目录 6 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 授课教师 : 张宇... 第一讲... 3 第二讲... 第三讲... 7 第四讲 极限 第五讲 导数及其应用 第六讲 一元函数积分学 第七讲 多元函数微分学 第八讲 二重积分... 9 附录 :

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1 新东方在线考研 6 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义 授课教师 : 张宇 欢迎使用新东方在线电子教材

2 目录 6 新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义... 授课教师 : 张宇... 第一讲... 3 第二讲... 第三讲... 7 第四讲 极限 第五讲 导数及其应用 第六讲 一元函数积分学 第七讲 多元函数微分学 第八讲 二重积分... 9 附录 : 课本该做习题... 94

3 第一讲. 难度偏大 (7 平稳 ). 知识基础 ( 手法新颖 ) 3. 计算量大 4. 覆盖面广 例 若积分 d b 收敛, 则 ( ) ( ) (A) 且 b (B) 且 b (C) 且 b (D) 且 b 如 : lim(... ) n n n n

4 n 再如 : lim (sin sin... nsin ) n n n n n 尺度 ( 牢记 ) p 时收敛 d p p 时发散 p 时收敛 d p p 时发散

5 例 设 lim, 则当 n 充分大时, 有 ( ) n n (A) n (B) n n n 二 7 年全年复习规划 三 考研数学复习四步曲. 读教材 f ( ) f ( ) lim f ( ) 又可令 f ( ) lim f ( ) f ( ) 上述两式等价 f ( ) f ( ) 注 当 时, 得 f ( ) lim, 称之为右导数 ;

6 f ( 当 时, 得 ) f ( ) f ( ) lim, 称之为左导数. 定理 : f ( ) 存在 f f ( ) ( ). 读辅导 ( 针对性 综合性 ) ( ) ( ) ( ) lim f 狗 f f 狗 狗

7 3. 做例题 例 设 f( ) 在 处连续, f (), 且 存在 lim h f( cos h) h 存在, 能否推出, f () 例 设 f( ) 在 处连续, f (), 且 存在 lim k f ( k sin k) k 存在, 能否推出 f ()

8 sin 例 : lim, 求 b 3 b [sin sin(sin )]sin 例 : lim 4 分析 有界量 无穷小 = 无穷小 反例 : 为有界量, 但 lim, 即 时, 极限不存在

9 巩固所学 4. 做习题 增长见识 习题 设 f( ) 在 处连续, 若 lim f ( ) f ( ) 存在, 能否推出, f () 存在. 习题 f( ) 能否推出, f () 存在., n,,... n n n

10 第二讲 考研数学三大命题类型 概念型 计算型 3 逻辑推理型一 概念型问题. 数列极限的定义 lim, N, 当 n N时, n n 注 n 专指, 仅此一种趋向方式,. 函数极限定义 n lim f ( ) A,, 当 时 f ( ) A 注 共有 6 种情形, 总结如下 : 3 4 X, X 5 X 6 X. 注解加深 3. 研究概念. 例题. 习题. 注解 : 函数 6种极限的趋向 是一种过程 数列 种

11 sin( sin ) 注例 求 lim sin th 若 lim f ( ) A( ), 则 ( ) f 在 中处处有定义. 例 习题 例 一下三个命题, 正确的个数为. (), ( ) lim ( ), 当 时, 恒有 f A e f A ; () (,), 正整数 N, 当 n N时, 恒有 lim ; (3) 正整数 N, 正整数 K, 当 时, 恒有 f ( ) lim f ( ) K N n n n 例 设 lim, 则当 n 充分大时, 有 ( ) 成立. n n

12 (B) (A) n (C) n (D) n n n n th 若 lim f ( ) A, 则 lim f ( ) A 存在 若 lim, 则 lim 存在 n n n n 习题 证明 : 若 lim f ( ) A( ), 则 M,, 当 时, 恒有 f ( ) M. 局部有界性定理 :,, 当 时, 恒有 ( ) f A

13 习题 证明 : 若 lim f ( ) A, 则, 当 局部保号 ( 序 ) 性 :,, 当 时, 恒有 ( ) 时, ( ) f. f A 二 : 计算型问题 以数列极限计算为例 n 例 : 求 lim n n ( ), n 夹逼准则 ( 两边夹准则 ): b 典型放缩法 : U U U U ( Ui,n 为有限数 ) 有 Um U U... Un num 对于 3... n U U U U (n 为 ) 有 numin U U... Un num 对于 3... n 注 : 除此之外的特殊放缩方法, 考研命题会给与提示, 设置第一问

14 例 : 求 n lim n 3 n 习题 lim n n n b c n, b c n n n n 例 3: lim(... ) n n n n n

15 n 例 4: lim(... ) n n n n n n n n n 例 5: lim (cos cos... ncos ) n n n n n n n n 3 n n 例 6: lim(... ) n n n 4 n 9 n n

16 例 7: 综合大题 给出数列 { n n }, 其通项表达式 n ( ), n,,3... n () 证明 s n... n n n n () 计算 n lim... ( ) n 3 n 若数列 { n } 数列 { n } 均收敛于 A, 证明 { n } 也收敛于 A.

17 第三讲 定理串讲 ( 逻辑推理型问题 ). 只涉及 f( ) 的定理 有界性定理 若 f( ) 在 [ b, ] 上连续, 则 k, 使 f ( ) k. 最值定理 若 f( ) 在 [ b, ] 上连续, 则 m f ( ) M, 其中 mm, 分别为 f( ) 在 [ b, ] 上的最小 最大值.

18 介值定理 若 f( ) 在 [ b, ] 上连续, 则 m M, 则 b,, 使 f ( ). 若 f( ) 在 [ b, ] 上连续, f ( ) f ( b), 则 f( ) 可取到 f( ) f() b 之间的任 一函数值. 例 设 f( ) 在 [, ] b 上连续, 则证明 b,, 使 b f ( ) d f ( )( b ) 积分中值定理 零点定理 若 f( ) 在 [ b, ] 上连续, ( ) ( ) 注 前 4 个定理只用不证 f f b, 则 b,, 使 f ( )

19 . 涉及 费马定理 若 f( ) 在 ' '' ( n) f ( ), f ( ), f ( ) 的定理 处可导, 取极值 f ' ( ) 罗尔定理 若 f( ) 满足以下三条 :)[ b, ] 上连续, )b, 可导 可推出 ( b, ), 使 f ' ( ) 3) f ( ) f ( b)

20 讲如何使用定理 例 设 f( ) 在 [,] 上连续,(,) 内可导, f (), 证明 (,) 使 f ' ( ) f( ) 例 设设 f( ) 在 [,] 上连续,(,) 内可导, 且 证明 (,), 使 f ( ) ( ) f( ) ' k () ( ), f k e f d k

21 讲 求导公逆用法 ' ' ' ( u v) u v uv 有如下典型命题方式 : 取 u f ( ), v, 令 F f F f f ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 故可证 f ' ( ) f( ) 取 u f ( ), v e, ' ' ' 令 F( ) f ( ) e F ( ) f ( ) e f ( ) e e f ( ) f ( ) 可证 f ' ( ) f( ) n 取 u f ( ), v e, n ' ' n n n ' 令 F( ) f ( ) e F ( ) f ( ) e f ( ) n e e f ( ) nf ( ) 可证 f ' ( ) nf ( ) 取 n u f ( ), v e, 令 n ' n ' n n ' F( ) f ( ) e F ( ) nf ( ) f ( ) e f ( ) e e f ( ) nf ( ) f ( ) 故可证 nf ' ( ) f ( ) ( ) 取 u f ( ), v e, 令 F f e F f e f e e f f ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ' ' 故可证 f f

22 拉格朗日中值定理 ' f 满足 : 在, b上连续, 在, b内可导, 则,b f 若 () 注 ' 当 f f b时 f f b f b 几何上 : ' f 3 证明此定理 f f b b 积分还原法 ) 讲欲证结论中的 改写为. ) 两边一起积分, 一般令 C=. 3) 移项, 使等式一端为, 则另一端即可作为辅助函数.

23 柯西中值定理若 g f, 满足在 ], [ b 连续, 在 b, 上可导, 且 ' g, 则,b, 使 ' ' g f g b g b f f. 注 当 g 时 ' f b f b f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' g f g b g f b f ( 这是错误的解法 ) 3( 正解 ) 积分还原法. : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' g f g b g f b f. 积分 : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' g g b g f b f f g g b g f b f f 3. 移项 : 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f F f g g b g 验证 ) ( ) ( b F F ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ )) ( ) ( )( ( ) ( g b f b g f g f b f g b g f F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( g b f b g f b F 由罗尔定理 ), (. ) ( ' b F

24 泰勒定理. 带拉格朗日余项的公式, 设 f () 在 的某区域内 此邻域在 有 n 阶函数, 则 ( b, ) 内 此区间 均有 f ( ) f ( f ''( )! ( ) n! f ( ) ( n )! ( n) ( n) n n ) f '( )( ) ( ) ( ) ( ) f f n ( ) n, 其中若 f ''() f () f ( ) f ( ) f () f '()( ) ( ) ( )! n! ( n)! b. 带佩亚诺余项的公式 则 ( n) ( n) n n 若 f () 在 处有 n 阶可导, 则 的一个邻域, 此邻域, 有 ( 麦克劳林公式 ) ( n) f ''( ) f ( ) n n f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) ( ) o(( ) )! n! 当 f ''() f 时 f ( ) f () f '()! 3! 3! sin ( ) ( ) n) () n! ( n n ( )

