P 點滿足 FPF = 90 o,() 正確 (3) F PF 為直角三角形包括 P = 90 o o, PF F = 90 或 PFF = 90 o, 故下圖中 P' FF 或 P" FF 亦可, F PF 為直角三角形的 P 點有 8 個,(3) 錯誤 (4) 點 P 在橢圓 Γ 上 PF + PF = 0 且 FF = 8 故 F PF 的周長 =8 恆正確, 與 F PF 是否為直角三角形無關,(4) 恆正確 36 (5) F PF 為直角三角形的形狀有兩類, 如上圖 F PF 的面積可為 9 或 5, (5) 錯誤 [ 說明 ] 大考中心對於 95 暫綱的考試規劃, 圓錐曲線式定位為學測考, 數甲數乙皆標示為 * 表示不在該考科的直接命題範圍內, 但試題有多種解法時, 若用此章節的概念或技巧解題, 仍可得分所以此題設計是定位在學測試題在五個選項中,()(5) 是需要計算, 但過程並不複雜,()(3)(4) 則是評量重要而基礎之數學概念由選項 () 到選項 () 的過程可評量學生的連結能力, 選項 (3) 則完整答對的關鍵, 評量學生的推理論證的能力 x y 修題設 F, F 為坐標平面上橢圓 Γ : + = 的兩個焦點, 點 P 在橢圓 Γ 上 5 9 3

13 高中數學優良試題之研發試問下列哪些選項是正確? () 若 P 點在第一象限且 FPF = 90 o, 則 P 點的坐標為 (, ) 4 4 o () 使得 FPF = 90 的 P 點有 4 個 (3) 使得 F PF 為直角三角形的 P 點有 4 個 (4) 若 F PF 為直角三角形, 則 F PF 的周長 =8 (5) 若 F PF 為直角三角形, 則 F PF 的面積 =9 [ 解法 ]: o < 解法一 > FPF = 90 且 P x y 點在第一象限 P 點為 Γ : + = 與 x 第一象限的交點 P 點的坐標為 (, ) 4 4,() 正確 s+ t = 0 < 解法二 > 設 PF = t, PF = s 則 ( s + t) st = 64 s + t = s st = 8 且 P 點的 y 坐標為 = 代入 Γ 得 x = P 點在第一象限 x = P( 5 7, 9 ) y = 6 在利用圖形對稱可知 : 在橢圓 Γ 上有 4 個 P 點滿足 FPF = 90 o,() 正確 F PF 為直角三角形包括 P = 90 o o, PF F = 90 或 PFF = 90 o, 故下圖中 P' FF 或 P" FF 亦可, F PF 為直角三角形的 P 點有 8 個,(3) 錯誤 33

14 麗山高中學報第三期點 P 在橢圓 Γ 上 PF + PF = 0 且 FF = 8故 F PF 的周長恆等於 8,(4) 恆正確 F PF 為直角三角形的形狀有兩類, 如上圖 o < 解法一 > 若 FPF = 90 9, PFF = 8 = 9 4 o o 9 9 若 FFP = 90 ( 或 FF P= 90 ), 則此時 PF = ( 或 PF = ) 則 PFF = 8 = 5 5 o < 解法二 > 若 FPF = 90, 由選項 () 的解法二知 PF PF = 8 PF F = 8 = 9 由圖形即可觀察出若 FFP = 90 o o ( 或 FF P= 90 ) PF F < 9 答案並非唯一值 9 [ 說明 ] 經由學科中心的修題老師提供了更詳盡的解法, 使得整個題目更加完備修題過的解法也讓筆者在往後教學, 講解此題時, 能對學生做更詳盡的解說範例參考試題 :9 年數學乙選填題第 D 題題目 : 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇天停止試題分析 : 供水若要求停水的兩天不相連, 則自來水公司共有多少種選擇方式? 答 : 5 種項目 P Ph Pl D 參考答案統計值 39% 65% 7% < 解法 > 7 天中選擇天停止供水 5 天供水且停水的兩天不相連顆紅球與 5 顆白球排成一列, 顆紅球中至少有一顆白球由 6 個選出個放紅球 6 C = 5 34

15 高中數學優良試題之研發 < 解法 > 窮舉法 [ 說明 ]. 爭議性 : 此題在當年考試後, 有老師與學生提出星期日與星期一是否為連續兩天, 對題目提出質疑, 學生無法判斷週日與週一為相連兩天, 實際上題目中在下週一至週日的 7 天中, 已明確告知只需考慮下週. 滿足題意的條件不多, 很容易選擇 < 解法 > 窮舉法為避免類似的爭議, 筆者改變情境, 重新命題新題某一班級在本學期中, 每週有四節藝能課, 包含兩節體育課, 一節音樂課與一節生活科技課根據學校排課原則 : () 兩節體育課不能排在同一天或相鄰的兩天 ; () 每班一天中最多只能有兩節藝能課請問 : 該班級從星期一至星期五的課表, 這四節藝能課的排課分布有多少種不同的方法 ( 只考慮此四節藝能課從星期一至星期五分布情形, 不考慮在每天的哪一節課 ) [ 解法 ] 節體育課排在不相鄰的兩天方法數有 C =6 ; 節音樂課與節生活科技課任意排在星期一至星期五課表的方法數有 5 5=5, 但因為每班一天中最多只能有節藝能課, 所以不可在已排有體育課的兩天將音樂課與生活科技課同時排入, 故全部的不同的排法 =6 (5-)=38 [ 解法 ] 分類討論四節藝能課的排課分布情形 : () 分布四天 : 節體育課排在不相鄰的兩天方法數有 C =6, 節音樂課 3 與節生活科技課任意排在剩下三天中的兩天的方法有 C C =6, 6 6=36 () 分布三天 : 節音樂課與節生活科技課中有一節與節體育課中的一 3 節在同一天, 6 C C C=7 ; 節音樂課與節生活科技課排在體育課外三天中的任一天,6 3=8 7+8=90 (3) 分布二天 : 節音樂課與節生活科技課各配節體育課 6 = 將 () () (3) 中各種方法數加總 = 範例 3 參考試題 :94 學年度北區第二次學測模擬考第 G 題題目 : 從一塊 8 8 的固定正方形棋盤 ( 每行, 每列各有 8 格 ) 上, 選取兩個方格, 使得這兩個方格不在同一行也不在同一列, 則選法有多少種? 35

