(Microsoft Word \246~\253\374\246\322\274\306\245\322\270\321\252R_fprint\252\251_.doc)

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1 單一選擇題 9 年指考甲 ( ). 一正立方體的八個頂點中有四個頂點, 各頂點彼此之間的距離都是, 則此正立方體的體 積為 (A) (B) (C) (D) 答案 :(B) 解析 : 四個頂點, 彼此之間的距離都是, 如下圖 HACF 滿足題意, 故 AC= AB=, 所以正方體體積為 ( ) = ( ). 某校想要了解全校同學是否知道中央政府五院院長的姓名, 出了一份考卷 該卷共有五個單選題, 滿分 00 分, 每題答對得 0 分, 答錯得零分, 不倒扣 閱卷完畢後, 校方公布每題的答對率如下 : 題號一二三四五答對率 80% 70% 60% 50% 0% 請問此次測驗全體受測同學的平均分數是 (A) 70 分 (B) 65 分 (C) 60 分 (D) 55 分 答案 :(C) ( 80 %+70%+60%+50%+0%) 00 解析 : =60( 分 ) 5 多重選擇題 π π π π ( ). 當 x 的範圍被限制在 - 和之間時, 亦即 - <x<, 有關函數 f(x)=cosx+ cos x (A) f(x)=f(-x) 的敘述, 哪些是正確的? (B) f(x) (C) f(x) 的最小值是 (D) f(x) 有最大值 答案 :(A)(B) 解析 :(A) f(-x)=cos(-x)+ =cos x+ =f(x) cos(-x) cos x (B)(C)- π <x< π cosx>0 (D) 由算幾不等式 cosx+ f(x) cos x cos x. = cos x 等號成立時 cosx= cos x= cosx=( 不合 ) cos x 故 f(x) 最小值不為 lim =, 故 f(x) 沒有最大值 π cos x x ~~

2 ( ). 平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點 今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真? (A) 該四邊形一定是正方形 (B) 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 (C) 該四邊形一定是平行四邊形 (D) 該四邊形一定是菱形 答案 :(B)(C)(D) x y 解析 : 令橢圓 Γ: a + b = 焦點為 F,F' 而另一橢圓 Γ' 焦點為 H,H' 作 FH, F'H 的中垂線交橢圓於 P,P,P,P 令 P P P P 為依反時鐘順序連成的四邊形而對角線會垂直平分但不一定會相等故 P P P P 為菱形, 當然也是平行四邊形 ( )5. 所謂 轉移矩陣 必須滿足下列兩個條件 :( 甲 ) 該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 ( 乙 ) 該矩陣的每一行的數字相加都等於 以 矩陣為例, 和 滿足 ( 甲 )( 乙 ) 這兩個條件, 因此都是轉移矩陣 今設 A,B 是兩個 n n 的轉移矩陣, 請問下列哪些敘述是正確的? (A) A 是轉移矩陣 (B) AB 不滿足條件 ( 乙 ) (C) (A+B) 是轉移矩陣 (D) (A +B ) 是轉移矩陣 答案 :(A)(C) 解析 :(A) 設 A,B 為轉移矩陣,A= a ij n n,b= b ij n n, 而 AB= c ij n n ( 甲 ) 因為 a ij 0,b ii 0, 所以 c ij = n k= ~~ a ik b kj 0 ( 乙 ) AB 之第 l 行為 C l +C l + +C nl = n a k b kl + n a k b kl + + n a nk b kl k= k= k= =b l n t= a t +b l n t= a t + +b nl n t= a tn ( 就 k=,,,n 展開後合併 ) =b l +b l + +b nl =, 由 ( 甲 ) ( 乙 ) 知 AB 仍為轉移矩陣, 因此 A =A.A 是轉移矩陣 (B) 由 (A) 知 AB 滿足條件 ( 乙 ) (C) (A+B)= aij +b ij n n, 其第 l 行為 n t= 因此 (atl +b tl )= ( n t= (A+B) 為轉移矩陣 a tl + n t= (D) 由 (A) 知 A,B 皆轉移矩陣, 再由 (C) 得 因此 (A +B ) 每一行數字相加為 b tl )= (+)= (A +B ) 為轉移矩陣,, 非轉移矩陣

3 ( )6. 醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後, 發現如果體檢受檢人感染該傳染病, 就一定可以檢測出來 但是卻有 % 的機率, 將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患有該病 已知全部男性人口中有 0.% 的機率患有此病 現於兵役體驗時進行檢測, 若該梯次役男共有十萬人受檢, 而且某役男被告知患有該病 請問下列哪些敘述為真? (A) 該役男確實染病的機率大於 % (B) 該役男確實染病的機率大於 % (C) 該役男確實染病的機率大於 5% (D) 該役男確實染病的機率大於 90% 答案 :(A)(B) 解析 : 00% 驗有病 0.% 患病 0% 驗沒病 % 驗有病 99.8% 不患病 96% 驗沒病 0.% 00% P( 患病 驗有病 )= =.77% 0.% 00%+99.8% % ( )7. 某君於九十年初, 在甲 乙 丙三家銀行各存入十萬元, 各存滿一年後, 分別取 出 已知該年各銀行之月利率如下表, 且全年十二個月皆依機動利率按月以複利 計息 甲銀行 乙銀行 丙銀行 ~ 月 0.% 0.% 0.% 5~8 月 0.% 0.% 0.% 9~ 月 0.% 0.% 0.% 假設存滿一年, 某君在甲, 乙, 丙三家銀行存款的本利和分別為 a,b,c 元, 請問下列哪些式子為真? (A) a>b (B) a>c (C) b>c (D) a=b=c 答案 :(A)(B) 解析 :a=0 5 (+0.%) =0 5 (+0.%) (+0.%) (+0.%) =0 5 ( ) b=0 5 (+0.%) (+0.%) (+0.%) c=0 5 (+0.%) (+0.%) (+0.%) =0 5 ( ) 故 b=c 而.00.00=(.00-)(.00+) =.00 -, 所以 a>c 故 a>b=c ~~

4 ( )8. 空氣品質會受到汙染物排放量及大氣擴散等因素的影響 某一機構為瞭解一特定地區的空氣品質, 連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度 再繪製這二十八筆資料的散布圖 ( 見下圖 ), 現根據該圖, 可知 (A) 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的標準差大於 5 (B) 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的中位數為 5 (C) 此筆資料中, 平均風速的中位數介於 5 與 50 之間 (D) 若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線, 則該直線的斜率小於 0 答案 :(C)(D) 解析 :(A) 由題圖得知 (x i - x) <5 因此 S= ( xi-x ) < 8 (B) 最大濃度的中位數 = x + x5 因 x <5,x 5 =5, 所以 = x 5 + x <5 (C) 平均風速 5 以下有 9 天,50 以下有 5 天, 故知中位數介於 5 與 50 間 (D) 因為散布圖資料是由左上往右下的走勢, 所以最適合直線的斜率小於 0 填充題 A. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動 開始時該物位置在 P 點, 一分鐘後, 其位置在 Q 點, 且 POQ=90 再過一分鐘後, 該物位置在 R 點, 且 QOR=0 請以最簡分數表示 tan ( OPQ)= 答案 : 解析 : 令 O(0,0),P(a,0),Q(0,b) 因物體作等速直線運動, 故 QR=PQ R(-a,b) OP.OR= OP OR cos0 (a,0).(-a,b)=a a + b (- ) -a = - a a + b a =a +b a =b 故 tan b ( OPQ)=( ) b = a a = ~~

5 B. 坐標平面上滿足聯立不等式 : x + y 與 x + y- 之區域的面積等於 ( 以最簡分數表示 ) 答案 : 9 解析 : 如下圖,A(0,),C(0,-) x+y= x-y+= x= B(, ) y= 所求面積 = ABC 面積 = = 9 C. 設 n 為正整數, 坐標平面上有一等腰三角形, 它的三個頂點分別是 (0,),( n,0), (-,0) 假設此三角形的外接圓直徑長等於 D n, 則 lim D n= n n 答案 : 解析 : 如下圖, 令 A(- n,0),b( n,0) C(0,),P 為外心且 PC= PB=R 在 POB 中,R =(-R) +( n ) R=+ n 所求 lim D n= lim (+ n n n )= 計算題 一 袋中有七個白球, 若干個黑球 今從袋中一次取出兩個球, 已知此兩球同為白球的機率是 請問袋中有幾個黑球? 答案 : 設黑球 x 個 C = = ( x+ 7)( x+6 ) 7 則 x 7 C 答 :5 個 x=5 7 ~5~

6 二 m 為實數, 已知四次方程式 x -mx +=0 無實根, 求 m 的範圍 答案 : 令 f(x)=x -mx + f '(x)=x -mx =x (x-m) x m f '(x) - + f(x) 故 f(x) 在 x=m 時有最小值 f(m)=m -m +=-m + 又 f(x)=x -mx +=0 無實根表 y=f(x) 圖形與 x 軸沒交點故 -m +>0 m -<0 (m -)(m +)<0 (m-)(m+)(m +)<0 -<m< 答 :-<m< ~6~