25 二. 使用定理. 求导公式逆用法 ( 见前 ). 积分还原法 例 证拉氏 例 证柯西

26 f 在 b 例 3 设 ( ), g( ), 上二阶可导, g ''( ), f ( ) f ( b) g( ) g( b). 证明 g ( ),, b,b, 使 f g ( ) ( ) f g ''( ) ''( ) 注 积分还原法., f ( ) g( ) f ''( ) g''( ) f ( ) g ''( ) f ''( ) g( ) f ( ) g ''( ) d f ''( ) g( ) d b. 积分, dg '( ) df '( ) f ( ) d g( ) d f ( ) dg '( ) g( ) df '( ) d d 其中, ( u v)' u ' v uv ' udv uv vdu c. f ( ) g'( ) g( ) f '( ) 令 F( ) f ( ) g '( ) g( ) f '( ) F ( ) F( b), g''( ), g( ) 由罗尔定理 ) f '( ) g'( ) f ( ) g''( ) g'( ) f '( ) g( ) f ''( )

27 ( n) 3. 欲证 f ( ) 一般有三种思路 : ( 证 为 f n) ( n) ( ) 的极值点且可导 用费马定理 F '( ), 即 f ( ) ( 对 f n) ( ) 用罗尔定理 3 用泰勒公式 例 设 '( ) f 在 b 证 : (, b), 使 f ''( )., 上可导, 且 f''( ) f''( b), 分析 : f ( n) ( n) ( n) f ( ) f ( ) ( ) lim 极限保号性 : lim f ( ) A f ( ), 中 故端点 b 不是 f '( ) 在 [, b] 上的最大值, 又由于 f '( ) 在 [ b, ] 上连续, 则 f '( ) 必有最大值, 故 f '( ) 的最大值点 (, b), 此最大值必为极大值, 由费马 f '( ) ', 即 f ''( ).

28 例 设 f ( ) 在 [ b, ] 上连续,(, b) 内二阶可导, 又连接 A(, f ( )), B( b, f ( b)) 的直线交曲线 y f () 于 C( c, f ( c)), c b, 证 (, b), 使 f ''( ). 例 3 若 () f 在, 证 (, ), 使 F '''( ). 3 上三阶可导, 且 f ( ) f (), 又, F( ) f ( )

29 4. 关于拉格朗日使用的思路 将 f 复杂化, 证等式 例 设 () f 在 b, 上连续, (, b) 内可导, 证 (, b), 使 f ( ) f '( ) ( b ) bf ( b) f ( ). 高阶不等式条件 低阶不等式 例 设 f ''( ), f (), 证, f ( ) f ( ) f ( ), ) 对 f () 在, ] 用拉氏 f ) f () f '( )( ) [ ( ) 对 f () 在 [, ] 用拉氏 f ( ) f ( ) f '( ) f ''( ) f '( ),, 故 f ) f ( ) f ( ) 又 即 f ) f ( ) f ( ). ( (

30 3 低阶不等条件 高阶不等式 例 设 f () 在 [, b] 上二阶可导, f ( ) f ( b) f ( c), c b, 证 (, b), 使 f ''( ). 4 f 具体化, b 具体不等式 例 设 b, 证 b b ln. b b

31 5. 关于柯西使用的思路 f ( b) f ( ) g( b) g( ) f g '( ) '( ) 例 设 f () 在 [, b] 上连续, (, b) 内可导, f '( ), 证, ( b, ), 使 b f '( ) e e f '( ) b e n.

32 引言 7 考研数学长线全程基础课 张宇 熟记基本概念 定理 公式 形成教学知识结构 目标 掌握基本数学思想方法 建立基础数学素养 培养基本数学计算能力 上课教材 ) 第一步 : 看表格, 读教材 带你学系列, 若自学 第二步 : 看表格, 做练习题带你学系列 第三步 : 研读经典例题选讲 ) 注 张宇老师带你学系列就是同济七版里课后习题答案和精选的例题讲解, 没有的同学, 有同济六版或者七版的课本即可, 后附每章带你学里的表格, 有需要的同学可以查看.

33 第四讲 极限 核心考点综述 ) 定义 ) 性质 3) 计算 4) 应用 一 定义. 函数极限,, 当 时, 有 f ( ) A lim f ( ) A. 数列极限 n n 为自然数, n, 省去 +, N, 当 n N 时, 有 lim 注 ) 趋向方式 6 种 :,,,,,, X, X X, X X, X ) f( ) 的趋向方式 f ( ) A,,,, f ( ) A f ( ), M,,, f ( ) M f ( ), M,,, f ( ) M f ( ), M,,, f ( ) M n n n

34 例 用定义证明 i. 4 lim ii. 3 3 lim 分析 用定义证明极限式通常用下面两种方法 : ) 反解不等式法 写出不等式 f ( ) A, 从中解出 或, 便可 求得 4 () 由定义,, 当 ( ) 时, 有, 故,, 当 ( ) 时 4 有, 证毕 再如 lim(3 )=8 3,, 当 3 时, 有 3 8 < 3 3 < 3 < 3 再如证 lim(5 ),, 当 时, 有 5 < 5 < ) 适当放缩, 再证明不等式 证 lim

35 3 3 (), X, 当 X时, 有 当 f ( ) A 较复杂, 不易解出, 时, 可考虑 f ( ) A g, g( ) g一定要简单, 从 g, g( )< 中解出, 即可 < < < >, X= ( +) 4 取, 证毕 3n 3 若改写为 lim n n 3n 3, N, 当 n N时, 有 < < < n ( n+) 4n n n>, 取 N=, 证毕 二 性质 ( 三大 ). 唯一性, 若 lim f ( ) A( ), 则 A 唯一. 若 lim ( ), 则 唯一. n n e 例 设 为常数, 且 I lim e rc tn 存在, 求 I. 分析 : e, e ( e ),rctn I : e, e ( e ),rctn I 由唯一性 I I, 即, I

36 e 注 lim 不存在, lim-rctn 不存在 ; e 常见 不存在 + 不存在 = 存在, 命题题型. 局部有界性 若 lim f ( ) A( ), 则 M>, 当 时, ( ) M f 证, 时, f ( ) A f ( ) f ( ) A+ A f ( ) A A 中学 : b b n n + A A M. M sin 用 如: f( ) 在 (,) 内有界吗? 分析 () 若是 f ( ) 是, b 的连续函数, 则 f ( ) 在, b 有界 () 考研中, 若 f ( ) 是, b 的连续函数, 且 lim f ( ), lim f ( ), 则 f ( ) 在, b 有界 sin( ) 例 f( )= ( )( ) 在 ( ) 区间有解 b A.(,) B.(,) C.(,) D.(,3) sin( ) sin( 3) sin( ) sin( ) 分析 lim ( ), lim ( ) ( )( ) ( ) 9 ( )( ) ( ) 4 3. 局部保号性 ( 保序性 ) 若 lim f ( ) A, 则当 时, f( ) 若 lim f ( ) A, 则当 时, f( ) 证,, f ( ) A A f ( ) A A A 3A 取, A f ( ) A, 若 A, f ( ) 3, 取 =, f ( )

37 f( ) 用 lim f ( ) f (), 且 lim 3, 则 是 ( ) cos A. 极大值点 B. 极小值点 C. 非极值点 D. 无法判断 f ( ) f ( ) 分析 f ( ), 又 f () lim f ( ) lim ( cos )= cos cos,,,,,, 三 计算 ( 使用工具. 洛必达法则 (694) ) 若 lim f ( ),lim g( ), )-- 七种未定式 ( 不定式 ) b) f( ), lim g ( ) f ( ) f '( ) 则 lim lim, 右 左 g( ) g '( ) 如 P97( 同济六版上册习题 3- 第 3 题 ) sin 3. 验证 lim 存在, 但洛必达对其束手无策 sin 分析 原式 =lim sin ( ) sin 再如 P97( 同济六版上册习题 3- 第 题 ) sin, 验证 lim 存在, 但洛必达对其束手无策 sin sin lim lim.

38 . 泰勒公式第一组 :,,, tn sin 例 lim,( ) ( 见根号差用有理化 ) sin tn sin tn ( cos ) 化简 =lim lim tn sin sin sin 注 计算之前先化简: ) 恒等变形 ( 有理化 加减乘除同一式子 提公因式等 ) b) 等价无穷小替换 c) 及时提出极限 的因式 例 cos e e lim,( ) 4 cos cos e ( e ) cos sin lim lim lim cos lim 6 例 3 lim ln ln( ) 分析 引例 : 求 lim ln,( ) 原式 lim lim lim ln ln ln ln lim lim lim 设置分母有原则, 简单因式才下放 简单 :, e 复杂 : ln, rcsin, rctn,

39 第二组 : ) 有分母, 则通分 例 cos lim( ),( ) sin sin cos sin lim lim sin cos 4 4 lim b) 没有分母, 创造分母, 再通分 例 lim e,( ), t t e e t lim lim t t t t t t lim t e t 第三组 :,, U V ( ) V ( )ln U ( ) ( ) e, e ln 令 t lim ln ln lim lim e e e ln ln ( )' ( e )' e (ln )

40 例 ln( ) lim ( ) ln( ) lim lim e e lim ( ) ( ) e e 例 4 tn lim cos sin 4 cos sin lim(tn ),( ) e e,( ) sec lim sin cos 4 = e 注 近年来, 数列极限的计算也是重点 limvln u v 公式 : limu e e ) 若 { n } 易于连续化, 转化为函数极限的计算即可 例 lim( n tn ) n 改成 ( 连续化 ) lim ( tn ), n n 解 记 为连续变量, 计算 lim ( tn ) 由 归结原则 : 若 f A lim vu ( ) lim ( ) 为连续变量, 则 lim f ( n) A(n 为自然数 ). n

