第一章

壹 重點整理 一 廣義角三角函數 : (1) 廣義角的定義 : 三角函數 ( 一 ) 由一射線 ( 始邊 ) 旋轉到另一射線 ( 終邊 ) 的旋轉量, 逆時針為正向角, 順時針為負向角 () 同界角 :θ 1,θ 為同界角 θ 1 θ =360 k,k 為整數 (3)sinθ 與 cosθ 的定義 : 坐標平面上以原點 O 為圓心半徑等於 r 的圓, 給定一個廣義角 θ, 規定 θ 的始邊為 x 軸 的正向, 角的頂點為原點, 根據 θ 的旋轉量, 可畫出終邊的位置 設終邊這條射線與圓交於 P(x,y), 則我們定義 :sinθ = y r,cosθ =x r y P(x,y) O r x () 其他三角函數的定義 : 根據三角函數間的關係, 我們可定義其他的三角函數 : 利用 cosθ = x r sinθ =y r 可定義 :tanθ= sinθ cosθ = y x (5) 三角函數的關係 :,cotθ = cosθ sinθ = x y,secθ = 1 cosθ =r x,cscθ = 1 sinθ = r y (a) 平方關係 :sin θ+cos θ=1,1+tan θ=sec θ,1+cot θ=csc θ (b) 商數關係 :tanθ = sinθ,cotθ =cosθ cosθ sinθ (c) 餘角關係 :sin(90 θ )=cosθ,cos(90 θ)=sinθ,tan(90 θ)=cotθ,cot(90 θ)=tanθ sec(90 θ)=cscθ,csc(90 θ)=secθ (6) 三角函數值的化簡 : (a) 化簡角度到 360 度內 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (n 360 +θ ) = sin,cos,tan,cot,sec,csc (θ ) ~ 三角一 -1~

利用此觀念可將任意角度的三角函數化成 0 到 360 之間的三角函數 例如 :sin789 =sin( 360 +69 )=sin69,tan( 1000 )=tan( 3 360 +80 )=tan80 (b) 化簡角度到 180 度內 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (180 ± θ,θ±180 ) = ± sin,cos,tan,cot,sec,csc (θ ) ± 由等號左右的正負來決定 例如 : sin(θ+180 )= sinθ cos(θ+180 )= cosθ tan(θ+180 )=tanθ sin(180 θ)=sinθ cos(180 θ)= cosθ tan(180 θ)= tanθ 兩個角度成補角, 正弦值相等, 餘弦值等值異號 (c) 餘角的關係 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (90 ± θ,70 ± θ) = ± cos,sin,cot,tan,csc,sec (θ ) ± 由等號左右的正負來決定例如 : sin(90 +θ)=cosθ cos(90 +θ)= sinθ tan(90 +θ)= cotθ sin(70 θ)= cosθ cos(70 θ)= sinθ tan(70 θ)=cotθ (d) 負角關係 : sin( θ)= sinθ,cos( θ)=cosθ,tan( θ)= tanθ 二 三角函數在平面幾何上的應用 : (1) 正弦公式 : a (a) 在 中, 以 a,b,c 表示,, 之對邊長度, 則 sin = b sin = c sin =R, 其中 R 為 外接圓的半徑 (b) 正弦定理的用法 : a 正弦定理 sin = b sin = c sin =R 的轉換 ( 以 R 為媒介 ) 比例型 :a:b:c =sin:sin:sin 邊化角 :a=rsin,b=rsin,c=rsin 角化邊 :sin= a R,sin= b R,sin= c R () 餘弦公式 : a (a) 在 中, 若 a,b,c 為,, 之對邊長, 則 b c = b = a = b + c + c + a bc cos ac cos ab cos ~ 三角一 -~

