理數 ()a 為實數,若 a 7 與 a 0 皆為有理數,則 a 為有理數. () 反例:取 a 7,則 a 7 7 為有理數,但 a 7 不為有理數. ()a b 時才成立. () 取 a,則 a a a 為有理數. () 若 a 0 時, a 為有理數.若 a 0 時, a (a 7 ) (a

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1 - 數與數線 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 a 7 7,則 a 在哪兩個連續整數之間? ()0 與 () 與 () 與 () 與 (5) 與 ,所以 a 在 與 之間. ( ). 下列何者正確? () () 兩個有理數之間必有一整 5 數 () 5 是實數,也是有理數 ()a, b 為實數,若 ab 0,則 a b 0 (5) 循環小數為有理數. () ( ) 7, ( ) 7 5, ( ) ( ). (), 之間無整數. () 5 是實數,但為無理數. () 設 a, b,則 a, b 為實數, ab 0. (5) 循環小數為有理數. ( ). 已知 ,若將 數字為 ()0 () () () (5) , 小數點下第 008 位為,故選(). 化為循環小數,則小數點下第 008 位 ( ). 已知 a b, a b,則下列選項何者錯誤? ()a b ()a b 0 ()a 5 b 5 80 (). a b a b, a b, a b (a b) ab, a b (a b) ab(a b) 0, a 5 b 5 (a b )(a b ) a b a b (a b) 6,, a b a b 故選 (). ( )5. 下列何者正確? () 設 a 為實數, a 7 為有理數,則 a 為有理數 () 若 a 0, b 0,則 a b ab a b () 設 a 為無理數,則 a a 亦為無

2 理數 ()a 為實數,若 a 7 與 a 0 皆為有理數,則 a 為有理數. () 反例:取 a 7,則 a 7 7 為有理數,但 a 7 不為有理數. ()a b 時才成立. () 取 a,則 a a a 為有理數. () 若 a 0 時, a 為有理數.若 a 0 時, a (a 7 ) (a 0 ) 為有理數. 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) a b ( ). 設 a, b 且 ab 0, p, q ab, r ab a b, ab s a b,則下 列敘述何者為真? () 若 a, b 同為正數,則 p r 恆成立 () 若 a, b 同 為正數,則 p q 恆成立 ()q r 恆成立 () 當 a, b 同為負數時, p s 可能成立 (5) 當 a, b 同為負數時,四數之大小關係為 q s p r. a b ab () ( a b) 0 ( a b) ab 0 (a b 0). a b a b () 設 a 0, b 0, ( a b) 0 a ab b 0 ab. () ( ) 0 ( ) 0 ab a b a b a b ab ab ( a b ) ( a b ) ab ab a b. (ab 0) a b ab () 若 p s,則 ( a b) ab a b 0 a b 0, 不 a b 成立. (5) 若 a b,則 p, r p r, 不成立. 故選 ()()(). bc ( ).a, b, c 為實數,若 a ca b ab 均為有理數,則下列何者必正確? ()a c 為有理數 ()a 為有理數 ()abc 為有理數 ()a bc 為有理數 (5) 又若已 知 a b 為有理數則 a b 也為有理數. () 設 a, b, c,即為反例. () 理由同 (). (5) 設 a, b,即為反例.

3 故選 ()(). ( ). 下列何者正確? () 0.9 () () () (5) 0. 為有理數. () 令 () () () (5) 令 0. t 0t. 0t t t. 0. t ( ). 下列何者為真? () 存在有兩個無理數,使得 a b 為無理數且 a b 為 有理數 () 若 a b, b c, c a 均為有理數,則 a, b, c 也必均為有 理數 () 有理數與無理數均具有稠密性 () 若 a, b, a b 均為無理數,則 a b 或 ab 必為無理數 (5) 設 a, b 是實數,且 ab 0,則 a b 0. () 舉例: a, b. ()(a b) (b c) (c a) (a b c) 為有理數, a b c 為有理數, (a b c) (a b) b c 為有理數, (b c) (b c) c 為有理數, c 為有理數,且 a, b 也為有理數. () 反例: a, b. (5) 反例: a, b. ( )5. 下列各敘述何者正確? () 設 a, b 為有理數,則 a b, ab 均為有理數 () 設 a b, a b 為有理數,則 a, b 均為有理數 () 若 a, b 為有理數, a b 5a b 且 a b,則 a b () 若 a, b 為有理數,且 a b,則 a b 5 6 (5) a 必為無理數. () 正確.有理數的封閉性. ( a b) ( a b) () 正確.因為 a, ( a b ) ( a b b ) 均為有理數的四則運 算. a a a b b b () 正確.因為 a b

4 5a b 9 () 錯誤.例如 a, b,則. 6 6 (5) 錯誤.若 a,則 a 為有理數. 答案為 ()()(). 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 化簡 5.( 分母不可含方根 ) 0 ( 5) ( 5) 5 ( ) ( 5) 0.. 設兩正數 a, b 滿足 a 9b 5,求 (a b) 之最大值為. 50 由柯西不等式得知 [(a) (b) ][ ] (a b) 5 (a b) 50 (a b). 另解: a 9b 5 5 由算幾不等式得知 a 9b 6ab ab, (a b) a ab 9b 設 a, b, c, d 均為實數,若 a b c d a b c d,則 a b c d 之 值為. 原式配方得 0 (a ) (b ) (c ) (d ) 0, (a ) (b ) (c ) (d ) 0 a b c d 0, a, b, c, d, 故 a b c d.. 若, y 為有理數,且 80 y 9 80,求(,y). (9, ) 80 y 9 80, 5 y 9 0, ( 5) y( 5 ),

5 ( ) 5 ( y ) y 5, y 9, y, y 9, y. 5. 已知 A(), B(), C(5) 為數線上三點, O 為原點,長方形 BCDE 中 BE BC,並依下列 步驟作圖: () 以 B 為圓心, BD 長為半徑,畫弧交數線於 F 點 () 以 OF 為直徑作半圓 () 過 A 點作 AH 垂直於數線,交半圓於 H. 若 AH 的長可以寫成 ( a b ),其中 a, b 皆為自然數,則 a b. H E D O A() B()C(5) F BC 且 BE BC, BD BF 5 OF 5, AF 5, 6. 已知 a b 5 ( 0 ) AH ( 5) ( 0 ), a b 0. b 是最簡分數, a 與 b 均為一位正整數, b 的倒數等於 9a,則分數 a b. 6 7 b 9 a b( b ) ( b )( b ) b 9a (b ) (b ), b 與 b 除以 的餘數必相同, (*) 因而 b 與 b 必同為 的倍數, ( 否則 (b )(b ) 就不可能為 9 的倍數 ) (b ) 可為 0,,6, b 可為,,7,代入 (*) 得 a 0( 不合 ),,6, a b ( 6 不合 ) 或 設 a, b, c 為 至 9 的正整數,若 abc 700,則(a,b,c)

6 (7,7,6) 原式 699 (00a 0 b c) a (00a 0b c) a 770, (00a 0b c) a 769, 取 a 7, b 7, c 若 7 之整數部分是 a,小數部分是 b,若 a b 之值為 p q r, p, q, r 皆為整數,則三元數組 (p,q,r) 之值為. (5,,) 7 7 ( ) a, b a b 5, (p,q,r) (5,,). 9.a 是正有理數, M 5 8 a 9 8 也是有理數,則 M. a 08 9 M a 9 8 a( 6 ) a a M a a ( a ) ( a), a a a a M, a 0 a a,故 5 M a 為一個二位正整數,若為有限小數,則 a 的最大值為. a a 為有限小數,又 , a 99 ( ), a 98 7 ( ), a 97 97( ), a 96 5 (),取 a 96..a,b,c 表 ABC 三邊之長,滿足 a b c ab bc ca 0.若 a b c 6,求 ABC 之面積為. a b c ab bc ca 0, (a b c ab bc ca) 0, a b c ab bc ca 0,

7 (a b) (b c) (c a) 0 a b c, ABC 為正三角形, ABC 面積 a.. a 7, b 7, c 6 55,則 a b c 之大小順序為. a<b<c a 7, b 7, c 5 7 7,, 5 a 6 b 6 c 6 0 a b c ab c.. a 7, b 6, c 5,比較 a, b, c 大小. c b a a 9, 9 8 b, c 9 0, 0 8, c b a, c b a ( a, b, c 均正 ).. 設 的小數部分為,則.,,, ( ) ( ) 所求 5. 若 a 是一位正整數且 5. 7a6 是有限小數,則 a. 8 7a6 7a6 為有限小數,則 7a6 且 7 7a a k, k a, 5,8(,8 不合, 7 7a6), a 有一個最簡分數,其分子與分母之和為 0,若將此分數化為小數,並將第三位小數 四捨五入得 0.5 一數,則此分數為. 7

8 設此最簡分數為 0 p p (p 為正整數, p 0, (p,0 p) ), 0 p 則 p 0 p 0.55p, p 左式 p.,右式 p., 7 p,此分數. 7. 有一個最簡分數,其分子與分母之和為 70,若將此分數化為小數,並將第二位小數 四捨五入得 0.6 一數,則此分數為. 7 設所求為 70 p p (p 為正整數, p 70, (p,70 p) ), 70 p 則 p 70 p 0.65 p, p 左式 p 5.,右式 p., p 5, 此分數可能為 或或 5 ( 後二者不合 ). 8. 設 之整數部分為 a,正小數部分為 b,則()a,(). a b a b ();() 原式 ( ) 9 6( ) ( ), a, b,. a b a b 9. 設 a, b, c 為正有理數,且 ( a ) a ( b ) b 5 0,則(a,b). (,) 原式可化為 ( a b ) ( a b 5) 0, 即 ( a b ) ( a b 5) 0, 6 a b 0, a b 5 0, a 0, b 0, a, b.

9 97 0. 若,將 化為小數,則小數點後第 009 位數字為 (009 ) 餘數為 0 小數點後第 009 位數字為 7. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 設 a, b, c, d 均為有理數. () 已知 是無理數,試證:若 a b c d,則 a c, b d. () 若 ( a )( b ) 6 5,則數對(a,b) 之值為何? () 見 ;() ( 6, ) 或 (, ) () a b c d, 得 ( a c) ( b d) 0, c a 假設 b d 0,則 是有理數 ( 矛盾 ), b d b d 0,代回原式得 a c 0 b d, a c( 得證 ). () 原式 (a b) ( ab ) 6 5 a b 6 ( ) ab 5 ( ) 由 ()a b 代入 () 得 ( b )b 9,即 b b 9 0, b, a 6 或 b, a.. 設 a b,其中 a 為正整數, 0 b,求 的值. a b b ( ),, a, b ( ),

10 ( ) ( ). a b b ( )( ). 比較 7 與 8 的大小 , , 表示 設 a 6 5 () 求 ( a ) 之值. () 若 a 介在連續整數 n 和 n 之間,求 n. a a ();()n () ( a ) a a a (6 5) (6 5) (6 5). 6 5 () 9 ( a ) 6 ( a ) a a,所以 n.

11 5. 展開下列各式: () ( a b). ()(a b c). 8 () a a b ab b ;()a 9b c 6ab 6bc ac 7 8 () ( a b) ( a) ( a) ( b) ( a)( b) ( b) 8 a ( a )( b) ( a)( b ) b a a b ab b. ()(a b c) a ( b) ( c) (a)( b) ( b)( c) ( c)(a) a 9b c 6ab 6bc ac. - 數線上的幾何 一 單選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 a, b 為實數,若 a b 之解為 5,則 a b ()6 () 0 () ()8 (5) 8. ( ) 5 5 ( ) 5,即, 同乘 8 得 a, b 8. ( a b ( ) 8 6) ( ). 請問滿足絕對值不等式 的實數 所形成的區間,其 長度為下列哪一個選項? () () () () (5)6. 分兩段討論如下: 當 時,原式為,得 6,即 6. 當 時,原式為 ( ),得,即. 綜合上述,得 6,此區間長度為 6. 故選 (). ( ). 滿足 0 的整數 共有幾個? () () () ()5 (5)6. 0( 當 0 時 ) 或 ( ) 0( 當 0 時 ), 9 或,, 0,, 5 或,,, 9.