41 ) 若 n 不易于连续化, 考虑夹逼准则和定积分定义 例 lim( ) n n n n n n n n n( n ) n( n ) n i n n n n n i n n i n 3) n f ( ) 由递推式 n n n 给出 TH 若 li n n 且有上界, 且有下界, m n 例 设 n n n,, ( ), n,,, 证明 n 收敛并求 lim 3 n n n

42 四 应用 --- 连续与间断. 原则 任何初等函数在其定义区间内连续, 故只需研究两类特殊的点 : 分段函数的分段点 ; 无定义点 ;( 必间断 ). 连续的定义 若 lim f ( ) f ( ), 则称 f( ) 在 处连续 ( 注 f f lim ( ) ( ) 是等价写法 ) 3. 间断的定义 设 f( ) 在 点的某去心邻域有定义, lim f ( ) lim f ( ) f ( ) ) 若 lim f ( ) lim f ( ), 称 为跳跃间断点 ) 若 lim f ( ) lim f ( ) f ( ), 称 为可去间断点 ) 与 ) 统称为第 类间断点 ) ) 至少一个不存在的条件下, 3) 若 lim f( ) 或 lim f( ), 称 为无穷间断点 4) 若 lim f( ) 或 lim f( ) 3) 4) 属于第 II 类间断点 为震荡不存在, 称 为震荡间断点

43 例 设 3 ln( ), rcsin f ( ) 6, e, sin 4? 时, 是 f( ) 的可去间断点. 作业 同济版高数上册习题 3- 第 4 题 ( ) 讨论 f( ) e e,,, 在 处的连续性.

44 第五讲 导数及其应用 核心考点概述. 定义. 计算 3. 应用 : 中值定理和几何应用一. 定义 ( 牛顿 ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim f '( ) lim f '( ) 注. 左右有别 : f '( ), 右导数 f '( ), 左导数 f '( ) f '( ) f '( ). t( 广义化 ) f ( t) f ( ) f '( ) lim t t 3. 定义法中 : 一静一动, 不可违反此原则 例 P55,( 同济版高数上册 - 第 题 ) 若 f( ) 为偶函数 f( ), f '() 存在 证明 : f '()., 分析 f '() 凡是研究 f '(), 首要考虑定义法. 注 若 f ( ) 是可导的偶函数, 则 f '( ) 是奇函数 若 f ( ) 是可导的奇函数, 则 f '( ) 是偶函数

45 例 P63.4( 同济版高数上册 - 第 4 题 ) 设 f( ) 满足 () f ( y) f ( ) f ( y),, y R ; () f ( ) g( ),lim g( ). 证明 : f '( ) 存在且 f '( ) f ( ) 例 3 设 f( ) 在 处连续, 且 lim f ( ) f ( ) 存在能否推出 f '() 存在. 二. 计算. 复合函数 例 y e,, 求 y '.

46 . 隐函数方法 : 在 F(, y) 两边同时对 求导, 只需注意 y y( ) ( 复合求导 ) 例 P68,3( 同济版高数上册 -4 第 3 题 ) 求由 y e y 所确定的隐函数的二阶导数 d y d. 3. 对数求导法 例 P69( 同济版高数上册 -4 第 4 题 ) y (3 ) 5 ( ) 4 对多项相乘 相除 开方 乘方得来的式子, 先取对数再求导, 称对数求导数. ln y ln( ) 4 ln(3 ) 5ln( ) y ' 4 5 y 3 y ' ( ) 4 (3 ) ( ) ( ) 3 4. 反函数求导 例 p65( 同济版高数上册 -3 第 4 题 ) d 从 dy 导出 y ' :

47 d y '' () ; 3 dy ( y ') 3 d 3( y '') y ' y ''' () ; 3 5 dy ( y ') 5. 参数方程求导 例 P7( 同济版高数上册 -4 第 9 题 ) 3 ln( t ) d y 求参数方程 所确定的函数的三阶导数. 3 y t rctn t d 6. 莱布尼斯公式 高阶导数 找规律用数学归纳法 展开式法 例 分析 y sin, 求 (5) y. ( n) ( n) ( n) ( u v) u v 莱布尼斯公式 nn ( ) ( uv) C u v u v nu v ' u v '' uv n ( n) k ( nk ) ( k ) ( n) ( n) ( n) ( n) n k 常用以下公式 ( 找规律, 用数学归纳法证得的 ):

48 ( ) (ln ),( e ) e ( n) n ( n) ( n) n (sin k) k sin( k n) ( n) n (cos k) k cos( k n) ( n) n (ln ) ( ), n ( n) n [ln( )] ( ), n ( n) n ( ) ( ) ( n )! ( n )! ( ) n! ( ) n 例 P67( 同济版高数上册 -3 第 题 ) 求 f ( )= ln( ) 在 处的 n 阶导数 ( n f ) (),( n 3). 三. 微分中值定理. 定理串讲 ) 涉及 f( ) 的定理 设 f( ) 在 b, 连续, 则 : []( 有界性定理 ) M, 使 f ( ) M, [, b].

49 []( 最值定理 ) m f ( ) M, 其中 M,m 分别为 f( ) 在 b, 上的最小 最大值. [3]( 介值定理 ) 当 mu M时, [ b, ]. 使 f( ) u. [4]( 零点定理 ) 当在 f ( ) f ( b) 时, (, b), 使 f ( ) ) 涉及 f '( ) 的定理 ( 主体定理 ) [5] 费马定理 ) 可导设 f( ) 在设 f ( ) 在 处 f '( ) ) 取极值 [6] 罗尔定理 ) b, 连续 设 f ( ) 满足以下三条 )(, b) 内可导, 则 (, b), 使 f '( ) 3) f ( ) f ( b) [7] 拉格朗日中值定理 ) b, 上连续 f ( ), '( ) ( b ) f ( 设 f 满足, 则 b, 使 f ) ) b, 内可导 b. f ( b) f ( ) 注 若 f ( ) f ( b), 则 f '( ) =. b [8] 柯西中值定理 ) b, 连续 f '( ) f ( b) f ( ) 设 f ( ), g( ) 满足 )(, b) 内可导, 则. g '( ) g( b) g( ) 3) g'( ) f '( ) f ( b) f ( ) 作业 证明若取 g( ), b [9] 泰勒定理 n 任何可导函数 f ( ) () 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式. n

50 设在点 的某区域内有 n 阶导数, 则 属于此区域, 必有 f ''( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) ( ) ( )! n! ( n)! ( n) ( n) n n () 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式 设 f ( ) 在点 处 n阶可导, 则, 必有 ( n) f ''( ) f ( ) n f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) ( ) ( )! n! 注 拉氏 -----用于证明 佩氏 -----用于计算当 时, 泰勒公式又成为麦克劳林公式. 也即 : ( n) f ( ) ( n) f ''() f () n f ( ) f () f '() ( n )!! n! n ( ) 微分中值定理有五大方面的使用 ( 一 ) 涉及 f( ) 的定理的使用 :( 有 最 介 零 ) 例 设 f( ) 在 b 分析 : f ( ) d 三部曲 : ) m f ( ) M( 直接写 ) ) m u M( 证 ) b, 上连续, 证明 是一个面积值, 即 3) f ( ) u,, b( 直接写 ) b n, b, 使 f ( ) d f ( )( b ) b f ( ) d f ( )= b f ( ) d b n

51 ( 二 ) 罗尔定理的使用 : f ( ) f ( b) f '( ). 引例 设 f ( ) 在 [,] 上连续,(,) 内可导, f (), 证明 (,), 使 f ( ) f '( ) F( ) f ( ) f '( ) 分析 如何寻找辅助函数 F ( ) 成为关键. 方法一 : 求导公式逆用法由 ( u v)' u' v uc ' 可得 ) 取 u f ( ), v, 记 F( ) f ( ) F '( ) f '( ) f ( ) ( )' f '( ) f ( ) 则可证 f '( ) f( ) ) 取 u f ( ), v e, 记 F( ) f ( ) e F '( ) f '( ) e f ( ) e e [ f '( ) f ( )] 则可证 e [ f '( ) f ( )] 3) 取 n n u f ( ), v e, 记 F( ) f ( ) e n n n F '( ) f '( ) e f ( ) e n e [ f '( ) nf ( )] 则可证 f '( ) nf ( ) 4) 取 u f v e F f e ( ) ( ) ( ),, 记 ( ) ( ) F f e f e e f f ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) [ '( ) ( ) '( )] 则可证 f '( ) f( ) '( )

52 例 设 k ( ) 在 [,] 上连续,(,) 内可导, 且 () ( ), f f k e f d k 证明 : (,), 使 f '( ) ( ) f( ) 三步 : 方法二 : 积分还原法. 将欲证结论中的 改成. 移项, 使等式一端为, 则另一端即为辅助函数 f ( b) f ( ) 例 证明拉格朗日中值定理 : f '( ) b f '( ) f ( b ) f ( ) 例 证明柯西中值定理 : g '( ) g( b) g( )

53 例 3 设 f ( ) g( ) 在 [,b] 上二阶可导,g"(), f ( ) f ( b) g( ) g( b) 证明 : ) g( ), (, b) ) f( ) f "( ) ( b, ), 使 g( ) g"( ) ( 三 ) 拉格朗日中值定理的使用 : f ( b) f ( ) f '( ), (, b) b. 将 f 复杂化 例 设 f ( ) 在 [, b] 上连续,(, b) 内可导, 证明 : (, b), 使 bf ( b) f ( ) f ( ) f '( ) ( b )

