要點 A: 整數指數 第三章指數函數與對數函數 - 指數 - 指數 自然數的指數 : 對於每個實數 a, 我們以記號 a 代表 a 自乘 次的 乘積, 即 個 a a a a a 的 a, 我們稱為底數, 稱為指數 例如 可以用 5 來表示 而 a 中 正整數指數的運算性質 ( 指數律 ): a m a =a m+ a m a a m (a m ) =a m a b =(ab) a b a b 例如 : 4 = 6,4 5 =( ) 5 = 0, 4 4 =() 4 上面所討論的指數, 都是自然數, 而接下來我們打算將指數的範圍從自 然數逐步推廣至整數系 有理數系 實數系 換句話說, 就是要規定型如 : a 0, a 4 a, 推廣的原則 : 要求新規定的指數記號仍然滿足指數律 適當限制 a 使得指數有意義 a, 等記號的意義 整數指數 整數比自然數多了 0 與負整數, 因此我們將要適當的規定 a 0 與 a (N) () 規定 a 0 : 設 a0, 由指數律 可得 a 0 a =a 0+ =a, 因為 a0, 所以 a 0 = 換句話說, 要使得指數律 成立的話, 則必須定義 a 0 0 = ( 0 無意義 ) () 規定 a : 假設 a0, 且 為正整數, 由指數律 可得 a a =a + =a 0 =, 所以 a a 換句話說, 要使得指數律 成立的話, 則必須定義 a a
高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 化簡 :()[a (a 5 ) ] ()( 5 5 ) +( 5 +8 0 ) 0 () A:()a 8 ;() ;() 4 化簡 :() a a () 4 ( ) () a a a a (4) ( ) ( ) 5 A:() a () () a (4)5 6 a
要點 B: 分數指數 - 指數 分數指數 a : 根據指數律 ( a ) = a =a =a, 即 a 是方程式 =a 的根, 根據前一章勘根 定理的推論, =a 恰有一正實根, 即 a 的正 次方根 因此我們就選定 a 的正 次方根為 a m 有理數指數 a : 就指數律 而言 ( a m a 的定義 也就是說, 我們定義 a ) m = a m 號 a 為的 m 次方, 即 ( a = a, 其中 m 為一整數 因此, 自然地應該定義符 ) m 例如 : 4 ( ) 8, 9 ( ) 由前面的說明, 我們可得以下結論 : 當 a>0, 為正整數, 我們定義 a = a 當 a>0,r= m,( r m 其中 為正整數,m 為整數 ), 我們定義 a a ( a) m 4 為何定義分數指數時,a 要為正數? 若不定義 a 為正數時, 會出現邏輯上的錯誤 例如 : 9 動動腦 阿昭做數學問題時, 發現一個迷惑的問題 : ) 4 ( = = i 是虛數, 但 () = 4 () = 4 4 9 = 是實數, 於是得出 () ( ) 如何來解決阿昭的迷惑呢?
4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 化簡下列各式 : () 5 0 a a () ( 8) 9 0 ) 8 ( 0 5 8 () ( ) ( ) (0.5) 6 7 0.5.5 A:()a 7 () 0 ()48 4 化簡 A: 0 64. 8 0.. 8.( 4 6 ) k,k
範例 - 指數 5 設, 試求 ()+ () 之值 A:()7 ()8 設 a0,r,a +a =5, 求 ()a +a 之值 () 求 a +a 之值 () 求 a 之值 A:()4 ()4 () 範例 4 0.6 設 0.0.6 a, b, 以 a, b 表示 ().7 () ().54 a A:()4ab () b a () b 假設 0.6 = a, 0.0 = b, 試求.77 b A: a, ab 與 0.7 的值
6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著要點 C: 實數指數 範例 5 5 化簡 () 7 4 () 6 6 0 A:()49 () 化簡 () () +. A:() () 範例 6 () 若,y 為實數, 且 4 9 y 8, 試求 y () 設 a0, 若 a = b = 6 c, 則 c a + c b = A:() ()
- 指數 7 設 yz 0,4 A:4 y y y 6 9 z, 則 z 範例 7 a a 若 a, 則 a a =? A: a a 若 a, 則 a a A: =? 範例 8 設於某項新實驗中, 細菌數 日後增加 a 倍, 且已知 日後細菌數為 00000,4 後其數為 600000, 試求 : 日 ()a 的值 ()5 日後的細菌數 () 日後的細菌數 (4) 細菌數為 800000 時所需的日數 A:() ()00000 ()5000 (4)4 日