(b) 由餘弦定理, 可知 cos= b +c a bc,cos= c +a b ca,cos= a +b c ab (c) 從 (a) 可知 =90 a =b +c <90 a <b +c >90 a >b +c (3) 正 餘弦公式的應用 : (a) 解三角形的邊長與角度 : 三角形的全等性質有 SSS SS S S 斜股性質, 我們可以利用正 餘弦定理來解出唯一的三角形 SS 型的討論 : 中, 若已知 a,b 及 [ 想法 ]: 設 =b, 利用尺規在 的邊 X 上做出 點使得 =a 想要找出另一個頂點, 則圓規打開的半徑大小 a, 一定要比頂點 到 X 的距離大才有交點 (1 ) 為銳角時, 頂點 到 X 的距離 h=b sin a<h 時, 找不到 點 無解 ( 如圖一 ) a=h 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖二 ) h<a<b 時, 有兩個 點 有兩解 ( 如圖三 ) b a 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖四 ) ( ) 為鈍角時, 頂點 到 X 的距離 =b a b 時, 找不到 點 無解 ( 如圖五 ) a>b 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖六 ) b h a b h a 圖一 X 圖二 X b h a b h a 圖三 X 圖四 X a b a b 圖五 X 圖六 X ~ 三角一 -3~

(b) 三角形面積 : 三角形 的面積 = 1 底 高 () 測量問題 : (a) 名詞解釋 : = 1 bcsin(1 兩邊乘積 夾角的正弦值 ) = s( s a)( s b)( s c) s= 周長之半 = abc R (R 為三角形 外接圓的半徑 ) =r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) 鉛直線 : 通過地球球心的直線 水平線 : 垂直鉛直線的直線 測物線 : 眼睛與觀測物所成之直線 仰角 : 測物線與水平線之夾角, 此時觀測物在水平線之上方 俯角 : 測物線與水平線之夾角, 此時觀測物在水平線之下方 (b) 解題原則 : 一遇直角三角形, 最大要訣 以三角函數值表示幾何量 對邊 (a)= 斜邊 (c) 對角的正弦值 (sin) = 鄰邊 (b) 對角的正切值 (tan) 鄰邊 (b)= 斜邊 (c) 對角的餘弦值 (cos) = 對邊 (a) 對角的餘切值 (cot) 若為任意三角形已知一邊二角 ( 角比邊多 ) 用正弦定理已知二邊一角 ( 邊比角多 ) 用餘弦定理 立體測量 : 處理立體測量的問題時, 通常將要求出的量 ( 塔高 山高 距離..) 與題目所給的條件 ( 方位 距離 仰角 俯角 ), 通通轉化成一個三角形的邊長或內角, 然後就可將立體的問題化成平面三角形的問題, 此時正餘弦等在三角形上解決邊角問題的技巧就可以派上用場 ~ 三角一 -~

貳 精選範例 一 廣義角三角函數 [ 例題 1] ( 基本定義 ) 若角 θ 位於標準位置, 其終邊與單位圓 ( 圓心為原點 ) 之交點 P 的坐標 (x, 1 ), 則下列何者恆成立?()x= 3 ()sinθ = 1 ()cosθ = 3 ()cscθ = (E)tanθ = 1 3 [ 答案 ]:()() () 因為 P(x, 1 ) 在單位圓上, x +( 1 ) =1 x= ± 3 () sinθ= 1 ()cosθ=± 3 ()cscθ= 1 sinθ 故選 ()() = (E) tanθ =sinθ cosθ =± 1 3 [ 例題 ] ( 用線段表示三角函數 ) 在坐標平面上以原點 O 為圓心,1 為半徑畫一圓, 交 x 軸正向於 點,y 軸正向於 點, 再畫一直線 L 過原點並交圓 O 於, / 兩點 過 點與 點作圓的切線, 分別交直線 L 於 點與 E 點並自 點作 x 軸的垂線交 x 軸於 F 點, 設 O=θ(0 <θ<90 ) (1) 試在上圖中分別找出長度等於 sinθ,cosθ,tanθ,secθ 的單一線段長 () 試比較 sinθ,tanθ,secθ 的大小 (3) 試比較 sinθ cosθ 的大小 [ 答案 ]: / y O θ F E x L (1)sinθ= F,cosθ= OF,tanθ=,secθ= O()sinθ <tanθ <secθ (3)0<θ<5,cosθ >sinθ ;5 <θ <90,sinθ >cosθ (1) 在直角 OF 中,sinθ= F O = F,cosθ = OF O = OF 在直角 O 中,tanθ = O =,secθ= O O = O () 由圖形可知 F < < O sinθ <tanθ <secθ y θ=5 y θ=5 O F x O F x ~ 三角一 -5~

