1 數學 C 考前重點複習 ( 上 ) 重點 01 + m 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 P() 在 AB 上且 AP : BP m :, 則 m+ 比例相加當分母, 交叉相乘再相加當分子! 重點 0 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 M() 在 AB 上且 AP : BP 1:1 重點 03 +, 則 二 (-,+) 三 (-,-) 一 (+,+) 四 (+,-) 重點 04 坐標平面上, 已知 A( 1, 1 ) B(, ) 兩點, 則 AB ( ) + ( ) 1 1 重點 05 坐標平面上, 已知 ABC 三頂點 A( 1, 1 ) B(, ) C( 3, 3 ), 若 G(, ) 為 ABC 之重 心, 則 1+ + 3 3 1+ + 3 3 重點 06 坐標平面上, 已知平行四邊形 ABCD 四頂點 A( 1, 1 ) B(, ) C( 3, 3 ) 和 D( 4, 4 ), + + 則 + + 1 3 4 1 3 4
重點 07 線型函數 f ( ) + ( 其中 0, 均為實數 ) 0 時稱為常數函數, 圖形為水平線 重點 08 二次函數 f ( ) + + c ( 其中 0, c 均為實數 ) 經配方法處理可得 4c 4c f( ) ( + ), 其圖形之頂點坐標為 (, ) 4 4 重點 09 二次函數 f ( ) + + c 圖形之重點 : ( 0, c ) > 0 < 0 4c > 0 4c > 0 恆正 : 恆負 : > 0 4c < 0 < 0 4c < 0 重點 10 1 坐標平面上, 已知 A( 1, 1 ) B(, ), 則 AB 的斜率 m 1 符號 是 差 的意思, 例如 是表示 坐標差, 即 坐標相減 重點 11 坐標平面上, 過點 ( 0, 0 ) 且斜率為 m 之直線方程式為 0 m ( 0) 此直線方程式稱為點斜式
3 重點 1 坐標平面上, 過 (, 0 ) ( 0, ) 兩點之直線方程式為 + 1, 其中 稱為 截距 稱為 截距 此直線方程式稱為截距式 重點 13 坐標平面上, 過點 ( 0, ) 且斜率為 m 之直線方程式為 m +, 其中 為 截距 此直線方程式稱為斜截式 重點 14 坐標平面上, 一直線之方程式為 + + c 0( 0 此直線方程式稱為一般式 重點 15 兩直線互相平行 m1 m ( 斜率相等 ) ), 則其斜率 m 若直線 L 與 + + c 0互相平行, 則可假設 L : + + k 0 重點 16 兩直線互相垂直 m1 m 1 ( 斜率相乘等於 1) 若直線 L 與 + + c 0互相垂直, 則可假設 L : + k 0 重點 17 重點 18
4 重點 19 siθ cosθ si θ + cos θ 1 平方關係 : t θ + 1 sec θ 1 + cot θ csc θ tθ 1 secθ cscθ cotθ 重點 0 siθ cosθ siθ cscθ 1 倒數關係 : cosθ secθ 1 tθ cotθ 1 tθ 1 secθ cscθ cotθ 重點 1 siθ cosθ siθ tθ cosθ 商數關係 : cosθ cotθ siθ tθ 1 secθ cscθ cotθ 重點 餘角關係 : si(90 θ) cosθ ; cos(90 θ) siθ ; t(90 θ) cotθ cot(90 θ) tθ ; sec(90 θ) cscθ ; csc(90 θ) secθ 重點 3 (1) () θ + θ + θ θ (si cos ) 1 si cos θ θ θ θ (si cos ) 1 si cos 1 (3) tθ + cotθ siθcosθ 重點 4 θ φ± 360 ( 為整數 ),θ 與 φ 為同界角 360 π 70 4π 1080 6π 1440 8π 1800 10π 160 1π
