高等数学（A）教学大纲

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靳窦安
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1 高等数学 ( 医学类 ) 教学大纲课程性质 : 基础课学分数 8 学时数 :( 4+1) 18 2=180, 其中 Ⅰ 一元函数微积分 :52+13 Ⅱ 线性代数与空间解析几何 :24+6 Ⅲ 多元函数微积分 :28+7 Ⅳ 常微分方程 :12+3 Ⅴ. 概率论与数理统计 :28+7 教学对象 : 医学类专业本科一年级学生与要求高等数学上 ( 医学类 ) 学分数 4 Ⅰ 一元函数微积分一极限与连续 ( 学时数 :12+3) 1. 函数函数概念 ; 函数的图像 ; 函数的性质 ; 复合函数 ; 反函数 ; 初等函数 2. 数列的极限无穷小量 ; 无穷小量的运算 ; 数列的极限 ; 收敛数列的性质 ; 单调有界数列 ; Cauchy 收敛准则 3. 函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 ; 极限的性质 ; 单侧极限 ; 无穷远处的极限 ; 曲线的渐近线 4. 连续函数函数在一点的连续性 ; 函数的间断点 ; 区间上的连续函数 ; 闭区间上连续函数的性质 ; 无穷小和无穷大的连续变量 1

2 教学要求 1. 理解函数函数的图像函数的奇偶性单调性周期性和有界性等概念及性质 2. 理解复合函数的概念, 了解反函数的概念 3. 掌握基本初等函数的性质及其图像, 了解初等函数的概念 4. 理解数列极限的概念 5. 掌握数列极限的性质及四则运算法则 6. 了解单调有界数列必有极限的准则, 了解数列极限的夹逼准则, 了解 Cauchy 收敛原理 7. 理解函数极限的概念 ( 含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极限 ) 8. 掌握函数极限的性质及四则运算法则, 掌握利用两个重要的极限求有关的极限 9. 会求曲线的水平垂直和斜渐近线 10. 理解无穷小和无穷大的概念, 掌握无穷小的比较法, 会用等价无穷小求极限 11. 理解函数连续性的概念, 会判断函数的间断性 12. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性, 了解闭区间上连续函数的性质, 了解这些性质的简单应用二微分与导数 ( 学时数 :20+5) 1. 微分与导数的概念微分的概念 ; 导数的概念 ; 导数的意义 ; 微分的几何意义 2. 求导运算初等函数的导数 ; 四则运算的求导法则 ; 复合函数求导的链式法则 ; 反函数求导法则 ; 对数求导法 ; 高阶导数 3. 微分运算基本初等函数的微分公式 ; 微分运算法则 ; 一阶微分的形式不变性 ; 隐函数求导法 ; 参数方程确定的函数求导 ; 微分的应用 : 近似计算误差估计 2

3 4. 微分学中值定理局部极值与 Fermat 定理 ;Rolle 定理 ; 微分学中值定理 ;Cauchy 中值定理 5.L'Hospital 法则 0 型的极限 ; 型的极限 ; 其它不定型的极限 0 6.Taylor 公式带 Peano 余项的 Taylor 公式 ; 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式 ;Machlaurin 公式 7. 函数的单调性和凸性函数的单调性 ; 函数的极值 ; 最大值和最小值 ; 函数的凸性 ; 曲线的拐点 ; 函数图象的描绘 8. 方程的近似求解教学要求 1. 理解微分和导数的概念关系和几何意义理解函数的可微性和连续性的关系 2. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则, 熟练掌握基本初等函数的求导公式掌握反函数求导方法, 隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法, 掌握对数求导法 3. 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数 4. 了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性, 会求函数的微分, 了解微分在近似计算和误差估计中的应用 5. 理解 Rolle 定理,Lagrange 微分学中值定理, 了解 Cauchy 中值定理 6. 掌握用 L'Hospital 法则求未定式极限的方法 7. 掌握带 Peano 余项和 Lagrange 余项的 Taylor 公式, 掌握 Maclaurin 公式 8. 理解函数极值的概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用 9. 了解用导数判断函数的凸性和拐点的方法 10. 了解根据函数的微分性质描绘函数图像的方法 11. 了解求方程近似解的 Newton 切线法三一元函数积分学 ( 学时数 :20+5) 3

