Microsoft Word 國小C冊-書名頁.doc

Transcription

1 國民小學數學教材原型 C 冊 國家教育研究院編印

2

3 國民小學數學教材原型 C 冊目次 序...vii 編輯大意 編輯大意...ix 第一章 : 幾何概論主題 1-1: 緒論...1 主題 1-2: 兒童幾何概念的發展 1-2-1: 視覺期 : 分析期 : 關係期...6 主題 1-3: 幾何概念 1-3-1: 特例與集合 : 定義與定理 : 不存在的幾何圖形...13 第二章 : 平面圖形 理念篇主題 2-1: 三角形 2-1-1: 三角形的分類與命名 : 三角形的包含關係...29 i

4 2-1-3: 三角形任兩邊和大於第三邊...31 主題 2-2: 四邊形 2-2-1: 四邊形的分類與命名 : 四邊形的包含關係...42 主題 2-3: 多邊形 2-3-1: 多邊形與多邊形區域 : 凸多邊形與凹多邊形 : 正多邊形...48 主題 2-4: 圓 2-4-1: 圓與扇形 : 圓周率 : 與圓有關的工具...56 案例篇主題 2-1-3: 三角形任兩邊之和大於第三邊...59 主題 2-2-1: 四邊形的分類與命名...73 主題 2-3-3: 正多邊形...81 主題 2-4-2: 圓周率...88 第三章 : 平面圖形的關係 理念篇 ii

5 主題 3-1: 垂直與平行 3-1-1: 兩直線的關係 : 垂直 : 平行 主題 3-2: 全等 對稱對稱與相似 3-2-1: 全等圖形 : 線對稱圖形 : 相似 案例篇主題 3-1-2: 線與線的垂直關係 主題 3-1-3: 線與線的平行關係 主題 3-2-1: 正方形的平面鋪設 主題 3-2-2: 線對稱 主題 3-2-3: 放大圖 縮小圖與比例尺 第四章 : 立體圖形 理念篇主題 4-1: 柱體 4-1-1: 角柱 : 圓柱 iii

6 主題 4-2: 錐體 4-2-1: 角錐 : 圓錐 主題 4-3: 視圖 透視圖與透視圖與展開圖 4-3-1: 視圖與透視圖 : 角柱和角錐的展開圖 : 圓柱和圓錐的展開圖 案例篇主題 4-3-1: 立方體堆疊 主題 4-3-2: 立方體展開圖 第五章 : 立體圖形的關係 理念篇主題 5-1: 空間的垂直關係 5-1-1: 線與線的垂直 : 線與面的垂直 : 面與面的垂直 主題 5-2: 空間的平行關係 5-2-1: 線與線的平行 iv

7 5-2-2: 面與面的平行 主題 5-3: 頂點 邊與面個數的關係 5-3-1: 立體的頂點 邊和面 : 角柱 角錐的頂點 邊與面的個數關係 案例篇主題 5-1-3: 面與面的垂直垂直關係 主題 5-2-2: 面與面的平行關係 主題 5-3-2: 角柱 角錐的頂點角錐的頂點 邊與面的個數關係 283 附錄 - 試教教學活動設計主題 2-1-3: 三角形任兩邊之和大於第三邊 主題 3-3-2: 比例尺 主題 1-3-2: 立方體展開圖 主題 5-3-2: 角柱的面 頂點及邊的個數關係 v

8 vi

9 序 數學不僅是科學的基礎, 數學教育更是關乎國家公民素養和人才素質的重要因素之一 國家教育研究院推動課程與教學研究及研發適性適量適時之教材工作, 進行中小學各學習領域 ( 學科 ) 教材研發 編輯與試用, 並建置教科書資源資料庫 本數學領域教材原型研發手冊即是針對中學生與小學生所設計之教學輔助教材, 期能落實課程綱要能力指標與教材細目之課程與教學之實踐, 提供教師或教科書編輯者可依循或指引之教科書編輯素材, 活化數學教材的內涵, 並引領未來十二年國民基本教育數學教學之方向 此計畫研發初期, 本人時任國家教育研究院院長, 當時曾召開會議徵詢國內數學專家學者之意見, 幾經遴選承蒙陳昭地教授願意在國立臺灣師範大學教職退休後, 因為對數學教育的使命感, 而接下此研發編輯之重任 陳教授學經歷豐富, 不但在教學及專業領域上的研究, 受到學術界的肯定及重視, 表現傑出, 對啟蒙青年學子有滿滿的熱情, 對數學教育貢獻不遺餘力, 在他的號召之下, 旋即組織優秀的學者專家教授與教學卓越的中小學教師等成立編輯委員會, 前後歷經三年, 完成本系列的教材原型作品 本書研發編撰適合國中 小數學能力之題材, 這些題材與教師未來的數學教學密切相關, 並可藉此增長學生數學的學習能力, 內容相當豐富, 盼讀者以輕鬆愉快的心情欣賞閱讀數學的相關方法與應用, 經由與日常生活相關的例題, 透過循序漸進的演練, 以培養學生自我學習的興趣與信心, 期待能為數學教師提供便捷的教學資源 教育部國民及學前教育署署長吳清山謹識 2013 年 12 月 vii

10 序 政府為回應立法院與民意的需求, 於民國 92 年起責成本院組成委員會編撰九年一貫數學領域國中 小部編本教科書, 經審定後上市供書, 以平抑教科書價格, 同時引領民間出版商改善教科書的品質 部編本教科書在完成教材示範編撰與制衡教科書市場之階段性任務後, 轉型發展教材原型, 本書即為教材原型的研發成果之一 本書分為中學與小學, 中學部分配合國中以上之數學教師的數學專業素養, 編輯延伸性與原創性的題材, 包含未來與國民教育第十年數學銜接息息相關的重要內容, 提供教師編選相關教材之用, 或提供教科書編輯者及民間出版業研發教師手冊及相關教材 小學部分 : 配合教師需求, 著重於國小階段之數 計算 量與實測 幾何等相關教材教法 本套教材編撰之目的, 在於能引發教師教學之共鳴, 進而沿用於教學, 故於其取材方向及內容, 依中 小學之特性而有些許差異 本書係由課程及教學研究中心數學教材原型研發編輯委員會陳昭地教授 鍾靜教授 謝堅教授 張東輝教授 曹博盛教授 黃幸美教授 陳彥廷教授 周筱亭研究員 李政豐教師 蘇進發教師 傅淑婷教師 李政憲教師 丁斌悅教師 莊國彰教師 魏慶雲教師 房昔梅教師 詹婉華教師 吳欣悅教師 胡蕙芬教師等, 前後共計三年的辛勤投入, 內容極具意義與參考價值, 對落實數學教育, 應該頗有助益 茲值付梓之前, 特為之序, 並致最高謝意 國家教育研究院課程及教學研究中心主任 范信賢謹識 2013 年 12 月 viii

11 編輯大意 一 本研究成品為國家教育研究院數學領域教材原型研發編輯計畫第三年 ( 民 102 年 ) 國民小學部分的成果 二 本研究成品以國小階段之幾何為主軸撰寫, 因為時間不足, 研發團隊並沒有編寫出全部的教材, 只編寫部份的教材 三 本研究成品分成三類, 第一類為理念篇, 編寫相關教材的認知及數學結構, 以及教學時可能產生的迷思概念 ; 第二類為案例篇, 編寫教師不易教學或可能教錯的部份教材 ; 第三類為教學活動設計篇, 在每個案例篇選擇一節課的教材, 編寫成較詳細的教學活動設計 四 理念篇共有幾何概論 平面圖形 平面圖形的關係 立體圖形 立體圖形的關係等五個部分, 每個部分再分成數個主題, 分別說明相關之認知及數學結構 五 案例篇配合主題且擇要撰寫, 尤其針對該主題之重要學習關鍵或教學不易掌握之處編寫 ; 共計 14 案例, 提供 20 節教學節數之教材 六 各案例之教學說明係聯絡該主題之理念 該活動之目標, 教師可參考教學活動流程及教學注意事項進行教學, 亦可融入現行或自編教材 ; 指定作業部份可直接下載應用 ix

12 七 本冊已選擇 4 個案例進行試教, 並編寫較詳細的教學活動設計, 除了提供課堂教學參考之外, 也做為修改本教材之依據 八 本教材單元雖經研發團隊審慎研發編輯而成, 惟疏漏之處仍在所難免, 使用者針對案例可直接或間接以最適當的方式調整 x

13 第一章 : 幾何概論 緒論 撰寫者 : 謝堅 主題 1-1: 緒論認知及數學結構 : 國民小學數學教材原型包含 A 冊 B 冊及 C 冊三冊,A 冊的主題是 整數概念與加減計算,B 冊的主題是 量與實測,C 冊的主題是 幾何 A 冊主題的範圍比較小, 討論的範圍比較能包含國小相關的教材內容 A 冊主題包含 整數的數概念, 整數加減情境問題, 整數的加減運算, 以及 大數及概數 等四個部份 B 冊主題的範圍比較大, 包含時間 長度 面積 重量 容量 角度及體積等教材, 因為國家教育研究院出版了很多與長度以及時間有關的影帶及書籍, 因此 B 冊不討論時間及長度,B 冊主題包含 量與實測概論, 面積, 重量, 角度, 體積與容量 等五個部份 C 冊主題的範圍最大, 無法較完整的討論國小所有的幾何教材 因此在幾何數學知識部份,C 冊只討論編者認為比較重要以及教師易產生迷思概念的幾何知識 ; 在幾何教材部份, 只討論教師不易教學, 或教學時易產生錯誤概念的教材 ; 在幾何概念發展部份, 除了簡單的陳述荷蘭教育家 Van Hiele 夫婦的幾何發展過程理論外, 不討論幾何發展的概念, 只描述看到的幾何現象 C 1

14 第一章幾何概論 冊主題包含 幾何概論, 平面幾何圖形, 平面幾何圖形的關 係, 立體幾何圖形, 以及 立體幾何圖形關係 等五個部份 2

15 童幾何概念的發展 主題 1-2: 兒童幾何概念的發展 荷蘭教育家 Van Hiele 夫婦將幾何概念的發展區分為五個階段, 分別是視覺期 分析期 關係期 形式演繹期, 以及最後發展出的嚴密性或公理性的幾何知識 由於學童在國小階段通常可以發展到關係期, 下面簡單的介紹幾何發展前三個階段學童的學習特徵, 與相對應的教材安排與教學重點 1-2-1: 視覺期認知及數學結構 : 低年級學童的幾何概念屬於視覺期階段, 處於這個階段的學童, 主要藉由實物的大概輪廓來辨識形體或圖形, 因此當學童使用 正方形 長方形 三角形 圓形 正方體 長方體 及 球 等數學語言來稱呼某類圖形時, 只是給這些長的很像的圖形一個名字, 學童不見得能清楚知道這些數學語言的數學定義 圖一 是一個人的臉部圖像, 圖像中的兩個眼睛 一個鼻子 一個嘴巴都是三角形, 耳朵部分和臉連接的地方是圓弧 當教師要求學童回答此圖像中有多少個三角形時, 仍在視覺期的學童, 可能回答有 6 個三角形, 也可能回答有 4 個三角形 回答 6 個三角形的學童直觀的認為耳朵像三角形, 而回答 4 個三角形的 3

16 第一章幾何概論 學童直觀的認為耳朵不像三角形, 他們並不理會三角形三個邊的 構成要素必須是直線段 圖一 低年級的幾何教學活動, 建議安排較多的感官操作活動, 讓學童進行簡單的分類 造形 滾動 堆疊 描繪 著色 觸摸 複製等活動, 例如透過七巧板等具體物, 幫助學童察覺如何才能排出給定的圖形, 逐步的注意到圖形的構成要素 以 圖一 為例, 當學童注意到構成三角形的三邊必須是直線段, 才知道耳朵不是三角形, 因為其中有一個邊不是直線段 1-2-2: 分析期認知及數學結構 : 中年級學童的幾何概念屬於分析期階段, 從視覺期進入分析期的學童, 有了豐富的視覺辨識經驗後, 能開始注意各圖形的構成要素, 以及不同圖形間的異同關係, 但無法利用這些構成要素進行推理, 或解釋這些幾何性質間的關係 4

17 童幾何概念的發展 圖二 也是一個人臉部的圖像, 圖像中的兩個眼睛是正方形, 一個鼻子, 及一個嘴巴是長方形, 耳朵和臉連接的那一部分是圓弧 中年級學童能注意到構成要素, 知道兩個耳朵中都有一條邊不是直線段, 因此這兩個耳朵都不是三角形 當教師要求中年級學童回答圖像中有幾個長方形時, 學童可能有兩種不同的答案, 第一種答案是有 4 個長方形, 第二種答案是有 2 個長方形 回答 4 個長方形的學童可能只注意到長方形的構成要素, 知道四個角都是直角的四邊形是長方形, 鼻子 嘴巴及眼睛圖形中的四個角都是直角, 滿足長方形的構成要素, 所以圖中有 4 個長方形 回答 2 個長方形的學童同時注意到正方形與長方形的構成要素, 知道四個角都是直角的四邊形是長方形, 四條邊等長且四個角都是直角的四邊形是正方形, 圖中有兩個圖形除了滿足長方形的構成要素外, 也滿足正方形的構成要素, 因此回答圖中有 2 個正方形及 2 個長方形 圖二 5

18 第一章幾何概論 在中年級幾何的教學活動, 建議安排圖形的製作 組合 拆解與檢驗等活動, 幫助學童探索圖形與圖形之間的差異, 以及某類圖形共同的性質 ; 例如幫助學童察覺所有的長方形都有 4 個直角, 並能判斷某一個圖形是否為長方形 以 圖二 為例, 當學童將注意力放在長方形的構成要素時, 這四個圖形都滿足長方形的構成要素, 所以這四個圖形都是長方形 ; 當學童先將注意力放在限制較多的正方形時, 圖像中有 2 個正方形, 再將注意力放在限制較少的長方形時, 剩下的兩個圖形都是長方形 1-2-3: 關係期認知及數學結構 : 高年級學童的幾何概念在分析期到關係期之間, 在掌握各種圖形的構成要素之後, 就可以進一步了解圖形內在的屬性關性, 並開始探索各圖形之間的包含關係, 據以進行簡單的推理 學童此時應有能力掌握各種簡單圖形的構成要素, 可以開始進一步探索這些圖形的內在屬性關係, 以及圖形間的包含關係 例如當學童知道三角形的內角和是 180 度時, 教師可以透過由多邊形內一點 ( 或多邊形的一個頂點 ) 分割多邊形的策略, 幫助學童推論出 n 邊形 (n>3) 的內角和是 (n-2) 180 度 ; 當學童掌握三角形任兩邊和大於第三邊的意義時, 教師可以透過較短的兩邊和必須大於最長邊的想法, 幫助學童推論出 n 邊形 (n>3) 任 n-1 邊的和大 6

19 童幾何概念的發展 於第 n 邊 ; 當學童掌握兩線平行的意義後, 教師可以透過長方形的定義, 幫助學童推論當一個平行四邊形有一個角是直角時, 則這個平行四邊形一定是長方形 並不是所有的學童都能掌握上述推論的意義, 建議教師提供學生推論的學習機會, 但是這些推論不是評量的重點 7

20 第一章幾何概論 主題 1-3: 幾何概念 下面提出三個教師們容易混淆的幾何概念或迷思概念, 第一是特例與集合 ( 等價類 ), 第二是定義與定理, 第三是不存在的幾何圖形 1-3-1: 特例與集合認知及數學結構 : 日常生活中的名詞, 經常有兩種意義, 第一種是特例, 另一種是集合 先以 計程車 為例說明它們的差異, 當要搭計程車去火車站時, 我會拜託朋友幫我叫一輛計程車, 此時的 計程車 是集合的意義, 指的是任意的一輛計程車, 也就是所有計程車所成的集合 ; 我在街上想攔一部計程車去火車站時, 我發現前面有一輛空計程車, 很高興的攔下這一輛計程車, 此時的 計程車 是特例的意義, 指的是攔下的那一輛空計程車 再舉一個比的例子來說明, 冷飲店的夥計甲用 1 分公升的牛奶加 5 分公升的紅茶泡出一杯奶茶, 牛奶 : 紅茶 =1:5; 冷飲店的伙計乙用 1 公升的牛奶加 5 公升的紅茶泡出一桶奶茶, 牛奶 : 紅茶 =1:5; 這兩種泡奶茶的方式都是 牛奶 : 紅茶 =1:5 的特例, 泡出奶茶的味道相同 冷飲店老闆為了讓奶茶的品質一致, 規定夥計一定要按照 牛奶: 紅茶 =1:5 的方式泡奶茶, 此時 牛奶 : 紅茶 =1:5 8