54 . 给高阶条件 低阶不等式 例 f ''( ), f (), 证明 :,, 有 f ( ) f ( ) f ( ) 设 3. 给低阶条件 高阶不等式 例 设 f ( ) 二阶可导, 且 f () f (), f () f ( ) d. 证明 : (,3), 使 f ''( ) 3 例 同济版高数总习题三第二题: 设在 [,] 上 f( ), 则 f (), f (), f() f() 或 f() f() 几个数的大小顺 序为 ( ) (A) f () f () f () f () (B) f () f () f () f () (C) f () f () f () f () (D) f () f () f () f ()

55 4. 具体化 f, 由 b 不等式 例 P93( 同济版高数上册 3- 第 题 ) b b 设 b. 证明 ln b b ( 四 ) 柯西中值定理的使用 : f '( ) f ( b) f ( ) g '( ) g( b) g( ) 例 设 f ( ) 在 [, b] 上连续,(, b) 内可导, f '( ), b f '( ) e e 证明 :, (, b), 使 f '( ) b e

56 自练 设 f ( ) 在 [, b] 上连续,(, b) 内可导, b, 证明 :, (, b), 使 f '( ) ( b) f '( ) ( 五 ) 高阶导数的证明问题 _ 欲证 ( n f ) ( ).. ( n 证 为 f ) ( ) 的极值点 费马 ( n 对 f -) ( ) 用罗尔 3. 泰勒展开式 例 设 f 在 [ b] 上可导, f f b 证明 b 使 f ' ' ( ), ( ) ( ), (, ), ' 例 f ( ) 在 [, b] 上连续,(, b) 内二阶可导, 又连接 A (, f ( ) ),B( b, f ( b) ) 两点的直线 交曲线 y f ( ) 于 C( c, f ( c)), c b 证明 (, b), 使 f ''

57 例 3 设 f( ) 在 [,] 上三阶可导, 且 f() f(), 又 证明 : (,), 使 f '''( ). F 3 ( ) f ( ), 自练 P35, 例 8 f f f F 3 ( ) 在 [,] 上任意阶可导, 且 ()=,F ( ) ( ) ( ), 证明 (,), 使 '''( ) 注 在区间 Ⅰ 上, 若 f ( )( n ) 阶可导, 则 ( n) ( n) f ( ) n f ( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) ( ) n! ( n)! 四 : 导数的几何应用. 极值与单调性 ) 极值定义 ( 广义的极值 ) 若 的某个邻域 使 的广义极大值点. 若 的某个邻域 使 n 该邻域, 都有 f ( ) f ( ) 为 f( ) 该邻域, 都有 f ( ) f ( ) 为 f( ) 的广义极小值点. ( 真正的极值 ) 若 的某个去心邻域, 使, 该区域, 均有

58 f ( ) f ( ) 为 f( ) 的真正极大值点. 若 的某个去心邻域, 使, 该区域, 都有 f ( ) f ( ) 为 f( ) 的真 正极小值点. 注 同样的, 有广义和真正的最值之分 : ) 广义最值 : I, I, 都有 f ( ) f ( ), 广义最大值点 设 I, I, 都有 f ( ) f ( ), 广义最小值点 设 ) 真正最值 : I, I 设 I, I 设,, 都有 f ( ) f ( ),, 都有 f ( ) f ( ), 真正最大值点, 真正最小值点 ) 单调性与极值的判别 ) 若 f '( ), I, 则 f( ) 在 I 上单调递增 b) 若 f '( ), I, 则 f( ) 在 I 上单调递减 c) 若 f( ) 在 处连续, 在 的某个去心邻域可导, 当, 时 f ', 当, 时 f ', 极小 则 当, 时 f ', 当, 时 f ', 极大 若 f 在, 与, 内不变号 不是极值 例 P.4( 同济 7 版高数上册 3-5 第 4 题 ) 设 f( ) 在 处 n 阶可导, 且 则 ()n 为奇数时 不时极值点 ()n 为偶数时 ( n) f ( ) ( n) f ( ) ( n) f '( ) f ''( ) f ( ), ( n f ) ( ) 极大 极小 注 教材中写: 设 f( ) 在 处 阶可导, f '( ),

59 f ''( ) 极小 f ''( ) f ''( ) 极大 此定理为上例中 n= 的特殊情形.. 拐点与凹凸性 ) 拐点定义连续曲线的凹弧与凸弧的分界点, 叫拐点. ) 凹凸性与拐点的判别, 设 f ( ) 在 处 阶可导, ) 若 f ''( ), I f ( ) 是凹的 ) 若 f ''( ), I f ( ) 是凸的 3) 若 f ( ) 在 点的左右邻域 f ''( ) 变号 (, f ( ) ) 为拐点 例 P39, 例 4, 设 y f ( ) 三阶导数连续, f '( ) f ''( ), f '''( ) (, f ( )) 为拐点. 证明

60 例 设 y y( ) 是 4 cos y y''' 5 y'' y' e 满足 y'() y ''() y '''() 的解, 讨论 时 y y( ) 的性态. 例 设 y 3 4 ( )( ) ( 3) ( 4), 则其某一个拐点为 ( ). A.(,) B (,) C.(3,) D.(4,) 3. 渐近线 ) 铅垂渐近线若 lim f( ), 则称 为 f( ) 的一条铅垂渐近线 或 ) 水平渐近线 若 lim f( ) A, 则称 y A为 f( ) 的一条水平渐近线 + 若 lim f( ) B, 则称 y B为 f( ) 的一条水平渐近线 - 3) 斜渐近线 若 lim[ f ( ) ( b)], + f ( ) b f ( ) 则 lim [ ] = lim (, 且 ), b lim [ f ( ) ] f( ) 若 lim, 且 lim [ f ( ) ] b, 则 y b 为一条斜渐近线 + +

61 例 曲线 y e rctn 的渐近线有 ( ( )( ) ) 条 分析 找渐近线, 按程序走 :. 找无定义点或定义区间的端点, 考察 lim y ( ) 是否等于, 若是, 则 为铅垂 ; 若不是, 则不是渐近线. 考查 lim y ( ) 是否等于常数, 若是, 则是水平渐近线, 若不是, 则转 3 y ( ) 3. 考查 lim, 且 lim[ y( ) ]? b( ), 则 y b 为斜渐近线 例 3 y 有 () 条渐近线. ( )

62 4. 最值 f '( ) 驻点, 是可疑点 若给出 [ b, ], 找出三类点 f '( ) 不 不可导点, 是可疑点, 端点 b, f ( ) f ( ) f ( ) f ( b) 取其最大者为 M, 最小为 m. 比较 注 若 ( b, ) 内, 端点考虑取极限即可. 例 P4, 例 5() 在 切线与坐标轴所围成的三角形面积最小. y 4 上的第一象限部分求一点 P, 过点 P 作切线, 使该

63 第六讲 一元函数积分学 核心考点 :. 定义. 计算 3. 应用 一. 定义. 不定积分 设 f( ) 定义在某区间 I 上, 若存在可导函数 F ( ) 使 F '( ) f ( ) 对 I 都成立, 则称 F ( ) 是 f( ) 在 I 上的一个原函数. I 使 F '( ) f ( ) 若 记 f ( ) d F( ) C.. 定积分 b, 则 F ( ) 不是 f( ) 在 I 上的原函数. b N L 公式 : f ( ) d F ( ) F ( b ) F ( ). 3. 变限积分 ( 属于定积分范畴 ) 给出求导公式 : b f ( t) dt f ( ) 证 f t dt ( ) ( ) ( ) f( ). f ( t) dt f ( ) '( ) f ( ) '( ).

64 例 证明 : 若 ( ) 其中, I. 分析 f 在 I 上连续, 则 F( ) f ( t) dt 在 I 上可导, 且 F '( ) f ( ). f ( ) d f ( t) dt C f ( t) dt f ( ) ( 前提 : 连续 ). 连续函数必有原函数, 例 证明: 含有跳跃间断点的函数 f( ) 没有原函数. 分析 反证法

65 4. 反常积分 若定积分 ( 常义积分 ) 推广 : b b, 有限 f ( ) d f ( ) 在, b有界 破坏 [ b, ] 有限性 ( 广义积分 ) 反常积分 破坏 f ( ) 在 [, b] 上的有界性. 无穷区间上的反常积分 () + b 若存在, 称收敛 f ( ) d lim f ( ) d b 若不存在, 称发散 b () f ( ) d lim f ( ) d c (3) + f ( ) d f ( ) d f ( ) d c 若 f ( ) d, f ( ) d 均收敛收敛 c 否则 发散 b c. 无界函数的反常积分若 lim f ( ), 称 为 f( ) 的瑕点 ) 若 b 是瑕点, 则 ) 若 是瑕点, 则 b b b f d 不 f ( ) d lim ( ) f ( ) d lim f ( ) d b 收敛 发散

66 b c b 3) 若 b, 均为瑕点, 则 f ( ) d f ( ) d f ( ) d c c b f ( ) d, f ( ) d 均收敛收敛 c 否则 发散 二. 计算 ( 凑微分法 换元法 分部积分法 有理函数积分法 ). 凑微分法 ) 基本积分公式

67 d C, k d C d ln C, d C,, ln k k d C k e d e C sin d e cos C, cos d sin C tn d ln cos C, cot d ln sin C sec d ln sec tn C, csc d ln csc cot C sec tn, csc cot d C d C sec tn d sec C, csc cot d csc C d rcsin C, d rctn C d rcsin C, d ln C d ln( ) C, d rctn C d ln( ) C, d ln C P69,(3), y ln y ln( ) 4ln 3 5ln 4 (3 ) 5 ( ) u ', u u u ' (ln u )' ( u )' (ln u)' u ( u') u' u, u u u ( ln( ))', ( )' ( ln )' ( ( ))', ( )