4 1. 定积分的概念性质和微积分基本定理面积问题 ; 路程问题 ; 定积分的定义 ; 定积分的性质 ; 原函数 ; 微积分基本定理 2. 不定积分的计算不定积分 ; 基本不定积分表 ; 第一类换元积分法 ( 凑微分法 ); 第二类换元积分法 ; 分部积分法 ; 有理函数的积分 ; 某些无理函数的积分 ; 三角函数有理式的积分 3. 定积分的计算分部积分法 ; 换元积分法 ; 数值积分 : 梯形公式抛物线公式 (Simpson 公式 ) 4. 定积分的应用微元法 ; 面积问题 : 直角坐标下的区域极坐标下的区域 ; 已知平行截面面积求体积 ; 旋转体的体积 ; 曲线的弧长 5. 反常积分无穷限的反常积分 ; 比较判别法 ; 无界函数的反常积分 ;Cauchy 主值积分 ;Γ 函数 ;Β 函数教学要求 1. 理解定积分的概念意义和性质, 理解原函数的概念 2. 掌握微积分基本定理 3. 掌握不定积分的基本公式, 掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法, 掌握分部积分法 4. 会计算有理函数的积分某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分 5. 掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法 6. 了解数值积分的梯形公式和 Simpson 公式 7. 了解定积分应用的微元法, 掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量的方法 ( 包括平面图形的面积, 已知平行截面面积求体积, 旋转体的体积, 曲线的弧长 ) 8. 了解反常积分的概念, 掌握关于反常积分收敛性的比较判别法, 了解 Cauchy 主值积分, 会计算反常积分了解 Γ 函数和 Β 函数的概念及基本性质 4

5 Ⅱ 线性代数与空间解析几何初步四矩阵和线性方程组 ( 学时数 :20+5) 1. 向量与矩阵向量 ; 矩阵 ; 矩阵的运算 ; 分块矩阵的运算 2. 行列式 n 阶行列式的定义 ; 行列式的性质 3. 逆阵逆阵的定义 ; 用初等变换求逆阵 ;Cramer 法则 4. 线性方程组 Causs 消去法教学要求 1. 理解向量和矩阵的概念掌握矩阵的线性运算乘法转置共轭转置以及它们的运算规则, 了解分块矩阵的概念性质及运算 2. 理解 n 阶行列式的定义, 掌握行列式的性质, 并能利用这些性质计算行列式 3. 理解逆矩阵的概念, 掌握矩阵可逆的主要条件, 会用初等变换求逆阵, 会用伴随矩阵求矩阵的逆 4. 掌握 Cramer 法则 5. 了解 Gauss 消去法高等数学下 ( 医学类 ) 学分数 4 Ⅱ 线性代数与空间解析几何初步 ( 续 ) 五空间解析几何初步 ( 学时数 :4+1) 1. 内积外积和混合积的性质及运算 5

