點 線 角 : 在探討幾何學之前, 我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素 - 點 線 角 點 : 點是幾何學中所討論的最基本圖形 點僅用來表示事物所在的位置, 而不考慮它的形狀與大小 圖示記法讀法 點 或 點點 或 點 線 : 線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線, 因此線是沒有寬窄的 線可以分為曲線與直線, 如下圖 曲線 直線 直線 : 通過兩點用直尺所畫出來的線, 也就是說 : 兩點決定一直線 ; 符號是表示直線可以向兩邊無限延伸, 所以直線是不談長短的 圖示 記法 L 直線 L 直線 L 直線 線段 : 直線 在 點與 點之間的部分就稱為線段 圖示記法讀法 或 線段 或線段 角 : 兩線段 與 相交於 點形成一個角, 如右圖 記作 或 若角的度數 >90 0, 我們稱這個角為鈍角, 如下圖的 若角的度數 =90 0, 我們稱這個角為直角, 如下圖的 若角的度數 <90 0, 我們稱這個角為銳角, 如下圖的
互補 : 若兩個角的和是一個平角 (80 0 0 ), 我們稱這兩個角互補, 如圖, + = 80, 故我們稱 與 互補 互餘 : 若兩個角的和是一個直角, 我們稱這兩個角互餘, 如圖, + =90 0, 故我們稱 與 互餘 對頂角 : 兩直線相交會形成兩組對頂角 如右圖, 與 為對頂角, 3 與 4 亦為對頂角 對頂角相等, 即 = ; 3= 4 證明 : + 3=80 0 又 3+ =80 0 =80 0-3= 4 3 有關點線角的應用 : 我們已經知道兩點可以決定一條直線, 接著要來討論平面上相異的點 決定線段數目及角度等相關問題 範例 上相異 5 點 E, () 至多可決定幾條直線? () 至少可決定幾條直線? E 解答 () 自 點出發, 可得 E 共 4 條 自 點出發, 可得 E 共 3 條 自 點出發, 可得 E 共 條 E 自 點出發, 可得 E 共 條 自 E 點出發, 均已連線故 0 條 共 4+3+++0=0 條 () 當 5 點共線時, 可決定最少的 條直線 結論 : 平面上相異 n 點, 至多可決定 n ( n ) 條直線 ; 至少可決定 條直線 (n 點共線時 )
範例 平行線,L 上有相異三點,V 上有相異四點, 除 L V 外, 由上述七點可決定多少線段? L V X Y Z W 解答 () 由 出發可決定 : X Y Z W 共 4 條 () 由 出發可決定 : X Y Z W 共 4 條 (3) 由 出發可決定 : X Y Z W 共 4 條 總共 4+4+4=4 3= L V X Y Z W 範例 如圖, 算一算總共幾個角? 解答 () 以 O 邊算起有 : O () 以 O 邊算起有 : O (3) 以 O 邊算起有 : O O OE 共 4 個 O OE 共 3 個 O O OE 共 個 4 ( 4 + ) (4) 以 O 邊算起有 : OE 共 個 總共 4 + 3 + + = = 6 個 E O E 範例 已知 =(45-a) 度, 與 互補, 求? 解答 =80 0 - =80 0 -(45-a) 0 =(35+a) 0 3
0 範例 與 交於 O 點, 已知 O+3 O= 350, 則 O=?? O 解答 O= O( 對頂角相等 ) O+3 O=350 0, 5 O=350 0 0 O= 350 5 = 70 0 故 O=80 0-70 0 = 0 0 範例 9 點 30 分時, 分針與時針的夾角為幾度? 0 0 9 3 9 0.5 30 O 3 8 7 6 5 4 8 7 6 5 4 360 0 解答 時針 小時走 = 30 0 時針 分鐘走 30 0 =0.5 0 60 360 0 分針 分鐘走 = 6 0 60 0 0 夾角 = 0. 5 30 + 90 = 05 0 範例 點多, 小明外出吃午餐, 出門前發現時針與分針的夾角為 55 0, 吃完飯後時針與分針的夾角仍為 55 0, 請問小明出去多久? ( 已知小明出門的時間不超過 小時 ) 0 0 9 8 7 6 55 0 5 4 3 9 8 7 6x 6 5 4 3 解答 假設出去 X 分鐘 分針走了 6X 0 ( 分鐘 6 0 ), 時針走了 6X 0 =0.5X 0 6X 0 +55 0 +(55 0-0.5X) 0 =360 0 X=45 5 分鐘 4 6X 0