21 幾何概念 是一個集合, 透過 牛奶 : 紅茶 =1:5 的方式, 我們可以泡出一小杯 一大杯 一桶的奶茶, 而這些奶茶的味道都一樣 當教師拿出一張長方形圖卡, 告訴學童這是一個 長方形 時, 教師和學童對 長方形 的解讀可能不相同 學童可能認為拿出的那一張長方形圖卡為 長方形, 也就是將此長方形圖卡看成長方形的一個特例 ; 而教師可能將此長方形圖卡視為所有長方形所成的集合, 將拿出的長方形圖卡看成所有長方形所成集合的代表 學童第一次學習的長方形是一個特例, 當他有很多長方形特例的學習經驗, 並察覺這些長方形共同的特徵之後, 長方形開始由特例發展為一個集合, 數學上稱之為等價類 在還沒有引入長方形的定義之前, 所有討論的長方形都應該視為特例, 教學時教師必須畫出要討論的長方形圖形 ; 當引入長方形的定義之後, 所討論的長方形都是集合, 教師不必畫出長方形的圖形, 討論的重點是所有長方形的共同特徵 建議教師教學或評量時, 應該要掌握長方形是特例或等價類的意義 9

22 第一章幾何概論 1-3-2: 定義與定理認知及數學結構 : 下面以平行四邊形為例, 幫助教師區分定義與定理的意義 平行四邊形所成集合中的每一個平行四邊形, 都具有下列 A 至 E 中的性質, 這些性質都是等價的, 可以透過平行線的性質以及三角形全等定理, 證明這些性質可以互推 A: 兩組對邊互相平行 B: 一組對邊平行且相等 C: 兩組對邊分別相等 D: 兩組對角分別相等 E: 對角線互相平分 為了方便檢驗一個四邊形是否為平行四邊形, 需要給一個判斷的標準, 也就是給平行四邊形下定義 可以在 A B C D E 五個性質中, 任意選一個性質當做平行四邊形的定義, 大多數的數學課本都選用性質 A 當做平行四邊形的定義, 因為 A 和平行四邊形的名字最相符 選擇性質 A 當做平行四邊形的定義後, 可以透過定義, 證明其它四個性質也成立, 此時這四個經過證明的性質稱為定理, 除了定義之外, 也可以利用這四個定理來檢驗某一個四邊形是否為平行四邊形 國小階段並沒有引入幾何証明, 因此在國小階段, 10

23 幾何概念 判斷某四邊形是否為平行四邊形時, 只能透過定義, 也就是 A 的性質來判斷, 不可以透過其它的性質, 也就是定理來判斷 因為定義與定理討論的對象都是集合, 而不是特例, 因此教師在評量時, 不能夠問 兩組對邊等長 ( 兩組對角相等或對角線互相平分 ) 的四邊形是否為平行四邊形 這類的問題, 也不能夠問 平行四邊形是否滿足兩組對邊等長 ( 兩組對角相等或對角線互相平分 ) 這類問題, 因為它們都是定理 國小學生只能透過 有兩組對邊平行 來判斷某一個四邊形是否為平行四邊形, 也只知道每一個平行四邊形都滿足兩組對邊平行的性質 下面以兩個問題為例, 說明國小階段幾何評量時, 教師如何區分特例與集合, 以及定義與定理的意義 問題一 : 菱形是否為平行四邊形國小學童能掌握菱形和平行四邊形的定義, 知道四條邊都等長的四邊形是菱形, 兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形 當我們評量菱形是否為平行四邊形時, 應注意到定義與定理以及特例與集合的意義 國小階段不引入幾何的證明, 國小學童不知道兩組對邊分別相等的所有四邊形都是平行四邊形, 因此在國小評量問題中, 不可以問所有的菱形 ( 集合 ) 是否都是平行四邊形的問題, 但是可以畫出一個菱形 ( 特例 ), 問學童這個菱形是否為平行四邊形, 當學 11

24 第一章幾何概論 童能掌握平行四邊形的定義, 就可以透過檢驗兩組對邊是否互相平行, 判斷出這個畫出的菱形是平行四邊形 問題二 : 菱形對角線是否互相垂直? 長方形對角線是否等長? 因為對角線並不是四邊形的構成要素, 因此國小階段不會透過對角線來定義四邊形 當教師評量 菱形及長方形中, 那些圖形的對角線等長? 那些圖形的對角線互相垂直? 時, 應注意問題中的圖形是特例或是集合 如果教師將圖形視為集合, 必須透過證明, 才可能知道每一個長方形的對角線都等長, 每一個菱形的對角線都互相垂直, 國小學童不會證明, 因此在國小階段, 不宜評量這類問題 如果教師將這些圖形視為特例, 並畫出圖形, 國小階段可以評量這類問題, 學童可以利用三角板或直尺等工具, 檢驗這個給定的圖形是否滿足對角線等長或對角線互相垂直的性質 教師可以提供學童一些這類問題解題的經驗, 為以後國中學習幾何證明來舖路 12

25 幾何概念 1-3-3: 不存在的幾何圖形認知及數學結構 : 教師在評量幾何性質 平面圖形的周長或面積, 以及立體圖形的表面積或體積等問題時, 因為沒有考慮到給定的數據必須滿足圖形的幾何性質, 導至畫出的幾何圖形是不存在的 例如畫出三邊長分別是 公分的三角形 (3+4<8, 不符合三角形任兩邊和大於第三邊的性質, 該圖形不存在 ); 畫出三邊長分別是 公分的直角三角形 ( , 不符合畢式定理, 該圖形不是直角三角形 ); 畫出三邊長分別是 公分的銳角三角形 ( <7 2, 該圖形是鈍角三角形, 不是銳角三角形 ); 或畫出半徑為 10 公分, 弧長為 15.7 公分, 圓心角大約是 60 度的扇形 ( 該扇形是四分之一圓, 圓心角是 90 度, 畫出的扇形不正確 ) 下面提出一些國小評量試題中常見不存在或不正確幾何圖形的例子, 提供教師們參考, 建議教師命題時要小心, 不要犯這些錯誤 ( 一 ) 如 圖三,AC=AB=3 公分,BC=2.7 公分,BD=2.4 公分, 求 ABC 面積 =( ) 平方公分 B A D C 圖三 13

26 第一章幾何概論 本問題是民國 64 年國編版數學課本中的題目, 題目中提供了三角形三邊的長度及一條高的長度, 而不是只提供底邊以及其對應高的長度 提供三邊長度的用意是檢驗學童是否理解三角形面積公式中的底及高, 必須是一邊與其對應的高 因為國小階段只引入一種求三角形面積的公式, 教師及學童們求三角形面積的方法都一樣, 因此, 很多評量試題中出現數據不滿足幾何性質的三角形, 但是教師們都沒有察覺 下面提供兩種不同的解題方式, 這兩種解題方式所用的面積公式都是正確的, 但是算出來的答案不一樣 第一種 : 利用國小三角形面積公式 ( 底 高 ) 2 解題 ABC 面積 =( 底 高 ) 2=(3 2.4) 2=3.6( 平方公分 ) 第二種 : 利用高中海龍公式 s(s-a)(s-b)(s-c) 解題, 公式中的 a b c 是三角形三邊長,s=(a+b+c) 2 s=( ) 2=4.35 ABC 面積 = s(s-a)(s-b)(s-c) = 4.35 (4.35-3)(4.35-3) ( ) 3.6( 平方公分 ) 用兩個不同的正確公式來解題, 算出來答案不一樣的理由是 圖三 的數據不滿足某些幾何性質, 也就是說, 圖三 的圖形不存在, 下面簡單說明該圖形不存在的理由 14

27 幾何概念 假設 AD=x,DC=y,AC=x+y=3 BAD 及 BCD 都是直角三角形, 直角三角形三邊長必須滿足畢氏定理 直角 BAD 中, =x 2, =1.8 2, 得到 x=1.8 直角 BCD 中, =y 2, 得到 y= 1.53 計算出來的 y 不是有理數, 因此 y 1.2 因為 BC=x+y=3, 而算出來的 x+y 3, 該圖形給定的數據讓該圖形不存在 畫幾何圖形的時候, 給的數據愈多, 愈容易讓該幾何圖形不存在, 教師畫出圖形後, 應該檢驗該圖形是否存在 以本題為例, 因為不易找出都滿足畢氏定理的整數數據, 教師只要刪除 AB 或 AC 中的一個長度, 讓 x 或 y 的值有彈性, 就可以讓圖形存在 ( 二 ) 如 圖四,AB=10,BC=12,CD=7,AE=9,ED=5, AED=90, 求五邊形 ABCDE 的面積? A D E B 15 圖四 C

28 第一章幾何概論 本題是國小常見的評量試題, 評量學童是否能利用梯形 ABCD 面積減直角三角形 ADE 面積的方式, 算出五邊形 ABCDE 的面積 雖然教師及部份學童們能算出正確的答案, 但是, 大多數試題中的數據都讓該圖形不存在, 想想看, 為什麼該圖形不存在 圖五 中 APD 及 AED 都是直角三角形, 這兩個直角三角形的斜邊都是 AD, 直角三角形三邊長必須滿足畢氏定理 直角 APD 中,AD 2 =AP 2 +PD 2 =12 2 +(10-7) 2 =144+9=153 直角 AED 中,AD 2 =AE 2 +ED 2 = =81+25=106 AD 2 =AD 2, 但是 , 所以該圖形不存在 A P D E B C 圖五 16

29 幾何概念 ( 三 ) 如 圖六, 已知梯形 ABCD,AD=5,BC=10,ON=2,OM=5, 求 OAB 面積 + OCD 面積 =? N A D O B M C 圖六 本題也是國小常見的評量試題, 下面提出三種不同的解法, 得到三種不同的答案, 想想看, 哪個解法是正確的 解法 1: 梯形 ABCD 面積 -( OAD 面積 + OBC 面積 ) 梯形 ABCD 面積 :(5+10) (2+5) 2=52.5 OBC 面積 :(10 5) 2=25 OAD 面積 : (5 2) 2=5 OAB 面積 + OCD 面積 =52.5-(25+5)=22.5 解法 2:( ACD 面積 - OCD 面積 ) 2 先說明 OAB 面積 = OCD 面積 17

30 第一章幾何概論 OAB 面積 = ABC 面積 - OBC 面積 OCD 面積 = DBC 面積 - OBC 面積 ABC 面積 = DBC 面積 ( 同底等高 ), 所以 OAB 面積 = OCD 面積再計算 OAB 面積 + OCD 面積 ABC 面積 =10 (5+2) 2=35 OBC 面積 =(10 5) 2=25 OAB 面積 + OCD 面積 =(35-25) 2=20 解法 3:( CAB 面積 - OAB 面積 ) 2 BAD 面積 =5 (5+2) 2=17.5 OAD 面積 =(5 2) 2=5 OAB 面積 + OCD 面積 =(17.5-5) 2=25 上面這三種解法都是正確的, 為什麼算出來的答案不一樣, 理由還是 圖六 的圖形不存在, 下面簡單說明該圖形不存在的理由 DBC= ADB, DAC= BCA( 內錯角相等 ), 所以 OAD 和 OBC 是相似三角形 (AA 相似 ) 相似三角形的對應邊成比例, 所以 BC: AD=OM:ON 但是 BC:AD=10:5,OM:ON=5:2,10:5 5:2, 所以 圖六 的圖形不存在 18

31 幾何概念 ( 四 ) 圓錐甲的底半徑是 3 公分, 高是 4 公分, 圖七 是圓錐甲的展開圖, 圖中扇形的弧長是幾公分?( 圓周率 =3.14) 圖七 本題也是國小常見的評量試題, 教師們應該察覺到, 評量試卷中出現的圓錐展開圖, 扇形的圓心角都小於 180 度 ( 大部份扇形的圓心角都接近 120 度 ), 幾乎沒有見過圓心角大於 180 度的扇形 請算算看, 展開圖中扇形的圓心角是多少度? ( 圓錐側邊長 ) 2 = =5 2 =25, 圓錐側邊長 =5, 所以展開圖中扇形的半徑是 5 公分 展開圖中扇形的弧長是圓錐底面的圓周長, 圓錐底面的圓半徑是 3 公分, 所以扇形的弧長是 公分 半徑 5 公分圓周長 : 扇形弧長 =360 度 : 扇形圓心角的度數, : =360:x, 可以算出 x=216( 度 ) 由上面的說明可以知道, 滿足題意的扇形是圓心角大於 180 度的優扇形, 題目中畫出的扇形是不正確的 為了幫助教師們掌握圓錐展開圖中扇形的圓心角度數, 提出一個關係式給教師們參考 : 19

32 第一章幾何概論 1. 圓錐底邊的半徑 : 圓錐側邊的邊長 =0.5, 該直圓錐展開圖中的扇形部份剛好是半圓 2. 圓錐底邊的半徑 : 圓錐側邊的邊長 <0.5, 該直圓錐展開圖中的扇形部份是劣扇形 ( 圓心角 <180 度 ) 3. 圓錐底邊的半徑 : 圓錐側邊的邊長 >0.5, 該直圓錐展開圖中的扇形部份是優扇形 ( 圓心角 >180 度 ) 20

33 第二章 : 平面圖形 三角形 撰寫者 : 謝堅 主題 2-1: 三角形 在三角形教材中, 理念篇只討論三個部份, 第一部份是三角形的分類與命名, 第二部份是三角形的包含關係, 第三部份是三角形任兩邊長的和大於第三邊 2-1-1: 三角形的分類與命名認知及數學結構 : 三角形有三條邊及三個角, 因此, 數學上常透過邊和角的關係來將三角形分類 以 圖一 中的三角形為例, 每一個角都只有一條對應的邊, 每一條邊都只有一個對應的角, 為了溝通上的方便, 我們稱 A 的對邊是 BC 邊, 也稱 AB 邊的對角是 C A B C 圖一 國小階段常見的三角形包含了 三角形 等腰三角形 正三角 形 直角三角形, 銳角三角形 鈍角三角形 等腰直角三角形 其中三角形是宇集合, 等腰三角形和正三角形可以透過有幾條邊 21

34 第二章平面圖形 - 理念篇 等長, 或有幾個角的角度相等的關係來命名 ; 直角三角形, 銳角三角形 鈍角三角形可以透過最大內角是直角 銳角或鈍角來命名 ; 等腰直角三角形可以透過等腰三角形和直角三角形的交集來命名, 分別說明如下 : ( 一 ) 等腰三角形與正三角形三角形的邊和角之間滿足 大邊對大角, 小邊對小角, 以及 大角對大邊, 小角對小邊 的關係, 因此可以透過有幾條邊等長的關係, 也可以透過有幾個角的角度相等的關係將三角形分類 因為等腰三角形中 腰 的語意與邊長有關, 因此, 透過有幾條邊等長的關係來命名等腰三角形與正三角形可能比較恰當 以有幾條邊等長的關係來分類, 可以將所有的三角形區分為 三條邊都等長 恰有兩條邊等長 三條邊都不等長 三類, 其中 三條邊都等長 的三角形滿足 三個角的角度都相等, 恰有兩條邊等長 的三角形滿足 恰有二個角的角度相等, 三條邊都不等長 的三角形滿足 三個角的角度都不相等 三條邊都等長的三角形可以稱為等邊三角形, 恰有兩條邊等長的三角形可以稱為等腰三角形, 三條邊都不等長的三角形沒有特殊的性質可以討論, 因此沒有給這類三角形命名 數學上並沒有將正三角形排除在等腰三角形之外, 將三條邊 22

35 三角形 等長的三角形也稱為等腰三角形, 因此, 教師教學時必須澄清有兩條邊等長或三條邊都相等的三角形都是等腰三角形 建議教師可以透過問話 正三角形有兩條邊相等嗎? 所以正三角形也是等腰三角嗎?, 來協助學童形成正三角形也是等腰三角形的共識 ( 二 ) 命名等腰三角形與梯形的迷思概念數學上稱 有兩條邊等長 的三角形為等腰三角形 ; 稱 有一組對邊平行 的四邊形為梯形, 雖然等腰三角形和梯形的定義中都出現 有, 但是它們所傳遞的訊息並不相同 下面說明命名等腰三角形和梯形時, 可能產生的迷思概念 有 可以包含三種意義, 第一種是 至多有, 第二種是 恰有, 第三種是 至少有, 下面先以梯形的命名為例, 說明以 至多有 恰有 及 至少有 來定義梯形時, 可能產生的不同結果, 再說明教師命名梯形以及等腰三角形時應注意的事項 (1) 至多有 一組對邊平行的四邊形稱為梯形: 梯形只有兩組對邊, 至多有 一組對邊平行指的是沒有對邊平形或恰有一組對邊平形 因此, 兩組對邊都不平行, 以及恰有一組對邊平行的四邊形都是梯形 ; 只有兩組對邊都平行的平行四邊形不是梯形 23