5 重點 5 扇形弧長 S rθ 1 扇形面積 A r θ 重點 6 S r θ P(, ) r θ r + r siθ cosθ tθ cotθ secθ cscθ r r r 重點 7 當取 r 1時,P 點坐標為 ( cosθ, siθ ), 此時可得 : cos 0 1 cos90 0 cos180 1 cos 70 0 si 0 0 si 90 1 si180 0 si 70 1 180 siθ cosθ 1 1 tθ cotθ secθ cscθ ( 1,0) cosθ siθ cosθ siθ 可求得其它函數值 重點 8 (0,1) 90 P( cosθ, siθ ) θ (0, 1) 70 0 (1,0) (1) 180 θ :( 函數不變 ) si(180 θ) siθ ; cos(180 θ) cosθ ; t(180 θ) tθ ; cot(180 θ) cotθ ; sec(180 θ) secθ ; csc(180 θ) cscθ () 180 + θ :( 函數不變 ) si(180 + θ) siθ ; cos(180 + θ) cosθ ; t(180 + θ) tθ ; cot(180 + θ) cotθ ; sec(180 + θ) secθ ; csc(180 + θ) cscθ (3) 360 θ :( 函數不變 ) si(360 θ) siθ ; cos(360 θ) cosθ ; t(360 θ) tθ ; cot(360 θ) cotθ ; sec(360 θ) secθ ; csc(360 θ) cscθ
6 重點 9 (1) 90 + θ :( 正餘互換 ) si(90 + θ) cosθ ; cos(90 + θ) siθ ; t(90 + θ) cotθ ; cot(90 + θ) tθ ; sec(90 + θ) cscθ ; csc(90 + θ) secθ () 70 θ :( 正餘互換 ) si(70 θ) cosθ ; cos(70 θ) siθ ; t(70 θ) cotθ ; cot(70 θ) tθ ; sec(70 θ) cscθ ; csc(70 θ) secθ (3) 70 + θ :( 正餘互換 ) 重點 30 負角 : si(70 + θ) cosθ ; cos(70 + θ) siθ ; t(70 + θ) cotθ ; cot(70 + θ) tθ ; sec(70 + θ) cscθ ; csc(70 + θ) secθ si( θ) siθ ; cos( θ) cosθ ; t( θ) tθ ; cot( θ) cotθ ; sec( θ) secθ ; csc( θ) cscθ 重點 31 (1) si 之週期為 π 1 si 1 0 si 1 () cos 之週期均 π 1 cos 1 0 cos 1 (3) t 之週期為 π < t < 重點 3 (1) Asi( B + C) + D 之週期為 () Acos( B + C) + D 之週期為 π ( 週期與 A C D 無關 ) B π ( 週期與 A C D 無關 ) B π (3) At( B + C) + D 之週期為 ( 週期與 A C D 無關 ) B
7 重點 33 A ABC 中, BC CA AB c, 則 c ABC 的面積 1 si c A 1 si c B 1 si C B C 重點 34 ABC 中, BC CA AB c,r 為 ABC c R ( 正弦定理 ) si A si B si C 重點 35 之外接圓半徑, 則 ABC 中, BC CA AB c, 則 sia:sib:sic ::c 重點 36 ABC 中, BC CA AB c, 則 + cos + cos + cos c c A c c B c C ( 餘弦定理 ) 重點 37 + c cos A c c + ABC 中, BC CA AB c, 則 cos B c + c cosc 重點 38 令 表 ABC 之面積,R 表 ABC 外接圓半徑,r 表 ABC 內切圓半徑, s 1 ( + + c) 表 ABC 之半周長, 則 : (1) ss ( )( s )( s c) ( 海龍公式 ) c () 4R c R ( 外接圓半徑 ) 4 (3) rs r ( 內切圓半徑 ) s