8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 某項新實驗中細菌數每過 日會變為原有的 倍, 已知 日後細菌數為 000,5 日後細 菌數為 000, 若細菌數為 8000 時需 y 日, 則 =,y= A:4;6 要點 D: 指數方程式 範例 9 解方程式 0 5 0 A:=0 解方程式 8 4 8 0 A : = 範例 0 設 y y 6 且 5y 8 y, 則 (,y) A:(5,)
- 指數 9 解 9 9. 7, 得 A: 或 範例 8 0, 則 A: 或 4 解方程式. 0 A: 4 或 6
0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 解 (4 4 ) 9( ) 4 0, 得 A: 0, 解方程式 (9 +9 ) 7( + )+0=0,= A:0 範例 設 為方程式 9 4. 0 之兩根, 則 之值為 A:
- 指數 設, 為 00 80 0 0 之兩根, 則 () 0 0, () A:()8 ()
高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 家庭作業. 下列等式何者正確?(A) () (B) ( ) (C) () (D) 4 ( ) (E) 5 () A:AE. 化簡下列各式 :() y 6 y 4 6 () 8 ( ) A:()y () 6. 設, 則 [( ) 4( ) ] 6 之值為 A: 4. 設 y z 為正數, 且 y z y z a b c 可化簡表示成 y z, 其中 a b c 為有理數, 試求 a b c 之值 5 A: a, 7 b, c 6 6 6
a b c 5. 設 abc 0, 且 5 k, 若, 求 k 的值? a b c A: 0 - 指數 6. 設 ab, 皆為正數, ab, 且滿足方程式 y z 之值為 A:4 y y z z a b a b, a b ab, a b ab, 試求 7. 設 f ( ) a b, 其中 a, b 為實數, 為正整數 若 f () 7, f (4) 77, f (8) 77, 求 a, b 的值 A: a, b 8. 解方程式 () 4 5. 6 0 () 6 4.. 0 A:() 0, (), 9. 若 (0.5) (.5) y 000, 則? y A:
4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 5 4 0. 試化簡 ( ) ( ) A:. 設 a, 則 () a a a () a a A:() () 5 y. 若 7, y 6 y, 則 A: 7. 若 79 y y A:(,) 且 4 + y 8 y, 求序對 (,y) 4. 試解方程式 (4 4 ) ( + ) 0 A: 0
5. 解方程式 () 6 4, 則 A:() () () 5 45 5 0 - 指數 5, 則 6. 方程式 6. 0. 之解為 A: 7. 若方程式 4. 8 0 之兩根為,, 則 A: 8. 由實驗知, 某一細菌數目每隔 小時增加一倍, 已知放入 N 隻細菌, 經過 小時後 分裂成 S 個, 再經過 小時後分裂為 S+0 個, 則數對 (N,S)= A:( 5,40) 9. 心理學家常用數學模式 Lt a 0 bt 來描述學生經過 t 星期學習之後所得到的 學習量 ( 或成果 ), 這裡的常數 a 與 b 跟學生及學習的科目相關 如果小華一星期可以背熟 75 個單字, 兩星期可以背熟 5 個單字, 請利用這個數學模式, 推算小華三星期可以背熟多少個生字? A:8
6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 歷屆試題. 解方程式 4. 0 得 = (78 夜社 )A: 或. 小明身體不舒服需依照醫生指示服藥 假設在服藥後 t 小時, 殘存在胃裡的藥量尚 有 Mt 4500.64 t 毫克, 求 () 經過.5 小時後藥量殘存為多少毫克? () 自 t 小時到 t 小時內吸收的藥量, 與第 t 小時殘存藥量的比值為何? (9 大考中心參考試卷 )A:()0.4 ()0.6
