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1 社 心 版 中 出 版 学 n 出 c 科 术 k. o 技 o b 教 a 职 ww. w

2 高等职业教育 十一五 规划教材 高职高专机电类教材系列 数字电子技术 邱丽芳主编王皑副主编谭耀辉主审 北京

3 内容简介 全书共 9 章, 介绍了数字电路的基础知识 逻辑代数基础 逻辑门电路 组合逻辑电路 集成触发器 时序逻辑电路 脉冲电路 数模和模数转换和半导体存储器, 涵盖了数字电子技术的全部内容, 各章配有小结及习题 全书以培养技术应用能力为主线, 体现高职高专特色 在内容组织和编写安排上, 有难有易, 深入浅出, 通俗易懂 本书为高等职业教育 十一五 规划教材, 可以作为高等职业院校 高等专科学校 成人高等学校以及本科院校举办的二级职业技术学院的电气 电子 通信 计算机 自动化和机电等专业的 数字电子技术基础 数字逻辑电路 电子技术基础 ( 数字部分 ) 课程的教材, 也可供从事电子技术方面的工程技术人员参考 图书在版编目 (CIP) 数据 数字电子技术 / 邱丽芳主编. 北京 : 科学出版社, 2008 高等职业教育 十一五 规划教材 高职高专机电类教材系列 ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 唱 0 Ⅰ 畅数 Ⅱ 畅邱 Ⅲ 畅数字电路唱电子技术唱高等学校 : 技术学校唱教材 Ⅳ 畅 T N79 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2008) 第 号 责任编辑 : 庞海龙 / 责任校对 : 耿耘责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 北京东黄城根北街 16 号 出版 邮政编码 : http : //www 畅 sciencep 畅 com 印刷科学出版社发行各地新华书店经销 倡 2008 年 7 月第 一 版 开本 : / 年 7 月第一次印刷印张 : 15 印数 : 字数 : 定价 : 24 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙科印枛 ) 销售部电话 010 唱 编辑部电话 010 唱 ( V T03) 版权所有, 侵权必究举报电话 : ; ; 科学出版社职教技术出版中心

4 前 言 数字电子技术 是一门发展迅速 实践性和应用性很强的技术基础课程 根据数字电路的特点, 本书以培养学生的应用能力为目的, 在内容安排上突出基本理论 基本概念和基本分析方法, 回避了繁琐的电路内部的分析 本书理论与实践紧密结合, 从工程的角度出发培养学生应用所学知识解决实际问题的能力, 力图使学生学完本教材后能获得作为技术应用型人才所必须掌握的 数字电子技术 的基本知识和实际技能 选材时注意了内容的实用性, 突出了应用能力的培养, 概念准确, 层次分明, 文字流畅, 图表清晰, 深入浅出, 通俗易懂 全书共 9 章 第 1 章为数字电路基础 ; 第 2 章为逻辑代数基础 ; 第 3 章为逻辑门电路 ; 第 4 章为组合逻辑电路 ; 第 5 章为集成触发器 ; 第 6 章为时序逻辑电路 ; 第 7 章为脉冲电路 ; 第 8 章为数模和模数转换 ; 第 9 章为半导体存储器 各章末尾都配备了小结 习题, 帮助学生复习和巩固所学知识, 以便对所学内容进行掌握和应用 本书具体编写分工如下 : 第 1 ~ 3 章 参考答案 附录由王皑编写, 第 4 章由胡汉辉编写, 第 5 章由李德尧编写, 第 6 章由陈永荣编写, 第 7 章由张宇驰编写, 第 8 章由何忠胜编写, 第 9 章由邱丽芳编写 谭耀辉认真仔细地审阅了全书, 并提出了许多宝贵意见, 在此对他表示诚挚的谢意! 由于水平有限, 书中存在差错或不妥之处在所难免, 敬请广大读者批评指正

5 目 录 前言 第 1 章数字电路基础 1 1 畅 1 概述 1 1 畅 1 畅 1 数字信号和数字电路 1 1 畅 1 畅 2 数字电路的分类 1 1 畅 1 畅 3 数字电路的优点及应用 2 1 畅 2 数制与码制 2 1 畅 2 畅 1 常用数制 2 1 畅 2 畅 2 不同数制间的转换 4 1 畅 2 畅 3 码制 7 小结 9 习题 9 第 2 章逻辑代数基础 11 2 畅 1 概述 11 2 畅 2 逻辑函数及其表示法 11 2 畅 2 畅 1 基本逻辑函数及运算 11 2 畅 2 畅 2 几种常用的逻辑运算 13 2 畅 2 畅 3 逻辑函数的建立及其表示方法 15 2 畅 3 逻辑代数基本定律及重要规则 18 2 畅 3 畅 1 逻辑代数基本定律 18 2 畅 3 畅 2 逻辑代数的常用公式 18 2 畅 3 畅 3 逻辑代数的重要规则 19 科学出版社职教技术出版中心 2 畅 4 逻辑函数的公式化简法 21 2 畅 4 畅 1 化简的意义与标准 21 2 畅 4 畅 2 逻辑函数的公式化简法 22 2 畅 5 逻辑函数的卡诺图化简法 24 2 畅 5 畅 1 最小项与卡诺图 25 2 畅 5 畅 2 用卡诺图化简逻辑函数 29 2 畅 5 畅 3 具有无关项的逻辑函数的化简 32 小结 34 习题 34 第 3 章逻辑门电路 37 3 畅 1 概述 37

6 iv 数字电子技术 3 畅 2 分立元件门电路 37 3 畅 2 畅 1 常用分立元件的开关特性 37 3 畅 2 畅 2 分立元件门电路 41 3 畅 2 畅 3 复合门电路 43 3 畅 3 T T L 与非门电路 45 3 畅 3 畅 1 T TL 与非门 45 3 畅 3 畅 2 T TL 与非门的传输特性及主要性能指标 47 3 畅 3 畅 3 T TL 与非门的改进电路与低功耗肖特基系列 49 3 畅 4 特殊 T T L 门电路 51 3 畅 4 畅 1 集电极开路门 51 3 畅 4 畅 2 三态门 52 3 畅 5 T T L 集成逻辑门电路系列及使用注意事项 54 3 畅 5 畅 1 T TL 集成逻辑门电路系列 54 3 畅 5 畅 2 T TL 电路使用注意事项 56 3 畅 6 CM OS 集成逻辑门电路 58 3 畅 6 畅 1 CMOS 反相器 58 3 畅 6 畅 2 CMOS 门电路与 CMOS 传输门 59 3 畅 6 畅 3 CMOS 门电路的特点与使用注意事项 61 3 畅 6 畅 4 CMOS 电路与 T TL 电路的连接 62 小结 63 习题 64 第 4 章组合逻辑电路 68 4 畅 1 概述 68 4 畅 2 组合逻辑电路的分析方法和设计方法 68 4 畅 2 畅 1 组合逻辑电路的分析方法 69 4 畅 2 畅 2 组合逻辑电路的设计方法 72 4 畅 3 编码器 75 4 畅 3 畅 1 二进制编码器 76 4 畅 3 畅 2 二 十进制编码器 76 4 畅 3 畅 3 二进制优先编码器 77 4 畅 4 译码器 78 4 畅 4 畅 1 二进制译码器 79 4 畅 4 畅 2 二 十进制译码器 81 4 畅 4 畅 3 数码显示译码器 81 4 畅 5 数据选择器与数据分配器 84 4 畅 5 畅 1 数据选择器 84 4 畅 5 畅 2 数据分配器 87 4 畅 6 加法器和数值比较器 88

7 目 录 v 4 畅 6 畅 1 加法器 88 4 畅 6 畅 2 数值比较器 91 4 畅 7 用中规模集成电路实现组合逻辑电路 93 4 畅 7 畅 1 用数据选择器实现组合逻辑功能 93 4 畅 7 畅 2 用译码器实现组合逻辑功能 96 4 畅 7 畅 3 用加法器实现组合逻辑功能 97 4 畅 8 组合逻辑电路中的竞争冒险现象 98 4 畅 8 畅 1 竞争冒险现象及其产生原因 98 4 畅 8 畅 2 判断竞争冒险的方法 99 4 畅 8 畅 3 消除竞争冒险的方法 101 小结 101 习题 102 第 5 章集成触发器 畅 1 概述 畅 2 触发器的基本形式 畅 2 畅 1 基本 RS 触发器 畅 2 畅 2 同步触发器 畅 3 主从触发器 畅 3 畅 1 主从 RS 触发器 畅 3 畅 2 主从 J K 触发器 畅 4 边沿触发器 畅 4 畅 1 维持阻塞 D 触发器 畅 4 畅 2 下降沿触发的 J K 触发器 畅 4 畅 3 T 触发器和 T 触发器 畅 5 触发器之间的相互转换 畅 5 畅 1 D 触发器转换为 T 和 T 触发器 畅 5 畅 2 J K 触发器转换为 T 和 T 触发器 122 科学出版社职教技术出版中心 5 畅 5 畅 3 J K 和 D 触发器之间互换 122 小结 123 习题 123 第 6 章时序逻辑电路 畅 1 概述 畅 2 时序逻辑电路的分析方法 畅 2 畅 1 同步时序逻辑电路的分析方法 畅 2 畅 2 异步时序逻辑电路的分析方法 畅 3 同步时序逻辑电路的设计 畅 3 畅 1 同步时序逻辑电路的设计方法 畅 3 畅 2 同步时序逻辑电路的设计举例 136

8 vi 数字电子技术 6 畅 4 计数器 畅 4 畅 1 同步计数器 畅 4 畅 2 异步计数器 畅 4 畅 3 利用计数器的级联获得大容量 N 进制计数器 畅 5 寄存器和移位寄存器 畅 5 畅 1 寄存器 畅 5 畅 2 移位寄存器 畅 5 畅 3 寄存器的应用 159 小结 162 习题 162 第 7 章脉冲电路 畅 1 概述 畅 2 施密特触发器 畅 2 畅 1 用门电路组成的施密特触发器 畅 2 畅 2 集成施密特触发器 畅 3 多谐振荡器 畅 3 畅 1 由门电路组成的多谐振荡器 畅 3 畅 2 石英晶体振荡器 畅 4 单稳态触发器 畅 4 畅 1 由门电路组成的单稳态触发器 畅 4 畅 2 集成单稳态触发器 畅 4 畅 3 单稳态触发器的应用 畅 定时器及其应用 畅 5 畅 定时器的电路结构及功能 畅 5 畅 2 由 555 定时器组成的施密特触发器 畅 5 畅 3 由 555 定时器组成单稳态触发器 畅 5 畅 4 由 555 定时器组成多谐振荡器 182 小结 183 习题 184 第 8 章数模和模数转换电路 畅 1 D/A 转换器 畅 1 畅 1 权电阻网络 D/A 转换器 畅 1 畅 2 R - 2 R 倒 T 形电阻网络 D/A 转换器 畅 1 畅 3 D/A 转换器的主要指标 畅 1 畅 4 集成 D/A 电路的应用 畅 2 A/D 转换器 畅 2 畅 1 A/D 转换的基本概念 畅 2 畅 2 逐次逼近型 A/D 转换器 196

9 目 录 vii 8 畅 2 畅 3 双积分型 A/D 转换器 畅 2 畅 4 A/D 转换器的主要技术指标 畅 2 畅 5 集成 A/D 转换电路 200 小结 201 习题 202 第 9 章半导体存储器 畅 1 概述 畅 2 只读存储器 畅 2 畅 1 固定只读存储器的结构和工作原理 畅 2 畅 2 可编程只读存储器 畅 2 畅 3 可擦除可编程只读存储器 畅 2 畅 4 只读存储器应用 畅 3 随机存取存储器 畅 3 畅 1 随机存取存储器的基本结构和工作原理 畅 3 畅 2 随机存取存储器的存储单元 畅 3 畅 3 随机存取存储器及其扩展 215 小结 219 习题 219 附录 A 常用数字芯片引脚图 221 附录 B 常用逻辑电路新旧逻辑符号对照表 224 附录 C 国产半导体集成电路型号命名法 (GB ) 226 部分习题参考答案 228 参考文献 230 科学出版社职教技术出版中心

10 第 1 章数字电路基础 本章介绍有关数字电路的基本概念 首先扼要介绍数字电路的分类 特点 应用, 然后讲述十进制 二进制 八进制 十六进制数的运算规则及它们相互间的转换方法, 最后介绍了 BCD 码 格雷 (Gray) 码 校验码 1 畅 1 概述 1 畅 1 畅 1 数字信号和数字电路电子电路中的信号可分为两类 一类是指时间上和数值上都连续变化的信号, 称为模拟信号, 如正弦交流信号, 直流信号, 电视的图像 伴音信号以及模拟温度 压力等物理量变化的信号等, 如图 1 畅 1 (a) 所示 用来生产 传输 处理模拟信号的电路称为模拟电路 ; 另一类是指时间上和数值上都不连续变化的离散信号, 称为数字信号, 如汽车司机在运行里程表上的读数, 工厂产品数量的统计等信号, 如图 1 畅 1 (b) 所示 用来生产 传输 处理数字信号的电路称为数字电路 图 1 畅 1 模拟信号和数字信号数字电路的工作信号是不连续变化的数字信号, 所以在数字电路中工作的半导体管多数工作在开关状态, 即工作时在饱和区和截止区之间转换, 而放大区只是其过渡状态 数字电路重点研究电路的输入信号和输出信号之间的逻辑关系, 所以在这种电路中就不能采用模拟电路的分析方法, 而是采用逻辑代数来作为分析工具 数字电路的研究往往可分为两类 : 一类是对已有电路逻辑功能的分析, 叫逻辑分析 ; 另一种是按一定逻辑功能要求设计出符合功能条件的电路, 叫逻辑设计 在数字电路中, 常用来表示电路功能的方法有逻辑符号图 真值表 逻辑表达式 波形图等 1 畅 1 畅 2 数字电路的分类数字电路按其组成结构不同分为分立元件和集成电路两类 其中, 集成电路按集成度大小分为小规模集成电路 (small scale integration, SSI, 集成度为 l ~ 10 门 / 片, 如