7 9 年指考甲 單一選擇題 ( ). 平面上有 A,B,C 三點 已知 B,C 之間的距離是 00 公尺,B,A 之間的距離是 500 公尺, ACB 等於 60 請問 A,C 之間距離的最佳近似值是哪一個選項? (A) 500 公尺 (B) 600 公尺 (C) 700 公尺 (D) 800 公尺 答案 :(B) 解析 : 令 AC=00x ABC 中, 由餘弦定理 500 =(00x) x.00.cos60 x -x-=0 (x-) = x=+ 因 5 =5, 96 = 故 AC 接近 (+5) 00=600( 公尺 ) ( ). 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況, 依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類 統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍, 且知在高收入的人口中, 每年有四成會轉變為低收入 請問在低收入的人口中, 每年有幾成會轉變為高收入? 請選出正確的選項 (A) 6 成 (B) 7 成 (C) 8 成 (D) 9 成 答案 :(C) 解析 : 設高收入者有 a 人, 低收入者有 a 人 高收入 低收入 60% 高收入 0% 低收入 x% 高收入 低收入 (-x)% a 60%+a x% = x=80 a 0%+a ( - x)% 故有 8 成 ~7~

8 多重選擇題 ( ).A 和 B 是兩個二階方陣, 方陣中每一位置的元素都是實數 就二階方陣所對應的平 答案 :(A)(B)(D) 面變換來說,A 在平面上的作用是對直線 L:y+ x=0 的鏡射, 且知 AB= 請選出正確的選項 ( 說明 :A 將 P 點對應到 Q 點, 則 L 為線段 PQ (A) 的垂直平分線 AB=BA ) (C) B 所對應的平面變換是旋轉 ) 反方陣 (B) A+B=0 解析 : 因為 y+ x=0 y=- x, 所以 tan θ =- θ=0 A= cos0 sin0 sin0 -cos0 = 又 AB= =-I B=A- (-I)= (A) BA= = =AB - (B) A+B= - - = =0 cosθ -sinθ (C) 旋轉方陣為 sinθ cosθ, 故 B 不是旋轉方陣 (D) AB=-I (-A)B=I BA=-I B(-A)=I 故 -A 為 B 的乘法反方陣 (D)-A 是 B 的 ( 乘法 ( ). 已知不等式 <7 000 < 成立 請選出正確的選項 (A) log 0 7<0.86 (B) log 0 7>0.85 (C) 7 00 <5 0 8 (D) 7 0 < 0 8 答案 :(A)(B)(C) 解析 : <7 000 < , 取 log 85+log.5<000log7<85+log.5, 而 0<log.5<,0<log.5< 85<85+log.5<000log7<85+log.5<86 (A)(B) 0.85<log7<0.86 (C) log7 00 =00log7<8.6, 而 log5 0 8 =8+log (D) log7 0 =0log7<8.6, 而 log 0 8 =8+log 8.0 ~8~

9 x ( )5.n 是大於 的整數 坐標平面上兩個橢圓區域 +y 和 x y + n n, 共同的部分以 A n 表示 請選出正確的選項 答案 :(A)(B)(C)(D) (A) A n 的面積小於 (B) A n 的面積大於 π (C) A n 的周長大於 5 (D) 當 n 趨於無窮大時,A n 的面積趨近於 x y x y 解析 : n + = 與 + n = 的半短軸長均為 故 A(,0),B(0,),C(-,0),D(0,-) 作 x=±,y=± 使 PQRS 為邊長 的正方形 (A)(B) 由圖可知 ABC 外接圓 <A n 面積 <PQRS 面積 π <A n 面積 <PQRS 面積 π<a n 面積 < (C) 5<π<A n 周長 < (D) x n + y = x x=± y + = n n n n +,y=± n + 兩橢圓在第一象限交點坐標為 T( n lim n n + =, 故 T 趨近於 Q, n n +, n n + ) 當 n 趨於無窮大時,A n 趨近正方形 PQRS, 所以 A n 面積趨近於 ( )6. 在一個牽涉到兩個未知量 x,y 的線性規劃作業中, 有三個限制條件 坐標平面上 答案 :(A)(C) 符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域 假設目標函數 ax+by(a,b 是常 數 ) 在此三角形的一個頂點 (9,) 上取得最大值, 而在另一個頂點 (,0) 取 得最小值 現因業務需要, 加入第四個限制條件, 結果符合所有限制條件的區域 變成一個四邊形區域, 頂點少了 (9,), 新增了 (7,) 和 (6,) 在這四個限 制條件下, 請選出正確的選項 (A) ax+by 的最大值發生在 (7,) (B) ax+by 的最小值發生在 (6,) (C) ax+by 的最大值是 0 (D) ax+by 的最小值是 7 解析 : 9a+b= a+0b= a=,b= (x,y) x+y (,0) +0= 最小 (7,) 7+=0 最大 (6,) 6+=7 ~9~

10 ( )7. 有一筆統計資料, 共有 個數據如下 ( 不完全依大小排列 ):,,,5,5,6,7,8,,x 和 y, 已知這些數據的算術平均數和中位數都是 6, 且 x 小於 y 請選出正確的選項 (A) x+y= (B) y<9 (C) y>8 (D) 標準差至少是 答案 :(A)(B) 解析 :(A) x+y=66 x+y=, 已知 x<y (B)(C) 因中位數為 6, 故 6 x<y y=-x -6=8 6 x<y 8 (D) S= x +y - 6 = ( x + y - ) x +y =x +(-x) =x -8x+96=(x-7) +98 因為 6 x<7( x<y 且 x+y= x<7), 故 x +y >98 S> ( 98-0) = ( )8.f(x) 是一個首項係數是 實係數三次多項式,k 是一個常數 已知當 k<0 或 k> 時,f(x)-k=0 只有一個實根 ; 當 0<k< 時,f(x)-k=0 有三個相異實根 請選出正確的選項 (A) f(x)-=0 和 f '(x)=0 有共同實根 (B) f(x)=0 和 f '(x)=0 有共同實根 (C) f(x)+=0 的任一實根大於 f(x)-6=0 的任一實根 (D) f(x)+5=0 的任一實根小於 f(x)-=0 的任一實根 答案 :(A)(B)(D) 解析 :f(x)-k=0 依題意知 y=f(x) y=k (A) f(x)-=0 與 f '(x)=0 有共同實根 α (B) f(x)=0 與 f '(x)=0 有共同實根 β (C) (D) ~0~

11 填充題 A. 有一四面體 OABC, 它的一個底面 ABC 是邊長為 的正三角形, 且知 OA= OB= OC=a; 如果 直線 OA 與直線 BC 間的公垂線段長 ( 亦即此兩直線間的距離 ) 是, 則 a= ( 以最簡分數表示 ) 答案 : 8 解析 : 因為 ABC 為正, 取 BC 中點 E 則 AE BC, 作 EF AO 於 F 如圖 AE=, EF= AF= OF=a- 故 ( a - ) = +(a-) a -=+a 8-6a+9 a= B. 彩票公司每天開獎一次, 從,, 三個號碼中隨機開出一個 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止 如果在第一天開出的號碼是, 則在第五天開出號碼同樣是 的機率是 ( 以最簡分數表示 ) 答案 : 8 解析 : 第一天第二天第三天第四天第五天 = 非 = + = 8 故 C. 坐標平面上有一個橢圓, 已知在 (8,),(9,),(5,5) 和 (6,) 這四個點中, 有兩個是焦點, 另外兩個是頂點, 則此橢圓的半長軸長度等於 答案 : 50 解析 : 令 A(8,),B(9,),C(5,5),D(6,) 兩焦點的中點是中心, 兩頂點的中點是中心 A(8,),D(6,) 是一組,B(9,),C(5,5) 是一組而中心為 (,8) (,8) 與 (8,) 距離 = (,8) 與 (9,) 距離 = m AD =,m BC =- AD BC 故長軸 短軸在 AD, BC 上 + = + = a =b +c =( ) +( ) =50 a= 50 ~~

12 D. 坐標平面上, 當點 P=(x,y) 在曲線 y +xy+x -x+6y+=0 上變動時, 點 P 到直線 x-y+=0 的距離的最小值等於 答案 : 8 解析 : 令 L:x-y+k=0 與曲線相切 x-y+k=0 x +xy+y -x+6y+=0 代 x +x(x+k)+(x+k) -x+6(x+k)+=0 x +(k+)x+(k +6k+)=0 因為相切 D=0 k=0 故 L:x-y=0 (k+) -.(k +6k+)=0 d(p,x-y+=0)=d(x-y=0,x-y+=0) = + = = 8 ~~