12 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 關於實數, y, z 下列何者正確? () 若 y,則 y () 若 z yz,則 y () 若 y 0,則 y 0 () 若 y y 且 z z,則 y z y z (5) 若 且 y 5,則 y 0. 5 (),但. ()( )( ) ( )( ),但. 故選 ()()(5). ( ). 設 r s 是有理數, r s 且 m n 是正整數,則下列何者恆成立? r s r s r s r s () r s () r s r s r s nr ms () r s () r s. 5 5 m n A P B 且 AP : PB m : n, A(r), B(s), 則 nr ms ( ),故選()(). n A P B r m n s ( ). 設 a b, a, b 為實數,則下列何者正確? () a 0 () b 0 () a b 0 () b a 0 (5)a(a b) 0. 5 () a b 0 a 0. () b 0. () a b a b 0 a b 0. () 反例: a, b. (5) 當 a 0 時, a b b, a b 0, a(a b) 0. 當 a 0,由已知 0 b 0 不合. 當 a 0,已知 a b b, a b 0,即 a b 0, a(a b) 0. ( ). 設 a, b 為整數,若 a 0 b 且 a b 0,則下列何者正確? () a b () a b () a b ()b(a b) 0 (5)a b. a 0 b, a b 0 b a (()() 錯, () 對 ),

13 b a ((5) 錯 ). 7 ( )5. 試問下列敘述哪些為真? () 0.5 () 0 可以化成有限小 0 0 數 () 若 a, b 為正實數,且 a b 為有理數, a b 為無理數,則 a b 必為無理數 () 若 a, b 為實數,則 a b a b (5) 若 a, b 為實數且滿足 a b,則 a a b b () 0.5,正確 () 0.5 0,正確 ()a b (a b)(a b),則有理數乘以無理數在有理數非為 0 的情況 下,必為無理數, 正確 () 左式帄方: a b a a b b (5) 右式帄方: ( a b ) a 6 a b 9 b 得 0 a b 5 b 0, ( a + b ) a b, 又 a b 0, a b 0, 得 a b a b,正確 a b a b a a a a,成立, 6 6 a b a b b b b b,不成立 6 6 故選 ()()()(). 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ).() 已知 a b 為實數,若 a b 之解為 5或,求實數數對 ( ab, ). () ab,其中 a 為自然數, 0b,求 a 之值. ()(,);() () 5或 ( ab, ) (,). () ( ) 6

14 ...9 a.. 設, y 為實數,且, y,則 y 5 y y. 由,則 5, 由 y,則 y y, 0 0, y 5 5 0,y 0, 0, y ( ) 0, 所求 ( ) (y 5) (y ) ( ) ( y ) 5.. 設, y, z 為整數, y z,則 (,y,z) 有 組. 由係數大者依序討論: () z 時: y 0, y, 此時, y 有 解, z 有 解,共組成 解. () z 0 時: y, y 0 或, y 或 0, y 由 得 有 解, y 有 解, z 有 解,共組成 解, 由 得 有 解, y 有 解, z 有 解,共組成 解, 由 得 有 解, y 有 解, z 有 解,共組成 解, 由 ()() 共有 ( ) ( 解 ).. 設不等式 a 5 b 之解為 5,則實數對 (a,b). ( 5,0) 5 ( 同乘 5 ) 5 5 0, a 5, b 若 a b 的解為 8,則 ab. 由 8可得 a 0, b 6 ab 設 f () 50,則 f () 的最小值為.

15 65 在 5 或 6 時, f () 為最小, f (5) (0 ) 試求 7 6 的解為. 7 7 ( 7) ( 6), 7, 7 ( 7) ( 6) 0 0, 7, ( 7) ( 6), ( 不合 ), ( 7) ( 6) ( ), 7( 不合 ), 由 可知 設, y 為實數,若 ( ), y 7,且 y 的最大值為 M,最小值 為 m,則 (M,m). (9, 9) ( ), 7 7 y y y 0 0 y 6, 9 ( y) 9, M 9, m 若 a+ b 之解為 - 8,則數對 (a,b)=. (,) (a,b)=(,). 0. 設 為實數, f () 6 a,若 a 時 f () 有最小值,則 f () f (7) f () f (6). 9 f () 6 a 的最小值產生於,6, a 的中位數,依題意,6, a 的中位數是 a, a 6,所求 f () f (7) f () f (6) ( a ) ( 7 a ) (0 a ) ( 0 6 a ) 6 a a 7 a a 6 6 (a ) (7 a) (a ) (6 a) 9.. 若 a, b 是實數且 a b 的解是,則數對(a,b).

16 (,) 8 8 8( 同乘 ), ( ab, ) (,).. 設 為實數,且 5,則. 或 (I) 時:如圖 (), ( ) 5, (II) 時:如圖 (), ( ) ( ) 5, ( 不合 ). (III) 時:同 (II),無解 ( 試作圖對照 ). (IV) 時:同 (I), ( 注意: 就是 (I) 之 ).. 圖 () 圖 (). 若將區間 表示成 a b,則數對 (a b). (5,7) (ab) (57).. 設 為實數,且 k 無解,則 k 的最大值為. f () 的最小值為 f (), 原式表示: k 無解, 即 k 無解, k, k 的最大值為. 5. 滿足絕對值不等式 之 範圍是. ( 請用 的不等 式表示 ) 若,則,,

17 若,則 ( ),, 若,則 ( ), 無解, 由 可知. 6.A(), B(5),在數線上滿足 AP: BP : 的點 P 有 個,這 個點之間的距離為. 5 A P B P. P A 5 B P. ( ). 7. a, b,若 a b 之解為 9,試求 a b之值. 由 a, b ab 若 7, y 5,試求 y 的範圍. 5 y , 又 y 5, 5 y. 9. a b 的解為 5,求數對 ( ab, ). (,6) 由 5 6 ( ab, ) (,6). 0. 設 為實數,則 f () 的最小值為.

18 作下圖知, f () 的最小值產生於, 最小值 f () 0. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 設 為實數,且 5,則. 或 () 時, ( ) ( ) ( ) 5,得. () 時, ( ) ( ) ( ) 5,得 ( 不合 ). () 時, ( ) ( ) ( ) 5,得 5( 不合 ). () 時, ( ) ( ) ( ) 5,得 故 或...,計算下列有關 絕對值 的問題: () 若 a b 之解為 8,求 a b 之值. () 若 m n 之解為 8,求 m n 之值. () 若 p 5 q 之解為 7 或,求 p q 之值. ()a, b 5;() m, n 5 ;()p, q () , a, b () 8 ( 同乘 ) 5, m, n 5. () 7 或 5 或 5 5 ( 同乘 ) 5,

19 p, q.. 不等式,請問此不等式之實數解為何? 或 7 : 7. :. :. 故 或 7.. 為實數,求滿足 5, 的範圍. 5 5, 5 當 時, ( ) ( ) 5,不成立, 當 時, ( ) ( ) 5,, 5 當 時, ( ) ( ) 5, 5, 5 由 可知. 5. 解不等式 0.

20 或 當 時, ( ) ( ) 0 9, 當 時, ( ) ( ) ( 不 合 ), 當 時, ( ) ( ) 0 0, 或. - 多項式函數及其圖形 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 將 y ( ) 的圖形沿直線 y 向右移動 0 單位後,所得圖形的方程式為 ()y ( ) ()y ()y ( ) ()y. 沿 y 向右移動 0 單位,即向右帄移 單位且向上帄移 單位, 頂點 A(,0) 移到 A(0,), 所得圖形的方程式為 y. 斜率 0 ( ). 有關直線斜率的描述,下列哪些是正確的? () 坐標帄面上通過 P(7, 0), Q(8, 5) 兩點直線的斜率是 5 () 一次函數 y 的圖形是一 直線, 截距是 () 二元一次方程式 y 0 的圖形是一直線, 斜率是 () 坐標帄面上,每一條直線都有斜率 (5) 設 a 為實數, 且直線 a y 0 的斜率是,則這直線通過點 (, ). 5 0 () 斜率為 () 通過 (, 0), 截距為 () 正確

21 () 鉛直線無斜率 (5) 斜率為,則 a,將(, ) 代入 0,不通過(, ) 故選 (). ( ). 一次帄時考的考題希望學生畫出 y a b c 的圖形,結果阿文把係數 a 的 正負符號 看錯,在計算 列式與繪圖都沒有出錯的情形下,畫出的圖形如下.試問下列哪一個圖形最有可能是原來考題的正確答案? y () y () y O O O () y O () y (5) y O O a 正負符號看錯,且通過 (0, c),故選(). ( ). 設 是實數,則 5 5 的最小值為 () () ()5 ()7 (5). 令 y 5 5, 5 ( 5), () 5 或 0 時, y ( 5) 5 ( ), ()0 5 時, y ( 5) 5 ( ),圖形如下, y 的最小值 5. y (,) (5,0) (0,5) O (,)

22 ( )5. 設 a, b, c 皆為實數, y a b c 與 y bc ab 的圖形相交情形可能是下列哪一個圖形? () y () y () y O O O () y (5) y O O y a b c : a 決定開口方向,頂點之 坐標為 點為 (0, c), y bc ab : bc 為斜率, ab 為 y 軸截距, () 由 y a b b c 得知 a 0, c 0, 0 b 0, a 由 y bc ab 得知 bc 0, ab 0,矛盾,不成立 () 由 y a b b c 得知 a 0, c 0, 0 b 0, a 由 y bc ab 得知 bc 0, ab 0,矛盾,不成立 () 由 y a b b c 得知 a 0, c 0, 0 b 0, a 由 y bc ab 得知 bc 0, ab 0,成立 () 由 y a b b c 得知 a 0, c 0, 0 b 0, a 由 y bc ab 得知 bc 0, ab 0,矛盾,不成立 (5) 由 y a b c 得知 a 0, c 0, b 0, 由 y bc ab 得知 bc 0, ab 0,矛盾,不成立 故選 (). b a,與 y 軸之交 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 若二次函數 y f() a b c 之部分圖形如下,且圖形通過 (,0),則 ()a b 0 ()a b c 0 ()b ac 0 ()b 0 (5)a b.

23 y O 設 f() a b c a( t)( ) a a(t ) at b a(t ), c at, a 0, t 0 ()a b a a(t ) a at a a(t ) 0. ()a b c a a(t ) at a(t ) 0. ()b ac a (t ) a t a (t t t) a (t 5t ) a (t )(t ) 0. ()b a(t ) 0. (5) a 0, b 0, a b. ( ). 若函數 f () 符合條件 f ( ) f () 者,稱之為偶函數.請選出下列函 數是偶函數者? ()f () ()f () ()f () ( ) ( ) ( ( ) ) ()f () ( )( ) ( g )( ) (5)f 5 () ( ) g ( ),其中 g() 為 n 次多項 式. 5 ()f ( ) ( ) ( ) f () ()f ( ) f () ()f ( ) ( ) ( ) ( ) f () ()f ( ) [( ) ( ) ][ ] [( ) ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )( ) f () g( ) g( ) (5)f 5 ( ) f5( ) 故選 ()()()(5). ( ). 設 f() m (m ) (m ),若 0 時 f() 0 恆成立,則 () 圖形開口向上 () 圖形開口向下 ()m () m (5)m. (Ⅰ) 只有圖形開口向下時,才可能使 f() 0( 當 0 時 ) 恆成立 ( 試

24 作圖 ). (Ⅱ) 承 (Ⅰ), y f() 圖形的對稱軸 m 0必在 y 軸左側 ( m 0, m m 0),作下圖可知, f(0) 0 可使 f() 0( 當 0 時 ) 恆成立, m 0m. y O (0,m) = m m ( ). 設 f() a( ) 為一實係數多項式函數, a 為常數.下列敘述 何者正確? () 不論 a 是何值, f() 的函數圖形都不可能是直線 () 不論 a 是何值,若 f() 有極值,則極值都等於 a( 註:極大值與極小 值統稱極值 ) ()0 有可能是 f() 的極大值 () 若 a 0,則 f() 0 無重根. () :當 a, y f() ( ) 表一直線. () :若 a, y f() ( a) a,其極值為 a, 由 ()() 知, () 之結果正確. () :當 a 0, y 極小值為 0. () : a 0, y f() ( a) a 0, 令 D 0 a( a) a(-a) 0 ( a,由 ()), 無重根. ( )5. 下列有關二次函數的敘述,選出正確的選項: ()( 5,), (0,), 5 (,) 三點位在同一個二次函數的圖形上 () 將二次函數 y 的圖 形適當的帄移後,可以與函數 y 6 9 的圖形完全重疊 () 二次函數 y ( )( ) 的圖形與 軸交於 (,0) 與 (,0) 兩點 () 二次函數 y 的圖形與 軸不相交 (5) 對任意實數, 的值恆為正數 () 因為 ( 5,), (0,), (,) 三點共線,且二次函數的圖形為拋物線, 所以此選項錯誤. () 因為兩拋物線 y 與 y 6 9 的開口大小不同,所以不可 能經過帄移而完全重疊.