11 2 数字电子技术 逻辑门电路 集成触发器等 ) 中规模集成电路 (medium scale integration, M SI, 集成 度为 10 ~ 100 门 / 片, 如计数器 译码器等逻辑部件 ) 大规模集成电路 (large scale in 唱 tergration, LSI, 集成度为 100 ~ 1000 门 / 片, 如中央控制器 存储器等数字逻辑部件 ) 和超大规模集成电路 (very large scale intergration, V LSI, 集成度为大于 1000 门 / 片, 如各种型号的单片机等高集成度数字逻辑部件等 ) 按半导体的导电类型不同分为双极型和单极型电路 其中双极型电路包括 D T L T T L ECL 等 ; 单极型电路包括 N M OS P M OS CM OS 等 按电路逻辑功能的特点分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类 1 畅 1 畅 3 数字电路的优点及应用 与模拟电路相比, 数字电路主要有如下优点 : 1) 便于高度集成化 由于数字电路采用二进制, 凡具有两个状态的电路都可用来 表示 0 和 1 两个数, 因此, 基本单元电路的结构简单, 允许电路参数有较大的离散性, 有利于将众多的基本单元电路集成在同一块硅片上和进行批量生产 2) 工作可靠性高 抗干扰能力强 数字信号是用 1 和 0 来表示信号的有和无, 数 字电路辨别信号的有和无很容易, 从而大大提高了电路的工作可靠性 同时, 数字信号 不易受到噪声干扰, 因此它的抗干扰能力很强 3) 数字信息便于长期保存 借助某种介质 ( 如磁盘 光盘等 ) 可将数字信息长期 保存下来 控制等 4) 数字集成电路产品系列多 通用性强 成本低 5) 保密性好 数字信息容易进行加密处理, 不易被窃取 数字电路的应用很广泛, 早期主要应用在下列几方面 : 1) 数控 : 各种生产过程的自动数字控制, 如温度 压力的自动控制, 数控机床的 2) 数字化测量 : 早期一直使用的依赖模拟电子技术的指针式测量仪表, 现在已由 数字式仪表所代替, 如数字频率计 数字万用表 数字秤 数字钟等 3) 电子数字计算机 : 20 世纪 30 年代前后, 人们开始将电子技术应用于计算工具, 开发电子计算机, 但最早采用真空管, 即用饱和 截止两状态的数字电路形式, 从 20 世纪 50 年代开始, 数字电子技术逐渐进入计算机以致完全占领了电子计算机领域 当今人们所熟悉的电子计算机, 几乎全都是利用数字电路的计算机了 4) 数字通信 : 进入 21 世纪以后, 数字化 信息 数字信息 这些名词已家 喻户晓, 它标志着数字电子技术还将在更深层次上进入生产 生活的各个领域 1 畅 2 畅 1 常用数制 1 畅 2 数制与码制 科学出版社职教技术出版中心 在日常生活中, 人们用数字量表示事物的多少时, 仅用一位数码往往不够用, 所以

12 第 1 章数字电路基础 3 经常需要用进位计数的方法组成多位数码使用 我们把多位数码中每一位的构成方法以 及从低位向高位的进位规则称为计数进位制, 简称数制 在数字电路中常用的计数进位制除了十进制以外, 还有二进制 八进制 十六进制 1 畅十进制数 十进制是以 10 为基数的计数体制, 它是人们在日常生活和工作中常用的进位计数 制 组成十进制数的符号有 共 10 个符号, 我们称这些 符号为数码 在十进制中, 每一位可以是 0 ~ 9 十个数码中的一个, 最高数码为 9, 超 过 9 就必须用多位数来表示, 计数的基数为 10, 又称权为 10 其中低位和相邻高位之 间的进位关系是 逢十进一 十进制数中, 数码的位置不同, 所表示的值就不相同, 如 234 畅 56 = 一般地说, 任意十进制数可表示为 - m ( N)10 = ki 10 i i = n - 1 = kn n k k- m 10 - m (1 畅 1) 式 (1 畅 1) 称为十进制数 ( N)10 的权的展开式 ki 是第 i 位的系数, 它可以是 0 ~ 9 这十个数码中的任何一个 i 表示该数码所处的位置, 位置不同, 它所表示的值不同 ; n 和 m 为正整数, n 表示该十进制数整数部分位数, m 表示小数部分的位数 2 畅二进制数 二进制是数字电路中应用最广的计数制 它是以 2 为计数基数, 每位只有 0 和 1 两个 数码, 低位和相邻高位间的进位关系是 逢二进一 任何一个二进制数的权展开式为 - m ( N)2 = ki 2 i i = n - 1 = kn n k k- m 2 - m (1 畅 2) 式 (1 畅 2) 中 ki 取 0 或 1 两个数码, 2 i 为第 i 位的权值, i 包含从 n - 1 到 0 的所有 正整数和从 - 1 到 - m 的所有负整数, 如 (1101 畅 11)2 = = (13 畅 75)10 3 畅八进制数和十六进制数 八进制数的进位基数为 8, 它有 0 ~ 7 八个数码, 各位数的权值是 8 的幂 低位数 和相邻高位数之间的进位关系是 逢八进一 任何一个八进制数均可展开为 - m ( N)8 = ki 8 i i = n - 1 = kn n k k- m 8 - m (1 畅 3) 式 (1 畅 3) 中 ki 取 0 ~ 7 中的某一数码, 8 i 为第 i 位的权值, 如 (123 畅 4)8 = = 畅 5 = (83 畅 5)1 0 同理, 十六进制是以 16 为基数的计数体制 它有 0 ~ 9 A B C D E F 十六 个数码 ( 十进位数的 10 ~ 15 分别用 A ~ F 六个英文字母表示 ) 低位数与相邻高位数之 间的进位关系是 逢十六进一 任何一个十六进制数可表示为

13 4 数字电子技术 - m ( N)16 = ki 16 i i = n - 1 = kn n k k- m 16 - m (1 畅 4) 式 (1 畅 4) 中 ki 取 0 ~ F 中的某一数码, 16 i 为第 i 位的权值, 如 (4B 畅 AF)16 = = (75 畅 )10 表 1 畅 1 列出了二进制 八进制 十进制和十六进制不同数制的对照关系 表 1 畅 1 十进制 二进制 八进制 十六进制对照表 十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制 A B C D E F 1 畅 2 畅 2 不同数制间的转换 1 畅 2 n 进制数转换成十进制数 二进制 八进制 十六进制转换成十进制时, 只要将它们按权展开, 求出各加权系 数的和, 便得到相应进制数对应的十进制数 例 1 畅 1 将下列二进制 八进制 十六进制数转换为十进制 解 : (11010 畅 101)2 = = 畅 畅 125 = (26 畅 625)10 (125 畅 46)8 = = 畅 畅 = (85 畅 59375)1 0 (4CF)16 = = (1231)10 2 畅十进制数转换成 2 n 进制数 十进制数分整数部分和小数部分, 因此, 需将整数和小数分别进行转换, 再将转换 结果按顺序排列起来, 就得到该十进制数转换的完整结果 1) 整数部分的转换 : 采用除基取余法 所谓除基取余法即用目的数制的基数去除 十进制整数, 第一次所得的余数为目的数的最低位, 把得到的商再除以该基数, 所得的 余数为目的数的次低位, 依此类推, 直至商为 0 时, 所得的余数为目的数的最高位 科学出版社职教技术出版中心 2) 小数部分的转换 : 采用乘基取整法, 即用该小数去乘目的数制的基数, 第一次

14 第 1 章数字电路基础 5 乘得结果的整数部分为目的数的最高位 ( 小数部分的最高位 ), 将乘得结果的小数部分再乘基数, 所得结果的整数部分作为目的数的第二位, 依此类推, 直至小数部分为 0 或达到要求精度为止 例 1 畅 2 把 (37)10 转换成二进制数 八进制数 十六进制数 解 : 例 1 畅 3 把 (0 畅 675) 10 转换成二进制数 八进制数 十六进制数均精确到小数后四位 解 : 二进制数取整八进制数取整十六进制数取整 0 畅 = 1 畅 畅 = 5 畅 畅 = 10 畅 畅 = 0 畅 畅 = 3 畅 畅 = 12 畅 最高位 0 畅 = 1 畅 畅 = 1 畅 畅 = 12 畅 畅 = 0 畅 畅 = 4 畅 畅 = 12 畅 畅 = 1 畅 畅 = 6 畅 畅 = 12 畅 (0 畅 675)10 = (0 畅 1010)2 (0 畅 675)10 = (0 畅 5315)8 (0 畅 675)10 = (0 畅 A CCD)16 注意 : 在将十进制小数转换成二进制小数时, 一般保留 4 位小数, 第 5 位小数则采取 零舍一入 的原则 由此可知, 十进制小数有时不能用二进制小数精确地表示出来, 这时只能根据精度要求, 求到一定的位数, 近似地表示 在将十进制小数转换成八进制小数时, 若保留 4 位小数则第 5 位小数采取 三舍四入, 在将十进制小数转换成十六进制小数时, 若保留 4 位小数则第 5 位小数采取 七舍八入 十进制数转换成二进制数也可以采用下面拆分法, 把一个十进制数拆成 2 N 数的和值, 再写出相应的二进制数 例 1 畅 4 把 (107 畅 794)10 转换成二进制数, 精确到小数后四位 解 : (107 畅 794)10 = 畅 044 = ( 畅 1100)2 说明 : 由于 0 畅 044 小于 2-4 = 0 畅 0625, 故省略去 3 畅 2 n 进制数之间的转换 1) 二进制数与八进制数之间转换 : 由于八进制数的基数 8 = 2 3, 所以每位八进制数用三位二进制数构成 若二进制数转换为八进制数, 整数部分从低位开始, 每三位二

15 6 数字电子技术 进制数为一组, 最后不足三位的, 则在高位加 0 补足三位为止 ; 小数点后的二进制数则 从高位开始, 每三位二进制数为一组, 最后不足三位的, 则在低位加 0 补足三位, 然后 用对应的八进制数来代替, 再按顺序排列写出对应的八进制数 例 1 畅 5 试将二进制数 ( 畅 )2 转换成八进制数 解 : 所以 ( 畅 )2 = (1274 畅 566)8 将一个八进制数转换成二进制数时, 只要把每位八进制数用三位二进制数来代替, 再按原来的顺序排列起来, 便得到了相应的二进制数 例 1 畅 6 试将八进制数 (7425 畅 631)8 转换成二进制数 解 : 所以 (7425 畅 631)8 = ( 畅 )2 2) 二进制数与十六进制数之间的转换 : 由于十六进制数的基数 16 = 2 4, 故每位十 六进制数用 4 位二进制数构成 若二进制数转换为十六进制数, 整数部分从低位开始, 每 4 位二进制数为一组, 最后不足 4 位的, 则在高位加 0 补足 4 位为止 ; 小数部分从高 位开始, 每 4 位二进制数为一组, 最后不足 4 位的, 在低位加 0 补足 4 位, 然后用对应 的十六进制数来代替, 再按顺序写出对应的十六进制数 例 1 畅 7 试将二进制数 ( 畅 )2 转换成十六进制数 解 : 所以 C 6 D 8 ( 畅 )2 = (195C 畅 6D8)16 将一个十六进制数转换成二进制数时, 只要把每位十六进制数用四位二进制数来代 替, 再按原来的顺序排列起来便得到了相应的二进制数 例 1 畅 8 试将十六进制数 (3AB4 畅 6FD)16 转换成二进制数 解 : 3 A B 4 6 F D 科学出版社职教技术出版中心

16 第 1 章数字电路基础 7 所以 (3AB4 畅 6FD)16 = ( 畅 )2 1 畅 2 畅 3 码制数码不仅可以表示数量的大小, 也可以表示不同的事物 当表示事物时它们没有表示数量的含义, 只表示不同事物的代号而已, 这时这些数码称为代码 在数字系统中, 由 0 和 1 组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小, 还可以表示特定的信息 1 畅二 十进制代码用 4 位二进制数组成一组代码来表示 0 ~ 9 十个数字, 这种代码称为二 十进制代码 (binary coded decimal), 简称 BCD 码 由于十进制数有十个不同的数码, 因此, 需用 4 位二进制数来表示 而 4 位二进制代码有 16 种不同的组合, 从中取出 10 种组合来表示 0 ~ 9 十个数可有多种方案, 所以二 十进制代码也有多种方案 表 1 畅 2 给出了几种常用的 BCD 码 表 1 畅 2 常用的 BCD 码 十进制整数 有权码 无权码 8421 码 5421 码 2421 码余 3 码 (1) 8421 码 8421 码是 BCD 代码中最常用的一种代码 该码共有 4 位, 其位权值从高位到低位分别为 , 故称 8421 码 8421 码与十进制数之间的关系是 4 位二进制代码表示 1 位十进制数, 它属于有权码, 每个代码的各位数值之和就是它表示的十进制数 如 8421 BCD 码 0110 按权展开式为 = 6 所以, 8421BCD 码 0110 表示十进制数 6 (2) 5421 码与 2421 码 5421 码与 2421 码它们也是有权码, 该码从高位到低位的权值分别为 和 , 也是 4 位二进制代码表示 1 位十进制数, 每组代码各位加权系数的和为其表示的十进制数 如 5421 码 1011 按权展开式为