範例一 練習一 平面上相異 0 點, 至多可決定幾條直線? ㄧ平面相異 n 點至多可決定 36 條直線, 則 n= 範例二 兩平行線, L 上有相異三點,V 上有相異五 點, 則此八點可決定多少線段? 練習二 兩條高速公路上分別有三個及五個交流道, 若想在這些交流道之間做一些直達便道, 那麼需要幾條直達便道呢? 北一高 北二高 X Y Z W U 範例三 練習三 3 點 30 分兩針之夾角為幾度? 4 點 4 分兩針之夾角為幾度? 範例四 一角比其補角的 3 倍多 4 0, 求此角的對頂角度數 練習四 的 倍與 的 5 倍互補, 且 + =60 度, 求 的度數 5
生活中的平面圖形 : 三角形 四邊形及圓形是生活中最常見的平面圖形, 這一節我們將討論有關這些圖形的基本性質 三角形 : 一個三角形有三個頂點 三個邊和三個角 等腰三角形 : 有兩邊等長的三角形 如下圖, 其中等長的兩邊叫做腰, 另一邊叫做底邊或底, 與底邊相對的角叫做頂角, 其餘的兩個角都叫做底角 等邊三角形 : 三邊都等長的三角形, 叫做正三角形 如下圖, 每個正三角形也都是等腰三角形 直角三角形 : 有一個角是直角的三角形 如下圖, 其中直角所對的邊叫做斜邊, 其餘兩邊叫做股 頂角 腰 腰 股 斜邊 底角底角底邊股 等腰三角形正三角形直角三角形銳角三角形 : 三內角皆為銳角的三角形, 稱為銳角三角形 如下圖 鈍角三角形 : 三角形其中一內角為鈍角的三角形, 稱為鈍角三角形 如下圖 銳角三角形 鈍角三角形 四邊形 : 一個四邊形有四個頂點 四個邊和四個角 長方形 : 四個角都是直角的四邊形, 叫做長方形, 也稱做矩形 如下圖, 長方形相對的兩邊都等長 正方形 : 四邊都等長的長方形, 如右圖 ; 正方形也是長方形的一種 6
平行四邊形 : 兩雙對邊分別平行的四邊形, 如下圖, //, // O 平行四邊形有以下重要性質, 後面章節我們會一一證明, 現在我們先來了解一些性質 : 平行四邊形, 兩組對邊分別相等, 即 =, = 平行四邊形, 兩組對角分別相等, 即 =, = 平行四邊形, 兩條對角線互相平分, 即 O = O, O = O 菱形 : 四邊都相等的四邊形, 如下圖, = = = O 菱形有以下性質, 後面章節我們會一一證明, 現在我們先來了解這些性質 : 兩對角線互相垂直, 即 兩對角線互相平分, 即 O = O O = O 箏形 : 兩雙鄰邊分別相等的四邊形, 如下圖, =, = O 梯形 : 只有一雙對邊平行, 另ㄧ雙對邊不平行的四邊形, 如下圖, // 由定義可知, 平行四邊形 菱形 長方形和正方形都不是梯形 7
對角線 : 四邊形中, 不相鄰的兩個頂點的連線叫做它的對角線 每一個四邊形都有兩條對角線 四邊形的每一條對角線都把這個四邊形分割成兩個三角形, 如下圖 線 角 對 對 角線 對三角形角三角形線 我們可以利用四邊形的對角線性質來簡單的判別某些四邊形 : a. 對角線互相平分的四邊形必為平行四邊形 b. 對角線互相平分且相等的四邊形必為矩形 c. 對角線互相平分且垂直的四邊形必為菱形 d. 對角線互相平分且垂直 相等的四邊形必為正方形 關係如下圖 : 平行四邊形 長方形 正方形 菱形 四邊形的包含關係 : 由各種四邊形的定義來看, 如下圖, 可以歸納出四邊形彼此間的關係 四邊形 平行四邊形 長方形正方形 菱形 箏形 梯形 上圖中大範圍包含小範圍, 大範圍有的性質, 小範圍必定有其性質 反之, 小範圍有的性質, 大範圍不一定有其性質 像是平行四邊形有三項性質 :() 兩雙對邊相等 () 兩雙對角相等 (3) 兩對角線互相平分 則菱形 長方形 正方形皆有上列性質 同理, 箏形的兩雙鄰邊分別相等, 對角線互相垂直, 菱形與正方形也有同性質 ; 菱形任一對角線會平分其頂角, 兩對角線互相垂直平分, 正方形亦有相同性質 ; 長方行四個角皆為直角, 對角線互相平分且相等, 正方形亦會有相同性質 ; 反之, 正方形對角線互相垂直, 長方形則沒有此性質 正方形對角線等長, 菱形及箏形則沒有此性質 8