要點 A: 指數函數的定義 第三章指數與對數 - 指數函數及其圖形 - 指數 7 定義 a>0,a, 是任意實數, 我們稱 y f ( ) a 為以 a 為底數的指數函數 指數函數的特性若 f()=a, 由指數律 a a a 可導出 f( + )=f( )f( ), 這是指數函數的特性 事實上, 如果有一個函數 f 滿足 f( + )=f( )f( ), 則函數 f 一定是 f()=a 的形式 圖形與性質 指數函數 y a 在 a ( 圖一 ) 與 0 a ( 圖二 ) 時的圖形如下 : y y (0,) (0,) 圖一 圖二 4 指數函數圖形的特性 指數函數 f()=a,a>0,a 具有以下的特性 : 恆在 軸的上方 ( 即 ya 0 恆真 ) 恆過點 (0,) 在 軸上方平行 軸的每一條水平線和指數函數 y a 的圖形都恰好交 於一點, 即當 a a 時,α=β 當 a> 時,f()=a 為嚴格遞增函數 圖形由左向右逐漸升高, 即當 時, a a 曲線凹口向上, 愈向右邊升高得愈快, 愈向左邊圖形愈 接近 軸 ( 但是永遠不相交 ) 當 0<a< 時,f() = a 為嚴格遞減函數 圖形由左向右逐漸降低, 即當 時, a a 曲線凹口亦向上, 愈向右邊降得愈慢, 愈向右邊圖 形愈接近 軸 ( 但是永遠不相交 ) 5 方程式 f ( ) g( ) 的實根個數等於 y f ( ) 與 y g( ) 兩圖形的交點個數
8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 用描點的方式作出 () y () y 的圖形 () 首先將一些特殊點列表如下 : 0 y 8 4 4 8 將表上的點逐一畫在坐標平面上, 然後用圓滑的曲線將這些點加以連結, 如下圖, 即可得 y 的圖形 : () 首先將函數值列表 : 0 y 8 4 4 8 將表上的點逐一畫在坐標平面上, 然後用圓滑的曲線將這些點加以連結, 如下圖, 即可得 y 的圖形
- 指數 9 範例 試繪下列各函數的圖形 :() y = () y = ( ) () y= ( ) (4) y= A:() () () (4) 利用 y = 與 y = ( ) 之圖形求作 () y = () y = + 的圖形 A:() ()
0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 求下列各方程式的實根個數: () () () A:() () () 方程式 +=0 有多少個實根? A:
範例 4 設 a>0,a, 函數 y = a 中, 當 值增加 時,y 值為原來的 9 倍, 則 a=? - 指數 A: 在指數函數 y f ( ) a ( a 0) 的圖形上, 當 坐標增加 時, 其對應的 y 坐標減少為 原來的 9, 求底數 a 的值? A: a 範例 5 設指數函數 f()=a, 其中 a>0,a, 對於任意實數, 試由圖形說明比較 f f A: f 的大小 與
高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 要點 B: y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸 a 當我們將 y 和 y 的圖形放在同一坐標平面上並比較兩圖形時, 發現這 兩個圖形對稱於 y 軸 ( 如下圖 ) 一般而言, 若 a 為異於 的正數, 則 y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸 a 動動腦阿毛問 : 哪一個函數的圖形與 y 對稱於 y 軸? 要點 C: 圖形的平移 將 的圖形沿 軸向右平移 h 個單位, 再沿 y 軸向上平移 k 個單位得圖形 G, 只要將 方程式中的 改為 h,y 改為 y k 即可 例如 : 拋物線 y 沿 軸向右平移 個單位, 再沿 y 軸向上平移 個單位, 頂點由 (0,0) 移至 (,), 新方程式為 y 若由變更方程式下手, 將原方程式中的 改為,y 改為 y, 得新方程 式為 y, 移項後亦得 y 若圖形沿 軸向左平移 h 個單位, 再沿 y 軸向下平移 k 個單位, 只要將方程式 中的 改為 +h,y 改為 y+k 即可 動動腦函數 y 沿 軸向左平移 個單位, 再沿 y 軸向下平移 個單位, 新 方程式為
- 指數 範例 6 已知圖形 與 y 的圖形對稱於 y 軸, 將 的圖形沿 軸向右平移 個單位, 再沿 y 軸向下平移 個單位得圖形 G, 若 G 為函數 y g( ), 求 g (4) 的值 A: 下列各函數的圖形與 y = 之圖形有何關係?(a) y = A:(a) y = 的圖形是由 y = 之圖形向右平行移動 單位得到的 (b) y = 9 + (c) y = (b) y = 9 + 的圖形是由 y = 之圖形向左平移 單位之後, 再向上移動 單位而得 (c) y = 的圖形是由 y = 之圖形先對 軸取對稱, 再向上平行移動 單位得到的 附圖為函數 y=a +b 的部分圖形, 其中 a,b 均為常數, 則下列何者為真? (A) 0<a<,b>0 (B) 0<a<,b<0 (C) a>,b>0 (D) a>,b<0 (E) a>,b< A:A