25 () 將 y 0 代入 y ( )( ),得 0 ( )( ) ( )( ) 0.解得 或.故 y ( )( ) 的圖形與 軸交於 (,0) 與 (,0) 兩點. () 因為判別式 D ( ) 8 0,所以圖形與 軸交於相異兩點. (5) 因為 a 0,且 D ( ) < 0,所以 的值恆為正數.故選項 ()(5) 正確. 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 方程式 ( )( ) k,若有三實根 ( 含重根 ),則 k 之範圍為. k ( )( ) k,先作 y ( )( ) 之圖形, 若 0,則 y ( )( ) 9 ( ), 若 0,則 y ( )( ) ( ), y k 為水帄直線,由圖可知,, y O (0, ) 當 k 時,圖形有三個交點,即 ( )( ) k 有三相異實根, 而當 k 時, ( )( ) k 有三實根 ( 含重根 ), k.. 將 : y 之圖形沿著直線 y 向左下方移動 k(k 0) 單位後得一新圖形,設 之頂點為 C,與 軸交於兩點 A, B,且 ABC 的面積為 8,則 k. 令頂點向左移 h,向下移 h,其中 h 0, h k 即 : y ( h) h

26 A( h h,0), B( h h,0), C( h, h) ABC h h 8 h 故 k h. y y= ' y= A B O C( h, h). 設 f () ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) ( 7),如果 f () 在 a 時,取得最小值 b,則數對 (a,b). (.5,5.5) 令 f () ( a ) ( a ) ( a ) ( a n ), a a a an 當 時, f () 有最小值, n 當 時,有最小值 f (.5), a.5,且 b f (.5) [(.5) (.5) ( 5.5) ] 沈醫師認為身高 H( 公尺 ) 的人,其理想體重 W( 公斤 ),應符合公式 W H ( 公斤 ).一般而言,體重在理想體重 0% 範圍內,稱為標準體重;超過 0% 但不超過 0% 者,稱為微胖;超過 0% 者,稱為肥胖.微胖及肥胖都是過重的 現象.對身高 H,體重 W 的人,體重過重的充要條件為 W ch dh e,則 (c,d,e). (.,0,0) 由題意 W H ( 0%) H.H.H 故 (c,d,e) (.,0,0). 5. 設 a, b,若 f () a( )( 9) a a 6a b 有最小值 7, 且 f ( ) 6,則數對 (a, b). (, 5) 令 t,則 t ( ) ( ), 原式為 a(t )(t 9) at 6a b a(t t 8) at 6a b at 9at a b 9 8 a( t ) a b a,但 t,

27 t 時,有最小值為 a 9a a b a b 7 f ( ) a b 6 得 8a a,代入 得 b 5, (a, b) (, 5). 6. 二次函數拋物線 之方程式 y ( ),將 依水帄方向右移,第一次會先碰到點 (, ),當碰到(, ) 時,立刻將 翻轉使其開口向下,而頂點保持不變,則此時新拋物線的方程式為. y 已知 (, ) 在原 Γ 上,故 Γ 向右移了一單位會碰到 (, ),故新方程式 Γ 為 y [( ) ] ( ),再將 Γ 翻轉向下得 Γ 為 y ( ) y. 7. 將 y a 的圖形向右帄移 單位,再向下帄移 單位後恰與 y b c 5 的圖形重合,則 a b c. 圖形帄移後之方程式為 y ( ) ( ) a,即 y (a 6), b 與 y b c 5 比較係數得 c 0, a 6 5 a b c 若二次函數 y a ( a) 的圖形恆在直線 y a 圖形的上方,則實數 a 的範圍為. 0 a 9 a ( a) a a (5 a) 0, 判別式 ( a) (5 a) 0 9a 8a (9a 0)( a ) 0 a 已知 y a b c 圖形與 y 軸交於 A(0,),且當 時有最大值,則序組 (a,b,c). (,8,) 令 f () a b c (),在 時有最大值, f () a( ) a a a (),且 a 0 (), 圖形經過 A(0,), f (0) ( 由 ())c, f () a b (),再比較 (),() 得 a 且 a b, a, b 8.

28 0. 二次函數 y a b c 如圖,請問 a, b, c, b ac, a b c, a b c, a b c, 6a b c 八個數中有 個是正數. y O y a b ac b b c a ( ), a a 開口向下, a 0. 0 時,交 y 軸於正向, c 0. b ac b 頂點 V (, ) 在第一象限且 a 0, b 0. a a 與 軸交 點, b ac 0. f () a b c 0. f ( ) a b c 0. f ( ) a b c 0. f () 6a b c 0.故有 個正數. y V O. 設 f () (.) (.) (.) (.) (.5) (.5) (.6) (.7) (.8) (.9),則當 a 時, f () 有最小值 b,則數對 (a,b). (,5.) 值 f (), 時, f () 有最小 0 a,且 b f () [(0.9) (0.8) (0.7) (0.6) (0.5) ] 5... ABC 中, A(,5), B(, ),若過 A 的高與過 C 的中線交於點 P (,),則 C

29 坐標為. (,) A(,5) D P(,) C(a,b) B(, ) 5 如圖,令 C( a, b ),因 AB 的中點 D(, ) (,) b m m PC PD ( ) a 5 b ( ) m m AP BC ( ) a ( ) b a a b b a C (,).. 設二次函數 f () a b c 的圖形交 軸於 A, B 二點,與 y 軸交於 C 點 ( 如 圖 ).若 AC 0, BC 5, AC 垂直於 BC,則實數序對(a, b, c). y C A O B 7 (,,) OC 為直角 ABC 斜邊上的高,又 AB AC BC 0 5 5, AC BC 05 OC C(0, ) c, AB 5 則 OA 6, OB 9 A( 6, 0), B(9, 0),即 a b c 0 的兩根為 6,9,

30 b ( 6) 9 7 a a c 7 ( 6) 9 b a 7 (a, b, c) (,,).. 已知,若方程式 k 有四個相異實根,則 k 之範圍為. 5 k y k y 若 0 或 y ( ) 5 若 0 y ( ) 5 5 k. (, ) O y (, 5) (,) y= y= 5 5. 設 y 與 y 兩圖形交於 A, B 兩點,則 AB 之長為. 0 y 代入 y 6 0, 設兩交點為 A(, y ), B(, y ),則 6, ( ) 0, y y ( ) (y y ) 9( ) 80, AB ( ) ( y y ) f () ( )( ) ( ) 的最小值 令 t ( ) 原式 (t )(t ) (t ) t 8t 0 (t ) 當 t 時,有最小值 ( ) 設一拋物線 y a b,其中 a, b 皆為實數,若通過 (,) 且頂點在直線 L :

31 y 0 上,則數對 (a,b). (,5) 或 ( 6,) 頂點 V 在 y 0 線上, 設 V(t,t ), y a b 可表為 y ( t) (t ) (*), 又拋物線通過點 (,), ( t) (t ), t 5t 6 0, t 或 代入 (*), 得 y ( ) 或 y ( ), y 5 或 y 6, 故數對 (a,b) (,5) 或 ( 6,). 8. 設 k 為實數,若不論 為任意實數,二次式 k 的值恆小於,求 k 的 範圍為. k k k 0, k 0 且 k ( ) 0 k. 9. 員工消費合作社一只成本 0 元的紀念保溫杯,如果定價 00 元,每週可賣 00 只,若每只價錢每上漲 ( 下跌 )0 元,則每週少賣 ( 多賣 )50 只,試問: 每只保溫杯的定價應為 元,才可有最大利潤. 90 設定價為 (00 0) 元,銷售量為 (00 50) 只,則利潤為 (00 0)(00 50) 0(00 50) ( ) 500, 時有最大利潤 500 元,此時定價為 元. 0. 在只有皮尺沒有梯子的情形下,想要測出一拋物線形拱門的高度.已知此拋 物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸.現甲 乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺,且距底部 公尺高處其寬為 5 公尺.利用這些數據可推算出拱門的高度 為 公尺. ( 化成最簡分數 ) 5 如圖,建立直角坐標系,則拋物線方程式可設為 Γ : c(y k), 由題意知 Γ 通過 (,0), ( 5, ) 兩點, 9 c( k) () 代入方程式得 5 c( k) ()

32 () 6 由得 () 5 k,所以 k k y (0,k) 5,故拱門的高度為 5 公尺. 5, (,0) O 5, (,0) 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 設二次多項式 f() 有一次因式,而且 (f()) f() 的一次項係數與常數項皆 為 0. () 求 f(). () 在 的範圍內,求二次函數 y f() 的最大值與最小值. ()f() ;() 最大值,最小值 5 () 設 f() a b c, a 0,則 (f()) f() (a b c) (a b c) a ab (ac b ) bc c a b c a ab (ac b a) (bc b) (c c). 由題意及因式定理可列得 f () a b c 0 bc b 0 c c0 由 得 c(c ) 0 c 0 或. 又當 c 0 時,由, 可得 a 0, b 0( 不合 ) 當 c 時,由 得 b 0,再代入 得 a. 故 f(). () 在 的範圍內, 當 0 時, f() 有最大值. 當 時, f() 有最小值 5.. 二次函數 f () a b 在 時有最小值 6,則數對 (a,b) 之值.

33 (,8) a b a( ) 6 a( ) 6 a a a 6 b a, a 6a, b 8.. 某製造玩具工廠,每次接到訂單都需開模 5 萬元,製造每一千個玩具材料費需 萬元,由此建立生產的基本成本函數 f() 5,其中 以千個為單位.依過去經驗,接到訂單數量與報價總值有如下關係:數量 ( 千個 ) 報價總值 ( 萬元 ) 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數 g(),以及獲利函數 h() g() f(). () 若接到訂單為 0 千個,試問交貨時,每千個玩具的基本成本帄均是多少萬元? () 試求報價總值函數 g(). () 根據 h(),試問訂單數量是多少時,獲利總值最高? ().5 萬元 ;() g( ) 8 ;()0 千個 0 ()f(0) 5 0 5( 萬元 ) 5 故每千個玩具的基本成本帄均為.5 0 ( 萬元 ). () 令 g() a b c 將 (5,7.5),(0,70),(5,97.5) 一一代入可得 7.5 5a 5b c 70 00a 0b c a 5b c 解得 a, b 8, c 0 故 g( ) () h( ) g( ) f ( ) 8 (5 ) h ( ) 0 0 ( 60 ) 5 ( 0) 85

34 故訂單數量 0 千個時,獲利總值最高 85 萬元.. 若 y a a(0 5) 的最大值為,則實數 a 之值為何? 或 6 y ( a a a a ) a y ( ) a a,參考以下各點之 圖: a a a ()0 a 0 時 (0 5), 時, y 有最大值 a, 解得 a 6 或 ( 後者不合 ), a 6, y = a O 5 a ()a 0 時 ( 5), 5 時, y 有最大值 5 5a a,解得 a 7( 不合 ), y = a O 5 ()a 0 時 ( a 0), 0 時, y 有最大值 a, a ( 合 ),

35 y = a O 5 由 ()()() 得 a 或 設, y 是實數,且 y,若 y 的最大值為 a,最小值為 b,求數對 (a,b). (, ) y 0,, (),且 y ( ) ( ) (),由 ()() 得 時有最大值 a, 時有最小值 b. - 多項式的運算及其應用 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 f () a b c,若 f () 除以 的餘式為 7, f () 除以 的餘式為,則 f () 除以 的餘式為 () () 6 ()6 (). 設 f () a b c ( )( k) 7 f () 除以 的餘式 f () f () ( )( k) 8 得 k f () ( )( ) 7 所求 f ( ) 6 ( ) ( 7). ( ). 若 7 7 a( 8) b( 8) c( 8) d,則 b d 的值為 () 8 () 7 ()6 ()7.

36 7 7 8 ) d c 8 b a 8 88 故 b d ( ) 7. ( ). 設 f ( ) 5 7,則 f () 為 ()5 0 5 ()5 0 6 ()5 0 6 ()5 5. 由綜合除法得 f ( ) 5( ) 0( ) 6( ), 令 t,得 f (t) 5t 0t 6t, 即 f () ( ). 設,則 ( ) 的值為 () () () (). 滿足 ( ),化簡得 0, ( )( ), 當 時, 0, ( ), 故 ( ) ( ). ( )5. 設多項式 f (),滿足 ( ) 整除 (f () a), ( ) 整除 (f () b 5), ( )( ) 整除 (f () c 5),則 a b c 之值為 () () () (). 由 ( ) (f () a),得 f (0) a 0, f () a 0 由 ( ) (f () b 5),得 f (0) 5 0, f ( ) b 5 0

37 由 ( )( ) (f () c 5),得 f () c 5 0, f ( ) c 5=0 由 a 5,代入 f () 9 代入 c,代入 f ( ) 代入 b 8,故 a 5, c, b 8,得 a b c. 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 已知 a, b, c 為實數,且 a b c 除以 得餘式為,除以 餘式為,則 ()a b c 0 ()b c ()a b ()a c (5)a b c. 5 設 a b c ( )q () ( )q () 令 i 代入 ai b c i, b c, a 令 代入 a b c 由 得 a, b c 0. ( ). 設 t,則下列何者正確? () t () t t t t () t () t (5) t. t t t 5 t,故 t t t t,即 t t,() 對. t t t,即 t, t,() 對 () 錯. t t ( ) ( t ) t t t, t, () 錯 (5) 對. t ( ).f () ( 5) n ( ) n,則 ()n 為正整數時, f () 恆有 的因式 ()n 為正偶數時, f () 恆有 的因式 ()n 為正奇數時, f () 恆有 的因式 ()n 為正偶數時, f () 恆有 的因式 (5)n 為正奇數時, f () 恆有 的因式. f ( ) ( )n ( ) n 0 恆成立,故 ()()() 均成立. f () n ( ) n ( ) n,故 n 是正偶數時 f () 0,正奇數時 f (),故() 正確. 0 5 ( ). 設 f ( ) ( ), g( ) ( ),則下列敘述何者正確?

38 () f( ) 的各項係數總和為 () f ( ) g( ) 的常數項為 () g ( ) 的奇數次方項係數總和為 () 若 f( ) 除以 ( ) 的商式為 Q ( ), 則 f( ) 除以 ( ) 的商式為 Q ( ) (5) 若 f( ) 除以 ( ) 的餘式為 r,則 f () 除以 ( ) 的餘式為 r. (), (), 0 f () ( ) 0 5 f(0) g(0) ( ) () g() g() ( ) (),奇數次方項係數總和 (), f ( ) ( ) Q( ) r ( ) Q( ) r (5), f ( ) ( ) Q( ) r r r f ( ) ( Q) ( ) ( ) ( ) 故選 ()()()(). ( )5. 設 a 9 5 9, b 9 9,若 a 除以 b 得餘數 r,則 r 值 () 是質數 () 是 9 的倍數 () 小於 00 () 大於 00. 設 9, a 5, b a 5 ( )( 8) ( 8) 代入 得 a k 0 (k ) b(k ) (k 為自然 數 ), 餘數為. 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 設 f ( ) 5,若 f ( ) g( ),則 ( ) f ( ) g( ) 除以 之 餘式為. ( ) f ( ) g( ) 除以 ( ) ( ) f () () g() f () g() 之餘式為 f() f( ) () ( 5) 0.. 設 f () 6 0 9,則 f (.9) 之值四捨五入到小數點後第二 位..7

39 由綜合除法得 f () ( ) 9( ) ( ) ( ), f (.9) (0.0) 9(0.0) (0.0) (0.0).7.. 求 f () 除以 g() 的餘式為. 令 0 ( )( ) 設 f () ( 6 ) ( 6 ) 8 ( 6 ) 5 6 將 6 代入 f () 得 又 設 f () 5 6 A( ) B( ) C( ) D(A, B, C, D 皆為實數 ) a( ) b( ) c( ) d(a, b, c, d 皆為實數 ),則 () 序對 (A, B, a, b). ()f (0.99) 求到小數點後第 6 位之近似值為.( 第 7 位以下四捨五 入 ) ()(, 6,, );()

40 () D 8 C 6 B A (A, B, a, b) d c b a (, 6,, ). () f ( ) ( ) 6( ) 8( ) 9, f () ( ) 6 ( ) 8 ( ) 多項式 f () 除以 之餘式為,除以 之餘式為 6,則 f () 除以 之餘式為. 設 f () ( )( )q () a( ) 6 f () a 8 a 所求餘式為 ( ) 6. 6.f () 為一多項式,以,, 除 f () 之餘式分別為,7,,則以 ( )( )( ) 除 f () 之餘式為. 令 f () ( )( )( )q () a( )( ) b( ) c f () c 7. 設 a, b,若 a f () 7b( ) 7, b 6 f () a( )( ) 6( ) a 餘式為 ( )( ) 6( ). b 除以 ( ) 所得餘式為,則數對 9 8 ( ab, ). (8,9) 9 8 令 f ( ) a b ( ) q( )

41 a b, ab, b a f a a 9 8 ( ) ( ) a a a a a a 5 a 6 a 7 a a a a a a a 0 a a a a 80 a 8 a 6 ( ab, ) ( 8,9). a a 0 a a a a a 0 a a 6 a, b ( 8) 9 a a 0 a a 8 a a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 6 a 5 0 a 6 a a 6 a 7 a 6 a 7 a a 7 a 8 a 6 8. 設 f () 為 n 次多項式, n,且滿足 f (0), f () 5, f () 7, f () 5,求 ()f ( ) 的係數和. ()f ( ) 偶次項係數和. ()7;()5 () 令 F () f ( ),所求 F () f ( ) f () 7. () 令 G () f ( G() G( ) f () f () ),所求 f () 若以 ( ) 分別除 a b 及 得到相同的餘式,則 a b. ( ) [ a b ( )] ( ) [ (a ) (b )],

42 a b 0 a a b a b a 0 a a b b 0 b 0. 設 a b( )( )( ) c( )( ) d( ),求 b c d. 當, ( ) ( ) ( ) a 0 a 8 當, 7 ( d ), d 7 當, c( )( ) 7( ), c 當, b()()() ()() 7(), b ( a, b, c, d) (,,,7) b c d 7.. 設 f ( ) 5 7,求 f (.998) 的近似值到小數點後第三位 ( 第四位四捨五入 )..998 f ( ) a( ) b( ) c( ) d( ) e e d c b a f (.998) (0.00) (0.00) 設多項式 f () a b c d,其中 a, b, c, d,若多項式 f( ) 以 除之,得餘式 ;以 除之,得餘式,則下列選項

43 為真. (A) a (B) ab 0 (C) b c d 0 (D) a b c d 0 (E) f (0) 0 (F) f () 0. ABC f m n ( ) ( )( ) f () (6)( m n) f ( ) ()( m n) m n m m n 5 n f ( ) ( )( ) a, b, c, d (A), a (B), ab ( ) 0 (C), b c d 0 (D), a b c d ( ) ( ) (E), f (0) (F), f () a b c d 故選 (A)(B)(C)..( ) 0 除以 得餘式為. f () ( ) 0 ( )q () a b(a, b 為實數 ) f (i) ( i) 0 (i )q (i) ai b( i) 0 ai b 又 ( i) 0 [( i) ] 5 (i) 5 i i ai ba, b 0 故餘式為.. 設 f () 為一多項式, ( )f () 除以 的餘式為,則 f () 除以 的餘式為. 設 f () ( )q () a b,則 ( )f () ( )( )q () (a b)( ) ( )( )q () a( ) [(b a) b a] ( )f () 除以 的餘式為 (b a) b a b a, b a,得 a, b,故餘式為. 5. 設 f () n 被 a 除之餘式為 a b,則. n n b) 設 f () n ( )q () a b ( )( )q () (a

44 f () a b f () n a b a n, b n n a n n ( ) ( ) n n n n n. n 6. 一多項式 f() 除以 的餘式為 5,又除以 的餘式為 a, ()f() 除以 的餘式為. () 若 f() 除以 ( )( ) 的餘式為 R(),則 R(0). () ;() 9 令 f() ( )( )Q () ( 5) ( )( )Q () ( a) 則 f( ) 5 a a 6. () 令 f() ( )( )Q () (A B) f () 7 A B A, f () 5 A B B 餘式為. () 令 f() ( )( )Q () R() ( )( )Q () k( ) 6, 代入 k 6 7 k, 9 R( ) ( ) 6 R(0). 7. 設多項式 f ( ) a( ) b( ) c( ) d,其中 a, b, c, d, () 試求數組 ( a, b, c, d). () 以四捨五入法,試求 f (.99) 之近似值至小數點後第三位,求此值為. ()(,0,,);().97 () d c 0 b a

45 ( a, b, c, d) (,0,,). () f (.99) ( 0.00) f () 為一多項式,分別以 除之依次得餘式 8 8,則以 ( )( ) 除 f () 之餘式為. 8 設 f () ( )( )q () a( ) (8 ) f () 8 a 8 8 a 餘式為 ( ) 設 f () ,試求下列各函數值: ()f ( i). ()f ( ). ()8 i;() 得 f () ( ) 5 6( ) ( ) ( ) 0( ). ()f ( i) i 5 6i i i 0i 8 i. ()f ( ) ( ) 5 6( ) ( ) ( ) 0( ) 設多項式 f( ) 的奇數項係數和為 6,若 f( ) 除以 的商式為 ( ) q,餘式為 7 8且 q ( ) 除以 的餘式為,則 f( ) 除以 的餘式為. 6 f q ( ) ( ) ( ) (7 8) f() f( ) 6 又 q() f () ( )() f ( ) 6

46 f ( ) 6. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 設多項式 f () 除以 ( ) 餘式為,除以 餘式為,求 ()f () 除以 之餘式. ()f () 除以 ( )( ) 之餘式. () ;() ()f () ( ) q () ( ) ( ) q () [( ) ] ( )[( )q () ] 所求餘式為 ()f () ( )( )q () a( ) f ( ) 7a 9 a 所求餘式為 ( ).. 設 f ( ) a( ) b( ) c( ) d( ) e, 求: () 序組 ( a, b, c, d, e ). () f (0.) 的近似值到小數點以下第二位. ( 第三位四捨五入 ) ()(,,7,,0);() ) ) ) 9 7 ) ( a, b, c, d, e) (,, 7,,0)

47 f ( ) ( ) ( ) 7( ) ( ) 0 f (0.) 0 ( 0.00) 7 ( 0.00) 若 f () 8 5,求 f (0.505) 的值. ( 四捨五入至小數點下二位 ) f ( ) 8( ) 8( ) 0( ) ( ) ( ) 5( ) f (0.505) (0.0) (0.0) 5(0.0).05.. 設 f () 為四次多項式, 項之係數為,若 ( ) 為 f () 之因式,且 f () 除以 ( ) 之餘式為 6( ),試求 f (). 設 f () ( ) ( a b) ( ) q () 6( ) f () ( a b) 0, b a f () ( ) ( a a) ( ) ( )( a) 兩式各約去 得 ( )q () 6 ( ) ( a) 令 代入上式得 6 ( a), a, b a f () ( ) ( ).

48 5.() 設 f () ( 6) 0,求以 除 f () 之餘式. () 承 (),求 ( ) 0 除以 (99 98) 之餘數. ()0;()0 () 設 f () ( 6) 0 ( )q () a b ( )( )q () a b (*)(q () 是整係數多項式 ) 令 得 0 a b,令 得 0 =a b 由 得 a 0, b 0 0, 餘式為 0. () 令 ()(*) 式中 00 得 ( ) 0 (99 98)q (00) 0 化簡得 (99 98)q (00) 0(q (00) 為整數 ) 所求餘數為 0. - 多項方程式 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 z 為複數,若 (5). iz 為實數, ( iz iz ) z i z i z i iz 為實數,則 zz? ()0 () () () z i iz iz ( iz )( z i) ( z i)( iz ) z i z i izz z z i izz z z i i izz zz. ( ).f () a b c 0 是實係數多項方程式,有一虛根 i 而且與 g () a 0 有一公共根 t,則 t 為 ()0 () () (). f () 0 是實係數多項方程式且 f () 0 有一根 i f () 0 必有共軛虛根 i,再設第三根為 r,則 f ( ) [ ( i)][ ( i)]( r) ( )( r) ( r) ( r) r,得 a ( r)( 比較 係數 ) 再由 式 與 g () a 比較,得知,