17 8 数字电子技术 = 8 所以, 5421BCD 码 1011 表示十进制数 码中 0 和 9 1 和 8 2 和 7 3 和 6 4 和 5 互为反码, 即两码对应位取值相 反 和 2421 (B) 码的编码状态不完全相同 如 2421 码 1101 按权展开式为 = 7 所以, 2421BCD 码 1101 表示十进制数 7 (3) 余 3 码 这种代码没有固定的权值, 称为无权码 余 3 码的编码规则与 8421 码不同, 如果 把每一个余 3 码看作二进制数, 则它的数值要比它所表示的十进制数码多 3, 故而将这 种代码称为余 3 码 2 畅格雷码 格雷码是一种无权码, 其特点是任意两组相邻代码之间只有一位不同, 其余各位都 相同, 而 0 和最大数 (2 N - 1) 之间也仅有一位不同, 通常又叫格雷循环码或反射码 用格雷码计数时, 每次状态更新仅有一位代码发生变化, 格雷码的这个特性使它在形成 和传输过程中引起的误差较小, 或在出现误差时容易发现并进行校正 表 1 畅 3 为 4 位格 雷码的编码表 表 1 畅 3 4 位格雷码的编码表 十进制数二进制码格雷码十进制数二进制码格雷码 格雷码可以由自然二进制码转换而来 转换的方法是 : 从最低位开始相邻两位二进 数码相加, 但不进位, 结果作为格雷码的最低位, 依此类推, 直到最高位加完, 格雷码 的最高位与二进制码的最高位相同, 例如 3 畅校验码 (11)10 = (1011)2 = (1110)G (25)10 = (11001)2 = (10101)G 在数字系统中采用大量的二进制数码组表示各种不同的特定的信息 当数码位数较 多时较难反映出该数码组是否出错, 因此希望有出错概率较少, 或较易发现出错的代 码, 奇偶校验码是用来检验二进制信息在传送过程中出现错误的代码 科学出版社职教技术出版中心 奇偶校验码由两部分组成 : 一部分是需要传送的信息本身, 为位数不限的二进制代 码 ; 另一部分为奇偶校验位, 它的作用是使信息码和校验位中 1 的总数为奇数或偶数

18 第 1 章数字电路基础 9 1 的总数为奇数的称为奇校验 ; 1 的总数为偶数的称为偶校验 如表 1 畅 4 所示为带奇偶校验位的 8421 码 表 1 畅 4 带奇偶校验位的 8421 码 十进制数 8421 奇校验码 8421 偶校验码 十进制数 8421 奇校验码 8421 偶校验码 表中前 4 位为 0 ~ 9 十进制数的 8421 码, 第 5 位为校验位 它可以是 1 也可以是 0, 究竟是取 1 还是取 0 就看加上这位以后, 使总的 5 位二进制代码中 1 的个数是奇数, 还是偶数, 如果是奇数, 则最后一位是奇校验位, 否则是偶校验位 所以最后一位校验位究竟加 1 还是加 0 视需要而定 校验机制 : 如奇校验码在传送过程中多一个 1 或少一个 1 时, 就出现了 1 的个数为偶数, 用奇校验电路就可发现信息在传送过程中出现的错误 同理, 偶校验码在传送过程中出现的错误也会很容易被发现 小 结 1 畅本章主要介绍了数字信号与数字电路的有关基本知识以及优点与应用, 它们是数字电路分析的基础 2 畅在计数制中, 主要讲了二进制 八进制 十进制 十六进制的计数规则及相互转换的方法 其中二 十进制的相互转换分整数和小数两部分进行, 采用除基取余法和乘基取整法 2 N 进制的相互转换是根据相应进制的基数来确定转换的位数进行互换的 3 畅 BCD 码是数字系统中最常用的代码, 常用的 BCD 码有 8421 码 5421 码 2421 码 余 3 码 另外还介绍了格雷码 奇偶校验码 各种代码都有自己的编码规律和特点 8421 码 2421 码属于有权码, 余 3 码 格雷码属于无权码 习 题 1 畅 1 数字信号的定义是什么? 数字电路的定义及特点是什么? 1 畅 2 在数字系统中为什么要采用二进制? 它有何优点? 1 畅 3 简述十进制数转换为二进制数 八进制数和十六进制数的方法 1 畅 4 什么是 BCD 码? 常用的有哪几种? 它们的特点分别是什么? 1 畅 5 格雷码的特点是什么? 奇偶校验码的特点是什么? 1 畅 6 将下列各数按权展开 (10111)2 ; (1011 畅 011)2 ; (257)8 ; (5617)8 ; (2CF)16 ; (EC7)16 ; (35B 畅 7C)16 1 畅 7 将下列各数转换为十进制数

19 10 数字电子技术 (10110)2 ; (1001 畅 01)2 ;(37)8 ;(EF)16 ; (207)8 ;(5A C)16 ;(E57)16 1 畅 8 将下列十进制数转换为二进制数 (15)10 ; (49 畅 675)10 ; (57 畅 5)10 ; (74)10 ; (0 畅 794)10 ; (67 畅 37)10 ; (105)10 ; (38 畅 875)10 1 畅 9 将下列二进制数转换为等值的八进制数和十六进制数 ( )2 ;(1 畅 )2 ;(0 畅 1011)2 ;( 畅 011)2 ;( )2 ;(1110 畅 101)2 1 畅 10 试用 8421 码 5421 码 2421 码 余 3 码和格雷码分别表示下列各数 (48)10 ; (34 畅 15)10 ; (121 畅 08)10 ; (241 畅 86)10 ; (67 畅 94)10 ; (245)10 ; (621)10 科学出版社职教技术出版中心

20 第 2 章逻辑代数基础 逻辑代数是分析和研究数字系统逻辑设计的基本工具 本章在介绍逻辑代数的基本概念 逻辑代数基本定律及重要规则的基础上, 再介绍逻辑函数的常用表示方式 ( 真值表 逻辑表达式 逻辑电路图 卡诺图等 ), 最后重点介绍了逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法 2 畅 1 概述 在数字电路中, 二进制码的 0 和 1, 不仅表示数量的大小, 而且可以表示两种不同的逻辑状态 逻辑代数又叫布尔代数, 它是 19 世纪英国数学家乔治 布尔 (Boole) 提出, 早期用来描述客观事物逻辑关系的数学方法, 后来将其应用于继电器开关电路的分析和设计上, 研究各种开关网络, 所以也称开关代数 后来人们发现它完全可以用来研究逻辑电路, 因此叫逻辑代数 它作为一个数学工具, 是分析和设计逻辑电路的理论基础 逻辑代数和普通代数一样, 也是用字母表示变量, 用代数式描述客观事物间的关系 但是逻辑代数是描述客观事物间的逻辑关系, 变量的取值只能是 0 或 1, 没有第三种可能, 而且这时的 0 和 1 已不再表示具体的数量大小, 而只是表示两种不同的逻辑状态 : 是 和 非 开 和 关 高 和 低 有 和 无 真 和 假 等 由于逻辑代数中逻辑变量取值简单, 其运算法则也就简单 然而, 它不同于算术运算 因此, 逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则, 而不同于普通代数 我们在学习和运用逻辑代数的过程中, 应注意加以区别 数字电路在早期又称为开关电路, 因为它主要是由一系列开关元件组成, 具有相反的二状态特征, 所以特别适于用逻辑代数来进行分析和研究, 这就是逻辑代数广泛应用于数字电路的原因 2 畅 2 逻辑函数及其表示法 2 畅 2 畅 1 基本逻辑函数及运算数字系统中逻辑电路品种繁多, 功能各异, 但它们的逻辑关系均可用三种基本逻辑运算综合而成 这三种基本逻辑运算是 : 与运算 或运算 非运算 1 畅与运算与运算 (A ND) 表示这样一种逻辑关系 : 只有当决定某一事件发生的所有条件都

21 12 数字电子技术 具备时, 这一事件才会发生, 这种因果关系称为 与逻辑 在图 2 畅 1 所示的电路中, 只有当两个开关 A 和 B 均闭合时, 灯 F 才会亮, 因此灯 F 和开关 A B 之间的关系是 与逻辑关系 逻辑代数中, 与逻辑关系用与运算描述, 其运算符号为, 上述逻辑 关系可表示为 F = A B (2 畅 1) 式 (2 畅 1) 中, A B 是逻辑变量, F 表示运算结果 式中的 表示逻辑乘, 在 表 2 畅 1 与逻辑真值表 不需特别强调的地方常将 号省掉, 写成 F = A B F A B F A B 若 A B 均为 1, 则 F 为 1 ; 否则, F 为 这里灯 F 与开关 A B 的关系如表 2 畅 1 所示, 该表 格称为真值表 与运算的运算法则为 0 0 = = = = 1 数字系统中, 实现与运算的电路称为与门, 其逻辑符号如图 2 畅 2 所示 对于多变量 的逻辑乘可写成 F = A B C (2 畅 2) 图 2 畅 1 串联开关电路图 2 畅 2 与门符号 2 畅或运算 或运算 ( OR) 表示这样一种逻辑关系 : 决定某一事件发生的所有条件中, 只要有 一个或一个以上的条件具备时, 这一事件就会发生, 这种因果关系称为 或逻辑 在 图 2 畅 3 所示电路中, 开关 A 和 B 并联控制灯 F 当开关 A B 中有一个闭合或者两个均 闭合时, 灯 F 即亮, 因此, 灯 F 和开关 A B 之间的关系是或逻辑关系 逻辑代数中, 或逻辑关系用或运算描述, 其运算符号为 + 上述逻辑关系可以表示为 F = A + B (2 畅 3) F 是 A B 的逻辑加 ( 假定开关断开用 0 表 示, 开关闭合用 1 表示 ; 灯灭用 0 表示, 灯亮用 1 表示 ), A B 中只要有一个为 1, 则 F 为 1 ; 仅当 A B 均为 0 时, F 才为 0 灯 F 与开关 A B 的关系也可用表 2 畅 2 表示 或运算的运算法则为 科学出版社职教技术出版中心 表 2 畅 2 或逻辑真值表 A B F A B F = = = = 1 在数字系统中, 实现或运算的电路称为或门, 其逻辑符号如图 2 畅 4 所示 对于多变量的逻辑加可写成

22 第 2 章逻辑代数基础 13 F = A + B + C + (2 畅 4) 图 2 畅 3 并联开关电路 图 2 畅 4 或门符号 3 畅非运算非逻辑的输出总是输入的取反, 即决定某一事件发生的条件具备了, 结果却不发生 ; 而此条件不具备时, 结果一定发生 在图 2 畅 5 所示的电路中, 开关 A 闭合, 灯却不亮 ; A 断开时, 灯才亮 因此, 灯 F 与开关 A 之间的关系是非逻辑关系 逻辑代数中, 非逻辑关系用非运算 ( N O T) 描述, 其运算符号为, 上述逻辑关系可表示为 : 若 A 为 0, 则 F 为 1 ; 反之, 若 A 为 1, 则 F 为 0 此时灯 F 与开关 A 的关系见表 2 畅 3 上述逻辑关系可以表示为 F = 珡 A (2 畅 5) 非运算的运算法则为 0 = 1 1 = 0 数字系统中, 实现非运算的电路称为非门 由于非门的输出信号和输入的反相, 故非 门又称为反相器 其逻辑符号如图 2 畅 6 所示 非门是只有一个输入端的逻辑门 表 2 畅 3 非逻辑真值表 A F A F 图 2 畅 5 开关与灯并联电路 图 2 畅 6 非门符号 2 畅 2 畅 2 几种常用的逻辑运算 前面介绍的与 或 非三种逻辑运算是逻辑代数中最基本的逻辑运算, 由这些基本运算可以组成各种复杂的逻辑运算 1 畅与非运算 或非运算 与或非运算与非运算为先与运算后非运算 ; 或非运算为先或运算后非运算 ; 与或非运算为先与运算后或运算再进行非运算 实现这些逻辑运算的电路分别为与非门 或非门和与或非门 如输入逻辑变量为 A B C D, 输出逻辑函数为 F 时, 则相应的逻辑表达式为

23 14 数字电子技术 F = A B 与非运算 F = A + B 或非运算 F = A B + CD 与或非运算 (2 畅 6) 2 畅异或运算和同或运算 异或运算和同或运算都是二变量逻辑运算 设输入逻辑变量为 A B, 输出逻辑函 数为 F 异或运算的逻辑关系为 : 当输入 A B 相异时, 输出 F 为 1 ; 当输入 A B 相 同时, 输出 F 为 0 异或运算逻辑表达式为 F = 珡 A B + A 珚 B = A 磑 B (2 畅 7) 同或运算的逻辑关系为 : 当输入 A B 相同时, 输出 F 为 1 ; 输入 A B 相异时, 输出 F 为 0 同或运算逻辑表达式为 异或逻辑和同或逻辑真值表如表 2 畅 4 所示 异或逻辑 F = A B + A B = A B (2 畅 8) 表 2 畅 4 异或逻辑 同或逻辑真值表 同或逻辑 A B F A B F 几种常用逻辑运算的逻辑关系与逻辑符号如表 2 畅 5 所示 表 2 畅 5 常用逻辑运算的逻辑关系与逻辑符号 逻辑运算逻辑表达式国标符号曾用符号美国符号 与非 或非 与或非 F = A B F = A + B F = A B + C D 科学出版社职教技术出版中心 异或 F = A B + A B 同或 F = 珡 A 珚 B + A B