6 2. 直线和平面的各种常用方程 3. 点到平面直线的距离 4. 曲面方程的概念, 常用二次曲面的方程及其图形教学要求 1. 掌握向量的内积外积和混合积的概念性质及运算 2. 掌握常用平面方程和直线方程及其求法, 能根据平面和直线的相互关系解有关问题 3. 掌握点到平面直线的距离的计算方法 4. 理解曲面方程的概念, 了解常用二次曲面的方程及其图形 Ⅲ 多元函数微积分六多元函数微分学 ( 学时数 :12+3) 1. 多元函数的极限与连续 R n 中的点集 ; 多元函数的概念 ; 多元函数的连续性 ; 有界闭区域上连续函数的性质 2. 全微分与偏导数全微分 ; 偏导数 ; 偏导数与全微分的计算 ; 高阶偏导数 3. 链式求导法则多元函数求导的链式法则 ; 全微分的形式不变性 4. 隐函数微分法及其应用一元函数的隐函数存在定理 ; 多元函数的隐函数存在定理 5. 极值多元函数的无条件极值 ; 函数的最值 ; 最小二乘法 ; 条件极值教学要求 1. 了解 R n 中点的邻域内点开集区域等概念 2. 理解多元函数的概念, 理解二元函数的几何意义 3. 理解多元函数的极限及连续的概念, 了解有界闭区域上连续函数的性质 4. 理解多元函数的全微分和偏导数的概念, 掌握偏导数和全微分的计算法, 6

7 了解全微分在近似计算中的应和, 掌握高阶偏导数的计算 5. 掌握多元函数求导的链式法则, 了解全微分的形式不变性 6. 理解多元函数的极值与条件极值的概念, 掌握多元函数极值存在的必要条件和充分条件, 会用 Lagrange 乘数法求条件极值, 会求简单的多元函数的最大值和最小值问题的解七多元函数积分学 ( 学时数 :6+1) 1. 重积分的概念及其性质重积分概念的背景 ; 重积分的概念 ; 重积分的性质 2. 二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 ; 极坐标系下二重积分的计算教学要求 1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质 2. 掌握直角坐标系和极坐标下二重积分的计算八级数 ( 学时数 :10+3) 1. 数项级数级数的概念 ; 级数的基本性质 ; 级数的 Cauchy 收敛原理 ; 正项级数的比较判别法 ; 正项级数的 Cauchy 判别法与 d'alembert 判别法 ;Leibniz 级数 2. 幂级数函数项级数 ; 幂级数 ; 幂级数的收敛半径 ; 幂级数的性质 ;Taylor 级数与余项公式 ; 初等函数的 Taylor 展开 3.* Fourier 级数周期为 2 的函数的 Fourier 展开 ; 正弦级数和余弦级数教学要求 1. 理解数项级数收敛发散及收敛级数和的概念, 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件, 了解级数的 Cauchy 收敛原理 2. 掌握几何级数和 p 级数收敛与发散的条件 7

8 3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法,Cauchy 判别法和 d'alembert 判别法 4. 了解任意项数的绝对收敛与条件收敛的概念及关系, 掌握交错级数的 Leibniz 判别法 5. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 6. 掌握幂级数的收敛半径, 收敛区间的求法 7. 了解幂级数的连续性逐项微分和逐项积分等性质, 并能利用这些性质求一些幂级数的和函数与某些数项级数的和 8. 了解 Taylor 级数与余项公式, 掌握基本初级函数的 Taylor 展开 9.* 了解 Fourier 级数的概念, 会将定义在 [, ] 上的函数展开面 Fourier 级数, 会将定义于 [0, ] 上的函数展开成正弦级数或余弦级数 Ⅳ 常微分方程九常微分方程 ( 学时数 :12+3) 1. 常微分方程的概念 2. 一阶常微分方程变量可分离方程 ; 齐次方程 ; 线性方程 3. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 ; 线性微分方程的解的结构 ; 二阶常系数齐次方程的通解 ; 二阶常系数非齐次方程教学要求 1. 了解微分方程的阶通解初始条件及特解的概念 2. 掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法 3. 会解齐次方程 4. 理解线性微分方程的概念, 理解线性微分方程解的结构 5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 6. 会求自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解 7. 会用微分方程解决一些简单的应用问题 8