36 第二章平面圖形 - 理念篇 (2) 恰有 一組對邊平行的四邊形稱為梯形: 梯形只有兩組對邊, 恰有 一組對邊平行指的是一組對邊平形, 另一組對邊不平形 因此, 兩組對邊都不平行的四邊形, 以及兩組對邊都平行的平行四邊形都不是梯形 (3) 至少有 一組對邊平行的四邊形稱為梯形: 梯形只有兩組對邊, 至少有 一組對邊平行指的是恰有一組對邊平形或有兩組對邊平形 因此, 兩組對邊都不平行的四邊形不是梯形 ; 只有一組對邊平行和兩組對邊都平行的平行四邊形都是梯形 國小階段等腰三角形定義中的 有 是 至少有 的意義, 而梯形定義中的 有 是 恰有 的意義 建議教師以 只有兩邊等長, 或三邊都等長的三角形是等腰三角形, 來說明等腰三角形的意義 ; 以 一組對邊平行, 另一組對邊不平行的四邊形是梯形, 來說明梯形的意義 24

37 三角形 ( 三 ) 直角三角形, 銳角三角形 鈍角三角形三角形的內角和為 180 度, 三個內角中最大角的角度會大於或等於 60 度, 會小於 180 度, 而最小內角的角度會小於或等於 60 度 也就是說, 三角形中最小角一定是銳角, 而最大角可以是銳角 (60 度 x<90 度 ), 也可以是直角 (x=90 度 ), 也可以是鈍角 (90 度 x<180 度 ) 因此, 可以透過三角形內角中最大角是直角 銳角或鈍角的關係, 將所有的三角形區分為直角三角形, 銳角三角形與鈍角三角形三類, 這三類三角形兩兩的交集都是空集合, 而它們的聯集是所有的三角形 有三種定義直角三角形, 銳角三角形 鈍角三角形的方法, 依序分別說明如下 第一種 : 直角三角形 : 有一個角是直角的三角形 鈍角三角形 : 有一個角是鈍角的三角形 銳角三角形 : 三個角都是銳角的三角形 第一種是最常見, 也是比較摘要的定義方式 成人知道三角形的內角和是 180 度, 也知道三角形中有一個角是直角時, 另外兩個角一定是銳角, 三角形中有一個角是鈍角時, 另外兩個角也 25

38 第二章平面圖形 - 理念篇 一定是銳角, 因此定義直角及鈍角三角形時, 省略說明另外兩個內角是銳角的結果, 摘要的定義有一個角是直角的三角形為直角三角形, 有一個角是鈍角的三角形為鈍角三角形 當學童尚未掌握三角形內角和是 180 度的意義之前, 並不知道直角及鈍角三角形其它兩個角的屬性, 面對直角三角形中有一個角是直角, 或鈍角三角形中有一個角是鈍角, 其它兩個角的角度可以是多少度問題時, 常會答錯 建議當學童尚未掌握三角形內角和是 180 度的意義之前, 教師可以透過下面第二種或第三種方式來定義直角 銳角及鈍角三角形 其中第二種命名方式和第一種相同, 差別是較詳細的描述三角形三個內角的屬性 第二種 : 直角三角形 : 有一個角是直角 其它二個角是銳角的三角形 鈍角三角形 : 有一個角是鈍角 其它二個角是銳角的三角形 銳角三角形 : 三個角都是銳角的三角形 也可以透過三角形中最大角的概念, 改寫第一種定義方式為第三種 第三種定義方式中, 三類三角形都透過最大角來判斷, 而第一種定義方式中, 直角及鈍角三角形的描述中只涉及一個角 26

39 三角形, 而銳角三角形的描述中同時涉及三個角 第三種 : 直角三角形 : 最大角是直角的三角形 鈍角三角形 : 最大角是鈍角的三角形 銳角三角形 : 最大角是銳角的三角形 ( 四 ) 等腰直角三角形等腰直角三角形同時滿足 有兩邊等長 及 一個角為直角 這兩個特徵, 是等腰三角形和直角三角形的交集, 學童必須分別掌握等腰三角形和直角三角形的意義之後, 才可能理解等腰直角三角形的意義 有兩種幫助學童澄清等腰直角三角形定義的教學方式 第一種是先做出等長的腰, 再做出直角 ; 第二種是先做出直角, 再做出等長的腰 這兩種方式都可以幫助學童察覺等腰直角三角形同時滿足 兩邊等長 及 一個角為直角 這兩個特徵, 建議教師教學時應引入這兩種教法 第一種 : 利用扣條等教具進行做等腰直角三角形的實作活動利用扣條做等腰直角三角形時, 多數學童會先做出等長的兩邊, 也就是先滿足等腰三角形的條件, 再透過旋轉扣條讓兩邊的 27

40 第二章平面圖形 - 理念篇 夾角是直角之後, 再圍成一個三角形, 這個三角形會同時滿足等腰及直角兩個條件, 所以是等腰直角三角形 第二種 : 進行畫等腰直角三角形實作活動畫等腰直角三角形時, 多數學童會先利用三角板畫出直角, 再利用圓規畫出等長的兩邊, 最後連成一個三角形, 這種畫法比較容易畫出等腰直角三角形 這個畫出來三角形會同時滿足直角及等腰兩個條件, 所以是等腰直角三角形 當學童有一些用扣條做等腰直角三角形, 以及畫等腰直角三角形的經驗後, 較能夠同時掌握等腰直角三角形滿足 兩邊相等 及 一個角為直角 關係的意義 28

41 2-1-2: 三角形的包含關係 三角形 認知及數學結構 : 下面這七類三角形是國小階段常見的三角形, 如何將這些三角形分類, 最容易呈現它們之間的包含關係, 請教師們先嘗試利用文氏圖畫出這些三角形間的包含關係, 再看後面的說明 A: 三角形 B: 等腰三角形 C: 正三角形 D: 直角三角形 E: 銳角三角形 F: 鈍角三角形 G: 等腰直角三角形 不同的分類方式, 可以讓一個集合產生不同的分割關係, 最常見的分類方式, 是讓分割出來的子集合, 彼此之間都沒有交集, 而且所有子集合的聯集是原來的集合 透過三角形內最大角是銳角 直角或鈍角的分類方式, 可以將所有的三角形區分為銳角三角形 直角三角形和鈍角三角形三類, 這三類三角形的聯集是所有的三角形, 而它們的交集都是空集合 如 圖二, 先畫出一個大圓 A 代表所有的三角形, 再將 A 分割成三個部份, 分別代表直角三角形 (D) 銳角三角形 (E) 和鈍角三角形 (F) 因為等腰三角形和銳角 直角及鈍角三角形都有交集, 畫出一個中圓代表等腰三角形 (B), 等腰三角形 (B) 和直角三角形 (D) 29

42 第二章平面圖形 - 理念篇 的交集就是等腰直角三角形 (G), 等腰三角形 (B) 和銳角三角形 (E) 的交集就是等腰銳角三角形, 等腰三角形 (B) 和鈍角三角形 (F) 的交集就是等腰鈍角三角形, 國小階段並沒有命名等腰銳角三角形及等腰鈍角三角形 正三角形是三個角都相等的等腰三角形, 包含在等腰銳角三角形內, 最後在等腰三角形 (B) 和銳角三角形 (E) 的交集中畫出小圓代表正三角形 (C) 建議教師透過文氏圖幫助自己澄清不同三角形間的包含及分割關係, 但是這些圖形間的包含以及分割的關係, 都不是國小階段評量的重點 圖二 30

43 2-1-3: 三角形任兩邊邊長邊長和大於第三邊 三角形 認知及數學結構 : ( 一 ) 精確的定義 (well-defined) 數學上常追求精確的定義 (well-defined), 也就是說, 在很多等價的定義中, 儘量找出描述最精確, 適用的範圍最大的當做數學上的定義 精確的定義會讓數學定義變的更抽象, 因此對國小學童或國中學生而言, 更無法理解其意義 以長方形的定義為例, 數學上稱 四個角相等的四邊形為長方形, 國中 小階段稱 四個角都是直角的四邊形為長方形, 因為四邊形的內角和是 360 度, 所以 四個角相等 和 每一個角都是直角 的意義相同, 也就是說, 這兩個定義是等價的或相同的 數學上用 四個角相等的四邊形為長方形 當做長方形的定義, 因為 四個角相等 比 四個角都是直角 描述更簡單, 適用範圍更大 國 中小用 四個角都是直角的四邊形為長方形 當做長方形的定義, 主要的原因是檢驗四個角是否為直角比檢驗四個角的角度相等簡單許多 三角形任兩邊邊長的和大於第三邊 與 三角形比較短兩邊邊長和大於最長邊 也是等價的定義 假設三角形三邊的長度是 a b c,a b c, 如果 b+c a 成立, 那麼 a+b c a+c b 一定也會成立, 所以當 三角形比較短兩邊邊長和大於最長邊 成立時, 31

44 第二章平面圖形 - 理念篇 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 也會成立 反過來說, 當 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 成立, 也就是說 b+c a a+b c a+c b 都成立,b+c a 只是其中的一部份, 三角形比較短兩邊邊長和大於最長邊 當然也會成立 ( 二 ) 三角形任兩邊三角形任兩邊邊長邊長和大於第三邊和大於第三邊 教學的迷思概念 : 國小最常見的教法, 就是提供很多不同長度的竹籤, 要求學童任意選出三根竹籤來圍三角形, 學童有時能圍成三角形, 有時不能圍成三角形 接著要求學童將注意力放在竹籤的長度上, 找出能圍成三角形與不能圍成三角形時邊長的關係, 希望學童察覺 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 學童不易察覺 三角形任兩邊邊長和大於第三邊, 因為最長邊及次長邊邊長的和大於最短邊, 以及最長邊及最短邊邊長的和大於次長邊的現象非常明顯, 學童不會主動去討論 換句話說, 學童察覺的是 三角形較短兩邊邊長和大於最長邊 時, 才能圍成一個三角形, 而不是 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 時, 才能圍成一個三角形 以三角形的邊長來分類, 可以區分成三邊等長 (a a a), 恰有兩邊等長 (a a b 及 a b b, 其中 a<b) 及三邊不等長三類 (a b c,a<b<c), 教師可以幫助學童察覺, 它們也符合 三角形較 32

45 三角形 短兩邊邊長和大於最長邊 (a+a>a,a+a>b,a+b>b) 的關係 很多教師誤認為學童察覺 三角形較短兩邊邊長和大於第三邊, 就等同於理解 三角形任兩邊邊長和大於第三邊, 其實不然, 學童很容易得到 三角形較短兩邊邊長和大於最長邊 的結果, 如果沒有教師的幫助, 學童很難自行將 三角形較短兩邊邊長和大於最長邊 推廣至 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 建議教師先接受 三角形比較短兩邊邊長和大於最長邊 的結果, 接著說明當 三角形比較短兩邊邊長和大於最長邊 成立時, 最長邊及次長邊邊長和大於最短邊, 以及最長邊及最短邊邊長和大於次長邊也會成立, 可以得到 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 的結果 ( 三 ) 三角形任兩邊三角形任兩邊邊長邊長和大於第三邊和大於第三邊 的教學策略教師面對新的教學單元時, 有三種準備教學的想法, 第一種是將新單元視為一個全新的數學問題, 思考如何教學最容易幫助學童理解該單元的教學內容 ; 第二種是檢查學童的舊經驗, 找出和該單元相關的先備知識, 思考那如何延伸這些舊的解題經驗, 幫助學童自己解決問題 ; 第三種是反省以後還有哪些與該單元相關的教材, 教學時儘量為以後引入的相關教材鋪路, 或者, 至少不要引入妨礙以後概念發展的口訣或特殊解法 33

46 第二章平面圖形 - 理念篇 第一種想法的教師, 教學時可能很精彩, 也幫助學童學會了新的教材, 但是學童學習的都是片段的數學知識, 除非學生有反省能力, 否則很難掌握數學的整體脈絡 建議教師教學時, 應該同時有第二種及第三種想法 下面以這三種想法為例, 提出三種教學策略提供教師們參考 第一種想法 : 將它視為一個新的問題, 思考如何教學能幫助學童 理解 Q C D E F D F A B C E C E 圖三 圖三 左邊的圖形中,CD 線段的長為 m EF 線段的長為 n, AB 線段和 CD 及 EF 線段接起來一樣長, 所以 AB 線段的長為 m+n 圖三 中間的圖形中, 以 AB 線段為三角形的底邊,CD 及 EF 線段為三角形的兩邊,CD 及 EF 線段無法相交於一點, 也就是無法圍成一個三角形, 必須延長 CD 及 EF 線段, 讓它們交於一點, 才能圍成一個三角形 圖三 右邊的圖形中,CD 及 EF 線段的延長線交於一點 Q, 在三角形 CEQ 中, 學童可以察覺三角形的左邊比 CD 的長度 m 長, 右邊比 EF 的長度 n 長, 這兩邊邊長加起來一定比底邊的長度 m+n 長 請注意, 學童察覺的是 三角形兩邊邊長和一定大於底邊 的 34

47 三角形 結果, 不是 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 以 CD 及 EF 線段為邊時, 有很多不同的畫法, 教師不宜只出現 AB 線段與 EF 線段夾角為銳角的情形 ( 圖四 左邊的圖形 ), 教師應以 AB 線段與 EF 線段的交點為圓心畫圓, 幫助學童察覺, 當 AB 線段與 EF 線段夾角為直角 ( 圖四 中間的圖形), 或夾角為鈍角時 ( 圖四 右邊的圖形 ), 也可能圍成一個三角形, 如果能圍成一個三角形, 該三角形也滿足三角形兩邊邊長和一定大於底邊的結果 F F F A B E A BE A BE 圖四 第二種想法 : 檢查學生以前學過什麼, 思考如何墊步能幫助學童自己解決問題以 A B 為端點可以有很多不同的路徑, 數學上稱連接兩點最短路徑的長度為這兩點的距離, 在這些連接 A B 兩點的路徑中, 連接 A B 兩點直線段路徑的長度最短, 因此 AB 線段的長度就是 A B 這兩點的距離 如果低年級學童已有上述兩點距離的概念, 教師只要透過下 圖五 復習如何求兩點的距離, 就可以幫助學童察覺 三角形兩邊的和大於 A B 兩點的距離 (AP+PB>AB) 請注意, 學童察覺的 35

48 第二章平面圖形 - 理念篇 是 三角形兩邊邊長和一定大於第三邊 的結果, 不是 三角形任兩邊邊長和大於第三邊 P A B 圖五 第三種想法 : 反思以後還有哪些相關的教材, 如何為以後的教學舖路 任兩邊邊長和大於第三邊就能圍成三角形 只是 任 n-1 邊邊長和大於第 n 邊 (n 3) 就能圍成 n 邊形 的一個特例, 前面二種想法都只針對三角形的問題, 對以後解 n(n>3) 邊形問題時, 並沒有太大的幫助 下面提供另一種教學方式, 既能解決三角形的問題, 對學童以後面對 n(n>3) 邊形問題, 也能自發性的解決問題 圖六 中有 AB CD EF 三條線段, 滿足 AB CD EF 的關係, 將最長的線段 AB 放在下面, 比較短的兩條線段 CD 和 EF 接起來的長度與 AB 長度間有下列三種關係 : 1.CD 和 EF 接起來比 AB 長 ( 如 圖六 左邊的圖形 ), 當 C 和 A 重合 F 和 B 重合時,D 和 E 會交於一點, 這三條線段能圍成一個三角形 2.CD 和 EF 接起來比 AB 短 ( 圖六 中間的圖形 ), 當 C 和 A 重合 36

49 三角形 F 和 B 重合時,D 和 E 無法交於一點, 也就是說, 這三條線段無法圍成一個三角形 3.CD 和 EF 接起來和 AB 一樣長 ( 圖六 右邊的圖形), 當 C 和 A 重合 F 和 B 重合時,CD 和 EF 線段接起來就是 AB 線段, 這三條線段無法圍成一個三角形 E F DE C D C D E F C F A B A B A B 圖六 由上面的說明可以知道, 當比較短兩邊邊長和大於最長邊時, 這三邊一定可以圍成一個三角形 相同的理由, 圖七 中有 AB CD EF GH 四條線段, 當比較短的三條線段接起來比 AB 長 ( 圖七 左邊的圖形), 一定能圍成四邊形 ; 當比較短的三條線段接起來比 AB 短 ( 圖七 右邊的圖形 ), 就不能圍成四邊形 也就是說, 當比較短三邊邊長和大於最長邊時, 這四邊一定可以圍成四邊形 E F C D G H C DG H E F A B A B 圖七 37