(3) 由前面的圖形可知 0<θ<5, OF> F cosθ >sinθ 5 <θ <90, F > OF sinθ >cosθ [ 例題 3] ( 三角函數的化簡 ) o 若 cos( 100 )=k, 則以 k 表示 csc( 1360 ) =? 1 [ 答案 ]: 1 k cos( 100 )=cos100 = cos80 =k cos80 = k csc( 1360 )=csc( 1360 +10 )=csc80 = 1 sin80 = 1 1 k [ 例題 ] ( 三角函數的關係 ) 設 0 <θ<90, 若 sinθ cosθ = 1 5, 則下列敘述何者正確? ()sinθ cosθ = 1 5 (E)cosθ= 3 5 [ 答案 ]:()()()()(E) ()tanθ +cotθ =5 1 ()sinθ +cosθ =7 5 ()sinθ= 5 ()(sinθ cosθ) =sin θ+cos θ sinθcosθ =1 sinθ cosθ sinθ cosθ = 1 5 ()tanθ +cotθ = sinθ cosθ + cosθ sinθ =sin θ+cos θ cosθsinθ = 1 sinθ cosθ =5 1 () (sinθ+cosθ) =sin θ+cos θ+sinθcosθ =1+sinθ cosθ= 9 5 因為 θ 為銳角, 所以 sinθ +cosθ = 7 5 ()(E)Q sinθ cosθ = 1 5,sinθ +cosθ =7 5 sinθ 5,cosθ =3 5 [ 注意 ]: 根據 (sinθ±cosθ) 1 =1±sinθcosθ,tanθ +cotθ= sinθ cosθ 可知 sinθ ±cosθ,sinθ cosθ,tanθ +cotθ 這三個式子, 已知一個就可以求得其他各個式子的值 ~ 三角一 -6~

( 練習 1) 化簡下列各小題的值 : (1)sin60 cos150 cos5 sin( 315 )+tan300 sec( 180 )= ()cos( 960 )+tan(585 )+sin( 100 )= 1+ [ 答案 ]:(1) 3 () 1+ 3 ( 練習 ) 右圖為一圓心在原點的單位圓, 則圓弧上一點 P 的坐標為? () (cosθ,sinθ) ()(cosθ, sinθ) () ( cosθ,sinθ) () ( cosθ, sinθ) (E)( sinθ,cosθ) [ 答案 ]::() y O ( 練習 3) 設 tan0 =k, 試求 sec50 = [ 答案 ]: k +1 k P θ x ( 練習 ) 設 θ 為銳角,sinθ+cosθ= 7, 請計算下列各小題的值 : (1)sinθ cosθ ()sinθ cosθ (3)tanθ +cotθ [ 答案 ]:(1) 3 8 () ±1 (3)8 3 二 三角函數在平面幾何上的應用 [ 例題 5] ( 正餘弦公式的應用 ) 中, 三邊長上的高為 h a =6,h b =,h c =3, 求 (1)sin:sin:sin=? () 最大角的餘弦值 (3) 的面積 [ 答案 ]:(1):3: () 1 (3)16 15 5 (1)Q 1 ah a= 1 bh b= 1 ch c= 面積 a:b:c= 1 h a : 1 h c : 1 h c = 1 6 :1 :1 3 =:3: 根據正弦定理 sin:sin:sin=a:b:c=:3: () 最大邊 c 對應最大角 = +3 3 cos cos= 1 (3) 設 a=k,b=3k,c=k ~ 三角一 -7~

Qcos= 1 sin= 15 1 (k)(3k) 15 = 面積 = 1 k 3 k= 8 15 16 15 面積 = 5 [ 例題 6] ( 餘弦公式的應用 ) R 如右圖, 若 = =10, P = R=9, P = Q=7, = RP PQ=90, (a) 請計算 cos( P)=? (b) PQR 的面積 =? [ 答案 ]:(a) 5 9 (b)35 (93 建中幾何期中考 ) P R Q (a) 連接,Q = =10, =90 =10 在 P 中使用餘弦公式 = P + P P P cos( P) cos( P)= 5 9 P Q (b) 設 RPQ=θ,Q RP= PQ=90, P = R, P = Q θ+90 = P sinθ =sin( P 90 )= cos( P)= 5 9 PQR 的面積 = 1 1 PR PQ sinθ= 9 7 5 9 =35 [ 例題 7] ( 三角形的中線定理 ) 三角形 中, 設 =c,=a,=b, 為 之中點, 試證 : + = + 1 [ 證明 ]: ( 想法 ): 考慮兩個三角形, 其中這兩個三角形的內角互補或相等, 在這兩個三角形中使用餘弦定理, 去求出要求的邊長 令 =x 令 =θ =π θ 在 中使用餘弦公式 c =x +( a ) x ( a )cosθ. θ π θ ~ 三角一 -8~

