3. 指數指數是表示連乘積的簡便計數符號, 本節中我們將指數符號作進一步的發展, 得到 :() 實數指數表示法及其意義例如底下的各種指數符號 : 0, 06 3, 0.,.44, π () 借由指數表示法, 讓乘法變得比較簡單例如讓根式的乘法變簡單將來, 我們希望將所有的正實數都寫成指數型

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抑和
5 years ago
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1 Chapter 3 指數與對數讓我們發展一個簡單的工具, 解答是幾位數? bee 對數的發明, 延長了天文學家的壽命拉普拉斯

2 3. 指數指數是表示連乘積的簡便計數符號, 本節中我們將指數符號作進一步的發展, 得到 :() 實數指數表示法及其意義例如底下的各種指數符號 : 0, 06 3, 0.,.44, π () 借由指數表示法, 讓乘法變得比較簡單例如讓根式的乘法變簡單將來, 我們希望將所有的正實數都寫成指數型態, 並利用指數運算來取代乘法, 得到用加法來計算乘法的便利性, 進而得到估計大量乘法運算之數值的方法例如瞭解是幾位數 3.. 指數與指數律指數符號 a 表示個 a 的連乘積, 即個 a a {}}{ = a a a, 符號 a 讀做 a 的次方, 其中稱為指數,a 稱為底數有了指數符號, 我們可以讓連乘積的表示變得很簡潔例如 :3 0 表示 0 個 3 的連乘積, 這樣我們就不需要連續寫 0 個 3 的連乘式指數有一些基本的運算規律, 我們先看一個. 回答下面幾個 : () 是 5 的幾次方? () (5 3 ) 4 是 5 的幾次方? (3) 是不是等於 (3 7) 3? 解 :() = (5 5 5) ( ) = = 5 7 () (5 3 ) 4 = = = 5 (3) = (3 7) 3 = 3

3 3. 指數 3 一般而言, 關於指數的乘法運算, 有如的運算規律, 我們稱之為指數律 : 指數律 : 當 a 是一個實數, 且 m, 是正整數時, 則 () a m a = a m+ () (a m ) = a m (3) a b = (ab) 觀察指數律, 我們發現 : () a m a 是連乘積, 但是 a m+ 做的僅僅是指數加法 () (a m ) 是組數的連乘積, 而 a m 只要在指數部分作一次乘法 (3) a b 是分別的連乘積, 而 (ab) 表示可以一併處理指數律中等式右邊的計算量比左邊的計算量少, 這是使用指數律作乘法運算的優點 3.. 根式與根式乘法接下來, 我們來複習根式符號, 看看你是不是還記得這些符號的意思. 根式的意義 : () 3 3 = 3, 即 ( 3) = 3 () =, 即 ( 3 ) 3 = (3) = 7, 即 ( 5 7) 5 = 7 當 a > 0 時, 根式符號 a ( 讀做 a 的次方根 ) 表示滿足方程式 x = a 的正實數解, 即個 a {}}{ a a a = a 這解是一個正實數 ( 而且只能找到一個 ), 例如 : 3 是 x 3 = 的正實數解, 即 ( 3 ) 3 =, 3 大約是.60, 就只有這一個正實數會滿足 x 3 = 為何我們要用符號 a 來表示 x = a 的正實數解呢? 因為大部分的次方根都是無理數, 沒有辦法用分數或循環小數表示, 所以數學家創造美麗的符號 a 來表示當你做數學運算時, 必須知道 ( a) = a, 你也可以利用計算機求出其近似值再加以計算底下我們來複習一下根式的乘法

4 4 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 3. 化簡下面各式乘法, 寫出其值 : () 3 () 4 (3) 3 3 解 :() 3 = 3 = 6 () 4 = 4 4 = 4 4 = 4 8 (3) 3 3 = = = 6 7 想想看! 你清楚上面的作法嗎? 底下我們作更詳細的解釋 () 因為 ( 3) = ( ) ( 3) = 3, 所以 3 = 3 = 6 同理可推得 : = 3 3, a b = a b () 因為 4 = = ( 4 ) ( 4 4 ), 所以 4 = 4 = 4 (3) 因為 6 = = ( 6 6 ) ( ), 所以 6 = 6 6 = 又因為 = 3 = ( ) ( ) ( ), 3 所以 6 3 = = 3 3 同理可推得 : a = m a m 因此 3 3 = = = 6 7 同理可推得 : m a b = m a m b m = m a b m 整理一下上面的討論, 有以下的結論 : 根式乘法的運算法則根式乘法的運算法則 : 當 a, b 是正實數,m, 是正整數時, 則 () a b = a b () a = m a m (3) m a b = m a m b m = m a b m