50 第二章平面圖形 - 理念篇 主題 2-2: 四邊形 在四邊形教材中, 理念篇只討論兩個部份, 第一部份是四邊形的分類與命名, 第二部份是四邊形的包含關係 2-2-1: 四邊形的分類與命名認知及數學結構 : 四邊形有四條邊及四個角, 以 圖八 中的四邊形為例, 每一個角都有一個相對的角, 以及兩個相鄰的角, 例如 A 有一個相對的角 C, 有兩個相鄰的角 B 和 D; 每一條邊都都有一條相對的邊, 以及兩條相鄰的邊, 例如 AB 邊有一條相對的邊 CD, 有兩個條相鄰的邊 BC 和 AD, 其中相對的邊還有互相平行與不互相平行兩類關係 因此, 除了透過有幾條邊等長, 或有幾個角的角度相等的關係將四邊形分類之外, 還可以透過有幾組對邊互相平行來分類 B A D C 圖八 38

51 四邊形 連接四邊形相對的頂點可以形成兩條對角線, 因為四邊形的構成要素是頂點 邊和角, 對角線不是四邊形的構成要素, 因此國小階段不透過兩條對角線的關係來定義四邊形, 也不討論不同四邊形對角線平分 等長或垂直等性質 國小階段常見的四邊形包含 四邊形 正方形 長方形 菱形, 平行四邊形, 梯形 等腰梯形 箏形 其中四邊形是宇集合, 長方形可以透過四個角角度都相等 ( 都是直角 ) 來命名, 菱形可以透過四條邊都等長來命名, 正方形可以透過長方形和菱形的交集來命名, 平行四邊形和梯形可以透過有幾組對邊互相平行來命名, 等腰梯形可以延伸等腰三角形的意義來命名梯形, 箏形可以透過對角線及邊長的關係來命名, 分別說明如下 : ( 一 ) 透過有幾條邊等長來分類 : 常見的四邊形中, 只有菱形是透過邊長的關係來命名, 數學上稱四條邊都等長的四邊形為菱形, 菱形也稱為等邊四邊形 下面以 a b 代表不同的邊長, 兩組對邊等長的四邊形 (a b a b 型 ) 是平行四邊形 ; 相鄰兩邊分別相等, 但是相對兩邊不等長的四邊形 (a a b b 型 ) 是箏形 但是數學上不透過邊長的關係來定義平行四邊形與箏形 39

52 第二章平面圖形 - 理念篇 ( 二 ) 透過有幾個角的角度相等來分類 : 常見的四邊形中, 只有長方形是透過角度的關係來命名, 稱四個角的角度都相等 ( 或都是直角 ) 的四邊形為長方形, 長方形也稱為等角四邊形或矩形 下面以 a b 代表不同的角度, 兩組對角相等的四邊形 (a b a b 型 ) 是平行四邊形 ; 相鄰兩角分別相等, 但是相對兩角不相等的四邊形 (a a b b 型 ) 是等腰梯形 但是數學上不透過角度的大小關係來定義平行四邊形與等腰梯形 ( 三 ) 透過有幾組對邊平行來分類 : 四邊形每一條邊都有相對的邊, 因此四邊形共有兩組相對的邊 常見的四邊形中, 平行四邊形和梯形是透過有幾組對邊互相平行來分類, 有兩組對邊平行的四邊形稱為平行四邊形, 恰有一組對邊平行的四邊形稱為梯形, 沒有對邊平行的四邊形沒有特殊的性質可以討論, 因此沒有給這類四邊形命名 ( 四 ) 透過對角線的關係來分類四邊形有兩條相交的對角線, 常見的四邊形中, 只有箏形是 40

53 四邊形 透過對角線來命名, 稱對角線互相垂直, 但僅平分其中一條對角線的四邊形為箏形, 或稱恰有一條對角線, 其兩側的對應邊都一樣長的四邊形 ( 同側的兩邊不等長 ) 為箏形 也可以透過對角線的關係來命名其它常見的四邊形 例如稱對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 ; 稱對角線互相平分且等長的四邊形為長方形 ; 稱對角線互相平分且互相垂直的四邊形為菱形 ; 稱對角線互相平分 垂直且等長的四邊形為正方形 因為對角線並不是四邊形的構成要素, 所以國小階段不透過對角線的關係來給這些四邊形命名 41

54 第二章平面圖形 - 理念篇 2-2-2: 四邊形的包含關係認知及數學結構 : 下面這八類四邊形是國小階段常見的四邊形, 如何將這些四邊形分類, 最容易呈現它們之間的包含關係, 請教師們先嘗試利用文氏圖畫出這些四邊形間的包含關係, 再看後面的說明 A: 四邊形 B: 正方形 C: 長方形 D: 菱形 E: 平行四邊形 F: 梯形 G: 等腰梯形 H: 箏形透過有幾組對邊互相平行的分類方式, 可以將所有的四邊形區分為有兩組對邊互相平行, 恰有一組對邊互相平行, 以及沒有對邊互相平行三類, 這三類四邊形的聯集是所有的四邊形, 而它們的交集都是空集合 如 圖九, 先畫出一個大圓代表所有的四邊形 (A), 再將大圓分割成三個部份, 第一部份代表有兩組對邊互相平行的平行四邊形 (E), 第二部份代表恰有一組對邊互相平行的梯形 (F), 剩下的那一部份代表沒有對邊互相平行的四邊形 ( 命名為 k) 因為長方形及菱形也是平行四邊形, 它們的聯集不是所有的平行四邊形, 它們的交集是正方形, 所以在平行四邊形內部畫兩個相交的圓, 一個圓代表長方形 (C), 另一個圓代表菱形 (D), 而這兩個圓的交集就是正方形 (B) 因為等腰梯形是兩腰等長的梯 42

55 四邊形 形, 包含於梯形, 在 F 的內部畫一個圓代表等腰梯形 (G) 箏形沒有對應邊互相平行, 所以在 K 的內部畫一個圓 H 代表箏形 建議教師透過文氏圖幫助自己澄清不同四邊形間的包含及分割關係, 但是這些圖形間的包含及分割的關係, 都不是國小階段評量的重點 圖九 43

56 第二章平面圖形 - 理念篇 主題 2-3: 多邊形 在多邊形教材中, 理念篇只討論三個部份, 第一部份是多邊形與多邊形區域, 第二部份是凸多邊形與凹多邊形, 第三部份是正多邊形 2-3-1: 多邊形與多邊形區域認知及數學結構 : 由直線段所圍成的封閉圖形, 數學上稱為多邊形, 多邊形與多邊形區域是兩種不同的圖形概念, 以 圖十 中的三角形為例, 由三條直線段頭尾相接所圍成的圖形稱為三角形, 這個三角形可以把平面分割成三角形 三角形內部與三角形外部等三個部分, 而三角形和三角形內部合起來的圖形稱為三角形區域 三角形外部 三角形 三角形內部 圖十 三角形區域有周界, 周界由三角形的三條邊所圍成, 所以三 角形的周長就是三角形三條邊的長度和 三角形本身沒有面積, 44

57 多邊形 在討論三角形的面積時, 指的就是三角形區域的面積 在日常生活中, 常把三角形區域簡稱為三角形, 並沒有嚴格的區分三角形和三角形區域的說法 低年級屬於視覺期階段, 教師教學時不必嚴格區分多邊形與多邊形區域的意義, 教學時可以畫出三角形 剪出三角形形狀的色紙 用扣條圍成三角形, 或在畫出三角形的內部塗色 但是, 中年級屬於分析期階段, 開始討論多邊形的構成要素, 建議教師在布題時, 必須分辨討論的重點是多邊形還是多邊形區域, 例如進行三角形構成要素的教學時, 三角形的構成要素是頂點 邊和角, 並不涉及三角形的內部, 因此討論的對象應該是紙上畫出的三角形, 或由扣條所圍成的三角形, 而不是剪出三角形形狀的色紙, 或在內部塗色的三角形 進行三角形面積的教學時, 討論的對象是三角形的區域, 而不是只有三角形, 建議教師在進行三角形面積的教學時, 不宜用手指繞三角形一圈來描述三角形區域, 應該用手掃過三角形區域 45

58 第二章平面圖形 - 理念篇 2-3-2: 凸多邊形與凹多邊形認知及數學結構 : ( 一 ) 凸多邊形與凹多邊形多邊形可以區分成凸多邊形與凹多邊形兩類, 如果一個多邊形其內部任意兩點所連成的線段, 一定都在該多邊形的內部, 則稱該多邊形為凸多邊形, 如果一個多邊形內部存在兩個點, 使這兩個點所連成的線段, 有一部分在該多邊形的外部, 則稱該多邊形為凹多邊形 n 邊形 (n 3) 中只有三角形一定是凸多邊形, 其它的 n 邊形 (n>3) 可以是凸多邊形, 也可以是凹多邊形 圖十一 中左邊的圖形是凸多邊形, 右邊的圖形是凹多邊形 圖十一 還有兩種判斷凸多邊形與凹多邊形的方法, 一種是透過內角來判斷, 每一個內角的角度都小於 180 度的多邊形是凸多邊形, 至少有一個內角的角度超過 180 度的多邊形是凹多邊形 ; 另一種是將多邊形的各邊做延長線來判斷, 如果有一條延長線與另一邊相交, 則為凹多邊形, 否則即為凸四邊形 46

59 多邊形 ( 二 ) 鈍角與銳角很多教師沒有說明銳角及鈍角討論的範圍, 直接透過 比 90 度大的角就是鈍角, 比 90 度小的角就是銳角 的方式來定義鈍角與銳角, 導至國小學童面對 190 度是否為鈍角,0 度是否為銳角的問題, 以及高中學生面對 500 度是否為鈍角,-30 度是否為銳角的問題時, 常引起爭議 凸多邊形的每一個內角都介於 0 度和 180 之間 ( 不包含 0 度和 180 度 ), 凹多邊形的每一個內角都介於 0 度和 360 之間 ( 不包含 0 度和 360 度 ), 面對 n 邊形時 ( 最常見的是三角形 ), 為了方便溝通內角與直角的大小關係, 數學上使用銳角 直角及鈍角來溝通內角或外角角度的屬性, 如果討論的範圍都是凸多邊形, 數學上稱角度介於 0 度和 90 度之間 ( 不包含 0 度和 90 度 ) 的角為銳角, 稱角度是 90 度的角為直角, 稱角度介於 90 度和 180 度之間 ( 不包含 90 度和 180 度 ) 的角為鈍角 ; 如果還討論凹多邊形, 銳角和直角角度的範圍不變, 鈍角會介於 90 度和 360 度之間 ( 不包含 0 度和 360 度 ) 47

60 第二章平面圖形 - 理念篇 2-3-3: 正多邊形認知及數學結構 : 數學上稱邊長都相等的多邊形為等邊多邊形, 稱內角的角度都相等的多邊形為等角多邊形, 稱邊長都相等且內角的角度都相等的多邊形為正多邊形 在多邊形當中, 只有三角形滿足等邊三角形一定是等角三角形, 等角三角形一定是等邊三角形的關係, 所以正三角形 等邊三角形 等角三角形是同一個集合 除了三角形外, 等邊 n 邊形不一定是等角 n 邊形, 等角 n 邊形也不一定是等邊 n 邊形 也就是說, 等邊 n 邊形與等角 n 邊形是不同的兩個集合, 而正 n 邊形是這兩個集合的交集 ( 一 ) 等邊 n 邊形 (n>3) 不一定是等角 n 邊形使用 5 根一樣長的竹籤所圍成的 5 邊形一定是等邊 5 邊形, 圖十二 是一個等邊 5 邊形, 但是它 5 個內角的角度並不相等, 因此, 等邊 5 邊形不一定是等角 5 邊形 使用 n 根 (n>3) 一樣長的竹籤所圍成的 n 邊形一定是等邊 n 邊形, 我們可以隨意的改變等邊 n 邊形的形狀, 讓等邊 n 邊形的 n 個角都不相等, 因此, 等邊 n 邊形不一定是等角 n 邊形 48

61 多邊形 圖十二 ( 二 ) 等角 n 邊 (n>3) 不一定是等邊 n 邊形 圖十三 中 ABCDEF 是一個等邊且等角的正六邊形, 延長這個正六邊形的兩個邊 FA 和 CB, 在延長線上分別取 P 和 Q 兩個點, 使 AB 線段和 PQ 線段平行, 則新六邊形 PQCDEF 還是一個等角的六邊形 ( 同位角相等 ), 但是已經不是等邊六邊形 相同的理由, 當畫出正 n 邊形 (n>3) 時, 也可以仿上述方式, 畫出一個等角的 n 邊形, 而這個等角 n 邊形不是等邊 n 邊形, 因此, 等角 n 邊形不一定是等邊 n 邊形 圖十三 49

62 第二章平面圖形 - 理念篇 主題 2-4: 圓 在圓的教材中, 理念篇只討論三個部份, 第一部份是圓與扇形, 第二部份是圓周率, 第三部份是與圓有關的工具 2-4-1: 圓與扇形認知及數學結構 : ( 一 ) 圓選定一定點 O, 在平面上與定點 O 的距離是 r(r>0) 的所有點所成的集合稱為圓, 該定點 O 稱為圓的圓心,r 稱為圓的半徑 圓把平面區分成圓 {P OP=r}, 圓的內部 {P OP<r}, 以及圓的外部 {P OP>r} 三個部分, 圓和圓的內部合起來的部份稱為圓區域 {P OP r} 圓區域的周界稱為圓周, 圓周的長度就是圓的長度, 稱為圓周長 在中文的用語中, 並沒有區分圓和圓區域, 一個圖形是圓或是圓區域, 必須靠前 後文的描述來判斷, 但是在英文的用語中, 很明確的區分圓和圓區域, 如果不強調內部, 只談一個圓, 英文稱之為 circle, 如果強調圓和圓的內部, 英文稱之為 disc 50

63 多邊形 ( 二 ) 半 ( 直 ) 徑與半 ( 直 ) 徑的長度圓上任一點與圓心所連成的線段稱為半徑, 半徑指的是一條線段, 日常生活中常將半徑的長度簡稱為半徑, 例如將半徑長是 5 公分的線段簡稱為半徑長 5 公分, 記成 r=5 公分 直徑也是一條線段, 兩條半徑若能連成一條直線段, 稱該直線段為直徑, 如果直徑的長度是 10 公分, 也簡稱直徑是 10 公分, 記成直徑 =10 公分 透過圓內最長的弦來定義直徑時, 定義出來的直徑是一條線段 ; 透過直徑是半徑的兩倍 ( 直徑 = 半徑 2) 來定義直徑時, 定義出來的直徑是長度 教師教學時應澄清線段與線段長的意義 ( 三 ) 圓弧與弦 : 圓上相異兩點可以將圓分割成兩部份, 都稱為圓弧, 其中比較長的部份稱為優弧, 比較短的部份稱為劣弧, 如果兩部份一樣長, 則稱為半圓 圓上相異兩點所連成的線段稱為弦, 直徑是圓中最長的弦, 直徑剛好將圓區域分割成全等的兩部份, 直徑的兩個端點剛好將圓分割成全等的兩個圓弧 51

64 第二章平面圖形 - 理念篇 ( 四 ) 扇形扇形是和圓有密切關係的圖形, 圓上的一段圓弧, 以及該圓弧兩端點和圓心連成的兩條半徑, 它們所合成的圖形稱扇形, 圓弧大於半圓的扇形稱為優扇形, 圓弧小於半圓的扇形稱為劣扇形 很多學童不理解數學上扇形的意義, 誤認為像扇子形狀的圖形就是扇形, 圖十四 是由共端點兩條長度是 r 的線段夾一段圓弧所合成像扇子的圖形, 如果該圓弧是半徑 r 的圓弧, 該圖形是扇形, 如果該圓弧不是半徑 r 的圓弧, 該圖形不是扇形 圖十四 52

65 2-4-2: 圓周率 圓 認知及數學結構 : ( 一 ) 圓周率所有的圓都相似, 相似圖形的對應邊成比例, 因此所有圓的圓周長和直徑長的比值都相等, 數學上稱 圓周長 : 直徑長 的比值為圓周率 透過測量出圓的周長和直徑, 再利用 圓周長 : 直徑長 = 圓周長 直徑長 = 圓周率 的方法, 所得到的圓周率一定是有理數, 因為利用直尺等工具測量出來的長度都是有理數, 而 有理數 有理數 還是有理數, 所以國小階段討論的圓周率都是有理數 當我們利用圓內接正多邊形來逼近圓時, 可以得到內接正多邊形的邊長和與圓的直徑長相比的一組數列, 而利用圓外接正多邊形來逼近圓時, 也可以得到外接正多邊形的邊長和與圓的直徑長相比的一組數列, 而這兩組數列各自的比會愈來愈接近, 數學上定義的圓周率就是這兩組比值互相接近到任意程度的結果 雖然這兩組數列的比值可以互相任意地接近, 但是都無法用小數或分數等有理數來確定圓周率的值, 也就是說, 圓周率是一個無理數 53

