高等数学A

高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55

目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55

函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March 3, 2019 3 / 55

函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March 3, 2019 3 / 55

函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March 3, 2019 3 / 55

函数的例子 f(x) = 1 + x 1 x g(x) = 1 + x 1 x, x < 1 () 高等数学 A March 3, 2019 4 / 55

函数的例子 f(x) = 1 + x 1 x g(x) = 1 + x 1 x, x < 1 () 高等数学 A March 3, 2019 4 / 55

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函数图像 定义域, 对称性, 周期性求驻点和不可导点, 确定单调性和极值点求拐点, 确定凹凸区间渐近线特殊的点, 极值点 拐点 与坐标轴的交点 () 高等数学 A March 3, 2019 6 / 55

函数图像 定义域, 对称性, 周期性求驻点和不可导点, 确定单调性和极值点求拐点, 确定凹凸区间渐近线特殊的点, 极值点 拐点 与坐标轴的交点 () 高等数学 A March 3, 2019 6 / 55

函数图像 定义域, 对称性, 周期性求驻点和不可导点, 确定单调性和极值点求拐点, 确定凹凸区间渐近线特殊的点, 极值点 拐点 与坐标轴的交点 () 高等数学 A March 3, 2019 6 / 55

函数图像 定义域, 对称性, 周期性求驻点和不可导点, 确定单调性和极值点求拐点, 确定凹凸区间渐近线特殊的点, 极值点 拐点 与坐标轴的交点 () 高等数学 A March 3, 2019 6 / 55

函数图像 定义域, 对称性, 周期性求驻点和不可导点, 确定单调性和极值点求拐点, 确定凹凸区间渐近线特殊的点, 极值点 拐点 与坐标轴的交点 () 高等数学 A March 3, 2019 6 / 55

图像的例子 f(x) = 5 x2 3 + x g(x) = 3 x3 x 2 x + 1 () 高等数学 A March 3, 2019 7 / 55

f(x) = 5 x2 3+x 50 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 () 高等数学 A March 3, 2019 8 / 55

g(x) = 3 x 3 x 2 x + 1 3 2 1 0-1 -2-3 -4-3 -2-1 0 1 2 3 () 高等数学 A March 3, 2019 9 / 55

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导数的定义 速度等于路程对时间的导数 v = ds dt 曲线的斜率等于函数的导数 k = df dx () 高等数学 A March 3, 2019 11 / 55

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基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表 c = 0, c 是常数 (x µ ) = µx µ 1, µ 0 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) (ln x) = 1 x () 高等数学 A March 3, 2019 13 / 55

基本的导数表二 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = sec 2 x (cot x) = csc 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 14 / 55

基本的导数表二 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = sec 2 x (cot x) = csc 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 14 / 55

基本的导数表二 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = sec 2 x (cot x) = csc 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 14 / 55

基本的导数表二 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = sec 2 x (cot x) = csc 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 14 / 55

基本的导数表三 (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) = 1 1 x 2 (arctan x) = 1 1+x 2 () 高等数学 A March 3, 2019 15 / 55

基本的导数表三 (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) = 1 1 x 2 (arctan x) = 1 1+x 2 () 高等数学 A March 3, 2019 15 / 55

基本的导数表三 (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) = 1 1 x 2 (arctan x) = 1 1+x 2 () 高等数学 A March 3, 2019 15 / 55

基本的导数表四 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tanh x) = 1 cosh 2 x (coth x) = 1 sinh 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 16 / 55

基本的导数表四 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tanh x) = 1 cosh 2 x (coth x) = 1 sinh 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 16 / 55

基本的导数表四 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tanh x) = 1 cosh 2 x (coth x) = 1 sinh 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 16 / 55

基本的导数表四 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x (tanh x) = 1 cosh 2 x (coth x) = 1 sinh 2 x () 高等数学 A March 3, 2019 16 / 55

目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 17 / 55

求导公式 线性乘法 : (f g) = f g + f g 除法 : ( ) f = f g f g g g 2 () 高等数学 A March 3, 2019 18 / 55