5 3. 指數 5 課堂討論. 化簡下列各式乘法, 寫出其值 : () ( ) 3 ( ( ) 5 () ( ) ) 3 (3) ( 6) 4 ( ) 4 3. 化簡下列各式 : () () (3) 3 3. 說明根式運算法則 : ( a ) m = a m 4. 與同學相互說明 () 指數律 () 根式乘法的運算規則在前面的討論中, 我們認識了根式符號的意義和根式乘法的運算法則, 底下我們將引進新的指數符號, 並利用指數律來簡化根式的乘法運算, 讓計算變的簡單 3..3 整數指數與分數指數的建立我們介紹幾個新的指數符號, 並規定其意義 : a 0 =,a = a,a = a 這些新符號的乘法運算可以符合指數律, 底下我們說明其規定的由來, 並由連乘積的感覺出發, 去體會這些符號的意思 () 由指數律 a = a 0+ = a 0 a, 可得 a 0 = a a = () 由指數律 = a 0 = a ( )+ = a a, 可得 a = a (3) 由指數律 a = a = a = (a ), 可得 a = a 再利用 ( a) m = a m = k a mk, 可得 a m = ( a) m = a m = k a mk =a mk k

6 6 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 利用指數律的概念, 我們建立零指數負指數分數指數的新符號即 : 整數指數與分數指數 : 當 a 是正實數,m,, k 是正整數時, 則 () a 0 = () a = a (3) a = a (4) a m = a m == k a mk = a mk k 如果, 我們用連乘積來感覺一下這幾個符號, 也相當精采因為指數符號的原意是連乘積, 所以在乘法的世界裡 : () a 0 表示沒有作乘法, 這和乘與是一樣的意思, 因此 a 0 = () a 表示少乘了個 a, 這和除以個 a 是一樣的意思, 因此負指數就變成了倒數 ( 除法 ), 即 a = a (3) 連續乘以次 a 才得到與乘與一樣的效果, 因此就乘法而言, 一個 a 就是個 a 的意思, 即 a = a 同時, 所有根式 a m 都可以用分數指數 a m mk =a k 來表示, 將來作根式計算時, 我們可以使用指數律來幫忙底下我們重做一次 3 4. 化簡下面各式的乘法 :( 原 3) () 3 = 3 = ( 3) = 6 = 6 () 4 = 4 = 4 4 = 3 4 = 4 3 = 4 8 (3) 3 3 = 3 3 = = ( 3 ) 6 (3 ) 6 = (8 9) 6 = 6 7 分數指數的建立, 讓我們看到數學家豐富的想像力, 而建立分數指數之後, 根式的乘法可轉換成分數指數的加法, 這實在是很精彩的事情因為根式 a 只在 a > 0 時才有意義, 所以使用分數指數 a 時, 要避免 a 0 的情形我們可以驗證分數指數滿足指數律 ( 留給你當作習題 ), 即

7 3. 指數 7 分數指數的指數律 : 當 a, b 是正實數,m,, p, q 是整數, 且 m, p 不為 0 時, 則 () a m a q p = a m + q p () (a m ) q p = a q mp (3) (a m ) (b m ) = (ab) m 課堂討論. 說明何為零指數負指數與分數指數. 你有啥特別的嗎? 3..4 實數指數的建立本單元我們要討論實數指數, 也就是問 : 是啥意思呢? 這不難, 你的答案應該是.44 但是這時候考驗我們一下: 5. 已知.44, 回答下列各 : ().44 是啥意思? ().44 與哪一個數比較大? (3) 用計算機求.44 的近似值 (4) 符號表示什麼意思? 解 :().44 = = ( 000 ) 44 () 因為 >.44, 所以 >.44 (3) 由計算機得 (4) 是界在.44 與.45 之間的數, 我們可以用近似的方法表示它, 例如 :.44 如果你希望可以更近似, 可以增加的近似值位數 ( ), 然後利用計算機幫你得到近似值例如 :