66 第二章平面圖形 - 理念篇 ( 二 ) 如何求圓周率圓周率是 圓周長 : 直徑長 的比值, 國小階段可以透過測量不同圓的直徑和圓周長, 再分別求出 圓周長 : 直徑長 的比值, 幫助學童察覺 圓周長 : 直徑長 的比值都比 3 多一點, 經驗圓周率的意義 為了讓 圓周長 : 直徑長 的比值不要差異太大, 建議教師選擇直徑超過 20 公分的圓, 因為直徑太小的圓, 算出來圓周率的值誤差比較大 在活動中, 很難讓求出來的比值剛好或很接近 3.14, 因此在國小階段可以選擇 3 當做圓周率的近似值, 如果要選擇 3.14 當做圓周率近似值, 建議教師提供一些與求圓周率相關的文章給學童閱讀, 讓學童知道圓周率選擇 3.14 的意義, 並為以後選用無理數 π 記錄圓周率鋪路 ( 三 ) 古埃及人如何求圓周率 : 如 圖十五, 古埃及人先畫出一個圓, 再用繩子複製出圓的圓周和直徑, 先以直徑 2r 為單位去測量圓周, 發現圓周長 =2r 3 +m,0<m<2r, 再以線段 m 為單位去測量直徑, 發現直徑長介於 m 長的 7 倍到 8 倍之間 (m 7<2r<m 8), 也就是 m 的長在 2r 7 到 2r 8 54

67 圓 之間 可以得到圓周率 = 圓周長 : 直徑長 =(2r 3+m):2r=(2r 3 +m) 2r=3+ m 2r, 1 7 < m 2r < 1 8, 也就是說,3 1 7 < 圓周率 < 圓周 2r 2r 2r m 直徑 2r m 7<2r<m 8 圖十五 55

68 第二章平面圖形 - 理念篇 2-4-3: 與圓有關的工具認知及數學結構 : ( 一 ) 圓規如 圖十六, 圓規只能畫出到圓心 O 的距離等於半徑長的點 P, 無法畫出圓的半徑線段 OQ, 但是畫出的圓可以決定一個圓區域 因為圓規只能畫出與圓心的距離是半徑長的點 P, 無法畫出長度是半徑的線段 OQ, 因此國小學童利用圓規畫線段時, 常無法掌握兩點距離與線段長度的意義 圖十六 有兩種幫助學童澄清兩點距離與線段長度意義的方法, 第一 種是在圓規兩腳之間綁上繩子或橡皮筋, 學童在畫圓時, 幫助學 童看到兩腳間的距離, 也能看到連接兩腳距離的線段 第二種是 56

69 先畫出一條直線段, 與學童溝通如何在直線段上畫出長 a 公分的線段, 學童先張開圓規的兩腳, 在直尺上量出這兩腳的距離是 a 公分, 再以直線段的端點 A 為圓心, 畫弧和直線段交於 B 點, 最後要求學童測量 AB 的長度, 幫助學童察覺兩腳的距離為 a 公分時, 連接兩腳的線段長也是 a 公分 ( 二 ) 角卡有很多找出一個圓的直徑的方法, 例如將圓對折後, 折痕就是直徑 ; 透過比對弦長找出最長的弦, 最長的弦就是直徑 ; 將三角板直角的頂點放在圓上, 連接三角板和圓兩交點的線段就是直徑 找出圓的直徑後, 就能測量出直徑的長度 木工有一種測量圓直徑的工具, 稱為角卡, 如下圖, 角卡的形狀是一個角形,OA 線段上有可以描述長度的刻度, APB=53 度 8 分 只要將圓形的物體放在角卡中, 如果圓形物體和 OA 的切點是 A 點,OA 長就是圓的直徑 角卡的做法及道理都很簡單, 教師可以當作圓的補充教材 圖十七 中, 先做出兩股長比為 2:1 的直角三角形 OPA 和 OPB, 由 PA 及 PB 線段組成的角形就是角卡 當我們將圓形物體放在角卡中, 假設切點是 A B,PA 和 PB 就是半徑, 而 OA=PA 2=2r 就是直徑 教師只要幫助學生做出角卡即可, 不必與學生溝通頂角的角 57 圓

70 第二章平面圖形 - 理念篇 度是多少, 下面簡單的說明為什麼 AOB=53 度 8 分, 三角形 PAO 和 PBO 是全等的直角三角形, 兩股長的比 OA:PA=2:1, 可以由 三角函數表中查出 tanθ= 1 2,θ= POA= POB=26 度 34 分, BOA= POA+POB=53 度 8 分 圖十七 58

71 主題 2-1-3: 三角形任兩邊之和大於第三邊 三角形任兩邊之和大於第三邊 授課對象 : 國小五年級學生 撰寫者 : 吳欣悅 先備知識 : 1. 認識三角形及其構成要素 2. 能辨認直角 銳角和鈍角三角形 教學目標 : 能知道三角形任兩邊之和大於第三邊 教學時間 教學時間 :80 分鐘 ( 兩節課 ) 教學說明 : 1. 教師在教此觀念時, 最常用的方法是提供不同長度的竹籤, 讓學童任意選出三支竹籤來圍成一個三角形, 因此有些竹籤的組合可以圍成一個三角形, 有些組合則無法圍成, 在此情形之下, 學童所觀察到的是 : 三角形較短的兩邊之和必須大於最長邊, 才能圍成一個三角形 2. 當三角形中 較短的兩邊之和大於最長邊 時, 則 最長邊及次長邊的和大於最短邊 與 最短邊及最長邊的和大於次長邊 也一定成立, 但是學生卻不易察覺 三角形任兩邊之和大於第三邊, 因為當最長邊及次長邊的和大於最短邊, 以及最長邊及最短邊的和大於次長邊一定會成立, 學生不會去討論, 也就是說, 學生只察覺了 三角形較短兩邊的和大於最長邊 時, 59

72 第二章平面圖形 - 案例篇 才能圍成一個三角形 3. 學生很容易觀察到 三角形較短兩邊的和大於最長邊 的結果, 但是, 沒有教師的幫助, 學生很難自行從 三角形較短兩邊之和大於最長邊 的認知, 推演到 三角形任兩邊之和大於第三邊 4. 教師可以透過三角形三個邊中, 任意兩邊的相加結果皆大於第三邊, 幫助學生知道最後只要判斷 三角形較短的兩邊之和大於最長邊, 就一定能圍成一個三角形 教具準備 : ( 活動一 ) 竹籤 5 公分 7 公分 16 公分 8 公分 9 公分 12 公分 6 公分 14 公分 20 公分各 1 支,A4 紙 2 張 ( 活動三 ) 竹籤 4 公分 5 公分 7 公分 8 公分 9 公分 11 公分 12 公分 20 公分各 1 支,A4 紙 2 張 活動一 : 知道較短兩邊之和大於最長邊時可以拼成三角形活動目標 : 透過用竹籤拼成三角形的活動, 知道較短兩邊之和大 活動流程 : 於最長邊時可以拼成一個三角形 1. 教師將學童分成 A B C 三組, 每組發給 3 支竹籤,A:(5 公分 7 公分 16 公分 ) B:(8 公分 9 公分 12 公分 ) C:(6 公分 14 公分 20 公分 ), 三組竹籤不能彼此交換, 請學童將 60

73 三角形任兩邊之和大於第三邊 竹籤組合成三角形 2. 學童操作之後會發現 A C 兩組不能組合成三角形 3. 教師與學童討論 A 組竹籤 : (1) 發給學童一張空白紙張, 讓學生在紙張上操作 (2) 將 A 組竹籤 5 公分 7 公分 16 公分, 並排如 圖一 並將圖形描下 5 公分 7 公分 16 公分 圖一 (3) 學童觀察 圖一 可以發現 5 公分和 7 公分合起來小於 16 公分 (4) 學童將 5 公分和 7 公分竹籤的兩邊端點與 16 公分竹籤的兩邊端點連接, 並描繪如 圖二, 讓學童觀察要如何做才能圍成三角形 圖二 (5) 學童能觀察出必須延長 5 公分和 7 公分的竹籤如 圖 三, 才能形成三角形 加長 加長 61 圖三

74 第二章平面圖形 - 案例篇 4. 教師讓學童觀察 C 組竹籤, 並將結果畫下 (1) 先將 6 公分和 14 公分的竹籤與 20 公分竹籤並排如 圖四 並將圖形描畫下來 14 公分 6 公分 20 公分 圖四 (2) 將 14 公分和 6 公分竹籤的兩邊端點與 20 公分竹籤的兩邊端點連接, 使竹籤形成三角形並描繪如 圖五, 但學童發現 圖五 無法形成三角形, 須延長兩邊長度如 圖六 之後才可以圍成三角形 加長 加長 圖五 圖六 5. 讓學童將 A B 兩組竹籤拆散重新組合, 並記錄哪些竹籤的組合可以圍成三角形 6. 學童將可以圍成三角形的邊長, 依照由小至大的順序記錄下來 : 62

75 三角形邊長操作結果表一 三角形任兩邊之和大於第三邊 組 邊長 (cm) 學童共可操作出 14 組, 教師與學童共同討論原來的 A(5 公分 7 公分 16 公分 ) C(6 公分 14 公分 20 公分 ) 兩組, 以及將 A B(8 公分 9 公分 12 公分 ) 兩組竹籤重新組合成的 14 組 7. 學童會發現, 較短兩支竹籤的長度和等於或小於最長竹籤長度時, 無法圍成三角形 ; 較短兩支竹籤的長度和大於最長竹籤長度時, 才可以圍成一個三角形 活動二 : 三角形任兩邊之和大於第三邊活動目標 : 知道三角形任兩邊和都會大於第三邊 活動流程 : 1. 教師將活動一之活動流程 6 的操作結果分成 A B C 組 三角形邊長操作結果分組表二 A B C 組 邊長 (cm)

76 第二章平面圖形 - 案例篇 (1) 教師以 A 組中的竹籤組合 5 公分 7 公分 8 公分為例, 說明 5 公分為最短邊 8 公分為最長邊 7 公分為次長邊,5+7>8, 最短邊加上次長邊長度的和大於最長邊的長度時, 可以圍成一個三角形 最短邊加上次長邊長度的和大於最長邊的長度時 (5+7 >8), 最長邊加上次長邊的長度和一定會大於最短邊 (8 +7>5), 最長邊加上最短邊的長度和也一定大於次長邊 (8+5>7) 也就是, 三角形任兩邊的長度和都會大於第三邊 2. 請學生分組檢驗每一組竹籤是否皆有這樣的大小關係 3. 學生會發現各自負責的 A B C 三組, 每一組的竹籤都可以將任兩支竹籤的長度相加, 而相加的結果皆大於第三邊 4. 教師總結 活動一 與 活動二 的結果 : (1) 活動一 的結果是: 三角形較短兩個邊的長度相加會大於最長邊的長度 (2) 活動二 的結果是: 在 活動一 的結果下, 再檢驗任意兩支竹籤的長度和與第三支竹籤的長度關係, 發現任兩支竹籤的長度和大於第三邊的長度 5. 三角形任兩邊的長度和都會大於第三邊 但是在判斷三支竹籤可否圍成三角形時, 只要確定較短兩邊之和大於第三邊, 就知 64

77 三角形任兩邊之和大於第三邊 道一定可以圍成三角形 6. 教師接著舉一些三邊都等長, 以及有兩邊等長竹籤的例子, 幫助學生知道三角形任兩邊的長度和大於第三邊的長度, 例如 : (1) 8 公分 8 公分 8 公分 (8+8>8) 可以圍成一個三角形 (2) 9 公分 4 公分 3 公分 (3+4<9) 無法圍成一個三角形 (3) 8 公分 12 公分 17 公分 (8+12>17) 可以圍成一個三角形 (4) 15 公分 25 公分 38 公分 (15+25>38) 可以圍成一個三角形 (5) 25 公分 25 公分 50 公分 (25+25=50) 無法圍成一個三角形 活動三 : 四邊形任三邊之和大於三邊之和大於第四邊活動目標 : 透過用竹籤拼成四邊形的活動, 知道較短三邊之和大 活動流程 : 於最長邊時, 可以拼成一個四邊形 1. 將學童分組, 每組發給竹籤 4 公分 5 公分 11 公分 20 公分 7 公分 8 公分 9 公分 12 公分各 1 支,A4 紙 1 張 2. 請學童先拿出 4 公分 5 公分 11 公分 20 公分的竹籤, 並將 65

78 第二章平面圖形 - 案例篇 這 4 支竹籤任意拼成一個四邊形 3. 當學童發現無法拼出一個四邊形時, 讓他們分組討論無法拼排出四邊形的原因, 如果討論不出結果, 可以提醒他們參考活動一學到的 三角形任兩邊和都會大於第三邊 如果還是討論不出來, 教師可以提醒他們先拿出最長邊, 再將其它三邊接起來和最長邊來比較 4. 教師再請學童拿出 4 公分 5 公分 11 公分 20 公分的竹籤排看看, 是否能圍成一個五邊形, 學童會發現仍然無法排出五邊形 5. 整合前面的結果教師再次說明 : 將竹籤排放如 圖七, 可以發現當較短 3 支竹籤和與最長竹籤一樣長時,4 支竹籤彼此無 法連接形成四邊形 4cm 5cm 11cm 6. 教師請學童以最長的 20cm 竹籤為主, 將另外 3 支竹籤與最長 竹籤組合如 圖八, 他們可以發現, 需延長其中一邊, 才能 形成四邊形 4cm 20cm 圖七 5cm 延長 6cm 20cm 圖八 66

79 67 三角形任兩邊之和大於第三邊 7. 因此要圍成四邊形的竹籤組合, 必須是較短的三邊之和大於第四邊時才能成立 8. 學童檢驗 7 公分 8 公分 9 公分 12 公分的竹籤組合, 可以發現較短三個邊合起來大於最長邊 7+8+9>12, 所以可以圍成四邊形 再讓學生任意組合此組竹籤, 檢查任意組合的三個邊與第四邊的大小關係, 結果發現 > > >7, 任三邊之和皆大於第四邊, 因此只要檢驗最小的三個邊之和大於第四邊, 就等於檢查了 任三邊之和大於第四邊, 就能確定此組竹籤可以圍成四邊形 9. 教師接著舉一些四邊都等長 以及有三邊或兩邊等長竹籤的例子, 幫助學生知道四邊形任三邊的長度和大於第四邊 (1) 7 公分 7 公分 7 公分 7 公分 (7+7+7>7) 可以圍成一個四邊形 (2) 6 公分 6 公分 6 公分 10 公分 (6+6+6>10) 可以圍成一個四邊形 (3) 14 公分 14 公分 27 公分 28 公分 ( > 28) 可以圍成一個四邊形 (4) 7 公分 8 公分 9 公分 10 公分 (7+8+9>10) 可以圍成一個四邊形 (5) 3 公分 5 公分 7 公分 17 公分 (3+5+7<17) 無

80 第二章平面圖形 - 案例篇 指定作業 : 法圍成一個四邊形 習題一 :( 配合活動一 二 ) (1) 勾選哪一組竹籤的長度可以圍成一個三角形: 公分 10 公分 20 公分 15 公分 12 公分 18 公分 ( ) 可以 ( ) 不可以 ( ) 可以 ( ) 不可以 3 15 公分 9 公分 6 公分 4 7 公分 7 公分 7 公分 ( ) 可以 ( ) 不可以 ( ) 可以 ( ) 不可以 (2) 小明現在有 2 支竹籤,1 支是 12 公分 另一支是 18 公分, 如果要找出另一支竹籤, 讓 3 支竹籤圍成三角形, 這根竹籤的長度須大於 12 公分小於 18 公分, 這根竹籤可能是多少公分?( 竹籤長度為整數 )( ) (3) 有一個等腰三角形, 其中兩個邊長分別是 8 公分和 10 公分, 68