圓 : 在平面上與一固定點的距離等於一固定長度的所有點所組成的圖形 如下圖, 固定點叫做圓心, 固定長度叫做半徑 圓心與圓上任意點所連的線段也叫做半徑 半徑 半徑 圓心 弦 : 圓上任意兩點所連的線段 如下圖, 如果一弦恰好通過圓心, 它就是直徑, 所以直徑也是一弦 直徑弦 弧 : 一弦把圓分為兩部分, 每一部分都叫做弧 如下圖, 大於半圓的弧叫做優弧 ; 小於半圓的弧叫做劣弧 優弧 弦 劣弧 弓形 : 圓的一弦和其所對的一弧所組成的圖形 如右圖 扇形 : 圓的兩半徑和其所夾的弧所組成的圖形 如下圖 扇形 弓形 弓形 扇形 圓形周長及面積的計算公式 : 若圓形半徑 =r, 則圓形周長 =π r, 圓形面積 =π r 扇形周長及面積的計算公式 : 如右圖, 若扇形半徑 =r, 圓心角 =n, 則 扇形周長 =(π r 圓形面積 =π r n 360 n 360 )+ r, 9 r n
有關簡單幾何圖形的應用 範例 如右圖, 求灰色面積部分的周長及面積 解答 周長 = 大弧長 + 小弧長 + 半徑差 5 公分 0 9 公分 0 0 = 9 π + 5 π + (9-5) 360 360 = 8 π +8 ( 公分 ) 3 面積 = 大扇形面積 - 小扇形面積 = 0 360 9 9 π - 0 360 5 5 π = 56 π ( 平方公分 ) 3 範例 一圓上有相異 6 點 : E F, 任意兩點成一弦, 問此 6 點共可連成幾條弦? 解答 自 點出發, 可得 E F 共 5 條 自 點出發, 可得 E F 共 4 條 自 點出發, 可得 E F 共 3 條 自 點出發, 可得 E F 共 條 自 E 點出發, 可得 EF 共 條 共 5+4+3++=5 條 F E 範例 一圓上有相異 6 點, 問此 6 點共可決定幾個弧? 解答 因為 條弦可決定 個弧, 所以由上題範例可知此 6 點共可決定 5 = 30 個弧 範例一 一圓上有相異 8 點, 任意兩點成一弦, 問此 8 點共可連成幾條弦? 練習一 一圓上有相異 0 點, 問此 0 點共可決定幾 個弧? 0
範例二 一圓直徑 公分, 將其對摺 3 次, 求 : () 摺痕將此圓分成幾等分? () 最後所得扇形面積 練習二 將一圓對摺 4 次, 問 : () 摺痕將此圓分成幾等分? () 最後所得扇形面積與圓面積的比? 範例三 求此斜線部份的周長及面積 練習三 如右圖, 此圓半徑為 公分, 求此斜線部分 周長及面積 6 公分 60 O 0 公分 O 範例四 如右圖, 分別以 E 為頂點的三角形有哪些? 練習四 如右圖, 請問其中共有多少個正方形? E
認識柱體與錐體 : 在日常生活中, 我們可以看到許多簡單的立體圖形, 例如 : 正方體. 長方體 : 頂點 長方體 角柱 角錐及球 等, 其中由多邊形的平面所圍成的立體 圖形叫做多面體 在多面體中, 圍成此多面體的各多邊形, 其相鄰兩 個面的交線叫做邊或棱, 邊的交點叫做頂點 () 由 6 個長方形的面所圍成的立體圖形, 如下圖 () 有 8 個頂點, 個邊與 6 個面 (3) 每個面都是長方形, 其中上 下兩面全等, 左 右兩面全等, 前 後兩面全等 (4) 相鄰的兩邊一定互相垂直, 相鄰的面也一定互相垂直 頂點 邊 頂點 面 面 頂點 頂點 邊 頂點 上底 下底 側面 頂點 邊 面. 正方體 : 展開圖 () 由 6 個全等的正方形所圍成的立體圖形, 如下圖 () 有 個等長的邊,8 個頂點與 6 個面 兩平面垂直 : 長方體中相鄰的兩邊會互相垂直, 而它相鄰的兩個面, 我們稱為兩個互相垂直的平面 我們要檢驗兩個相交平面是否互相垂直時, 可以用長方體來檢驗 將一個長方體緊靠這兩個相交平面, 如果長方體的兩面和被量測的兩平面重合時, 我們就說這兩個平面互相垂直 展開圖 兩平面不垂直 兩平面不垂直 空隙 兩平面不垂直 空隙