13 9 年指考甲 單一選擇題 ( ). 設方程式 x 5 = 的五個根為,ω,ω,ω,ω, 則 (-ω )(-ω )(-ω )(-ω )= (A) 8 (B) 6 (C) (D) 答案 :(C) 解析 :x 5 -=0 的五個根為,ω,ω,ω,ω (x-)(x +x +x +x+)=0 的五個根為,ω,ω,ω,ω x +x +x +x+=(x-ω )(x-ω )(x-ω )(x-ω ) 令 x= 得 (-ω )(-ω )(-ω )(-ω )= = 故選 (C) 多重選擇題 ( ). 根據對數表,log 的近似值是 0.00,log 的近似值是 0.77 下列選項有哪些 是正確的? (A) 0 9 >9 0 (B) 0 < 0 (C) 0 > 0 (D) 方程式 0 x =x 0 有一負根 答案 :(C)(D) 解析 :(A) :log0 9 =9,log9 0 =0log9=0 log=9.5 log0 9 <log <9 0 (B) :log0 =,log 0 =0log=0.79 log0 >log 0 0 > 0 (C) :log0 =,log 0 =0log<0log=0.79 log0 >log 0 0 > 0 (D) : 令 f(x)=0 x -x 0, 得 f(0)=-0>0,f(-)=0 - -(-) 0 <0 f(0)f(-)<0 又 f(x) 為一連續函數, 所以在 - 與 0 之間必存在一負實數 α 滿足 f(α)=0 ( ). 正四面體的四個頂點落在以原點 O(0,0,0) 為球心 半徑為 的球面上, 已知 答案 :(B)(D) 一頂點 P 的坐標為 (0,0,), 另一頂點 Q 的坐標為 (a,b,c) 下列選項有哪些必定 是正確的? (A) OP 與 OQ 的夾角為 0 (B) a +b >c (C) ab>0 (D) c<0 解析 : 令正四面體 PQRS 的稜長為 t, t t 則 QH= QM=. = t PH= PQ -QH = t ) 又 OP: OH=: 且 OP= 得 PH= 6t 6 = t= 6t -( = 6 (A) : OP= OQ= 且 PQ=t= t 6t (B) : QH=, OH= PH= + -t cos POQ= QH > OH a +b >c ~~ =- POQ 0 (C) : 此四面體可繞軸 PH 旋轉, 所以頂點 Q(a,b,c) 未必會落在 a,b 同號的卦限內 (D) : 三頂點 Q,R,S 必位於 xy 平面下 c<0

14 ( ). 設 a>0, 令 A(a) 表示 x 軸 y 軸 直線 x=a 與函數 y=+sinx 的圖形所圍成的面積 下列選項有哪些是正確的? (A) A(a+π)=A(a) 恆成立 (B) A(π)=A(π) (C) A(π)=A(π) (D) A(π)-A(π)>A(π)-A(π) 答案 :(C)(D) 解析 :(A) : 因為 a+π>a, 所以應該是 A(a+π)>A(a) 恆成立, 非 A(a+π)=A(a) (B) : 由下圖知 A(π)= π=π<a(π) (C) : 由下圖知 A(π)=A(π) (D) : 因為 A(π)-A(π)= A(π)-A(π)= 所以 A(π)-A(π)>A(π)-A(π) ( )5. 已知整係數多項式 f(x) 滿足 f()=f()=f(6)=0, 而且除了 x=,,6 之外,f(x) 的函數值恆正 下列選項有哪些必定是正確的? (A) f(x) 的次數至少為 6 (B) f(x) 的次數為奇數 (C) f() 為奇數 (D) f '()=0 答案 :(A)(D) 解析 : 整係數多項式 f(x) 滿足 f()=f()=f(6)=0 且其餘函數值恆大於 0, 可得略圖如下 (A) :x=,,6 為重根 f(x)=(x-) (x-) (x-6) q(x) 至少 6 次 (B) : 因為 lim f(x)= lim f(x), 所以 f(x) 必為偶數次 x x (C) : 無從得知 f() 是否為奇數 (D) :f(x)=(x-) n Q(x) f '(x)=n(x-) n- Q(x)+(x-) n Q'(x) (x-) f '(x) f '()=0 ~~

15 題組 : 使用圓球和球袋作機率實驗 球只有黑白兩色, 袋中裝有兩顆球, 因此只有三種可能情況 : 把雙白球稱為狀態, 一白球一黑球稱為狀態, 雙黑球稱為狀態 對這袋球做如下操作 : 自袋中隨機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 ( 移入白球或黑球的機率相等 ) 每次操作可能會改變袋中球的狀態 ( )() 如果現在袋子內的球是一白一黑 ( 即狀態 ), 請問經過一次操作後, 袋中會 變成兩顆黑球 ( 狀態 ) 的機率是多少? (A) (B) (C) (D) ( 單選 ) ( )() 把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為 p ij ( 例如上題的機率就是 p ), 由此構成一 矩陣 P 針對矩陣 P, 下列選項有哪些是正確的? (A) 矩陣 P 滿足 p ij =p ji (B) P 是轉移矩陣 ( 即每行之和皆為 ) (C) P 的行列式值為正 (D) p =p ( 多選 ) ( )() 把矩陣 P 連續自乘 k 次後的矩陣記為 P k 已知矩陣 P k 中 (i,j) 位置的值, 等於從狀態 j 經過 k 次操作後, 變成狀態 i 的機率 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? (A) 從一白一黑 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 變成雙白 ( 狀態 ) 的機率與變成雙黑 ( 狀態 ) 的機率相等 (B) 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 比變成雙黑 ( 狀態 ) 的機率大 (C) 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減 (D) 不論從哪種狀態開始, 經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的機率, 會隨 著 k 趨近於無窮大而趨近於 答案 :()(A);()(B)(D);()(A)(B)(C) ( 多選 ) 解析 :() P( )=P( 移出白球且移入白球 )= = 故選 (A) () p =P( )=P( 移出白球且移入白球 )= = p =P( )=P( 移出白球且移入黑球 )= = P =P( )=0 p =P( )=P( 移出黑球且移入白球 )= = p =P( )=P( 移出白球又移入白球 )+P( 移出黑球又移入黑球 )= + = p =P( )=P( 移出白球且移入黑球 )= = p =P( )=0 p =P( )=P( 移出黑球且移入白球 )= = p =P( )=P( 移出黑球又移入黑球 )= = ~5~

16 0 由上述討論得矩陣 P= 0 (A) : 由矩陣 P 得知 p ij =p ji 不恆成立 (B) : 每行之和皆為, 所以 P 為轉移矩陣 (C) :det(p)=0 (D) :p =,p =, 所以 p =p ()P= = P =,P =,P = k k k + k+ k+ k+ K, 由此規律性可推得 P = k k k + k+ k+ k+ 0 (A) : 已知原始狀態為一黑一白 ( 狀態 ), 即 S 0 =, 則 S k =P k S 0 = p 0 =p = (B) : 已知原始狀態為雙白 ( 狀態 ), 即 S 0 = 0, 則 S k =P k S 0 = 0 因為 ( ) +( ) k+ >( ) -( ) k+, 所以 p >p ( ) +( ) k+ ( ) -( ) k+ (C) : 已知原始狀態為雙白 ( 狀態 ), 則 p k =( ) +( ) k+ 會隨著 k 值增加而 遞減 (D) : 若 k, 則 ( ) +( ) k+ ( ) -( ) k+ ( ) ( ) ~6~ ( ) -( ) k+ ( ) +( ) k+ 均

17 填充題 A. 若坐標平面上滿足 x +axy+y = 的點 (x,y), 都滿足 x +y, 則 a 的最小可能值為 答案 :- 解析 : 因為滿足 x +axy+y = 的點都能滿足 x +y 所以 x +axy+y = 的圖形必不會超過 x +y 的圖形因此 x +axy+y = 的圖形必為橢圓 π - π 而且只要將坐標軸旋轉 θ= (cotθ= =0 且 0<θ< ) a 即可得到橢圓的標準式 由坐標軸旋轉的不變量知 a'+c'= 且 a'-c'=± 0 +a =± a a a a'= ±,c'= a ( ± )X a +( )Y =, 又此圖形在 x +y 圖形的內部 ( 含邊界 ) a a ± ± - a a ± 故 a 的最小可能值為 - B. 將 tanx=x 的所有正實根由小到大排列, 得一無窮數列 x,x,,x n,, 則 lim (x n + -x n )= ( 四捨五入到小數第二位 ) n 答案 :. 解析 : 方程式 tanx=x 的正實根就是兩函數 y=x 與 y=tanx 的圖形交點的 x 坐標, 由下圖可知, lim x π n + =(n+)π+, lim x π n=nπ+ n n 所以 lim (x n + -x n )=π(tanx 的週期 ). n ~7~

18 計算題 一 若有 θ 使下述方程組不只有一組解, 求 sinθ+cosθ 的值 (+cosθ)x-y=0 -x+(+sinθ)y=0 (+cosθ)x-y=0 答案 : 方程組 不只有一組解 兩直線重合 係數成比例 -x+(+sinθ)y=0 + cosθ - 所以 = (+cosθ)(+sinθ)= - + sinθ sinθcosθ+sinθ+cosθ=0( ) t - 令 sinθ+cosθ=t, 則 sinθcosθ= ( ) 且 - t t - +t=0 t +t-=0 得 t=- ± (-- 不合 ) 故 sinθ+cosθ=-+ 答 :-+ 二 設 k 為一常數 已知一拋物線通過點 (,0), 且焦點為 (,), 準線為 kx+y+=0, 求此拋物線頂點的坐標 k +0+ 解析 : 由拋物線的幾何意義 PF=d(P,L) ( - ) +( 0- ) = k= k + 所以準線 L 之方程式為 x+y+=0 對稱軸 L':x-y+=0( 因為軸 L 且過焦點 F(,)) x-y+=0 x+y+=0 得對稱軸 L' 與準線 L 的交點 (-,) 再求點 (-,) 與 (,) 的中點即可得頂點 (0, ) 答 :(0, ) ~8~

