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理麻
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1 數學傳播 35 卷 3 期, pp 平行四邊形的大家族李碩彥摘要 : 平行四邊形算不算是特殊的梯形? 長方形算不算是平行四邊形? 這都是常聽到的辯論本文從平行四邊形的特性加以探討, 結果支持肯定的一方同時還介紹許多美妙的四邊形, 都和平行四邊形有密切的關係它們構成一個五代同堂的大家族平行四邊形有六個特性 : 兩組對邊平行兩組對邊相等兩組對角相等通常, 一個四邊形只要滿足六者之二就足以確定是平行四邊形問題是有哪些例外? 以下我們將兩個特性的組合歸為七類 : (1) 兩組對邊平行 (2) 兩組對邊相等 (3) 兩組對角相等 (4) 一組對邊平行且相等 (5) 一組對邊平行, 一組對角相等 (6) 一組對邊平行, 另一組對邊相等 (7) 一組對邊相等, 一組對角相等組合 (1) (5) 都是等價的, 都是平行四邊形的充要條件滿足組合 (6) 的, 可以是平行四邊形, 也可以是等腰梯形 (Isosceles trapezoid) 最有趣的組合是 (7), 可惜書本從不討論它為了深入探討 (6) 和 (7), 我們首先引入一些簡單的數學符號 : 用 ABCD 代表一個平面上的四邊形, 四個頂點 A B C D 按順時針排列用 PQ 代表任意兩點 P Q 之間的距離用這個符號來表示張角 31

2 32 數學傳播 35 卷 3 期民 100 年 9 月若 B + C = π, 亦即 B 和 C 互補, 則 AD 和 BC 這兩個對邊平行 ( 那時, ABCD 就會是個梯形 ) 一般性的四邊形擁有五個自由度, 可以用五個參數來表達它 : AB B BC C CD 每限定一個特性, 就會削減一個自由度比如說, 若限定一組對邊平行, 就是梯形, 只剩四個自由度有一組對邊相等的叫作等對邊形 (Side quad), 有一組對角相等的叫作等對角形 (Angle quad), 也都只剩四個自由度滿足 (6) 或 (7) 的四邊形只有三個自由度, 可以用 AB B BC 三個參數來表達它因為我們不關注四邊形的大小, 所以將 BC 設定為單位長剩下的兩個參數當作平面座標 : x = B, y = AB 兩個參數值的範圍是 0 < x < π, y > 0 如此一來, (6) 和 (7) 可以改寫為 : (6a) AD = BC = 1, B + C = π, B = x, AB = y (7a) AD = BC = 1, B = D = x, AB = y 任意給定範圍之內的參數值, 我們想找出滿足 (6a) 或 (7a) 的四邊形 ABCD 當然, 平行四邊形始終是一個解, 問題是要找出其他的解先考慮 (6a) 如果除了平行四邊形還有解的話, 很明顯的就只可以是等腰梯形 (Isosceles trapezoid) 當 x > π/2 時, 這確實是另一個解當我們減小 x 直到 x = π/2 時, 平行四邊形和等腰梯形這兩個解就重合成為長方形之後, 我們繼續減小 x, 就會又得到兩個解所以長方形是平行四邊形和等腰梯形之間的邊界形狀當 y < 2 的時候, 我們進一步減小 x 直至遇到了 y = 2 cosx 這條曲線那時等腰梯形那個解會退化成為等腰三角形, 因為 C D 兩點重合更進一步減小 x 以至於 y < 2 cosx, 等腰梯形這個解會蛻變為一個自相交的四邊形, 而不再是真正的四邊形當 y = 2 cosx 時, 平行四邊形這個解有一條對角線和一個邊等長, 我們將它取名為對角線等邊平行四邊形 (Isosceles parallelogram), 它可以用一對相等的等腰三角形來拼成和長方形一樣, 它也只有兩個自由度以上的結論都歸結於圖 1 接下來我們探討 (7a) 因為 x 和 y 的值已經固定了 A B C 三點的相對位置, 我們只需要找 D 點的位置用 ABCD 代表平行四邊形那個解我們可以不失一般性而假設 A C D 三點共圓的順序是依照順時針方向

3 平行四邊形的大家族 33 圖 1: 有一組對邊平行而另一組對邊相等的四邊形可以表達為滿足 (6a) 的四邊形 ABCD 平行四邊形是一個解當 x π/2 而 y > 2 cosx 的時候, 還有另一個解, 就是等腰梯形在 (7a) 的假設之下, 我們作以下的分析 : (A) 一個可能的 D 點就是 D (B) 因為 AD C = ADC(= B), 所以 D 點與 A C D 共圓另者, AD = AD = 1 若 y = cosx, 也就是說共圓的直徑是 1 的時候, 唯一的 D 點就是 D 那時候 ABCD 會有一條對角線垂直於一組對邊, 所以我們將它取名為對角線垂直平行四邊形 (Orthodiagonal parallelogram) 若 y cosx, 有唯一個不同於 D 的 D 點與 A C D 共圓而且滿足 AD = AD 如圖 2 或圖 3 所示問題就是要確定 ABCD 是個真正的四邊形如果是的話, 就叫它做歪等對角邊形 (Asymmetric angle-side quad) 以下, 我們就假設 : y cos x, D D (C) D 點只能在 CD A 弧線上, 所以 AC < 1 將餘弦定理用於三角形 ABC 之上, 就發現這個不等式等價於 y < 2 cosx 臨界情況是 y = 2 cosx 那時, D 點與 C 重合, 所以 ABCD 退化成三角形相應地, ABCD 會變成對角線等邊平行四邊形當 y > 2 cosx 時, D 點落在 AC 弧線上, 所以 ABCD 變成自相交的四邊形, 不是真正的四邊形

4 34 數學傳播 35 卷 3 期民 100 年 9 月以下, 我們就假設 : D D, cosx y < 2 cosx 要想確定 ABCD 是個真正的四邊形, 還需要確定 DAB 和 BCD 都不是平角, 否則 ABCD 會退化成三角形在圓上畫一條直徑 AE 作為輔助線, 它將 D 和 D 分隔於兩側有兩個情形需要分別考慮圖 2: ABCD 是一個平行四邊形, ABCD 是滿足 (7a) 的四邊形, D D, 而且 cos x < y < 2 cosx 輔助線 AE 是圓的直徑在此情況下, A C D E D 諸點按順時針方向排列在圓上, 我們將 ABCD 取名為對角線等邊平行四邊形它可以是凹的, 也可以是凸的第一種情形 : cos x < y 如圖 2 所示, CAB = ACD 為銳角, 所以 A C D E D 諸點按順時針方向排列在圓上我們觀察到 DAB < D AB < π, 所以 DAB 不會是平角同時 : 只有在 CD = AD 的時候 BCD 才會是平角, 也就是 y = 1 的時候那時, ABCD 退化成三角形, 而 ABCD 則是菱形當 1 < y < 2 cosx 時, ABCD 是凹的歪等對角邊形當 cosx < y < 1 ( 而且 y < 2 cosx) 時, ABCD 是凸的歪等對角邊形第二種情形 : y < cosx 如圖 3 所示, CAB = ACD 是鈍角, 所以 A C D E D 諸點按順時針方向排列在圓上我們觀察到 : 因為 y 1, 所以 CD AD, 因此 DAB 不會是平角

5 平行四邊形的大家族 35 BCD < BCD < π, 因此 BCD 也不會是平角這樣, ABCD 就確實是四邊形, 一個凸的歪等對角邊形圖 3: ABCD 是一個平行四邊形, ABCD 是滿足 (7a) 的四邊形, D D, 而且 y < cosx 輔助線 AE 是圓的直徑在此情況下, A C D E D 諸點按順時針方向排列在圓上, ABCD 只可以是一個凸的歪等對角邊形圖 4: 有一組對邊相等和一組對角相等的四邊形可以表達為滿足 (7a) 的四邊形 ABCD 平行四邊形是一個解有些時候會有另一個解, 叫做歪等對角邊形當 1 < y < 2 cosx 時, 歪等對角邊形是凹的當 cosx y < 1 而且 y < 2 cosx 時, 歪等對角邊形是凸的

6 36 數學傳播 35 卷 3 期民 100 年 9 月圖 4 總結上述兩種情形的探討當 y = 1 和 y = 2 cosx 同時成立的時候, ABCD 會變成鑽石形 (Diamond), 由一對相同的正三角形所拼成圖 5 展示平行四邊形的大家族, 每一個成員都是四邊形族長是一般性的四邊形, 它的形狀大小共有五個自由度每限定一個特性, 就會削減一個自由度族譜中的輩分就是自由度, 每一個箭頭都是從父母指向子女血緣關係都由對邊平行對邊相等對角相等這三種特性所衍生而出, 不包括諸如兩個鄰角相等的另類特性圖 5: 平行四邊形的大家族五代同堂, 每一個成員都是四邊形族長是一般性的四邊形, 它的形狀大小共有五個自由度每限定一個特性, 就會削減一個自由度族譜中的輩分就是自由度, 每一個箭頭都是從父母指向子女血緣關係皆由對邊平行對邊相等對角相等這三種特性所衍生而出構成家族中的第二代的是梯形等對邊形等對角形, 都只有四個自由度屬於第三代的, 都受限於兩個特性它們包括平行四邊形等腰梯形以及一凹一凸的歪等對角邊形雙胞胎底下的兩輩, 就都是特殊的平行四邊形第四代包括長方形菱形對角線等邊平行四邊形對角線垂直平行四邊形, 在以上都出現過第五代中已出現的是鑽石形, 它唯一的自由度就

7 平行四邊形的大家族 37 是它的大小正方形既隸屬長方形又隸屬菱形, 所以也被放進族譜裏的第五代同時隸屬對角線垂直平行四邊形和對角線等邊平行四邊形的是對角線等邊垂直平行四邊形 (Isosceles orthodiagonal parallelogram), 它可以用一對相等的等腰直角三角形來拼成平行四邊形的大家族就此齊全, 五代同堂家族中知名度較高的成員, 諸如正方形長方形平行四邊形菱形梯形等腰梯形, 也常出現於其他關於四邊形的分類之中 [1-3] 常有人辯論 : 平行四邊形算不算是特殊的梯形? 長方形算不算是平行四邊形? 通過平行四邊形家譜的探討, 我們的回答絕對是肯定的後記 : 以下是半個世紀前的一個小故事寫本文的動機之一, 就是要將這個故事的數學部分說的更完整平行四邊形有六個特性 : 兩組對邊平行兩組對邊相等兩組對角相等通常, 一個四邊形滿足六者之二就足以確定是平行四邊形但是等腰梯形是明顯的例外如果還有其他例外的話, 那就只能是一組對邊相等和一組對角相等, 1963 年底, 省立台北建國中學高一 24 班課堂上王景雲老師宣佈 : 我教了十幾年的數學, 翻遍群書都找不到一個定理說有這兩個特性就是平行四邊形, 可是又找不出反例今天這堂課大家就來探討這個問題, 想出答案的, 就到黑板上來講解許多同學陸續上台, 有的試圖證明那個書上都遺漏的定理, 有的試舉反例, 可惜都被老師一一擊退全班陷入深思, 有些則竊竊私語大獲全勝的王老師耐心地等待著下一個勇士我躊躇再三, 終於舉手說 : 凹的四邊形有反例老師一聽 : 凹的! 快上來畫給我看於是, 一個小小的反例就解釋了為什麼書上少了一個定理, 同學們都很興奮王景雲則望著我, 一語不發正好下課鈴響了, 他逕自離去, 留下一個我看不懂的眼神事隔近半個世紀, 是時候將這個數學故事說完全了參考文獻 1. An extended classification of quadrilaterals,

8 38 數學傳播 35 卷 3 期民 100 年 9 月 2. Quadrilateral-wikipedia, 3. De Villiers, M., Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban- Westville, 本文作者任教香港中文大學中央研究院數學研究所 2011 年 10 月份學術會議 2011 許振榮教授紀念講座日期 : 2011 年 10 月 17 日 ( 星期一 ) 2011 年 10 月 18 日 ( 星期二 ) 地點 : 臺北市大安區羅斯福路四段 1 號天文數學館 6 樓報名 : 網路報名詳細情形請查詢中研院數學所網頁陳省身院士百歲紀念學術研討會日期 : 2011 年 10 月 19 日 ( 星期三 ) 2011 年 10 月 21 日 ( 星期五 ) 地報點 : 臺北市大安區羅斯福路四段 1 號天文數學館 1 樓名 : 網路報名本研討會第三天下午 (10 月 21 日 ) 將有二場中文演講, 分別由滕楚蓮教授與李國偉教授演說李國偉教授的演講摘要如下 : 標題一一陳省身與中央研究院 1947 年 7 月中央研究院數學研究所在上海正式成立名義上姜立夫是所長, 然而實際工作均由陳省身代理, 因此數學所可說是由陳省身一手建立 1948 年陳省身當選為中央研究院第一屆院士, 然而年底旋即赴美本報告將講述陳省身與中央研究院的關係與貢獻, 兼及陳省身數次返台對台灣數學界的影響詳細情形請查詢中研院數學所網頁

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精 2015 年全国硕士研究生入学统一考试中医综合科目试题解析一 A 型题 :1~80 小题, 每小题 1.5 分, 共 120 分在每小题给出的 A B C D 四个选项中, 请选出一项最符合题目要求的 1. 提出阳常有余, 阴常不足观点的医家是 A 朱丹溪 B 刘完