24 第 2 章逻辑代数基础 15 2 畅 2 畅 3 逻辑函数的建立及其表示方法 逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数 逻辑代数中的 0 和 1 不是表示数量的 0 和 1, 而是表示事物的两个方面 逻辑代数的某些运算规律与普通代数的某些运算规律在形式上虽有相似之处, 但含义却是完全不同的 逻辑代数的三种基本运算 ( 与 或 非 ) 可以由相应的逻辑电路实现 各种复杂逻辑电路的连接关系也可以用逻辑函数表示出来 逻辑代数广泛应用于数字电路的分析与设计中 1 畅逻辑函数的建立三种基本运算, 在实际的逻辑电路中很少单独出现, 而经常遇到的是这几种运算的组合 在图 2 畅 7 所示的控制楼梯照明开关电路中, 两个单刀双掷开关 A 和 B, A 表示楼下开关, B 表示楼上开关 两个开关 A B 的上点 a b ( 以 1 表示 ) 及下点 c d ( 以 0 表示 ) 分别用导线连接起来 当 A B 两个开关都扳上或者都扳下时, 灯 F 才会亮 ( 即 F 为 1) ; 当一个扳上而另一个扳下时, 灯就会灭 ( 即 F 为 0), 即 A B 均为 1 或均为 0 时, F 为 1 ; 其他情况下, F 为 0 灯 F 与开关 A B 的关系如表 2 畅 6 所示, 可以表示灯亮的逻辑函数式为 F = 珡 A B珚 + A B 表 2 畅 6 图 2 畅 7 电路真值表 A B F A B F 图 2 畅 7 楼道照明开关电路 上式中, 当逻辑变量 A B 的取值确定后, 逻辑变量 F 的值就完全确定了, F 是 A B 的函数 A B 叫做输入逻辑变量, F 叫做输出逻辑变量 一般地说, 若输入逻辑变量 A, B, C, 的取值确定以后, 输出逻辑变量 F 的值也唯一地确定了, 我们就称 F 是 A, B, C, 的逻辑函数, 写成 F = f( A,B,C, ) 在逻辑代数中, 不管是变量还是函数, 它们都只有两个取值, 用 0 和 1 表示 因为决定事件是否发生的条件 相当于变量, 尽管可能很多, 但是对于任何一个条件来说, 都只有具备和不具备两种可能 ; 而事件 相当于函数也只有发生和不发生两种情况, 0 和 1 就是表示这两种可能的符号, 没有数量的含义 函数和变量之间的关系是由或 与 非三种基本运算决定的 2 畅逻辑函数的表示方法任何一个逻辑函数均可以用逻辑函数表达式 真值表和逻辑图表示 它们各有特点, 又相互联系, 还可以相互转换

25 16 数字电子技术 (1) 逻辑表达式 逻辑函数式是用与 或 非等基本逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系 的逻辑函数式 逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数之间的逻辑关系, 它是实际逻辑 问题的抽象表达 写标准与 或逻辑式的方法是 1) 把任意一组变量取值中的 1 代以原变量, 0 代以反变量, 由此得到一组变量的与 组合, 如 A, B, C, 三个变量的取值为 110 时, 则代换后得到的变量与组合为 A B 珚 C 逻辑式 2) 把逻辑函数值为 1 所对应的各变量的与组合进行逻辑加, 便得到标准的与 或 逻辑表达式的书写要注意 : 1) 进行非运算可不加括号 与运算符一般可省略 2) 在一个表达式中, 如果既有与运算, 又有或运算, 则按先与后或的规则省去括 号 如 : ( A B) + ( C D) 可写成 A B + CD, 但 ( A + B) ( C + D) 不能省括号而写成 A + B C + D 3) 由于与运算和或运算均满足结合律, 因此 ( A + B) + C 或者 A + ( B + C) 可用 A + B + C 代替, ( A B) C 或 A( B C) 可用 A B C 代替 (2) 真值表 真值表是根据给定的逻辑问题, 把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出 函数值排列成的表格 它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系 逻 辑函数的真值表具有唯一性 若两个逻辑函数具有相同的真值表, 则两个逻辑函数必然 相等 由于一个逻辑变量只有 0 和 1 两种可能的取值, 故 N 个逻辑变量一共有 2 N 种可 能的取值组合 真值表由两部分组成, 左边一栏列出变量的所有取值组合, 为避免遗 漏, 通常各变量取值组合按二进制数据顺序给出 ; 右边一栏为逻辑函数值 用真值表表 示逻辑函数的优点是直观 明了, 可直接看出逻辑函数值与变量取值之间的关系, 所以 在许多数字集成电路手册中, 常常都以真值表的形式给出该器件的逻辑功能, 还有把一 个实际逻辑问题抽象成为数学问题时, 使用真值表是最方便的, 有利于数字电路的逻辑 设计 真值表的不足在于 : 当变量比较多时显得过于繁琐, 而且也无法利用逻辑代数中 的公式和定理进行运算 逻辑函数表达式和真值表是逻辑函数的两种不同表示方法, 可以互相转换 如果已 知逻辑表达式, 只要将变量的各种可能取值代入表达式进行运算, 求出相应的函数值, 再把变量值和函数值一一对应列成表格, 就可以得到真值表 反之, 由真值表也很容易 得到逻辑表达式 只要把真值表中函数值等于 1 的变量组合写出来, 变量值是 1 的写成 原变量, 是 0 的写成反变量, 这样对应于函数值为 1 的每一个变量组合就可以写成一个 乘积项, 只要把这些乘积项相加, 就得到相应的逻辑表达式了 例 2 畅 1 有一个 3 位二进制数码, 当输入有偶数个 1 时, 输出为 1, 不然输出为 0 试分别写出输出函数的真值表和逻辑表达式 解 : 3 位二进制数码的 3 个输入变量, 分别用 A B C 表示, 它有 8(2 3 ) 种可能 的取值组合, 变量的取值按二进制数由小到大的顺序排列 根据题意可列出真值表 ( 见 表 2 畅 7) 科学出版社职教技术出版中心

26 第 2 章逻辑代数基础 17 表 2 畅 7 例 2 畅 1 真值表 A B C F A B C F 由真值表可知, 有四种情况函数值为 1 如在 A = 0, B = 0, C = 0 时, 有珡 A B 珚 C珚 = 1, 因而 F = 1 另三种情况按同理列出, 分别为珡 A B C A B珚 C A B C 珚 把它们相加即得到函数表达式 F = 珡 A B 珚 C珚 + 珡 A B C + A B珚 C + A B C珚 (3) 逻辑图 1) 由逻辑函数作逻辑图 逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图 根据逻辑函数式画逻辑图时, 只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替, 就可画出和逻辑函数相对应的逻辑图 例 2 畅 2 已知其逻辑函数式 F = A B珚 + 珡 A B, 请画出的逻辑图 解 : 逻辑函数式可转化为 F = A A B + B A B, 变量为 A B ; A B 是与非, 用一个与非门 ; 然后又与 A 和 B 分别相与, 再用两个与门 ; 最后用一个或非门, 于是得到电路如图 2 畅 8 (b) 所示 也可用一个与非门和一个与或非门组成, 如图 2 畅 8 (a) 所示 由逻辑函数表达式得到的逻辑图, 可以有多种形式, 它们完全等效 图 2 畅 8 例 2 畅 2 逻辑电路图 2) 由逻辑电路写出逻辑函数表达式 因为逻辑电路图用逻辑符号表示每一个逻辑单元, 并由逻辑单元组成的部件而得到的图 方法之一是由输入至输出逐渐写出逻辑函数表达式, 为方便起见, 可以设定几个中间变量 ; 方法之二是由输出端开始 由逻辑图找出逻辑函数表达式方法比较简单 不过用这种直观的方法得到的表达式往往比较复杂, 不能一目了然地看出输入输出的关系 一般的说, 较为复杂一些的表达式, 可以采用逻辑代数的方法进行简化, 有时候表达式已经简化, 也不易看出输入输出的关系, 则可以由最简式列出真值表来反映其逻辑关系 例 2 畅 3 写出如图 2 畅 9 所示电路的逻辑函数表达式 图 2 畅 9 例 2 畅 3 电路图

27 18 数字电子技术 解 : 分析电路图可知 F1 = A B C F2 = 珡 A 珚 B 珚 C F = F1 + F2 = 珡 A B 珚 C珚 + A B C 当然也可以由逻辑电路图的表达式可以得到真值表 2 畅 3 逻辑代数基本定律及重要规则 2 畅 3 畅 1 逻辑代数基本定律逻辑代数的基本定律是分析 设计逻辑电路, 化简和变换逻辑函数式的重要工具 由于逻辑变量取值只有 0 和 1 根据三种基本运算的定义, 不难推出下列基本定律, 它们列于表 2 畅 8 中 表 2 畅 8 逻辑代数基本定律 基本定律名称逻辑关系定律说明 0 唱 1 律交换律结合律分配律互补律重叠律反演律非非律 A 0 = 0 ; A 1 = A A + 0 = A ; A + 1 = 1 A + B = B + A A B = B A A + B + C = ( A + B) + C = A + ( B + C) A B C = ( A B) C = A ( B C) A( B + C) = A B + A C A + B C = ( A + B) ( A + C) A + A = 1 A A = 0 A + A = A A A = A A + B = A B A B = A + B A = A 变量 A 与逻辑常量 0 和 1 的关系 右式 = ( A + B) ( A + C) = A A + A C + A B + B C = A + A C + A B + B C = A(1 + C + B) + B C = A + B C = 左式 该定律又称重叠定理, 它指出 : 一个变量多次自 加或者多次自乘的结果仍为自身 该定律又称摩根定理 在逻辑代数中, 摩根定理 是一条十分重要的定理, 它解决了函数求反问题和 逻辑变换问题 该定律又称对合定理, 它指出 : 连续两次 非 运算相当于没有进行任何运算, 它表征了 否定之 否定等于肯定 这一规律 科学出版社职教技术出版中心 2 畅 3 畅 2 逻辑代数的常用公式 由逻辑代数的基本定理可导出一些常用的公式, 利用这些公式可简化逻辑函数 常 用的公式列于表 2 畅 9 中

28 第 2 章逻辑代数基础 19 表 2 畅 9 逻辑代数常用公式 公式公式证明公式说明 A B + A B = A ( A + B) ( A + B) = A A + A B = A A( A + B) = A A + A B = A + B A B + AC + B C = A B + AC A B + AC + B C f ( D, E ) = A B + AC A B + A B = A( B + B) = A 1 = A ( A + B) ( A + B) = A + A B + A B + B B = A(1 + B + B) + BB = A A + A B = A(1 + B) = A A( A + B) = A A + A B = A + A B = A A + A B = ( A + A) ( A + B) = 1 ( A + B) = A + B 原式 = A B + AC + B C( A + A) = A B + AC + B C A + B C A = A B + A B C + A C + AC B = A B(1 + C) + A C(1 + B) = A B + A C 如果逻辑表达式中有两个乘积项的基本两项除去相同部分外, 剩余部分互补, 则这两项可合并成一项, 其互补因子被消去在一个或与表达式中, 两个或表达式, 除去相同部分外, 剩余部分互补, 则这两项可合并成一项, 其互补因子被消去如果逻辑表达式中的某一项包含了式中的另一项, 则该项是多余的, 因而又叫吸收定理如果逻辑表达式中某项的 非 被另一项所包含, 则可从另一项中去掉该项的 非 该公式又叫多余项乘积定理, 它指出 : 当逻辑表达式中的某变量分别以原变量和反变量的形式出现在两项中时, 这两乘积项的其余部分组成的第三项必为多余项, 又称冗余项, 可以从式中去掉 若第三项中除了前两项的剩余部分外, 还含有其他部分, 它仍然是多余项 A B + A B = A B + A B A B + A B = A B + A B A B + AC = A B + A 珚 C 原式 = A B A B = ( A + B) ( A + B) = A A + A B + A B + B B = A B + A B 原式 = A B AC = ( A B) ( A + 珚 C) = A A + A C + A B + B C = A B + A C A 磑 B = A B 同或 逻辑和 异或 逻辑互补由两乘积项组成的表达式中, 如果其中一项有因子 A, 另一项含有因子 A, 那么将这两乘积项其余部分各自求反, 就得到这个函数的反 2 畅 3 畅 3 逻辑代数的重要规则逻辑代数有三条重要规则, 即代入规则 反演规则和对偶规则 这些规则在逻辑运算中十分有用 1 畅代入规则对于任一个含有变量 A 的逻辑等式, 可以将等式两边的所有变量 A 用同一个逻辑函数替代, 替代后等式仍然成立 这个规则称为代入规则 利用这条规则可以将逻辑代数的定理中的变量用任意函数代替, 从而可推广到更一般的形式 例 2 畅 4 已知 A B = 珡 A + B 珚, 试证明用 B C 替代 B 后, 等式仍然成立 证明 : 左式 = A ( B C) = 珡 A + B C = 珡 A + B珚 + C珚右式 = 珡 A + B C = 珡 A + B珚 + C珚

29 20 数字电子技术 即左式 = 右式, 命题成立 代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的 因为逻辑变量只有 0 和 1 两种取值, 无论 A = 0 或 A = 1 代入逻辑等式, 等式都一定成立, 而逻辑函数值 也只有 0 和 1 两种取值, 所以用它替代逻辑等式中的变量 A 后, 等式当然仍成立 2 畅反演规则 对任何一个逻辑函数式痹 F, 如果将式中所有的 换成 +, + 换成, 0 换成 1, 1 换成 0, 原变量换成反变量, 反变量换成原变量, 则得到原来逻 辑函数 F 的反函数珚 F 这种变换规则称为反演规则 反演规则常用于求一个已知逻辑 函数的反函数 在应用反演规则时必须注意下面两点 : 1) 变换后的运算顺序要保持变换前的运算优先顺序不变, 即先变换括号内的, 再 变换逻辑乘, 最后变换逻辑加, 必要时可加括号表明运算的先后顺序 优先顺序为 ( ) + 2) 规则中的反变量换成原变量, 原变量变换成反变量只对单个变量有效, 而对于 与非 或非等运算的长非号则保持不变, 即不是一个变量上的反号应保持不变 则反函数 例 2 畅 5 已知 F = 珡 A B + CD + 0, 求 F 的反函数 解 : F = 珡 A B + CD + 0 珚 F = ( A + 珚 B) ( 珚 C + 珡 D) 1 例 2 畅 6 已知 F = 珡 A + B + C D, 求 F 的反函数 解 : 则反函数 则反函数 F = 珡 A + B + C D 珚 F = A 珚 B 珚 C + 珡 D 例 2 畅 7 已知 F = 珡 A + 珚 B ( C + 珡 D E), 求 F 的反函数 解 : F = 珡 A + 珚 B ( C + 珡 D E) 3 畅对偶规则 珚 F = A [ B + 珚 C ( D + 珚 E)] 对任何一个逻辑函数式 F, 如把式中所有的 变成 +, + 变成, 1 变成 0, 0 变成 1, 而逻辑变量保持不变, 则所得到的新的逻辑表达式称为函数 F 的对 偶式 F 这种变换规则称为对偶规则 在应用对偶规则时应注意下面两点 : 1) 不是一个变量上的反号应保持不变, 同时要注意要注意保持变换前运算的优先 顺序不变 2) 对任一个逻辑函数 F, 一般情况下, F F 若两个函数式相等, 则它们的对 偶式也一定相等 科学出版社职教技术出版中心