16 麗山高中學報第三期 64 [ 解法 ] 在 64 格任取兩格的方法數 C () 8 8 兩格在同一行的方法數 C C () 8 8 兩格在同一行的方法數 C C (3) ()-()-(3)= C 64 8 (8 C) = 568 [ 解法 ] 在 64 格任取格後, 再由去除該格所在的那一行與那一列剩下的 49 格中任取格, 因所取兩格順序可交換故選法有 = 568 參考試題 :95 年度學測第題題目 : 在右圖的棋盤方格中, 隨機任意取兩個格子選出的兩個格子不在同行 ( 有無同列無所謂 ) 的機率為 () () (3) 3 (4) (5) 4 5 試題分析 : 項目 P Ph Pl D 參考答案統計值 40% 73% 9% [ 解法 ] [ 解法 ] C C C C C C 6 6 C = = 新題在下圖 5 5 的黑白相間的固定棋盤中, 隨機選取黑方格與白方格選出的黑方格與白方格不在同一行也不在同一列, 問選擇的方法有多少種? 36

17 高中數學優良試題之研發 [ 解法 ] 選取黑方格與白方格的方法數 =3 =56 3 選取的黑方格與白方格在同一行或同一列的選法 = C C = 6 棋盤的行數 = 棋盤的列數 =5 選擇的方法數 =56-(5+5) 6=96 [ 解法 ] 選取黑方格的方法數 3 種分為兩類 : () 同一行或同一列的黑方格數 =3 的有 9 格, 此時與選中的黑方格不在同一行也不在同一列之白方格數 =8, 故選法有 9 8=7 種 () 同一行或同一列的黑方格數 = 的有 4 格, 此時與選中的黑方格不在同一行也不在同一列之白方格數 =6, 故選法有 4 6=4 種將 () () 兩種情形的選法相加 7+4=96 範例 4 參考試題 : 大考中心 97 年研究試題 a a 題目 : 投擲一骰子 4 次, 將骰子出現的點數依序填入行列式中的 a3 a4 a a a a a 3 a4, 試問 : 使得行列式的值為奇數的 a a ( a a a 3 a 4 ) 有多少組? [ 解法 ]. 了解 a a aa 4 aa3 a a = 了解 () 奇數 - 偶數 = 奇數 aa 4 aa3= 奇數 - 偶數 () 偶數 - 奇數 = 奇數 aa 4 aa3= 偶數 - 奇數 3. 兩數皆為奇數則兩數乘積為奇數, 故 aa 4 aa3為奇數的方法各有 9 種 ; 兩數至少一為偶數則兩數乘積為偶數, 故 aa 4 aa3為偶數的方法各有 7 種 4. 全部的方法 = 9 7=486 參考試題 :97 年指考數學乙第 B 題 37

18 麗山高中學報第三期 a b 題目 : 從集合 a, b, c 為 0,, 或 3 中隨機抽取一個矩陣, 其行列式為 0 c 0 的機率等於 ( 化為最簡分數 ) [ 解法 ] 滿足條件的機率則為 7 6 新題投擲一骰子 3 次, 將骰子出現的點數依序填入行列式試問 : 使得行列式 a b c 的值為 0 的 ( a b, c, ) 有 4 組 a b c 中的 a b, c,, [ 解法 ], 經由列舉法可知有 4 組肆結論. 將大考試題經過試題解析過程, 了解每道題目的測驗目標再配合各單元的教學目標, 可以幫助教師修正或調整教學方式, 有助於提升教學功效大考的每道試題, 都是由數名教授經過長時間的構思與討論所得, 他們的命題原則, 當然是以學生日後學習大學課程所應具備的能力為出發點, 既然考試領導教學, 在台灣的教育制度是無法避免, 深入研究大考試題, 是有其必要性. 針對不同程度的學生, 提供不同的教材, 作適當的評量, 是每位教師的責任, 歷屆大考試題是一個資源豐富的資料庫, 每道試題在該年施測時, 無論成效如何? 只要經過適當的修題, 都可當成我們教學或評量的良好素材 3. 經由上述的範例說明, 希望能提供其他老師一些修題的經驗, 改變過去沿襲的觀念, 更改數字便是修改試題, 對於程度中等以上的學生, 只憑改變數字, 實際上仍無法確認是否完全理解學習中的數學概念所以, 擔任第一線教學工作的每位高中數學教師, 都有責任提升自我的命題能力 38

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式