49 f () 0 與 g () 0 的公共根不可能是 i,而是 r g (r) 0r ar 0 r ( r)r 0( 代入 )r,即 t. ( ). 方程式 有多少實根? ()0 () () (). 原式 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( 但,,) 整理得 9 7 0,設 f () f () 0, f () 0, f() 0,有一根介於 和 之間,有一根介於 和 之間,因虛根必成共軛,知另一根也必為實根,共有相異三實根. ( ). 試問方程式 ( ) 0 有幾個相異實數解? ()0 個 () 個 () 個 () 個 (5)6 個. ( ),恆正( 或 D 0 恆正 ), ( ) 0,故無實數解. ( )5. 設 z, w 都是複數,若 z w 0,則下列各敘述何者正確? ()z 與 w 都是虛數 ()z 與 w 中一為實數,一為虛數 ()z 與 w 中至少有一為虛數 ()z 與 w 中至少有一為實數. 假設 z 與 w 均為實數,因 z 0 且 w 0,故 z w 0,和已知條件 z w 0 矛盾,因此 z 與 w 中至少有一為虛數, () 正確. 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 f() 為三次實係數多項式,且知複數 i 為 f() 0 之一解.試問下列哪些敘述是正確的? ()f( i) 0 ()f( i) 0 () 沒有實數 滿足 f() () 沒有實數 滿足 f( ) 0 (5) 若 f(0) 0 且 f() 0,則 f() 0. 5 由虛根成雙定理知:方程式 f() 0 的三個根為 i, i, α,其中 α 為實數. () 因 i 為方程式 f() 0 的一根,所以 f( i) 0. () 因 i 不是方程式 f() 0 的一根,所以 f( i) 0. () 因 f() 0 為 次實係數多項方程式,由虛根成雙定理知道方程式至少有一實根,

50 因此至少有一實數 滿足 f() 0 f(). () 因 f( ) 0 為 9 次實係數多項方程式,由虛根成雙定理知道方程式至少有一實根,因此至少有一實數 滿足 f( ) 0. (5) 因 f(0) 0 且 f() 0,根據勘根定理知: 0 α,又因 y f() 的圖形是連續不斷的,且與 軸恰交一點 (0,α),所以圖形在 的部分恆在 軸的下方,因此 f() 0.故選 ()()(5). y O 5 ( ). 設 P() 是一個五次實係數多項式.若 P() 除以 的餘式是,且 商 Q() 是一個係數均為正數的多項式,試問下列哪些選項是正確 的? ()P() 0 與 Q() 0 有共同的實根 () 是 P() 唯一的實 根 ()P() 不能被 整除 ()P() 0 一定有小於 的實根 (5)P() 除以 ( )( ) 的餘式也是. 設 P() ( )(a b c d e), 其中 Q() a b c d e, a, b, c, d, e 0. () :Q() 0 時 P(). () : 不一定,可能仍有其他實根. () :P() ( )Q() 0. () : 當 時, P() 0, P() 0 必沒有大於或等於 之實根, 又 P() 0 為 5 次實係數方程式至少有一實根, P() 0 一定 有小於 的實根. (5) : 不一定. ( ). 設 f () ( )( ),請問下列哪些選項是正確的? () f ( ) 0 ()f () 有整數解 ()f () 有實數解 ()f () 有不等於 零的有理數解 f () ( )( ), (5) 若 f (a),則 f ( a). () : f ( ) ( )( )( ), 0, f ( ) 0

51 () : f () f () 0,即 0, 數解 有一實根 二虛根,且實根介於, 之間, f () 沒有整 () : f () f () 0,即 0 為整係數三 次方程式, 整係數方程式虛根成對, 至少有一實根 () : f () f () 0,即 0 ( ) 0 0 或 ( 無理數 ), 沒有不等於零的有理數解 (5) : f (a) a a, 故選 (). 則 f ( a) ( a) ( a) a a (a a) ( ). 已知 f ()=a +a +a +a 0 為三次實係數多項式且 f (i-)=0, 5 則下列選項何者正確? ()f (i+)=0 ()f ()=0 只有一個實根 () 若 b 為方程式 f ()=0 的有理根,則 a a 且 b a 0 ()f (i)=-i, a 則 f (i )=-i (5) 若 f ()f ()>0,則 f ()=0 在 間沒有實根. () 虛根為 i-, -i-, f (i+) 0. () 正確. ()a, a 0 不一定是整數. ()f (i )=f (-i)= f() i = f() i = i =+i. (5) 若, 之間有實根,必成對. 故選 ()(5). ( )5. 設 f () 為三次實係數多項式,且知複數 i+ 為 f ()=0 之一解.試 5 判斷下面各敘述的正確選項? ()f (i-)=0 ()f (+i) 0 () 沒 有實數 滿足 f ()= () 沒有實數 滿足 f ( 5 )=0 (5) 若 f (0)>0 且 f (-)<0,則 f (-)<0. i+ 為一根,則 i+ 也是一根,第三根為實數,令其為 α. ()i 不是 f ()=0 的根. ()+i 不是 f ()=0 的根. () 考慮函數 g()=f (),則 g() 亦為實係數三次多項式,必有一實 根. () 實數 5 滿足 f (( 5 ) 5 )=f(α)=0. (5) 由勘根定理,有一實根介於,0 之間,若 f ()>0,則有另一實 根介於, 之間,這是不可能的, f ()<0.

52 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ) i. 設,若 y z y 0,請用 表示 z y z 0 ( ) y z 0 (y ) (z ) 0 y. z.. 設 m,設 m 0的三根為,, ; 0 m 0的三根為,,.試求 () 以, 為二根的二次方程式為. () 以, 為二根的二次方程式為. () ++=0;() 8+=0 0 m 0 m 6 m m ( ) () 以, 為二根的二次方程式: 0 () 8, 以, 為二根的方程式: 設 z 為複數,若 z 8 6i,則 z 6z i 或 i z 6z 60 z 60 z. ( z ) 6z 60 (8 6 i) 6(8 6 i) 60 0 z z z 設 z a bi(a, b 為實數 ),則 z (a bi) 8 6i a b 8 a, b 或 a, b. ab 6 ()a, b 時,所求 0 0 i. z i

53 0 0 ()a, b 時,所求 i. z i. 若 -i 為 -a+=0 之一根,則 a=. i+ 將 i 代入方程式: (i) -a(i)+=0 a(i)=i a= i =i+. i i 5. 設, a, b 均為實數,且 a b,則數對(a,b). (, ) 原式 ( )(a b) a ( a b) ( b ) 0 a( ) ( a b) ( b ) 0( a b ) ( a a b) 0 i ( a b )+( a b)( ) 0 [ a b +( a b) ] ( a b) i 0 a b 0 且 a b 0, a, b. 6. 設 m 0,, 為 m (m 5) 0 的實根,若 : :,則 m. 或 且 : : m 取 k, k( 兩數必異號 ),k 為實數 5 m 則 k ( k) m k( k) m 5 m 代入 得 6( ) 9m m 5 0 m 或 m m 7. 已知 a, b 為方程式 根,則 c a b c 5 0的兩根,而且 a, b 也恰為此方程式的兩

54 a b c, ab 5 又 ( a) ( b) c, ( a)( b) 5,則 c, c a b b a c ( a)( b) ( ) i 8. 設 z,則 z z z 6 z i z i i i z ( ) 所求 i i i i 00 (i i i i ) (i 5 i 6 i 7 i 8 ) 0 9. 設 g () 為 的實係數多項式,且 g ( ) f ( ),又知 g ( i) 7 i ( i ),則 f ( i). 7 i f ( i) f (( i) ) g (( i) ) g ( i) g( i) g( i) 7 i 7 i. 0. 設, 為 0 m 0 的二根,, 為 m 0 的二根, 則以, 為根的二次方程式為. ( 但 m 0) m m m 0, 0, 0,,, 皆不為 0 由 m m 代入 得,且 0, 6 所求為 [ ( )][( ( 6)] 0,即 設 0 的二根為,,則. 8 ( ) [( ) ] ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) 8.

55 .() i,求 i 之帄方根為.( 以 a bi 表示 ) () 求方程式 ( i) ( i) 0之解.( 以 a bi 表示 ) ()+i 或 i;()+i 或 i () ( a bi) i a b 0, ab a, b 或 a, b i 的帄方根為 i 或 i. ( i) ( i) ( i) ( i) i () ( i) ( i) ( i) ( i) 或 i 或 i i或 i 有一根 i,則其餘之根為. ( 全對 才給分 ) i,, i ( 0)( 6) ( 0)( )( ) 所以根為 i,, 故其餘之根為 i,,.. 若方程式 k k 0 在 與 0 之間有奇數個實根,則實數 k 的範圍 為. k 或 k 設 f () k k,則 f ( ) f (0) 0 ( k k ) 0k k 0 (k )(k ) 0k 或 k. 5. 已知方程式 ( i) ( i) ( i) 0 有一個實根,試解此方程式. 或 5 5 i ( i) ( i) ( i) 0 ( ) i( ) 0 0 為實數,, 0 ( i) 另一根為 t,則二根之積 t, t i. i 5 5

56 6. 設 k 為一整數,若方程式 k 與 9 0 的兩根互為共軛複數,且兩根積介於 97 5 之間,則滿足上述條件的 k 的最小值為 設二根為 a bi, a bi, a, b 9 ( a bi) ( a bi) a k ( a bi)( a bi) k a b k 5 又 97 k 97.5 k 9. k 最小值 設 a 為實數,且三個方程式 a 0, a a 0 及 8a 8a 0 均有虛根,則 a 的範圍為. a 令 D 0a 0 a 令 D 0a a 0a(a ) 00 a 令 D 06a (8a ) 0 a 由 得 a. ( 請參考下圖 ) 0 8. 設 i, y i,則 y y y. 7 y 6, y 9 ( i) 所求 ( y ) ( y y ) [( y) y( y)] y( y) 代入 即可. 9. 設 f() a b c 為實係數三次多項式且 f( i) 0,若 f() 0 與 k 0 有共同實數解,則 k.

57 令 f() 0 的實根為 ( i) ( i) 0, 代入 k 0,得 k. 0. 設 a b 為實數.已知坐標帄面上拋物線 y a b 與 軸交於 P, Q 兩點, 且 PQ 7.若拋物線 y a (b ) 與 軸的兩交點為 R, S,則 RS. 設 P(,0), Q(,0),表示 a b 0 之兩根為, a, b, ( ) ( ) 7 ( a) b a b 9 同理,設 R(,0), S(,0) a (b ) 0 之二根為, a, b, ( ) ( ) ( a) (b ) a b RS. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 解方程式 6( ) 7( ) 8 0.,,, 令 t,則 t, t 6( ) 7( ) 8 0 6( ) 7( ) 8 0 6(t ) 7t 8 0(t 8)(t ) 0 t 8, t. 8 () 若, 8 0,. () 若, 0,.

58 i. 令,設 a, b 均為實數,若 a b 0,求數對(a,b) 之 值. (, ) 左式 ( ) 原式 a b ( )(a b) a b a( ) b (b a ) (a a b) 0 b a 0 且 a a b 0, a, b.. 解下列各方程式. ()( )( )( 8)( ) 0. () i () 或, 6;() i或 或, ()( )( )( 8)( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 5( ) 50 0 ( 5)( 0) 0 ( 5 )( )( 6) 或, 或, 6. () ( 8)( ) 0 ( )( )( )( ) 0 0 或 0 或, i i或 或,.

59 .() 若 z 0i,求 z. () 解方程式 ( i) (9 7i) 0. ()z (5 i);() i 或 i () 設 z yi,, y 為實數,則 y, y 0 y 0 代入 得 (,y) (5, ) 或 ( 5,). () ( i) (9 7i) 0 ( i ) 9 7i 令 z 0i z 5 i 或 (5 i)( 由 ()) 5 8i 0i. i 5 i 5i 或, i 或 i. 5. 設, 為 5 0 的二根,求以, 為二根的二次方程式 D 9 0 0,且 5 0,, 必異號,可取 0, 0. () ( ) ( ) () ( ) ( 5) 5. 所求為 ( ) ( ) 0,即 - 多項式函數的圖形與多項不等式 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 若不等式 a b c 0 的解為,則不等式 b c a 0

60 的解為 () () () (). 因 是 ( )( ) 0 的解,即 0 的解 (),又 a b c 0 (),與() 表同一不等式, a b c k 0, a k, b k, c k, b c a 0 k k k 0,且 k 0 0,即 0, ( )( ) 0 得. ( ) ( 5) ( ). 滿足 是整數, 0 0,且 ( ) ( 9) () () ()8 ()9. ( ) ( 5) ( ) ( 9) ( 5) 0 或, ( )( 9) 的 有多少個? 又 0 0, 是整數,,,5,0. ( ). 設 f () 為二次函數,且不等式 f () 0 的解為,則 f ( ) 0 的解為 ()0 () 0 或 () 或 () 或 (5). f () 0 f ( ) 0 0 f ( ) 0 或 0,故選(). ( ). 設 f() a +b+c 且不等式 f() > 0 之解為 < <,則 f() < 0 之 解為何? () < < () > 或 < () < < () > 或 < (5) > 或 <. < < (+)() < 0 +8 < 0 +8 > 0. 令 f() +8 則 f() < 0 +8 < 0 + > 0 (+)() > 0 > 或 <. 故選 (). ( )5. 下列哪一個不等式的解為 全體實數 ( 即不等式的解為任意的實 數 )? ()6 5 0 () 0 () 0 () 0 (5) 0.