8 重點 39 和差角公式 : si( α + β) siαcos β + cosαsi β ; si( α β) siαcos β cosαsi β cos( α + β) cosαcos β siαsi β ; cos( α β) cosαcos β + siαsi β t + t β t( + β) ; 1 t t β t t β t( β) 1 + t t β 重點 40 m1 m L 1 和 L 的交角為 θ tθ 1 + mm 另一交角為 180 θ 1 若 m1 m 1, 則兩直線互相垂直 交角為 90 β θ α L1 L 重點 41 二倍角公式 : (1) si θ siθcosθ () θ θ θ θ θ cos cos si cos 1 1 si tθ (3) t θ 1 t θ 重點 4 正 餘弦疊合公式 : tθ si θ 1+ t θ 1 t θ cos θ 1+ t θ ( 以 tθ 表示 si θ cos θ t θ ) θ + θ + θ + ϕ si cos si( ) + siθ + cosθ + cosϕ + 其中 siϕ + 重點 43 坐標平面上, 已知 A( 1, 1 ) B(, ), 則 AB ( 1, 1)
9 重點 44 坐標平面上, 已知 A( 1, 1 ) B(, ), 則 AB ( ) + ( ) 1 1 重點 45 向量相加 頭接尾 A AC AB B C BC AB + BC AC ( 頭接尾 ) 重點 46 向量相減 共始點 O PQ OQ OP P Q ( 共始點 ) 重點 47 (, ) 已知 1 (1) r ( r1, r) (, ),r s 均為實數, 則 和 1 r ± s ( r ± s, r ± s ) () 1 1 重點 48 向量分點公式 : m 設點 P 在 AB 上且 AP : BP m :, 則 OP OA + OB m+ m+ O A P B 重點 49 已知兩向量 ( 1, ) (, ), 則 1 1+ 1
10 重點 50 cosθ cosθ 兩向量互相垂直時內積為 0 重點 51 r + s r + rs( ) + s 重點 5 已知兩向量 ( 1, ) (, ), 若 兩向量所張之三角形面積為, 則 1 1 1 1 1 1 1 重點 53 已知兩向量, 若 在 上的正射影為 u, 則 u ( ) 正射影長 u 重點 54 已知一直線 L 過點 ( 0, 0 ), 且其法向量為 (, ), 則直線 L 之方程式為 ( ) + ( ) 0 (, ) L: 0 0 此直線方程式稱為點法式 重點 55 ( 0, 0 ) L: ( ) + ( ) 0 0 0 已知一直線 L 過點 ( 0, 0 ), 且其方向向量為 v (, ), 則直線 L 之方程式為 0 0 L: 此直線方程式稱為比例式 ( 0, 0 ) v (, ) L: 0 0
11 重點 56 已知一直線 L 過點 ( 0, 0 ), 且其方向向量為 v (, ), 則直線 L 之方程式為 0 + t L:, t R 0 + t 此直線方程式稱為參數式 ( 0, 0 ) v (, ) 0 + t L: 0 + t, t R 重點 57 點 P( 0, 0 ) 到直線 L: + + c 0之距離為 dpl (, ) 重點 58 + + c 0 0 + 兩平行線 L1: + + c1 0 L : + + c 0之間的距離為 dl ( 1, L) 重點 59 c c 1 + L: + + c 0 L : + + c 0之交角平分線方程式為 兩直線 1 1 1 1 + + c + + c ± + + 1 1 1 1 1 重點 60 設 為非負整數且 i 重點 61 R(i 0~), 則 兩多項式相等, 其對應項的係數相等 重點 6 常用乘法公式 : f( ) + + + + 稱為 的多項式 1 1 1 0 (1) () ( + )( ) ( ) + + + + ( + ) (3) ( ) 3 3 3 3 3 + + + + 3 3 3 + + + ( ) 3 ( ) 3 3 + ( + )( + )
1 重點 63 多項式相乘 同類項合併 重點 64 除法原理 : 被除式 f( ) 除以除式 g ( ) 得商式 Q ( ) 餘式 R, ( ) 則 f( ) g ( ) Q ( ) + R ( ), 其中 R ( ) 的 次數必小於 g ( ) 的次數 重點 65 餘式定理 : 多項式 f( ) 除以 所得餘式為 f( ) 重點 66 因式定理 : 若多項式 f( ) 被 所整除, 即 為 f( ) 之因式, 則 f( ) 0 重點 67 長除法 用減法 ; 綜合除法 用加法 重點 68 利用綜合除法可改變多項式的形式 + + + k + k + c k + d 3 3 3 1 0 ( ) ( ) ( ) 重點 69 雙重根號 : 若 > > 0, 則 ( + ) + + ; ( + ) 重點 70 部分分式 將一真分式化為數個真分式的和 重點 71 ± 4c 設 c 均為實數且 0, 則一元二次方程式 + + c 0 之解為, 其中 D 4c 為判別式 (1) D > 0 兩相異實根 () D 0 兩相等實根 (3) D < 0 無實根 (4) D 0 有實根
13 重點 7 根與係數關係 : + 一元二次方程式 + + c 0 之兩根為 α β, 則 c 補充 : 3 + + c + d 0 之三根為 α β γ, 則 重點 73 以 α β 為兩根之一元二次方程式為 重點 74 + + γ c + γ + γ ( α + β ) + αβ 0 γ d 分項對消法 1 1 1 1 ( ) ( + )( + ) + + 重點 75 行列式的運算規則 : (1) 行列互換, 其值不變 () 任意兩行 ( 列 ) 互換, 其值變號 (3) 任一行 ( 列 ) 可提出共同因數 (4) 將一行 ( 列 ) 乘以 k 倍加到另一行 ( 列 ), 其值不變 (5) 任兩行 ( 列 ) 成比例, 其值為 0 (6) 某一行 ( 列 ) 的元素, 若由兩個元素所組成, 則可分成兩個行列式之和 + d g d g d g 1 1 例如 : + e h e h + e h 1 1 c + c f i c f i c f i 1 1
14 重點 76 降階 : + + 降階時對照 + + + 以第一行降階為例 c d e f g h i e h d g d g + + c f i f i e h 重點 77 克拉瑪公式 : 1 + 1 + c 1 d1 方程組 : + + c d + + c d c 3 3 3 3 1 1 1 令 c, d c, d c, c 3 3 3 d c 1 1 1 d c 3 3 3 d c 1 1 1 d c 3 3 3 d 1 1 1 d d 3 3 3, 則 原方程組可化為 (1) 0 恰有一組解 () 0 且 0 無限多組解 (3) 0 但 至少有一不為 0 無解
15 重點 78 i 1 循環性 : i 4k + 1 i 4 k + i 1 i 4k + 3 i 4 k i 1 ( 其中 k 為整數 ) 重點 79 設 為實數, i 1, 形如 + i 的數稱為複數, 其中 為實部, 為虛部 兩複數相等 實部等於實部且虛部等於虛部 重點 80 複數 + i 之共軛複數為 + i i 重點 81 複數的四則運算 : 設 c d 為實數 (1) ( + i) + ( c + di) ( + c) + ( + d ) i () ( + i) ( c+ di) ( c) + ( d) i (3) ( + )( + ) ( + ) + ( + ) + + + ( ) + ( + ) (4) i c di i c i di c ci di di c d c d i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + i + i c di c + d + c d i c + d c d + i c + di c + di c di c + d c + d c + d 注意 : i 1 重點 8 < 0 且 < 0 重點 83 ± 4c 設 c 均為實數且 0, 則實係數方程式 + + c 0 之解為, D 4c 為判別式, 當 D < 0 時方程式有兩共軛虛根 實係數方程式虛根成雙! 若實係數方程式 + + c 0 有一根為 α + βi ( 其中 β 0 ), 則另一根為 α βi 重點 84 複數的極式 : + i r(cosθ + i si θ), 其中 r + 且主幅角 θ Arg( ) 0 θ < π
16 重點 85 設 1 為兩複數, 其極式為 ( cosθ + isiθ ) 與 ( cosθ isiθ ) 1 1 1 1 (1) cos( θ + θ ) + isi ( θ + θ ) () 0 1 1 1 1 1 1, cos( θ θ ) + i si ( θ θ ) (3) ( cos θ + isi θ ) 重點 86 1 1 1 1 次方根問題 : 1 cos( kπ) + isi( kπ) 1 1 π π i cos( + kπ) + isi( + kπ) 1 cos( π + kπ) + isi( π + kπ) 3π 3π i cos( + kπ) + isi( + kπ) 重點 87 1 3i ω + 3 為 1之一根, 則 : 1 3 ω 1 k +, 則 : kπ kπ cos( ) + isi( ), k 0,1,, 1 k k π π + kπ + kπ cos( ) + isi( ), k 0,1,, 1 π + kπ π + kπ cos( ) + isi( ), k 0,1,, 1 k 3π 3π + kπ + kπ cos( ) + isi( ), k 0,1,, 1 3 4 ω + ω+ 1 0 1 3i 3 ω 亦為 1之一根 3 1 0之三根為 1 ω ω ω + + ( )( ) 1 ω 3 1 ( 1)( + + 1) ( 1)( ω)( ω ), 故得知 例如 (7 ω)(7 ω ) 7 + 7 + 1 57
17 重點 88 三一律 : 均為實數, > < 三式中恰有一式會成立 重點 89 遞移律 : c 均為實數, 若 > 且 > c, 則 > c 重點 90 c 均為實數 : (1) 若 >, 則 + c> + c () 若 > 且 c > 0, 則 c > c ; 若 > 且 c < 0, 則 c < c (3) 若 > > 0, 則 > ; 若 0 > >, 則 1 1 (4) 若 > > 0, 則 < (5) 若 0 >, 則 > 0 ; 若 0 <, 則 < 0 重點 91 不等式的解之實例 (PART 1): < (1) ( 1)( 9) > 0 < 1或 > 9 ( 比小的小 比大的大 ) () ( 1)( 9) < 0 1< < 9 ( 介於兩者之間 ) + + (3) ( 1)( 5)( 9) > 0 1< < 5或 > 9 1 5 9 + + (4) ( 1)( 5)( 9) 0 < 1或 5< < 9 1 5 9 (5) (6) (7) + 5 0 1 6 1+ 6 + + + > 1 6 < < 1或 > 1+ 6 ( 1)( 5) 0 1 6 1 1+ 6 + + 1> 0 R; + + 1< 0 無解
18 重點 9 不等式的解之實例 (PART ): (1) () ( 5) 0 R; ( 5) 0 5; ( 5) 0 > R但 5 ( 5) 0 < 無解 (3) ( 1)( 3) > 0 (4) ( 1)( 3) 0 (5) 3 4 5 ( 1) ( ) ( 3) 0 ( 1)( )( 3) > 0 1< < 或 > 3 ( 1)( )( 3) 0 但 1 < 或 3 < ( 1)( 3) < 0 但 1< < 3但 (6) 3 4 5 ( 1) ( ) ( 3) 0 ( 1)( 3) 0 1 3 重點 93 > 0 (1) c 均為實數, 若 + + c 恆正, 則 4c < 0 < 0 () c 均為實數, 若 + + c 恆負, 則 4c < 0 重點 94 (1) < < < < < + () > ( > 0 ) < 或 > < 或 > + 重點 95 (1) < < + + < () < 或 > + + >
19 重點 96 算幾不等式 算術平均數 幾何平均數 + (1) 設 > 0 且 > 0, 則 ( 時等號成立 ) + + c 3 () 設 c 均大於 0, 則 c ( c 時等號成立 ) 3 重點 97 柯西不等式 : (1) 設 1 1 均為實數, 則 ( 1 + )( 1 + ) ( 1 1+ ) ( 1 時等號成立 ) () 設 1 3 1 3 均為實數, 則 時等號成立 ) 1 3 ( 1 3 重點 98 直線分割原理 : 1 ( + + )( + + ) ( + + ) 1 3 1 3 1 1 3 3 設平面上有兩相異點 A( 1, 1 ) B(, ) 與一直線 L : + + c 0, 則 : (1) 點 A B 在 L 之同側 ( 1+ 1+ c)( + + c) > 0 () 點 A B 在 L 之異側 ( 1+ 1+ c)( + + c) < 0 (3) AB 與 L 相交 ( 1+ 1+ c)( + + c) 0 重點 99 解線性規劃之步驟 : (1) 依題意列限制條件 () 畫可行解區域並找出邊界點 (3) 寫出目標函數 (4) 以各邊界點代入目標函數求值, 找出最大值與最小值 重點 100 + 1
補充遺漏重點 : 0