求导公式 线性乘法 : (f g) = f g + f g 除法 : ( ) f = f g f g g g 2 () 高等数学 A March 3, 2019 18 / 55

求导公式 线性乘法 : (f g) = f g + f g 除法 : ( ) f = f g f g g g 2 () 高等数学 A March 3, 2019 18 / 55

求导公式之二 反函数 : 复合函数 : dx dy = 1 dy dx dz dx = dz dy dy dx () 高等数学 A March 3, 2019 19 / 55

求导公式之二 反函数 : 复合函数 : dx dy = 1 dy dx dz dx = dz dy dy dx () 高等数学 A March 3, 2019 19 / 55

求导公式之三 Leibniz 公式 : (f + g) (n) = n C k nf (k) g (n k) k=0 () 高等数学 A March 3, 2019 20 / 55

目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 21 / 55

Taylor 展开 Taylor 公式 f(x) = f(x 0 ) + n k 1 k! f(k) (x 0 )(x x 0 ) k + R n (x x 0 ) () 高等数学 A March 3, 2019 22 / 55

Taylor 展开 Taylor 公式 e x = 1 + x + 1 2! x2 + 1 n! xn + R n (x x 0 ) 1 1 x = 1 + x + x2 + x n + R n (x x 0 ), x < 1 () 高等数学 A March 3, 2019 23 / 55

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Newton-Leibniz 公式 定理 Newton-Leibniz 公式 b a f(x)dx = F(b) F(a) () 高等数学 A March 3, 2019 25 / 55

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基本的不定积分表之一 c = 0, c 是常数 0dx = C (x µ ) = µx µ 1, µ 0 x µ dx = 1 µ + 1 xµ+1 + C (µ 1) () 高等数学 A March 3, 2019 27 / 55

基本的不定积分表之一 c = 0, c 是常数 0dx = C (x µ ) = µx µ 1, µ 0 x µ dx = 1 µ + 1 xµ+1 + C (µ 1) () 高等数学 A March 3, 2019 27 / 55

基本的不定积分表之一 c = 0, c 是常数 0dx = C (x µ ) = µx µ 1, µ 0 x µ dx = 1 µ + 1 xµ+1 + C (µ 1) () 高等数学 A March 3, 2019 27 / 55

基本的不定积分表之一 c = 0, c 是常数 0dx = C (x µ ) = µx µ 1, µ 0 x µ dx = 1 µ + 1 xµ+1 + C (µ 1) () 高等数学 A March 3, 2019 27 / 55

基本的不定积分表之二 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) a x dx = ax + C, a > 0, a 1 ln a (e x ) = e x e x dx = e x + C () 高等数学 A March 3, 2019 28 / 55

基本的不定积分表之二 (a x ) = a x ln a (a > 0, a 1) a x dx = ax + C, a > 0, a 1 ln a (e x ) = e x e x dx = e x + C () 高等数学 A March 3, 2019 28 / 55

基本的不定积分表之三 (log a x) = 1 x ln a (a > 0, a 1) 1 dx = ln x + C x () 高等数学 A March 3, 2019 29 / 55

基本的不定积分表之四 (cos x) = sin x sin xdx = cos x + C (sin x) = cos x cos xdx = sin x + C () 高等数学 A March 3, 2019 30 / 55

基本的不定积分表之五 (tan x) = sec 2 x sec 2 xdx = tan x + C (cot x) = csc 2 x csc 2 xdx = cot x + C () 高等数学 A March 3, 2019 31 / 55

基本的不定积分表之五 (tan x) = sec 2 x sec 2 xdx = tan x + C (cot x) = csc 2 x csc 2 xdx = cot x + C () 高等数学 A March 3, 2019 31 / 55

基本的不定积分表之六 (arcsin x) = 1 1 x 2, (arccos x) = 1 1 x 2 1 dx = arcsin x + C = arccos x + C 1 x 2 (arctan x) = 1 1+x 2 1 1 + x2dx = arctan x + C () 高等数学 A March 3, 2019 32 / 55