61 () ( ) 0 解為任意實數故選 (). 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 下列哪些選項是正確的? () 設 f () a n n a n n a a 0 是一個整係數的 n 次多項式,若 a a n, b a 0,則 a b 是 f () 的因式 () 設 f () 為實係數三次多項式且 f (i) 0,則函數 y f () 的圖形與 軸恰有一個交點 () 設 f () 為實係數多項式,若 f ( 5i) 6 i,則 f ( 5i) 6 i () 0 的解為所有實 數 (5) 設,則不等式 a( )( ) 0 的解為. () 不一定是因式 () 虛根成對,故必有一實根,即 y f () 與 軸恰有一交點 () f ( z) f ( z) 7 () ( ) 0 解為任意實數 (5)a 0,解為 a 0,解為 或 故選 ()()(). ( ). 設 f () 為三次實係數多項式,且不等式 f () 0 的解為 或,而 f( k),其中 k,在下列選項中選出正確的選 項: ()f () 的首項係數 ( 即 的係數 ) 大於 0 ()( ) 是 f () 的因式 () 不等式 f () 0 的解為 () 方程式 f( ) 有三個 相異的實數解 (5) 二次函數 y 99 的圖形恆在 y f () 的圖形的 上方. 令 f () ( ) ( ) ()f () 0 解為 或 (5) 取 00, f (00) 此時 y 99 在 y f () 下方 故選 ()()(). ( ). 下列不等式何者無解? () 0 () 0 () 5 0 () 0 (5) 0.

62 5 ()D ( ) ( 5) 0,恆負 (5)D 0,恆正故選 ()(5). ( ). 請問對於下列哪些選項,可以找到實數 a,使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式 ( a) a 0? (),0 (),,, ( 所有的正整數 ) (),, 5, ( 所有小於 的整數 ) ()97,008 (5), ( 是圓周率 ). ( a) a 0 ( a)( ) 0 討論: 若 a,則不等式的解為 a 若 a,則不等式的解為 a () 取 a 0 即可 () 對任一實數 a 而言,必存在一正整數 m 大於或等於 a,使得 m 不在不等式的解之中 () 對任一實數 a 而言,必存在一負整數 n 小於或等於 a,使得 n 不在不等式的解之中 () 取 a 008 即可 (5) 由討論,發現 與 不可能同時滿足討論 和討論 兩式故選 ()(). ( )5. 不論 a 為任何實數恆使 ( 6)( ) a( b) 0 有實根,則 b 可以為下列何者? () () ()6 ()8 (5)0. 依題意, (a 8) ab 0 恆有實根 (a 8) ( ab) 0 恆成立 ( 對任意實數 a) a (6 b)a 6 0 恆成立 ( 對任意實數 a) (6 b) 6 0( b) 0b 8b 0 (b )(b 6) 0 b 6. 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 對任意實數, a 恆成立,則實數 a 的範圍為. a a 0 ( 恆成立 ) (a ) 0( 恆成立 ), 又 0 恆成立,

63 D ( ) 0, ( )( (a ) ) 0, 0( 恆成立 ), (a ) 0( 恆成立 ), D (a ) 0 a a.. 若一函數 f() 的圖形為折線圖如圖 則不等式 f() < 0 的解為. y (,) O (,) (, ) (, ) 由圖知 a 5 6 a 5, b b b 7, f() < << 7. y (,) (,) (a,0) O (b,0) (, ) (, ). 設, y, z 是實數,且 y z, y yz z 9,令 的最大值為 M,最小值為 m,則數對(m,m). (5, ) 令 y z (), y yz z 9 (), () 式中 z y 代入 () 式,得 y y( y) ( y) 9,再對 y 整理得 y ( )y ( 9) 0(y 是實數 ), ( ) ( 9) 0,化簡得 5 0

64 ( 5)( ) 0 5, M 5, m.. 不等式: ( 5)( )( ) ( ) 0 的解為.,, D 5 0, 5 恆正原式 ( )( )( ) ( ) 0 ( )( )( ) 0,,,,. 5.() 不等式 ( )( ( ) )( 7 )( ) 0 的解為. 7 7 () 方程式 ( )( ( ) )( 7 )( ) ( )( ( ) )( 7 )( ) 的解為 () () ( ) 或 7 ;() 原式解為 7 ( ) 或 () ( )( ( ) )( 7 )( ) 解為 或 ( ) 7 或. 7 7 或 ( ) 7 或 若不等式 a (a ) (7a ) 0 對於一切實數 恆成立,求實數 a 的範 圍為. a a (a ) (7a ) 0( 對任意實數 恆成立 ) a 0 D 0 a 0 () (a ) a(7a ) 0 () a a 0(a )(a ) 0 a 或 a () 由 ()() 得 a. 7. 設 f () ( p) 6 (p ),在 0 時,其值恆為正數.則實數 p 的範圍為.

65 p () 若 p 時,原式 6 7 0( 對任意 0,顯然成立) p, () 若 p 時, p 0, ( p )( p) 9 f ( ) ( p)( ), p p 軸: 0,其略圖如下, p = p y O 只要 f (0) 0 必使 f () 0( 對任意 0), 此時 p 0p,又 p, p, ()p 時,原式恆不成立 ( 拋物線開口向下 ), 由 () 或 () 或 () 得 p. 8. 設, y 是實數,且 y 5y,令 y 的最大值為 M,最小值為 m, 則數對 (M,m) (, ) 令 y k (I), y 5y (II), (I) (II) k 得 ( k) (ky) (8 5k)y 0( 視為 的方程式 ), 是實數, (ky) ( k)(8 5k)y 0,即 y (k 7k 8) 0, ()y 0 時, k k 8 0 k, ()y 0 時, (II), (I)k,也滿足上述範圍, 由 ()() 得 k. 9. 已知整係數多項式為 f ()= + +a +b+6,若 f ()=0 有四個相異的有理 根,且實數 k 滿足 f (k)<0,則 k 的範圍為. <k< 或 <k< 有理根只有,,, 6共 8 種可能, 相異,積為 6,和為, 此四根為,,, f ()=()(+)()(+) f (k)=(k)(k+)(k)(k+)<0 <k< 或 <k<.

66 7 0. 設 是實數,則不等式 的解為. 或 7 0, 6 0 ( )( ) 0, ( )( ) 即 ( )( )( )( ) 0,,,得 或.. 設 m 是實數,若二次函數 y m m 之圖形恆在直線 L : y m 9m 之 上方,則 m 的範圍為. 0 m (m m ) (m 9m) 0( 對任意實數 恆成立 ) m[ (m ) 9] 0 m 0 ( m ) m. m 0 ( m ) m 0 m 0 m m. 設 f ()=a +b +c+d 為三次實係數多項式,若 f ()>0 的解為 <<6 或 <-,則 f (-)<0 的解為. < 或 << f ()=a()(6)(+),其中 a<0 f ()=a()(6)(+)=7a(+)(+)(), 若 f ()<0,則 < 或 <<.. 設 是實數,若不等式 a b c 0 的解為 或,則三 元序組 (a,b,c). (,,) 參考下圖可知 或 是 ( )( )( ) 0 的解,整理 得 0, 上式與 a b c 0 表同一不等式, a b c, a, b, c, 序組 (a,b,c) (,,).. 已知 f () 為一個實係數二次多項式,若不等式 f () 0 的解為 5 或, 則 f ( ) 0 之解為. 已知 f () 0 5 或

67 f () 0 5 用 ( ) 取代 f ( ) 0 5 即 6 故 f ( ) 0 的解為. 5. 設 m 是實數,當直線 y k 與拋物線 y (m ) m 沒有交點,得 m 的範圍為 m 7(m ),則實數 k 之值為. 將 y k 代入 y (m ) m k (m ) m (m ) (m k) 0 D (m k) (m ) 0 m ( k )m k 8 0 與 m 7,即(m 7)(m ) 0 比較 m 6m 7 0 k 6 k. k 設三角形三邊長為,7,,若每邊均減少 後,變成一個鈍角三角形,則 的範圍為. 9 令, 7, ( 最大邊 ) 構成鈍角三角形, () 0,7 0, 0, ()( ) (7 ) ( ) 9, ()( ) ( ) (7 ) ( )( 7) 0 7,由 () 且 () 且 () 得 9. ( ) ( ) ( ) 7. 求解 0 :. ( ) 或 ( )( ) 原式: 0 或 0 或 ( 恆正 ) ( )( ) 0( 但 ) 或 ( 但 ),或 解為 或. 8. 不等式 a 5 b 0 的解為,則數對 (a,b).

68 (,) ( )( ) (), () 式與 a 5 b 0 的解相同, a 5 b a, b 已知 f() 為實係數三次多項式 若 f() 的圖形與 軸交於 A(0) B(0) C(70) 三點,且點 P(8) 在圖形上,則不等式 f() < 0 的解為. << 或 >7 f() 的圖形與 軸交於 (0) (0) (70) 令 f() a(+)()(7). 又 P(8) 在 f() 的圖形上 a a. f() (+)()(7) f() < 0 (+)()(7) > 0 < < 或 > 解不等式 :. 7< (+)(+7) 0, 7 <. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 設 f() 為二次函數,且不等式 f() < 0 的解為 < <,求不等式 f() < 0 的解. 由題意得 f() a( )( ),其中 a 0.因此, f() a( )( ).代入 f() < 0,得 a( )( ) < 0 ( )( ) < 0. 解得.

69 . 設 是實數,求不等式 0 之解. 或 5 ( )( ) 5 () 或 時, 0,原式 ( ) 0 5 0( )( 5) 0 5 或 5. () 時, 0,原式 ( ) 或,,由 () 或 () 得 或 5.. 設, y 是實數,若 y ky y k 恆為實數,求實數 k 的最小值. 5 令 y ky y k 0( 對任意實數, y 恆成立 ) y (ky y k) 0( 對任意實數 恆成立 ) ( y) (ky y k) 0( 對任意實數 y 恆成立 ) ( k)y y k 0( 對任意實數 y 恆成立 ) (*), () 若 k 時, (*)y 0( 對任意實數 y 恆成立 )( 不合 ), () 若 k 時, k 0 (I),且 ( k)k 0 (II), 由 (I)k, 由 (II)k k 0 k 5 5 或 k, 5 5 由 (I) 且 (II) 得 k, k 的最小值為.

70 . 設 是實數,求不等式 ( )( )( )( 5) 0 的解. 7 0 由 [( )( 5)][( )( )] 0,得 ( 7 0)( 7 ) 0 0,即 [( 7) 0][( 7) ] 0 0,亦即 ( 7) ( 7) 0,因此 ( 7)( 7 ) 0,但 7 恆正,得 ( 7) 0,故 設 A 與 B 是數線上兩點,它們的坐標分別為 與,如下圖所示: A B 已知 P 是數線上的動點,而且滿足到 A, B 兩點的距離乘積小於 6,即 PA PB 6,求動點 P 的所有可能範圍. < < 或 < < 5 設 P 點的坐標為.因為 PAPB 6,所以 - 指數 ( ) < 6 < 6. 兩邊帄方,得 < 6 ( ) 6 < 0 利用下圖: 5 可得 < < 或 < < 5. 一 單選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) ( 0)( ) < 0 ( 5)( )( )( ) < 0

71 ( ). 坐標帄面上滿足 0 00 y 000 的所有點 (,y) 所形成的圖形為下列 哪個選項? () 一個點 () 一直線 () 兩直線 () 一個二次多項 式的函數圖形 (5) 一個圓. 利用指數律,得 0 00 y y 0 0 y 0, 即 y,此為直線方程式.故選 (). ( ). 設 a (0.5).5,選出正確的選項: () a 0 ()0 a 0.5 ()0.5 a () a. 5.5 a (0.5) ( ),故選(). ( ). 下列各選項何者為真? () 6 () 0 0 () () (5). () 8 () 0 () () 正確 (5) 故選 (). 二 多選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 若 a b 為實數且 b 0,下列敘述何者錯誤? ()a 0 ()(ab) a b () ( b ) b ()a a a 5 (5) ( b) b. ()0 0 無意義 () ( b ) 故選 ()(). b( b 0) 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ).6 8 y 9 z 8 7,且, y, z 均為正整數,求 y z. 7 原式 ( ) ( ) y ( ) z y z y z 8 7 y 8 () z 7 () 由 () () 得 y z

72 . 設 f(), 取 y, z,代入 () 5, y z 7. () 若, 為 f( ) 0 () 若 f ( ) 0 的解,則.,則 9 9. () 若 y f() 與 y a 的圖形,交於 A, B 兩點,已知 AB,則 a. ()0;()8;() 8 () f( ) 0 0 令 t 0, t 0t 0 0,其中 0 0. () 0 ( ) () AB,且對稱 y 軸 A(,a) a a. 8. 設,,且 k,試求 (). ()k k. ();() (), ( )( ) ( )( ) ()k k ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). 設, y, z 為實數,且 yz 0,若 8 9 y 6 z,且. 6 令 8 9 y 6 z k 8 k k k () t,求 t 的值為 y z y 9 k k k ()

73 z z 6 k 6 k () () () y 6 k () 由 ()() 得 y 5. 設 a 0,若 a a 5,求 z k k y z 6, t 6. y z ()a a. ()a a. ();() () 令 a a t 則 a a (a a ) a a (a a ) t t t t 5 t t 5 0 (t )(t t ) 0 t 0 t,即 a a , 0 ()a a (a ) (a ) (a a ) a a ( ) ( ),求. 或,, 互成倒數 令 a,則 a 原式 a a a a a a 0 a 即 ( ) 或 ( ) 或. 7. 設, y 為實數, 5 9,77 y 5,求. y () 5 y y ()

74 5 () 得 () 9 y, 5. y 8. 設 0.., ,求下列各式的值. ( 取到小數第三位,第四位四捨五入 ) () ().8. () 0.6;().60 () ().8 0. ( 0.0 ). (.08) 設 a 0,若 a a,則 a 5 a a. a 6 (a ), a 6 0 a a 原式. a a 0. 設 n 為正整數,若 (5 n 5 n ),求 ( ) n 的值為. 5 (5 n 5 n ) (5 n 5 n 5 n 5 n ) n n (5 5 ) (5 n 5 n ) (5 n 5 n ) n n (5 5 ) 故 ( ) n n n n n { (5 5 ) (5 5 )}. 設 , 0.0.0,求下列各式的值. ( 取到小數第三位,第四位四捨五入 ) ().6. () 0.7. ().096;()0.77 n n (5 ) n 5. () ()

75 . 設 ( ) 00,求[ ( )] 的值為. 00 ( ) ( ) (00 00 ) ( ) ( ) [ (00 00 )] (00 00 ) 原式 { [ (00 00 ) (00 00 )]} 00 [ ( 00 )] 00. a 00. 設 a 0,若 a,求下列各式的值 00 ()a a () a a () a a. ();() ;() 5 a () a 帄方 a ( a ) ( ) a a a a. () ( a a ) a a 6, a () a a ( a ) ( a ) 5. a ( 取正 ). ( a a ) a a ( a a )

76 . 已知 a ( ), b 8,求 ( ab). 70 a b 8 ( ) ( 6 ) 6 8 ( ) [ ( ) ] ( 6 ). 6 6 原式 ( ) 依據實驗,某種細菌原有的數目為 N,經過 天後細菌的數目變成 Na,已知 天後, 5 天後細菌的數目依序為 0 6, (.)0 7,則 ()a ()8 天後細菌的數目為. ();() Na 0 () 由題意 Na (.) 得 a 7 (.) 0 8 a. 6 0 ()8 天後 Na 8 Na 5 a (.) 已知 a b, a b,求 a a b b. 6 a b ( a b) () a b a b ( ) () () () 得 ab ab () () 得 ( a b ) a b a a b b (a b ) a b ( ) ( ) ( 6) ( 6) 設 a 0,若 a a 8,求 a a. 令 a a t a a (a a ) a a (a a ) t t t t 8 t t 8 0 (t )(t t 6) 0 t 0 t.

77 , 0 8. 已知, y, z 為異於 0 的有理數,且 y z 0,若 a 0, b 0 y, c 0 z, y z z y 求 a b c. 000 y z z y y z y z z y y y z z y z y z a b c (0 ) (0 ) (0 ) y y z z z y y z y z z y y z 設實數 與 y 滿足 5 且 5 y y z y z ()y. ()n. () ;() () 5 y y 由, 得 y ,若 n < y < n,其中 n 為整數則 8 y. y () 5 y (i) 當 y 0 則 5 0, 8 (ii) 當 y 則 5, 5 (iii) 當 y 則 5. 5 y 5, < y <, n 設 m n 為整數且 m n 均為整數,若 m n 0,則 m n. m n 0,(m,n) (,0) 或 (0,) m n. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ) a. 設 a 為正實數且 a 5 5 a a 50,求 a 之值.

78 5 6 a a a a 50 a a a 令 t a t t 50, t t 50t 50 0 (t 5)(t t 0) t 0 t 5 或 6 6 t a 5. ( 不合 ). 已知 a 0,且 a a 8,回答下列問題: () 若設 t a a,試以 t 表示 a a. () 將 () 的式子配合 a a 8 的條件,可解得 t 的值為何? a () 試求 a 的值. ()t t;();() 5 ()(a a ) a a a a t a a (a a )(a a a a ) t(t ) t t. ()t t 8 (t )(t t 6) 0 t. () ( a a ) a a 5 a a 5.. 求下列各式的值: () ( ) ( ) (0.5). ()

79 ()8;() () ( ) ( ) (0.5) (( ) ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) 5 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8. () 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 已知,求 7 9 的值. ( )( ) 求 的值 ( ) ( ) ( ) 指數函數 ( ) ( )

80 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 下列哪一個數值最大? () () ( ) (5) (0.). () ( ) () (0.) ( ) ( ) (.5). 5 () ( ). 5 (5) (0.) ( ) ( ) (.5). 5 5 () (0.) () ( ) 5 因為 (.5) (.5),所以最大數值為選項(). 答案為 (). ( ). 在一個培養容器中,由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加 倍 ( 即變成原來的 倍 ),已知一開始放入 個細菌,剛好經過一天 ( 小時 ) 後,容器就充滿細菌 ( 總數為 N 個 ),如果一開始放入 000 個細菌,問需經過多久時間,容器才會充滿細菌? () 小時以內 () 小時到 5 小時 ()5 小時到 7 小時 ()7 小時到 9 小時 (5)9 小時以上. N,設經 t 小時後容器充滿 000 t N 000 t t t 8,故選 (). ( ). 下圖為函數 y a b 的部分圖形,其中 a, b 均為常數,則下列何 者為真? ()0 < a <, b 0 ()0 < a <, b < 0 ()a, b 0 ()a, b < 0 (5)a, b <. y O

81 圖形遞減 0 < a <,令 0,則 y a 0 b b b 0,故選(). ( ). 設 f() a (a 0, a ),則下列何者恆成立? ()f() f(y) f( y) ()f() f(y) f( y) ()f() f(y) f( y) y () f ( ) f ( y) f ( ) (5)[ f ( )] f ( y). y 5 () : f( y) a y a a y f()f(y) () : f( y) a y a a y f() f(y) () : f() f(y) a a y a y f( y) () : f() f(y) a a y a y f( y) (5) :[ f ( )] y ( a ) y a y f ( y) 故選 (5). ( )5. 已知下圖中, a 為下列選項中的某一數,那麼 a 應該是哪一個數呢? () () () (). y=a y y= O 從圖形可知道 0 a 且 a,故選(). 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 設 ( ),則下列何者正確? () ( ) () ( ) () () ( ) (5) 9 ( ) ( ) 8 ( ) 5. () ( ) ( ) 8 ( ) 8 () ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) 7

82 () 次方相同 底數愈大,值愈大 故 ( ) ( ) 8 7 () 同 (), ( ) 9 (5) [( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) 8 5 故選 ()()(5). ( 8)( )(6 6) ( ). 設 f( ),若 f(a) 0,則 a 可以是下列何數? (5 5)( ) () () () 0 () 0 (5) ()f( ) 0 ()f() 0 () f ( 0) 0 () f ( 0) 0 (5) f ( 50) 0 故選 ()()(5). ( ). 下列哪些不等式的解與不等式 ( )( ) 0 的解相同? 5 () 0 ( )( ) ()( )(00 99) ()(00 99) )( )( ) 0 () 0 (5) ( )( ) 0 () () 或 或 ( )( ) 0 或 或 00 ()( )( )( )( ) 0. ()(

83 0 或 0 或 ()( ) 0 令 t 原式: t t 0 (t )(t ) 0 t 0 (5) 0 ( )( ) 0 故選 (5). ( ). 設 f() a, g() a,其中 a,選出正確的選項: ()y f() 5 和 y g() 的圖形對稱於 軸 ()y f() 和 y g() 的圖形對稱於 y 軸 ()y f() 和 y g() 的兩圖形恰交於一點 (0,) ()y g() 的圖形當 愈來愈大時,相對應的 y 值也愈來愈大 (5)f()g(). 因為 a,所以 y f() 和 y g() 的圖形如下圖所示. y y=g()=a y=f()=a O (0,) ()y f() 和 y g() 的圖形對稱於 y 軸是正確的,因此 () 是錯誤的. ()y f() 和 y g() 的兩圖形均通過點 (0,),且僅有此交點. () 由 g() a 的圖形可知:當 愈來愈大時,相對應的 y 值也愈來愈小,故此敘述是錯誤的. (5)f()g() a a a a 0,故此敘述是正確的.由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(5).答案為 ()()(5). ( )5. 設 a 0, a, 為實數,指數函數 f () a,下列哪些選項是正確的? () 圖形必通過定點 (0, ) () 圖形與任一帄行 軸的直線都恰有一交點 () 若,則 f ( ) f ( ) () 對任意實數, f () a f ( ) f ( ) 0 恆成立 (5) 若,則 f ( ). 5 ()f (0) a 0, 必過 (0, )

84 () 如: y 與 a 沒有交點 ()a 時, f ( ) f ( ) 0 a 時, f ( ) f ( ) a (5) a a a f ( ) f ( ) a f( ) 故選 ()()(5). 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 已知 7( ) 9 0,求 的範圍為. 5 7( ) 9 0 7( ) 9 0 令 t (t ) t 原式 (t ) 7t 9 0 t 7t 5 0 (t 5)(t ) 0 5 t,但 t 5 5 t,即.. 設 8,若函數 f( ) 的最大值為 M,最小值為 m,求數對(m,m). (9, ) f( ) 令 t, 8, 6 t 原式 t t (t ) t 時,有最小值 m t 6 時,有最大值 M 9 (M,m) (9, ).. 解不等式. 或

85 令 t 0,原式 t 0,去分母 t t t t t t 0 ( t)( t ) 0 t 或 t 即 或 或. 已知 0 < a < 且 a a 0,求 的範圍為. 0 令 t a,原式 t t 0 (t )(t ) 0 t 又 t a 0, 0 < t,即 0 < a 0 < a a 0 又 0 < a <, 解方程式 0.. 原式 設 G : y 令 t,原式 t t 0 8t t 0 (t )(8t ) 0 t 0 8t 0,故 t,即. 8 8, G 坐標為. P(0,) 0 0 : y,若 G, G 的圖形交於 P 點,求 P 點的 令 令 t 0 0, ( t ) 則 0 0 t t t t t 0 (t )(t ) 0 t 或 t ( 不合 ) 即 0 0,令 k 0 則 k k k k k 0 (k ) 0, k,即 0 k y 故 P(0,). 7. 解方程式 0.

86 6 或 令 t,原式 0 t t 0 8t t 0 (8t )(t ) 0t 或 t 8 即 或 或 6 或 設 m 為實數,若 (m ) (m ) 0 有兩個相異的實根,求 m 的範圍 為. 0 < m < 令 t 設 f( ) 55 則 t (m )t (m ) 0,有二相異正根 t, t D 0 (m ) (m ) 0 (m ) (m ) 0 m m 0 m(m ) 0 m 0 或 m < t t 0 (m ) 0 m t t 0 (m ) 0 m < 由 知 0 < m <.,且 f() 5,求 f(). 7 7 (7 ) (7 ) f ( ) (7 7 ) 7 7 (7 7 ) (7 7 ) (7 7 ) () 7 7 又 f ( ) 代入 (),得 f ( ) 函數 y a b 的部分圖形如下,則點 (a,b) 在第 象限. y O (0,) 三 令 y 0, a b 0 b a < 0 令 0, a b a b 0 a 0 a < 0 (a,b) 其符號為 (, ) 在第三象限.

87 . 解不等式 0,得 的範圍為. < 或 令 t 0 0,原式 t t 0 8t t 0 (8t )(t ) t 或 0 t,即 或 或 < 或 6.. 設 為實數,若方程式 a a 0 有兩個相異實根,求 a 的範圍 為. a < 令 t 原式 t at a 0 由題意知 t 的方程式有二相異正根 t, t 則 D 0 D (a) ( a) 0 a a 0 (a )(a ) 0 a 或 a < t t a 0 a < 0 t t a 0 a 由 知 a <.. 設 a 0,已知 f() (a ) (a ),求 f() 的最小值為. 8 f() (a ) (a ) a a a a (a a ) (a a ) 8 令 t a a a a t (t ) 原式 (t ) t 8 t t 6 (t ) 當 t 時,有最小值 8.. 已知 0,解不等式 0 < 或 時, 成立 0 < < 時 ( ),得 的範圍為. 0 ( )( ) 0.

88 0 < < 時 0 ( )( ) 0 或 由 知 0 < 或. 5. 設, y 為實數,已知 y, y k, y 6,求序組(,y,k). (,,) y k () 設 y 6 () y y 代入 () 6 6 令 t,則 t 6t 7 0 (t 9)(t ) 0 t 0, t 9,即 9 y 將, y 代入 () 得 k (,y,k) (,,). 6. 已知 為實數,若 ( ) ( ) 7,求.,, 7. 設 f( ) 0,左 0 5 0,右 0,成立 0,左 ( ),右 ( ) 7,不合,左 6,右 7,成立 0,,,則 7.,,.. (), 0,以 f() 表 9 得 (),又若 f( ) f( ) ;() 5 f( a),求()a f( ) 去分母 ( ) ( ) f f f( ( ) f ) ( ) ( ) f f( ),即 9 f( ) f( ) 5 9 a f( a) 又 9 9, a. f( a) 5 8. 已知 a a 0 有相異兩實根,求實數 a 的範圍為.

89 a a a 0 a a 0 令 t t at a 0 原方程式有兩相異實根 新方程式有兩相異正根 t, t D 0 D (a) ( a) 0 a 或 a t t 0 a 0 a 0 t t 0 a 0 a 由 知 a. 9. 若, 為 0 的二根,求. 令 t,則原式 t 9t 0 t t t t. 0. 若方程式 5 5 a 0 有兩個正根,求實數 a 的範圍為. 5 a 令 t 5,則原式 t 5t a 0 0, 表示 t 的方程式 t 5t a 0 的二根 t, t 均大於,且 t t 5, t t a 5 D 0 D ( 5) a 0 a (t )(t ) 0 t t (t t ) 0 a 5 0 a 5 由 知 a. 四 計算題 (5 小題每小題 0 分共 0 分 ). 已知 為實數,解 ( ) 5( ) 令 t (t ),

90 t ( ), t 原式 (t ) 5t 6 0 t 5t 0 (t )(t ) 0 t ( 不合 ) 或 t,即, 令 k k k k 0 (k ) 0 k 得 k,即 0.. 設 a 為實數,方程式 (a 5) (a ) 0 有兩相異實根,求 a 的範圍. a 令 t,則原方程式可變為 t (a 5)t (a ) 0 表示新方程式有兩相異正根 t, t D 0 D (a 5) (a ) 0 a 或 a t t 0 (a 5) 0 a 5 t t 0 a 0 a 由 知 a.. 設 f() a b n,若 f() 7, f() 7, f(8) 67,求 a, b 的值. a 7, b 5 n f () a b 7 () n f () a b 7 () n f (8) a b 8 67 () () ():b n ( n ) 0 () () ():b n ( n ) 0 (5) (5) () 得 : n n n ( ) n n 代入 () n

91 b ( ) 0 b 5,代入() a 7 故 a 7, b 5.. 設 a 為實數,方程式 a 0 的兩根均為正數,求 a 的範圍. 5 a 9 令 t 5, 0, t,原方程式可改寫成 t 6t a 0 表示原方程式的兩根均為正數 新方程式的兩根 t, t 均大於 ()D 0 D ( 6) a 0 a 9 ()(t )(t ) 0 t t (t t ) 0 a 6 0 a 5 由 ()() 知 5 a 設 f(), 0,試求 f() 的最小值. 令 t, 0 t 原式 t t (t ) 當 t 時,有最小值. - 對數 一 單選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 科學家們利用芮氏規模來度量地震的強度,設 I 為地震時所釋放的相對能量強度,芮氏規模 r 之定義為 r logi, 999 年臺灣發生兩次大地震, 9 月 日的集集大地震是芮氏規模 7..0 月 日嘉義大地震是芮氏規模 6..就釋放出的相對能量強度而言,集集大地震為嘉義大地震的大約多少倍? (). 倍 () 倍 ()8 倍 ()9 倍 (5)7 倍.

92 7. log I 6. log I I 8 I 8 I I 故選 () log I log I 0.9 log8 ( ). 考慮坐標帄面上滿足 5 y 的點 P(,y),試問下列哪一個選項是錯 5 誤的? ()(0,0) 是一個可能的 P 點 ()(log5,log) 是一個可能的 P 點 () 點 P(,y) 滿足 y 0 () 所有可能的點 P(,y) 構成的圖形為一直線 (5) 點 P 的, y 坐標可以同時為正整數. 將 5 y 兩邊取 log 得 log log5 y,即 log ylog5, () 因為 (,y) (0,0) 滿足 5 y,所以 (0,0) 是一個可能的 P 點 () 因為 (,y) (log5,log) 滿足 log ylog5,所以 (log5,log) 是一個可能 的 P 點 () 由 log ylog5,知 與 y 同號,所以 y 0 () 因為 P(,y) 滿足 (log) (log5)y 0,所以 P(,y) 構成的圖形為一直線 (5) 若, y 同時為正整數,則 為偶數, 5 y 為奇數,這與 5 y 矛盾, 因此,, y 不可以同時為正整數 故選 (5). ( ). 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示.已知芮氏等級每增加 級, 地震震幅強度約增加為原來的 0 倍,能量釋放強度則約增加為原來 的 倍.現假設有兩次地震,所釋放的能量約相差 00,000 倍,依 上述性質則地震震幅強度約相差幾倍?請選出最接近的答案 ()0 倍 ()00 倍 ()000 倍 ()0000 倍. 設芮氏等級相差 n 級, () n 00000, log( 5 ) n log0 5 5nlog 5 5 n., 5log 0.00 震幅強度相差 (0)., log(0).. 0. log000 log0 log, , 強度相差約 000 倍. ( ). log ( ) () () () () (5) 5. 原式 log ( )

93 log 6( ( )( )) log 6( ) log. ( )5. log( 0 ) log( 0 0 ) () 0 log () () ()log (5) 0. 原式 log0 log( 0 ) log( 0 0 ) log (0 )( 0 0 ) ( 0 0 ) l o g l o g. l o g 二 多選題 (5 題每題 0 分共 0 分 ) ( ). 下列何者正確? ()log 7 ( ) log 7 ( ) () log8 5 () log 7 log6 7 ()log 5 log log (5) 若不等式 log a 0 6 的解為 0,則 0 a. ()log 7 ( ) 無意義 () log8 () 正確 ()log log log 6 (5) 正確 故選 ()(5). ( ). 已知 log c a, log c b,則下列計算結果何者是錯誤的? 5 () log () logb a ()a b c 5 ()log c (ab) 6 ()(log c b) (5)log c (a b). b logc a a log b ()a b c c c 5 c ()log c (ab) log c a log c b 5 6 ()(log c b) (5)a b c c c 故選 ()()()(5). ( ). 下列各式何者不真? ()log ( 5) log 5 ()log 6 (log )(log )

94 5 ()log 6 (log 6) log 9 ()log 5 log log (5) log9 log5 log 5. () :真數為正. () : log 6 log log. () : log 6 log 6 (log 6). () : log log log ( ) log 6. 9 (5) : log 9 log 5 log. 5 ( ). 設 a 為大於 的實數,考慮函數 f() a 與 g() log a,試問下列哪 5 些選項是正確的? () 若 f() 6,則 g(6) 6 () f(8) f(8) f(9) f(9) ()g(8) g(9) g(8) g(9) () 若 P, Q 為 y g() 的圖形上兩相 異點,則直線 PQ 之斜率必為正數 (5) 若直線 y 5 與 y f() 的圖形 有兩個交點,則直線 y 與 y g() 的圖形也有兩個交點. 5 f() 與 g() 互為反函數 () : f() 6,則 g(6) log a 6 () : g(6) log a 6 log a 6 6. f f f f (8) (9) (8) (9) 8 a a 9 a a a a. 9 8 () : g(8) g(9) loga 8 loga 9 loga 9 8 g(8) g(9) loga 8 loga9 loga loga. 9 () :如圖. y Q O P (5) : y 5 對稱於 y 之直線為 y 5 與 y g() 也有兩個交點.

95 ( )5. 已知在一容器中有 A, B 兩種菌,且在任何時刻 A, B 兩種菌的個數 5 乘積為定值 0 0.為了簡單起見,科學家用 P A log(n A ) 來記錄 A 菌 個數的資料,其中 n A 為 A 菌的個數.試問下列哪些選項是正確的? () P A 0 () 當 P A 5 時, B 菌的個數與 A 菌的個數相同 () 如果上週一測得 P A 值為 而上週五測得 P A 值為 8,表示上週五 A 菌 的個數是上週一 A 菌個數的 倍 () 若今天的 P A 值比昨天增加, 則今天的 A 菌比昨天多了 0 個 (5) 假設科學家將 B 菌的個數控制 為 5 萬個,則此時 5 P A 5.5. () : n A n B 0 0 n A 0 0 () : n A n B log(n A ) log0 0 log(n A n B ) log0 0 0 P A 0. log(n A ) log(n B ) 0 P A P B 0 P A 5 P B 5. () : P A log(n A ) P 0 () : 0 log(n A ) n A 0 8 log(n A ) n A 週五 0 週一 0 A PA 0 倍. 0 ( 倍 ). 0 0 (5) : na nb 0 na P A log(n A ) log( 0 5 ) 5 log 三 填充題 (0 格每格 0 分共 0 分 ). 設 y y 0 且 y 0,求 log( y 0y ) log( y 7y ). y y 0 ( y)( y) 0 y 0 ( ) ( ) 0 所求 log y y log y y y y y 7 y ( y) ( y) y 7 y 0y log log0. y.log ( ) ( ) 有意義,則實數 的範圍為.

96 < < 且 () 底數 : 0 且 且 () 真數 : 0 < 0 ( )( ) < 0 由 ()() 知 < < 且.. 設 log a, log b,求 log 5. ab ab log 5 log(5 ) (log5 log) [( log ) log].. (log )(log )(log 5 )(log 6 )(log 7 )(log 8 ) 原式 log log5 log6 log7 log8 log9 log9 log ( )( )( )( )( )( ) log log log5 log6 log7 log8 log log. 5. 設 log a, log6 b,試以 a, b 表 log 08. ab a b log6 log log b log b a log08 log log log log 08 log log log log 6. 設 0 的所有正因數的乘積為 n,則 logn , 正因數之個數為 ( )( ) 5, 50 而正因數之乘積 (0 ) 0, logn log log log (log 9) log 6 (log ). log log 9 log log 5 log (log 9) log (log ) log9 log log log a b a a b. a b a a b log log log ( ) log. log log log log 9 log log ( ) 8. 設 a, b, c 表 ABC 的三邊長,若 a b c 且 log (a b c) log (ab bc ca),求 ABC 之面積為.

97 原式 log (a b c) log (ab bc ca) (a b c) (ab bc ca) a b c ab bc ca 0 [ ( ) ( ) ( ) ] 0 a b b c c a a b c,又 a b c a b c 正 ABC 面積. 9. 已知 log8 a, log b, log8 c,試以 a, b, c 表 log8. a b c 5 a log log b log log7 c log log7 :log log c b :5log c b a c b a log 5 log8 log log log log c b a a b c b 若 a, b, c, d, e 皆為不等於 的正實數,且 a =c, c =e 5,求 (log a b)(log b c)(log c d)(log d e) 之值為. 5 a c c e 5 c a e c 5 logb logc log d log e log c log e 原式 = ( )( )( )( ) =. =log a c.log c e= log a logb log c log d log a log c log a a 5. log cc =. = 設 a log 5, b log 5,求 5 a b.

98 50 a log 5 5 a b log 5 b 5 5 b a 50 b a b 求 log 6 log log 6 log. 令 t log 6 log log 6 log t (log 6 log ) (log 6 log ) (log 6) log l o g 6 [ ( l o g ) ] l o g l o g 6 [ l o g ( l o g ) ] l o g l o g 6 [ l o g ( l o g ) ] log6 ( log) log 6 log ( log ) log t.. 設 a, b, c 為異於 的正數,若 abc,求 log a b log b a log b c log c b log c a log a c. log 6 原式 log a bc log b ac log c ab l oa g bl o g c l o g a b c ( ) ( ) ( ). log5 log5 log9 log log5 log 原式 5 9 log56 log