在 中使用餘弦公式 b =x +( a ) x ( a )cos(π θ). 因為 cos(π θ)= cosθ + b +c =x + a 故 + = + 1 [ 例題 8] 如右圖, =5, =, =, 在 上, 且 =1, =3 試求 =? [ 答案 ]: 79 ( 想法 ): 考慮兩個三角形, 其中這兩個三角形的內角互補或相等, 在這兩個三角形中使用餘弦定理, 去求出要求的邊長 令 =x, =θ, =180 θ 在 中使用餘弦公式 5 =x +1 x 1 cosθ =x xcosθ. 在 中使用餘弦公式 =x +3 x 3 cos(180 θ) 7=x 6x( cosθ). 3+ 79=x x = 79 79 x= 1 5 x θ 180 θ 3 [ 例題 9] 中, 之內角平分線交 於, =3, =6, =10, 則 = ; = [ 答案 ]:; 7 令 =x 利用 + = 的關係求出 1 sin60 + 1 sin60 = 1 sin10 1 3 x 3 +1 x 6 3 =1 3 6 3 x= 在 中, = + cos60 ~ 三角一 -9~

= +6 6 ( 1 ) =8 = 7 ( 練習 5) 設 a,b,c 為 的三邊長且滿足 (a b+c) +(3a+b c) =0, 若 θ 為 的最大內角, 求 cosθ = [ 答案 ]: 1 ( 練習 6) 在 中已知 sin:sin:sin= :5:7, 則求 cos =?sin=? [ 答案 ]: 1 5 6 5 ( 練習 7) 中, 設 a=3,b=,tan= 3, 求 c=? 7 [ 答案 ]: 5 或 5 ( 練習 8) 已知 之三邊長分別為,6,8, 則 (1) 的面積 =?() 邊長 6 所對應的高 =? (3) 的內切圓半徑 =?() 的外接圓半徑 =? [ 答案 ]:(1)3 15 () 15 (3) 15 3 16 15 () 15 ( 練習 9) 若 為一平行四邊形, 請利用三角形的中線定理去證明 : + =( + ) ( 練習 10) 設 為直角三角形,EF 是以 為一邊向外作出的正方形,G 是以 為一邊向外作出的正方形, 若 =5 = =3, 試求 (1)cos( E) () E 的面積 [ 答案 ]:(a) 3 5 (b)6 F E G ~ 三角一 -10~

( 練習 11) 已知圓內接四邊形 的各邊長為 =1, =, =3, =, 則 (1) =? ()sin =? (3) 的面積 [ 答案 ]:(1) 55 7 () 6 7 (3) 6 3 1 ( 練習 1) 中, =75, = 6, =, 在 上且 =30, 求 =? [ 答案 ]: 6 三 三角測量的問題 [ 例題 10] 設有一湖, 欲測湖岸兩點 長, 但湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取, 兩點間距離為 30 公尺, 分別自, 可看到其餘三點,, 或,,, 因而測得如圖, =10, =135, =30, =5, 則 長為 公尺 [ 答案 ]:30( 6+ ) Q =10, =135, =30, =5, = =90, =15, =15,,, 四點共圓 與 的外接圓半徑相同 令 =x, 在 與 中根據正弦公式 x =R= 30 sin90 sin15 x=30( 6+ ) [ 例題 11] 如圖,, 兩點分別位於一河口的兩岸邊 某人在通往 點的筆直公路上, 距離 點 50 公尺的 點與距離 點 00 公尺的 點, 分別測得 =60, =30, 則 與 的距離為 公尺 [ 答案 ]:50 7 公尺 Q = + =30 = =150 令 =x 公尺, 在 中使用餘弦公式 ~ 三角一 -11~