30 第 2 章逻辑代数基础 21 例 2 畅 8 已知 F = 珡 A B + CD + 0, 求 F 的对偶式 解 : F = 珡 A B + CD + 0 则对偶式 F = ( 珡 A + B) ( C + D) 1 例 2 畅 9 已知 F = 珡 A + B + C D, 求 F 的对偶式 解 : F = 珡 A + B + C D 则对偶式 F = 珡 A B C + D 例 2 畅 10 已知 F = 珡 A + B 珚 ( C + D珡 E), 求 F 的对偶式解 : F = 珡 A + B 珚 ( C + D珡 E) 则对偶式 F = 珡 A [ B珚 + C ( D珡 + E)] 2 畅 4 逻辑函数的公式化简法 2 畅 4 畅 1 化简的意义与标准 1 畅化简逻辑函数的意义 进行逻辑设计时, 根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往有多种不同的表达式, 表达式不同, 用以实现它的逻辑门电路也不同 对逻辑函数进行化简和变换, 可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式 表达式越简单, 它所表示的逻辑关系越明显, 同时也可以用最少的逻辑门电路来实现这个逻辑函数, 这对于节省元器件, 优化生产工艺, 降低成本和提高系统的可靠性, 提高产品在市场上的竞争力是非常重要的 2 畅逻辑函数式的基本形式逻辑函数的表达式不是唯一的, 可以有多种形式, 并且能相互变换 例 2 畅 11 已知 F = A B + 珡 A C, 转换 F 的表达式 解 : F = A B + 珡 A C 与 或表达式 = ( A + C)( 珡 A + B) 或 与表达式 = A B 珡 A C 与非 与非表达式 = A + C + 珡 A + B 或非 或非表达式 = A B珚 + 珡 A C 珚与 或 非表达式在上述多种表示形式中, 与 或表达式和或 与表达式是逻辑函数的两种最基本形式 与 或式是指一个函数表达式由若干个与项相或构成, 每个与项是一个或者多个原变量或反变量的与 或 与式是指函数表达式由若干个或项相与构成, 每个或项是一个或者多个原变量或反变量的或

31 22 数字电子技术 形式 利用逻辑代数的定律 公式和规则, 可以将任何一种形式的函数化成这两种基本的 3 畅逻辑函数的最简与 或式 不同形式的逻辑函数式有不同的最简形式, 而这些逻辑表达式的繁简程度又相差很 大, 但大多都可以根据最简与 或式变换得到 最简与 或式的标准是 : 1) 逻辑函数式中的与项 ( 乘积项 ) 的个数最少 2) 满足上述条件的前提下, 每个与项中的变量个数最少 这样可以保证相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数为最少 2 畅 4 畅 2 逻辑函数的公式化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑函数式化简的方法称为公式化简法 基本的 化简方法有以下几种 1 畅并项法 运用基本公式 A B + A 珚 B = A 将两项合并为一项, 同时消去一个变量 例 2 畅 12 已知 F = A B C + A( 珚 B + 珚 C), 求 F 的最简表达式 解 : F = A B C + A( 珚 B + 珚 C) = A B C + A B C = A( B C + B C) = A 例 2 畅 13 已知 F = A 珚 B C + A 珚 B 珚 C, 求 F 的最简表达式 解 : 2 畅吸收法 F = A 珚 B C + A 珚 B 珚 C = A B( C + 珚 C) = A 珚 B 运用公式 A + A B = A 和 A B + 珚 A C + BC = A B + 珚 A C ( 多余项定理 ), 吸收部分乘积项 例 2 畅 14 已知 F = A B + A B 珚 C + A BD, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B + A B 珚 C + A BD = A B(1 + 珚 C + D) = A B 例 2 畅 15 已知 F = A B + A B( 珡 D + G), 求 F 的最简表达式 解 : F = A B + A B( 珡 D + G) = A B 例 2 畅 16 已知 F = A C + 珚 CD + A DE + A DG, 求 F 的最简表达式 解 : F = A C + 珚 CD + A DE + A DG = A C + 珚 CD + A D( E + G) = A C + 珚 CD 科学出版社职教技术出版中心

32 第 2 章逻辑代数基础 23 例 2 畅 17 已知 F = A B C + 珡 A D + 珚 C D + B D, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B C + 珡 A D + CD 珚 + BD = A B C + ( 珡 A + C) 珚 D + B D = A CB + A CD + B D = A CB + A CD = A B C + 珡 A D + CD 珚 3 畅消去法 利用公式 A + 珡 A B = A + B, 消去多余因子 例 2 畅 18 已知 F = A B + 珡 A C + 珚 B C, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B + 珡 A C + B珚 C = A B + ( 珡 A + B) 珚 C = A B + A BC = A B + C 例 2 畅 19 已知 F = A B珚 + 珡 A B + A B CD + 珡 A B珚 CD, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B珚 + 珡 A B + A B CD + 珡 A B珚 CD = A B珚 + 珡 A B + ( A B + A B) CD = ( A B珚 + 珡 A B) + ( A B珚 + 珡 A B) CD = A B珚 + 珡 A B + CD 4 畅配项法 在不能直接运用公式 定律化简时, 可利用公式 A 1 = 1 A + 珡 A = 1 A + A = A A 珡 A = 0 及多余项定理, 配项后找相邻项, 然后去掉某些因子 例 2 畅 20 已知 F = 珡 A B C + A B珚 C + A B C珚 + A B C, 求 F 的最简表达式 解 : F = 珡 A B C + A B珚 C + A B C珚 + A B C = ( 珡 A B C + A B C) + ( A B珚 C + A B C) + ( A B C珚 + A B C) = B C + A C + A B 例 2 畅 21 已知 F = A C珚 + B珚 C + 珡 A C + B C 珚, 求 F 的最简表达式 解 : F = A C珚 + B珚 C + 珡 A C + B C珚 = A C( 珚 B + B) 珚 + B C珚 + 珡 A C + B珚 C( A + 珡 A) = A B C珚 + A B珚 C + B C珚 + 珡 A C + A B珚 C + 珡 A BC 珚 = B C(1 珚 + A) + 珡 A C(1 + B) 珚 + A B( 珚 C珚 + C) = B C珚 + 珡 A C + A B珚 例 2 畅 22 已知 F = A + B珚 C + B C珚 + B珚 D + B D 珡, 求 F 的最简表达式 解 : F = A + B珚 C + B C珚 + B珚 D + B D珡 = A + B珚 C + B C珚 + B珚 D + B D珡 + C D 珡增加冗余项 C D珡 = A + B珚 C + B C珚 + B珚 D + C D珡 = A + B C珚 + B珚 D + C D珡 例 2 畅 23 已知 F = A B C珚 + A B C A B, 求 F 的最简表达式

33 24 数字电子技术 解 : F = A B C珚 + A B C A B = A B C珚 + A B C A B + A B A B = A B( C珚 + A B) + A B C A B = A B A B C + A B C A B = A B C( A B + A B) = A B C = 珡 A + B珚 + C珚 注意 : 使用配项法试探着进行化简, 需要有一定的技巧, 不然将越配越繁 在实际化简逻辑函数时, 需要灵活运用上述几种方法, 才能得到最简与 或表达式 例 2 畅 24 已知 F = A B + A B珚 + A C + 珡 A D + B D, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B + A B珚 + A C + 珡 A D + BD = A + A C + 珡 A D + BD 运用 A B + A B珚 = A = A + 珡 A D + B D 运用 A + A B = A = A + D + BD 运用 A + 珡 A B = A + B = A + D 运用 A + A B = A 例 2 畅 25 已知 F = A D + A D珡 + A B + 珡 A C + CD 珚 + A BEG 珚, 求 F 的最简表达式 解 : F = A D + A D珡 + A B + 珡 A C + CD 珚 + A B珚 EG = A + A B + 珡 A C + CD 珚 + A BEG 珚 运用 A B + A B珚 = A = A + 珡 A C + CD 珚 运用 A + A B = A = A + D + C 运用 A + 珡 A B = A + B 例 2 畅 26 已知 F = A B + A C珚 + B珚 C + CB 珚 + B珚 D + B D珡 + A DE, 求 F 的最简表达式 解 : F = A B + A C珚 + B珚 C + CB 珚 + B珚 D + B D珡 + A D E = A B珚 C + B珚 C + CB 珚 + B珚 D + B D珡 + A D E 运用 A B + A C珚 = A B珚 C = A + B珚 C + CB 珚 + B珚 D + B D珡 + A D E 运用 A + 珡 A B = A + B = A + B珚 C + CB 珚 + B珚 D + B D 珡运用 A + A B = A = A + B珚 C + B C珚 + B珚 D + B D珡 + C D 珡 = A + + B珚 C + B C珚 + B珚 D + C D珡 = A + B C珚 + B珚 D + C D珡 增加冗余项 C 珡 D 公式法化简逻辑函数的优点是简单方便, 对逻辑函数式中的变量个数没有限制, 它 适用于变量较多 较复杂的逻辑函数式的化简 它的缺点是需要熟练掌握和灵活运用逻 辑代数的基本定律和基本公式, 而且还需要有一定的化简技巧 公式化简法也不易判断 所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式 只有通过多做练习, 积累经验, 才能做到熟 能生巧, 较好地掌握公式化简法 2 畅 5 逻辑函数的卡诺图化简法 科学出版社职教技术出版中心 卡诺图是逻辑函数式的图解化简法 它克服了代数化简法对最终化简结果难以确定 等缺点 卡诺图化简法具有确定的化简步骤, 能比较方便地获得逻辑函数的最简与 或 表达式

34 第 2 章逻辑代数基础 25 2 畅 5 畅 1 最小项与卡诺图 1 畅最小项的定义和性质 (1) 最小项的定义有 N 个变量的逻辑函数的最小项是 N 个变量的乘积项 每个变量以它的原变量或反变量形式在乘积项中出现一次并且仅出现一次, 则这个与项被称为最小项 N 个变量的全部最小项共有 2 N 个 以一个三变量的逻辑函数 F( A, B, C) 为例, 它可以有多种形式的乘积项珡 A B 珚 C 珚 珡 A B C 珚 珡 A B珚 C A B C A B B C A 等 其中珡 A B 珚 C 珚 珡 A B C 珚 珡 A B珚 C A B C 就是最小项 (2) 最小项的编号 N 个变量有 2 N 个最小项, 为书写方便, 通常用 m i 表示最小项 确定下标 i 的规则是 : 当变量按序 ( A, B, C, ) 排列后, 令与项中的所有原变量用 1 表示, 反变量用 0 表示, 由此得到一个 1 唱 0 序列组成的二进制数, 该二进制数对应的十进制数即为下标 i 的值 如三变量最小项珡 A B C 珚对应的变量取值为 010, 它对应的十进制数为 2, 因此, 最小项珚 A B C 珚的编号为 m2 其余最小项的编号以此类推 三变量全体最小项的编号如表 2 畅 10 所示 表 2 畅 10 三变量最小项表 最小项 珚 A 珚 B 珚 C A 珚 B C AB 珚 C AB C A 珚 B 珚 C A 珚 B C A B 珚 C A B C 二进制数 编号 m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 (3) 最小项的性质 1) 对于任何一个最小项, 只有一组变量的取值使它的值为 1, 并且变量不同, 使其值为 1 的变量组合也不相同 2) 任意两个最小项之积恒为 0, 即 m i m j = 0 ( i j) 3) 对于变量的任一组取值, 全体最小项的和为 1 4) N 个变量的最小项有 N 个相邻最小项 当两个乘积项中只有一个变量不同, 且这个变量互为反变量时, 称这两个乘积项为相邻项 逻辑相邻 2 畅卡诺图卡诺图是化简逻辑函数的重要工具, 是逻辑函数的最小项方块图表示法, 它用几何位置上的相邻, 形象地表示了组成逻辑函数的各个最小项之间在逻辑上的相邻性 卡诺图的结构具有下特点 : 1) 对于 N 个变量的逻辑函数, 它有 2 N 最小项, 可以有 2 N 个小方格, 把这些小方格组合成正方形和矩形, 即为 N 个变量的卡诺图 2) 最小项方块的排列满足几何位置上的相邻与逻辑上的相邻一一对应原则 (1) 二变量卡诺图设两个变量为 A 和 B, 则全部 4 个最小项为珡 A B 珚 珡 A B A B 珚 A B 分别记为 m 0 m 1

35 26 数字电子技术 m2 m3 按相邻性作出二变量卡诺图, 如图 2 畅 10 所示 图 2 畅 10 (a) 中标出了两个变量所在的位置, 变量这样安放的目的是为了保证卡诺图中最小项的相邻性 某个小方格中的变量组合, 就是该方格在横向和纵向所对应的变量之积 如用 0 表示反变量, 1 表示原变量, 则图 2 畅 10 (a) 可用图 2 畅 10 (b) 表示, 此时, 方格中的数字就是相应最小项的变量取值 如用最小项编号表示时, 又可用图 2 畅 10 (c) 表示 图 2 畅 10 (b) (c) 也是常见的习惯画法 (2) 三变量卡诺图 图 2 畅 10 二变量卡诺图 设三个变量为 A B C, 由于三个变量共可组成 8 个最小项, 所以卡诺图由 8 个 方格构成 在图 2 畅 11 (a) 中, 列出了 8 个最小项及相应的方格, 各最小项的位置可通 过卡诺图的每一列和每一行上写着的数字来说明 例如, 代表 m7 的方格对应于 11 列 和 1 行 这两个数字连起来就成为二进制数 111, 其对应的十进制数是 7, 这个数就是最 小项的下标, 图 2 畅 11 (b) 中的卡诺图表明各个方格与三个变量之间的关系 图 2 畅 11 (c) 也是常见的习惯画法 图 2 畅 11 三变量卡诺图 应当注意, 图中变量 B C 的取值不是按自然二进制码 (00, 01, 10, 11) 的顺序排 列, 而是按格雷码 (00, 01, 11, 10) 的顺序排列的, 这样才能保证卡诺图中最小项在 几何位置上的相邻 由图 2 畅 11 还可看出, 同一行的最左方格和最右方格里的最小项也 是相邻的, 它表明了卡诺图的循环相邻特性, 这也是由格雷码的循环相邻性决定的 (3) 四变量卡诺图 设四个变量为 A B C D, 全部最小项有 2 4 = 16 个, 分别用 m 0 m 1 m1 5 表示, 卡诺图由 16 个方格组成, 按相邻性安放最小项, 可画出四变量卡诺图, 如 图 2 畅 12 所示 图中的横向变量 A B 和纵向变量 C D 都按格雷码顺序排列, 保 证了最小项在卡诺图中的循环相邻性, 即同一行最左方格与最右方格相邻, 同一列 最上方格和最下方格也相邻 科学出版社职教技术出版中心