81 69 三角形任兩邊之和大於第三邊 第三個邊可能是幾公分?( 第三邊為整數 )( ) ( ) (4) 老師將 5 組都可以圍成一個三角形的 3 根竹籤, 借給同學操作, 但是同學不小心將竹籤搞混了, 只知道每組都有 1 支 8 公分的竹籤, 同學排出了五組竹籤如下, 老師檢查每一組的竹籤組合之後, 發現有兩組竹籤的排列不正確, 請你協助將竹籤重新排列成正確的組合 : 第一組 :3 公分 10 公分 8 公分第二組 :6 公分 7 公分 8 公分第三組 :9 公分 17 公分 8 公分第四組 :20 公分 12 公分 8 公分第五組 :15 公分 16 公分 8 公分 1 不正確的兩組三角形邊長組合是哪兩組 : ( ) ( ) 2 如何將這兩組邊長重新組合調整之後, 讓兩組的竹籤皆可為成三角形 :( ) ( ) 習題二 :( 配合活動三 ) (1) 哪些竹籤的組合可以拼成一個四邊形? ㄅ :3 公分 3 公分 7 公分 10 公分

82 第二章平面圖形 - 案例篇 ㄆ :5 公分 6 公分 7 公分 8 公分ㄇ :7 公分 7 公分 7 公分 7 公分ㄈ :2 公分 5 公分 10 公分 30 公分ㄉ :2 公分 6 公分 8 公分 12 公分ㄊ :2 公分 3 公分 4 公分 9 公分ㄋ :15 公分 15 公分 15 公分 50 公分ㄌ :18 公分 8 公分 48 公分 58 公分答 :( ) (2) 曉育有 3 支吸管分別是 8 公分 6 公分 5 公分, 第 4 支吸管的長度如果是整數公分, 最短的吸管會是幾公分, 才能 拼排成一個四邊形?( ) 公分 (3) 平平有 5 支竹籤, 分別是 5 公分 7 公分 10 公分 13 公分 20 公分, 請問平平可不可以將這 5 支竹籤圍成一個五邊形?( ) (4) 亭亭有 5 支竹籤, 分別是 3 公分 7 公分 8 公分 9 公分 30 公分, 他想要將現有的 5 支竹籤所圍成的五邊形, 再加入 1 支竹籤之後, 圍出一個六邊形, 媽媽提供亭亭另外的 5 支竹籤, 分別是 2 公分 3 公分 6 公分 35 公分 68 公分, 請問第六支可以是媽媽提供的哪幾支竹籤, 讓亭亭可以圍成六邊形? 70

83 ( ) 三角形任兩邊之和大於第三邊 指定作業參考解答 : 習題一 : (1) 1 不可以 2 可以 3 不可以 4 可以 (2) 13 公分 14 公分 15 公分 16 公分 17 公分 (3) 8 公分 10 公分 (4) 1 第三組 第四組 2(9 公分 12 公分 8 公分 ) (20 公分 17 公分 8 公分 ) 習題二 : (1) ㄅ ㄆ ㄇ ㄉ ㄌ (2) 1 公分 (3) 可以 (4) 6 公分 68 公分 教學注意事項 : (1) 教師於教學時, 可以彈性運用身邊的材料作為操作的教具, 例如吸管 扣條 等, 讓學童進行組合時方便操作 (2) 教師在檢驗竹籤是否能圍成一個三角形時, 常常只檢驗一種組合, 這種組合可能是隨意找出, 或只是較短兩邊之和 71

84 第二章平面圖形 - 案例篇 大於第三邊, 因此, 本活動的設計是從先看到較短兩邊之和大於第三邊開始, 再去檢驗任兩邊組合是否都符合 任兩邊之和大於第三邊, 由此確認, 如果要檢驗任三種長度的組合是否能圍成一個三角形時, 只要檢驗較短兩邊之和大於第三邊, 不需再檢驗其他邊長的組合, 即能判斷此三種長度的組合是否能圍成一個三角形 (3) 雖然教學活動只有做到四邊形的邊長判斷, 判斷四邊形的任三邊邊長和大於第四邊時, 能圍成一個四邊形, 教師可以運用教學重點再加以延伸, 任意 n 邊形的邊長組合下, 只要判斷較短的任 n-1 邊的和大於第 n 邊 (n 3), 就能圍成 n 邊形 (4) 習題二中 (3) (4) 兩題皆為學習重點之延伸習題, 教師可於三個活動進行完畢之後, 讓學童透過實際操作挑戰練習 教學參考資料 : 周筱亭等 ( 民 95) 國小數學教材分析 - 幾何 三峽 : 國家教育研究院 72

85 主題 2-2-1: 四邊形的分類與命名 四邊形的分類與命名 撰寫者 : 吳欣悅 授課對象 : 國小四年級學生先備知識 : 1. 已經認識長方形和正方形 2. 已經知道有四個邊和四個角的圖形就是四邊形 教學目標 : 1. 能知道四邊形中有四個直角的圖形稱為長方形 2. 能知道四邊形中四個邊等長的圖形, 稱為菱形 3. 能知道四邊形中四個邊等長, 而且有四個直角的圖形稱為正方形 4. 能知道四邊形中有兩組對邊互相平行的圖形稱為平行四邊形 5. 能知道四邊形中有一組對邊平行另一組對邊不平形的圖形, 稱為梯形 ; 一組對邊平行, 另一組不平行邊相等的圖形稱為等腰梯形 教學時間 教學時間 :40 分鐘 ( 一節課 ) 教學說明 : 1. 四邊形有四個邊及四個角, 因此可以透過四個邊是否都等長, 或四個角的角度是否都相等將四邊形分類 (1) 四個角都是直角的四邊形是長方形 73

86 第二章平面圖形 - 案例篇 (2) 四個邊都等長的四邊形是菱形 (3) 四個角都是直角且四個邊都等長的四邊形是正方形 2. 四邊形有兩組對邊, 因此也可以透過有幾組對邊平行將四邊形分類 (1) 有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形 (2) 只有一組對邊平行的四邊形是梯形 ; 不平行的對邊等長的梯形稱為等腰梯形 3. 因為對角線並不是四邊形的構成要素, 因此在國小階段, 不透過對角線的關係來命名四邊形 教具準備 : 各種不同四邊形的圖卡若干張 三角板 學習單 活動一 : 長方形 正方形與菱形的命名 活動目標 目標 :1. 能找出四個角都是直角的四邊形, 命名為長方形 活動流程 : 2. 能找出四個邊都等長的四邊形, 命名為 菱形 3. 能找出四個角都是直角, 且四個邊都等長的四邊形, 命名為 正方形 1. 教師請學童利用三角板的直角, 在如下的圖卡中, 找出四個角都是直角的四邊形 學童找出四邊形ㄅ ㄇ ㄈ ㄉ ㄊ ㄌ皆有 4 個直角, 將四個角都是直角的四邊形命名為長方形 74

87 四邊形的分類與命名 ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄌ ㄍ ㄎ ㄏ ㄐ 2. 教師再請學童利用直尺測量上述四邊形的邊長, 找出四個邊都等長的四邊形 學童找出四邊形ㄆ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄍ ㄎ的四條邊都等長, 將四個邊都等長的四邊形命名為菱形 3. 教師請學童在長方形及菱形中, 找出四個角都是直角且四個邊都等長的四邊形 學童找出四邊形ㄈ ㄉ ㄊ的四個角都是直角且四個邊都等長 將四個角都是直角且四個邊都等長的四邊形命名為正方形 活動二 : 平行四邊形 梯形與等腰梯形的命名 活動目標 活動目標 :(1) 能找出兩組對邊平行的四邊形, 命名為平行四邊 形 75

88 第二章平面圖形 - 案例篇 活動流程 : (2) 能找出只有一組對邊平行的四邊形, 命名為梯形 (3) 能自梯形中找出不平行的對邊等長的梯形, 命名為等腰梯形 1. 教師呈現另一組四邊形, 如下圖, 並復習如何用一組三角板檢驗對邊是否平行 A B C D E F G H I J K L M N 2. 請學童找出有兩組對邊平行的四邊形 學童找出四邊形 A E H I J K L 都有兩組對邊平行 76

89 四邊形的分類與命名 將有兩組對邊平行的四邊形命名為平行四邊形 3. 請學童找出只有一組對邊平行的四邊形 學童找出四邊形 B C D F G 只有一組對邊平行 將只有一組對邊平行的四邊形命名為梯形 4. 再請學童測量平行四邊形 A E H I J K L: (1) 找出四個角都是直角的平行四邊形 :I J, 幫助學生察覺長方形也是平行四邊形 (2) 找出四個邊都等長的平行四邊形 :J K L, 幫助學生察覺菱形也是平行四邊形 (3) 找出四個角都是直角, 且四個邊都等長的平行四邊形 : J, 幫助學生察覺正方形也是平行四邊形 5. 請學童在只有一組對邊平行的四邊形 B C D F G 中, 找出不平行的對邊等長的四邊形 學童找出梯形 B F 的不平行對邊等長 將不平行對邊等長的梯形命名為等腰梯形 77

90 第二章平面圖形 - 案例篇 指定作業 : 習題一 :( 配合活動一 ) (1) 下面有哪些左邊的說明內容符合右方的圖形? 在 ( ) 裡 填入它們的代號 : ㄅ : 四個角都是直角 ㄆ : 四個邊等長 ㄇ : 兩組對邊平行 ㄈ : 一組對邊平行 1 :( ) 2 :( ) 3 :( ) 4 :( ) (2) 將下面圖形的代號填在適合的圖形後面的括號中 ( 括號裡 填的每一個圖形代號須不重複 ): 5 :( ) ㄆㄅㄇㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄌ ㄍ ㄎ ㄏ 78

91 四邊形的分類與命名 1 長方形 :( ) 2 正方形 :( ) 3 平行四邊形 :( ) 4 菱形 :( ) 5 梯形 :( ) 指定作業參考解答 : 習題一 : (5) 1ㄅ ㄇ2ㄅ ㄆ ㄇ3ㄆ ㄇ4ㄇ5ㄈ (6) 1ㄅ ㄆ2ㄇ ㄋ3ㄊ ㄌ4ㄈ5ㄉ ㄍ ㄎ ㄏ 教學注意事項 : 1. 教師於教學時, 請勿討論圖形之間的包含關係 2. 活動一, 學童只需要知道四個角都是直角的四邊形是長方形 ; 四個邊都等長的四邊形是菱形 ; 四個角都是直角且四個邊都等長的四邊形是正方形, 不必強調正方形包含於長方形與正方形包含於菱形 3. 活動二, 學童只需要知道有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形, 不必強調正方形 長方形與菱形包含於平行四邊形 4. 教師不宜透過 有一組對邊平行的四邊形稱為梯形 的方式命名梯形, 因為另一組對邊的情形如果不說明, 另一組對邊的情形也有可能是平行, 就會與平行四邊形的定義有所混淆, 所以 79

92 第二章平面圖形 - 案例篇 應透過 一組對邊平行, 另一組對邊不平行 的方式命名梯形 教學參考資料 : 周筱亭等 ( 民 95) 國小數學教材分析 - 幾何 三峽 : 國家教育研究院 80

93 主題 2-3-3: 正多邊形 正多邊形 撰寫者 : 吳欣悅 授課對象 : 國小五年級學生先備知識 : 1. 已認識長方形 正方形 菱形 平行四邊形 梯形等四邊形 2. 已認識正三角形 等腰三角形等三角形 教學目標 : 1. 能知道由直線段所圍成的封閉圖形稱為多邊形 2. 能知道一個多邊形的每個邊都一樣長且每個角都一樣大時, 稱為正多邊形 教學時間 教學時間 :40 分鐘 ( 一節課 ) 教學說明 : 1. 在 n(n>3) 多邊形中, 等邊多邊形不一定是等角多邊形, 等角多邊形也不一定是等邊多邊形, 必須同時符合等邊及等角, 才能稱作正多邊形 2. 在 n(n=3) 多邊形中, 等邊三角形一定是等角三角形, 等角三角形也一定是等邊三角形, 所以等邊三角形 等角三角形都是正三角形 81

94 第二章平面圖形 - 案例篇 教具準備 : 量角器 多邊形學習單 活動一 : 分辨正多邊形 活動目標 活動目標 :1. 能從各種圖形中分辨出多邊形 活動流程 : 2. 能判斷正多邊形 1. 請學童判斷, 下面哪一個圖形是多邊形 ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄌ ㄍ ㄎ ㄏ ㄐ ㄑ 多邊形 :( ㄅ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄌ ㄍ ㄏ ㄐ ㄑ ) 不是多邊形 :( ㄆ ㄇ ㄎ ) 教師與學童討論分類的依據是什麼? 引導學童回答, 因為多邊形的邊長必須都是線段, ㄆ ㄇ ㄎ的邊有些是線段, 有些不是線段, 所以ㄆ ㄇ ㄎ不是多邊形 2. 多邊形 ( ㄅ ㄈ ㄉ ㄊ ㄋ ㄌ ㄍ ㄏ ㄐ ㄑ ) 如果依照邊的個數來區分, 可以分成哪些圖形? 82

95 正多邊形 學童可以區分成三角形 ( ㄈ ) 四邊形 ( ㄅ ㄋ ㄌ ㄍ ㄑ ) 五邊形 ( ㄊ ㄐ ) 六邊形 ( ㄉ ㄏ ) 3. 讓學童將下面多邊形分類 A B C D E F G H I J K L M N (1) 從測量多邊形的角度判斷 : 學童運用量角器測量圖形的角度, 可以發現 A B C E F H I K L 這幾個圖形的角度都各自相等 教師向學童說明 : 這樣的圖形我們稱作等角多邊形 (2) 學童從測量多邊形的邊長判斷 : 學童再測量圖形的邊長, 可以發現 B C E F I K N 這幾個圖形的邊長都各自相等 83

96 第二章平面圖形 - 案例篇 教師向學童說明 : 這樣的圖形我們稱作等邊多邊形 (3) 請學童觀察等角多邊形和等邊多邊形的異同, 可以發現 B C E F I K 邊長相等和角度也相等, 我們稱這樣的圖形叫做正多邊形 3. 讓學童觀察三角形 B F G B F G 三角形 B F 為正三角形, 它們各自的三個邊長相等 三個角 度也相等 4. 讓學童觀察四邊形 A D E K L N A D E K L N 四邊形 A E K L 為等角四邊形 ; 四邊形 E K N 為等邊四 邊形, 四邊形 E K 的 4 個邊長與四個角皆相等, 所以只有 E K 為正四邊形 84

97 正多邊形 5. 學童觀察五邊形 C H M C H M 五邊形 C H 為等角五邊形 ; 五邊形 C 為等邊五邊形, 五邊形 C 的 5 個邊長與 5 個角皆相等, 所以只有五邊形 C 是正五邊形 6. 學童觀察六邊形 I J I J 六邊形 I J 為等角六邊形 ; 六邊形 I 為等邊六邊形, 六邊形 I 的 6 個邊長與 6 個角皆相等, 所以只有六邊形 I 是正六邊形 7. 因此學童從以上的觀察與說明可以發現 : (1) 等角多邊形不一定是等邊多邊形 ; 等邊多邊形也不一定是等角多邊形, 只有在等角且等邊時才是正多邊形 (2) 但是正三角形只要符合邊長相等或角度相等中之一個條件時, 即可以稱之為正三角形 教學說明 : 1. 教師在進行多邊形的分類活動中, 可以先讓學童分組討論, 依照討論出之分類方式再進行分類 85

98 第二章平面圖形 - 案例篇 指定作業 : 習題一 :( 配合活動一 ) (1) 分辨下列圖形並回答 1 哪些是正三角形?( ) 甲 乙 丙 丁 2 哪一個是正四邊形?( ) A B C D 3 哪一個是正五邊形?( ) ㄆ ㄇ 4 哪一個是正六邊形?( )

99 (2) 那些是等角多邊形?( ) 正多邊形 甲乙丙丁 指定作業參考解答 : 習題一 : (7) 1 乙 丙 2D3ㄅ42 (8) 乙 丙 丁 教學參考資料 : 周筱亭等 ( 民 95) 國小數學教材分析 - 幾何 三峽 : 國家教育研究院 87

100 第二章平面圖形 - 案例篇 主題 2-4: 圓 撰寫者 : 房昔梅 主題 2-4-2: 圓周率授課對象 : 國小六年級學生先備知識 : 知道圓心 圓周 直徑和半徑等名詞及其意義 教學目標 : 1. 透過操作, 引導學生認識圓周率大約是 透過操作, 引導學生認識圓周率大約是 教學時間 教學時間 :40 分鐘 ( 一節課 ) 教學說明 : 1. 由於較小的圓形物品在實測時容易造成較大的誤差, 因此, 建議教師請學生準備直徑 20 公分以上的圓形物品為宜 同時應避免飛盤或非平面的鍋蓋 ; 以及質地不夠硬, 容易變形的圓形物品, 例如 : 外帶餐碗的蓋子 2. 如果學生準備的圓形物品在外觀上並無明顯的圓心, 建議教師先與學生討論 如何找出圓的直徑長, 例如 : 以繩子找出圓內最長的距離, 或將圓形描在紙上, 剪下後對摺 等等, 討論後再進行實測 3. 本單元的活動重點並不在於小數的除法計算, 因此在活動中應允許學生使用電算器輔助計算圓周率至小數第三位, 再四捨五 88