19 9 年指考甲 單一選擇題 ( ). 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示 已知芮氏等級每增加 級, 地震震幅強度約增加為原來的 0 倍, 能量釋放強度則約增加為原來的 倍 現假設有兩次地震, 所釋放的能量約相差 00,000 倍, 依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍? 請選出最接近的答案 (A) 0 倍 (B) 00 倍 (C) 000 倍 (D) 0000 倍 答案 :(C) 解析 : 設兩次地震相差 n 級, 則 () n n nlog 5 nlog 得 n., 則地震震幅強度約相差 0 n =0. =098 倍, 故選 (C) sin θ cosθ ( ). - 可化簡為 (A) sinθ (B) cosθ (C) tanθ (D) cotθ sec θ csc θ 答案 :(A) sin θ cosθ 解析 : - =sinθcosθ-cosθsinθ=sin(θ-θ)=sinθ, 故選 (A) sec θ csc θ ( ). 令 i= -, z 表複數 z 的共軛複數 在複數平面上, 所有滿足方程式 答案 :(C) (+i)z-(-i) z=0 的複數 z, 會形成下列哪種的圖形? (A) 一點 (B) 一圓 (C) 一直線 (D) 兩直線 解析 : 令 z=x+yi,x,y R, 代入 (+i)z-(-i) 錯誤!=0 (+i)(x+yi)-(-i)(x-yi)=0 (x-y) \ +(x+y)i-(x-y) \ +(x+y)i=0 (x+y)i=0 x+y=0, 故 z 的圖形為一直線 多重選擇題 ( ). 設 f(x)=x +a(-x ) 為一實係數多項式函數,a 為常數 下列敘述何者正確? (A) 不論 a 是何值,f(x) 的函數圖形都不可能是直線 (B) 不論 a 是何值, 若 f(x) 有極值, 則極值都等於 a( 極大值與極小值統稱極值 ) (C) 0 有可能是 f(x) 的極大值 (D) 若 a 0, 則 f(x)=0 無重根 答案 :(B)(D) 解析 :f(x)=x +a(-x )=(-a)x +a (A) :a= 時,f(x)= 之圖形為一直線 (B) : a 時,f(x) 在 x=0 時有極值 a a= 時, 得 f(x)= 亦有極值 a (C) : a< = 時, 圖形為開口向上的拋物線, 沒有極大值 a= 時, 得 f(x)=, 為極大值 a> 時, 圖形為開口向下的拋物線, 有極大值 a( 但 a>) 由 得知 0 不可能是 f(x) 的極大值 (D) : 若 f(x)=0, 則 (a-)x =a x a = a - 當 a=0 時, 才能得 x=0( 重根 ) 若 a 0,x 可能有正負平方根或無實解, 不可能為重根 ~9~

20 多重選擇題 ( )5. 如下圖,ABCD 是邊長為 的正方形, 在 AB,BC,CD,DA 四邊上依序任取一點 P,Q,R,S( 皆非頂點 ), 若 PQRS 是長方形但不是正方形, 下列敘述何者正確? (A) SAP 與 PBQ 相似 (B) SAP 和 QCR 全等 (C) PB= QB (D) PBQ 的最大可能面積為 答案 :(A)(B)(C) 解析 : 令 ASP=α, APS=β,α+β=90 BPQ= CQR= DRS=α, BQP= CRQ= DSR=β (A) 因為 ASP= BPQ, 且 APS= BQP, 所以 SAP 與 PBQ 相似 (B) 因為 ASP= CQR, SP= QR, APS= CQR, 所以 SAP 和 QCR 全等 (C) 設 BP=x, BQ=y, 以頂點 D 為原點 (0,0), 將各點貼上坐標得 A(0,),C(,0),P(-x,),Q(,-y),R(x,0),S(0,y) 因為 PQRS 為長方形, 所以 x(x-)-y(y-)=0 x -y -x+y=0 PS PQ (x-,y-).(x,-y)=0 (x+y)(x-y)-(x-y)=0 (x-y)(x+y-)=0 x=y 或 x+y=( 不合, 因為 PQRS 非正方形 ) 故 PB= QB R = x + y = x + y x+ y + = x + y = P ) ( Q ( ) ( ) ( ) Q P (D) 令 PB= QB=x, 則 PBQ= x (0<x<) 若 PBQ 的面積為, 則 x = x = ( 不合, 因為 x<) 故 PBQ 的最大面積不可能是, 故選 (A)(B)(C) ( )6. 球面 x +y +z = 與空間中兩點 P=(,-,),Q=(-,,-) 的關係是 (A) 直線 PQ 和球面交於兩點 (B) 線段 PQ 和球面交於兩點 (C) 直線 PQ 與球面相切 (D) 直線 PQ 通過球心 答案 :(A)(B)(D) x=-+t 解析 : 直線 PQ 的參數式為 y=-t,t R, 則此直線上任一點到球心的距離為 z=-+t (- + t) +( -t ) +(-+ t) = 6t -t+6 = 6 ( t- ) 所以 t= 時與球心的距離為 0, 也就是說 t= 時的點即為球心本身又由 OP= 6 >, OQ= 6 > 得知 P,Q 兩點均在球面外部故直線 PQ, 線段 PQ 均與球面交於兩點, 且直線 PQ 會通過球心 ~0~

21 ( )7. 宴會在場的 50 位賓客有人偷了主人的珠寶, 由於賓客身上都沒有珠寶, 而且他們 答案 :(A)(C) 都不承認偷竊 警方決定動用測謊器, 並且只問客人一個問題 : 你有沒有偷珠 寶? 已知若某人說謊, 則測謊器顯示他說謊的機率為 99%; 若某人誠實, 則測 謊器顯示他誠實的機率是 90% 下列敘述何者正確? (A) 設竊賊只有一人, 當賓客受測時, 測謊器顯示賓客說謊的機率大於 0% (B) 設竊賊只有一人, 當測謊器顯示一賓客說謊時, 該賓客正是竊賊的機率大於 50% (C) 設竊賊只有一人, 當測謊器顯示一賓客誠實時, 該賓客卻是竊賊的機率小於 0% (D) 當測謊器顯示一賓客說謊時, 該賓客是竊賊的機率, 並不因竊賊人數多少而改變 解析 : 設 50 位賓客中竊賊只有 人 由題意得樹狀圖如下 : 0.98 誠實 0.0 說謊 0.0 顯示說謊 0.90 顯示誠實 0.99 顯示說謊 0.0 顯示誠實 (A) :P( 顯示說謊 )=P( 顯示說謊 誠實 ).P( 誠實 )+P( 顯示說謊 說謊 ).P( 說謊 ) =(0.0)(0.98)+(0.99)(0.0)= =0.78>0% (B) :P( 說謊 顯示說謊 )= = <50% ( 0.0)( 0.0) (C) :P( 說謊 顯示誠實 )= = ( 0.98)( 0.90)+( 0.0)( 0.0) 880+ < 5 (D) : 若竊賊有 人, ( 0.0)( 0.99) 96 則 P( 說謊 顯示說謊 )= = ( 0.96)( 0.0)+( 0.0)( 0.99) = ( 當測謊器顯示一個賓客說謊時, 該賓客是竊賊的機率, 會因為竊賊人數多少而改變 ) ( )8.A 是 方陣, 設 A =A.A,A =A.A.A, 以此類推 已知 A. - =, A. = -, 若有 a,b 使得 A. a =, 下列敘述何者正確? b (A) a=- (B) b= (C) A. - = - (D) A 是一旋轉方陣 答案 :(B)(C)(D) 解析 :A. - = 且 A. = - A. = A= - = -. - = 0 - = cos90 -sin90-0 sin90 cos90 矩陣 A 為一個使圖形旋轉 90 的旋轉矩陣, 故 (D) 正確 所以 A 表旋轉 次 90, 恰回原來之點, 即 A = 0 0 (A)(B) 0 a = a=,b=; 0 b (C) 將點 (,-) 繞原點旋轉 80 可得 (-,), 所以 A. - = -, 故 (C) 正確 ~~