36 第 2 章逻辑代数基础 27 图 2 畅 12 四变量卡诺图 当变量多于四个时, 由于方格的数量变得很多, 因此, 卡诺图变得较复杂 五变量卡诺图由 32 个方格组成, 六变量卡诺图共有 64 个方格 对于五变量及以上的卡诺图, 由于很复杂, 在逻辑函数的化简中很少使用, 这里不再介绍 图 2 畅 10 ~ 2 畅 12 中任何几何位置相邻的最小项, 在逻辑上都具有相邻性 例如, 四变量卡诺图中, 每个最小项应有 4 个相邻最小项, 如 m 5 的 4 个相邻最小项分别为 m 4 m 1 m7 m13, 而这 4 个最小项对应的小方格与 m5 对应的方格分别相连, 也就是说几何位置上是相邻的 这种相邻称为几何相邻 从卡诺图可知, 几何相邻包括三种情况 : 相接 相对 相重 紧接着为相接, 任意一行或一列的两头为相对, 将卡诺图相邻一行或一列矩形重叠, 凡上下重叠 ( 或左右重叠 ) 的最小项相邻, 这种相邻称为相重 ( 重叠相邻 ) 3 畅标准与 或表达式由最小项相或构成的逻辑表达式称为标准与 或表达式, 也叫 最小项之和 表达式或最小项表达式 任何一种形式的逻辑表达式都可以利用基本定律和配项法变换为标准与 或式, 并且标准与 或式是唯一的 转换的方法有公式转换法 真值表转换法和卡诺图法 (1) 公式转换法利用逻辑代数的基本定律和常用公式进行转换 首先将非与或函数表达式化成与 或表达式, 然后反复使用 A = A( B + B) 珚将与或表达式中所有非最小项的 与项 扩成最小项 例 2 畅 27 将逻辑函数表达式 F = A( B + C) + 珡 A B + A B 珚化成最小项之和的形式 解 : F = A B + A C + 珡 A B + A B 珚先化成与 或式, 去括号 = A B( C + C) 珚 + A( B + B) 珚 C 配项 补因子 + 珡 A B( C + C) 珚 + A B( 珚 C + C) 珚 = A B C + A B C珚 + A B珚 C + 珡 A B C + 珡 A B C珚 + A B 珚 C 珚整理得到最小项表达式 = m2 + m3 + m4 + m 5 + m6 + m7 最小项编号 = m(2, 3, 4, 5, 6, 7) (2) 真值表转换法由真值表直接写函数表达式, 求出的正是逻辑函数的最小项表达式 故当要求写某一函数的最小项表达式时, 可以先列出该函数的真值表, 然后再写出最小项表达式

37 28 数字电子技术 例 2 畅 28 求 F = A B + A C + B珚 C 的最小项表达式 解 : 由 F 表达式可以得到其真值表, 如表 2 畅 11 所示 表 2 畅 11 例 2 畅 28 真值表 A B C F A B C F 从真值表中, 挑出那些使函数值为 1 的变量组合, 每一个组合对应一个最小项, 将 这些最小项相加就得到函数的标准与 或式 F = 珡 A 珚 B C + A 珚 B C + A B 珚 C + A B C = (3) 用卡诺图表示逻辑函数 m(1,5,6,7) 用卡诺图表示逻辑函数的步骤是 : 首先根据逻辑式中的变量数 N, 画出 N 变量最小 项卡诺图, 然后将卡诺图中有最小项的方格内填 1, 没有最小项的方格内填 0 或不填 根据逻辑函数画出的卡诺图是唯一的, 它是描述逻辑函数的又一种形式 下面举例 说明根据逻辑函数不同的表示形式填写卡诺图的方法 1) 已知逻辑函数式为标准与 或式, 画逻辑函数的卡诺图 例 2 畅 29 试画出例 2 畅 28 中的标准与 或式的卡诺图 解 : 这是一个三变量逻辑函数 1 画出三变量最小项卡诺图 图 2 畅 13 例 2 畅 29 逻辑 函数的卡诺图 2 填卡诺图 把逻辑式中的 4 个最小项 m 1 m 5 m 6 m 7 对应的方格中填入 1, 其余不填, 如图 2 畅 13 所示 2) 已知逻辑函数真值表, 画逻辑函数卡诺图 逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与 或式是一一对应 的关系, 所以可以直接根据真值表填卡诺图 例 2 畅 30 已知逻辑函数 F 的真值表如表 2 畅 12 所示, 试 画出 F 的卡诺图 表 2 畅 12 例 2 畅 30 真值表 A B C D F A B C D F 科学出版社职教技术出版中心

38 第 2 章逻辑代数基础 29 解 : 1 画出四变量最小项卡诺图 如图 2 畅 14 所示 2 将真值表中 F = 1 对应的最小项卡诺图中相应的方格里填入 1, 其余的方格不填 3 逻辑函数为一般表达式时, 画逻辑函数的卡诺图 当已知逻辑函数为一般表达式时, 可先将其化成标准与 或表达式, 再画出卡诺图 但这样做往往很麻烦, 实际上只需把逻辑函数式展开成与 或式就行了, 再根据与 或式每个与项的特征直接填卡诺图 具体方法是 : 把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入 1, 直到填完逻辑式的全部图 2 畅 14 例 2 畅 30 逻辑与项 函数的卡诺图 例 2 畅 31 已知 F = 珡 A D + A B( C + B D), 试画出 F 的卡诺图 解 : 1 先把逻辑式展开成与 或式 F = 珡 AD + A B + B CD 珚 2 画四变量最小项卡诺图 3 根据与一或式中的每个与项, 填卡诺图 第 1 个与项是珡 A D, 缺少变量 B 和 C, 共有 4 个最小项 珡 A D 可用 A = 0 D = 1 表示, A = 0 对应的方格在第一和第二行内, D = 1 对应的方格在第二和第三列内, 行和列相交的方格便为珡 A D 对应的 4 个最小项, 由卡诺图可知, 号方格为珡 A D 对应的最小项方格, 故在这 4 个方格中填入 1 第 2 个与项是 A B, 同理可知, 卡诺图中的 号方格为 A B 对应的最小项方格, 故在这 4 个方格中填入 1 第 3 个与项是 B CD 珚, 卡诺图中的 5 13 号方格中为含有 B CD 珚的最小项方格, 故这两个方格中填入 1 对于有重复最小项的方格只需填入一个 1, 如此填完全部与项, 就画出了该逻辑函数对应的卡诺图, 如图 2 畅 15 所示 根据与 或逻辑式直接画逻辑函数卡诺图的方法, 省去了将与 或表达式化为标准与 或表达式的过程, 填卡诺图图 2 畅 15 例 2 畅 31 逻辑方便 省时, 效率高, 但要细心 要多做练习, 熟练掌握这函数的卡诺图一方法 2 畅 5 畅 2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数式, 其原理是利用卡诺图的相邻性, 对相邻最小项进行合并, 消去互反变量, 以达到化简的目的 2 个相邻最小项合并, 可以消去 1 个变量 ; 4 个相邻最小项合并, 可以消去 2 个变量 ; 把 2 N 个相邻最小项合并, 可以消去 N 个变量 化简逻辑函数式的步骤和规则如下 : 首先画出逻辑函数的卡诺图, 合并卡诺图中的相邻最小项, 然后将合并化简后的各与项进行逻辑加, 便为所求的逻辑函数最简与 或

39 30 数字电子技术 式 其中最重要的就是通过画包围圈合并卡诺图中的相邻最小项 把卡诺图中 2 N 个相邻为 1 的最小项方格用包围圈圈起来进行合并, 直到所有 1 方 格全部圈完为止 画包围圈的规则是 说明如下 : 圈角看四角, 圈边观对边,2 N 圈尽量大, 消去留共同 1) 卡诺图中四个角上的最小项可以合并 ; 任意一行或一列的两头最小项可以合并 2) 只有相邻的 1 方格才能合并, 而且每个包围圈只能包含 2 N 个 1 方格 ( N = 0, 1, 2 ) 就是说, 只能按 个 1 方格的数目画包围圈 3) 为了充分化简, 1 方格可以被重复圈在不同的包围圈中, 但在新画的包围圈中 必须有未被圈过的 1 方格, 否则该包围圈是多余的 4) 为避免画出多余的包围圈, 画包围圈时应遵从由少到多的顺序圈 即首先圈独 立的 1 方格, 再圈仅为两个相邻的 1 方格, 然后分别圈 4 个 8 个相邻的 1 方格 5) 包围圈的个数尽量少, 这样逻辑函数的与项就少 包围圈尽量大, 这样消去的 变量就多, 与门输入端的数目就少 合并利用关系式如下 A + 珡 A = 1 ; 珡 A 珚 B + 珡 A B + A 珚 B + A B = 1 珡 A 珚 B 珚 C + 珡 A 珚 B C + 珡 A B 珚 C + 珡 A B C + A 珚 B 珚 C + A 珚 B C + A B 珚 C + A B C = 1 下面举例说明化简步骤和方法 例 2 畅 32 试用卡诺图化简逻辑函数 F = m (0,2,4,5,6,7,9,11,14,15) 解 : 1) 画四变量最小项卡诺图, 如图 2 畅 16 所示 图 2 畅 16 例 2 畅 32 逻辑 或表达式为 函数的卡诺图 2) 填卡诺图 将逻辑函数式中的最小项在卡诺图的相 应方格内填 1 3) 合并相邻最小项 将相邻为 1 的方格按 2 N 数目圈起 来 : 先圈 2 个相邻的 1 方格 ( 见 a 包围圈 ) ; 再圈仅 4 个相 邻的 1 方格 ( 见 b c 和 d 包围圈 ) 项, 得 F = 4) 充分利用合并关系式, 合并每个包围圈内的最小 Fa = A 珚 B C Fb = 珡 A 珡 D Fc = 珡 A B Fd = B C 5) 把每项合并结果进行逻辑加得到逻辑函数最简与 A 珚 B D + 珡 A 珡 D + 珡 A B + B C 例 2 畅 33 试用卡诺图化简下面逻辑函数 F = m(0,2,5,7,8,10,12,13,14) 解 : 1) 画四变量逻辑函数的卡诺图, 如图 2 畅 17 所示 并将各最小项在卡诺图相应 方格内填 1 2) 合并相邻最小项 卡诺图 4 个角上的 1 方格也是循环相邻的, 应圈在一起, 一 共可以画 4 个包围圈 科学出版社职教技术出版中心

40 第 2 章逻辑代数基础 31 3) 写出逻辑函数的最简与 或表达式 F = 珡 A B D + B 珚 D珡 + A D珡 + B C珚 D 例 2 畅 34 试用卡诺图化简下面逻辑函数 F = A B 珚 C 珚 D珡 + 珡 A B + 珡 A B 珚 D珡 + B C珚 + B CD 解 : 1) 画四变量逻辑函数的卡诺图, 如图 2 畅 18 所示 并将各最小项在卡诺图相应方格内填 1 2) 合并相邻最小项 图 2 畅 17 例 2 畅 33 逻辑 函数的卡诺图 图 2 畅 18 例 2 畅 34 逻辑 函数的卡诺图 3) 写出逻辑函数的最简与 或表达式 F = 珡 A D珡 + C 珚 D珡 + BD 注意 : 按由少到多画包围圈, 如果一开始就画大圈, 然后画小圈, 此时可能会出现不包含新的最小项的圈, 即多余项 例如在图 2 畅 19 所示函数卡诺图中虚线大圈多余 例 2 畅 35 写出下面图 2 畅 20 所示各函数最简与 或表达式 解 : 由图 2 畅 20 (a) 所示函数卡诺图可以化简得到 F = 珡 A C珚 + B 珚 D珡 + A D珡同一方格可以被圈多次, 这是因为 A + A = A 由图 2 畅 20 (b) 所示函数卡诺图化简得到图 2 畅 19 例 2 畅 35 逻辑 F = A + D珡 + B C珚函数的卡诺图这里圈尽可能大, 结果最简 图 2 畅 20 (c) 所示函数卡诺图化简可以得 F = A C珚 + 珡 A B + BC 珚由 2 畅 20 (d) 所示函数卡诺图化简得到 F = B C珚 + A B珚 + B C珚由图 2 畅 20 (c) (d) 图比较, 它们实际上是一个逻辑函数的卡诺图, 而在这里化简结果不唯一, 但都是最简表达式