8 8 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 關於數 , 我們知道它是 000 的 44 次方雖然我們對並不熟悉, 不過我們知道 : 將這一個數 000 次方後會等於, 事實上它是一個大於的數 ( 為什麼呢?), 而且 , 是一個非常接近的數 ( 在你預料中嗎?) 用類似的概念, 對於任意無理數指數, 都可以用分數指數去近似它, 雖然近似值得依賴計算機, 並不容易求出, 但是我們可以知道這些數的意思課堂討論. 已知 , 回答下列各 : () 3 是啥意思? ().73 是啥意思? (3).73 與 3 哪一個數比較大? (4) 如果把 3 看成.7305, 你覺得.73 與.73 哪一個數, 比較接近 3, 為什麼? 3..5 建立實數指數的目的我們知道分數指數的建立, 把根式乘法變簡單了, 那建立實數指數的目的是甚麼呢? 如果我們以 ( 含端點 ) 又如果我們以如圖一所示 : 為一個單位, 那麼在數線上, 0,,, 就是位在之間的三個點 0 = 0. 為一個單位, 那位在之間就會有 0 個點 : 0, 0., 0.,, 0.9,, 圖一 : 指數型態數列分布圖如果我們一直縮小單位, 那麼之間就可以充滿很多數, 這和以前我們用小數來表示實數的方式類似, 如此, 不僅之間可以充滿指數型態 x 的數, 事實上, 整個數線位在原點右邊的正實數, 都可以寫成指數型態 x 的樣子

9 3. 指數結論對於乘法, 我們有連乘積倒數開次方根等運算, 我們將這些計算都換成指數的型態, 然後透過指數律的來取代這些運算, 得到簡單的計算方式這是利用較高級的運算指數律, 來取代較基礎運算的數學手法本節結論 : () a = a a a, 表示連乘積 () a 0 =, 表示乘法的單位元素 (3) a = a, 表示倒數 ( 即是除法 ) (4) a = a, 表示次方根 ( 即開次方根 ) (5) 所有的正實數 b 都可以寫成指數型態 ( 例如 :b = x ) (6) 與乘法有關的運算, 都可轉換成指數型態, 並利用指數律加以計算我們利用結論作一個 6. 利用指數型態與指數律計算下列各式, 寫出其值 : () ( 3 7) 4 ( 3 7) 5 () ( 6 3 (3) ( 3 ) 6 ) 4 解 : () ( 3 7) 4 ( 3 7) 5 = = = 7 3 = 343 () 6 3 = ( 3) ( 3) 3 = ( ) 6 (3) ( 3 4 ) = (4 3 ) 6 = 4 4 = 4 4 = 56 利用指數來計算, 確實讓乘法的計算變得簡單多了關於結論 (5), 我們有圖二 : 正實數的指數表示法圖二 : 正實數的指數表示法正實數有兩種表示方法 : 一般實數表示法和指數型態表示法但是採用指數表示法時, 我們將面臨如 3 這個數該如何用指數型態表示呢? 這是我們未來要處理的

10 0 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 3..7 指數應用如下 : 7. 關於風力分級, 國際氣象組織採用蒲福風級法 (Beaufort scale), 分級的公式 V = B 3, 其中 V 是風速 ( 公尺 / 秒 ),B 是風級現在有一颶風, 氣象組織公告其風力為 9 級風 ( 稱為烈風 ), 問 : 此颶風的風速大約是多少? 解 : 將 B = 9 代入公式得 V = = ( 9) 3 = =.57 因此風速大約為.6 公尺 / 秒風速分級可以在氣象報告時, 讓觀眾容易了解風力的威脅這一個分級是長年使用的歸納結果因為涉及根式的運算, 如果我們使用指數表示, 分級公式顯得較為簡潔 8. 根據聯合國統計, 西元 987 年世界人口總數達 50 億假設每年人口數都增加為原來的 r 倍 ( 我們稱 r 為人口成長率 ), () 西元 999 年的人口數為多少?( 以 r 表示 ) () 已知西元 999 年人口數已增至 60 億.求西元 0 年的世界人口數約為多少人? 解 : () 根據題意 : 從 987 年到 999 年, 共經過年, 因此西元 999 年的人口數為 50 r () 因為 999 年的人口數為 60 億, 所以 50 r = 60, 可得 r =. 從 999 年到 0 年, 又經過年, 因此西元 0 年的世界人口數為 60 r = 60. = 7 當人口的成長率穩定時, 就是一個指數成長在 8 中, 我們用過往的數據來估計未來的人口數, 事實上 0 年 0 月 3 日時, 世界人口數達到 70 億, 和預估的情形大約相同利用 r =., 可得 r =..05, 我們稱之為每年的人口平均成長率, 大約為.5% 事實上,0 年因為經濟蕭條等因素, 世界人口增長率下降為.%