22 ( )9. 有一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 0), 並與 x 軸 直線 y=x- 直線 y=-x- 相切 下列敘述何者正確? (A) 此拋物線的對稱軸必為 y 軸 (B) 若此拋物線對稱軸為 y 軸, 則其焦距為 ( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) (C) 此拋物線的頂點必在 x 軸上 (D) 有不只一條拋物線滿足此條件 答案 :(B)(D) 解析 : 滿足條件的拋物線, 有開口向上者 ( 如圖 ( 一 )), 亦有斜向開口者 ( 如圖 ( 二 )) 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) (B) 如果開口向上, 且對稱軸為 y 軸時 拋物線與 x 軸相切 頂點在原點, 設拋物線為 x =cy,c>0 由 x = cy { 相切 x -cx+c=0 有等根 y= x b -ac=0 c= 焦距為 x =y (A)(C)(D) 至少可以找到三條拋物線滿足題意 : 其對稱軸為 L 與 L 夾角的分角線 (y 軸 ) L 與 x 軸夾鈍角的分角線 L 與 x 軸夾鈍角的分角線 填充題 A. 全班男女生共 5 人, 票選畢業旅行的目的地, 每人限投一票, 結果如下表 現以簡單隨機抽樣, 抽出兩人, 若這兩人都是女生, 則這兩人都想去墾丁的機率是 ( 以四捨五入取到小數兩位 ) 答案 :0.5 0 C 解析 :P( 抽出的兩人為女生 )= C 5 = =0.5 0 女 男 墾丁 0 0 澎湖 6 0 花東 9 6 ~~

23 B. 考慮雙曲線 y -x = 圖形的上半部 ( 如下圖 ), 取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點與漸近線 y=x 的距離, 記為 d n, 其中 n 為正整數 則 lim (n.d n)= n ( 以四捨五入取到小數兩位 ) 答案 :0.5 解析 : 令 x=n y =n + y= n +, 所以 P(n, n + ), 又 L:x-y=0 n- n + n + -n n + - n n + +n 所以 d n =d(p,l)= = =. = n ++ n ( n ++ n) 故 lim (n.d n)= lim n n n ( n ++ n ) = lim = 0.5 n.88 ( + + ) n 計算題 一 袋中有三個一樣大小的球, 分別標示 0 分,0 分,0 分 重複自袋中取出一球後放回, 記錄得分並累加, 其中取出各球之機率皆相等 () 求抽三次後總分為 60 分的機率 () 遊戲 過三十 的規則是重複抽球, 直到總得分大於或等於 0 分後停止, 總得分恰為 0 分者輸, 超過 0 分者贏 求贏得此遊戲之機率 答案 :() 抽三次後總分為 60 分的情形只有 (0,0,0),(0,0,0) 兩種組合所以 P( 抽三次後總分為 60 分 )=( ).!+( ) = = 7 7 () 先討論 輸 的情形與機率 : (0)+(0,0)+(0,0,0)! 6 = +( )( )!+( )( )( ) =! 7 6 P( 贏 )=- = 答 :() ;() 7 7 ~~

24 二 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (0,0) 和 (,), 且 y=x+ 為此橢圓的切線 () 求此橢圓的半長軸長 () 設此橢圓方程式為 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey=, 求 A,B,C,D,E 之值 答案 :() 兩焦點 F (0,0),F (,), 得中心點為 O(,) 且長軸 F F 方程式為 y=x 所以我們發現切線 L:y=x+ 與長軸 F F 則此切線 L 必切此橢圓於短軸之一端點 平行 -- b=d(o,l)= =, 又 c= a =b +c =+8=9, 得 a=, 故半長軸長為 () 令此橢圓上任一點 P(x,y), 由橢圓的幾何意義知 ( x- 0) +( y- 0) + ( x- ) +( y- ) =6- ( x- ) +( y- ) = x + 兩邊平方 x +y -8x-8y+=x +y - 經化簡得 5x -8xy+5y -x-y-=0, 故 A=5,B=-8,C=5,D=-,E=- 答 :() ;() A=5,B=-8,C=5,D=-,E=- y x + y +6 ~~

25 95 年指考甲 單一選擇題 ( ). 試問方程式 (x +x+) +=0 有幾個相異實數解? (A) 0 個 (B) 個 (C) 個 (D) 個 (E) 6 個 答案 :(A) 解析 : 令 y=x +x+, 則 y +=0 (y+)(y -y+)=0 因 y -y+=0 無實數解 y=- 即 x +x+=- x +x+=0 之判別式 - =-7<0 亦無實數解, 故方程式無實數解, 選 (A) ( ). 在坐標平面上, 設 P 為 y=+x-x 圖形上的一點 若 P 的 x 坐標為 log 0, 則 P 點的位置在 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (E) 坐標軸上 答案 :(D) 解析 : 本題只須判斷 x,y 之正負即可 () x=log 0>log =0 x>0 () y=+x-x =-(x-)(x+)=-(log 0-)(log 0+) log 0>log 9= y<0 由 () () 知 P(x,y) 在第四象限, 故選 (D) ( ). 在坐標平面上給定兩點 A(,) 與 B(5,6) 考慮坐標平面上的點集合 S={P PAB 之面積為 0 且周長為 5}, 則 (A) S 為空集合 (B) S 恰含 個點 (C) S 恰含 個點 (D) S 為兩線段之聯集 (E) S 為兩直線之聯集 答案 :(C) 解析 : 周長 PA+ PB+ AB=5, 而 AB=5 PA+ PB=0 P 在以 A,B 為兩焦點, 長軸長 a=0 的橢圓上 又 PAB 面積 = AB h=0, 因此 PAB 的高 h= 由 a=5,c= AB= 5 得 b= 75 6 a -c = > =h 作與 AB 平行且距離 的直線, 與橢圓有 個交點 故選 (C) ~5~

26 多重選擇題 ( ). 擲一次均勻硬幣 次, 恰好出現 n 次正面的機率記為 a n ; 擲一枚均勻硬幣 8 次, 恰好出現 n 次正面的機率記為 b n 試問以下哪些選項是正確的? (A) a = (B) a =b (C) b =b 6 (D) a >b (E) b 0,b,b,,b 8 中的最大值是 b 答案 :(C)(D)(E) 解析 : 由題意知 a n =C ( n ),b n =C 8 n ( ) 8 (A)a =C ( ) = 8 a (B)b =C 8 ( ) 8 5 = 8 a b (C)b =C 8 ( ) 8 =C 8 6 ( ) 8 =b 6 (D)a =C ( ) =,b =C 8 ( ) = = > a >b (E)b 0 = =b8,b = =b7,b = =b6,b = =b5,b =, 最大值是 b 故選 (C)(D)(E) ( )5. 在坐標平面上以 Γ 表示拋物線 y=x 的圖形 試問以下哪些方程式的圖形可以由 Γ 經適當的平移或旋轉得到? (A)y=x (B)y=-x (C)x=y (D)y=x +x+ (E)(x+y)=(x-y) 答案 :(B)(C)(D) 解析 :Γ:y=x 經平移會改變頂點位置, 因此 (D) 正確, 經旋轉會改變開口方向, 因此 (B) 正確, 但不會改變開口大小, 因此 (A) 錯誤 (C) 考慮 y=x 與 x'=y' =(-y') 令 x y = ' y ' x, ' 則 x ' y = y x = 0 π π x 因 0 0 y 0 = cos( ) sin( ) 0 ( ) 0 π π sin( ) cos( ) 所以 x=y 為 y=x π 圖形旋轉 (- ) 所得,(C) 正確 (E) 考慮 y=x 與 (x'+y')=(x'-y') 令 x y = x'-y' x'+y' ' 則 x ' y 因 - = x+y = y-x = - ~6~ -(- ) (- ) x y = 所以 (x+y)=(x-y) 為 y=x π 圖形先旋轉 -, 再伸縮 故選 (B)(C)(D) cos(- π ) -sin(- π ) sin(- π ) cos(- π ) 所得,(E) 錯誤,

27 ( )6. 考慮多項式函數 f(x)=x 5 +x -x -5x +, 試問以下哪些選項是正確的? (A) lim k f( k ) =0(k 為正整數 ) f( k+00) f( x )- f( ) (B) lim =0 x x- (C) 函數 f 在區間, 遞增 (D) 若 x 0, 則 f(x) 0 (E) 在坐標平面上 y=f(x) 的圖形與直線 y= 恰有兩個交點 答案 :(B)(D)(E) 解析 :f(x)=x 5 +x -x -5x +, f '(x)=5x +8x -x -0x=x(x-)(5x +x+0) (A) lim f( k) k f( k+00 ) = lim k f( k) 5 k = =, 即比較分子 分母的最高次 k 5 之係數 f( k+00) 5 k f( x)- f( ) (B) lim =f '()=0 x x- (C) 若 f 遞增, 則 f '(x)=x(x-)(5x +x+0) 0, 因 5x +x+0>0 恆成立 (D) 所以 x(x-) 0 得 x 或 x 0, 故 x 0 f '(x) f(x) 0 x 時,f 並非遞增 由上表知 x 0 時,f(x) 之最小值為 f()=0 因此, 若 x 0, 則 f(x) 0 (E) 由 (D) 可作 y=f(x) 略圖如下, 與直線 y= 恰有兩個交點, 故選 (B)(D)(E) ~7~