3. 角柱 : 角柱是由兩個全等多邊形的底面 ( 或簡稱為底 ), 和一些長方形的側面所組成的立體圖形 如果一個角柱的兩個底都是 n 邊形, 稱這個角柱為 n 角柱, 它有 n 個側面 () 直角柱 : 每個側面都和底面垂直的角柱, 叫做直角柱 () 斜角柱 : 如果側面和底面不垂直的角柱, 叫做斜角柱 底面 (3) 正 n 角柱 : 若一個 n 角柱的底面是正多邊形, 則稱為正 n 角柱 (4) 在國中數學中, 所說的角柱, 通常是指直角柱 底面 側面 側面 四角柱五角柱正六角柱斜角柱斜角柱 三角柱 展開圖 範例 觀察右圖的直五角柱, 回答下列問題 : () 此五角柱共有多少個面? 它們分別是什麼形狀? () 此五角柱共有多少個邊? 共有多少個頂點? 解答 () 共有 7 個面, 其中 個全等底面是五邊形, 5 個側面是長方形 () 上 下兩個底面各是 5 個邊, 側面除了底面重複的邊外, 尚有 5 個邊, 所以共有 5 個邊 上 下兩個底面各是 5 個頂點, 所以共有 0 個頂點 範例 填填看: 下列角柱各有多少個頂點? 多少個邊? 多少個面? 角柱頂點數邊數面數六角柱 8 8 七角柱 4 9 4. 角錐 : 角錐是由一個多邊形的底面, 和一些三角形的側面所組成的立體圖形 如果一個角錐的底都是 n 邊形, 稱這個角錐為 n 角錐, 它有 n 個側面 () 直角錐 : 每個側面是等腰三角形的角錐, 叫做直角錐 () 正 n 角錐 : 若一個 n 角錐的底面是正多邊形, 且每個側面都是等腰三角形, 則稱為正 n 角柱 (3) 在國中數學中, 所說的角錐, 通常是指正角錐 底面 側面 3
三角錐 四角錐 五角錐 四角錐 展開圖 範例 一個正六角錐共有多少個頂點? 多少個邊? 多少個面? 解答 正六角錐的底面有 6 個頂點, 加上錐頂, 共有 7 個頂點 正六角錐的底面有 6 個邊, 加上側面的 6 個邊, 共有 個邊 正六角錐有 個底面和 6 個側面, 共有 7 個面 範例 填填看 : 下列角錐各有多少個頂點? 多少個邊? 多少個面? 圖形 頂點數 邊數 面數 三角錐 4 6 4 四角錐 5 8 5 五角錐 6 0 6 六角錐 7 7 5. 圓柱 : 圓柱是由兩個等圓形的底面, 和一個側面所構成的立體圖形 圓柱沒有頂點與邊, 側面可以展開成一個長方形, 其一邊長為底圓的圓周長, 另ㄧ邊長為柱高 () 直圓柱 : 兩底圓心的連線與兩底的所有半徑都垂直的圓柱 () 國中數學中, 只討論直圓柱 上底 上底 側面 柱高 側面 柱高 下底 圓周長 下底 展開圖 範例 如右圖, 計算圓柱側面展開後的周長 ( 單位 : 公分 ) 解答 ( 5 π + 0 ) = 0 π + 0 ( 公分 ) 5 0 4
6. 圓錐 : 圓錐是由一個圓形的底面 一個頂點和一個側面所構成的立體圖形 圓柱沒有邊, 側面可以展開成一個弧長等於底圓圓周長的扇形 () 直圓柱 : 頂點與底圓心的連線與底的所有半徑都垂直的圓錐 () 國中數學中, 只討論直圓錐 頂點 高 側面 底面 展開圖 表面積與體積計算 :. 長方體 : 長 寬 高各為 a b c 的長方體, b a a a 表面積 =(ab+bc+ca), 體積 =abc c a. 正方體 : 邊長為 a 的正方體, 表面積 =6a, 體積 =a 3 範例 求右圖中, 長方體的表面積與體積各為多少? 解答 表面積 = ( 長 寬 + 寬 高 + 長 高 ) = (5 3 + 3 + 5 ) = 46 (cm ) 體積 = 長 寬 高 =5 3 = 5 (cm 3 ) 3cm cm 5cm 範例 求右圖中, 正方體的表面積與體積為多少? 解答 表面積 = 6 0 0 = 600 (cm ) 體積 = 0 0 0 = 000 (cm 3 ) 0cm 3. 角柱 : 表面積 =( 底面積 ) +( 側面積 ), 體積 = 底面積 高 範例 求右圖中立體圖形的表面積與體積? 解答 底面積 =8 5 =0 側面長方形面積 =6 + 8 + 8 = 64 表面積 = 底面積 + 側面長方形面積 = 0+64=304(cm ) 體積 = 底面積 高 =0 = 40 (cm 3 ) 6cm 5cm 8cm 8cm cm 5