41 32 数字电子技术 图 2 畅 20 例 2 畅 36 逻辑函数的卡诺图 2 畅 5 畅 3 具有无关项的逻辑函数的化简 1 畅约束 约束项和约束条件在某些实际问题中, 常常由于输入变量之间存在着某种相互制约或问题的某种特殊限制等, 使得某种取值组合根本不会出现, 如 8421B C D 码中, 1010 ~ 1111 这 6 种代码是不允许出现的, 是受到约束的, 这时, 一个 N 变量的逻辑函数就不再与 2 N 个最小项都有 关 与函数值无关的这一部分最小项不能决定函数的取值, 我们把这些最小项称为无关 (DoN t Care) 最小项, 也叫约束项 把具有这种特点的逻辑函数称为包含无关最小项的 逻辑函数, 或称具有约束条件的逻辑函数 例如用 A B C 三变量分别表示加法 乘法 除法三种操作, 因为机器是按顺序逐条执行指令的 每次只能执行一种操作 因此 A B C 这一组变量间就有一个重要的相互制约关系, 即任何两个变量都不能同时为 1, 也就是 说, 这三变量的取值只可能出现 000, 001, 010, 100 四种情况, 而不可能出现 011, 101, 110, 111, 变量 A B C 是一组有约束的变量 而珚 A B C A 珚 B C A B 珚 C A B C 称为约束 项 在真值表或卡诺图中, 用字母 d 或 x 表示约束项 约束项的值恒为 0 等式 由约束项加起来构成的逻辑表达式叫约束条件 显然约束条件是一个恒为 0 的条件 上例的约束条件是珚 A B C + A 珚 B C + A B 珚 C + A B C = 0, 又可表示为 2 畅利用无关项化简逻辑函数 科学出版社职教技术出版中心 d (3, 5, 6, 7) 由于无关最小项的值恒为 0, 我们就可将无关最小项随意地加到或不加到函数表达式中, 并不会影响该函数原有的实际逻辑功能 正是由于这种随意性, 在化简中可以充分利用无关最小项, 使函数表达式得到进一步化简 这就是具有 约束 条件的逻辑函数化简的依据 化简的方法有公式法和卡诺图法 1) 公式法 在公式法中可以根据化简的需要加上或去掉约束条件, 因为在逻辑表

42 第 2 章逻辑代数基础 33 达式中, 加上或去掉约束项函数不受影响 2) 卡诺图法 在用卡诺图合并最小项时, 可根据化简的需要包含或不包含约束项, 因而, 在合并最小项时, 如果圈中包含了约束项, 则相当于在相应的乘积项中加上了该约束项 ( 其值恒为 0), 显然函数不会受影响 例 2 畅 36 化简下列逻辑函数 F = A C + 珡 A B珚 C B 珚 C珚 = 0 解 : 利用公式法 F = A C + 珡 A B珚 C + B 珚 C珚 = C( A + 珡 A B) 珚 + B 珚 C珚 = C( A + B) 珚 + B 珚 C珚 = A C + B珚 C + B 珚 C珚 = A C + B珚解 : 利用卡诺图法画出卡诺图如图 2 畅 21 所示 由图 2 畅 21 可以得到 F = A C + B珚可见卡诺图法更简单 直观 易掌握 下面我们再来看几个用卡诺图化简的例子 例 2 畅 37 用卡诺图化简含有无关项的逻辑函数 F = m(0,1,4,6,8,9,13) + d(2,3,5,7,10,11,12,15) 解 : 1) 画四变量逻辑函数卡诺图, 如图 2 畅 22 所示 在最小项方格中填 1, 在无关项方格中填 图 2 畅 21 例 2 畅 37 逻辑 函数的卡诺图 图 2 畅 22 例 2 畅 38 逻辑 函数的卡诺图 2) 合并相邻最小项, 与 1 方格圈在一起的无关项被作为 1 方格, 没有圈的无关项是丢弃不用的 (1 方格不能遗漏, 方格可以丢弃 ) 3) 写出逻辑函数的最简与 或表达式 例 2 畅 38 用卡诺图化简 F1 F2 两函数 F1 = m(1,2,4,12,14) + d(5,6,8,9,10,13,15)

43 34 数字电子技术 F2 = m(2,4,6,7,8,12,15) + d(0,1,3,9,10,11,14) 解 : 作 F1 函数的卡诺图如图 2 畅 23 (a) 所示, 由图 2 畅 23 (a) 可以得到 F1 = A C + 珡 D 作 F2 函数的卡诺图如图 2 畅 23 (b) 所示, 由图 2 畅 23 (b) 可以得到 F2 = B + 珚 CD 图 2 畅 23 例 2 畅 39 逻辑函数的卡诺图 小 结 1 畅在数字电路中, 二进制码的 0 和 1, 不仅表示数量的大小, 而且可以表示两种不 同的逻辑状态 逻辑代数是分析和设计逻辑电路的重要工具 2 畅基本逻辑运算有与运算 ( 逻辑乘 ) 或运算 ( 逻辑加 ) 和非运算 ( 逻辑非 ) 3 种 常用的导出逻辑运算有与非运算 或非运算 与或非运算以及异或和同或运算, 利用这 些简单的逻辑关系可以组合成复杂的逻辑运算 3 畅在逻辑代数的公式与定律中, 除常量之间及常量与变量之间的运算 01 律外, 还 有交换律 结合律 分配律 互补律 反演律等 逻辑代数有三条重要规则, 即代入规 则 反演规则和对偶规则 这些规则在逻辑运算中十分有用 4 畅逻辑函数有 4 种常用的表示方法, 分别是真值表 逻辑函数式 卡诺图 逻辑 图, 它们之间可以相互转换 5 畅逻辑函数化简的目的是为了获得最简逻辑函数式, 从而使逻辑电路简单 成本 低 可靠性高 化简的方法主要有公式化简法和卡诺图化简法两种 习 2 畅 1 列出真值表, 写出逻辑表达式 : 题 (1) 设三变量 A B C, 当变量组合中出现奇数个 1 时, F = 1, 否则为 0 ; (2) 设三变量 A B C, 当输入端的信号不一致时, 输出为 1, 否则为 0 ; (3) 列出输入三变量表决器的真值表 科学出版社职教技术出版中心

44 第 2 章逻辑代数基础 35 2 畅 2 假定 : (1) A 从来不说话 ; (2) B 只有 A 在场时才说话 ; (3) C 在任何情况下, 甚至一个人时也说话 ; (4) D 只有 A 在场时才说话 求房间中没有人说话的逻辑表达式, 并用逻辑语言解释 2 畅 3 用反演规则求下列函数的反函数 (1) F = ( A + 珚 B) C + 珡 D (2) F = A B 珚 C + 珡 A D (3) F = A + B E + 珚 C D (4) F = A B + ( 珡 A + B)( C + D + E) 2 畅 4 写出下列函数表达式的对偶式 (1) F = ( A 珚 B) + 珡 A B (2) F = A B + 珚 C + D E (3) F = ( 珡 A + B) ( C + DE) + 珡 D (4) F = A B + C + D + E 2 畅 5 用代数法化简下列函数 (1) F = 珡 A + 珚 B + 珚 C + 珡 D + A B CD (2) F = A + A B C + A B C + B C + 珚 B C (3) F = A 珚 B + BD + D CE + 珡 A D (4) F = A B + A D + 珚 B 珡 D + A 珚 C 珡 D (5) F = 珡 A 珚 B + A C + B C + 珚 B 珚 C 珡 D + B 珚 CE + 珚 B CF (6) F = ( A 磑 B) C + A B C + 珡 A 珚 B C (7) F = 珡 A( C 磑 D) + B 珚 C D + A C 珡 D + A 珚 B 珚 C D (8) F = A( 珡 A C + BD) + B( C + DE) + B 珚 C (9) F = A D + A 珡 D + A B + 珡 A C + BD + A CE H + 珚 B E H + DE H G (10) F = ( A + B) C + 珡 A C + A B + A B C + 珚 B C 2 畅 6 利用公式证明下列等式 (1) B C + D + 珡 D( 珚 B + 珚 C)( A D + B) = B + D (2) A B C + A 珚 B 珚 C + 珡 A B 珚 C + 珡 A 珚 B C = A 磑 B 磑 C (3) 珡 A 珚 C + 珡 A 珚 B + B C + 珡 A 珚 C 珡 D = 珡 A + B C (4) ( A + 珚 C)( B + D)( B + 珡 D) = A B + B 珚 C (5) ( C 磑 D) + C = 珚 C 珡 D (6) A 磑 B 磑 C 磑 D = A 磑珚 B 磑 C 磑珡 D 2 畅 7 将下列函数展开成最小项表达式 (1) F = 珡 A + 珚 B 珚 C + A 珡 D + A B CD (2) F = A + A B C + B C + 珚 B C

45 36 数字电子技术 (3) F = A B珚 + B D珡 + D C + 珡 A D (4) F = A D + B 珚 D珡 + 珡 A C 珚 D珡 2 畅 8 用卡诺图法将下列函数化成最简或 与表达式 (1) F = 珡 A B CD + A B 珚 CD 珚 + A B珚 + A D + A B珚 C (2) F = A C + 珡 A B珚 + B C珚 + 珡 A CD 珚 (3) F = A C珚 + B C珚 + B珚 C + 珡 A C (4) F = A B C + A BD + A B珚 C + C 珚 D珡 + A CD 珚 + 珡 A C D珡 (5) F = 珡 A B + B 珚 C珚 + A D珡 + A B C珚 (6) F = A B珚 + B C + 珡 A B珚 C (7) F = 珡 A B珚 + A BD( B + CD) 珚 (8) F = A( 珡 A C + B D) + B( C + DE) + B C珚 2 畅 9 用卡诺图法化简下列函数 (1) F = m(0, 2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 15) (2) F = m(0, 1, 2, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15) (3) F = m(0, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 13, 14) (4) F = m(0, 1, 2, 3, 7, 10, 11, 12, 13) (5) F = m(0, 2, 5, 6, 7) (6) F = m(0, 1, 2, 4, 6) (7) F = m(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 12) (8) F = m(0, 1, 2, 3, 8, 10, 11, 12) 2 畅 10 用卡诺图法化简下列具有约束项函数 (1) F = m (0, 2, 7, 11, 13, 14, 15) + (2) F = m (2, 4, 6, 7, 12, 15) + (3) F = m (1, 2, 4, 6, 11, 12, 14) + (4) F = m (0,2,3,4,5,6,11,12) + (5) F = m (0, 2, 5, 6, 7, 11, 12) + (6) F = m (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 12) + d (1, 3, 4, 5, 6, 8, 10) d (0, 1, 3, 8, 9, 11) d (5, 7, 8, 9, 10) 科学出版社职教技术出版中心 d (8,9,10,13,14,15) d (8, 9, 10, 14, 15) d (8, 9, 10, 14, 15)

46 第 3 章逻辑门电路 最基本的逻辑门电路有 与门 或门 非门, 由这些基本门电路可以实现逻辑代数的与 或 非的基本逻辑运算 基本的逻辑门组合可构成复杂的逻辑门电路 本章主要讨论由双极型器件与单极型器件开关特性以及构成的基本逻辑门及其组合成的各种门电路的结构 工作原理 性能与特点, 着重讨论 T TL 和 CMOS 集成逻辑门电路的工作原理 逻辑功能和外特性, 及它们的改进电路和其他功能的集成逻辑门电路 3 畅 1 概述 用以实现各种基本逻辑关系的电子电路称为门电路 它是组成其他功能数字电路的基础 最基本的逻辑门电路是 : 与门 或门 非门 由它们进行组合可以得到与非门 或非门 与或非门 异或门 同或门等 此外还有一些具有特殊功能的逻辑门, 如集电极开路与非门 (O C 门 ) 三态门 ( T S 门 ) 及传输门等 这些不同逻辑功能的门电路是构成组合逻辑电路最基本的单元电路 按集成逻辑门的开关元件不同, 可分为单极型逻辑门电路和双极型逻辑门电路两大类 以双极型器件为开关元件构成的逻辑门电路称为双极型逻辑门电路 以单极型器件 ( 场效应管 ) 为开关元件, 构成的逻辑门电路称为单极型门电路 双极型逻辑电路中最早制造的是由二极管和三极管组成的逻辑电路, 简称 D T L 在 D T L 电路基础上加以改进, 在提高速度 降低功耗 提高抗干扰能力等方面进行努力, 研制出了由晶体三极管和三极管构成的逻辑电路 T T L 和发射极耦合逻辑电路 ECL 高阈值逻辑电路 H T L 高集成度逻辑电路 I 2 L 等 单极型 M OS 电路的优点是结构简单 制造方便 每个门所占硅片面积小 功耗低 便于大规模集成 抗干扰能力较强, 缺点是速度比较慢 输入和输出信号只有高电平和低电平两种状态 用 1 表示高电平 用 0 表示低电平的情况称为正逻辑 ; 反之用 0 表示高电平 用 1 表示低电平的情况称为负逻辑 3 畅 2 分立元件门电路 3 畅 2 畅 1 常用分立元件的开关特性分立元件的二极管 三极管及 M OS 管是构成门电路的主要器件, 在门电路中, 它们通常当作开关用 因此, 在介绍由这些器件构成的各种门电路之前, 先回顾一下 开关 要具有的特性 1 畅理想开关特性在图 3 畅 1 所示的简单电路中, 如果开关 K 是一个理想开关, 则 :

47 38 数字电子技术 图 3 畅 1 理想开关特性 1) 开关 K 断开时, 在开关两端 A B 间的电压 U A B = E, 通过开关的电流 I = 0, 开关等效电阻 RK = 2) 开关 K 闭合时, 开关两端电压 U A B = 0, 即开关闭合, 其等效电阻 RK = 0, 通过开关的电流 I = E/ R 3) 开关 K 的开闭动作瞬时完成 上述理想开关的特性不受其他因素 ( 如温度等 ) 的影响 2 畅二极管的开关特性二极管具有单向导电性, 即二极管两端加上正向电压且超过死区电压时, 二极管导通且箝位于 U D 0 畅 7V ( 硅管 ) 或 U D 0 畅 2V ( 锗管 ), 这相当于开关闭合, 如图 3 畅 2 (a) 所示 二极管两端加上正向电压小于死区电压时, 二极管截止, 这相当于开关断开, 可用图 3 畅 2 (b) 来表示 图 3 畅 2 二极管开关等效电路 在脉冲信号的作用下, 二极管可在 开 态, 关 态二种工作状态间转换, 当脉 冲频率高时, 其变化速率很快, 可能会达到每秒 100 万次以上, 在高速开关状态下, 就 必须考虑二极管状态转换过渡过程的时间 3 畅三极管的开关特性 (1) 三极管的工作状态 在数字电路中, 三极管是作为一个开关来使用的, 它不允许工作在放大状态, 而只 能工作在饱和导通状态 ( 又称饱和状态 ) 或截止状态 下面参照图 3 畅 3 所示共发射极三 极管开关电路和输出特性曲线来讨论三极管的静态开关特性 科学出版社职教技术出版中心 图 3 畅 3 三极管的静态开关特性