28 填充題 A. 設 u, v 為兩非零向量 以 u 表 u 之長度, 若 u = v = u + v, 且 θ 表 u 與 v 之夾角, 則 cosθ= ( 化成最簡分數 ) -7 答案 : 8 解析 : 令 u = v = u + v =a, 則 u =a, v =a, u + v =a u + v =a u + u. v +9 v =a.a + u. v +9a =a u. v =- 7 a 因此 cosθ= u. v 7 - a u v = a -7 = 8 B. 在坐標空間中, 球面 S 交 xy 平面於一半徑為, 圓心為 (,,0) 的圓, 且 S 通過點 (6,6,6), 則 S 的半徑為 答案 : 9 解析 : 球心 A(a,b,c) 在 xy 平面垂足為 B(a,b,0)=(,,0), 因此 a=,b= 即球心 A(,,c), 設 P(6,6,6), 則 S 半徑為 AP 因此 + +( c-6 ) = c + ( ) 即 c -c+6=c +, 得 c= 故 S 的半徑為 ) +( = 9 C. 設實係數二階方陣 A 滿足 A 7 =,A 9 = 5 若 A= 5 a c b d, 則 a=,b=,c=,d= 答案 :a=,b=-,c=-9,d=7 解析 : 由 A 7 =,A 9 = 5, 知 A 7 9 = 5 因此 A= 可知 a c b d = 故 a=,b=-,c=-9,d=7 又 A= 5 a c b d -9 = - 7 = -9-7 ~8~

29 D. 不透明箱內有編號分別為 至 9 的九個球, 每次隨機取出一個, 記錄其編號後放回箱內 ; 以 P(n) 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率, 已知存在常數 r,s 使得 P(n+)=r+Sp(n) 對任 意正整數 n 都成立, 則 r=,s= ( 化成最簡分數 ) 5 - 答案 :r=,s= 9 9 解析 : 前 n 次和為偶數的機率 P(n), 因此和為奇數的機率為 -P(n) 由偶數 =( 偶數 + 偶數 ) 或 ( 奇數 + 奇數 ) 得 P(n+)=P(n) 9 + -P(n) 9 5 = 9 5 +(- 9 )P(n) 5 - 故 r=,s= 9 9 E. 以 O 表坐標平面的原點 給定一點 A(,), 而點 B(x,0) 在正 x 軸上變動 若 l (x) 表 x AB 長, 則 OAB 中兩邊長比值的最大值為 ( 化成最簡分數 ) l(x ) 5 答案 : 解析 :l (x)= AB= ( x- ) + = x x -8x +5 = l(x) x = x -8x 其中 - + x x =5( x -. )+=5( - ) x x 5 5 =5( - ) 9 + x x x 當 5 =, 即 x= 時分母有最小值 x 5 9 x 5 = 有最大值 = 5 5 l(x ) 5 計算題一 () 將 850 分解成質因數的乘積 () 寫出在 和 50 之間且與 850 互質的所有合數 ( 合數就是比 大而不是質數的整數 ) 答案 :() 如右得 850= 5 7 () 與 850 互質, 因此無因數,,5,7,, 又必須為質數, 因此要有質因數,7,9,, 而在 和 50 之間的有 =69, 7=, 9=7, 故所求為 69,,7 答 :() 5 7 ;()69,, ~9~

30 二 傳說中孫悟空的 如意金箍棒 是由 定海神針 變形得來的 這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體, 其底圓半徑原為 公分且以每秒 公分的等速率縮短, 而長度以每秒 0 公分的等速率增長 已知神針之底圓半徑只能從 公分縮到 公分為止, 且知在這段變形過程中, 當底圓半徑為 0 公分時其體積最大 () 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大? () 試求定海神針原來的長度 () 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒, 試求金箍棒的長度 答案 :() 依題意, 半徑 0 公分體積最大, 因此 -0=, 故 秒後其體積最大 () 設原長度 x 公分,t 秒後之體積 f(t)=π.(-t).(x+0t) =π 0t +(x-80)t +(880-x)t+x f '(t)=π 60t +(x-80)t+(880-x) 由 f '()=0 得 0+(x-80)+800-x=0 x=60, 故原長度為 60 公分 () 由 () 知 x=60, 因此 f '(t)=π(60t -80t+0)=60π(t-)(t-) 又 -t 0 t 8 而 f(0)=860π,f(8)=50π t 0 8 f '(t) f(t) 因此 t=8 時, 體積最小, 長度 =60+0t=60+60=0( 公分 ) 答 :() 秒 ;()60 公分 ;()0 公分 ~0~

31 單一選擇題 ( ). 設 z=cos π 7 () sin π 7 (5) -cos π 7 答案 :() +i sin π 7 解析 : -z = -cos π 7 = -cos π 7 () sin π 7 96 年指考甲, 試問複數 -z 的絕對值為以下哪一選項? -i sin π 7 = () sin π 7 = (-cos π 7 (-cos π 7 () (-cos π 7 ) +(-sin π 7 ) =.sin π 7 ) =sin π 7 -x-x - ( ). 試問下列有關極限 lim 的敘述何者正確? x x- () 極限不存在 () 極限為 0 () 極限為 () 極根為 5 (5) 極限為 - 答案 :() 解析 :-x-x =-(x+ ) +, 當 x 時, 上式 <0 lim x -x-x - x- -(-x-x )- =lim x x- =lim x x +x- x- ) (x-)(x+) =lim =lim(x+)=5 x x- x ( ). 設 a, a, a,, a 0 是一等比數列, 其首項 a > 且公比 r> 坐標平面上有一質點 M 自原點 (0, 0) 出發, 依以下規則連續動十次 : 第一次移動往右 log a 單位, 第二次移動向上 log a 單位, 第三次移動往右 log a 單位, 第四次移動向上 log a 單位, 依此類推直到第十次 ; 即第 k- 次移動是往右 log a k - 單位, 接著第 k 次的移動是向上 log a k 單位 已知經過這十次的移動後, 該質點 M 停在點 (5+5log, 5+ 5 log ) 的位置上, 試問首項 a 與公比 r 組成的序對 (a, r) 為以下哪一選項? ()(, ) ()(, 5 ) ()(, ) ()(5, 5 ) (5)(5, ) 答案 :(5) 解析 :(0, 0) (log a, 0) (log a, log a ) (log a +log a, log a ) (log a +log a, log a +log a ) 第十次移動後, 位置為 x 坐標 :loga +loga +loga 5 +loga 7 +loga 9 =loga +loga r +loga r +loga r 6 +loga r 8 =5log a +0log r=5+5log y 坐標 :loga +loga +loga 6 +loga 8 +loga 0 =loga r+loga r +loga r 5 +loga r 7 +loga r 9 =5loga +5log r=5+ 5 log - 5log r= 5 log r= 代入,5log a +0log =5+5log a =5 ~~

32 多重選擇題 ( ). 某校高三共有 00 位學生, 數學科第一次段考 第二次段考成績分別以 X Y 表示, 答案 :()()()(5) 且每位學生的成績用 0 至 00 評分 若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.06, 試問下列哪些選項是正確的? () X 與 Y 的相關情形可以用散佈圖表示 () 這兩次段考的數學成績適合用直線 X=a+bY 表示 X 與 Y 的相關情形 (a,b 為常數,b 0) () X+5 與 Y+5 的相關係數仍為 0.06 () 0X 與 0Y 的相關係數仍為 0.06 X- X (5) 若 X = S X Y- Y Y = S Y 為 X Y 的標準差, 則 X 與 Y 的相關係數仍為 0.06 解析 :() 00 位學生的 (X, Y) 可用散佈圖表示 () 若 X=a+bY, 則 X 與 Y 的相關係數為 或 -, 其中 X Y 分別為 X Y 的平均數,S X S Y 分別 ()()(5) 取 X =ax+b,y =cy+d, 其中 ac 0, 則相關係數 r(x, Y )= ac.r(x, Y) ac r(x+5, Y+5)=r(X, Y)=0.06,r(0X, 0Y)=r(X, Y)=0.06 X- X r( S X, Y- Y S Y )=r(x, Y)=0.06 ( )5. 設 P(x) 是一個五次實係數多項式 若 P(x) 除以 x- 的餘式是, 且商 Q(x) 是一個係數 答案 :()() 均為正數的多項式, 試問下列哪些選項是正確的? () P(x)=0 與 Q(x)=0 有共同的實根 () 是 P(x)= 唯一的實根 () P(x) 不能被 x- 整除 () P(x)=0 一定有小於 的實根 (5) P(x) 除以 (x-)(x+) 的餘式也是 解析 : 由題意 : P(x)=(x-).Q(x)+, 其中 P(x) 為 5 次的實係數多項式,Q(x) 為 次的正數係數多項式 ()P(x)=0 與 Q(x)=0 沒有共同的實根 ( P(α)=0 與 Q(α) =0 不能同時成立, 否則 0=0+) ()P(x)= 即 (x-).q(x)=0, 至少有一個實數根, 不一定唯一 () Q(x) 的係數為正數 Q()>0 P()=Q()+>0 P(x) 不能被 x- 整除 () P(x)=0 即 (x-).q(x)=-, 當 x> 時,Q(x)>0, 上式不合 P(x)=0 為 5 次實係數 一定有實根 由 (x-).q(x)=-, 該實根必小於 (5) Q(x) 不一定有因式 x+ P(x) 以 (x-)(x+) 除之, 餘式不一定是 ~~