101 圓 入至小數第二位 教具準備 : (1) 棉繩 ( 一綑 ) (2)1 公尺長的尺 ( 每組一份, 直尺 皮尺或布尺皆可 ) (3) 全開書面紙 ( 二張 ) (4) 剪刀 ( 每組一把 ) (5) 大型的實心 硬質平面圓形物品 ( 每組 2 到 3 件 ) 活動一 : 認識圓周率 ( 方法一 ) 活動目標 : 透過實測, 引導學生認識圓周長大約是直徑長的 3.14 活動流程 : 倍 1. 教師發給每組學生長約 2 公尺的棉繩一條, 長 1 公尺的直尺一把 ( 或皮尺 布尺皆可 ) 請每組學生拿出課前準備的圓形物品, 以棉繩複製圓周的長度, 並剪下 2. 教師提問 : 該如何作出這個圓的直徑?( 由於學生帶來的圓形物品多半沒有明顯的圓心, 例如 : 喜餅盒蓋, 平面鍋蓋 圓形時鐘 等等 ), 因此, 教師需引導學生思考尋找直徑的方法 學生可能會回答 : 可將大型圓形物品描繪在紙上, 剪下後對摺, 就可以找出直徑長 ; 或用棉繩直接找出圓內最長的弦, 複製後 89

102 第二章平面圖形 - 案例篇 再測量長度 3. 教師請各組學生記下測量所得的圓周及直徑長度, 用電算器計算結果至小數第三位, 再四捨五入至小數第二位 活動二 : 認識圓周率 活動目標 : 認識圓周率 ( 方法二 ) 透過實測, 引導學生認識圓周長大約是直徑長的 倍 活動流程 : 1. 教師發給每組學生長約 2 公尺的棉繩一條, 請每組學生拿出圓形物品, 依活動一的方式作出圓周長和直徑長, 並剪下 2. 請各組學生持複製圓周和直徑的棉繩, 依下列步驟進行 : 步驟一 將與圓周等長的棉繩貼在黑板上 圓周步驟二 學生手持與直徑等長的棉繩比對代表圓周長的棉繩, 並逐次作上記號, 如下圖 可以發現, 以直徑長比對三次之後, 圓周長還多出一小段 步驟三 將直徑長貼在黑板上, 並剪下比三倍直徑還多的那一小段, 用以比對等長於直徑的棉繩, 並逐次作出記號, 90

103 圓 如右圖 3. 教師作成結論 : 直徑 圓周 依據以上的操作結果 : 以直徑長為單位, 比對圓周長三次後, 再 以剩餘的小段棉繩長為單位, 大約可以比對直徑 7 次到 8 次 ; 代 表圓周長大約是直徑長的 到 倍左右 4. 教師發給每位學生一篇共讀資料 : 圓周率的意義, 並歸納本單元教學重點 : (1) 所有的圓, 圓周長比直徑長的比值, 稱為圓周率 (2) 常用的圓周率表示法有 3.14 和 二種 (3) 通常會把圓周率記成 π, 為了計算方便, 常選用 3.14 或 3 1 代表圓周率 7 指定作業 : 習題一 ( 配合活動一 ) 在家中找出三件直徑長大於 20 公分的圓形物品, 分別複製出圓周長和直徑長, 並量出長度後, 填寫在下表 91

104 第二章平面圖形 - 案例篇 物品名稱圓周長直徑長圓周率 ( 小數第二位 ) 習題二 ( 配合活動二 ) 將上題的物品, 以活動二的方式, 比對出圓周率是多少? 物品名稱圓周長直徑長圓周率 ( 分數 ) 教學注意事項 : 1. 本單元活動以 實測 為主, 使用的測量工具會影響實測的準確性, 因此教師在要求學生準備實測的圓形物品時, 應強調 直徑長大於 20 公分的圓形物品, 且質硬, 不易變形為宜 2. 教師提供學生作出圓周和直徑的長度的工具, 以棉線為宜, 市面上的尼龍繩過粗, 且易分叉, 容易造成較大的誤差, 影響測量的結果 ; 一般縫衣服的縫線又太細, 容易斷且觀察不易, 因此建 92

105 圓 議使用棉線為宜 教學參考資料 : 周筱亭等 ( 民 95) 國小數學教材分析- 幾何 三峽 : 國家教育研究院 共讀資料 : 圓周率的意義 世界的文明古國中, 有許多關於圓周率的研究 : 埃及在西元前 400 年就推算出圓周率等於 3 ; 希臘的歐基里德在西元前 200 年推算出圓周率為 ; 而在西元前 100 年, 中國的古書 周髀算經 中則記載著 周三徑一 魏晉時 ( 大約西元 263 年 ), 數學家劉徽在圓的內部作出正多邊形後發現 : 圓內接正多邊形的邊數不斷增加時, 多邊形的周長會越來越接近圓周長, 而多邊形的面積也會越來越接近圓面積 於是, 他從正六邊形開始, 逐步把邊數加倍 : 正十二邊形 正二十四邊形, 正四十八邊形, 一直到正三 0 七二邊形, 再比較周長與直徑的關係, 算出圓周率等於三點一四一六 劉徽把這個方法叫做 割圓術 93

106 第二章平面圖形 - 案例篇 五代時的數學家祖沖之在劉徽研究的基礎上進一步發展, 經過 漫長且煩瑣的計算, 一直算到圓內接正二四五七六邊形, 而得到一個結論 : 圓周率的值介於 和 之間 ; 同時, 他還找到了圓周率 的比較粗略的數值 22 7 與比較精密的數值 , 一般人通常都採用 22 7, 在 需要更精確的計算時才會用到 這些研究結果, 領先了西方的數學家 一千多年 現在電腦發達, 可以在很短的時間之內, 就求出圓周率小數點後面幾 千 幾萬個位數 ; 但是, 古人追求科學真理的熱情與毅力, 更值得我們敬 佩與學習! 94

107 第三章 : 平面圖形的關係 垂直與平行 撰寫者 : 謝堅 主題 3-1: 垂直與平行 3-1-1: 兩直線的關係認知及數學結構 : ( 一 ) 水平線與鉛垂線部份學童混淆 水平線 和 平行線, 以及 鉛垂線 和 垂直線 的意義, 誤認為 水平線 就是 平行線, 鉛垂線 就是 垂直線 水平線和鉛垂線是日常生活中自然存在的一條直線, 而平行線和垂直線是描述兩條直線間的關係 水平線是伴隨著水平面出現的一條虛擬直線, 將一杯水平放在桌面上, 水面會是水平面, 當我們將注意力放在水平面上的邊時, 就能觀察到水平線的現象, 將一杯水傾斜放置後, 更能感覺到水平面及水平線和地面平行的現象 日常生活中到處都存在鉛垂線, 垂吊的燈飾, 懸掛燈籠的繩子等都是鉛垂線, 我們也可以製作出鉛垂線, 將繩子綁上石頭, 自然垂下的繩子就是鉛垂線 在同一個地區, 水平線和鉛垂線會互相垂直 民國 82 年頒布的課程標準, 以及民國 92 年頒布的課程綱要中, 都將水平線及鉛垂線列入國小的教材, 他們認為認識水平線及鉛垂線很重要, 因為日常生活中經常會利用水平線或鉛垂線來 95

108 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 解決問題 以台東水上流的觀光景點為例, 水不可能往上流, 我們看到水往上流是受到周遭地形地物的影響, 如果拿出一杯水找出水平面及水平線, 或將繩子綁上石頭製作出鉛垂線, 就能找到該地和水平面所夾的角度, 破解水往上流視覺上的假像 ( 二 ) 兩直線的關係有很多將平面上兩直線分類的方法, 例如以兩直線交點的個數來分類, 可以將兩直線區分為交點個數是 0 個 ( 兩直線互相平行 ) 交點個數是 1 個, 以及交點個數是無限多個 ( 兩直線重合 ) 三類 ; 以是否平行來分類, 可以區分為兩直線互相平行和兩直線不互相平行兩類, 數學上常將重合的兩直線視為互相平行的兩直線 ; 以是否垂直來分類, 可以區分為兩線互相垂直和兩線不互相垂直兩類, 重合的兩直線不互相垂直 我們可以將日常生活中經常見到兩直線的關係區分為下列四類, 第一類是兩直線重合 ; 第二類是兩直線互相平行 ( 沒有交點 ); 第三類是兩直線互相垂直 ( 兩直線相交, 且有一個夾角是直角 ); 第四類是兩直線相交, 但夾角不是直角 其中兩直線互相平行及兩直線互相垂直是國小階段教學的重點 96

109 3-1-2: 垂直 垂直與平行 認知及數學結構 : ( 一 ) 直角 垂直垂直 90 度直角是某種角的名字 ; 垂直是兩條直線的關係, 兩條直線如果相交, 而且有一個夾角是直角, 我們稱這兩條直線互相垂直 ; 而 90 度是測量直角所得到的角度 直角的名稱得自水平方向與鉛垂方向所形成的現象, 這種現象在生活周遭隨處可見 透過溝通, 學前學童很容易在一堆直角與非直角的圖形中找出直角, 當教材開始溝通圖形構成要素時, 就能夠引入直角的概念及名詞 筆者常詢問教師 直角 垂直 90 度 這三個概念的教學順序為何, 相當比例的教師無法正確回答 國小階段先引入直角的概念, 並利用三角板等工具來檢驗某個角是否為直角 ; 有了直角的概念後, 只要引入垂直的定義, 學童就能透過夾角是否為直角來檢驗兩直線是否互相垂直 ; 只要引入角度的測量單位 度 以及量角器, 學童就會知道直角的角度是 90 度 至於 90 度和垂直, 前者是量與實測的教材, 後者是幾何的教材, 都不是彼此的先備知識, 誰先引入 誰後引入都沒有關係 97

110 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 ( 二 ) 垂直的定義垂直是兩相異直線間的一種關係, 平面上, 相異兩直線不相交, 則稱兩直線互相平行 ; 若相交, 且交角中有一個角為直角 ( 其餘三個角也必定是直角 ), 稱這兩條直線互相垂直 當學童能掌握甲 乙兩條直線互相垂直的意義後, 才能夠理解甲線垂直於乙線, 以及乙線垂直於甲線的意義, 並解決畫出過線外一點, 且和已知線垂直的直線的問題 ( 三 ) 垂直教學注意事項 : (1) 垂直的情境如 圖一, 平面上存在三種垂直的情境, 第一種情境只存在 1 個直角 ( 圖一 左邊的圖形); 第二種情境存在 2 個直角 ( 圖一 中間的圖形 ), 第三種情境存在 4 個直角 ( 圖一 右邊的圖形 ), 這三種情境都滿足兩直線互相垂直的關係 圖一 98

111 垂直與平行 這三種情境經常隱藏在幾何圖形中, 如 圖二 中, 同時存在這三種情境, 建議教師在教學時, 這三種情境都要溝通, 不能只討論其中一種情境 圖二 (2) 沒有交點的兩線是否互相垂直? 圖三 圖三 左邊和右邊分別呈現兩條沒有交點的線段, 教師們常爭議這兩條線段是否互相垂直, 下面提出一些說明 數學上討論平行線與垂直線時, 討論的對象都是直線, 只要將 圖三 中的線段延長為直線後, 一定會相交, 如果有一個交角是直角, 就稱這兩條直線互相垂直, 如果交角不是直角, 就稱這兩條 99

112 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 直線不互相垂直 國小階段並沒有區分線段和直線, 教材中呈現的都是線段, 並稱線段為直線或線 建議教師回到垂直的定義來討論這兩條直線是否垂直, 如果判斷兩直線垂直的定義是兩直線相交, 且有一個交角是直角, 上圖中的兩直線並不垂直, 因為這兩直線沒有交角是直角, 不滿足兩直線垂直的定義 教師教學時, 可以出現上圖中的問題, 並討論這兩條線段是否互相垂直, 不論討論的結果是互相垂直或不垂直, 只要合理都可以接受 但是, 除了自己任課的班級外, 在其它較大範圍的評量, 例如全校或全縣市的評量時, 都不宜出現此類問題 (3) 正方體中的 AB 邊和 CD 邊是否互相垂直? A B C D 圖四 很多教師認為 圖四 中 AB 和 CD 兩線互相垂直, 理由是高中 課本有出現這類問題, 答案是兩線互相垂直 國小階段討論垂直時, 討論的對象是兩條給定的線段 ( 特例 ), 圖四 中 AB 和 CD 這 100

113 垂直與平行 兩條直線並沒有相交, 所以沒有交角是直角, 回到垂直的定義, AB 和 CD 兩線不垂直 高中階段兩線垂直的定義和國小相同, 差別是高中階段討論垂直時, 討論的對象是兩類直線 ( 等價類 ), 我們可以製定一個三維的直角坐標, 將 AB 線段的 A 點平移至原點,CD 線段的 C 點也平移至原點, 平移後的 AB 和 CD 線段相交於原點, 且有一個交角是直角, 所以高中課本稱 AB 和 CD 兩線互相垂直 建議教師在評量時, 不宜出現此類問題, 避免引起爭議 101

114 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 3-1-3: 平行認知及數學結構 : ( 一 ) 平行的定義直觀的看, 兩平行線有下面 A 至 E 的性質, 這些性質都是等價的關係, 可以任意選擇其中一個當作平行線的定義, 教師們想想看, 國小階段, 選用哪一種當做平行線的定義比較恰當, 國中階段, 是否要重新引入不同的平行線定義 A: 永不相交的兩直線 B: 距離處處相等的兩直線 C: 內錯角 ( 同位角 ) 相等的兩直線 D: 同時垂直於另一條直線的兩直線 E: 透過旋轉, 可以轉換成水平線 ( 或鉛垂線 ) 的兩條直線 部份教師認為選用 永不相交的兩直線 來描述平行線最貼切, 因此告訴學童 如果兩條直線永遠不會相交於一點, 這兩條直線就是平行線, 這種想法是不切實際的, 因為我們無法檢驗兩條直線是否永遠不會相交於一點 建議選用 同時垂直於另一條直線的兩直線互相平行 當作平行線的定義, 因為學童可以利用直尺或三角板來檢驗, 而且國中階段很容易延伸此定義, 推導出 同位角相等 內錯角相等或同側內角互補, 則兩線平行 的定理 102

115 垂直與平行 部份教師選用 距離處處相等的兩直線互相平行 當做平行線的定義, 這種選法並不恰當, 理由是國小階段只引入兩點距離的定義, 雖然在求平行四邊形 三角形 梯形面積時, 引入了高, 但是並沒有引入點到線距離的定義, 沒有點到線距離的定義及平行線的定義, 無法引入兩平行線距離的意義 當學童掌握四邊形內角和是 360 度, 就能以 同時垂直於另一條直線的兩直線互相平行 為基礎, 推導出 兩平行線的同位角相等 ( 內錯角相等或同側內角互補 ), 也能推導出 同位角相等 ( 內錯角相等或同側內角互補 ), 則兩線平行 的定理 L a 3 L1 b L2 圖五 下面透過 圖五, 簡單說明當兩線互相平行時, 其同位角相等 ( 內錯角相等或同側內角互補 ): 已知 L1 與 L2 互相平行, 可以得到 a= b=90 度 103

116 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 四邊形內角和 360 度, 可以得到 3+ 4= 度 =180 度, 推出同側內角互補的結果 3+ 4= 1+ 4=180( 度 ), 可以得到 1= 3, 推出同位角相等的結果 2+ 4= 3+ 4=180( 度 ), 可以得到 2= 3, 推出內錯角相等的結果 國小階段選擇 同時垂直於一直線的兩直線互相平行 當作平行線的定義, 國中階段並不需要改變平行線的定義, 可以延伸國小平行線的定義, 推導出 同位角相等 ( 內錯角相等或同側內角互補 ), 則兩線平行 的定理, 讓學生更容易判斷兩線是否為平行線 國中與國小討論的都是給定兩條直線是否平行的關係 高中階段開始引入斜率的概念, 將所有互相平行的直線都用相同的斜率來表示 可以透過兩點 (x1 y1) 及 (x2 y2) 連成一條直線的關係來定義斜率, 斜率 m= y2-y1, 也可以透過直線與 x 軸正 x2-x1 向的夾角 θ 來定義斜率, 斜率 m=tanθ 例如過 A(0 0) 與 B(1 1),C(-1 0) 與 D(0 1),E(1 0) 與 F(0-1) 等相異直線 AB CD EF 都兩兩互相平行, 這些直線與 x 軸正向的夾角都是 45 度, 可以利用 m=tan45 =1 求出它們 的斜率都是 1, 也可以利用斜率 m= y2-y1 x2-x1 算出它們的斜率都是 104