68 ) 常用凑微分公式 du du d( u), d( )] u u u du du d(rcsin u), d(rctn u) u u u '( ) u '( ) d d( ln u( ) ), d d( u( )) u ( ) u ( ) du du u u u sec d dtn cosu u cos du du u u u csc d d( cot ) cosu u sin cos udu (cos u sin u) du d(sin u cos u) d 例 ( ) 例 ( ) d 例 3 cos sin 3 d

69 例 4 sin cos 3 d 例 5 cos sin sin cos ( cos e ) d 分析 对于简单凑积分, 应以试探为主 ; 但对于复杂的凑积分, 可考虑如下方法 : 当被积函数可以写成 f ( ) g( ), 其中 f( ) 较复杂, 对于 f( ) 求导 ( 或对 f( ) 的主要部分求导 ) 一般会得到 g ( ) 的倍数 ( 常数倍或函数倍 ), 从而凑微分成功 ; 若求导后得不到 g ( ) 的倍数, 考虑分子分母同时乘以或除以相同因式, 用恒等变形来达到凑微分的 目的 理论 对于 F( ) d, F ( ) 越复杂 我们就越高兴 当 F( ) f ( ) g( ) 时, 且 df ( ) Ag( ) d F( ) d f ( ) df ( ) A

70 ln d ln ( ln ) 例 6. 换元法当从微分不成功时, 将 复杂 变 简单, 用换元法 ) 三角代换 - 当被积函数含有,, 可作如下代换 : sin,( ) tn,( ), t, t 令 t t 令 t t 令 sect 注 若被积函数含 b c, 要先化为 ( ) k, ( ) k, k ( ), 再作三角代换. 例 d ( ) 3 4 4

71 ) 倒代换 : 一般用在分子次数低, 分母次数高时, 特别地, t. d k. d k 3. d k k,,4 3) 整体复杂代换 : 复杂部分 t n b b b,, e c=( t, 根式代换 ) c d n m b, b 找 l, m n 的最小公倍数, 令 l b t, e t ( 指数代换 ) ln t ( 对数代换 ) rcsin, rctn t ( 反三角函数代换 ) 与 P ( ) 或 e 注 当 ln,rcsin,rctn, n 相乘时, 优先考分部积分法 例 9 d,

72 自练 9 d, 例 3 d ( ) 例 3 e e 3. 分部积分法 ( u v)' u ' v u v ' d( uv) vdu udv ( uv) vdu udv uv vdu udv udv uv vdu 此方法一般是在运算过程中

73 . 出现了不同类型函数的乘积. 且求 udv困难, 而求 vdu简单时 k () 被积函数为 P ( ) e, P ( )sin, P ( )cos, P ( ) u n n n n () 被积函数为 e sin b, e cos b, 选谁当 u都行. 选. (3) 被积函数为 P ( )ln, P ( ) rc sin ; P ( )rctn, ln, rcu n n n 的推广为 : 注 分部积分公式 udv uv vdu 选. ( n) ( n) ( n) ( n) n ( n) n ( n) uv d uv u ' v u '' v ( ) u v ( ) u vd 可用表格法记忆 例 ( 3 6) e d 例 e sin d

74 例 3 rctn d I rctn rctn 3 d d d rctn ln( ) C 例 4 e d e 解 令 e t e t ln( t ), d t dt t 故 I ( t ) ln( t ) t t ( t ) ( t ) t t ln( t ) 4 d t ln( t ) 4t 4 rctn t C ( t ) e 4 e 4 rctn e dt ln C dt 4. 有理函数积分法 (9- 数三 - ) P n ) 定义形如 d,( n m ) Q ) 方法先将 Q m 因式分解, 后将 3) 分解原则 Q 的一次因式 ( b) o m m 产生一项 的积分 P n Q m 拆开若干最简有理分式之和 A ( b) ;

75 Q 的 k 重一次因式 ( b o m 3 o m Q 的二次因式 ) k ( p q r) 产生 k 项 A A k ( b) ( b) k ( b) A B 产生一项 p q r ; A 4 o Q m 的 k 重次因式 ( p q r) k 产生 k 项 A B A B Ak Bk p q r ( p q r) ( p q r) 例 计算 4 6 d ( )( ) 分析 4 6 A B C ( )( ) ( ) 4 6 A( ) B( )( ) C( ) k 注 另外的方法: 在恒等式中以变量 的任何代入, 等号两边均应相等, 故给 以适当的值, 可得到关于 A B C 的更为简便的条件 如 : 在上式中, 令 9 9A A 3 令 3 C C 令 A B C B (4A B) ( 4 A B C) ( A B C) 4A B 4 A 由于是恒等式 4A B C 6 B, 也即 A B C C I d d ln C ( ) ( ) 注 另法 : 在恒等式中以变量 的任何值代入, 等号两边均应相等, 故给 以适当的

76 值, 可得到关于 A, B, C 的更为简便的条件. 例 d d 3 ( )( ) A B C ( )( ) A B C ( ) ( )( )...(*) 令 A A 令 AC C 比较 前的系数 A B B d d d ( )( ) C 4 ln ln( ) rctn 自练 3 t 3t dt ( t) ( t) 3 t 3t A B C D 解 ( t ) ( t ) t ( t ) t ( t ) 3 t 3 t A( t )( t ) B( t ) C( t ) ( t ) D( t ) 令 t 4 B B ; 令 t 4 D D ; 令 t A B C D A C

77 3 比较 t 前的系数 A C A C I ( ) dt t ( t ) t ( t ) ln t ln t C t t ln t C t b 例 3 d 的结果中不含对数函数, 则 b,? ( ) ( ) b A B C D 分析 ( ) ( ) ( ) A C C d Aln k, d ln( ) k b B( ) D( ) 令, b B D 为任意常数令, b B b BD 比较前系数 例 4 d 令 t ( ) ( ) 4, t t t t t d t dt t ( t ) ( t ) t 4t t I t dt 4 dt t ( t ) ( t )( t ) t rctn t ln C t 三 定积分的计算. 用好基本积分法

78 b ) N L公式 f ( ) d = F b ( 若 ) ( ) F b ( F ) ( ) ) 换元问题 b th 对定积分 f ( ) d, f( ) 连续, 若对 () t 有 ) ( ), ( ) b b) () t 在, b 上有定义 单值 单调且 '( t) 连续 则 f ( ) d f ( ( t)) '( t) dt 例 3 5 f( ) d t 解 令, d dt, t t 3 5 t 5 3 且在, 3 t 有定义, 单值, 单调, t t 连续 5 dt 3 I dt 5 t 3 t t t ln( t t ) ln( 3) ln 例 d t 3 解 令 sec t, d sect tn tdt, 3 t 4

79 3 在 t : 时, sect 有定义, 单值, 单调, 且 (sec t )' sect tnt 连续 3 4 sect tn tdt I tn t sectdt = ln sect tn t ln( 3) ln( ) t 例 3 设 f ( ) e dt, 求 解 4 f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( e ). 用好一些重要公式 例 计算 In sinn d 分析 n n n n sin ( cos ) sin ( cos ) (cos )( )sin I d n d n ( ) sin ( ) n n d n sin ( ) d n I n ( n ) In n I ( n ) I ( n ) I I I n 也即 n n n n n I d, I sin d, 于是 又 I n n n3, 偶 n n- ( 华氏公式 ) n n 3, 奇 n n 3 如 sin d, sin d 而对于 d t dt tdt n n n cos cos ( ) sin

80 例 3 4 ( ) d 令 sin t, 原式 cos cos cos t tdt tdt 4 b 例 3 f ( ) d, 令 b t, 原式 f ( b t) dt f ( b ) d b b 4 4 如计算 ln( tn ) d是否等于 ln( tn( )) d 4 tn = ln( ) d (ln ln( tn )) d ln ln( tn ) d tn 4 I ln I I ln 4 8 注 3. 注意反常积分的计算 例 计算, f( ) 奇 + f ( ) d, 但 lim f ( ) d f ( ), 偶 d d ( ) ( ) ( ), 取 sec t, sec 3 3 原式 t tn t dt cos tdt ( s in t ) d sin t sin t sin t 4 sec ttn t 注 在收敛的情况下, 通过换元法, 可能实现反常积分与定积分的相互转化 四 一元积分学的几何应用 ( 测度 ). 用积分表达和计算平面图形的面积 y y ( ), y y ( ),, b,( b) 所围成的平面图形的面积 ) 3 b ( ) ( ). S y y d

81 例 求椭圆 y 所围的面积 ( b, ) b b S 4 b d 4 d b 4 rcsin b b, 令 sin t, d cos tdt, d cost costdt cos tdt rcsin C ( t sin t) 例 求摆线 的第一拱与 轴所围面积 y ( cos t) t S yd t dt dt 4 ( cos ) 8 sin 令 t u 4 6 sin udu 3. 用积分表达和计算旋转体的体积 积为 ) y y( ) 与, b,( b) 及 轴所围图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体 b V y ( ) d ) y y( ) 与, b,( b) 及 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积为 b Vy y( ) d

82 例 设 y, y,, 3 围成的平面图形 A ; () 求 A 的面积 S ; 3 4 解 : S ( ) d, S ( ) d, S S S 3 3 () 求 A 绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积 方法一 : V ( y) dy 6 V V V V 7 ( y) dy 6 方法二 : V ( ) d V ( ) d 6 V V V 9 3. 用积分表达和计算函数的平均值 y ( ) 在 [ b, ] 上的平均值 y b y ( ) d b