x =150 +50 150 50 cos60 x=50 7 [ 例題 1] ( 立體測量 ) 自塔之東一點, 測得塔頂之仰角為 5 ; 在塔之南 60 東一點, 測得塔頂之仰角為 30 設 兩點相距 1000 公尺, 則塔高為公尺 [ 答案 ]:1000 公尺 ( 想法 ): 令塔高 O 為 h 公尺, 利用銳角三角函數的定義, W 將 O O 與 h 連上關係, 然後於 O 中利用餘弦公式, 解出 h O N Q塔之東一點, 測得塔頂之仰角為 5 O=h Q塔之南 60 東一點, 測得塔頂之仰角為 30 O=hcot30 = 3h S E 在 O 中, O=30 ( 在東, 在南 60 東 ), =1000 = O + O O O cos30 1000 =h +( 3h) h 3h cos30 h=1000 [ 例題 13] 一直線上三點 E 測得山頂 點之仰角分別為 30 5 60 ( 但 E 三點與山頂之垂足 點不共線 ), 若 =600 公尺, E=00 公尺, 則山高為多少公尺? [ 答案 ]:00 15 公尺 ( 想法 ): 令山高 為 h 公尺, 利用銳角三角函數的定義, 將 E 用 h 來表示, 於 E 中利用餘弦公式解出 h Q E 測得山頂之仰角分別為 30 5 60 =hcot30 = 3h, =hcot5 =h, E=hcot60 = 如右圖, 令 =θ, 則在 E 中 ( 3h) =h +(600) h 600 cosθ ( h 3 ) = h +(00) h 00 cos(180 θ) h 3 30 3h 5 E h 60 h 3 h =(600) 100hcosθ ~ 三角一 -1~ 600 180 θ θ 00 E

3 h = (00) +800hcosθ h=00 15 P 6 Q ( 練習 13) 如圖所示, 設 =30, 1=60, =5, 5 3=30, =60, 求 PQ [ 答案 ]:15 6 1 3 ( 練習 1) 氣象局測出在 0 小時期間, 颱風中心的位置由恆春東南方 00 公里直線移動到恆春南 15 西的 00 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]: 17 公里 / 時 ( 練習 15) 某人隔河測一山高, 在 點觀測山時, 山的方位為東偏北 60, 山頂的仰角為 5, 某人自 點向東行 600 公尺到達 點, 山的方位變成在西偏北 60, 則山高公尺 (91 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]:600 公尺 ( 練習 16) 自地面上共線的相異三點,, 測得一山頂 E 點的仰角分別為 30, 5,60 若點 介於, 之間且 =00 公尺, =100 公尺, 並且山腳與三點,, 不共線, 試求山高 [ 答案 ]:300 公尺 E 30 5 60 ~ 三角一 -13~

叁 綜合練習 () 學科能力測驗 聯考試題試題觀摩 1. 如右圖, 單位圓 O 與 y 軸交於, 兩點 角 θ 的頂點為原點, 始邊在 x 軸的正向上, 終邊為 O, 直線 垂直於 y 軸且與 角 θ 的終邊交於 點, 則下列那一個函數值為? () sinθ () cosθ () tanθ () cotθ (E) secθ (86 大學聯考社會組 ). 設 中 =60, =b, 1 =c, 今在 上取一點 使得 = 3, 令 s=, 則 s = () 1 9 (b +c +bc) () 1 9 (b +c +bc) () 1 9 (b +c bc) () 1 9 (b +c +bc) (E) 1 9 (b +c bc) (87 大學聯考自然組 ) O y θ x 3. 已知四邊形 中, =8, =8, =3 且 = =60 試求 之長 (89 大學聯考社會組 ). 設 H 為銳角三角形 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表示線段 之長, 則 H 之長等於 ()c cos sin ()c cos cos ()c cos tan ()c cos sec (E)c cos csc (89 大學聯考自然組 ) 5. 平面上有 三點 已知 之間的距離是 00 公尺, 之間的距離是 1500 公尺, 等於 60 請問 之間距離的最佳近似值是哪一個選項? (1) 1500 公尺 () 1600 公尺 (3) 1700 公尺 () 1800 公尺 (9 指定考科甲 ) 6. 如圖所示的立體示意圖, 線段 垂直於過,,E 這三點的平面 設 = =10, =15, E=30, =α, =β, E=α /, E=β /, 試問下列何者為真? ()α=β ()α=α / +β / ()α=α / ()α+β> π 3 (E)α/ +β / < π 6 10 (9 指定考科乙 ) β 10 α 15 30 β / α / E ~ 三角一 -1~

7. 如圖, = θ, = = 90, = a, = b, 下列選項合者可以表示? (1) a sinθ + bcosθ () asinθ bcosθ (3) a cosθ bsinθ () a cosθ + bsinθ (5) a sinθ + b tanθ (93 指定考科乙 ) 8. 如圖所示 中, 為邊 上一點, 且 = =5, =, =, =a, 則 a = (9 指定考科乙 ) a 9. 旗竿頂端的仰角為 15 在底端連線段中的另一點測得 旗竿頂端的仰角為 6, 旗竿頂端的仰角為 19, 則 旗竿高度和 旗竿高度的比值約為 ( 四捨五入到小數點後第一位 ) (98 指定考科甲 ) 5 5 10. 一汽船在湖上沿直線前進, 有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50, 距離為 00 公尺, 一分鐘後, 於原地再測, 知汽艇到正前方偏右 70, 距離 300 公尺, 那麼汽艇在這一分鐘內行駛了公尺 (8 學科能力測驗 ) 11. 在 中, 已知 =60,=3000 公尺,=000 公尺, 則 = 度 ( 度 以下四捨五入 ) 3 =1.73, 7 =.66, 1 =.583 (88 學科能力測驗 ) ( 要利用三角函數表 ) 1. 若 sinx= 3 5,π <x<π, 則下列選項何者為真? ()cosx= 5 ()tanx=3 ()cotx= 3 ()secx= 5 (E)cscx= 5 3 (90 學科能力測驗 ) 13. 有一等腰三角形底邊為 10, 頂角 7 下列何者可以表示腰長? () 5 sin 36 () 5 tan 36 () 5 cot 36 () 5 sec 36 (E) 5 csc 36 (89 學科能力測驗 ) 1. 在坐標平面的 x 軸上有 (,0),(,0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 5 點, 測得 及 之值後, 通知在 (, 8) 的砲台此兩個角的正切值分別 ~ 三角一 -15~

8 8 為 9 及 3 那麼砲台 至目標 的距離為 (90 學科能力測驗 ) 15. 在 中,M 為 邊之中點, 若 =3, =5, 且 =10, 則 tan M= (96 學科能力測驗 ) 16. 假設甲 乙 丙三鎮兩兩之間的距離皆為 0 公里, 兩條筆直的公路交於丁鎮, 其中之一通過甲 乙兩鎮而另一通過丙鎮 今在一比例精確的地圖上量得兩公路的夾角為 5, 則丙 丁兩鎮間的距離約為 (1).5 公里 () 5 公里 (3) 5.5 公里 () 6 公里 (5) 6.5 公里 (98 學科能力測驗 ) 17. 在 中, = 10, = 9, cos = 3 8 設點 P Q 分別在 上 使得 PQ 之面積為 面積之一半, 則 PQ 最小可能值為 (98 學科能力測驗 ) () 重要問題觀摩 18. 若 5 <x<90,a=log 0.5 sinx,b=log 0.5 cosx,c=log 0.5 1,d=log 0.5 tanx, 則比較 a,b,c,d 的大小為 19. 之三邊長為 a,b,c, 外接圓半徑為 R 假設 a,b,c 均小於 R, 則此三角形為 () 銳角三角形 () 直角三角形 () 鈍角三角形 () 正三角形 (E) 無法判斷 (91 北區指定考科模擬考 ) 0. 已知一三角形的二高長分別為 與 1, 若第三高之長為 h, 則 ()<h<5 ()3<h<6 ()<h<8 ()3<h<5 (E)5<h<9 (91 雄中模擬考 ) 1. 右圖中, 中,=9,=8,=7, 若 之內切圓切 於, 求 =? E F.,, 三地兩兩相距 1 公里 甲從 地出發走向 地, 在同一時間乙從 地出發走向 地, 已知甲速度為乙速度的 倍, 試求甲 乙兩人間的最短距離 3. 如圖, 設每一小格皆為正方形, 求 cosθ=? θ ~ 三角一 -16~