4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 要點 D: 不同底數的指數函數之圖形 範例 7 將 y 與 y 的圖形畫在同一坐標平面上, 並加以比較 解 : 將 y 與 y 的函數值列表後用圓滑曲線連接如下圖. 0 y y 8 7 觀察圖形, 有以下的結論 : 4 9 4 9 當 0 時, y 當 0時, 則 y 也就是說 : 的圖形在 的圖形在 y 的上方, 而 y 的下方 當 0 時, 當 0時, ; 一般而言, 當 a b 時, 函數 左下圖 ) 換句話說, 函數 y a 比 y a 比 y b 的圖形來得更陡, 圖形爬升得愈快 ( 如 y b 的圖形更貼近 軸與 y 軸 若 0< a< b < 前段 y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸的性質, 還是可以輕易推得函數 a 的圖形來得更陡, 圖形爬升得愈快的性質 ( 如右下圖 ) y=b y=a y a 比, 利用 y b 0<a<b<
- 指數 5 範例 8 右圖為 y a, y b, y c, y d 四個函數的 圖形, 試比較 a, b, c, d 四數的大小關係 A:c>d>a>b 設 y=4,y=,y=,y=( ),y=( 的圖形為 (A) P (B) Q (C) R (D) S (E) T ) 的圖形分別為圖中的五條曲線, 則 y= A:E 要點 E: 指數比較大小與指數不等式 設 a 0,, 是任意實數, 且 () 當 a 時, a a ( a, a 的大小與, 大小同方向 ) 例如: < () 當 0a 時,a a ( a, a 的大小與, 大小反方向 ) 例如: > y=a (a>) y=a (0<a<) α β α β () () 動動腦若 5 5, 則 若 5 5, 則 ( 填 > 或 <)
6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 範例 9 4 設 a 4, b 8, c, 比較 a, b, c 的大小 A: a c b 試比較 ( ) 4, 0,( ), 之大小 4 0 A:( ) ( ) 4 4 範例 0 設 a=,b=,c= 5 5, 則 a,b,c 的大小順序為何? A:c>a>b 試比較 05, 70,7 5 三數之大小 A:7 5 05 70
範例 - 指數 7 試解下列不等式 :() + >4 ()(0.00) (0.) 5 A:()> 0 ()>4+ 6 或 <4 6 解下列不等式 :() 6 8 () (0.) 0. 008 A:()> 或 < () <<4 範例 解不等式 4 0 A: 解不等式 7 4 + <0 A:<<0
8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 要點 E: 指數的極值與應用問題範例 設, 試求 f()= + 4 之最大值 最小值 A: 最大值 4, 最小值 設, 若 = 時,f()=9 + 有最大值 M, 求 與 M A:=,M=54 範例 4 設 為實數, 且 f( ) (4 4 ) 4( ) 8 () 令 t,證明 t () 用 t 表示 f( ) () 求 f( ) 的最小值, 及此時 的值 A:(), 即 () t 4t 4 () 當 0 時, f( ) 有最小值 0
- 指數 9 是實數, 求函數 f () (9 9 ) 0( ) 4 的最小值 A: 0 範例 5 根據過去長期統計資料顯示 : 某公司推銷員年資 ( 年 ), 與每次推銷成功的機率 y (), 滿足下列關係式 :y ()= -+ + -+ () 化簡 r ()= y () -y (), 並說明 r () 的值隨 增大而增大 ( 即為遞增函數 ) () 說明年資 8 年 ( 含 ) 以上的推銷員, 每次推銷不成功的機率小於 4% (94 指考數乙 ) A:() r ()= -+, 略 ;() 略 經過長期的追蹤調查, 某國家公園 0 年前有 0 隻熊, 這 0 年來熊的數量一直符合數 00 學模式 Bt (), 即 t(0 t 0) 年前, 熊的數量有 B( t) 隻 若未來熊的 0.( t0) 9 數量仍按照這個數學模式成長 ( 即 t 年後熊的數量約有 Bt () 隻 ), 則 () 現在熊的數量有幾隻? () 再過幾年, 熊的數量才會達到 50 隻? A:()5 隻 ()0 年
0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 家庭作業. 設 a 0, 函數 y a 之圖形可能為下列何者? (A) (B) (C) (D) (E) A:CDE. 指數函數 f()=a,a>0 具有下列哪些性質? (A) f(+y)=f(). f(y) (B) f(y)=f()+f(y) (C) f(-y)= f( ) f( y) (D) f(-)= f() (E) f()=f() A:ACD. 方程式 =( ) 有幾個實根 A: 4. 下列那一個選項的圖形與直線 +y=0 恰有一個交點? (A)y= (B)y= (C)y= (D)y= (E)y= A:AD