117 垂直與平行 1, 斜率 m=1 是等價類, 所有與 x 軸正向夾角是 45 度直線的斜 率都是 1, 圖六 中所有直線的斜率都是 1 圖六 有了斜率的定義後, 就能發展出判斷兩線平行 (m1=m2, 則 L1 平行 L2), 以及判斷兩線垂直 (m1 m2=-1, 則 L1 垂直 L2) 的公式 ( 二 ) 檢驗或畫平行線學童必須先學會利用三角板檢驗 L M 兩線是否為平行線的方法, 才能解決給定一線 L 及線外一點 P, 畫出過 P 點且與 L 平行的直線的問題 (1) 用兩個三角板來檢查兩線是否平行 : 以判斷 L M 兩線是否平行為例, 如 圖七, 可以先將兩個三角 板的邊和 L 線重合, 而且這兩個三角板的直角邊也重合, 其中的一 個三角板不動, 另一個三角板往 M 線移動, 如果另一個三角板的邊 105

118 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 和 M 線也重合,L 和 M 兩線就互相平行 向上移 M L 圖七 (2) 給定一線 L 及線外一點 P, 畫出過 P 且平行 L 的直線 M: 學童有用兩個三角板來檢查兩線是否平行的經驗後, 教師可 以給定一直線 L 及線外一點 P, 要求學童利用兩個三角板, 仿 前面的方式, 畫出過線外 P 點的平行線 M 106

119 主題 3-2: 全等 對稱與相似 全等 對稱與相似 3-2-1: 全等圖形認知及數學結構 : ( 一 ) 全等的圖形 幾何圖形的基本變換包括平移 旋轉與翻轉 ( 鏡射 ) 在平 面上, 將物件延某一固定方向移動到另一位置的現象稱為平移 ; 在平面上, 固定一個點, 將圖形依順時針或逆時針方向旋轉, 使圖形產生位移的現象稱為旋轉 ; 在平面上將圖形翻轉 180 度, 使圖形產生位移, 此時圖形並沒有改變, 而圖形由正面轉為 反面稱為翻轉 ( 鏡射 ) 全等是兩個圖形間的一種關係, 數學上常將這兩個圖形上的 圖案排除, 使之單純化成為抽象的幾何圖形, 如果一個圖形經過 平移 旋轉或翻轉 ( 鏡射 ) 運動後, 能與另一個圖形處處密合, 數 學上稱這兩個圖形全等, 全等圖形的形狀一樣, 而且面積大小也 相等 下面以 圖八 左邊 中間及右邊的圖形為例, 概略說明如何 幫助學童透過平移 旋轉與翻轉來判斷兩圖形是否全等 在 圖八 107

120 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 左邊的圖形中, 學童只要將左邊的圖形平移至右邊, 就能透過疊合的方式知道這兩個圖形全等 ; 在 圖八 中間的圖形中, 學童必須先將左邊的圖形平移至右邊, 再將左邊的圖形順時針旋轉 90 度, 或逆時針旋轉 270 度, 才能透過疊合的方式知道這兩個圖形全等 ; 在 圖八 右邊的圖形中, 學童將左邊的圖形平移至右邊, 不論如何旋轉, 這兩個圖形都無法完全疊合, 必須將左邊的圖形翻轉, 才能透過疊合的方式知道這兩個圖形全等 圖八 ( 二 ) 全等圖形與圖形形狀的保留概念部份教師混淆全等圖形與圖形形狀保留概念的意義, 誤認為將一個圖形平移 旋轉或翻轉後圖形不變是全等的概念, 將一個圖形平移 旋轉或翻轉後圖形不變是圖形形狀的保留概念, 而全等是兩個圖形間的等價關係 學童必須掌握圖形形狀的保留概念, 知道一個圖形經過平移 旋轉或翻轉之後形狀不會改變, 才能透過直接比較判斷甲圖形和乙圖形是否完全疊合, 如果甲圖形和乙圖形完全疊合, 稱甲 乙兩圖形全等, 如果甲圖形和乙圖形經過平移 旋轉或翻轉後都無法完全疊合, 稱甲 乙兩圖形不全等 108

121 全等 對稱與相似 當學童掌握兩圖形全等的意義後, 才能討論全等圖形是否滿足反身性 對稱性及遞移性 甲圖形和甲圖形全等, 所以全等關係滿足反身性 ; 甲圖形和乙圖形全等, 乙圖形也會和甲圖形全等, 所以全等關係滿足對稱性, 甲圖形和乙圖形全等, 乙圖形和丙圖形全等, 則甲圖形和丙圖形全等, 所以全等關係滿足遞移性 請注意, 教學重點是圖形形狀保留概念時, 教師提問的重點是 圖形甲經過平移 旋轉或翻轉之後, 形狀和大小是否相同, 教學的重點是全等關係時, 教師提問的重點是 圖形甲經過平移 旋轉或翻轉之後, 和圖形乙是否完全疊合 上面所提全等關係滿足反身性 對稱性及遞移性, 都不是國小階段教學及評量的重點 ( 三 ) 全等圖形的迷思概念部份教師並沒有掌握全等是兩個圖形間關係的意義, 在命題或教學時, 誤以為全等是某類圖形的性質, 下面以問題甲及問題乙為例, 幫助教師澄清全等是兩個圖形間關係的意義 問題甲 : 一張紙的邊長 AB 是 100 公分, 如果將其邊長影印縮小為 80% 後, 再放大為 120%, 則 AB 較原來的邊長增 ( 減 ) 多少公分? 109

122 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 大多數教師或學童的算法是如下 : %=80( 縮小 80% 後變成 80 公分 ), %=96( 放大 120% 後變成 96 公分 ), =4, 得到比原來邊長減少 4 公分的答案 減少 4 公分 不是正確的答案, 正確的答案是 減少 0 公分 題目甲問的是 AB 較原來的邊長增 ( 減 ) 多少公分, 而原來這張紙的邊長就是 AB, AB 和 AB 是相同的長度, 所以正確的答案是 減少 0 公分 問題甲的命題者可能沒有掌握數學上 關係 的意義, 放大與縮小是兩個圖形間的關係, 在描述放大 ( 縮小 ) 的關係時, 必須同時描述放大 ( 縮小 ) 前以及放大 ( 縮小 ) 後兩個圖形, 因此問題甲正確的描述方式如下 : 一張紙的邊長 AB 是 100 公分, 如果將 AB 影印縮小為 80% 變成 CD 後, 再將 CD 放大為 120% 變成 EF, 則 EF 較原來的邊長 AB 增 ( 減 ) 多少公分? 問題乙 : ABC 中, A=35, B=20, 將該三角形放大 2 倍後, C=? 教師和學童們可能都誤認為問題乙的評量重點是相似三角形對應角相等的概念, 其實, 問題乙的評量重點只是三角形內角和是 180 的概念 110

123 全等 對稱與相似 問題乙中並沒有描述放大 2 倍後新三角形的名稱, C 是原三角形 ABC 的內角, 不是新三角形所對應的角, 因此, 問題乙的原意是 ABC 中, A=35, B=20, C=?, 將該三角形放大 2 倍 只是題目中多餘的資訊 如果評量重點是相似三角形對應角相等的概念, 正確的描述方式是 ABC 中, A=35, B=20, 將 ABC 放大 2 倍後變成 DEF, 請問 F=? 111

124 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 3-2-2: 線對稱圖形認知及數學結構 : ( 一 ) 線對稱教學的迷失概念 (1) 判斷圖形對稱或圖形上圖像對稱的迷思以判斷等腰三角形是否為線對稱圖形問題為例, 圖九 呈現三種布置等腰三角形圖形的方式 : 第一種 : 如 圖九 左邊的圖形, 給定一個等腰三角形的圖卡 第二種 : 如 圖九 中間的圖形, 給定一張正方形紙張, 將等腰三角形畫在給定正方形紙張的正中央 第三種 : 如 圖九 右邊的圖形, 給定一張正方形紙張, 將等腰三角形畫在給定正方形紙張的一邊, 另一邊可能還有其它的圖形 圖九 下面分別說明這三種布置等腰三角形圖形的差異 第一種 : 對折的對象一定是這個等腰三角形的圖卡, 學童可以透過對折後有兩邊圖形完全疊合的現象, 判斷該等腰三角 112

125 全等 對稱與相似 形是對稱圖形 第二種 : 對折的對象可能是等腰三角形 ( 略過正方形 ); 對折的對像也可能是正方形, 並將等腰三角形視為正方形紙張中的圖像 因為正方形和等腰三角形都是線對稱圖形, 對折後正方形折線兩邊的圖形會完全疊合, 等腰三角形折線兩邊的圖像也會完全疊合, 因此對折對像是正方形或等腰三角形的學童都會回答給定的圖形是對稱圖形 第三種 : 對折的對像可能是等腰三角形 ( 略過正方形 ); 對折的對像可也可能是正方形, 並將等腰三角形視為正方形中的圖像 對折對像是等腰三角形學童, 會回答給定的圖形是對稱圖形 ; 對折對像是正方形的學童, 會因為正方形中等腰三角形的圖像不會重合, 回答給定的圖形不是對稱圖形建議教師先用第一種方式來布題, 在與學生溝通評量對象是畫在紙上的等腰三角形後, 才能用第二種及第三種方式來布題 113

126 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 (2) 畫對稱圖形的迷思國中 小線對稱圖形的教材中, 都出現給定一條對稱軸及對稱軸某一邊的圖形, 要求學童畫出另一邊圖形的問題, 如 圖十,L 是對稱軸, 對稱軸左邊是給定的圖形, 要求學童畫出對稱軸右 邊的圖形 L 圖十 教師們常出現下列兩種不同解讀題意的方法, 想想看, 國小階段, 哪一種解讀題意的方法是合理的 第一種 : 將左邊的圖形視為圖形甲, 要求學童畫出圖形甲對 L 的對稱圖形乙 第二種 : 將全部的圖形視為一個線對稱圖形, 左邊的圖形只是對稱圖形的一部份, 要求學童畫出完整的線對稱圖形 很多教師混淆 畫出圖形甲對 L 的對稱圖形 與 判斷圖形甲是否為線對稱圖形 的意義, 誤以為 畫出圖形甲對 L 的對稱圖形 是對稱圖形的教學重點 下面分別說明 畫出圖形甲對 L 114

127 全等 對稱與相似 的對稱圖形 與 判斷圖形甲是否為線對稱圖形 的意義 1. 畫出圖形甲對對稱軸 L 的對稱圖形 : 數學上先定義 P 點對 L 的對稱點, 再透過圖形是點所成集合的概念, 定義圖形甲對 L 的對稱圖形乙, 下面說明如何畫出圖形甲對 L 的對稱圖形 給定一個 P 點和一條對稱軸 L,P 點不在對稱軸 L 上, 由 P 點往 L 作垂線, 垂足為 M, 延長 PM 至 Q 點, 使得 PM=MQ, 數學上稱 Q 點為 P 點對 L 的對稱點, 也稱 P Q 兩點對稱於 L 延伸上面的定義, 如果 R 點在對稱軸 L 上,R 點對 L 的對稱點還是 R 當我們在紙上操作時, 也可以透過以對稱軸為折痕的對折方式, 找到 P 點對 L 的對稱點 Q, 例如在 P 點上沾一點墨汁, 對折後就可以做出對稱點 Q 給定一個圖形甲和一條對稱軸 L, 圖形甲上每一個點對 L 對稱點所成的集合為圖形乙, 數學上稱圖形乙為圖形甲對 L 的對稱圖形, 也稱圖形甲及圖形乙對稱於 L 圖十一 中右邊的圖形乙都是左邊圖形甲對 L 的對稱圖形, 左邊的圖形甲也都是右邊圖形乙對 L 的對稱圖形, 也可以稱圖形甲和圖形乙對稱於 L 115

128 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 甲 乙 L 圖十一 2. 判斷圖形甲是否為線對稱圖形 : 已知一個圖形甲和一條對稱軸 L, 當我們畫出圖形甲對 L 的對稱圖形時, 發現圖形甲圖對 L 的對稱圖形也是圖形甲, 此時, 數學上稱圖形甲是一個線對稱圖形 如 圖十二, 以等腰三角形底邊的中線為對稱軸時, 等腰三角形對 L 的對稱圖形還是自己, 我們稱該等腰三角形為線對稱圖形 換句話說, 如果某個圖形是線對稱圖形, 一定可以找出一條對稱軸 L, 讓該圖形對 L 的對稱圖形就是原圖形 圖十二 116

129 全等 對稱與相似 也可以透過操作的方式, 幫助學童判斷某一個圖形是否為線對稱圖形, 學童將圖形對折, 如果對折後折線兩邊的圖形完全重合, 就表示該圖形對折痕的對稱圖形就是自己, 所以該圖形就是線對稱圖形, 而折痕就是線對稱圖形的對稱軸 3. 對應點 對應邊對應邊 對應角對應角 A D P B 甲 乙 C E Q R F L L 圖十三 圖十三 左邊的圖形中, 左邊的三角形甲對對稱軸 L 的對稱圖形是三角形乙, 三角形乙對對稱軸 L 的對稱圖形是三角形甲, 也就是說, 三角形甲和三角形乙對稱於 L 圖十三 右邊的圖形中, 等腰三角形對對稱軸 L 的對稱圖形是自己, 所以圖中的等腰三角形是一個線對稱圖形 圖十三 左邊和右邊的圖形中, 都會討論到對應點 對應邊與對應角的關係, 教師們在教學時應注意他們的差異 圖十三 117

130 第三章平面圖形的關係 - 理念篇 左邊圖形中討論的是甲 乙兩個對應圖形間的關係, 圖十三 右邊的圖形中討論的是等腰三角形本身的對應關係, 分別說明如下 : 圖十三 左邊的圖形中先給定 ABC, 再畫出 ABC 對 L 的對稱圖形, 在畫對稱圖形時, 我們會先畫出 A B C 對 L 的對應點 D F E, 再分別連接這三個點, 就可以畫出 ABC 對 L 的對稱圖形 DEF ABC 和 DEF 對稱於 L, 可以討論 ABC 和 DEF 兩圖形間的對應關係, 例如 ABC 中頂 A 點對 L 的對應點是 DEF 中的頂點 D, ABC 中 AB 邊對 L 的對應邊是 DEF 中的 DF 邊, ABC 中 B 對 L 的對應角是 DEF 中的 F 圖十三 右邊的圖形中是判斷給定的等腰三角形是否為對稱圖形, 如果 PQR 是線對稱圖形, 對稱軸是 L, 當我們將三角形沿著 L 邊對折時,Q 點會和 R 點重合,PQ 邊會和 PR 邊重合, Q 會和 R 重合 我們稱 PQR 中的 Q 點和 R 點是對應點 ; 稱 PQR 中 PQ 邊和 PR 邊是對應邊, 稱 PQR 中 Q 和 R 是對應角 國小課程透過對折的方式判斷一個圖形是否為線對稱圖形, 因此討論的對應點 對應邊與對應角是 圖十三 右邊圖形的關係, 不是 圖十三 左邊圖形中兩個對稱圖形間的關係 118

131 全等 對稱與相似 ( 二 ) 線對稱的教學 (1) 線對稱圖形的教學國小階段對稱圖形教學的重點是 判斷甲圖形是否為線對稱圖形, 以及討論對稱圖形甲中對應點 對應邊及對應角等關係, 教師不宜以 畫出甲圖形對 L 的對稱圖形 當作教學的重點 教師可以先給定一些好看的圖形, 要求學童將圖形對折, 如果對折後折線兩邊的圖形完全重合, 就稱該圖形是線對稱圖形, 而折痕就是線對稱圖形的對稱軸 以 圖十四 為例, 當學童確定 圖十四 中的三角形是線對稱圖形, 並找出對稱圖形的對稱軸 L 之後, 就可以開始討論該對稱圖形的對稱關係 如果 B 點對折後會和 C 點重合, 就稱 B 點對 L 的對應 ( 稱 ) 點是 C 點, 也稱 B C 兩點對稱於 L; 如果 AB 線段對折後會和 CD 線段重合, 就稱 AB 邊對 L 的對應 ( 稱 ) 邊是 CD, 也稱 AB CD 兩邊對稱於 L; 如果 B 對折後會和 C 重合, 就稱 B 對 L 的對應 ( 稱 ) 角是 C, 也稱 B 和 C 兩角對稱於 L 119