48 第 3 章逻辑门电路 39 1) 截止状态 : 当输入电压 UI 较小时, 发射结电压 UB E < 0, 此时发射结处于反偏状态, 发射极电流 ie 基极电流 ib 集电极电流 ic 基本上为零, 最多只有很小的反向漏电流 此时集电极电阻 RC 上无压降, 集电极如同断开一样, 这种状态称为三极管的截止状态, 也就是三极管的 关 态 输出电压 UC E EC 在截止状态下, 硅三极管的等效电路如图 3 畅 4 (a) 所示 2) 放大状态 : 若 UI 上升, 且超过发射结死区电压 0 畅 5V ( 硅管 ), 发射结正偏, 集电结处于反偏, 处于放大状态, 集电极电流 ic 与基极电流 ib 的关系为 ic = βib, 且 ie = ic + ib ; 在放大状态下, 输出电压 UC E = EC - ic RC, 它的数值大于 UB E, 因此放大状态下的集电结始终处于反偏状态 3) 饱和状态 : 三极管导通后, 随着输入电压 UI 增大, ie ib ic 均增长, UC E = EC - ic RC 不断下降, 当降到 0 畅 7V 以下时, 三极管集电结由反偏转向正偏, 即发射结和集电结都正偏, 集电极电流不再服从放大状态下 ic = βib 这一规律, 集电极电流 ic EC / RC 在饱和状态下集电极和发射极之间的压降很小, 硅管为 0 畅 3V ( 锗管为 0 畅 1V), 三极管的饱和压降用 UC E S 来表示, 此时, 集电极与发射极之间如同短路接通一样, 称为三极管的 开 态, 其等效电路如图 3 畅 4 (b) 所示 图 3 畅 4 NPN 三极管开关等效电路饱和与放大状态区别在于 : 放大时集电结反偏, 饱和时集电结正偏 ; 放大时电流 ic = βib, 它们之间具有线性关系, 饱和时 ic 不随 ib 的增加而增加, ic = EC / RC 一般集电结零偏, 即 UC = UB 时, 称为临界饱和点, 此时的基极电流毛 ib = ib S = ic S /β EC / βrc, 其中 ib S 为临界饱和基极电流, ic S 是临界饱和集电极电流 (2) 三极管的动态特性三极管工作在开关状态时, 其内部电荷的建立与消散都需要一定的时间 因此, 集电极电流 ic 的变化总是滞后于输入电压 UI 的变化, 这说明三极管由截止变为饱和或由饱和变为截止都需要一定的时间 如在图 3 畅 3 (a) 所示电路中输入一个理想的矩形脉冲 UI 时, 其集电极电流 ic 和输出电压 U O 的变化如图 3 畅 5 所示 当输入 UI 由 - U R 正跳到 UF 时, 发射区开始向基区扩散电子, 并形成基极电流 ib 同时基区积累的电子流向集电区形成集电极电流 ic 随着基区积累电子的增多, ic 断增大, 直到最大值 ic S, 三极管进入饱和状态 这时, 如 ib 继续增大时, 基区内存储

49 40 数字电子技术 图 3 畅 5 三极管的开关时间特性 电荷更多, 三极管饱和加深 通常把从 UI 正跳变 开始到 ic 间, 用 t on 表示 上升到 0 畅 9 ic S 所需的时间称为开通时 当输入 UI 由 UF 跳到 - UR 时, 基区中存储 的大量电荷开始消散, 在存储电荷消散前, ic = ic S 不变 随着存储电荷的消散, 三极管的饱 和深度变浅 存储电荷消失后, 三极管进入放大 区并转向截止 通常把从 UI 负跳变开始到 ic 下 降 0 畅 1 ic S 需的时间称为关断时间, 用 t off 表示 应当指出, t off 比 t on 大得多, 因此, 要提高三 极管的开关速度, 就必须降低三极管的饱和深度, 加速基区存储电荷的消散 4 畅 M OS 管开关特性 (1) M OS 管的开关工作状态 M OS 管作为开关元件, 它工作在截止与导通 状态 如图 3 畅 6 (a) 所示的 N M OS 增强型管构成 的开关电路中, 若 U GS 小于 N M OS 管的开启 U T, 则 M OS 管工作在截止区, id S 基本为零, 输出电 压 UD S V D D, 这是 N M OS 管的 关 态 其等效电路如图 3 畅 6 (b) 所示 若 UGS 大于开启电压 UT, 则 MOS 管工作在导通状态 此时漏源电流 id S = VD D /( RD + rd S ), 其中, rd S 为 M OS 管导通时的漏源电阻 输出电压 U D S = rd S V D D /( RD + rd S ), 若 r D S 虫 RD, 则 UD S 0V, 这是 N M OS 管的 开 态, 其等效电路如图 3 畅 6 (c) 所示 (2) M OS 管的动态特性 图 3 畅 6 MOS 管开关等效电路 如果在图 3 畅 7 (a) 所示电路输入矩形脉冲信号, M OS 管在 开 关 状态间转 换, 其动态特性主要取决于杂散电容 C L 充放电所需时间, 而管子本身导通或截止, 电 荷的积累和消散时间却很小, 这是因为 M OS 管的电流是多数载流子的漂移运动形 成的 科学出版社职教技术出版中心

50 第 3 章逻辑门电路 41 图 3 畅 7 MOS 管的动态特性 信号 UI M OS 管导通时的漏源电阻 rd S 比晶体三极管饱和电阻 rc E S 要大得多, 因此, 当输入 由低变高跳变时, M OS 管由截止转向导通, 杂散电容 CL 将通过 M OS 管漏源电 阻及外接电阻 RD 放电, 其放电时间常数 τ = ( rd S RD ) CL 比晶体三极管要大得多 ; 同样, UI 由高到低跳变, M OS 管由导通转向截止时, 杂散电容 C L 有一个充电过程, 其充电时间常数 τ = RD C L 也比晶体三极管大得多 可见 M OS 管的开关速度比二极管 三极管低, 如图 3 畅 7(b) 所示 3 畅 2 畅 2 分立元件门电路用来实现与 或 非三种基本逻辑的电路分别称为与门 或门 非门 它们是数字电路中三种最基本的逻辑门 1 畅二极管与门能实现与逻辑功能的电路称为与门 图 3 畅 8 (a) 是一个由二极管构成的与门电路, 图中 A B 为与门的输入端, F 为与门的输出端 图 3 畅 8 (b) 为其逻辑符号, 设输入高电平 UI H = 3V, 低电平 UIL = 0V, 二极管的正向压降 UD = 0 畅 7V 下面分析它的逻辑功能 图 3 畅 8 二极管与门电路 当输入 A = B = 0V 时, 二极管 V D 1 和 V D 2 都导通, 输出 F = 0 畅 7V, 为低电平 ;

51 42 数字电子技术当输入 A = 0V B = 3V 时, V D 1 优先导通, 输出 F = 0 畅 7V, 为低电平, 使 V D 2 反偏截止 ; 当输入 A = 3V B = 0V 时, V D 2 优先导通, 输出 F = 0 畅 7V, 为低电平, 使 V D 1 反偏截止 ; 当输入 A = B = 3V 时, V D 1 和 V D 2 同时导通, 输出 F = 3 畅 7V, 为高电平 上述 A B 输入电压的各种不同组合和对应 F 输出电压之间的关系与真值表如表 3 畅 1 所示 与门电路的输入和输出波形如图 3 畅 8 (c) 所示 与门用以实现与运算 表 3 畅 1 与门输入输出电位关系与真值表 输 入 输 出 U A/ V U B/ V V D1 V D2 A B U F/ V F 0 0 导通 导通 畅 导通 截止 畅 截止 导通 畅 导通 导通 畅 畅二极管或门 能实现或逻辑功能的电路称为或门 图 3 畅 9 (a) 是一个由二极管构成的或门电路, 图中 A B 为与门的输入端, F 为与门的输出端 图 3 畅 9 (b) 为其逻辑符号, 设输入 高电平 UI H = 3V, 低电平 UIL = 0V, 二极管的正向压降 UD = 0 畅 7V 下面分析它的逻辑 功能 截止 ; 截止 ; 图 3 畅 9 二极管或门电路 当输入 A = B = 0V 时, 二极管 V D 1 和 V D 2 都导通, 输出 F = 0V, 为低电平 ; 当输入 A = 0V B = 3V 时, V D 2 优先导通, 输出 F = 2 畅 3V, 为高电平, 使 V D 1 反偏 当输入 A = 3V B = 0V 时, V D 1 优先导通, 输出 F = 2 畅 3V, 为高电平, 使 V D 2 反偏 当输入 A = B = 3V 时, V D 1 和 V D 2 同时导通, 输出 F = 2 畅 3V, 为高电平 上述 A B 输入电压的各种不同组合和对应 F 输出电压之间的关系与真值表如表 3 畅 2 所示 或门电路的输入和输出波形如图 3 畅 9 (c) 所示 或门用以实现或运算 科学出版社职教技术出版中心

52 第 3 章逻辑门电路 43 表 3 畅 2 或门输入输出电位关系与真值表 输入输出 U A/ V U B/ V V D1 V D2 A B U F/ V F 0 0 导通 导通 截止 导通 畅 导通 截止 畅 导通 导通 畅 畅非门 ( 反相器 ) 能实现非逻辑功能的电路称为非门 图 3 畅 10 (a) 是一个由三极管构成的非门电路, 图中 A 为非门的输入端, F 为非门的输出端, 图 3 畅 10 (b) 为其逻辑符号, 下面分析它的逻辑功能 当输入 A 为低电平 0 时, 基射间的电压 UB E 0V, 三极管 V 截止, 输出 F 为高电平 1 ; 当输入 A 为高电平 1 时, 合理选择 R1 和 R2, 使三极管 V 工作在饱和状态, 输出 F 为低电平 0 其 A 输入电压和对应 F 输出电压之间的关系与真值表如表 3 畅 3 所示 图 3 畅 10 三极管非门电路 表 3 畅 3 非门输入输出电位关系与真值表 输 入 输 出 U A/ V V A U F/ V F 0 畅 3 截止 0 3 畅 畅 2 导通 1 0 畅 3 0 由于非门的输出信号和输入的反相, 故非门又称反相器 非门电路的输入和输出波形如图 3 畅 10 (c) 所示 非门用以实现非运算 3 畅 2 畅 3 复合门电路与门 或门 非门是三种最基本的门电路 尽管由这三种门电路可以实现多种逻辑功能, 但在实际应用中仍有一些问题 : 1) 不适合多级级联 两级级联低电平为 1 畅 4V, 三级级联低电平为 2 畅 1V 二极管本身的电平偏移而破坏了高 低电平的逻辑关系

53 44 数字电子技术 2) 二极管带负载能力差, 一般二极管门电路 R 取得较大 在容性负载时, 使得输出波形上升时间增加 因此, 出现了一些其输入 输出关系可用专门的逻辑函数来表示的电路作为基本电路单元 常见的有与非门 或非门 与或非门 异或门等, 这些门电路称为复合门电路 1 畅与非门图 3 畅 11 (a) 为一个二极管 三极管与非门电路 图 3 畅 11 (b) 为其逻辑符号, A B 为输入, F 为输出 该电路实际上由二极管与门和三极管非门两部分组成 它的逻辑功能是依靠与门的输出信号控制非门的工作来实现的 与非门的真值表如表 3 畅 4 所示, 由该表可看出与非门的逻辑功能为 : 当输入 A B 中有低电平 0 时, 输出 F 为高电平 1, 只有当输入全为高电平 1 时, 输出 F 才为低电平 0 其输出逻辑表达式为 F = A B 图 3 畅 11 与非门电路 表 3 畅 4 与非门的真值表 输入输出输入输出 A B F A B F 畅或非门 图 3 畅 12 (a) 为一个二极管 三极管或非门电路 图 3 畅 12 (b) 为其逻辑符号, A B 为输入, F 为输出 该电路实际上由二极管或门和三极管非门两部分组成 它的逻辑功能 是依靠或门的输出信号控制非门的工作来实现的 或非门的真值表如表 3 畅 5 所示, 由该表 可看出或非门的逻辑功能为 : 当输入 A B 中有高电平 1 时, 输出 F 为低电平 0, 只有当 输入全为低电平 0 时, 输出 F 才为高电平 1 其输出逻辑表达式为 F = A + B 表 3 畅 5 或非门的真值表 输入输出输入输出 A B F A B F 科学出版社职教技术出版中心

54 第 3 章逻辑门电路 45 图 3 畅 12 或非门电路 3 畅 3 T T L 与非门电路 T T L 集成电路是一种单片集成电路 在这种集成电路中, 一个逻辑电路的所有元件和连线, 都制作在同一块半导体芯片上 由于这种数字集成电路的输入端和输出端的结构形式都采用了半导体三极管, 所以一般称它为晶体管 晶体管逻辑电路, 简称 T T L 电路 由于 T T L 集成电路的生产工艺成熟, 产品参数稳定 工作可靠 开关速度高, 广泛应用于中 小规模集成电路中 但是 T T L 电路功耗比较大, 用它做大规模集成电路尚有一定难度 3 畅 3 畅 1 TTL 与非门 1 畅电路结构图 3 畅 13 所示电路为 T T L 与非门基本电路 它主要由输入级 中间倒相级和输出级三部分组成 图 3 畅 13 T TL 与非门输入级由多发射极三极管 V1 和电阻 R1 组成 多发射极管的三个发射结为三个 PN 结 因此, 输入级用以实现与功能 中间倒相级由 V2 R2 和 R3 组成 V2 集电极和发射极输出两个逻辑电平相反的信号, 分别用以驱动 V3 和 V5