83 第七讲 多元函数微分学 核心考点概述. 概念. 计算 3. 多元极值 最值 一 概念. 极限的存在性 --- 公说公有理, 婆说婆有理 lim f (, y) A yy () 第一种定义法 ( 专业数学 ) 设 f ( p) f (, y) 的定义域为 D, P (, y ) 是 D 的聚点.,, 当 P(, y) D U( P, ) 时, 均有 f (, y) A ; lim y y y lim f (, y) A yy () 第二种定义法 ( 高等数学 非数学专业 ) 若 f (, y ) 在 f (, y) 如 lim y y 的某去心邻域有定义, 且,, A, 则 lim f (, y) A yy y 不! y 注 这里排出了 (, y ) 邻域中的无意义点. o y 以任何方式趋向于 y, 均有,

84 搬一元函数 按此二中定义, 得出 lim( 考试中只考 lim( y y ( 第一种定义 ) y )sin y 不 ( 第二种定义 ) y )sin y 解题方法 对于 lim f (, y) 除了洛必达法则 单调有界准则 穷举法, 可照 y f( ) 求极限的方法, 如可用 : () 无穷小乘以有界变量等于无穷小 () 等价无穷小替换 (3) 夹逼准则 例 设 y f (, y) y,( y, ) (,) ( y )sin,(, y) (,), 求 lim f (, y) y y 解 lim f (, y) lim( y )sin y y y 例 lim y sin y 3 ( y ) 解 y 6 3, sin, y sin y ( y ) 6 3 y, y 例 3 设 f (, y) y, 求 lim f (, y) y, y 分析 例, 例 叫正面肯定 性 ; 例 3 叫反面否定 性. y () 取 y lim lim ; y y

85 y () 取 y lim lim ; y 5 5 y 违反了极限存在的唯一性 原极限 = 不. 例 4 lim y tn( y y ) y 分析 按第二种定义, 可推出原极限不存在, 按第一种定义, 排除 y = 这条路径. y y ( y )( y ) 原式 lim = lim y y y y. 连续性 若 lim f (, y) f (, y), 则称 f (, y ) 在 (, y ) 处连续. yy 注 若, 叫 不连续 也叫 间断 但多元函数在考研中不讨论间断类型. 回看例, lim f (, y) f (,) f (, y) 全平面上连续 y 3. 偏导数的存在性给出 z f (, y) z f (, y ) f (, y ) f '(, y ) lim (, y) z f (, y) f (, y ) f '(, y ) lim y y yy y y (, y) 4 y 例 设 f (, y) e, 求 f '(,), f '(,) 分析 严格按定义 : f f (,) f (,) e '(, ) lim lim lim 不 y f y 4 y 4 f (, y) f (,) e y y '(, ) lim lim lim lim y y y y y y y y

86 二 计算 ( 多元函数微分法 ). 链式求导规则设 z f ( u, v, w), u u( y), v v(, y), w w( ), 称 y, 叫自变量, u, v, w 叫中间变量, z 叫因变量. z z v z w 分叉写 v w 不分叉写 d. 对于高阶导数 z f( u, v, w), u u( y), v v(, y ), w, 无论 w( ) z 对谁求导, 也无论对 z 已经求了几次导, 求导之后的新函数仍具有与原函数 z 完全相同的复合结构. 3. 注意书写规范 ( 按考研来办 ) z 例 设 z f ( e cos y, y ), f 有二阶连续偏导数, 求 y 解 : 令 e cos y 为, y 为, 则 z f' e cos y f', z ( ) z y y y y 记 I, I= ( f' e cos y) ( f' ), ( f ' e cos y) ( f ' ) y y f ' ( e cos y) I e cos y f' y y ( f '' ( e sin y) f '' y) e cos y f ' e sin y ( f' ) f' I = ( f '' ( e sin y) f '' y) y y 注 f 二阶连续偏导 f '' f '' ( 合并 ) 三 应用 ---- 多元极值 最值. 理论依据 z f (, y)

87 一阶偏导数存在 ) 函数取极值的必要条件 : 设 z f (, y) 在点 (, y ) 处, 则 取极值 f '(, y ), f '(, y ). y 注 适用于三元及以上. f ''(, y) A f ' ) 函数取极值的充分条件 记 fy ''(, y) B, 则 P f y ' f yy ''(, y) C P, n B AC A 极小值点 A 极大值点 不是极值点 该法失效, 别谋他法 注 只适用于二元函数, 不适用于三元及以上. 例 设 z z(, y) z z(, y) 的极值. 是由 6y y yz z 8 (*) 所确定的, 求 分析 f ) 用必要条件求出可疑点, 即 f y '(, y) Pi 在 (*) 式两边同时对 y 求偏导 '(, y) ( 视 y 为常数 ) 6 y y z ' (**) z z z 令 6 y z yz y' z zy' (***) zy 6y 6 y z 9 9 3y P : y 3, P : y 3, z y z 3 z 3

88 P(9,3), z 3 ( 实际 : P( 9, 3), z 3 ) b) 用充分条件判别可疑点在 (**) 式两边分别同时对 y 求偏导 y z '' z ' z ' z z '' 6 z ' yzy " z ' z ' y z zy '' 在 (***) 式两边同时对 y 求偏导 z' z' y z'' z' z' z z'' y y yy y y yy z '' z', z' y, 由以上可推出 z '' z '' 将 y z 9 9 3, y 3 代入 3 z 3 y yy y z 3, y z y z A 6 A 6 B, B 5 5 C 3 C 3 B AC 36 P (9,3) 为极小值点, 且 z =3 为极小值 ; A B AC 36 P ( 9, 3) 为极大值点,z =-3 且为极大值 ; A

89 3) 条件极值 (, y, z) 提法 : 求目标函数 u f (, y, z) 在约束条件 下的极值 (, y, z) () 构造辅助函数 F(, y, z,, ) f (, y, z) (, y, z) (, y, z) () 得 F ', F ', F ', F ', F ' y z (3) 解方程组 P(, y, z ) u( P), 比较 取最大 最小者为最大 最小值 i i i i i 例 求函数 u yz 在约束条件,( y z ) 下的最小值 y z 解 () 构造 F(, y, z, ) yz ( ) y z F ' yz Fy ' z y () y z 3 Fz ' y z F ' y z 由实际, 必存在最小值, 故 Umin

90 第八讲 二重积分 核心考点 : 概念 计算一 概念. 概念比较. 由概念所引发的重要性质 对称性 () 普通对称性设 D 关于 y 轴对称, D f (, y) d, f (, y)= f (-, y) 若 f (, y) d D, 若 f (, y)=- f (-, y) 再如, D 关于 轴对称, D f (, y) d 再如, D 关于原点对称,, f (, y)= f (, y) D, f (, y)= f (, y)

91 D f (, y) d, f (, y)= f (, y) D, f (, y)= f (, y) 例 设 D 由 y 3, y, 围成, 则 I ( y cos sin y) d ( ) D A. B. D yd C. cos sin yd D. D ( y cos sin y) d D 其中 D 为 D 在第一象限的部分 分析 yd, cos sin yd cos sin yd D D D () 轮换对称性 ) ( 3 ) ( 3 ) y ddy y dyd y y D: D: b 回忆 : f ( ) d f ( y) dy b, 称为 积分值与用几何字母表示无关 如, 设 f( ) 是连续的恒正的函数, 证明 b b f ( ) d d ( b ), b f( ) 分析 常规解法: 作 F( ) f ( t) dt dt ( ) f() t 另解 :, 目标证明 ( ) f ( ) d f ( y) dy I f ( y) dy d f( ) b b b b D f( y) b b ddy ; 又 d dy f ( ) f ( ) f ( y) Fb

92 ) b b f( ) I f ( ) d dy ddy f ( y) f ( y) f ( y) f ( ) I ddy ddy f ( ) f ( y) D D I ( b ) y y D: D : ( 3 ) ( 3 ) y ddy y dyd 若将 D 中的 与 y 对调, 可推出 D 不变, 则 : f (, y) ddy f ( y, ) ddy, 此即为轮换对称性 D 例 计算 I D D f ( ) b f ( y) ddy f ( ) f ( y) D y y y (, ),,, ( ) 分析 先看 D, 与 y 对调, 可推出 D 不变! D f 连续, 恒正 故 I D f ( y) b f ( ) dyd f ( y) f ( ) ( b)( f ( y) f ( )) b I ddy ( b) I f ( y) f ( ) 4 8 D 二 计算. 直角坐标系下的计算 D d f (, y) d dy b y ( ) y ( ) d ( y) c ( y) f (, y) dy f (, y) d. X 型区域 ( 上下型 ) 后积先定限, 限内画直线, 先交下曲线, 后交上曲线 b. Y 型区域 ( 左右型 ) 由围成 例 计算 I y y d, D y,, y D

93 分析 I d ( ) y y dy d y d y 3 y 3 ( ) ( ),( sin, cos ) 3 y d d t d tdt 3 3 令 y 极坐标系下的计算 对于 D 是圆或圆的部分且 f 中含 一般用直角坐标系. y 这种类型的积分, 应考虑极坐标系. 除此之外, r ( ) d d rdr f (, y ) d d f ( r cos, r sin ) rdr D r ( ) 由 I y y ddy D y y D,,, 4 cos I d r cos sinr dr 例 y ( ) dy, D : y R, R,, b b D 分析 D : 与 y 对调, 推出 D 不变 y I ( ) ddy b R 3 I ( y )( ) d d r dr ( ) b b D 4 R R ( ) I ( ) 4 b 4 b 由于老师第六讲还没录, 因此, 第六讲的讲义只能给大家提供电子版的, 非常抱歉, 还望各位谅解. D