33 ( )6. 設 a 是不為零的實數, 且以下的三元一次方程組有解 : 答案 :()()(5) x- = y-5 y-5 =z- x a =z- y+ =z- 試問下列哪些選項是正確的? () a= () 原方程組有唯一解 () 方程組 () 方程組 x- = y-5 x a =z- x (5) 方程組 a =z- y+ 有唯一解 =z- x- y-5 解析 : y+ y-5 =z- 改為 =z- 題意為 x- x a = x- () 必須 a = y-5 = y-5 =z- 有無窮多解 有無窮多解 =z-, x a =z- 有解 a + (-a)x=a x= (a ) a () 表直線, 表平面, 又 a 原方程組有唯一解 () 有解 二平面 () 有解 二平面 x- = y-5 x a =z- 與 與 y+ (5) 方程組表一直線, 有無窮多解 x a =z- 交於一直線 有無窮多解 =z-交於一直線 有無窮多解 ~~

34 ( )7. 有關矩陣 A= 與矩陣 B= () AB=BA () A B=BA () A B =B 6 A 5 () AB =A 7 (5)(ABA) 5 =AB 5 A 答案 :()()(5) 解析 :A= B= 表鏡射 A - =A,A =I - = cos π sin π -sin π cos π - 表旋轉 B n =, 試問下列哪些選項是正確的? cos nπ sin nπ -sin nπ cos nπ - () AB= - -,BA= - () A B=IB=B,BA =BI=B () A B =AB = cosπ -sinπ sinπ cosπ = B6 A 5 =IA=A= () AB =AI=A=A 7 (5)(ABA) 5 =(ABA - ) 5 =AB 5 A - =AB 5 A ( )8. 考慮坐標平面上函數 y=x +x+ 的圖形 (x 為任意實數 ), 試問下列哪些選項是正確的? () 圖形有最高點, 也有最低點 () 圖形有水平切線 () 圖形與任一水平直線恰有一交點 () 若 (a, b) 在圖形上, 則 (-a, -b+6) 也在圖形上 (5) 圖形與三直線 x=0,x=,y=0 所圍成的區域之面積大於 答案 :()()(5) 解析 :y=f (x)=x +x+ f (x)=x + () 圖形沒有最高點, 也沒有最低點 () 圖形沒有水平切線 ( f (x)=0 沒有實數解 ) () f (x) 絕對遞增 圖形與任一水平直線恰有一交點 () 若 (a, b) 在圖形上, 則 b=a +a+ -b+6=-a -a+=(-a) +(-a)+ 點 (-a, -b+6) 也在圖形上 (5) 簡圖如右, 面積 = f (x)dx=( x 0 +x +x) 0 =( 7 ++)-0= x f '(x) f (x) + ~~

35 填充題 A. 某公司共有 6 個工廠, 各工廠的產量都一樣, 且所生產的產品都放進同一倉庫中 由過去的經驗 k 知道, 第 k 個工廠的產品不良率為 50, 其中 k=,,,, 5,6, 為了檢驗倉庫中這一批產品的品質, 從倉庫中任意抽出一件, 若為不良品, 則此不良品是來自第五個工廠的機率為 ( 化成最簡分數 ) 答案 : 5 解析 : 各工廠的產量相同 抽到第 k 個工廠的產品之機率為 所求機率為 P( 來自第五工廠 不良品 )= ( 6 k = 50 ) k= = 5 B. 在坐標平面上, 一圓通過點 (-, 7), 且與直線 x+y-=0 相切於點 (-, 6), 若此圓的 方程式為 x +y +ax+by+c=0, 則 a=,b=,c= 答案 :a=0,b=-6,c=9 解析 : 圓 x +y +ax+by+c=0 以點 (-, 6) 為切點 切線 :(-)x+6y+a. -+x +b. 6+y +c=0, (a-)x+(b+)y+(-a+6b+c)=0 此與 x+y-=0 表同一條切線 a- = b+ = -a+6b+c - 圓通過點 (-, 7) +9-a+7b+c=0 a-b=5 由 5a+b+c=, 解得 a=0,b=-6,c=9 a-7b-c=5 C. 張師傅想為公司設計底面為正方形且沒有蓋子的一個長方體紙盒, 裡面白色, 外面灰色 在灰色部分的面積為 平方公分的限制之下, 為了使紙盒的容量達到最大, 他應將此無蓋長方體紙盒的底面每邊邊長設計為 公分 答案 : 解析 : 如右圖, 底面正方形的邊長為 x 公分, 長方體的高為 y 公分, 灰色部分的面積為 x +xy=( 平方公分 ), 紙盒的容積為 x y( 立方公分 ) 法一 x y=x. -x =08x- x =f(x) f (x)=08- x =- (x+)(x-) 當 x= 時, 容積 f(x) 有最大值 法二 x +xy=x +xy+xy x.xy.xy > (x y ) x y < 6 x y< 86 式中等號成立時,x =xy, 即 x=y =x +xy=x x= x= 時, 容積 x y 有最大值 x 0 f (x) f(x) ~5~

36 計算題 一 設 f (x)=x -6x -x+0, 且 a,b 是方程式 f (x)=0 的兩正根 () 求解三次方程式 f (x)=0 () 若 ABC 中, =a, AC =b, ACB=0, BC 且 D,E 是 AB 上兩點, 滿足 = BD, BC = AE, AC 試求 CDE 的面積 答案 :()x=-,,5;() 面積為 5 8 解析 :()f (x)=x -6x -x+0, 整係數一次因式可能為 x±,x±,x±,x±5, 代入檢驗 f ()=0 f (x)=(x-)(x -x-0) =(x-)(x+)(x-5) f (x)=0 的三根為 -,,5 () 由 () 取 a=,b=5 ABC 中, =5 AB cos0 =9 =7 AB 於右圖中, = AB +BD AE -DE = + AC -DE BC = DE CDE 面積 = 7 ABC 面積 ( 同高, 底 = DE 7 ) AB = 7 ( 5..5.sin0 )= 8 二 設 ABC 的三頂點坐標分別為 A(-, 7, 5) B(, 6, ) C(0, 7, ) () 試求通過 A B C 三點的平面方程式 () 試求 ABC 的外心坐標 答案 :() x+y+z=0;()(, 9, 8,) 解析 :() AB =(, 9, -), AC =(, 0, -) ( 法一 ) 利用體積 =0 0= x+ y-7 z =6 x+ y-7 z 得平面 ABC:x+y+z=0 ( 法二 ) 利用外積找法向量 AB AC =(-08, -08, -08)//(,, ) 平面 ABC:.(x+)+.(y-7)+.(z-5)=0 即 x+y+z=0 () AB 之中點 D(-, AC之中點 E(, 7, 9) 設外心 P(a, b, c), DP AB a+b-c=- EP AC a-c=-5, 9), 點 P 在平面 ABC 上 a+b+c=0 解得 a=,b=9,c=8 外心 P(, 9, 8) ~6~

37 單一選擇題 97 年指考甲 ( ). 已知正整數 n 可以寫成兩個整數的平方和 試問 n 除以 8 的餘數不可能為以下哪一選項? 答案 :(5) () () () () 5 (5) 6 解析 : 任一整數的平方被 8 除之餘數可能為 0,,, 由題意知 n=m +k,m,k 均為整數, 則 n 被 8 除之餘式可能為 0,,,,5, 故應選 (5) ( ). 在與水平面成 0 的東西向山坡上, 鉛直 ( 即與水平面垂直 ) 立起一根旗竿 當陽光從正西方以俯角 0 平行投射在山坡上時, 旗竿的影子長為 公尺, 如下圖所示 ( 其中箭頭表示陽光投射的方向, 而粗黑線段表示旗竿的影子 ) 試問旗竿的長度最接近以下哪一選項? () 9. 公尺 () 9.8 公尺 () 0.7 公尺 (). 公尺 (5).7 公尺參考數值 :sin0 0.7,sin0 0.,cos , 答案 :() cos0 0.90,.7 解析 : 如圖,CE =, CED=0,CD =sin0, =cos DE 0,AD =DE tan 60 = cos0 AC =CD +AD = ( sin0 + cos0 ) = sin ( )= sin 70 = cos 0 = 故應選 () 多重選擇題 ( ). 設 A 為坐標平面上代表旋轉某個角度的二階方陣, 且已知 A 6 = 試問 A 可能是以下哪些選項中的方陣? () 0-0 () cos 5π sin 5π -sin 5π cos 5π () (5) cos 5π 6 - -sin 5π 6 () sin 5π 6 cos 5π 6 答案 :()()(5) 解析 :A 為旋轉矩陣, 故 A 可設為 cosθ -sinθ sinθ cosθ 或 cosθ sinθ -sinθ cosθ 取 A 6 = cos6θ -sin6θ sin6θ cos6θ = ,cos6θ=-,sinθ=0, - 則 6θ=π,π,5π,7π,9π,π, 故 θ= π 6, π,5π 6,7π 6, π, π 6, 代入 A, 得 ()()(5) 為真 ~7~

38 ( ). 甲 乙 丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲, 每一局三人各擲銅板 次 ; 在某局中, 當有一人投擲結果與其他二人不同時, 此人就出局且遊戲終止 ; 否則就進入下一局, 並依前述規則繼續進行, 直到有人出局為止 試問下列哪些選項是正確的? () 第一局甲就出局的機率是 () 第一局就有人出局的機率是 () 第三局才有人出局的機率是 6 () 已知到第十局才有人出局, 則甲出局的機率是 (5) 該遊戲在終止前, 至少玩了六局的機率大於 000 答案 :()() 解析 :() 第一局甲出局的機率為 ( )= [( 甲, 乙, 丙 )=(+,-,-)or(-,+,+) = ] () 每人出局的機率均等, 故第一局有人出局的機率為 () ( ) = 6 () 每人在每局出局的機率均相等, 故甲於第十局出局的機率仍為 (5) 機率為 :- 前五局就結束的機率 =-( 故選 ()() + +( ) +( ) +( ) ) =- -( ~8~ )5 - = 0 < 000 ( )5. 某人進行一實驗來確定某運動距離 d 與時間 t 的平方或立方成正比, 所得數據如下 : 時間 t ( 秒 ) 距離 d ( 呎 ) 為探索該運動的距離與時間之關係, 令 x=log t,y=log d, 即將上述的數據 ( t, d ) 分別取以 為底的對數變換, 例如 :(, 5.65 ) 變換後成為 (, 5.7 ) 已知變換後的數據 ( x, y ),( x, y ),,( x 9, y 9 ) 之散佈圖及以最小平方法所求得變數 y 對變數 x 的最適合直線 ( 或稱迴歸直線 ) 為 y=a+bx, 如下圖所示 : 試問下列哪些選項是正確的? () 若 d=.88, 則 <log d< () x 與 y 的相關係數小於 0. () 由上圖可以觀察出 b>.5 () 由上圖可以觀察出 a> (5) 由上圖可以確定此運動之距離與時間的立方約略成正比答案 :()() 解析 :()8<.88<6 log 8<log d<log 6,<log d<, 故真 ()( x, y ) 的散佈圖中的每個點都非常靠近迴歸直線 y=a+bx, 為高度相關 ( 接近直線 ), 故相關係數大於 0., 不真 ()b =<.5, 故不真 () 當 x=0,a, 知 a>, 故為真 (5) 若距離與時間的立方成正比, 則 d=kt ( k>0 ) log d=log t +log k, 即 log d=log t+log k y=x+log k >b, 故不真應選 ()()

39 ( )6. 設 n 為正整數, 方程式 x -x-n=0 的兩根為 a n 與 b n, 且 a n >b n 試問下列哪些選項是正確的? () a n >0 對所有 n 皆成立 () a n +b n = 對所有 n 皆成立 () b n +>b n 對所有 n 皆成立 a n a n + () lim = n n 答案 :()()()(5) (5) lim n a n -b n n = 解析 : 由題意 x 的兩根為 ± +n, 即 a n =+ +n,b n =- +n,n N () a n =+ +n>0 為真 () 由兩根和得 a n +b n = 為真 () b n +=- +n<- +n=b n, 不真 () lim n a n a n + n =lim n =lim( n a n -b n n+ (5) lim =lim = n n n n 故選 ()()()(5) ( + +n ) ( + +n ) n n + n + ) ( n + n + )=, 為真 ( )7. 設 f (x) 表示實係數多項式函數 f (x) 的導函數, 已知 y=f (x) 的圖形是一個通過點 (,0) 和點 (,0 ) 且開口向上的拋物線 試問下列哪些選項是正確的? () f (x) 一定是三次多項式 () f (x) 在 <x< 的範圍內必為遞增 () f (x) 一定恰有兩個極值 () f (x)=0 一定有三個實根 (5) f (x)=0 在 x 的範圍內一定有實根答案 :()() 解析 :() 為真,f (x) 的次方與 f (x) 的次方差一次, 又 f (x) 的次方為二次, 則 f (x) 的次方為三次 () 不真 f (x)=a (x- ) ( x- ),a>0, 當 <x<,f (x)<0 f (x) 遞減 () 為真, 當 x=,x= 時,f (x)=0, 故知 f (x) 有二個極值 () 不真, 當 f () f ()>0 時, 僅有一實根 (5) 不真, 當 f () f ()>0 時, 在 x 無實根故選 ()() ~9~

40 ( )8. 在坐標平面上, 設拋物線 Γ 通過點 ( 8, ), 且其對稱軸為直線 x-=0 試問下列哪些選項是正確的? () 若拋物線 Γ 的頂點坐標為 (, ), 則其焦點坐標必為 (, ) () 若拋物線 Γ 的焦點坐標為 (, ), 則其頂點坐標必為 (, ) () 若拋物線 Γ 也通過點 ( 0, ), 則其準線方程式必為 y+6=0 () 直線 x-=0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的頂點 (5) 直線 x-=0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的焦點答案 :()()(5) 解析 :() 為真, 由題意設拋物線方程式為 (x-) =c (y-), 通過 (8,),c=, 故焦點為 (, ) () 不真, 設 ( x- ) =c ( y-k ), 通過 ( 8, ) 6=c ( -k ),k+c=, 由, 則 k -6k+9=0,( k- ) ( k- )=0,k=,, 故焦點為 (, ),(, ) () 為真, 設 (x-) 9=c ( -k ) =c (y-k), 通過點 ( 8, ),( 0, ), 則 6=c ( -k ) 由 解得 k=-5, 故知其準線為 y+6=0 () 不真, 當頂點為 (, ) 時 此時頂點與 ( 8, ) 同一直線, 故不存在此拋物線 (5) 為真, 拋物線 ( x- ) =c ( y-k ) 過 ( 8, ) 9=c ( -k ), 當焦點確定時, 則 k+c 的值便確定, 可解出 k,c, 便可求得拋物線, 故選 ()()(5) 填充題 A. 用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形 正方形與正五邊形陣列, 其排列的規律如下圖所示 : 每邊 個鋼珠 每邊 個鋼珠 正三角形陣列正方形陣列正五邊形陣列 每邊 個鋼珠 每邊 個鋼珠 已知 m 個鋼珠恰好可以排成每邊 n 個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個 ; 且知若用這 m 個 鋼珠去排成每邊 n 個鋼珠的正五邊形陣列時, 就會多出 9 個鋼珠, 則 n=,m= 答案 :9,6 解析 : 假設每邊長為 k 個的鋼珠總數為 a k, 則 : () 正三角形 :a =,a =a +,a =a +,a =a +,, a n =a n -+n,a n =++++ +n= n ( n+ ) () 正方形 :a =,a =a +,a =a +5,a =a +7,, a n =a n -+( n- ),a n = ( n- )= n n =n () 正五邊形 :a =,a =a +,a =a +7,a =a +0,, a n =a n -+( n- ),a n = ( n- )= n ( n- ) 由題意與 得 :m= n ( n+ ) +n = n ( n- ) ~0~ +9 n=9 代入上述得 m=6

41 B. 在空間中一球面 S 與兩平面 z= 及 z=8 相交的圓面積皆為 6π, 則 S 與平面 z=7 相交的圓面積為 π 答案 :9 解析 : 球面 S 與兩平面 z= 及 z=8 相交的圓面積相等故球心必定在 z=6 上, 假設球的半徑為 r, 則由圖示中,r =6 + =0,r= 0, 設 z=7 與球面 S 相交的圓半徑為 a, 則 a =0-=9, 故截圓面積為 9π 計算題一 設 P(x) 為三次實係數多項式函數, 其圖形通過 (, ),(-, 5 ) 兩點 若 p (x) 的圖形在點 (, ) 的切線斜率為 7, 而在點 (-, 5 ) 的切線斜率為 -5, 試求 P(x) 答案 :P(x)=x +x -x+ 解析 : 假設 P(x)= ax + bx +cx+d,p (x)=ax +bx+c, 依題意得 : P ()=7 a+b+c=7,p (-)=-5 a-b+c=-5, 解得 b=6,a+c=,c=-a p ()= 又 (, ),(-, 5 ) 在 P(x) 上, 故 a++c+d= p (-)=5 - a+-c+d=5 由, 解得 a=,c=-,d=, 故 p (x)=x +x -x+ 二 設 ABC 的三高分別為 =6 AD = BE = CF () 試證 : ABC 是一鈍角三角形 () 試求 ABC 的面積 答案 :() 略 ;() 解析 :() ABC 的邊長比為高的反比, 故 a:b:c= 6 : : =::, a,b,c 分別表, BC, AC AB 的長 令 a=t,b=t,c=t ( t>0 ), 則 cos C= t +9t -6t 故 C 為鈍角, 即 ABC 為鈍角三角形 () cos C=-,sinC= -cos C= 5, ABC 面積 = 6 t= t t sinc t= 8 5, 則 ABC 的面積為 6t= t t =- <0, ~~