4. 角錐 : 表面積 =( 底面積 )+( 側面積 ) 範例 右圖是一個四角錐的玩具金字塔, 其底面是邊長 6 公分 正方形, 四個側面是腰長 5 公分的等腰三角形, 求此四 角錐的表面積與體積? 解答 等腰三角形的高 = 5 3 = 4 側面三角形面積 = 底面積 =6 6=36 6 4= 表面積 = 底面積 + 4 側面三角形面積 = 36 + 4 = 36 + 48 = 84 (cm ) 5 公分 6 公分 5 公分 5. 圓柱 : 底面半徑為 r, 高為 h, r r 表面積 = 底面積 + 圓柱側面積 =π r +π rh 體積 = 底面積 高 =π r h h 圓周長 = r h π 範例 求右圖圓柱的表面積與體積? 解答 底面積 =6 6 π =36π 圓柱側面積 = 長方形面積 = 6 π 0 = 40π 表面積 = 底面積 + 圓柱側面積 = 36π + 40π = 3 (cm ) 體積 =36π 0 = 70π (cm 3 ) 0cm cm 6. 圓錐 : case : 底面半徑為 r, 扇形半徑為 a, 表面積 = 底面積 + 側面積 ( 扇形 ) r π = r π + a π a π 說明 因圓錐展開後的扇形弧長 = 底面圓周長 =rπ, rπ 所以扇形的度數為 a π a r r a case : 底面半徑為 r, 高為 h, 則扇形半徑為 r + h, 表面積 = 底面積 + 側面積 ( 扇形 ) = r π + ( r + h ) π r r π + h π h r r r + h 6
範例 如右圖, 求此圓錐的表面積 ( 單位 : 公分 ) 解答 圓錐展開後的扇形弧長占圓周的 0 π = 0 π 0 0 故側面積 =0 =00π 表面積 = 底面積 + 側面積 =0 0 π +00π =300π ( cm ) 範例一 在下面的四個圖中, 哪些是正確的正方體展開圖? 請在 ( ) 內打 ˇ: () () (3) (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 練習一 下圖哪幾個圖形是圓柱體的展開圖?( ) () () (3) (4) 範例二 圖 ( 一 ) 是由白色紙拼成的立體圖形, 將此立體圖形中的兩面塗上顏色, 如圖 ( 二 ) 所示 下列四個圖形中哪一個是圖 ( 二 ) 的展開圖? () () 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) () () 7
練習二 () 右圖為一立體圖形, 則下列 ()~() 四個平面圖形中, 何者為此立體圖形所對應的展開圖?( ) () () () () 範例三 如下圖, 下半部邊長為 6 公分的正方體, 上半部是腰長 5 公分的正四角錐, 求此多面體的表面積 練習三 如下圖, 求此多面體的表面積 0cm 5cm 5cm 5cm 6cm 6cm 範例四 如下圖, 求五角柱形的工具箱體積 練習四 如圖所示, 工具箱的蓋子是圓柱的一半, 盒 身是長方體, 求工具箱體積 0 公分 0 公分 0 公分 40 公分 8cm 8cm 4cm 0 公分 8
範例五 下圖是一個圓錐側面展開後的扇形 3 練習五 如圖示, 已知圓 O 的半徑為 5 公分, 扇形 O 的面積恰為圓面積的 求: 5 弧長 =π () 求此扇形兩半徑所夾的圓心角度數 () 求此圓錐的底面積 (3) 求此圓錐的表面積 O 5 公分 () 扇形 O 的面積為多少平方公分? () 扇形 O 兩半徑所夾的圓心角為多少 度? (3) 扇形 O 的弧長為多少公分? 範例六 cm 逢甲茶行賣出一罐茶葉, 店員用一張包裝紙包裝側面, 左右重疊 3 公分, 再用包裝繩如包 5cm 裝, 打結處是 5 公分 () 求包裝紙的長 寬各多少公分? () 需要繩子多少公分?(π 以 3.4 代入 ) 練習六 玲玲將一個圓柱體半徑為 5 公分, 柱高為 0 公分的果凍筒, 放在一個長方體的盒子裡, 盒子, 盒子至少還有多少空間? (π 以 3.4 代入 ) 9