94 附录 : 课本该做习题 该表和同济七版的课本配套哦!! 第一章 : 函数与极限 章节教材内容考纲要求 映射 函数 复合函数及其分段函数的概念 函数的表示法 考研不做要求 理解 掌握 必做例题 必做习题. 映射与函数 函数的有界性 单调性 奇偶性 周期性, 反函数 初等函数的概念 了解 例 5- 习题 -: (3)(5)(7)(3), 3,4(),6(),,3 基本初等函数的性质及其图形 掌握 建立应用问题的函数关系 会. 数列的极限 数列极限的定义 收敛数列的性质 理解 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 难点 习题 -: ()(6)(8)

95 .3 函数的极限 单侧极限以及左 右极限与极限存在的关系 函数极限的性质 理解 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 难点 掌握 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 例 6 习题 -3: (),,3(),4.4 无穷小与无穷大 无穷小的概念 无穷大的概念 理解 理解 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 习题 -4: 4,6 无穷小的基本性质 理解.5 极限运算法则 极限的性质 极限的四则运算法则 掌握 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 掌握 例 -8 习题 -5: (3)(5)()(3),( ),3,4,5.6 极限存在准则两个重要极限 极限存在的两个准则 ( 夹逼准则 单调有界数列必有极限 ) 利用两个重要极限求极限的方法 掌握 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 掌握 重点 例 -4 习题 -6: (4)(6),,4 柯西审敛原理 考研不做要求.7 无穷小的比较 无穷小阶的定义及无穷小量的比较方法 一些重要的等价无穷小及其性质 掌握 重点 例 -5( 熟记例, 的结论 ) 习题 -7:,3,4(),5.8 函数的连续性与间断点 函数连续性的概念 函数间断点的分类与判别 理解 重点 会 重点 例 -5 习题 -8: 3(),4,5.9 连续函数的运算与初等函数的连续性. 闭区间上连续函数的 连续函数的和 差 积 商的连续性 反函数与复合函数的连续性 了解 ( 会利用连续性求极限 ) 例 例 -4 初等函数的连续性例 5-8 有界性与最大值最小值定理, 零点定理与介值定理 理解 重点 ( 会灵活应用这些定理 ) 习题 -9: 3(3)(5)(7)(8),4(4)( 5)(6)(7)(8),5,6 例 习题 -:,,3,4,5

96 性质一致连续性考研不做要求 总习题一 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题一 : 3,5,9()(4)(6)(7)(8 ),,,,3,4 第二章 : 导数与微分 章节教材内容考纲要求必做例题必做习题 导数的定义理解 重点 例 -6 导数的物理意义 了解 ( 数一 )( 数二 ) 了 引例. 导数概念 导数的几何意义 导数的经济意义 理解 ( 数一 )( 数二 ) 了解 ( 数三 ) 了解 ( 数三 ) 例 8,9, 引例 习题 -: 6,7,3,6(),7,8,9 单侧导数以及单侧可导与可导的关系 理解例 7 函数的可导性与连续性的关系 理解 重点 例,. 函数的求导法则 函数的和 差 积 商的求导法则 反函数的求导法则 掌握 掌握 例 -5 习题 -:(9),3(3),6(9)(),7(8),8(4),9,(),(4)(9)

97 复合函数的求导法则 基本求导法则与导数公式 掌握 重点 分段函数求导 会 重点.3 高阶导数 高阶导数的概念 简单函数的高阶导数 了解 重点 会 例 -8.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数, 相关变化率 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数导数 相关变化率 会 重点 会 重点 ( 数一数二 ) 考研不作要求 数学一 二做例 -9, 数学三做 -5 微分的定义 几何意义 掌握 ( 数一数二 ) 了解 ( 数三 ).5 函数的微分 基本初等函数的微分公式 微分运算法则 掌握 了解 例 -6 习题 -5:,3(3)(6),4(4)(6)(7) 微分在近似计算中的应用 考研不作要求

98 总习题二 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题二 :,3,6(),7,,(),3, 4 数三不用做,3 第三章 : 微分中值定理与导数的应用 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题 3. 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 理解 难点 了解 难点 习题 3-:-,4 3. 罗比达法则 罗比达法则的概念及其应用 会用 重点 例 - 习题 3-:(5)()()(5)(6),,3,4 3.3 泰勒公式 泰勒中值定理 会用 重 例 -3 习题 3-3:5,7,

99 麦克劳林展开式 点 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 用导数判断曲线的凹凸性, 求函数图形的拐点 掌握 重点 例 -5 会例 6- 习题 3-4: 3(6),4,5(3)(5),6,8,(5),(3),,3,4, 函数的极值与最大值与最小值 函数的极值及其求法 最大值最小值问题 掌握 重点 难点 掌握 重点 例, 例 3,4,6, 7 习题 3-5:(8),,3,4,5,6(3),8,9 3.6 函数图形的描绘 3.7 曲率 描绘函数图形 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 曲率中心的计算公式, 渐屈线与 会例 -3 习题 3-6:,4 考研不作要求 了解 ( 数一数二 ) 考研不作要求 例 -3 习题 3-7:,4,5

100 渐伸线 3.8 方程的近似解考研不作要求总习题一总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法总习题三 :,(),3,6,7,8,9,(4),(4),(3),3,8, 第四章 : 不定积分章节教材内容考纲要求必做例题必做习题 4. 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念理解例 -3,5-5 习题 4-:(),(5)(8)(3)(7)(9)()(5),5,7 基本积分表掌握 重点 不定积分的性质掌握 4. 换元积分法第一类换元法掌握 重点 例 - 习题 4-:(4)(6)()(5)(6)(7)(9)()(3)(3) (34)(36)(37) 第二类换元法例 - 4

101 4.3 分部积分法 分部积分法适用场合及形式 掌握 重点 例 -9 习题 4-3:,5,6,9,,7,8,,,4 4.4 有理函数的积分 有理函数的积分 可化为有理函数的积分 会 例 -3,5-8 习题 4-4:4,6,8,,,3 4.5 积分表的使用 考研不作要求 总习题四 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题四 :,,3,4()(5)(9)()()(4)(6)(9)()(5 )(33)(35) 第五章 : 定积分 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题 5. 定积分的概念与性质 定积分的定义与性质 掌握 ( 数一数二 ) 了解 ( 数三 ) 例 习题 5-:4(5),5,7(4), 函数可积的两个充分 理解 难点

102 条件定积分的近似计算考研不作要求 5. 微积分基本公式积分上限的函数及其导数理解 重点 习题 5-:3,5(),6,7,8(3)(8)()(),(),,3,4,5,6 牛顿 - 莱布尼兹公式掌握 重点 例 - 4, 例 6, 例 7, 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法与分部积分法掌握 重点 例 - 习题 5-3:(4)(7)()(8)(9)()(5)(6),,5,6,7( )()(3) 5.4 反常积分无穷限的反常积分了解概念, 会计算反常积分例 - 7 习题 5-4:(4)(8)(),,3,4 无界函数的反常积分 5.5 反常积分的审敛考研不作要求

103 法 总习题四 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题五 :()()(4)(5),,4(), 5(),6(),(7)(9)(),,3,4,5,8 第六章 : 定积分的应用 章节 6. 定积分的元素法 6. 定积分的几何学上的应用 教材内容 元素法 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 考纲要求 理解 会 会 ( 数一数二 ) 必做例题 例 -3 必做习题 习题 6-:()(4),(),4,5(),7,9,,,5()(3),6,9,,,8, 数三不做,8 6.3 定积分在物理学上的应用 用定积分求变力做功 水压力 引力 会 ( 数一数二 ) 例 -5 习题 6-3:5,

104 总习题六 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题六 :()()(4)(5),,4(), 5(),6(),(7)(9)(),,3,4,5,8 第七章 : 微分方程 章节 7. 微分方程的基础概念 7. 可分离变量的微分方程 7.3 齐次方程 教材内容 微分方程的阶 解 通解 初始条件和特解 可分离变量的微分方程的概念及其解法 一次齐次微分方程的形式及其解法 可化为一阶齐次微分方程的形式及其解法 考纲要求 必做例题 了解例, 必做习题 习题 7-:(3)(4),()(4),3(),4(3),5( ),7 掌握例 -4 习题 7-:(3)(4)(5)(7)(9),(3)(4) 掌握 重点 考研不作要求 例, 习题 7-3:()(5),()

105 7.4 一阶线性微分方程 7.5 可降阶的微分方程 7.6 高阶线性微分方程 7.7 常系数齐次线性微分方程 7.8 常系数非齐次线性微分方程 一阶线性微分方程的形式及其解法 伯努利方程的形式及其解法 用降阶法解微分方程 线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次线性微分方程 n 阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程中自由项为 : 多项式 指数函数 正弦函数 余 掌握 ( 熟计公式 ) 例,3 习题 7-4: (3)(5)(8)(),()(3),3,7(3) 会 ( 数一 ) 例 4 8(5) 会 ( 数一数二 ) 理解 ( 数一数二 ) 了解 ( 数三 ) 难点 例,3,5,6 会解 重点 例 -3 会 ( 数一数二 ) 会解 重点 ( 数三不要求和与积 ) 例 6-7 习题 7-5:(3)(4)(7),() 习题 7-6:(3)(6),3,4(),5 习题 7-7:()(4)(9);()(4), 数三不用做 (9) 例 -4 习题 7-8:()(4)(7)(9),()(4),6