基本的不定积分表之六 (arcsin x) = 1 1 x 2, (arccos x) = 1 1 x 2 1 dx = arcsin x + C = arccos x + C 1 x 2 (arctan x) = 1 1+x 2 1 1 + x2dx = arctan x + C () 高等数学 A March 3, 2019 32 / 55

基本的不定积分表之七 (cosh x) = sinh x sinh xdx = cosh x + C (sinh x) = cosh x cosh xdx = sinh x + C () 高等数学 A March 3, 2019 33 / 55

基本的不定积分表之七 (cosh x) = sinh x sinh xdx = cosh x + C (sinh x) = cosh x cosh xdx = sinh x + C () 高等数学 A March 3, 2019 33 / 55

基本的不定积分表之八 1 x2 + 1 dx = ln(x + x 2 + 1) + C 1 x2 1 dx = ln(x + x 2 1) + C () 高等数学 A March 3, 2019 34 / 55

基本的不定积分表之八 1 x2 + 1 dx = ln(x + x 2 + 1) + C 1 x2 1 dx = ln(x + x 2 1) + C () 高等数学 A March 3, 2019 34 / 55

目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 35 / 55

不定积分公式 线性 {αf(x) + βg(x)} dx = α f(x)dx + β g(x)dx () 高等数学 A March 3, 2019 36 / 55

不定积分公式 换元法一 已知 求 f(u)du = F(u) + C f(φ(x))φ (x)dx = F(φ(x)) + C () 高等数学 A March 3, 2019 37 / 55

不定积分公式 换元法二 已知 求 f(φ(u))φ (u)du = F(u) + C f(x)dx = F(φ 1 (x)) + C () 高等数学 A March 3, 2019 38 / 55

不定积分公式 分部积分 (uv) = u v + uv udv = u v vdu () 高等数学 A March 3, 2019 39 / 55

目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 40 / 55

定积分的几何意义 面积 () 高等数学 A March 3, 2019 41 / 55

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积分的例子一 1 x2 dx, x2 + 1dx, x2 1dx e x sin xdx () 高等数学 A March 3, 2019 43 / 55

积分的例子二 π 2 0 sin n xdx () 高等数学 A March 3, 2019 44 / 55

椭球面 椭球面方程 x 2 a + y2 2 b 2 + z2 = 1, (a, b, c > 0) c2 () 高等数学 A March 3, 2019 45 / 55

椭球面 () 高等数学 A March 3, 2019 46 / 55

双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 x 2 a + y2 2 b 2 z2 = 1, (a, b, c > 0) c2 x 2 a + y2 2 b 2 z2 = 1, (a, b, c > 0) c2 () 高等数学 A March 3, 2019 47 / 55

单叶双曲面 () 高等数学 A March 3, 2019 48 / 55

双叶双曲面 () 高等数学 A March 3, 2019 49 / 55

抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面, 马鞍面 z = x2 a 2 + y2 b 2 z = x2 a 2 y2 b 2 () 高等数学 A March 3, 2019 50 / 55

椭圆抛物面 () 高等数学 A March 3, 2019 51 / 55

双曲抛物面 () 高等数学 A March 3, 2019 52 / 55

定义 数列极限 设 {a n } 是数列,a 是常数 如果对于任意的 ϵ > 0, 都 存在自然数 N, 当 n N 时, 都有 : a n a < ϵ 称 a 是数列 {a n } 的极限, 或者称数列 {a n } 收敛于 a 记为 : lim a n = a n () 高等数学 A March 3, 2019 53 / 55

定义 函数极限 设 f(x) 是函数,A 是常数 如果对于任意的 ϵ > 0, 都 存在 δ > 0, 当 0 < x x 0 < δ 时, 有 : f(x) A < ϵ 称函数 f(x) 当 x x 0 时的极限为 A 记为: lim f(x) = A x x 0 () 高等数学 A March 3, 2019 54 / 55

求极限 lim a 1 n = 1 (a > 1) n () 高等数学 A March 3, 2019 55 / 55