. 設圓內接四邊形 中 = 30, =5, =, 則 = 5. 設 =60,P 為其內部一點且 P =10, 又 P 對於 的對稱點分別為 Q R, 則 QR=? 6. 設凸四邊形 之對角線 =p,=q, 兩對角線之交角為 θ (a) 試證 : 凸四邊形 之面積 = 1 pq sinθ (b) 若 +=10, 則凸四邊形 面積之最大值為何? 7. 如圖, 設 之內切圓半徑為 r, 外接圓半徑為 R, PQR 的面積內切圓切三邊於 P,Q,R, 則證明 = r 的面積 R R I Q 8. 利用下面的三角函數值表, 求 sin( 587 3 / )= P θ 10 / 0 / 30 / 0 / sinθ 0.6713 0.673 0.6756 0.6777 cosθ 0.71 0.739 0.7373 0.7353 ~ 三角一 -17~

1. [ 答案 ]:() 肆 綜合練習解答 O=θ 90, =tan(θ 90 )= cotθ= cotθ. [ 答案 ]:() 如圖, 令 =θ, =180 θ 在 與 中使用餘弦公式 c =s +( a 3 ) s a 3 cosθ b =s +( a 3 ) s a 3 cos(180 θ). + s = 1 9 (3b +6c a ) 又因為 a =b +c bccos60 a =b +c bc 代入上式 s = 1 9 (b +c +bc), 故選 () 3. [ 答案 ]:3 或 5 在 與 中使用餘弦公式 8 +x 8 x cos60 = =3 +8 3 8 cos60 x=3 或 5 H θ E. [ 答案 ]:(E) 如圖,H=E secθ=e sec(90 )=E csc= c cos csc 5. [ 答案 ]:() 令 =100x, 在 中使用餘弦公式 1500 =(100x) +00 100x 00 cos60 x x 1=0 x=1+ 15.9 約為 1600 公尺 6. [ 答案 ]:() () 中線不一定是角平分線 ()tanα= 10 15 = 3,tan(α/ +β / )= 0 30 = 3 α=α/ +β / ~ 三角一 -18~

()tanα= 3,tanα/ = 10 30 = 1 3,tanα/ = tanα/ 1 tan α / = 3 α α / ()tan(α+β)= 0 15 = 3 < 3 α+β<π 3 (E)tan(α / +β / )= 3 > 1 3 α/ +β / > π 6 7. [ 答案 ]:() π θ = a sin( π θ ) + b cos( π θ ) = a sinθ b cosθ π θ 8. [ 答案 ]: 9 在 與 中使用餘弦公式 +5 5 = cos= 5 +(+a) 5 5 (+a) 13 = a +a+ +a a= 9 9. [ 答案 ]:3. 3 設 旗竿高度為 a; 旗竿高度為 b; 兩支旗竿底端距離為 d, 則 d = a cot 9 + b cot 15 = a cot 6 + b cot 19 a( cot 6 cot 9 ) = b( cot 15 cot 19 ), 即 a(.05 1.80) = b( 3.73.90 ) 0.5a = 0.83b a=3.3b, 故 旗竿高度和 旗竿高度的比值約為 3.3 θ 10. [ 答案 ]:100 19 如圖, 令 =100x 公尺 x = +3 3 cos10 x= 19 =100 19 50 O 70 11. [ 答案 ]:1 在 中使用餘弦 正弦公式, 令 =1000x 公尺 x =3 + 3 cos60 x= 7 =1000 7 公尺 1000 7 又 sin60 = 000 sin sin= 3 7 0.3780 =1 ( 用三角函數表 ) 1. [ 答案 ]:()()(E) ~ 三角一 -19~