5. 將 y = + 之圖形移 ( 填上下左右 ) 單位後可得 y = 8. 之圖形 A: 右 ; - 指數 6. 圖中的曲線為函數 y a 的圖形之一部分,P 點為曲線與 y 軸的交點, 則下列敘述何者正確? (A) a (B) OP (C) y a 之圖形對稱於 y 軸 (D) y a 與 y a 的圖形對稱於 軸 (E) y a 與 y a 的圖形恰相交一點 A:BCE 7. 比較大小 : () 60, 0,6 0 由小而大排列為 () 4 7, 6, 9 由小而大排列為 A:() 0 6 0 60 () 6 9 4 7 8. () 設,y,z 為正數, 且 y 5 z, 試比較,y,5z 的大小 () 若,y,z 為負數, 且 y 5 z, 試比較,y,5z 的大小 A:()5z y ()5z y
高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 9. 設 f( ) 4 9,且,求 f( ) 的最大值與最小值 A: 最大值 4, 最小值 45 0. 解不等式 () 6 5 0. 00 () 0 4 4 A:() 4 ()0. 設 f( ) (4 4 ) 5( ), R, () 試將 f( ) 表示成 t 的函數 () 當 時, f( ) 有最小值 m, 試求, m A:() t 5t () 0, m 5. 設 f( ), 且 9 f( a), 求實數 a 的值? 7 A: a
- 指數. 設 F 表 y 的圖形,G 表 y ( ) 的圖形,H 表 y 的圖形, 則 () F 與 G 對稱於直線 () F 與 H 對稱於直線 A:() y 軸 () 軸 4. 設 f()=, 為非零的實數, 若 f(a)=,f(b)=, 則 f(a+b)=? A: 7 5 ( 提示 :f()=, 用 f() 表示 ) 5. 已知一放射性元素在 會衰變一半 ( 即求其半衰期 )? 4 A:.68 0 4.6 0 年後衰變了, 即剩下原來的 4 4, 求其經過多少年 6. 假設一般病患服用某種藥品, 服藥後 小時, 殘留在胃裡的藥量有 f ()=c.a ( 毫克 ), 其關係圖如附圖 () 求出 c 與 a () 試問該藥品服用 時後, 殘留在體內的藥量有多少毫克? A:() c=500,a=0.64;() 04.8 毫克
4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著歷屆試題. 設函數 f 5 6 5, 為 (8 日社 ) A: 4, 8 5, 則 f() 之最大值為, 最小值. 函數 y 4 與 (8 學測 ) A:(, ) 6 y 的圖形之交點坐標為. 如右圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖 假設其關係為指數函數, 試 問下列敘述何者為真? () 此指數函數的底數為 () 在第 5 個月時, 布袋蓮的面積就會超過 0m () 布袋蓮從 4 m, 蔓延到 m, 只需.5 個月 (4) 設布袋蓮蔓延到 m m 6 m 所需的時間 分別為 t t t 則 t + t = t (5) 布袋蓮在第 到第 個月之間的蔓延平均速度等於 在第 到第 4 個月之間的蔓延平均速度 (87 學測 )A: 4
4. 若 a>0 且 a, 則下列各圖形中, 何者可能是指數函數 y a 的部分圖形? (A) y (B) y (C) y (D) y (E) - 指數 5 y (87 日社 ) A:(A)(C) 5. 下列五個數中, 何者為最小? () () 8 (88 學測 )A:(5) 4 () (4) (5) 8 6. 設 a, b, c 下列選項何者為真? 4 4 () a b c () a b c () a c b (4) a c b (5) a b c (90 學測 )A:() 7. 觀察相關的函數圖形, 判斷下列選項何者為真? () 0 = 有實數解 () 0 = 有實數解 () 為實數時,0 > 恆成立 (4) >0 時,0 > 恆成立 (5) 0 = 有實數解 (9 學測 )A:45
6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 8. 對任意實數 而言, (97 學測 )A:() ( ) 7 的最小值為 () () () 9 (4) 7 (5) 8 y 9. 當 ( y, ) 在直線 y 上變動時, 關於 K 9 的敘述, 試問下列哪個選項是 正確的?() K 有最大值 8 最小值 6 () K 有最大值 8 但沒有最小值 () K 沒有最大值 但有最小值 (4) K 沒有最大值 但有最小值 6 (5) K 沒有最大值也沒有最小值 A:(4)(0 數甲 )