106 弦函数以及它们的和与积 7.9 欧拉方程 欧拉方程的形式和通解 会 ( 数一数二 ) 习题 7-9:5,8 7. 常系数线性微分方程组解法举例 考研不作要求 总习题七 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题七 : ()()(4),,3(),4()()(7),5(3) (4),6,8 第八章 : 向量代数与空间解析几何 章节教材内容考纲要求必做例题必做习题 8. 向量及其线性运算 向量的概念空间直角坐标系 向量的线性运算 利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角 投影 理解 掌握 掌握 理解 例 -9 习题 8-: 3,5,9

107 8. 数量积向量积 * 混合积 数量积 向量积 混合积的概念 性质 运算规律 物理意义 两向量平行 垂直的充要条件 掌握了解 例 -5 习题 8-:,3,7,9, 曲面方程与空间曲线方程的概念 了解 8.3 平面及其方程 平面的点法式方程 一般方程 两平面的夹角, 两平面垂直 平行或重合的充要条件 掌握会 例 -7 P9 习题 8-3:,3,5,6,9 空间直线的一般方程 对称式方程 参数方程 掌握 8.4 空间直线及其方程 两直线的夹角, 两直线垂直 平行或重合的充要条件 直线与平面的夹角, 直线与平面垂直 平行的充要条件 会 例 -7 习题 8-4: 3,4,5,8,9,4 平面束 掌握 曲面研究的基本问题 了解 8.5 曲面及其方程 旋转曲面的概念, 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 柱面方程 会 例 -4 习题 8-5:,,7,()(4),(), 二次曲面方程及其图形 ( 锥面 椭球面 双曲面 抛物面 ) 了解

108 8.6 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 参数方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 了解 会 例 -5 习题 8-6: 3,4,5(),8 总习题八 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题八 :,,8,9,,3,4,5,6,9 第九章 : 多元函数微分法及其应用 章节教材内容考纲要求必做例题必做习题 9. 多元函数的基本概念 平面点集与 n 维空间 多元函数的概念, 二元函数的几何意义 多元函数的极限 多元函数的连续性以及有界闭区域上连续的多元函数具有的性质 考研不作要求 理解 ( 数一 ) 了解 ( 数二数三 ) 了解 ( 只要求二元函数且一致连续性不作要求 ) 例,5,7,8 习题 9-:5(3)( 4)( 6), 6(4)(5)(6), 7 (),8,9 9. 偏导数 偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数的计算 理解 ( 数一 ) 了解 ( 数二数三 ) 例 -8 掌握 重点 习题 9-: (3)(6)(8),4,5( 只有数学一做 ) 6(3),8, 9() 9.3 全微分 全微分的定义 全微分存在的必要条件和充分条件 理解 ( 数 一 ) 了 解 ( 数二数三 ) 例 -3 习 9-3:()(4),,3,5 了解

109 全微分在近似计算中的应用 考研不作要求 多元复合函数求导法则 ( 共 3 个定理 ) 掌握 重点 ( 只要求一 二阶偏导数 ) 例 多元复合函数的求导法则 全微分的形式不变性 了解 ( 仅数学一要求 ) 习题 9-4:,3,6,7,8(), 9,,,()(4) 例 6 求全微分 会 9.5 隐函数的求导公式 一个方程的情形 ( 定理,) 方程组的情形 ( 定理 3) 会例, 习题 9-5:,,5,7,8, 9.6 多元函数微分学的几何应用 一元向量值函数及其导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 考研不作要求 了解概念, 会求方程 ( 仅数学一要求 ) 例 -7 习题 9-6:6,7,,, 9.7 方向导数与梯度 方向导数 梯度 理解概念且会计算 ( 仅数学一要求 ) 例 -6 习题 9-7:,5,8, 9.8 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及最大值与最小值 多元函数极值点的必要条件 会 掌握 重点 例 -4 习题 9-8:,,4,5,8 多元函数极值点的充分条件 了解 重点

110 条件极值, 拉格朗日乘数法 会 重点 例 7,8 *9.9 二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式 极值充分条件的证明 了解 ( 仅数学一要求 ) 考研不作要求 例 习题 9-9: *9. 最小二乘法 最小二乘法 考研不作要求 总习题九 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题九 :,,4,5,6(), 8,9,,,6,8 第十章 : 重积分 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题. 二重积分的概念与性质 二重积分的概念 性质 理解 ( 数一 ) 了解 ( 数二数三 ) 习题 -:,4,5()(3),6(3)(4). 二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 利用极坐标计算二重积分 掌握 重点 ( 数学三还要求了解并会计算无界区域上较简单的 例 -3,5, 数学一还需要做 :4,6 习题 -: ()(4),()(3),4()(3),6()(4)(6), ()(4), ()(3), 3()(3), 4()(3), 5()(3), 数学一还需要做 :8,9,,8

111 反常二重积分 ).3 三重积分.4 重积分的应用 *.5 含参变量的积分 二重积分的换元法 三重积分的定义 利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分 利用重积分计算曲面的面积 质心 转动惯量 引力 含参变量的积分 考研不作要求 理解 ( 仅数学一要求 ) 会 重点 ( 仅数学一要求 ) 会 ( 仅数学一要求 ) 考研不作要求 习题 -3:(),4,5,7 例 -4 9()(), (),()()(3),(3) 例 -7 习题 -4:,,3,4(),5 7()(3),4

112 总习题十 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题十 :,(),3()(4),4()(3),5,7,9(), 数学一还需要做,,3 第十一章 : 曲线积分和曲面积分 ( 仅数学一要求 ) 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题. 对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念 性质 对弧长的曲线积分的计算方法 理解 会 例,3 习题 -:3(3)(4)(5)(8) 对坐标的曲线积分的概念 性质 理解. 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的计算方法 会 重点 例 -4 习题 -:3()(3)(7)(8),4()(3),7() 两类曲线积分之间的联系 了解 格林公式 掌握 重点 习题 -3:(),(),3,4,5.3 格林公式及其应用 平面上曲线积分 会 重点 例 -6 6()(),7()(3) 二元函数的全微分 会 8()(3)

113 求积 曲线积分的基本定理 考研不作要求.4 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念 性质 对面积的曲面积分的计算方法 了解 会 重点 例, 习题 -4:3,4()(),5(),6()(3) 对坐标的曲面积分的概念 性质 了解.5 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的计算方法 会 重点 例 -3 习题 -5:3()()(3),4()() 两类曲面积分之间的联系 了解 高斯公式 利用高斯公式计算曲面积分 掌握 重点.6 高斯公式 通量与散度的概念与计算 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 会 考研不作要求 ( 通量不作要求 ) 例, 习题 -6:()(3)(5),3()()

114 斯托克斯公式 了解 利用斯托克斯公式计算曲线积分 会.7 斯托克斯公式 * 环流量与旋度 空间曲线积分与路径无关的条件 考研不作要求 例,,4 习题 -7: ()(3)(4), 3(),4() 环流量与旋度的概念与计算 会 ( 环流量不作要求 ) 总习题十一 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题十一 :()(),,3()(3)(6),4()(3), 5,7,9 第十二章 : 无穷级数 ( 数学二不要求 ) 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题. 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 收敛级数的基本性质 级数收敛的必要条件 理解 ( 数一 ) 了解 ( 数三 ) 例, 掌握 ( 数一 ) 了解 ( 数三 ) 习题 -:,3(3)(5)

115 . 常数项级数的审敛法 等比级数 ( 几何级数 ) 收敛性的判别 柯西审敛原理 正项级数及其审敛法 ( 正项级数收敛的充要条件, 比较审敛法及其推论, 比较审敛法的极限形式, 比值审敛法, 根值审敛法, 极限审敛法 ) p 级数收敛性的判别 交错级数及其审敛法 ( 莱布尼茨定理 ) 绝对收敛与条件收敛 掌握 考研不作要求 掌握 掌握 理解 ( 数一 ) 了解 ( 数三 ) 例 - 习题 -: ()(4)(5), ()(3)(4), 3()(3), 4()(4)(5) 5()() 理解 5()(4)(5)

116 绝对收敛级数的性质 考研不作要求 函数项级数的概念 ( 收敛域, 和函数 ) 了解.3 幂级数 幂级数及其收敛性 ( 阿贝尔定理及其推论, 幂级数的收敛半径 ) 掌握 重点 例 -6 习题 -3: ()(3)(4) (6)(8) 幂级数的运算 ( 幂级数的和函数的性质 ) 了解 ( 乘或除不用看 ) 函数展开为泰勒级数的充要条件 了解.4 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数的步骤 理解 例 -6 习题 -4: ()(4)(6), 4,6 常见函数的麦克劳林展开式 掌握 ( 数一 ) 了解

117 利用麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开为幂级数 ( 数三 ).5 函数的幂级数展开式的应用 考研不作要求 *.6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 考研不作要求 三角级数 了解 ( 仅数学一要求 ) ()(),4 三角函数系的正交性 考研不作要求.7 傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数 ( 收敛定理, 狄利克雷充分条件 ) 了解 ( 仅数学一要求 ) 例 -6 6 正弦级数和余弦级数

118 .8 一般周期函数的傅里叶级数 周期为 l 的周期函数的傅里叶级数 傅里叶级数的复数形式 会 ( 仅数学一要求 ) 考研不作要求 例 - 习题 -8: ()(3),() 总习题四 总结归纳本章的基本概念 基本定理 基本公式 基本方法 总习题十二 :,,3(3)(5),5,6()(4),7(),8(3)(), (), 数学一再做 :,3 各位同学好, 讲义是老师全程手敲的, 如有问题, 包括学习的过程中遇到的问题,@ 考 研数学答疑 - 于老师私信我, 或者知识堂提问, 预祝各位复习顺利