π <x<π,x 為第二象限角, 且 sinx= 3 5 cosx= 5,tanx= 3,cotx= 3,secx= 5,cscx=5 3 13. [ 答案 ]:(E) (m,n) 設腰長為 l, 5 l = cos5 l=5sec5 =5csc36 1. [ 答案 ]:13 如圖, 設 (m,n),tan( )= E E =8 9, tan( )= E E = 8 3 E:E=3:1 E=3 E( 5,0) E= ( 5,) =13 (,0) E O(0,0) (.0) 15. [ 答案 ]:5 3 利用坐標化方法 5 5 3 設 (0,0), (3,0), ( 5cos10,5sin10 ) = (, ) 5 5 3 3 + ( ) 0 + 1 5 3 M 之坐標為 (, ) = (, ) 5 3 0 0 0 m M = = 5 3, m = = 0 1 3 0 0 m M m 5 3 0 故 tan M = = = 5 3 1+ m m 1+ 5 3 0 M 16. [ 答案 ]:(1) 依照題意可作圖如右 : 假設丙丁之間的距離為 x, 則由正弦定理有 x 0 3 =, 故 x = 0. 978, 即最接近.5 公里 sin10 sin 5 5 M 10 15 17. [ 答案 ]: 因為 PQ 與 共用一個, 這兩個三角形的面積比為其共角夾邊的乘積 3 ( 5, 8) ~ 三角一 -0~

1 比, 即欲使 PQ 之面積為 面積之一半, 則須 P Q = = 5 假設 x = P, y = Q, t = PQ PQ 中, t = x + y xy cos 因為 135 5 15 x + y xy = 90, 所以, t 90 = t 18. [ 答案 ]:b>a>c>d Q 5 <x<90 cosx<sinx<1<tanx, 又 Qy=log 0.5 x 為遞減函數 b>a>c>d 19. [ 答案 ]:() 因為 a,b,c<r, 由正弦公式 a sin = b sin = c sin =R sin= a R < R R =1,sin<1,sin<1 在 (0, π 6 ) 或 ( 5π 6,π), 且 + + =π 若 在 (0, π 6 ), 則 + + <π 所以 恰一在 ( 5π 6,π), 為鈍角三角形 0. [ 答案 ]:() 1 三角形三邊之比為 1 1 1 h 1 1 1 <1 h <1 + 1 1 3<h<6 1. [ 答案 ]: 6 設 E=F=x,E==y,=F=z x + y = 9 y + z = 8 x=,y=5,z=3 z + x = 7 令 =a, 在 與 中使用餘弦公式 9 +5 a = cos = 9 +8 7 a= 6 9 5 9 8. [ 答案 ]: 1 公里 ~ 三角一 -1~

如圖, 設甲乙兩人的距離為 l, 設乙從 走了 x 公里 Q甲速度為乙速度的 倍, 甲走了 x 公里利用餘弦公式 l =(1 x) +x x (1 x)cos60 =7x 70x+196 =7(x 5) +1 當 x=5 時,l 的最小值為 1 x 1 x 甲 x 乙 3. [ 答案 ]: 連, = 3 +1= 10, = +1= 5 = +3 =5 θ 在 中使用餘弦公式 = + cosθ cosθ=. [ 答案 ]: Q四邊形 為圓內接四邊形 與 內接圓相同 利用正弦公式 = R = sin30 sin5 = 5. [ 答案 ]:10 3 Q P QP 對於 的對稱點分別為 Q R P= Q, P= R,Q=P=10,R=P=10 RQ= =10 在 RQ 中使用餘弦公式 RQ =10 +10 10 10 cos10 RQ=10 3 6. [ 答案 ]: 50 令 E=θ (a) 面積 = + R = 1 F= 1 q Esinθ ~ 三角一 -~

= 1 G= 1 q E sinθ 面積 = + =( 1 q Esinθ)+( 1 q E sinθ) = 1 q ( E+ E)sinθ= 1 q sinθ = 1 pq sinθ F E G (b) 利用 pq 1 (p+q), 且 p+q=10 四邊形 之面積 = 1 pq sinθ 1 8 (p+q) sinθ= 50 sinθ 等號成立 p=q=5, 且 sinθ =1 50 所以四邊形 之面積的最大值為 7. 如圖, PQR= RQI+ RPI+ PQI = 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 ) = 1 r (sin+sin+sin) = 1 R r (a+b+c)= r s R, 又 =rs PQR 的面積 = r 的面積 R R P I Q 8. [ 答案 ]:0.7359 sin( 587 3 / )=sin(13 37 / )=sin7 3 / =cos 37 /, 令 cos 37 / =x 由三角函數值表 cos 30 / =0.7373,cos 0 / =0.7353 根據內插法 7 10 = x 0.7373 0.7353 0.7373 x=0.7359 ~ 三角一 -3~