9 Ⅴ 概率论与数理统计十概率论 ( 学时数 :16+4) 1. 概率随机事件 ; 概率的概念 ; 古典概型的例 ; 几何概率的例 2. 条件概率全概率公式 Bayes 公式条件概率 ; 乘法公式 ; 全概率公式 ;Bayes 公式 ; 事件的独立性 ; 重复独立试验 3. 一维随机变量随机变量的概念 ; 离散型随机变量的分布 ; 连续型随机变量 4. 二维随机变量二维随机变量 ; 离散型二维随机变量 ; 连续型二维随机变量 ; 随机变量的相互独立性 ; 随机变量函数的分布 5. 随机变量的数字特征数学期望 ; 方差和标准差 ; 二元随机变量的数字特征 ; 随机变量的函数的数学期望 6. 大数定理和中心极限定理 Chebyshev 不等式与大数定律 ;Chebyshev 定理 ; 中心极限定理 ; 积分极限定理教学要求 1. 理解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 并掌握事件的关系及运算 2. 理解概率的概念, 掌握概率的基本性质 3. 会计算古典概型的概率, 会计算简单的几何概率 4. 理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法公式, 全概率公式和 Bayes 公式 5. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算 ; 理解独立重复试验的概念, 掌握计算有关事件概率的方法 6. 理解随机变量及其概率分布的概念, 掌握关于离散型随机变量的 0-1 分布, 二项分布, 超几何分布,Poisson 分布 ; 掌握关于连续型随机变量的均匀分布, 正态分布和指数分布 9

10 7. 理解二维随机变量及其联合分布的概念与性质, 离散型联合概率分布和条件分布 ; 连续型联合概率密度和条件密度 8. 理解随机变量独立性的概念, 掌握独立性的条件 9. 会求两个独立的随机变量的简单函数的分布 10. 理解随机变量的教学期望方差和标准差的概念, 会计算一些具体分布的数学特征, 掌握常用分布的数字特征 11. 了解二元随机变量数字特征的概念, 会根据二元随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望 12. 了解 Chebyshev 不等式与大数定律, 了解 Chebyshev 定理 13. 了解中心极限定理十一数理统计 ( 学时数 :12+3) 1. 数理统计的基本概念样本及其分布总体与样本 ; 直方图 ; 几个重要分布 ; 统计量 ; 统计量的分布 2. 参数估计点估计 ; 矩估计法 ; 极大似然估计法 ; 估计值好坏的标准 ; 区间估计 3. 假设检验两类错误 ; 正态总体均值与方差的假设检验 ; 总体分布的假设检验 4. 一元正态线性回归分析一元正态线性回归分析的数学模型 ; 未知参数的点估计, 估计量的分布 ; 未知参数的区间估计 ; 回归方程的显著性检验 ; 预测和控制教学要求 1. 理解总体与样本的概念, 理解统计量和统计量的分布的概念 2 2. 了解分布,t 分布和 F 分布的定义及性质 3. 理解参数的点估计的概念 4. 掌握矩估计法 ( 一阶二阶矩 ) 和极大似然估计法 5. 了解估计量的无偏性的概念, 了解判断估计值好坏的标准 6. 了解区间估计的概念, 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间, 会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间 10

11 7. 理解显著性检验的基本思想, 掌握假设检验的基本步骤, 了解假设检验可能产生的两类错误 8. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 9. 了解一元正态线性回归分析的数学模型, 理解未知参数的点估计方法和区间估计方法, 了解回归方程的显著性检验的方法, 了解利用回归模型作预测和控制的方法教学用书 : 金路童裕孙於崇华张万国编高等数学 ( 第四版 ) ( 上下 ), 高等教育出版社,2016 年 7 月 11

高等数学（A）教学大纲

高等数学（A）教学大纲高等数学 A 教学大纲课程性质 : 理科基础课学分数 :5+5 学时数 :(5+1) 18 2=(90+18) 2=216, 其中 Ⅰ 一元函数微积分 :70+15 Ⅱ 向量矩阵与空间解析几何 :20+3 Ⅲ 多元函数微积分 :80+10 Ⅳ 常微分方程 :16+2 教学对象 : 理科自然科学类和技术科学类本科一年级学生与要求高等数学 ( 上 ) 总学时 :90+18 Ⅰ 一元函数微积分一