11 3. 指數接下來我們看一個視覺上的統計, 並做一個有趣的實驗視覺實驗 : 9. 統計學家克利夫蘭詳細研究人體的眼睛後發現 : 眼睛看到的圖形面積與此圖形實際面積的 0.7 次方成正比今觀察地圖上大小兩國, 感覺大國面積是小國面積的 8 倍, 那麼實際上大國面積是小國面積的幾倍? 解 : 設實際上大國面積是小國面積的 a 倍則根據題意, 可知感覺上大國面積是小國面積的 a 0.7 倍, 且 a 0.7 = 8 = 7 因為 a 0.7 = (a 0. ) 7 = 7, 所以 a 0. = (a 0. ) 0 = 0 a = 04 因此實際上大國面積是小國面積的 04 倍 9 是一個很有意思的, 不過並不容易感覺到統計學家說的 0.7 次方是啥意思, 不過對照上面的視覺實驗, 瞭解統計學家的研究真是有趣

12 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 底下我們看一個常見的化學名詞 : 半衰期某些放射性元素, 經過一段時間之後, 會衰變成其他的元素如果經過時間 t, 放射性元素的質量剩下原來的一半, 那麼我們稱 t 為此元素的半衰期 0. 已知放射性元素碘 -3 的半衰期為 8 日若現在有碘 -3 共 8 公克, 試問 : 經過多少天後, 碘 -3 剩下的質量低於 0 公克? 解 : 根據題意, 每經過 8 日, 質量會變成原來的 0 計算 8 = 5 3, 因為 ( )3 = 4 3 < 5 3 < 8 3 = ( ), 所以要經過 3 天後, 剩下的質量才會低於 0 公克半衰期還可以用在藥物使用上當病人食用每種藥物, 經過 t 小時之後, 血液中的藥物濃度剩下原濃度的一半, 我們稱此藥物的半衰期為 t 小時. 實驗室培養細菌數, 假設在環境適當時, 細菌數每經過日後會增加 a 倍 ( 即變成原來的 a + 倍 ) 現已知 3 日後的細菌數為 0 6 個,4 日後其細菌數為個, 求 a 的值解 : 因為 3 日後到 4 日後共經過 3 個半日, 所以可設每經過半日後細菌數會增加為 x 倍, 即 a + = x 8 0 根據題意, 可知 = x 3, 即 x 3 = 8, 解得 x =, 因此 a + = = 4, 即 a = 3 和半衰期類似, 生物的成長或細菌數的增加, 每經過一定的時間 t, 會增加為原來的倍, 我們可稱其為倍增期中, 倍增期為半日這種成長的情形, 我們稱之為指數成長, 是自然界中常見的現象

13 3. 指數數學演練. 設 a > 0, 且 a + a = 3, 求下列各式的值 : () a + a () a 3 + a 3 (3) a + a 解 : () 因為 (a + a ) = a + a a + a = a + a +, 所以 a + a = (a + a ) = 3 = 7 () 因為 (a + a ) 3 = a 3 + 3a a + 3a a + a 3 = a 3 + a 3 + 3(a + a ), 所以 a 3 + a 3 = (a + a ) 3 3(a + a ) = = 8 (3) 因為 (a + a ) = a + a + = = 5, 所以 a + a = 5 ( 5 不合 ). 設 a > 0, 且 a 3x = 5, 求 a 5x + a x a x a 4x 的值 : 解 : a5x + a x a x a 4x = (a5x + a x ) a x (a x a 4x ) a x = a6x + a 3x a 3x = = 設 x, y 為實數, 且 53 x = 9, 477 y = 43, 求 x 5 y 的值 : 解 : 要想辦法出現與 x 5 y 因此,53 x = 9, 477 y = = 9 x, 477 = 43 y 再改一下 :53 = (3 ) x = 3 x, 477 = (3 5 ) y = 3 5 y, 將兩式相除, 可得 = 3 5 x y 9 = 3 = 3 5 x y x 5 y = 4. 估算界在哪兩個連續整數之間? () 6 與 7 () 7 與 8 (3) 8 與 9 (4) 9 與 0 (5) 0 與

14 4 Chapter 3 指數與對數完成日期 : 5. 下列哪一個選項無意義? () ( 3) 0 () ( 3) (3) ( 3) (4) 3 (5) 下列哪些選項是正確的? () ( 3) = 3 () ( 3) = 3 (3) ( ) 3 = 3 (4) 3 ( ) 4 = 3 4 (5) 3 ( ) 5 = 下列選項何者錯誤? () 無意義 () 若 6 x = 8, 則 x = 8 6 (3) ( 3 3) 9 = 3 3 (4) 5 0 = 0 0 (5) 00 0 > 求下列各式的值 : () () (5) 0 (3) ( 5) ( 5) 4 (4) 5 0 (5) (6) (7) ( 5 ) 3 ( 5 + ) 3

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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos