2 目录 Euler 方法龙格库塔方法两点边值问题

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闲云
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1 目录第零章绪论 5 第一章计算机数和误差计算机数及其表示舍入误差对计算的影响减法的计算第二章物理学中的常用数值方法数值积分方法梯形法和辛普生方法反常积分的计算高斯积分方法哥西主值的计算急速振荡函数的积分高维积分的计算固体热容量的计算方程的求根和最优化方法二分法牛顿法和割线法一维最优化, 黄金分割法高维最优化, 共扼梯度方法约束最优化最小二乘法及曲线拟合函数的求值多项式的求值和级数求和连分式的求值常微分方程的数值解法

1.4 哥西主值的计算............................. 20 2.1.5 急速振荡函数的积分.......................... 22 2.1.6 高维积分的计算............................. 24 2.1.7 固体热容量的计算........................... 24 2.2 方程的求根和最优化方法.

2 2 目录 Euler 方法龙格库塔方法两点边值问题插值和逼近多项式插值分式有理函数插值和外推三次样条插值列表函数的积分 Padé 插值与外推发散级数的 Cesáro 求和及其推广 Borel 求和 Bézier 逼近多元函数的插值及逼近快速付里叶变换付里叶变换离散付里叶变换快速付里叶变换附录 : 特殊函数的计算误差函数的计算指数积分的计算整数阶贝塞尔函数及虚宗量贝塞尔函数的计算球谐函数的计算椭圆积分的计算附录 : 高斯积分的节点和权重第三章数值线性代数主元消去法解线性代数方程组 LU 分解法三对角方程组的求解实对称矩阵的本征值和本征向量 Householder 方法 QL 算法第四章电磁场的计算 Maxwell 方程, 边值问题差分和差商

5.5 Padé 插值与外推............................. 52 2.5.6 发散级数的 Cesáro 求和及其推广................... 56 2.5.7 Borel 求和................................ 58 2.5.8 Bézier 逼近................................ 59 2.

3 目录二维 Possion 方程的五点差分格式差分方程的求解简单迭代法 Jaobi 方法逐次迭代法 Gauss Seidal 迭代方法逐次超松弛迭代法 (Suessive Over-Relaxation) 变分方法复习有限元方法的理论基础用有限元方法求解二维 Laplae 方程第五章 Monte Carlo 方法随机变量及其分布赝随机数的产生用 Monte Carlo 方法计算积分自相似性与分形扩散限制粘结的计算机模拟高分子的模拟和无规行走第六章逾渗和统计物理问题逾渗简介逾渗的计算机模拟和分析正则系综和统计模型 Ising 模型 Lenard-Jones 模型统计物理的 Monte Carlo 模拟, Metroplis 方法 Ising 模型的 Monte Carlo 模拟经典统计物理复习 The miro anonial ensemble(nve) The anonial ensemble(nvt) The NPT ensemble(npt) The grand anonial ensemble( Thermodynamial relations Correlation funtions Time orrelation funtion and transport oeffiients 液体模型的 Monte Carlo 模拟 Monte Carlo Simulation of The Lenard -Jones Model 自由能计算

7 用有限元方法求解二维 Laplae 方程...................... 118 第五章 Monte Carlo 方法 125 5.1 随机变量及其分布................................ 125 5.2 赝随机数的产生................................. 127 5.

4 4 目录王 -Landau 方法及其它分子动力学方法 General proedure of MD (NVE ensemble) Simulation of Lennard-Jones liquids Simulation of Hard-sphere systems Simulation of Langevin dynamis Long range fore and Ewald summation 第七章原子结构的计算原子结构问题变分法 Viral 定理和 Hellmann-Feynman 定理轨道近似和 Hartree Fok 方程统计近似和 X α 方程径向方程的求解方法计算程序

.................... 166 第七章原子结构的计算 167 7.1 原子结构问题.................................. 167 7.2 变分法...................................... 168 7.3 Viral 定理和 Hellmann-Feynman 定理..................... 170 7.

5 第零章绪论不论是理论物理, 还是实验物理都离不开数值计算, 例如, 量子力学中简谐振子的波函数可以用厄米多项式来表示, 但为了得到波函数的数值, 仍然需要作数值计算 ; 实验上测量到的数据要进行数据处理, 也涉及到数据拟合, 分析并计算误差等一系列数值计算. 大家在过去的学习中已经知道, 牛顿力学方程只有二体问题是可解的 ( 自由粒子或小振动等特殊问题除外 ), 三体以上的问题曾折磨了全世界的许多优秀的数学家和理论物理学家, 但最终也未得到解析解 ; 麦克斯韦方程组只有在一些非常特殊的条件下才能求得解析解 ; 量子力学的薛定格方程, 除了氢原子和简谐振子外, 还没有一个真实的物理问题可以找到解析解 ; 统计物理告诉我们, 只要求得了系统的配分函数, 则一切物理量都可通过求微分得到, 然而, 除了可数的几个二维模型外, 没有一个实际的物理系统的配分函数被求出来过. 一些大规模的物理实验, 耗资在数亿美元, 如果没有充分的论证就去做的话, 其浪费是十分巨大的. 对于这样一类问题, 大规模的数值计算往往可以发挥重要作用. 大规模数值计算也提供了理论物理和实验物理之间的桥梁. 几乎所有的实际物理问题都无法得到精确解, 发展各种理论模型和近似方法就成为理论物理学的重要方面. 理论模型的正确性最终需要经受实践的检验, 但对于一个确定的物理模型, 其对应的实验体系往往很难获得, 为了检验针对一个确定模型的近似方法, 最好能够得到这个模型的精确解, 而数值模拟方法正好能够提供这样的结果. 大量的实验体系往往包含多种因素, 这些因素有些可以排除, 而有些非常难以排除. 如果一个理论的出发点包含了所有的实验因素, 则这样的理论几乎肯定得不到解析结果. 但是, 数值模拟方法一般总能够把各种因素包含进去, 从而能够更好的模拟实验环境. 需要指出的是, 长期以来, 我们总有一些误解, 一讲到计算, 似乎就需要超级计算机. 事实上, 现在使用的笔记本计算机, 各种微型计算机的计算能力往往比 10 年前的超级计算机的计算能力更强. 用一台目前似乎已经被人看不起的 IBM-PC/XT 微机 (IBM-PC 是基于 intel 芯片的第一代个人计算机, 大约 1980 年推出, 其 CPU 是 intel-8086 芯片, 有 64k 内存, 两个 5 吋软驱, 机器带有 MS-DOS 1.0 和 CP/M 两个操作系统,IBM-PC/XT 是 IBM-PC 的扩展, 增加了一个 10M 的硬盘, 并且把内存增加到 256K), 就可以很容易地解决三体问题, 四体问题,. 所有元素周期表上的原子的能级和波函数也可以相当精确

大家在过去的学习中已经知道, 牛顿力学方程只有二体问题是可解的 ( 自由粒子或小振动等特殊问题除外 ), 三体以上的问题曾折磨了全世界的许多优秀的数学家和理论物理学家, 但最终也未得到解析解 ; 麦克斯韦方程组只有在一

6 6 第零章绪论地计算出来. 如果你拥有一台目前市场上一般配置的微机, 你就可以模拟一些二维和三维模型系统的配分函数, 如 Lenard-Jones 流体, 三维 Ising 模型等, 可以计算元素固体和简单化合物晶体的电子结构, 声子谱等. 进一步, 你如果拥有或能够使用到大型计算机, 或利用微机构成计算集群, 你就可以作真实流体的流体力学计算, 可以计算复杂边界条件下的三维电磁场, 可以计算三维真实系统的配分函数,. 同样你也能够在大型物理实验开始前作很多模拟, 对实验的各种情况有一个清楚的概念. 本课程的目的在于对物理中的数值计算进行一些入门介绍, 使大家在学完本课程后, 在组织一些较大规模的计算时心中有数, 少走弯路. 课程分两部分, 一部分是基本算法, 主要介绍计算机数的特点, 舍入误差, 计算稳定性等基本概念和一些常用的数值计算方法 ; 第二部分则结合物理问题, 讲一, 二个专题, 使大家学到一些组织较大规模计算的步骤和技巧. 学习本课程要求学过四大力学 ( 经典力学, 电动力学, 热力学和统计物理学及量子力学 ) 和数学物理方法, 掌握至少一门计算机高级语言 ( 如 C, PASCAL, FORTRAN, Java 等 ). 计算是一门实践性很强的课程, 上机实习是本课程的一个有机组成部分. 关于本讲义的一点说明 : 这是笔者在 1993 年为开设计算物理课程准备的讲义年, 上海交通大学应用物理系代理系主任张仲渊教授找到我, 告诉我决定在本科生高年级开设计算物理课程, 并安排由笔者开课. 在接到这一任务后, 笔者翻阅了当时国内出版的几本计算物理教材, 发现都过于专门, 不适于做为本科高年级的教材, 而更适合于某一专业的研究生教材. 为此, 我只好试图自己写一本讲义, 以应急需. 基本算法部分主要参考了 W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery 所著 Numerial Reipes, The Art of Sientifi Computing 一书, 当时, 这本书出版时间还不算太长, 但已经成为大多数经常从事数值计算的物理学工作者的手头必备书, 我自己当时也买了一本, 书价是我的两个月的工资这本书一方面讲解算法, 另一方面对每一个算法给出了透明, 简洁的源程序尽管这些程序的效率, 安全性方面比一些成熟的软件包要差, 但由于其简洁清楚, 特别适合于修改后放到自己的程序中去讲义的内容曾在上海交通大学应用物理系讲授多次, 各个年级的同学积极参与了本课程的学习并对课程的讲法提出了很多非常宝贵的意见和建议, 这些建议在讲义的成文中对笔者有很大帮助, 在此表示感谢年后, 物理系决定把计算物理课程改为双语课程, 这本讲义就算完成了其历史使命. 在教学过程中, 我也发现这一讲义对一些问题的讲解过于简洁, 而内容的深度也不太适合本科生的学习. 这一段时间, 国际上出现了几本比较合适的教材, 所以,

同样你也能够在大型物理实验开始前作很多模拟, 对实验的各种情况有一个清楚的概念. 本课程的目的在于对物理中的数值计算进行一些入门介绍, 使大家在学完本课程后, 在组织一些较大规模的计算时心中有数, 少走弯路.

7 7 当时认为这一讲义不需要继续修订, 也就放在一边了. 随后, 研究生的课程做了一些改革, 增加了 36 学时的数值计算, 任课老师感觉这个讲义的内容作为研究生数值计算的课程比较合适, 遂采用这本讲义的电子版教学年 10 月, 致远学院的叶曦副院长和负责物理班教学的郑杭教授找我, 希望我为致远学院的同学开设一门物理中数值计算的课程注意到致远学院已经有至少两门相关课程, 这门课程应该更多强调物理方面为了这个课程, 利用寒假, 我修订了讲义, 主要是对原来的一些表述做了修改和补充, 同时尽可能强调物理方面的内容. 鉴于目前已经存在大量优秀的数学软件, 如 Matlab, Maple 等. 大量的小规模的计算往往可以通过这些软件方便进行, 因此, 此次修订时时也适当提到这方面的内容讲义中提到的一些程序将放在课程主页上, 这些程序中, 有些来自前面提到的 Numerial Reipes, 有些是我曾经多次使用过的, 也有些是专为此讲义而准备的, 由于时间关系, 没有经过仔细调试和考验, 因此在用于实际问题时, 一定要经过仔细试算, 以免造成不必要的损失, 同时, 我也愿在此声明, 笔者对因使用此讲义中的程序而导致的任何直接的和间接的损失将不负担任何责任. 所有程序都以 FORTRAN 77 写出, 鉴于 C 语言在实际工作中使用的越来越广泛, 同时也是很多同学喜欢的语言, 部分程序已经翻译为 C 语言. 由于程序是用 FORTRAN 写的, 翻译中自然留有 FORTRAN 的痕迹. 在上次讲义完成到这次修订之间, 面向对象的程序设计逐步走向主流, 其代表性语言是 ++ 和 Java, 建议有志于从事计算物理的同学注意这一点.

假, 我修订了讲义, 主要是对原来的一些表述做了修改和补充, 同时尽可能强调物理方面的内容. 鉴于目前已经存在大量优秀的数学软件, 如 Matlab, Maple 等.

8 8 第零章绪论

9 第一章计算机数和误差在这一章中, 我们将给出电子数字计算机中数的表示, 计算规则, 舍入误差及算法稳定性等概念, 在处理上, 并不追求数学上的严密, 而是用一些启发式的推导和例子来说明主要概念, 需要进一步钻研的同学, 可以参看有关计算数学的书籍. 1.1 计算机数及其表示我们在初中的数学上就已经知道, 数有整数, 实数和复数, 整数可以取 0, ±1, ±2,..., ±n,..., ±, 实数则是整个数轴上的连续统. 数学分析就是建立在实数系上的. 实数的运算满足加法和乘法的交换律, 接合律等一般的运算律. 而计算机所能表达的数的全体, 则是一个离散的, 有限的集合. 通常计算机整数的取值范围为 N 到 N 1, N 的数值随计算机不同而异, 如 IBM-PC 机的 N = 实数也有一个取值范围, 在 IBM-PC 上, 实数的绝对值最大约为 10 38, 最小约为 10 38, 大于最大值的数将造成上溢, 小于最小值的数将造成下溢.( 在很多计算机系统中, 下溢作为 0 来处理 ). 计算机实数在其范围内的分布是非常不均匀的, 在靠近 0 的地方较密, 离开 0 越远越稀疏. 计算机实数一般不满足实数的运算律. 计算机中的实数通常用规格化的二进制浮点数来表示, 例如 , 和分别表示为 , 和由于计算机只有有限的字长, 所以只能表示有限个实数, 例如, 对于一个字长为五的计算机, 将无法区分 , 既然计算机的实数是一个有限的集合, 那么初始数据和中间结果都有可能不在这个集合中, 于是必须用计算机实数去近似表示相应的实数, 从而引进舍入误差. 如果按照四舍五入的原则去近似表示, 则由计算机表示一个实数时引进的舍入误差不大于最后一位数的一半, 但很多计算机采用了只舍不入的方法, 则由计算机数表示一个实数时引进的舍入误差最大可为最后一个二进制位.

实数的运算满足加法和乘法的交换律, 接合律等一般的运算律. 而计算机所能表达的数的全体, 则是一个离散的, 有限的集合. 通常计算机整数的取值范围为 N 到 N 1, N 的数值随计算机不同而异, 如 IBM-PC 机的 N = 32768.

10 10 第一章计算机数和误差 1.2 舍入误差对计算的影响在数值计算过程中, 一般每一步都有舍入误差, 舍入误差的积累有可能使整个计算失败. 例如, 考虑下述问题, 计算积分利用分部积分法得到或 1 E n = 1 0 x n e x 1 dx, n = 1, 2,..., 20. x n e x 1 dx = x n e x n x n 1 e x 1 dx, E n = 1 n E n 1 容易算出 E 1 = 1/e. 利用上述递推公式, 在 IBM-PC 微机上用双精度计算结果如下 : E 1 = E 2 = E 3 = E 4 = E 5 = E 6 = E 7 = E 8 = E 9 = E 10 = E 11 = E 12 = E 13 = E 14 = E 15 = E 16 = E 17 = E 18 = E 19 = E 20 = 被积函数在积分区间 [0, 1] 的内部总是正的, 因此积分值不可能为负, 更进一步, 由于 E n = 1 0 x n e x 1 dx 1 0 x n dx = 1 n + 1 所以, 必有 E 20 1/21. 显然, 上述计算结果是不正确的, 而问题就出在舍入误差上面. 我们对此作一个简单的分析. 双精度数可表示 14 位 10 进制数, 所以 E 1 的误差约为 ϵ = ( 也可能大于此数, 这里仅作一数量级的估计 ). 在递推过程中, 这个误差将被传播, 放大, 最后导致计算结果的错误. 误差的传播规律为 E 2 = 1 2(E 1 + ϵ) = 1 2E 1 2ϵ E 3 = 1 3(1 2E 1 2ϵ) = 1 3(1 2E 1 ) + 3!ϵ

利用上述递推公式, 在 IBM-PC 微机上用双精度计算结果如下 : E 1 = 0.36787944117144 E 2 = 0.26424111765712 E 3 = 0.20727664702865 E 4 = 0.17089341188538 E 5 = 0.14553294057308 E 6 = 0.12680235656152 E 7 = 0.

11 1.2 舍入误差对计算的影响 11 计算到 E 15 时的误差为 15!ϵ 10 3, 而计算到 E 18 时的误差已为 18!ϵ 6.0, 已经远大于 E 18 的上限 1/19. 现在我们考虑把递推关系改写成 E n 1 = 1 E n, n =, 4, 3, 2. n 利用关系 E n 1 n + 1 取 E 30 = 0.0 开始计算, 此时误差为 ϵ 1/ , 作一次递推后得到 E 29, 其误差减小到在计算 E 20 时, 误差已减小到 20! 31! 准确到 14 位有效数字, 初始误差的影响已完全消除了. 而每一步的舍入误差, 都在其后的迭代中减小和消除下表是计算结果. E 30 = 0.0 E 29 = E 28 = E 27 = E 26 = E 25 = E 24 = E 23 = E 22 = E 21 = E 20 = E 19 = E 18 = E 17 = E 16 = E 15 = E 14 = E 13 = E 12 = E 11 = E 10 = E 9 = E 8 = E 7 = E 6 = E 5 = E 4 = E 3 = E 2 = E 1 = 由上例可以看出舍入误差对计算的影响, 如果我们在计算中不去分析算法, 即使编出了正确的程序, 也可能得出错误的, 有时甚至是荒谬的结果.

而每一步的舍入误差, 都在其后的迭代中减小和消除下表是计算结果. E 30 = 0.0 E 29 = 0.33333333333333 E 28 = 0.033333333333333 E 27 = 0.034523809523810 E 26 = 0.035758377425044 E 25 = 0.

12 12 第一章计算机数和误差 1.3 减法的计算也许, 大家认为减法是一种非常简单的计算, 但是在用计算机做减法时, 如不小心, 就很容易出错, 问题就出在舍入误差上面. 我们考虑下面的例子 : 对于大的 x, 计算 x + 1 x (1.1) 取 x = , 在一个具有 6 位十进制有效数字的计算机上, 计算结果为 0.001, 而准确到 6 位十进制有效数字的精确结果为 , 计算中损失了 5 位有效数字. 对于更大的 x, 则可能根本得不到正确的结果. 但是, 如果把计算公式改为 ( x + 1 x x 1 x) = (1.2) x x x x 就可以得到较好的结果. 又如对于大的 N, 计算 N+1 N dx = artan(n + 1) artan(n) 1 + x2 时, 可以使用等价的公式 : ( ) 1 artan(n + 1) artan(n) = artan 1 + N(N + 1) 同理, 对于小的 ϵ ( sin (x + ϵ) sin(x) = 2 os x + ϵ ) ( ϵ sin 2 2) 上面分析的是一些简单的例子, 在实际问题的计算中, 常常会碰到一些十分复杂的问题, 即使有经验的计算研究人员也经常在减法计算中犯错误. 练习 : 分析下面的表达式, 给出对任何 x( 只要在所给函数定义域内 ) 都能得出正确结果的计算公式. os 2 x sin 2 x 1 + x2 1 x 2 ln(x) 1 e 2x e x 1 v2 1 x2 sin(x) x tg(x)

但是, 如果把计算公式改为 ( x + 1 x + 1 + x 1 x) = (1.2) x + 1 + x x + 1 + x 就可以得到较好的结果.

13 第二章物理学中的常用数值方法在这一章和随后的几章中, 我们将介绍几种常用算法, 这些内容应该在数学课中讨论, 但目前的数学课程并不包含这些属于计算数学课程的内容, 所以我们先作一些介绍. 2.1 数值积分方法积分分为定积分和不定积分两种, 我们在这里只讨论定积分, 不定积分的计算可作为变上限的定积分来计算. 考虑定积分 I = 它代表 f(x) 曲线下的面积. b a f(x)dx (2.1) 梯形法和辛普生方法在微积分中, 我们知道积分是由求和的极限定义的, 这就是第一种计算积分的方法梯形法. 把区间 [a, b] 分成一些子区间 [a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b], 则 (2.1) 的积分 I 可近似为 : I = 1 n 1 (x i+1 x i )(f(x i ) + f(x i+1 )) (2.2) 2 i=0 在实际计算中, 常采用等间距分法, 即 x i+1 x i = h = b a n 为一常数, 上面公式可简化为 : I = h n 1 (f(x i ) + f(x i+1 )) 2 i=0 为了节省工作量, 实际使用的计算公式为 : n 1 I = h f(x i ) + h 2 (f(x 0) + f(x n )) (2.3) i=1 当子区间越来越小, h 0 时, 求和的结果将趋于积分值由于我们事先并不知道积分的结果, 所以我们也就不知道求和结果和积分结果之间的差别为此, 我们需要估计计

把区间 [a, b] 分成一些子区间 [a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b], 则 (2.1) 的积分 I 可近似为 : I = 1 n 1 (x i+1 x i )(f(x i ) + f(x i+1 )) (2.

14 14 第二章物理学中的常用数值方法算误差, 一个直观的估计是比较不同大小的子区间的结果之差为了在每次子区间变小时能够用到前次的计算结果, 我们可以从 n = 1 开始计算, 每次把区间数增加一倍, 则前一次计算的函数结果仍然有用, 通过比较连续两次的计算结果之差是否小于给定的误差限来结束计算. 梯形方法实际上把每一个子区间上的函数近似为线性函数 αx + β, 然后计算其积分值, 再把结果加起来.( 作为一个练习, 请自行证明 ), 因此, 我们说梯形方法是具有线性代数精度的方法. 下面考虑具有二次代数精度的方法, 辛普生方法. 先考虑把积分区间 [a, b] 分为二个子区间, 分点为 (a, a + h, a + 2h = b), h = b a 2, 在区间上把被积函数用二次函数来近似, 即取 f(x) α(x a) 2 + β(x a) + γ, 其中 α, β, γ 可利用分点上的函数值 f(a), f(a + h), f(b) 表示为 : 简单地计算得到 : b a α = β = f(b) 2f(a + h) + f(a) 2h 2 f(b) + 4f(a + h) 3f(a) 2h γ = f(a) (α(x a) 2 + β(x a) + γ) dx = h (f(b) + 4f(a + h) + f(a)) (2.4) 3 这就是著名的辛普生求积公式. 显然, 它具有二次代数精度. 实际计算中, 把被积区间 [a, b] 先分为 N 个子区间, 然后在每个子区间中用辛普生求积公式计算, 并把最后结果加起来. 其计算公式为 : b a f(x)dx h (f(a) + 4f(a + h) + 2f(a + 2h) + 4f(a + 3h) + + f(b)) (2.5) 3 这是一个在实际计算中常用的方法, 它对于一般的有限区间的积分都能给出较好的正确结果. 辛普生方法有各种不同的实现, 我们在这里给出简单的一种, 取每个子区间均相等, 从二个子区间开始, 每次子区间数目加倍, 这样可以在每次计算时使用前次的计算值. 这种实现的缺点是在整个积分区间均匀取点, 对于在部分区间变化剧烈而在其余地方变化平缓的被积函数计算效率不高. 这一实现可以充分利用它与梯形法的关系. 假定 n = 2 k, 用 S k 表示用 2 k 个子区间梯形公式求得的结果. 则式 (2.5) 可写为 : b a f(x)dx 1 3 [4h(f(a + h) + f(a + 2h) + + f(b h) f(a) f(b)) 2h(f(a + 2h) + f(a + 4h) + + f(b 2h) f(a) f(b)) + h(f(a) + f(b)) 2h(f(a) + f(b)) + h(f(a) + f(b))] = 1 3 (4S k S k 1 ) (2.6)

( 作为一个练习, 请自行证明 ), 因此, 我们说梯形方法是具有线性代数精度的方法. 下面考虑具有二次代数精度的方法, 辛普生方法.

15 2.1 数值积分方法 15 计算定积分还有很多方法, 如龙贝格方法, Newton-Cotes 方法等, 我们将不在此讨论, 有兴趣的同学可参看有关计算数学的书籍. Quadpak(netlib.org) 中包含了若干非常稳定的求积分的程序, 建议在实际工作中使用在 Matlab 中, 梯形法, 辛普森均作为标准函数提供, 实际应用时, 只要写一个被积函数的 m 程序, 调用积分程序即可常用的几个求积分的函数是 quad, quadl, quadgk 等其中 quad 使用自适应的辛普森算法,quadl 应用龙贝格加速来改善计算效率和提高精度例如, 计算积分 1 先定义函数 fun 并存入 fun.m funtion y=fun(x) end y=sin(x.^2)./(1.+x.^4); 然后在 Matlab 的命令窗口运行 0 sin(x 2 ) 1 + x 4 dx >> format long >> quad(@fun,0,1) 结果为 : ans = 反常积分的计算反常积分分为两类, 一类是积分区间有限, 在积分区间内被积函数有奇点, 另一类是积分区间为无限. 对于二者兼而有之的积分, 可以分为两个或多个积分来处理, 使每个积分为上述两类之一. 积分区间内含有奇点的积分对于积分区间内含有奇点的积分, 根据奇点的性质, 可采用下面的方法处理. 可去奇点, 设 x 0 为一可去奇点, 且知道在 x 0 点被积函数的极限, 则只要在计算函数时, 在 x 0 的一个邻域内用极限取代函数值即可. 例如, sin(x) 在 x = 0 有可去奇点, 但当 x x 0 时, sin(x) x 1 x2 6 +, 在计算函数时, 可使用下面的语句 :

quadgk 等其中 quad 使用自适应的辛普森算法,quadl 应用龙贝格加速来改善计算效率和提高精度例如, 计算积分 1 先定义函数 fun 并存入 fun.m funtion y=fun(x) end y=sin(x.^2)./(1.+x.

16 16 第二章物理学中的常用数值方法 IF(ABS(X).LT.1.0E-4) THEN F=1.0-X*X/6.0 ELSE F=SIN(X)/X ENDIF 极限方法, 有时我们并不知道奇点处函数的极限表达式, 有时甚至不知道奇点是否可去, 此时可用极限方法来逼近. 例如, 若已知 x 0 为奇点, 对于积分 b x 0 f(x)dx = lim r x 0 b r f(x)dx 定义一个收敛于 x 0 的序列 b > r 1 > r 2 >, 例如可取 r n = x n, 则上述积分可写为一个求和 : b b r1 f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx x 0 r 1 r 2 r 3 r 4 等式中每一项都是正常积分, 当 r n r n+1 f(x)dx ϵ 时, 终止计算. 如果上式不收敛, 则很可能原积分不存在. 消除奇点, 有些奇点可以通过变量替换或对被积函数进行变换而消去. 我们看几个 r2 r3 例子 : 1 作变量替换 x = t 2, dx = 2t dt, 则有 : 或把积分写为 : 1 0 os(x) x dx = 1 1 第二项积分中的奇点已成为可去奇点 os(x) x dx os(x) x dx = os(t 2 )dt 1 1 os(x) 1 1 dx + dx = 2 + x 0 x 0 I(x) = x 0 e t 1 t 在 t = 1 的邻域, 被积函数与 e 1 /(1 t) 很相像, 因此变为 : I(x) = x 0 e 1 x 1 t dt + 0 所有的奇异性都在第一项, 而这一项可解析处理. os(x) 1 dx x e t e 1 dt = 1 x 1 t e ln 1 x + e t e 1 dt 1 t 除上面例子演示的方法外, 还可用分部积分法消除奇点, 这里不再一一举例了. 0

+ f(x)dx x 0 r 1 r 2 r 3 r 4 等式中每一项都是正常积分, 当 r n r n+1 f(x)dx ϵ 时, 终止计算. 如果上式不收敛, 则很可能原积分不存在. 消除奇点, 有些奇点可以通过变量替换或对被积函数进行变换而消去.

17 2.1 数值积分方法 17 积分区间为无限的积分下面我们讨论积分区间为无限的情形. 为具体起见, 只讨论形为 0 f(x)dx 的积分, 其它形式的无穷区间的积分均可化为上面的形式. 变量替换法 : 通过变量替换, 可把无穷区间的积分化为有限区间上的积分, 如令 x = ln(t), dx = dt t, 则有 : 0 f(x)dx = 1 0 f( ln(t) 1 dt = t 0 g(t) dt (2.7) t g(t) 这里 g(t) = f( ln(t)), 若在 t = 0 的邻域内有界, 则上式的积分成为一个正常积分, t 否则就是前面讨论过的有限区间上的反常积分, 可以用前面的方法来处理. 上述变换对于当 x 时, f(x) 以 e kx 的形式衰减的函数, 计算结果十分令人满意. 其它常用的变换还有 x = 以及 t = tanh x 等. t, dx = 1 dt 1 t (1 t) 2 极限法 : 由定义 0 f(x)dx = f ( ) t 1 dt (2.8) 1 t (1 t) 2 r f(x)dx = lim f(x)dx r 0 定义一个趋于的序列 0 < r 1 < r 2 <, 例如可取 r n = 2 n, 则上述积分可写为一个求和 : 0 f(x)dx = r1 0 f(x)dx + r2 r 1 f(x)dx + r3 r 2 f(x)dx + (2.9) 式中每一项都是正常积分, 当 r n+1 f(x)dx ϵ 时, 终止计算. 如果上式不收敛, 则很可能原积分不存在. 如果能找到尾项 r n R 需进行到某一足够大的 r n 处, 再加上尾项. f(x)dx 的一个较好的渐近表达式, 则上述积分只还有一些其它的有效方法, 这里不再一一列举, 我们下面就要讲到的高斯积分方法提供了另一种处理反常积分的工具高斯积分方法前面的积分公式 ( 梯形公式及辛普生公式 ) 的代数精度都较低, 一个自然的问题是, 能否构造出高代数精度的公式, 回答是肯定的, 这就是高斯积分方法. 我们将不讨论高斯积分方法的理论基础, 而只是给出有关的计算公式, 对理论基础有兴趣的同学可以参看有关的计算数学的书籍.

7) t g(t) 这里 g(t) = f( ln(t)), 若在 t = 0 的邻域内有界, 则上式的积分成为一个正常积分, t 否则就是前面讨论过的有限区间上的反常积分, 可以用前面的方法来处理.

18 18 第二章物理学中的常用数值方法有限区间的高斯型积分公式 : 高斯勒让德积分公式 : 1 1 f(x)dx = n w i f(x i ) (2.10) 此处, x i 为 n 阶勒让德多项式的根, 通常称为积分节点, w i 称为积分权重. 等权重切贝雪夫积分公式 : 这里 x i 为积分节点, 权重为 2/n. 1 第一类高斯切贝雪夫积分公式 : f(x)dx = 2 n f(x) 1 x 2 dx = π n n f i=1 i=1 n f(x i ) (2.11) i=1 ( os ( )) (2i + 1)π 2n (2.12) 第二类高斯切贝雪夫积分公式 : 1 1 f(x) 1 x 2 dx = π n + 1 n ( ) ( ( )) iπ iπ sin 2 f os n + 1 n + 1 i=1 如果积分区间不是 [ 1, 1], 而是 [a, b], 可利用变换 ( ) ( ) b a b + a x = t (2.13) (2.14) 将积分区间变为 [ 1, 1], 然后利用上述公式进行计算. 在实际计算时, 常把积分区间分为几个小区间, 在每一个小区间内使用高斯积分公式, 并把结果加起来. 练习 : 试编写上述四种高斯积分公式的程序, 并利用所编写的程序计算积分 1 1 x + 1.5dx, x dx, 1 0 dx x 2 0 e os2 (x) dx, ( 积分所需的节点及权重在后面的表中给出 ). 1 0 sin(x) x dx 无限区间的高斯型积分公式 : 高斯拉盖尔积分公式 : 0 e x f(x)dx = n w i f(x i ) (2.15) i=1

12) 第二类高斯切贝雪夫积分公式 : 1 1 f(x) 1 x 2 dx = π n + 1 n ( ) ( ( )) iπ iπ sin 2 f os n + 1 n + 1 i=1 如果积分区间不是 [ 1, 1], 而是 [a, b], 可利用变换 ( ) ( ) b a b + a x = t + 2 2 (2.13) (2.

19 2.1 数值积分方法 19 高斯厄米积分公式 : e x2 f(x)dx = n w i f(x i ) (2.16) i=1 这里 x i 分别为 n 阶拉盖尔多项式和厄米多项式的根. 其数值和对应的权重的数值在附录的表中给出. 练习 : 试编写上述二种高斯积分公式的程序, 并利用所编程序计算积分 0 e x 1 + x 4 dx, 0 e x2 os(x)dx 各阶高斯积分公式的取点并不重和, 当增加分点时, 所有的函数值都要重算 1965 年 Kronrod 提出了结合高斯方法和加速收敛技巧的算法这一算法也可以处理有一定奇异性的被积函数, 但需要把奇点放在积分限上在 Matlab 中已实现这一算法, 其调用命令是 quadgk. 例如, 计算积分定义函数 funsin, 并存入 funsin.m 0 sin x x e x dx funtion y=funsin(x) end y=sin(x).*exp(-x)./x; 在 Matlab 命令窗口键入如下命令 format long quadgk(@funsin,0,inf) ans = 这一积分的精确结果是 π 4 =

合高斯方法和加速收敛技巧的算法这一算法也可以处理有一定奇异性的被积函数, 但需要把奇点放在积分限上在 Matlab 中已实现这一算法, 其调用命令是 quadgk.

20 20 第二章物理学中的常用数值方法哥西主值的计算在物理计算中, 哥西主值的计算占了很重要的位置, 如物质的介电函数的实部和虚部之间满足著名的 Kramers-Kronig 关系 : ϵ(ω) = ϵ 1 (ω) + iϵ 2 (ω) ϵ 1 (ω) = π P sϵ 2 (s) s 2 ω ds 2 ϵ 2 (ω) = 2ω π P 0 0 ϵ 1 (s) ds (2.17) s 2 ω2 这个关系是一个严格的关系, 它来源于因果关系, 是非常普遍的. 在物理上, ϵ 2 (ω) 的测量和计算都比较容易, 因此, 一般不直接测量或计算 ϵ 1 (ω), 而是利用上述关系由 ϵ 2 (ω) 的数据进行计算. 上述 Kramers-Kronig 关系中出现的 P 就代表哥西主值积分, 设 a < < b, f(x) 在 x = 的邻域内无界, 则哥西主值积分定义为 : P b a f(x)dx = lim r 0 [ r a f(x)dx + a 不失一般性, 我们取 = 0 并将积分取成 f(x)dx 的形式. 令 a b +r ] f(x)dx (2.18) g(x) = 1 [f(x) f( x)], 2 h(x) = 1 [f(x) + f( x)] 2 则 f(x) = g(x) + h(x) 由于 g(x) 是奇函数而 h(x) 是偶函数, 于是 : 因此, P b a = = 2 r a r a a r f(x)dx = 2 lim f(x)dx + g(x)dx + h(x)dx r 0 a r a r a r f(x)dx g(x)dx + h(x)dx = 2 a 0 r a h(x)dx = h(x)dx + a 0 a r h(x)dx [f(x) + f( x)]dx 这样我们就把哥西主值积分的计算变为在 x = 0 处有奇点的一个反常积分的计算. h(x) 也可能在 x = 0 处无奇点, 此时只要计算一个常规积分. 例如前面的 Kramers-Kronig 关系中积分的计算可化为 : 2 π P 0 sϵ 2 (s) s 2 ω ds = 1 2 2π P ϵ 2 (s) s ω ds = 1 π 0 ϵ 2 (ω + x) ϵ 2 (ω x) dx x

2ω π P 0 0 ϵ 1 (s) ds (2.17) s 2 ω2 这个关系是一个严格的关系, 它来源于因果关系, 是非常普遍的.

21 2.1 数值积分方法 21 2ω π P ϵ 1 (s) 0 s 2 ω ds = 1 2 2π P ϵ 1 (s) s ω ds = 1 ϵ 1 (ω + x) ϵ 1 (ω x) dx π 0 x 在得到上述关系时, 我们利用了 ϵ 1 为偶函数而 ϵ 2 为奇函数的事实. 当哥西积分区间内的无界邻域不止一个时, 可以把积分区间分为几段, 使得每一段中只包含一个无界邻域, 然后在每一段用上述方法计算. 分另一种计算主值积分的方法是直接从定义出发, 设 f(x) 在积分区间内无奇点, 则积 b P a f(x) x x 0 dx = x0 f(x) b f(x) x0 + f(x) dx + dx + P dx a x x 0 x 0 + x x 0 x 0 x x 0 = I + lim I ϵ, ϵ 0 (2.19) I 为第一行右方第一和第二项之和, 是正常积分, 可用前述任一方法计算. I ϵ, = x0 ϵ x 0 把 f(x) 在 x 0 点展开, 并逐项积分, 得到取极限 ϵ 0, 得到 f(x) x x 0 dx + x0 + x 0 +ϵ f(x) x x 0 dx I ϵ, = 2f (x 0 )( ϵ) + f (3) (x 0 )( 3 ϵ 3 ) + I 0,δ = 2 这样, 原主值积分为 I 0, + I. 练习 : f (2n+1) 2n+1 (x 0 ) (2n + 1)!(2n + 1). (2.20) n=0 试用上述方法计算主值积分 1 e x P 0 x 0.5, 对于不同的, 在 (2.20) 中取两项, 比较计算结果与精确结果. ( 到 16 位的精确结果为 ) 另外一种常用的计算主值积分的方法是基于如下公式 1 lim η 0 + x iη = P 1 + iπδ(x) (2.21) x 式中 η 0 + 表示 η 从大于 0 的方向趋于 0. 这一公式当然是在积分的意义下理解利用上述结果, 就可以得到计算主值积分的一个方法 : 例如要计算 P b a F (x) dx b 取一个小量 η, 计算 F (x iη) dx, 其实部给出 P b F (x) dx 的依赖于 η 的近似值, 通 a a 过减小 η, 可以得到精度要求下收敛的结果例如, 对于前面的练习题, 分别取不同的 η, 计算结果如下

22 22 第二章物理学中的常用数值方法 η 积分值 i i i i 急速振荡函数的积分换在各种变换特别是付里叶变换中, 经常会遇到急速振荡函数的积分, 例如, 付里叶变 b 又如付里叶贝塞尔变换, a f(x) os(nx)dx, 1 这里 0 < γ 1 < γ 2 < 是贝塞尔函数的根. 一般我们可把这类函数写为 : I(t) = b a 0 b a f(x)xj n (γ m x)dx f(x) sin(nx)dx f(x)k(x, t)dx, < a < b < (2.22) 式中 K(x, t) 为一振荡核而 f(x) 为非振荡部分. 由于振荡型函数在积分区间内多次取几乎相等的正值和负值, 如果用通常的方法计算, 则由于正负数相加, 造成有效数字的损失, 几乎得不到正确的结果. 下面先给出最常遇到的振荡函数的积分付里叶系数的一种计算方法, 然后再讨论较为一般的方法. 付里叶系数的计算 : 付里叶系数的复数形式为 : b 对上式分部积分, 假定 f(x) 存在直到 n 阶的导数, 可以得到 : b a n 1 f(x)e isx dx = e isa k=0 a f(x)e isx dx (2.23) ( ) k+1 i n 1 f (k) (a) e isb s 当 n 趋于无穷大时, 余项 R n 趋于 0, 而求和项就给出了积分的近似值. 练习 : 写出 (2.24) 的实部和虚部, 即 k=0 ( ) k+1 i f (k) (b) + R n (2.24) s b a f(x) os sxdx 和 b a f(x) sin sxdx 的积分公式.

23 2.1 数值积分方法 23 上述公式需要计算 f(x) 的直到 n 1 阶的导数, 这对于较为复杂的函数来说, 曾是一个很重的负担. 不过目前计算机代数的发展, 计算导数已经没有多少困难. 为了看出这一方法的效力, 我们来看一个例子. 计算 I = 2π 0 x os(x) sin 30xdx 用公式 (2.24) 的虚部, 取 n = 3, 由 f(x) = x os(x), a = 0, b = 2π, f(0) = 0, f(2π) = 2π, f (0) = 0, f (2π) = 2π, 代入得到 : 2π I = x os(x) sin 30xdx = 1 ( ) π + ( 2π) = 而该积分的精确值为基于 Euler-Malaurin 公式的梯形法 : 可以证明 ( 见王竹溪, 郭敦仁特殊函数概论第一章 ), 函数 f(x) 的积分可以写成 a+mh [ ] f(a) f(a + mh) f(x)dx = h + f(a + h) + + f(a + (m 1)h) + a 2 2 n ( 1) k B k h 2k [ + f 2k 1 (a + mh) F 2k 1 (a) ] + R n (2k)! 其中 k=1 R n = θ ( 1)n+1 B n+1 h [ (2n+1) f (2n+1) (a + mh) f (2n+1) (a) ] (2n + 2)! (2.25) 这里 0 θ 1,B n 是 Bernoulli 数如果 f(x) 是周期函数,f(a + mh) = f(a), 且 f(x) 存在直到 (2n + 1) 阶的导数, 则显然有 f (2k+1) (a) = f (2k+1) (a + mh), 于是, 利用梯形法可以得到精确的结果作为例子, 取不同的点, 试用梯形法计算如下积分, 并于精确结果比较 1 Bessel 函数的积分表示之一是 sin 10πxdx, 精确值 = J n (t) = 1 π π 计算 n = 2, t = 1, 3, 7, 10 时 Bessel 函数的值 0 os (t sin x nx)dx 由 Euler-Malaurin 公式可知, 如果一个函数满足 f (a) = f (a + mh), f (3) (a) = f (3) (a+mh),, 则梯形公式也可以得到很精确的结果例如函数 f(x) = exp(x 2 (1 x 2 )), 在 0 和 1 满足上述关系, 从而, 可以用梯形公式计算 1 0 exp(x 2 (1 x 2 ))dx 这个积分的精确结果是 , 请分别用梯形法和辛普森法计算并比较其结果

24 24 第二章物理学中的常用数值方法子区间法, 在一般情况下, 如果 K(x, t) = 0 的根容易求出, 且记为 a x 1 < x 2 < < x n b, 则可用普通的积分规则计算每一个子积分 xi+1 x i, 并把结果加起来. 用这种方法得到的一般是一个交错级数, 且相邻项的绝对值比较接近, 其求和可用 Euler 变换计算. (Euler 变换将在后面讨论 ) 在讲了样条插值之后, 我们再介绍一种基于样条插值的计算积分 (2.23) 的方法. 更多的方法可以参看 (P. J. Davis and P. Rabinowitz,Methods of Numerial Integration, Aademi Press, 1984) 高维积分的计算高维积分的计算原则上可以通过化成累次积分来进行, 例如, 对于积分 I = g(x, y, z) dxdydz (2.26) 其中 Ω 为积分区域, 总可以化为 I = b dx Ω d(x) dy f(x,y) a (x) e(x,y) g(x, y, z) (2.27) 这相当于依次计算三个一重积分, 每一积分以其前一积分作为被积函数. 稍加考虑就可发现, 这一过程的计算量随积分重数的增加而变得无法完成. 如每重积分取 10 个点 ( 这是一个非常小的数字 ), 则 n 重积分就要计算 10 n 个函数值. 因此, 这一方法只能用于积分重数较低的积分. 高维积分还可以用高斯方法计算, 这只要把每重积分用高斯积分公式代入即可. 对于 n > 3 的高维积分, 计算量总是相当大的, 如果你对计算精度要求不高, 那么可以利用后面将要讲到的 Monte Carlo 方法. 另外, 如果可能, 请尽可能地解析积出内层积分, 以减小计算量固体热容量的计算在德拜近似下, 固体的热容量由下式给出 ( ) 3 T Θd /T C V = 9Nk Θ D 0 ξ 4 e ξ (e ξ 1) 2 dξ 式中 Θ D 为德拜温度. 为了求得热容量, 需要计算上式中的积分, 这一积分只有当 Θ d /T 1 或 Θ d /T 1 时才能解析积出, 一般情况下只能进行数字计算. 考虑 f(x) = x 0 ξ 4 e ξ (e ξ 1) 2 dξ

25 2.2 方程的求根和最优化方法 25 利用我们学到的方法, 可以对不同的 x 求出其值, 并做出 f(x) 的表或图形. 为了计算积分, 注意到 ξ = 0 是被积函数的可去奇点, 因此, 应在该点把被积函数展开为 ξ 的级数 ; 当 ξ, 被积函数指数减小. 已知 f( ) = 0 ξ 4 e ξ (e ξ 1) dξ = π4 我们可以根据 x 的值的大小分别用两种方法计算, 取一值 x, 当 x < x 时, 用原式计算, 当 x > x 时, 可以计算 f( ) f 1 (x), 其中 f 1 (x) = x ξ 4 e ξ (e ξ 1) 2 dξ x 可以选择的大一点, 这样 f 1 (x) 的数值比较小, 计算精度要求可以低一些. 我们选择 x = 10, x < x 时, 用辛普生方法计算 f(x), 被积函数为 { ξ 2 ξ ξ < 0.05 ξ 4 e ξ (e x 1) ξ x 当 x > x 时, 计算 f 1 (x), 对积分作变量变换 ξ = η + x 则 f 1 (x) = e x 0 (η + x) 4 e η (1 e (η+x) ) 2 dη 这一积分可用高斯拉盖尔方法计算. 作为练习, 请同学完成余下的计算并作出 f(x) x 的图形 2.2 方程的求根和最优化方法方程的求根问题是物理计算中最常遇到的问题之一, 对于低次代数方程, 已经找到了解的公式, 但除了二次方程之外, 这些公式并无多少实用价值, 而对于即使如 os(x) x = 0 这样简单的方程, 也无法找到解析形式的解. 数值计算几乎是求解任何有实际意义的问题的唯一方法. 在这一节中, 我们将讨论几种求解 f(x) = 0 的根的数字方法. 最优化方法除了本身的重要性之外, 也是一种求解多元方程的有效方法, 因此, 最优化方法的介绍也是本节的一个重要内容二分法二分法是求解方程的最安全, 也是概念上最简单的方法, 它可以做为后面将要讲到的方法失败后的最后保险. 假定我们知道在区间 a < x < b 之内只有 f(x) = 0 的一个根, 则显然 f(a) 与 f(b) 异号, 把区间分半, 即令 = (b + a)/2, 计算 f() 的值, 若 f(a) 与 f() 同号, 则根在 [, b] 之间, 否则, 根在 [a, ] 之间, 对根所在的区间重复上述过程直到达到所需精度.

26 26 第二章物理学中的常用数值方法牛顿法和割线法在所有一元函数求根方法中, 牛顿法也许是最值得推荐的一个. 其想法是这样的, 假定 f(x) = 0 的根为 x, 而我们有一个对 x 的猜测值 x n, f(x) 可在 x n 附近展开为泰勒级数 : f(x) = f(x n ) + f (x n )(x x n ) + 略去高次项, 令上式为 0, 可解出 x, 将此值作为 x 的一个更好的近似, 记为 x n+1, 则 x n+1 = x n f(x n) f (x n ). (2.28) 这样, 给定一个 x 的初始值 x 0, 利用下面的迭代公式反复迭代 : x n+1 = x n f(x n) f (x n ) (2.29) 如果迭代收敛, 则必收敛于 f(x) = 0 的一个根 x. 这一迭代公式 (2.29) 就是著名的牛顿迭代公式. 可以证明, 如果迭代到第 n 步时的误差为 ϵ n = x n x, 则第 n + 1 步的误差为 f (x ) ϵ n+1 = ϵ 2 n, 也就是说, 牛顿法是平方收敛的. 证明如下 : 由迭代公式 (2.29), 2f (x ) x n+1 = x n f(x n) f (x n ) x + ϵ n ϵ nf (x ) ϵ2 nf (x ) f (x ) + ϵ n f (x ) ( x + ϵ n ϵ n + 1 f (x ) 2 f (x ) ϵ2 n f ) (x ) f (x ) ϵ2 n = x + 1 f (x ) 2 f (x ) ϵ2 n 二分法是线性收敛的, 请证明之. 但是, 另一方面, 对于任一初始值, 牛顿法并不总是收敛, 事实上, 牛顿法的收敛范围是较小的, 因此, 在实际使用时, 必须找一个较好的 x 0, 使 x 0 尽可能地靠近 x, 这可以把二分法与牛顿法结合起来以完成. 试计算 10. 令 f(x) = x 2 10, f(x) = 0 的根就是所求结果取初始值 x 0 = 3, f (x) = 2x. 迭代结果如下 :

27 2.2 方程的求根和最优化方法 27 牛顿法的一个重要的缺点是需要计算函数的导数, 对于一些复杂的函数来说, 这是一件十分麻烦的工作. 为了即保持较高的收敛速度, 又避免麻烦的导数计算, 可以对牛顿法稍作变形, 用差分代替导数, 从而得到下面的割线法. x n+1 = x n x n x n 1 f(x n ) f(x n 1 ) f(x n) (2.30) 这一迭代方式需要二个初始值 x 0, x 1, 可以取为所猜测的解附近的二个点. 割线法的收敛速度比牛顿法稍慢, 但省去了导数的计算, 对于求导数比较困难的函数特别有用. 作为一个编程练习, 请写出这一算法的程序并作为你自己的库程序. 练习 : 证明割线法的收敛阶为 ϵ n+1 ϵ n 另一个不需要计算导数的方法是所谓的 Stewenson 方法, 算法如下 : x n+1 = x n f(x n ) 2 f(x n ) f(x n f(x n )) (2.31) 对于单零点, 这一算法的收敛阶为 2,( 请证明 ), 而且不需要计算导数, 是一个较好的算法. 试计算 10. 令 f(x) = x 2 10, f(x) = 0 的根就是所求结果取初始值 x 0 Stewenson 法迭代结果如下 : = 3. 用一维最优化, 黄金分割法这一节开始我们讨论最优化方法, 或计算一目标函数的极值的方法. 最优化方法在物理学中有十分广泛的应用, 函数的求根问题也可化为一个最优化问题, 例如, 求函数 f(x) = 0 的问题就与求目标函数为 F (x) = f(x) 2 的极小值的问题等价, 而方程组 f i (x 1, x 2, x 3,, x n ) = 0, i = 1, 2, 3,, n 的求解问题则与 F (x 1, x 2,, x n ) = n w i f i (x 1, x 2,, x n ) 2 i=1

28 28 第二章物理学中的常用数值方法的最优化问题等价. 这里 w i, i = 1, 2,, n 为一组权重参数, 适当的选则可使计算更为容易进行, 但对根的位置没有影响. 这一节我们先考虑一个自变量的目标函数的最优化问题. 假定我们有一目标函数 F (x), 我们的任务是寻找一个 x = x, 使得目标函数 F (x) 最小. 这一工作可以分两步来完成, 首先, 我们要找出目标函数的极小点所在的大致位置, 或者更确切一些, 我们要找三个点 a < b <, 使得目标函数 F (b) < F (a), F (b) < F (). 第二步则在区间 [a, ] 内寻找 F (x) 的最小值. 第一步原则上是十分简单的, 假定有两点 a, b, 我们可以比较 F (a) 和 F (b) 以确定一个函数减小的方向, 不失一般性, 假定 F (b) < F (a), 然后沿减小方向前进一步, 到达新的一点, 一般取 = b (b a), 如果 F () < F (b), 则令 a = b, b =, 继续前进, 寻找新的 ; 如果 F () > F (b), 则我们的目的已经达到. 下面考虑第二步的计算, 即从三个点 a < b <, F (b) < F (a), F (b) < F () 出发, 寻找 F (x) 的极小点 x min. 这里介绍黄金分割法. 寻找极小点的过程, 实际上就是用一种方法不断缩小区间 [a, ], 并保证极小点一直位于区间之内. 这一过程可以这样来完成, 假定已经作了 n 步, 得到三个点 a, b, 和对应的目标函数值 F (a) > F (b), F (b) < F (), 不失一般性, 假定 b > b a, 在区间 [b, ] 内选一点 x, 如果 F (x) < F (b), 则作代换 a = b, b = x, 新的缩小了的区间为 [a, ]( 即原 [b, ], 丢掉的区间为原 [a, b]); 如果 F (x) > F (b), 则作代换 = x, 新的缩小了的区间为 [a, ]( 即原 [a, x], 丢掉的区间为原 [x, ]). 问题在于如何选择 x, 一个自然的想法是, 不论 F (x) < F (b) 或 F (x) > F (b), 丢掉的区间都相同, 即选择 x, 使得 b a = x w( a) (2.32) 这里 w 是一个比例因子, 我们现在来确定它. 由于要求每一步都满足上述关系, 显然有 x b = w( b) = w(( a) (b a)) = w( a) w 2 ( a) = (w w 2 )( a) (2.33) 另一方面, 由 (2.32) 可得 (b a) + ( x) = ( a) (x b) = 2w( a) (2.34) 即由 (2.33) 和 (2.35), 我们得到 : x b = (1 2w)( a) (2.35) w 2 3w + 1 = 0 (2.36) 由此解得, w = , 1 w w 通常被称为黄金分割数或黄金数. 一般在开始计算时, a, b, 三者并不满足黄金分割关系, 但几次迭代后, 这一关系便可满足, 并在其后一直保持.

29 2.2 方程的求根和最优化方法高维最优化, 共扼梯度方法这一节给出多维问题的最优化方法. 对于一个含有 n 个自变量的目标函数 F (x 1, x 2, x n ), 我们的目的是要求出一组 (x 1, x 2,, x n) 使目标函数达到极小. 为了讨论问题的方便, 下面用 x 代表 n 维空间的一个点, 最优化问题也可以表述为, 寻找 n 维空间的一点 x 使得目标函数 F (x ) 最小. 高维最优化问题有很多求解方法, 其基本思路是相同的, 这就是从一点 x 0 出发, 按照某种规定的方向 p 0, 用一维最优化的方法寻找函数 F (x) 的极小点 x 1, 继续这一过程直到达到最优点. 若第 i 步到达 x i, 设选定方向 p i, 则新的 x i+1 可如下求得. 实际上, 我们只要找一参数 t i, 使得 F (x i + t i p i ) = min t F (x i + tp i ) (2.37) 则 x i+1 = x i + t i p i 便为所求. 因此, 高维最优化的的不同方法实际上是选择不同的一维寻找方向. 一个直观的推断就是在每一点选择该点目标函数下降最快的方向 p i = F (x i ) (2.38) 作为寻找方向, 这一方法称为最陡下降法. 直观的想象可能会认为最陡下降方向是一种理想的寻找方向, 但事实并非如此, 最陡下降方向只表示在 x i 附近的下降性质, 而对整个最优化过程来说, 我们寻找的是全局的最优方向. 作为一个例子, 考虑如下函数的最优化 : F = x y 2 (2.39) 显然, 这一函数的极小点是 (0, 0). 函数 (2.39) 的负梯度为 g = (2x, 20y) T (2.40) 如果从点 (2, 1) 出发, 利用最陡下降法计算所得逐 x 如下 : (2, 1), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( ). 显然, 收敛是很慢的. 最陡下降方向并不是理想的下降方向, 为了改进最优化的收敛速度, 需要寻求其他方向. 为了判断一个寻找方向的好坏, 应该有一个标准, 注意到一般函数在最小点附近近似于二次函数, 因此如果一个方法对二次函数比较有效, 则可望其对一般函数也比较有效, 如果一个方法对二次函数的效果都不好的话, 很难期望它对一般函数会有好的效果.

30 30 第二章物理学中的常用数值方法计算实践也证实了这一论断. 下面, 我们就从二次函数寻求一种比较有效的下降方向. 为此, 我们先给出几个数学定理 ; 定理一 : 若 N 维欧几里德空间中的向量 q 与 N 个线性独立向量 p 1, p 2,, p N 都正交, 则向量 q 必为 0. 这一定理的结论是显然的. 定义 : A 共轭向量. 设 A 是一个 N N 的对称正定矩阵, p, q 是两个 N 维向量, 若, p T Aq = 0 (2.41) 则称向量 p 和向量 q 互为 A 共轭或互为 A 正交. 定理二 : 若 A 为 N N 对称正定矩阵, p 1, p 2,, p N 为 A 共轭的 N 维非零向量, 则此向量组必为线性独立. 证明 : 设向量组 p 1, p 2,, p N 之间存在线性关系 α 1 p 1 + α 2 p α N P N = 0 对 i = 1, 2,, N, 用 p T i A 左乘上式得 α i p T i Ap i = 0 因为 p i 0, A 正定, 所以 p T i Ap i > 0 从而必有 α i = 0, i = 1, 2,, N 因此, 向量组 p 1, p 2,, p N 线性独立. 有了以上数学准备, 我们来考虑二次函数的最优化问题, 我们的目的是找一种下降方向, 能够在有限步达到二次函数的极小点. 考虑二次 N 元函数 F (x) = a + b T x xt Ax (2.42) 其中 A 为一正定矩阵. 函数 (2.44) 的梯度为 G(x) = b + Ax (2.43) 记 x i 点的梯度为 g i = G(x i ), 从 x 0 点出发, 对于第一个寻找方向, 除梯度外没有别的信息, 我们就取 p 0 = g 0, 沿此方向找到极小点 x 1 并可求得这一点的梯度 g 1, 因为 x 1 是沿 p 0 方向的极小点, 这一点的梯度方向一定与 p 0 垂直,g 1 p 0, 从而 g 1 g 0. 现在有了两个

31 2.2 方程的求根和最优化方法 31 方向,g 1 和 g 0, 最陡下降法选取新的方向为 g 1. 我们保留原来方向的一点信息, 选新的寻找方向为这两个方向的组合 p 1 = g 1 α 0 g 0 (2.44) 并要求 p 1 与 p 0 为 A 共轭, 则应有 ( g 1 α 0 g 0 ) T Ap 0 = 0 (2.45) 由于 x 1 = x 0 + t 0 p 0 则 g 1 g 0 = A(x 1 x 0 ) = t 0 Ap 0 一般, 若第 i 步的寻找方向为 p i, 则同理可证 g i+1 g i = A(x i+1 x i ) = t i Ap i (2.46) 因此, 方程 (2.45) 成为 ( g 1 α 0 g 0 ) T (g 1 g 0 ) = 0 (2.47) 由此解得这里假定 g 0 0, 否则, 若 g 0 = 0, 则 x 0 就是所求的极值点. α 0 = gt 1 g 1 g T 0 g 0 (2.48) 把 α 0 代入 (2.44), 便得到 p 1. 沿 p 1 求出极小点 x 2 并算出 g 2. 由于 p 0 和 p 1 为 A 共轭, 因此由 (2.46) g T 0 (g 2 g 1 ) = 0 考虑到 g 0 与 g 1 正交, g T 0 g 1 = 0, 由上式可知 g 0 与 g 2 也正交. 因 x 2 是沿 p 1 方向的极小点, 故 g 2 p 1, 也就是 g T 2 ( g 1 α 0 g 0 ) = 0 即 g 2 g 1. g 0, g 1 和 g 2 构成一个正交矢量组, 我们可以在这个正交组构成的三维空间寻求与 p 0, p 1 均为 A 共轭的寻找方向 p 2. 令 p 2 = g 2 α 1 g 1 β 0 g 0 (2.49) 要求 p 2 分别与 p 0 和 p 1 为 A 共轭, 也就是要求如下方程成立 ( g 2 α 1 g 1 β 0 g 0 ) T (g 1 g 0 ) = 0 (2.50) ( g 2 α 1 g 1 β 0 g 0 ) T (g 2 g 1 ) = 0 (2.51) (2.52)

32 32 第二章物理学中的常用数值方法由此解出于是 α 1 = gt 2 g 2 g T 1 g 1, β 0 = α 0 α 1. (2.53) p 2 = g 2 + α 1 p 1 (2.54) 现假定已求得 p 0, p 1,, p j, 其中 p 0 = g 0 p i = g i + α i 1 p i 1 α i 1 = g T i g i /g T i 1g i 1 i = 1, 2,, j 这里假定 g 0, g 1,, g j 都不为零且构成一个正交系. 沿 p j 求出 x j+1 并算出 g j+1 = G(x j+1 ), 设 g j+1 0, 则仿前可证, g 0, g 1,, g j+1 也构成正交系. 令 p j+1 = g j+1 β 0 g 0 β 1 g 1 β j 1 g j 1 α j g j (2.55) 并要求 p j+1 与 p 0, p 1,, p j 为 A 共轭, 即 ( g j+1 β 0 g 0 β 1 g 1 β j 1 g j 1 α j g j ) T (g j+1 g j ) = 0 (2.56) 得到 α j = g T j+1g j+1 /g T j g j, β j 1 = α j α j 1, β 1 = α j α j 1 α 1, β 0 = α j α j 1 α 1 α 0. 且 β 0 g 0 β 1 g 1 β j 1 g j 1 α j g j = α j α 1 (α 0 g 0 + g 1 ) β 2 g 2 α j g j = α j (α 1 p 1 g 2 ) α j g j = = α j p j

33 2.2 方程的求根和最优化方法 33 即 p j+1 = g j+1 + α j p j, α j = g T j+1g j+1 /g T j g j (2.57) 根据归纳法, 在 (2.57) 中令 j = 0, 1, 2,, 所得方向为 A 共轭方向. 上述方法最多只要 N 步就可找到函数 (2.44) 的极小点, 这是因为所有的 g j 互相正交, 即 g T N g j = 0 对所有 j = 0, 1, 2,, N 1 都成立, 而我们的问题在 N 维空间, 故必有 g N = 0, 亦即 x N 为函数 (2.44) 的极小点. 这就是所谓共轭梯度方法, 理论上, 对于二次函数, 只要 N 次迭代就可以达到极小点, 但实际计算时, 由于舍入误差的影响, 一般 N 次迭代并不能达到极小点. 对于一般的目标函数, 有限次 (N 次 ) 的迭代也一般不能达到极小点, 因此实际计算时, 从一初始点出发, 迭代 N 次后, 以所得结果为出发点, 重新开始计算, 直到收敛为止. 共轭梯度方法由于占用内存小, 方法简单, 编程方便, 目前在物理问题中应用比较多. 作为例子, 我们再考虑前面的例题, 对函数 x y 2, 取 x 0 = (2, 1) T, 则 g 0 = (4, 20) T, 取 p 0 = g 0, 求得 x 1 = ( , ) T, g 1 = ( , ) T, α 0 = , 由此可构造出 p 1 = ( , ) T, 沿 p 1 方向求得 x 2 = ( , ) T, 即已经达到极小点. 习题 : 编制共轭梯度法的程序并求下面函数的极小值点及极小值, F (x 1,, x n ) = 1 + n [ 100(xi x 2 i 1) 2 + (1 x i 1 ) 2] (2.58) i=2 取 n = 10, 选择初始点为 x i = i/10, i = 1, 2,, 约束最优化前面几节所讲的是无约束最优化问题, 在实际物理问题中, 还经常会遇到有约束最优化问题, 其数学提法是, 给定一目标函数 F (x 1, x 2,, x n ), 在一定的约束下求解其极小值, 约束一般写成一组函数. 即 { F (x1, x 2,, x n ) = Min G i (x 1, x 2,, x n ) = 0 (i = 1, 2,, m) (2.59) 式中 m < n, m 个方程 G i (x 1, x 2,, x n ) 代表 m 个约束. 解决约束优化问题的通常做法是构造一个新的函数, 把约束优化问题改为一无约束最优化问题, 然后利用前面的方法求解. 通常的做法是, 定义 F = F + m λ i G 2 i (2.60) i=1

34 34 第二章物理学中的常用数值方法对于合适选择的 λ i, (i = 1, 2,, m), F 的极小值就代表了由方程 (2.59) 定义的约束最优化问题. 例题在参数 x 1, x 2,, x n 的一个限制区域 D 内求解 F 的极小值. 为此, 我们把求解区域扩展到整个区域, 如果 F 在 D 外无定义, 则应扩充其定义. 同时定义函数 G 为 { 0 {x} D G = i λ ix 2 i {x} D (2.61) 则通过计算 F + G 的极小值就可得到问题的解. 在使用这种方法时应注意如果在 D 外 F 会变小时, G 的选择应使得 F + G 在 D 外总是较快增加的. 式 (2.61) 给出的仅仅是一种可能的选择, 实际上 G 的选择可以有无穷多种最小二乘法及曲线拟合在物理实验中, 常常要测量一对物理量之间的关系, 在有些情况下, 一对物理量之间的函数关系是已知的, 但包含若干个未知参数, 若用 x 和 y 代表这一对物理量, 则有 y = f(x; a 1, a 2,, a m ) (2.62) 式中 a 1, a 2,, a m 为一组未知参量, f 的函数形式是已知的, 在这种情况下, 曲线拟合的任务, 就是根据 (x, y) 的 N 个观测点 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x N, y N ) 来确定参数 a i, (i = 1, 2,, m), 如果测量中没有误差, 则每一组 (x i, y i ) 都应准确地落在理论曲线上, 即应有 y i = f(x i ; a 1, a 2,, a m ) (i = 1, 2,, N) (2.63) 为了确定诸 a i 的值, 只要选出 (2.63) 中的 m 个方程求解即可, 但实际测量总是有误差的, (x i, y i ) 并不准确落在理论曲线上, 在 N > m 的情况下, 方程组 (2.63) 成为矛盾方程组, 不能用解方程的方法求参数 a 1, a 2,, a m, 只能用曲线拟合的方法根据带有误差的观测值点求得理论曲线参数的估计值. 在很多实际问题中, x 和 y 这两个物理量中总有一个量的测量精度比另一个高得多, 其测量误差可以忽略. 把可以忽略测量误差的量选作自变量 x, 其观测值可看作是准确的, 对于每个 x i, 对应的 y 的观测值 y i 是一个随机变量 ( 见第五章 ), 其误差可由其方差来估计. 物理中还经常遇到另外一种曲线拟合的任务 : 物理量 y 和 x 间的函数形式未知, 需要从观测点求出 y 和 x 的函数关系的一个经验公式. 一般的作法是选取某一函数族 {

35 2.2 方程的求根和最优化方法 35 ϕ i (x) } 的一个线性组合, y = i a i ϕ i (x) (2.64) 然后用曲线拟合方法求出系数 a i. 函数族 { ϕ i (x) } 通常从物理考虑来选取, 一种常用的方法是选取 { 1, x, x 2,, x m 1 } 用于拟合 m 个参数 ; 也可选取三角函数 { 1, sin x, os x, sin 2x, os 2x,, sin 2mx, os 2mx} 用于拟合 2m + 1 个参数. 这种方法称为线性拟合方法, 即 y 线性地依赖于参数 a i, 对于有些物理问题, y 和 x 的函数关系中非线性地依赖于参数 a i, 例如 y = a 1 e a2x + a 3 e a4x sin(a 5 x + a 6 ) 就是一个具有 6 个参数的非线性拟合问题. 曲线拟合通常采用最小二乘法, 如果 x 的测量误差可以忽略, 观测点 i 的残差 δ i 定义为在该点 y 的观测值与理论值之差, 即 δ i = y i f(x i ; a 1, a 2,, a m ) (2.65) 若观测值 y i 的方差为 σi 2, 则定义其权重因子为记 χ 2 为观测点残差的加权平方和, χ 2 = N w i δi 2 = i=1 w i = 1 σ 2 i N w i (y i f(x i ; a 1, a 2,, a m )) 2 (2.66) i=1 曲线拟合的最小二乘法就是以 χ 2 为目标函数的优化问题, 即寻找一组参数 a i, (i = 1, 2,, m) 使 χ 2 为最小. 在观测点的方差未知的情况下, 可以取 w i = 1, 也可以在每一观测点多测量几次, 以其平均值 y i 作为该点的观测值, 而以 y 2 i y i 2 作为其方差. 在曲线拟合问题中, 最困难的是选取合适的经验公式, 这需要结合物理考虑和对测量数据的观察, 也依赖于对各种函数及其图像的明确概念. 例题在某一能谱测量中, 得到下表所示数据, 试给出经验公式并作出曲线拟合. x y x y x y 把表中数据点到坐标纸上 ( 见图 2.1 中圈点 ), 可以看出数据有二个峰, 为此, 我们试用 Lorentz 形曲线去拟合, 即取经验公式为 y = a 1 (x a 2 ) 2 + a 2 3 a 4 + (x a 5 ) 2 + a 2 6

36 36 第二章物理学中的常用数值方法图 2.1: 用上式和上表中的数据计算 χ 2, 并用共轭梯度方法优化 χ 2, 求得各参数值为 a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = 在图 2.1 中, 我们用实线画出了拟合的结果, 虚线给出了二个峰的图像. 2.3 函数的求值在数值计算中, 经常要求一些函数的值, 一些常用的初等函数如三角函数, e 指数函数, 双曲函数, 对数函数等, 均已写入计算机语言的定义做为内部函数, 在使用时只需调用即可, 而其它的函数和表达式则要自己计算, 本章将给出一些在物理计算中经常遇到的函数及表达式的计算方法和部分程序. 一般说来, 计算机的内部函数都是由专家设计的, 其效率和精度都很好, 因此, 如果计算机语言已经提供了所需的函数, 则应尽量使用这些函数, 下面提供的方法仅仅作为计算机系统不提供这些函数时的补充多项式的求值和级数求和所谓多项式是指由下式给出的表达式 : p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n 为了计算 p(x) 在给定 x 时的数值, 我们用 (n), n = 0, 1, 2,, n 来代表多项式的系数, 则可以写出计算语句. 以 n = 4 为例, 直接用 FORTRAN 语言写出的算式为 :

37 2.3 函数的求值 37 p=(0)+(1)*x+(2)*x**2+(3)*x**3+(4)*x**4 这显然不是一个好的算法 ( 为什么?). 较好的算法是下面二者之一 : p=(0)+x*((1)+x*((2)+ x*((3)+x*(4)))) p=((((4)*x+(3))*x+(2))*x+(1))*x+(0) 当 n 较大时, 可采用下面的语句段 : P=C(N) DO 11 J=N-1,1,-1 P=P*X+C(J) 11 CONTINUE 在科研中, 还常常碰到级数求和的问题, 例如计算 S = i=0 u i 我们当然不可能计算到无穷多项, 所以上述级数必需在某处截断, 如果级数收敛很慢, 就要计算很多项, 一方面占用大量的 CPU 时间, 更重要的是当计算的项数非常多时, 舍入误差的积累有可能完全破坏整个计算. 为此必须使用加速收敛的技巧. Aitken 算法是常用的加速技巧之一. 它是对相邻的三个部分和进行处理, 得到一个更好的近似. 记部分和为 : S n = n u i (2.67) i=0 则由 S n 1, S n, S n+1 可计算出 S n = S n+1 (S n+1 S n ) 2 S n+1 2S n + S n 1 (2.68) 对 n = 1, 2, 3,, 先求出 S n, 同时算出 S n, 一般 S n 更快地收敛于 S. 在实际使用时, (2.68) 最好用写出的式子计算, 一些代数上等价的式子可能导致较大的舍入误差. Euler 变换对于由下式定义的交错级数 ( 1) s u s (2.69) 这里 u s > 0. Euler 变换是一个强有力的算法, 它由下式给出 ( 取 n 为偶数 ) 其中 : s=0 ( 1) s u s = u 0 u 1 + u 2 u n 1 + s=0 s=0 ( 1) s 2 s+1 ( s u n ) (2.70) u n u n+1 u n 2 u n ( u n ) = u n+2 2u n+1 + u n (2.71)

38 38 第二章物理学中的常用数值方法为向前差分. 式 (2.70) 可推导如下 : 定义位移算符 E 为 : u n+1 Eu n 由于 (1 + )u n = u n + u n+1 u n = u n+1 = Eu n, 因此有算符等式 E = 1 + 而 u 0 u 1 + u 2 u 3 + = (1 E + E 2 E 3 + )u 0 = E u 0 = 1 1 u = ( 1) s 2 s+1 s u 0 2 s= 连分式的求值所谓连分式, 是指由下式给出的表达式, f = b 0 + b 1 + b 2 + a 1 b 3 + a 2 a 3 a 4 b 4 + a 5 b 5 + 数学家们对它做过很多研究, 这是一个非常有趣的函数表示方法. 除了上面的表达式外, 人们还经常使用另一种记法. 这里, 系数 a n 和 b n 也可以是 x 的函数. a 2 a 3 a 4 a 5 f = b 0 + a 1 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + 由于连分式只能从右向左求值, 因此在具体计算之前, 很难判断一个无限的连分式应该在何处截断, 一种直接的方法就是猜一个截断点, 求出一个值, 再猜一个更大一点的截断点计算, 通过比较不同截断处的结果来判断是否收敛. 这显然不是一个好的方法. 另一种在实践中常用的方法是用一个分式有理函数来近似连分式, 用 f n 表示计算到 a n 和 b n 的连分式的值, 则 : 这里 A n, B n 由下面的递推公式给出 : A 1 1 B 1 0 f n = A n B n (2.72) A 0 b 0 B 0 1 (2.73) A j = b j A j 1 + a j A j 2 B j = b j B j 1 + a j B j 2 j = 1, 2,, n

39 2.4 常微分方程的数值解法 39 练习试证明递推关系 (2.73) 并写出计算机程序 2.4 常微分方程的数值解法常微分方程在物理学中具有重要意义, 牛顿第二定律就表示为一组二阶常微分方程, 第一章中提到的著名的三体问题就是由九个二阶常微分方程组成的方程组 ; 在量子力学中和电动力学中, 由薛定谔方程及 Maxwell 方程分离变量得到的所谓 Sturm Liouville 本征值问题也是二阶常微分方程的求解问题. 在这一章中, 我们将给出几种数值求解常微分方程的常用方法 Euler 方法对于常微分方程的初值问题 dy dx = f(x, y) y(0) = η (2.74) 数值求解的第一步是把方程 (2.74) 变为一个差分方程, 为此, 让 x 取一组分立值 x n, n = 0, 1, 2,, x 0 = 0, x n+1 = x n + h, 这里 h 称为积分的步长, 把 y(x) 在 x n 处展开, 有 y(x n+1 ) = y(x n ) + h dy dx + O(h 2 ) (2.75) x=xn 利用方程 (2.74), 便可得到 y(x n+1 ) = y(x n ) + hf(x n, y n ) + O(h 2 ) (2.76) 这就是 Euler 差分格式, 从 x = 0 出发, 利用这一方程一步一步地向前计算, 就可以得到任一 x n 处的函数值 y n y(x n ). Euler 方法是一个显式方法, 即第 n + 1 步的 y n+1 只依赖于 x n, y n 的值, 而且每一步只需计算一次 f(x n, y n ) 的值, 这是 Euler 方法的优点, 但另一方面, Euler 方法也存在严重的不足, 因为这一方法是一次的 ( 每一步的误差项为 h 2 的数量级, y(x N ) Nh 2 h), 所以 h 必须取得足够小, 以保证有满意的精度, 但步长太小时, 积分到一预定的 x 则要做很多步的计算, 舍入误差的积累将会使计算结果严重失真. 由于这一原因, 在实际计算中几乎不使用 Euler 方法, 而常常利用其推导上的简单和概念上非常清楚而用于教学.

40 40 第二章物理学中的常用数值方法龙格库塔方法具有二阶以上精度的直接方法称为龙格库塔方法. 做为一种训练, 我们在此给出二阶龙格库塔方法的推导. 下面先给出一种比较直接的推导, 然后再介绍一种易于推广到高阶情形的较为系统的推导方法, 希望同学仔细体会这里介绍的方法和思路, 以求举一反三, 为自己设计算法做准备. 第一种推导方法 : 如果计算 x n+ 1 2 x n + h 2 处 y 的一阶导数, 可以得到 y n+ 1 2 = y n+1 y n h + O(h 2 ) (2.77) 这可用 Taylor 展开加以验证. 把上式稍加整理, 并代入 y n+ 1 2 = f(x n+ 1, y 2 n+ 1 ), 得到 2 y n+1 = y n + hf(x n+ 1, y 2 n+ 1 ) + O(h 3 ) (2.78) 2 上式中出现了半个分点处的值, 我们必须设法用分点 n 和 n + 1 处的量来表示 n 处的量, 为此, 把 f(x n+ 1, y 2 n+ 1 ) 和 f(x n+1, y n+1 ) 在 n 点展开 : 2 f(x n+ 1, y 2 n+ 1 ) = f(x n, y n ) + h df 2 2 dx + O(h 2 ) xn f(x n+1, y n+1 ) = f(x n, y n ) + h df dx + O(h 2 ) (2.79) xn 把上面的第一式乘以 2 减去第二式, 整理后得 f(x n+ 1, y 2 n+ 1 ) = (f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 )) + O(h 2 ) (2.80) 注意到及 y n+1 = y n + hf(x n, y n ) + O(h 2 ) f(x n+1, y n + hf(x n, y n ) + O(h 2 )) = f(x n + h, y n + hf(x n, y n )) + O(h 2 ) 我们得到 y n+1 = y n + h 2 (f(x n, y n ) + f(x n + h, y n + hf(x n, y n )) + O(h 3 ) (2.81) 这就是二阶龙格库塔格式的一种, 由它可以通过 n 点的解给出 n + 1 点的解. 它显然具有二阶精度. 第二种推导方法 : 因为我们的目的是从 n 点的解给出 n + 1 点的解并要求每一步的误差为 O(h 3 ), 所以可以一般的把差分格式写为 y n+1 = y n + h (x n, y n ; h) (2.82)

41 2.4 常微分方程的数值解法 41 其中 (x n, y n ; h) y n + h 2 y n + h2 3! y(3) n + 如果我们用另一函数 Φ(x n, y n ; h) 代替 (x n, y n ; h), 且使得则可得到 p 阶差分格式. 对于 p = 2, 取把上式对 h 展开另一方面 : Φ(x n, y n ; h) (x n, y n ; h) = O(h p ) Φ(x, y; h) = 1 f(x, y) + 2 f(x + ha 2, y + b 21 hf(x, y)) [ f Φ(x, y; h) = 1 f(x, y) + 2 f(x, y) + h 2 a 2 x + b 21 (x, y; h) = f(x, y) + 1 [ f 2 h x + f y f y ] f(x, y) + O(h 2 ) (2.83) ] f(x, y) + O(h 2 ) (2.84) 比较式 (2.83) 和 (2.84), 只要 (2.83) 中的系数满足下述关系, 就能达到我们的要求 = 1 2 a 2 = b 21 = 1 2 (2.85) 方程 (2.85) 的解并不唯一, 也就是说, 有无穷多组系数可以满足要求. 为此, 令 2 = α, 则 1 = 1 α a 2 = 1 2α b 21 = 1 2α (2.86) 取 α = 1 2, 得到差分格式为 1 = 1 2, a 2 = 1, b 21 = 1 y n+1 = y n + h 2 (f(x n, y n ) + f(x n + h, y n + hf(x n, y n )) (2.87) 这与第一种方法得到的结果相同. 若取 α = 1, 则 1 = 0, a 2 = 1 2, b 21 = 1 2

42 42 第二章物理学中的常用数值方法差分格式为 y n+1 = y n + h(f(x n h, y n hf(x n, y n )) (2.88) 当 α 取不同值时, 我们还可得到其它形式的二阶差分格式. 计算实践表明, 对于绝大多数简单问题, 四阶龙格库塔方法是最好的选择. 这一方法的一种常用差分格式可用下面一组公式来表示 : k 1 = hf(x n, y n ) ( k 2 = hf x n + h 2, y n + k ) 1 2 ( k 3 = hf x n + h 2, y n + k ) 2 2 k 4 = hf(x n + h, y n + k 3 ) (2.89) y n+1 = y n + k k k k O(h5 ) (2.90) 实际上, 四阶的龙格库塔方法的形式并不唯一, 这里给出的是常用的一种. 四阶龙格库塔方法的推导比较繁琐, 但并不难, 其基本思路与前面推导二阶方法的第二种方法相同, W. C. Gear 的名著 Numerial initial Value Problems in Ordinary Differential Equations ( Englewood Cliffs, N. J. Prentie Hall, 1971) 给出了一般龙格库塔方法的推导, 同时也列出了其它四阶龙格库塔方法的形式, 有兴趣的同学可以参考. 上面给出了用四阶龙格库塔方法积分一步的方法, 我们当然可以利用这一方法, 选定一个步长 h, 从初绐点开始一步一步地积分到所需的点. 那么, 步长如何选取呢? 选多大才是合适的, 是否每一步都选相同的步长? 为此, 我们需要一个判定精度的方法, 同时, 直观告诉我们, 在函数变化剧烈的地方, 步长应该取得小一点以保证精度, 而在函数变化平缓的地方, 步长可以取的大一点以减小计算量. 对于每一步, 判定步长是否合适的一个简单的方法就是把步长减半, 比较步长为 2h 的一步的积分结果和步长为 h 的两步的计算结果, 确切地说, y(x + 2h) = y 1 + O(h 5 ) y(x + h + h) = y 2 + O(h 5 ) (2.91) 第二个方程是指用二步步长为 h 的积分结果. 二者之差 y 2 y 1 (2.92) 显然可以作为误差的一个合适的量度. 由方程 (2.91) 可知, 正比于 h 5, 因此, 如果步长为 h 1 时的误差为 1, 而当步长为 h 0 时的误差为 0, 则显然应有 1/5 0 h 0 = h 1 1 (2.93)

43 2.4 常微分方程的数值解法 43 如果我们令 0 为充许误差, 则方程 (2.93) 可以用以调整步长, 如果 1 大于 0, 则 h 0 可作为新的步长重新计算, 否则, 如果 1 小于 0, 则 h 0 可作为下一步步长的一个合理的推断. 下面考虑如何选取 0, 你可以把它取为某个小的数字, 例如, 10 6, 但略加思考就会发现这是不行的, 理由如下, 所求函数 y 的绝对值可以很大, 也可以很小, 因此, 绝对精度是没有意义的 ; 所以, 我们可以考虑取 0 = ϵy, 而 ϵ 为某一小的数字 ; 但另一方面, 有些函数是振荡的, 在某一极大和极小之间, 并且经常穿过 0 点, 对于这类问题, 0 的一个合适的选则应为某一小量乘以 y 的极大值的绝对值 ; 为了照顾到上述两种情况, 我们可以取其中 0 = ϵ y sal (2.94) y sal = y + h dy dx 上面是以一步为基础来考虑的, 在有些问题中, 我们可能要求解满足某种全局的精度, 由于舍入误差的积累 ( 在最坏的情况下, 舍入误差全部相加, 总体误差为 N 0 L h 0, 其中 L 为对 x 的积分的长度 ), 当 h 缩小时, 0 也要相应的缩小, 以保证总的舍入误差固定, 即选取 ysal 正比于 h, 所以当 h 0 变化时, y sal 也相应的变化, 从而方程 (2.93) 中的指数成为 1/4, 另外, 我们只考虑了误差的主导项, 高阶项也应有一些贡献. 基于所有这些考虑, 我们把方程 (2.93) 改写为 0 h 0 = Sh = Sh 1 1 1/5 1/ < 1 (2.95) 这里 S 为一考虑了高阶效应的安全系数, 指数的选择从最安全出发. 当放大步长时, 用小指数 1/5 ( 少放一点 ); 当缩小步长时, 用大指数 1/4( 多缩一些 ). 0 由 (2.94) 给出. 为了简洁起见, 这里以一个方程为基础给出了四阶龙格库塔方法, 但不难把它们推广到多个方程. 在结束本小节前, 我们指出, 虽然这里讲的是一阶常微分方程组的解法, 但实际上已经包括了高阶常微分方程, 因为任何一个高阶常微分方程均可化为一组等价的一阶常微分方程组, 如果有同学对这一表述还不清楚, 那么请立即复习高等数学的有关内容. 本节的方法基本上可以满足实际计算的需要. 但在实际工作中, 也会碰到一些特殊的问题, 比较重要的一类问题是所谓刚性微分方程求解问题, 关于这一点, 请参看 W. C. Gear 的著作. 另外一些特殊问题将在后面结合具体物理问题进行处理. 练习 :

44 44 第二章物理学中的常用数值方法单摆的方程为 ẍ + ω 2 sin x = 0 设初始位移为 x = 0, 试用二阶龙格 - 库塔方法对不同的初始速度求解此方程, 并讨论所得结果两点边值问题所谓两点边值问题是指下面的定解问题在点 x 1, 有边界条件 dy i dx = g i(x; y 1, y 2,, y n ) i = 1, 2,, n (2.96) B 1j (x 1 ; y 1, y 2,, y n ) = 0, j = 1, 2,, n 1 (2.97) 在点 x 2, 有边界条件 B 2j (x 2 ; y 1, y 2,, y n ) = 0, j = 1, 2,, n n 1 (2.98) 这样一类问题与前节所处理的问题的最大差别在于定解条件是在 x 的两个不同的点 ( 端点 ) 处给出的, 而前节的定解条件是在一个点给出的, 因此, 前节的问题称为初值问题而本节将要解决的问题称为两点边值问题. 初值问题一般来说总是有解的, 但边值问题的解有时并不存在, 边值问题中常常包含一个参数, 只有对参数的某些值, 边值问题的解才存在, 这类问题称为微分方程的本征值问题, 使得方程有解的那些参数值称为本征值. 边值问题有各种不同的解法, 我们将在本节介绍打靶法. 并通过一个具体算例给出处理边值问题的一些技巧和方法. 在后面的章节中, 我们将结合具体物理问题, 再回到本节的问题. 这里要强调指出的是, 由于边值问题的特殊性, 试图像初值问题那样给出通用程序是几乎不可能的, 在实际工作中应根据具体的物理问题设计合适的方法. 打靶法的基本思路是从 x 1 点出发, 利用 n 1 个已知的边界条件并指定 n 2 个条件, 积分到 x 2 点, 看是否与 x 2 点的 n 2 个条件一致, 若否, 则调节在 x 1 指定的条件直到符合要求为止. 现在我们给出仔细的分析, 令 V = [V 1, V 2,, V n2 ] T 为一 n 2 维空间的矢量, 它给出了 x 1 点的 n 2 个指定的条件, 则方程 (2.97) 可以写为 y i (x 1 ) = y i (x 1 ; V 1, V 2,, V n2 ) i = 1, 2,, n (2.99) 因此, 给定 V, 我们就有了一个完整的初值问题, 利用前节的方法在区间 [x 1, x 2 ] 之间积分方程 (2.96), 便可得到一组 y i (x 2 ; V 1, V 2,, V n2 ), 在 x 2, 定义一个 n 2 维的偏离矢量 F, F 的取法并不唯一, 可视方便而定, 例如可取 F k = B 2k (x 2 ; y 1, y 2,, y n ) k = 1, 2,, n 2 (2.100)

45 2.4 常微分方程的数值解法 45 如果 F = 0, 则说明 V 的选则是正确的. 因此, 问题转化为求解方程 F = 0, 这里有 n 2 个未知量 V k, n 2 个方程 F k = 0. 为了求解这一组方程, 我们假定 V 与真实的解相差不大, 从而可以把方程 (2.100) 线性化, 即令 n 2 F k (V δv ) = A kj δv j (2.101) j=1 这里 A kj = F k V j (2.102) 由方程 (2.101) 求出 δv j, 并令新的 V 为 V new k = V old k + δv k (2.103) 通过反复迭代, 最终得到结果. 现在, 让我们回到 (2.102), 由于 F k 是由数值给出的, 因此 A kj 的计算也只能是数值的, 最简单的方法是令 F k V j F k(v 1, V 2,, V j + δv j, ) F k (V 1, V 2,, V j, ) δv j (2.104) 这样, 每完成一次迭代需要求解 n 次初值问题, 一次计算 F k (V 1, V 2,, V n2 ), n 2 次计算偏导数, 显然, 与初值问题相比, 边值问题的计算量是相当大的. V 的初始叠代值的选择是一个困难的问题, 如果选择的不好, 则可导致计算的失败, 通常应根据对被求解问题的了解程度尽量选择接近其解的量作为初始叠代值. 在后面的例子中, 将给出一个针对具体问题的选法. 为了帮助理解打靶法的应用, 这里给出一个例子, 即旋转椭球谐振子. 当在旋转椭球坐标系中对某些偏微分方程如 Laplae 方程分离变量时, 将会导致下面的方程 [ d (1 x 2 ) ds ] ) + (λ 2 x 2 m2 S = 0 (2.105) dx dx 1 x 2 这里 m 为一整数. 这是一个 Sturm Liouville 本征值问题, λ 是方程的本征值. 方程在 x = ±1 具有奇点, 从 Sturm Liouville 本征值问题的一般理论可知 ( 参见梁昆淼, 数学物理方法, 如果我们寻求在 x = ±1 为正则的解, 则只有对 λ 的某些特殊值才有可能, 这些特殊值称为本征值, 且所有的本征值均大于 0. 当 = 0 时, 方程化为球谐振子的方程, 其解为 P m n (x), 本征值为 λ mn = n(n + 1), n = m, m + 1,, 当 0 时, 我们记 (2.105) 的本征值为 λ mn (), 对应的本征函数记为 S mn (x). λ mn () 和 S mn (x) 的计算曾经是非常困难的问题, 其十分复杂的级数解, 递推关系等可在一些非常专门的书籍中查到. ( 例如, 可参看 M. Abramowitz and I Stegun Handbook of Mathematial Funtions (Dover

46 46 第二章物理学中的常用数值方法 Publiations, New York, 1968) ) 其数值解相对来说要容易得多. 首先, 我们作代换 ( 从天上掉下来的?, 请复习数学物理方法中常微分方程的有关内容.) S = (1 x 2 ) m/2 y 则原方程化为 (1 x 2 ) d2 y 2(m + 1)xdy dx2 dx + (µ 2 x 2 )y = 0 (2.106) 这里 µ λ m(m + 1) (2.107) 方程 (2.104) 和 (2.106) 均在代换 x x 下不变, 因此 S 及 y 除了一个常数因子外也应在同一变换下不变, 由于解最终将归一化, 因此这一常数因子只能是 ±1. 方程 (2.106) 也是一个 Sturm Liouville 方程, 其本征值 µ 0, 参照球谐振子的结果, 如果令 λ mn = α mn + n(n + 1), 且要求 α mn 0, 则由 (2.107) 可知 n m, n = m 对应于最低本征值. 利用 Sturm Liouville 方程的从小到大排列的本征值与其对应的本征函数的零点的定理可知, 当 n m 为偶数时, y mn 在 [ 1, 1] 之间有偶数个零点, 所以我们取 y(x) = y( x), 否则, 取 y(x) = y( x), 于是 y mn ( x) = ( 1) n m y mn (x) (2.108) 在 x 1 时, 可以解得在原点, 我们有 y ( 1) = µ 2 y( 1) (2.109) 2(m + 1) y(0) = 0, n m 为奇数 y (0) = 0, n m 为偶数 (2.110) 最后, 我们令 S mn 在 x 1 时与 P m n 一化条件 ) 有相同的极限行为. ( 这相当于选则一个特定的归 lim (1 x 1 x2 ) m/2 S mn (x; ) = lim (1 x 1 x2 ) m/2 Pn m (x) (2.111) 现在, 令 y 1 = y y 2 = y y 3 = µ (2.112)

47 2.5 插值和逼近 47 这样, 方程 (2.106) 变为 y 1 = y 2 y 2 = 1 [ ] 2x(m + 1)y2 (y 1 x x 2 )y 1 y 3 = 0 (2.113) 我们选择区间 [ 1, 0] 来求解 ( 为什么不选 [0, 1]?), 边界条件为, 在 x = 1, 有 y 2 = y 3 2 2(m + 1) y 1 y 1 = lim x 1 (1 x2 ) m/2 P m n (x) = ( 1)m (n + m)! 2 m m!(n m)! (2.114) 在 x = 0, 有 : y 1 = 0, n m 为奇数 y 2 = 0, n m 为偶数 (2.115) 在这一问题中, 未知量是本征值 µ mn, 为了给出一个好的初值, 我们注意到在方程 (2.106) 中, 如果把 µ 2 x 2 作为本征值看待, 则为球谐振子方程, 其本征值已知为 n(n + 1) m(m + 1), 因为 0 x 2 1, 因此, 把 x 2 代之以 1 2 得到的结果应是原问题的一个良好的近似, 为此, µ mn 的初始叠代值可选为 n(n + 1) m(m + 1) 在这个例子中, 我们不仅示范了打靶法的使用, 同时也示范了如何把高阶方程化为一阶方程以及如何处理本征值问题, 请同学仔细体会, 掌握这一方法并应用于解决实际问题. 练习 : 对于方程 y + 1 x y + ky = 0 在边界条件 y(0) 有限, y(1) = 0 下计算本征值 k. 提示, 为了得到 k 的叠代初值, 考虑 k 很大时, 方程成为 y + ky = 0, 其解为 y os( kx + δ), 若令 δ = 0 (δ 应在区间 [0, π 2 ] 内 ), 则 k = (n )2 π 插值和逼近给定一个列表函数, (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )),, (x n, f(x n )), 要求寻找一个函数 ϕ(x) 来近似代替 f(x), 使得在 (x 1, x 2,, x n ), f(x i ) = ϕ(x i ), 而对于其它的 x, ϕ(x) 是 f(x) 的一个很好的近似. 这样的问题就称为插值问题. 如果读者稍为细心一点, 就会发现我们的

48 48 第二章物理学中的常用数值方法最后一个要求是有问题的, 因为我们仅仅知道 f(x) 在一些分立点 x i 上的值, 事先并不知道 f(x) 在这些点以外如何变化, 因此除了要求 ϕ(x) 在诸 x i 点上与 f(x) 相等外, 无法提出更多的要求. 然而, 在物理上和数学上, 假如我们认为一组分立点的数值大致决定了 f(x), 这就隐含着我们假定了 f(x) 在任何两个给定点之间是光滑变化的. 因此, 我们的目的实际上是寻找一条光滑地通过 n 个给定点 (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )),, (x n, f(x n )) 的一条曲线多项式插值通过两点可以唯一地作一条直线, 通过三点可以唯一地作一条抛物线,. 通过 n 个数据点 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ) 可以唯一地决定一个 n 1 阶的多项式 P n (x), 这一多项式就称为 y = f(x) 的插值多项式. 它由著名的 Lagrange 公式给出. P (x) = (x x 2 )(x x 3 ) (x x n ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) y 1 + (x x 1)(x x 3 ) (x x n ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n ) y 2 + (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 ) (x n x 1 )(x n x 2 ) (x n x n 1 ) y n (2.116) 它共有 n 项, 每一项为一 n 1 次多项式, 且第 i 项除在点 x i 为 y i = f(x i ) 外, 在其余诸 x j 处均为 0. 直接对 (2.116) 编写程序虽然不是一个很好的算法, 但也是完全可行的. 读者可作为一个编程练习来写出计算程序. 我们在这里将介绍一个更好的算法, Neville 算法, 这一算法的基本思想是从一个低次多项式出发, 逐次用递推方式加高并最终得到结果. 下面给出这一算法的一个简短的说明. 对于给定的 x, 令 P 0 11 是通过 (x 1, y 1 ) 点的唯一的 0 次多项式, 即 P 0 11 = y 1, ( 同样定义 P 0 22, P 0 33, P 0 nn); 定义 P 1 12 为通过 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) 的唯一一次多项式. 同理有 P 1 23, P 1 34, P 1 n 1,n;, 定义 Pi,i+m m 为通过 (x i, y i ), (x i+1, y i+1 ), (x i+m, y i+m ) 的 m 次多项式, 则 P1n n 1 即为通过 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ) 的唯一 n 1 次多项式, 即为 (2.116) 的等价形式. 所有这些 P 可以排成一个表, 其祖代排在左边, 子代在右边并最终导致唯一的后代即为我

49 2.5 插值和逼近 49 们的解. 如下式所示 ( 以 n = 5 为例 ): x 1 : y 1 = P 0 11 P 1 12 x 2 : y 2 = P 0 22 P 2 13 P 1 23 P 3 14 x 3 : y 3 = P 0 33 P 2 24 P 4 15 (2.117) P34 1 P25 3 x 4 : y 4 = P44 0 P35 2 x 5 : y 5 = P55 0 子代与父代之间满足如下递推关系 : P m P 1 45 i,i+m = (x x i+m)p m 1 i,i+m 1 + (x i x)p m 1 i+1,i+m (2.118) x i x i+m 练习证明上述递推关系直接用 (2.118) 计算是完全可行的, 但还可进一步改进, 一种改进的方法是在计算中做小量子代和父代之差的迭代. 即定义 C mi P m i,i+m P m 1 i,i+m 1 从 (2.118) 可容易推出 C mi 和 D mi 所满足的递推关系为 : D mi P m i,i+m P m 1 i+1,i+m (2.119) D m+1,i = (x i+m+1 x)(c m,i+1 D mi ) x i x i+m+1 C m+1,i = (x i x)(c m,i+1 D mi ) x i x i+m+1 (2.120) 在每一次递推中, C 和 D 是对插值的更高一次的修正, 最后的结果 P n 1 1n 一系列从 y i 出发而最终到达家族终点的任一路径上的 C 及 D. 是任一 y i 加上分式有理函数插值和外推有些函数 ( 大部分函数?) 不能很好地用多项式来近似, 我们在后面要举一个著名的例子, 但大部分函数都能用分式有理函数来近似, 这里边有一些深入的数学原理, 有兴趣的同学可以研读有关的数学书籍.

50 50 第二章物理学中的常用数值方法一个通过 m + 1 个点 (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),, (x m, y m ) 的分式有理函数可记为 R µ,ν (x) = P µ(x) Q ν (x) = p 0 + p 1 x + + p µ x µ 1 + q 1 x + + q ν x ν (2.121) 由于有 µ + ν + 1 个末知参数 p 及 q, 因此, 必有 m + 1 = µ + ν + 1. 在做分式有理函数插值时, 还需要给定分子或分母的阶. 方程 (2.121) 两边乘以 Q ν (x), 分别代入逐插值点, 得到一组线性代数方程组, 可由此解得 p i 和 q i, 得到有理插值函数. 类似于多项式插值, 我们也可以构造一个递推算法, 这一算法称为 Bulirsh Stoer 算法. 这里不予介绍, 有兴趣的同学可参看 (J. Stoer, R. Bulirsh, Introdution to Numerial Analysys, Springer-Verlag, 1992, Chapter 2) 三次样条插值三次样条插值是目前应用最广泛的一种方法, 它可以保持插值函数具有二次连续导数, 而且不会出现多项式插值中的一些问题. 三次样条插值问题可以表述如下, 对于给定的 n 个点 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ), 寻找一个分段三次多项式 S(x) = S 1 (x) (x 1 x x 2 ) S 2 (x) (x 2 x x 3 ) S n 1 (x) (x n 1 x x n ) (2.122) 其中, S i (x) 为一定义在区间 [x i, x i+1 ] 上的三次多项式并要求 S(x) 在诸插值点上的一阶及二阶导数连续. 我们先来分析这一插值问题的解是否存在, 由于决定每个三次多项式需要 4 个条件, 所以总共需要 4(n 1) 个条件, 由每个多项式都要通过两个端点, 给出 2(n 1) 个条件, 一阶导数和二阶导数连续给出 2(n 2) 个条件, 这样, 我们总共有 4(n 1) 2 个条件. 因此, 为了确定插值问题, 还需要补充二个条件, 由这两个条件的不同, 又有几种不同的三次样条插值方法, 这里我们将介绍二种, 一种是再给定两个端点 x 1, x n 的一阶导数值 y 1, y n, 另一种是令两个端点上的二阶导数为 0, 即令 y 1 = y n = 0. 现在来求解这一问题, 由于二阶导数连续, 所以 y i, i = 2, 3,, n 1 是存在的, 在任一子区间 [x i, x i+1 ], 有 S i (x) = x x i x i+1 x i y i+1 + x i+1 x x i+1 x i y i (2.123)

51 2.5 插值和逼近 51 对上式积分二次, 得到 S i (x) = 1 (x i+1 x) 3 y i x i+1 x i 6 (x x i ) 3 y x i+1 x i + (y i y i+1 (x i+1 x i ) 2 ) x x i x i+1 x i + (y i 1 6 y i (x i+1 x i ) 2 ) x i+1 x (2.124) x i+1 x i 上式包含 n 个未知量 y i, i = 1, 2, 3,, n, 为了决定这些未知量, 对上式微分一次, 得到 S i(x) = 1 (x i+1 x) 2 y i + 1 ((x x i ) 2 y i+1 2 x i+1 x i 2 x i+1 x i + (y i y i+1 (x i+1 x i ) 2 1 ) x i+1 x i (y i 1 6 y i (x i+1 x i ) 2 1 ) (2.125) x i+1 x i 由 S i(x) 的连续性条件, 可得 n 2 个方程如下 ( 对 i = 2, 3,, n 1) x i x i 1 y i 1 + x i+1 x i y i+1 j + x i+1 x i y i+1 = y i+1 y i y i y i 1 (2.126) 6 x i+1 x i x i x i 1 如前所述, 我们还需要 2 个补充条件以决定 n 个未知量 y i, 其选择方法是, 如果给定端点的一阶导数, 则把 y 1 和 y n 代入方程 (2.125) 可得到两个关于 y 的方程, 与 (2.126) 一起构成一个完整的线性代数方程组 ; 如果给定端点的二阶导数为 0, 则 (2.126) 足以决定 n 2 个未知量. 一旦求得了诸 y i, 则对给定的 x, 可利用 (2.124) 计算其对应的 y 值. 下面我们看一个例子, 考虑下面的函数 y = x 2 (2.127) 我们在 [ 1, 1] 之间取 11 个点, 分别用多项式, 分式有理函数和三次样条函数进行插值, 计算结果见图 (7.1), 其中实线为原函数, 点线为多项式插值的结果, 除了在插值点外, 与原函数的差别是相当大的, 点虚线和虚线分别为分式有理函数和三次样条插值的结果, 在图上几乎完全与准确值重合列表函数的积分在物理上, 经常会遇到计算列表函数的积分. 实验测量的结果总是在一些分立点上, 大型数值计算的结果也只能是一些分立值. 样条插值方法可以用来计算此类积分. 对于列表函数, 可首先建立其样条插值, 求出由式 (2.122) 所指定的函数 S(x), 由于诸 S i (x) 都是三次多项式, 其积分可解析求出, 把每一分段上的积分值加起来就得到最终结果.

52 52 第二章物理学中的常用数值方法图 2.2: 多项式, 分式有理函数和三次样条函数插值的比较练习分别对于端点和内点计算 (2.124) 的积分, 并最终给出样条插值方法计算列表函数的算法和程序练习对于函数 f(x) = x os x 1 + x 3 2 (i), 用辛普生方法计算 f(x)dx 1.5 (ii), 在区间 [1, 2] 上分 50 个子区间, 计算 f(x i ) 的值, 利用这些数值并用样条函数方法 ( 见上题 ) 计算上述程分, 比较所得结果 Padé 插值与外推在理论物理中, 微扰方法是进行实际计算的最重要的方法之一 ( 在力学界称为摄动方法 ), 粗略地讲, 微扰方法就是在计算某一物理量时, 利用这一物理问题中的某个小参量作级数展开, 例如量子力学中的微扰论, 弹性力学及天体力学中的摄动理论, 相变理论中的高温展开和低温展开等都是典型的例子. 但是, 级数展开毕竟是级数展开, 它只在展开参量很小时有效 ( 如果级数不收敛, 甚至在参数很小时也是有问题的 ), 但另一方面, 在物理问题中, 小参量有时并不小, 其选取有时 ( 在大多数情况下 ) 纯粹是为了计算方便, 那么, 有没有可能从这样一个级数出发, 得到对参数的从小到大的所有值都有意义的结果呢?

53 2.5 插值和逼近 53 这似乎是一个失去理智的要求. 然而, 这个问题的回答是肯定的 ( 如果没有一批似乎是失去理智的人的开创性工作, 也就不会有今天科学的高度进步 ). 对于一个函数 f(x), 假定我们知道它的幂级数为 f(x) = x + 2 x x 3 + (2.128) 这一幂级数所反映的, 当然只是 f(x) 在原点的局部性质, 如果用它来计算函数在原点附近的值, 在上面的幂级数收敛的前提下, 一般取前几项就可得到较好的结果. 倘若要求 x 较大时的值或 (2.128) 不收敛, 则这一级数对于计算是没有什么用处的. Padé 逼近就是针对这样一个没有用处的形式级数 ( 并不要求收敛 ), 从中得到函数 f(x) 的性质, 并想法计算任一 x 下 f(x) 的值. 之所以能够做到这一点是因为一个形式的幂级数已经包含了关于函数 f(x) 的很多信息. 对于一个确定的函数来说, 函数的各点之间应该具有某种联系, 也就是说, 函数在一点的行为是与其整体形为有关的, 这就是 Padé 逼近可以成功的基础. 函数的一点与整体的关系问题是一个很深奥的问题, 我们不打算 ( 也不可能 ) 在此给出详细的解释, 但需要强调指出的是, Padé 逼近虽然最旱是由数学家提出的, 但其理论的发展和广泛的应用则是由物理学家完成的. Padé 逼近的定义是, 对于由 (2.128) 定义的函数, 寻找一个分式有理函数 R m,n (x) = P (x)/q(x) (2.129) 其中 P (x) 为一 m 次多项式, Q(x) 为一 n 次多项式且 Q(0) = 1, 使得 f(x) P (x)/q(x) = O(x m+n+1 ) (2.130) 即 R m,n (x) 的泰勒展开的前 m + n + 1 项 ( 包括常数项 ) 与 f(x) 的泰勒展开是一样的. 这样的分式有理函数就称为 f(x) 的一个 Padé 逼近, 简记为 [m/n]. 需要注意的是, 这样定义的 padé 逼近并不总是存在的. Padé 逼近有很多十分有趣的性质, 有兴趣的同学可以参看由著名理论物理学家 G. A. Baker Jr. 所写的 The essentials of Padé approximations (Aademi Press, New York, 1975) 一书. 对于一个函数 f(x), 其 Padé 逼近 [m/n] 可以排成一个表, 称为 Padé 表, 如下式所示. m\ n [0/0] [0/1] [0/2] [0/3] [0/4] [0/5] 1 [1/0] [1/1] [1/2] [1/3] [1/4] [1/5] 2 [2/0] [2/1] [2/2] [2/3] [2/4] [2/5] 3 [3/0] [3/1] [3/2] [3/3] [3/4] [3/5] 4 [4/0] [4/1] [4/2] [4/3] [4/4] [4/5] 5 [5/0] [5/1] [5/2] [5/3] [5/4] [5/5]

54 54 第二章物理学中的常用数值方法素 : Padé 表有很多有趣的性质, 其中之一是 Wynn 恒等式, 对于 Padé 表上相邻的五个元 N W C E S 有 1 E C + 1 W C = 1 N C + 1 S C (2.131) 下面我们讲述计算 Padé 表的方法, 如果我们的目的是求出 Padé 表的数值, 则可使用 ε 算法, 如果已知这一算法首先定义一组 ε j 0 = f(x) = i x i i=0 j i x i j = 0, 1, 2, i=0 ε j 1 = 0 j = 0, 1, 2, 3, ε k 1 2k = 0 k = 0, 1, 2, 3, 则可以建立下面的 ε 表 ε 1 0 ε 2 2 ε 3 4 ε 0 1 ε 0 0 ε 1 1 ε 2 3 ε 3 5 ε 1 2 ε 2 4 ε 1 1 ε 0 1 ε 1 3 ε 2 5 ε 1 0 ε 0 2 ε 1 4 ε 2 1 ε 1 1 ε 0 3 ε 1 5 ε 2 0 ε 1 2 ε 0 4 ε 3 1 ε 2 1 ε 1 3 ε 其中诸 ε 之间满足如下的递推关系..... ε j k+1 = εj+1 k ε j+1 k ε j k (j, k = 0, 1, 2, ) (2.132) 因此, 从 ε 表的第一行及第一, 二两列出发, 便可得到表中的所有元素. 可以证明, ε 表与 Padé 表之间有下述关系 : ε j 2k 因此, 一旦求得了 ε 表, 也就得到了 Padé 表. = [(k + j)/k] (2.133)

55 2.5 插值和逼近 55 在 (2.132) 中, 如果第二项的分母变为零 ( 在机器精度内 ), 则计算将无法进行下去, 通常计算机将报告一个除以零 (Divide by Zero) 错误, 这一般是由于在计算中所取项数较多, 原级数已经收敛. 在此情况下, 可少取几项进行计算, 并不断增加项数比较所得结果. 也可以用下面将要介绍的方法求出 Padé 逼近的系数, 用其解析式进行计算. 练习对较小的 k, j, 验证式 (2.133), 并进而证明它. ( 提示 : 用归纳法 ) 练习 1, 编写利用 ε 表计算 padé 逼近的程序, 利用 ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +, 用 padé 逼近方法计算 ln(5) 的值并与准确值比较 2, 考虑 π 的一个著名的慢收敛级数, 用 Padé 近似计算 π 的数值. 3, 考虑积分 π = = ( 1) k 4 2k + 1 I(x) = 试证明此积分可写为下面的形式级数 0 k=0 e t 1 + xt dt I(x) = 1 1!x + 2!x 2 3!x 3 + 4!x 4 5!x 5 + 从这一发散级数出发, 利用 Padé 近似计算 I(1), (I(1) 的准确值可用数值积分方法求出为 ) 4, 对于 x = 0.5, 利用 e x 的幂级数展开式, 从小到大改变所取级数的项数 N 并用前面的程序计算其 Padé 逼近, 观察所得结果并与准确值比较. 当 N 较大时会发生什么情况? 在很多问题中, 我们并不仅仅需要 Padé 逼近的数值, 而且需要知道 Padé 逼近的解析形式, 即多项式 P (x) 和 Q(x) 的系数. 为此, 考虑方程 (2.130), 记 f(x) = x + 2 x x m+n x m+n + O(x m+n+1 ) P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a m x m Q(x) = 1 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x b n x n (2.134) 这里, i, i = 0, 1, 2,, m + n 已知, 我们的目的是求 a i, i = 0, 1, 2,, m 和 b i, i = 1, 2,, n 使得方程 (2.130) 满足. 可以证明, 如果函数 f(x) 的 Padé 逼近存在, 则必定是

56 56 第二章物理学中的常用数值方法唯一的. 因此, 一旦求得了 a i 及 b i, 则 P (x)/q(x) 就是 f(x) 的 [m/n] Padé 逼近. 为了计算系数 a i 及 b i, 把方程 (2.130) 改写为 f(x)q(x) P (x) = O(x m+n+1 ) (2.135) 把 (2.134) 代入 (2.135), 比较方程两边 x 同次幂的系数, 可以得到下面的两组线性代数方程. a a b 1 = a m m m 1 m 2 m n b n m m 1 m n+1 b 1 m+1 m m n+2 b 2 =..... m+n 1 m+n 2 m b n m+1 m+2 m+n (2.136) (2.137) 在上面的方程及后面的讨论中, 我们规定, 当 j < 0 时, j = 0. 如果方程 (2.137) 的解存在, 我们可利用下一章将要介绍的求解线性代数方程组的方法求得 b i, 再代入 (2.136) 求出 a i, 从而得到了 Padé 逼近的解. 顺便指出, 同 ε 算法一样, 也有一些高效率的迭代算法, 鉴于物理上感兴趣的问题中最困难的部分在于求出 f(x) 的形式级数, 而 Padé 逼近的计算在总的计算中所占机时完全可以忽略不计, 因此我们不再做进一步的介绍发散级数的 Cesáro 求和及其推广除了前述 Padé 逼近, 在物理上还常用另外一种计算发散级数的方法, Cesáro 求和方法及其推广. 我们先看几个经典的例子. 考虑如下求和 S = (2.138) 按照通常级数收敛的判据, 这是一个发散级数. 另一方面, 它是下面的展开式中 x = 1 的情形 x = 1 x + x2 x 3 + x 4 x 5 + (2.139) 上式左边对任何 x 1 都有意义, 当 x = 1 时, 为 1/2. 现在我们试图从 (2.138) 得到这个结果. 注意到 (2.138) 的结构, 我们有 S = = 1 S

57 2.5 插值和逼近 57 于是可得到 S = 1/2. 进一步考虑 S = = 1 2S 由此得到 S = 1/3, 与 (2.139) 左边的结果相同. 这里, 我们实际上利用了所给级数是一个函数的形式展开级数取特定值这样一个事实, 一般这样一种方法在应用时要十分小心, 如果所给级数并不是某一函数的形式展开, 那么上述处理可能给出错误的结果. 一般来说, 如果我们要计算 s = a 0 + a 1 + a 2 + (2.140) 记部分和为则 s n = a 0 + a 1 + a a n 1 + a n (2.141) s = lim n s n (2.142) 另一方面, 对任何收敛级数, 其部分和的平均值当 n 时收敛于原级数的和 s. 因此我们可以用下述 Cesáro 变换计算级数和. s 0 + s 1 + s s n s = lim n n + 1 (2.143) 对于一个不收敛的级数, 若上式极限存在, 则称级数可 Cesáro 求和并把 s 作为级数的和. 对于部分和为 1, 0, 1, 0, 1, 0, 其 Cesáro 和为 s = 1. 又对于部分和为 1, 1, 2, 2, 3, 3,

58 58 第二章物理学中的常用数值方法并不给出收敛的结果. 为此, 可以考虑 Cesáro 方法的推广, 定义 H 1 n = s 0 + s 1 + s s n n + 1 H 2 n = H1 0 + H H H 1 n n + 1 H m+1 n = Hm 0 + H m 1 + H m H m n n + 1 若到某一级 m, 极限 lim n H m n 存在, 则可把此极限作为原级数的和. 对于前面的例子, 我们有 H 1 n : 1, 0, 2 3, 0, 3 5, 0, 4 7,, 0, n + 2 2(n + 1), H 2 n : 1, 1 2, 5 9, 5 12, 34 75,, 1 4 = [ 1 1 n 2(2i+1) n n/2 1 注意到 Hn 2 = 1 [n/2] 2i+2 n+1 i=1 是 1/4, 第二项的求和的发散部分与 ] n+1 2 [n/2] i=1 1, 当 n, 第一项的极限 2i+1 1 dx = ln n/2 ln n/2 相当, 于是 lim x n 0. n Borel 求和 Borel 求和是一种强有力的发散级数的求和方法, 比前一小节的简单方法有更大的适用范围. 在物理上有广泛应用. 设有一函数 J(x), 其级数表示 J(x) = p n x n 对所有 x 都收敛. 考虑函数 S(x) = p n s n x n 这里 s n 为欲求和的发散级数的部分和, 如果 S(x) lim x J(x) = s 存在, 则称级数 J 收敛, s(j) 为 J 收敛的结果. 实际计算时, 我们一般不是取 x 趋于无穷大的极限, 而是寻找 x 的一个 S(x) 与 J(x) 之比为常数的范围, 并把此常数作为我们的结果. 最常用的函数为 e x, 对应的 p n = 1/n!. 此时我们寻找一个使函数 e x 0 s n x n n!

59 2.5 插值和逼近 59 稳定的区域. 例题, 考虑级数 1 a + a 2 a 3 + a 4 a 5 + 当 a = 2 时, 即为前一节考虑过的的例子. 这一级数的部分和为因此 S(x) J(x) = e x 0 s n = 1 ( a)n a 1 ( a) n+1 x n 1 + a n! = a + ae x 1 + a = a + ae x e ax 1 + a ( ax) n 上式对 Re(a) > 1 收敛, 当 a = 2 时, 得到 1/3. 这一方法称为 Borel 微分求和方法. 另一种 Borel 求和方法是 Borel 积分求和方法, 代替部分求和, 考虑 [ N ] s(b) = e x a n x n dx n! 0 很显然, 如果我们对上式逐项积分, 将得到原级数, 而先对被积函数中的级数求和再计算积分, 则往往可得到正确的结果. 我们仍然考虑前一例子, 注意到 0 0 n! ( a) n x n 0 n! = e ax, 则当 Re(a) > 1 时, 0 e x e ax dx = a. 当这一方法用于只有有限项的级数时, 积分限一般不是选无限大, 而是选取当所得结果几乎恒定时的积分上限为所要上限, 恒定的结果为带求的值 Bézier 逼近在这一节, 我们将处理一个近年来变得十分重要的逼近问题, 即对于一条曲线, 寻找一个函数形式去逼近它. 这在计算机辅助设计 (CAD) 中有较重要的应用. 这种逼近称为 Bézier 逼近, 它是由 Bézier 和 De Casteljau 大约在 1962 年分别独立发展起来的. 我们首先介绍 Bernstein 多项式, 这是 Bézier 逼近的基础. 假定我们考虑区间 a x b, 第 i 个 n 次 Bernstein 多项式定义为 ( ) n Bi n (b x) n i (x a) i (x) =, i = 0, 1, 2,, n. (2.144) i (b a) n

60 60 第二章物理学中的常用数值方法这里, ( n i ) n! i!(n i)! 为二项式系数. 实际计算时, 可以使用下面的递推关系. B 0 0(x) = 1, B n 1 = 0, Bi n (b x)bn 1 i (x) + (x a)b n 1 i 1 (x) = (x), i = 0, 1, 2,, n b a Bn+1(x) n = 0 (2.145) 现在考虑由下式定义的线性组合 P n (x) = n p i Bi n (x) (2.146) i=0 并称其为 Bézier 多项式, 由此式决定的曲线称为 Bézier 曲线. 因为每一个 B n i (x) 都是 n 次多项式, 所以 P n (x) 也是一个 n 次多项式, 这个多项式的好处在于, 由 p i 的数值就可以大致看出 P n (x) 的图像, 例如, x = a 时, 由于当 i 0 时 B n i (a) = 0, B n 0 (a) = 1, 所以 p 0 给出了 P n (a) 的值. 同样, P n (b) = p n. 为了看出其它 p i 与由 P n (x) 所决定的曲线之间的关系, 我们定义一组控制点如下, 令 t j = a + j (b a) n 并指定一组点 (t i, p i ), i = 0, 1, 2, n 为一组控制点, 则由 (t 0, p 0 ) 出发, 经 (t 1, p 1 ), (t 2, p 2 ),, (t n, p n ) 再回到 (t 0, p 0 ) 的线段构成的多边形称为 Bézier 多边形, 而由这一组 p i 所决定的 P n (x) 的图像则与这一多边形的形状紧密相关. 图 (7.2) 给出了一个例子, 图中虚线代表 Bézier 多边形, 圆点为控制点, 实线为对应的 Bézier 曲线, 几者之间的关系是一目了然的. CAD 的任务通常是你的大脑中有关于某条曲线的一个设想, 这时便可设置一组控制点, 用 Bézier 多项式画出曲线, 通过不断地调节控制点而达到设计要求. 这里只对 Bézier 逼近做了一个十分简要地介绍, 需要更多了解这一内容的同学可参看有关资料多元函数的插值及逼近多元函数的逼近问题原则上可以通过推广前述各种方法来进行, 例如, 如果定义 n x x i l k (x) = (2.147) x k x j i=1,i k 则 Lagrange 公式 (2.116) 可写为 P (x) = n y k l k (x) (2.148) k=1

61 2.5 插值和逼近 61 8 图 2.3: 一组控制点及对应的 Bézier 多项式和 Bézier 曲线这一公式可直接推广到二维, 如果一个二元函数 z = f(x, y) 在某一二维区域内的一组点 (x i, y j ), i = 1, 2,, n; j = 1, 2,, m 上的值 z ij 已知, 则其 Lagrange 插值公式为 f(x, y) = n m z ij l i (x)l j (y) (2.149) i=1 j=1 练习证明由 (2.147) 定义的 l i (x) 满足关系 l i (x j ) = δ ij, 并进而证明公式 (2.148) 和 (2.149). 三次样条插值也可以推广到二维, 假定函数 z = f(x, y) 在矩形区域 a x b, y d 上的一组网格分点 a = x 1 < x 2 < < x n = b, = y 1 < y 2 < < y m = d 上给定, 我们可以构造一组分片三次多项式 R ij (x, y)( 对 x 和 y 均为三次 ), 定义在子区域 x i 1 x x i, y j 1 y y j 上, 则 S(x, y) = R ij (x, y) 如果 (x i 1 x x i, y j 1 y y j ) i = 2, 3,, n; j = 2, 3,, m (2.150)

62 62 第二章物理学中的常用数值方法 R ij (x, y) 可以类似于一维三次样条函数通过要求由 S(x, y) 给出的曲面适当的光滑而决定, 其推导过程较繁, 但并不难. 我们只给出最终结果. 定义则其中 h i = x i+1 x i τ j = y j+1 y j u i = x x i 1 h i 1 v j = y y j 1 τ j 1 (2.151) R ij (x, y) = [ u 3 i u 2 i u i 1 ]AG ij A T A = z i 1,j 1 z i 1,j τ j 1 g i 1,j 1 τ j 1 g i 1,j z i,j 1 z i,j τ j 1 g i,j 1 τ j 1 g i,j G ij = h i 1 m i 1,j 1 h i 1 m i 1,j h i 1 τ j 1 l i 1,j 1 h i 1 τ j 1 l i 1,j h i 1 m i,j 1 h i 1 mi, j h i 1 τ j 1 l i,j 1 H i 1 τ j 1 l i,j 而 m ij = S(x,y) x 程组 x=x i,y=y j, g ij = S(x,y) y v 3 j v 2 j v j 1 (2.152) (2.153) (2.154), l ij = 2 S(x,y), 分别满足下面的方 x=x i,y=y j x y x=xi,y=y j h i m i 1,j + 2(h i + h i 1 )m ij + h i 1 m i+1,j = 3 h i 1 h i [h 2 i 1z i+1,j + (h 2 i h 2 i 1)z ij h 2 i z i 1,j ] (2.155) i = 2, 3,, n 1; j = 1, 2,, m τ j g i,j 1 + 2(τ j + τ j 1 )g ij + τ j 1 g i,j+1 = 3 τ j 1 τ j [τ 2 j 1z i,j+1 + (τ 2 j τ 2 j 1)z ij τ 2 j z i,j 1 ] (2.156) i = 1, 2,, n; j = 2, 3,, m 1 τ j l i,j 1 + 2(τ j + τ j 1 )l ij + τ j 1 l i,j+1 = 3 τ j 1 τ j [τ 2 j 1m i,j+1 + (τ 2 j τ 2 j 1)m ij τ 2 j m i,j 1 ] (2.157) i = 1, 2,, n; j = 2, 3,, m 1

63 2.6 快速付里叶变换 63 h i l i 1,j + 2(h i + h i 1 )l ij + h i 1 m i+1,j = 3 h i 1 h i [h 2 i 1g i+1,j + (h 2 i h i 1 2 )g ij h 2 i g i 1,j ] (2.158) i = 2, 3,, n 1; j = 1, m 下面我们来分析一下插值问题是否确定. (2.155) 共有 m(n 2) 个方程, (2.156) 共有 (m 2)n 个方程, (2.157) 共有 (m 2)n 个方程, (2.158) 共有 2(n 2) 个方程, 总共有 3mn 2(m + n) 4 个方程, 而未知数的数目为 3mn 个, 因此, 为了求解, 尚需补充 2(m + n) + 4 个条件, 这些条件通常通过给定边界上的一组函数 z = f(x, y) 的导数值来补足, 即给定 z x x=x i,y=y j i = 1, n; j = 1, 2,, m z y x=xi,y=y j i = 1, 2,, n; j = 1, m 2 z x y x=xi,y=y j i = 1, n; j = 1, m (2.159) 上面第一行共有 2m 个条件, 第二行共有 2n 个条件, 第三行共有 4 个条件, 加上原有的方程, 构成一个完整的线性代数方程组求解问题. 关于这一问题的算法实现, 我们将不再讨论, 有兴趣的同学可参看有关专著付里叶变换 2.6 快速付里叶变换付里叶变换在物理学的很多问题中占有十分重要的地位. 这包括实验数据的处理, 很多理论问题的计算等. 有一些物理问题本身就是用付里叶变换的语言来表述的, 利如量子力学中波函数在坐标空间和动量空间的表示就对应于一对付里叶变换. 这一节我们简要复习一下付里叶变换的理论. 一个物理过程可以在时间区域上给予描述, 其自变量取为 t, 物理过程用函数 h(t) 表示 ; 也可以在频率区域上描述, 其自变量取为 f, 物理过程用函数 H(f) 表示, 这里 H(f) 通常是一个复数. 时间和频率可以代表各种互相对偶的一对变量, 如信号处理中的时间和频率, 波动过程中的坐标和波数, 量子力学中的坐标和动量, 时间和能量等. 在物理学中, 一般把 h(t) 和 H(f) 看为同一物理过程的两种不同的表示, 如量子力学中的 ψ(x) 和 ϕ(p) 等. 两种表示之间的变换通过付里叶变换来表示 H(f) = h(t) = h(t)e 2πift dt H(f)e 2πift df (2.160)

64 64 第二章物理学中的常用数值方法如果 h(t) 为实函数 h(t) 为虚函数 h(t) 为偶函数 h(t) 为奇函数 h(t) 为实偶函数 h(t) 为实奇函数 h(t) 为虚偶函数 h(t) 为虚奇函数表 2.1: 付里叶变换的对称性质则 H( f) = H (f) H( f) = H (f) H( f) = H(f) H( f) = H(f) H(f) 为实偶函数 H(f) 为虚奇函数 H(f) 为实偶函数 H(f) 为实奇函数如果 t 用秒表示, 则 f 的单位为赫兹. 在物理学中, 更常用的习惯是用 ω = 2πf 表示频率, 相应地, H(ω) H(f) f=ω/2π, 方程 (2.160) 成为 H(ω) = h(t) = 1 2π h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω (2.161) 当然, 上式也可以写成对称的形式, 因为从数值计算的角度看, 方程 (2.160) 中包含有较少的 2π 因子, 计算上比较方便, 因此在下面的讨论中我们将采用方程 (2.160), 在实际应用时, 可把所用的形式变为这里讨论的形式, 计算完后再变换回去. 从定义显见, 付里叶变换是线性的, 同时, 付里叶变换还有表 (2.1) 所列的性质, 这些性质可以通过定义来证明. 在实际工作中, 这些性质可以用来提高计算效率. 在以后的讨论中, 我们用下面的记号表示由方程 (2.160) 定义的一对付里叶变换 h(t) H(f) (2.162) 利用定义, 可以得到下面对应的变换对 h(at) 1 ( ) f a H 时间标度 (2.163) a ( ) 1 t b h H(bf) 频率标度 (2.164) b h(t t 0 ) H(f)e 2πift 0 时间平移 (2.165) h(t)e 2πif 0t H(f f 0 ) 频率平移 (2.166) 对于两个函数 g(t) 和 h(t), 其对应的付里叶变换分别为 G(f) 和 H(f), 我们可以定义两个合成函数, 一个是卷积 g h, 由下式定义 g h g(τ)h(t τ)dτ (2.167)

65 2.6 快速付里叶变换 65 g h 是时间区域上的函数, 其付里叶变换满足下面的卷积定理 g h G(f)H(f) h g 卷积定理 (2.168) 另一个是相关函数 C[g, h], 定义为 C[g, h] g(τ + t)h(τ)dτ (2.169) C[g, h] 是时间区域上的函数, 其付里叶变换由下面的相关定理给出 C[g, h] G(f)H( f) 相关定理 (2.170) 如果 g 和 h 是实函数, 则上式可写为 C[g, h] G(f)H (f) (2.171) 一个函数与其自身的相关函数称为自相关函数, 在此情况下, 方程 (2.171) 成为 C[g, g] G(f) 2 (2.172) 自相关函数通常称为功率谱, 而总功率定义为 P 上式通常称为 Parseval 定理. h(t) 2 dt = H(f) 2 df (2.173) 离散付里叶变换为了在计算机上实现付里叶变换, 需要对付里叶变换进行离散化处理. 这一节介绍离散付里叶变换, 首先介绍对连续付里叶变换离散化的抽样方法. 在非常一般的情况下, 对函数 h(t) 在时间的等间距上进行取样. 令为取样间隔, 则对 h(t) 的取样成为 h n = h(n ) n =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, (2.174) 的倒数称为取样频率, 它反映了取样所能代表的频率上限. 对于一给定的取样间隔, 存在一个截止频率 f, 由下式给出, f = 1 2 (2.175) 这一频率通常称为 Nyquist 临界频率, 如果对一个具有 Nyquist 临界频率正弦 ( 或余弦 ) 函数进行取样, 则如果一个取样点位于正的波峰, 则下一个取样点将位于负的波峰, 再下一个又位于正的波峰,. 与 Nyquist 临界频率相连系, 有下面的重要结论 :

66 66 第二章物理学中的常用数值方法 (1) 如果一连续函数 h(t) 只有有限带宽, 且带宽小于 f, 也就是说, 对所有的频率 f > f, 都有 H(f) = 0, 则函数 h(t) 由其取样值 h n 完全决定. 实际上, h(t) 可由下式显式给出 sin[2πf (t n )] h(t) = h n (2.176) π(t n ) 证明如下, h(t) 与 H(f) 之间由下式联系 H(f) = h(t) = f h(t)e 2πift dt f H(f)e 2πift df (2.177) 上式中的第二个积分限为有限值, 这是由于在积分限外, H(f) = 0. 把 H(f) 延拓到整个频率域上, 记延拓后的函数为 H(f), 满足 { H(f) = H(f) f f f 则可得到一对新的付里叶变换 (2.179) 的第二式可写为 h(t) = H(f + 2f ) = H(f) = = = H(f) = h(t) = m= H(f)e 2πift df (2m+1)f h(t)e 2πift dt m= (2m 1)f f e 2πi2mf t m= (2.178) H(f)e 2πift df (2.179) H(f)e 2πift df f H(f)e 2πift df e 2πi2mf t h(t) (2.180) 在得到上式时, 我们利用了式 (2.178), 上式中的求和当 f t = n 2, n = 0, ±1, ±2, 时, 为无穷大, 对其它 t 值, 求和为 0, 可以证明 ( 请同学作为一个练习, 证明下述关系 ) e 2πi2mft = δ(t n ) (2.181) m= 在得出上式时, 使用了关系 f = 1 2, 从而有 h(t) = n= n= δ(t n )h(t) (2.182)

67 2.6 快速付里叶变换 67 H(f) = = = h(t)e 2πift dt n= n= 在区间 [ f, f ] 内, 上式就等于 H(f), 于是 f δ(t n )h(t)e 2πift dt h(n )e 2πifn (2.183) h(t) = H(f)e 2πift df f f = h(n ) e 2πif(t n ) df f = n= n= h(n ) sin[2πf (t n )] π(t n ) (2.184) 这是一个十分重要的定理, 它告诉我们, 一个有限带宽的信号所包含的信息较之一个一般的连续函数是非常小的 ( 严格的讲, 二者的信息量之比为零 ). 在通常情况下, 物理上遇到的信号都是有限带宽的, 在这种情况下, 只要取取样间隔小于或等于二倍最大频率的倒数, 则可以完整的地得到这一信号所包含的信息. (2) 如果一个信号不是有限带宽的或 Nyquist 临界频率 f 小于信号的最大频率, 则位于 [ f, f ] 外的付里叶分量将移动到 [ f, f ] 区间内并叠加在这一区间的分量上面, 这一现象称为波形重叠. 当一个信号进行离散取样后, 消除波形重叠几乎是不可能的. 克服这一困难的方法是, 首先找到信号的自然带度, 或者先用某种方法对信号进行滤波, 把信号限制于一频率间隔内, 然后由最大频率确定取样间隔. 现在, 我们来讨论如何由有限数目的样点来计算其付里叶变换. 假定我们有 N 个相继的取样信号 h k h(t k ), t k k k = 0, 1, 2,, N 1 (2.185) 为简单起见, 我们进一步假定 N 为偶数. 如果 h(t) 只在有限时间区间内非零, 则 h(t) 的取样应包括这个非零区间, 如果 h(t) 在整个时间区间中非零, 则取样应包括足够大的区间以使区间内的 h(t) 尽可能好的代表整个时间区间上的 h(t). 如果我们只有 N 个数作为输入, 则显然最多只能得到 N 个独立的数作为输出. 因此, 要从 N 个样品点计算 [ f, f ] 内的所有 f 值的付里叶变换 H(f) 是不可能的, 因此, 我们只计算一系列离散点 f n n N, n = N 2, N 2 + 1,, N 2 (2.186) 上式中 n 的上限值正好是 Nyquist 临界频率 f, 上式中的 n 的总数实际上为 N + 1 个, 而不是 N 个, 但 n 的上限值和下限值并不独立, 实际上, 它们代表同一个点, 这样, 独立频率的总数为 N 个.

68 68 第二章物理学中的常用数值方法把 (2.160) 中的积分变为一个离散求和 H(f n ) = h(t)e 2πift dt N 1 k=0 N 1 h k e 2πifnt k = k=0 h k e 2πikn/N (2.187) 在最后一个等式中, 使用了式 (2.174) 和 (2.186), 上式的最后求和称为 N 个数据点 h k 的离散付里叶变换. 记为 H n N 1 k=0 h k e 2πikn/N (2.188) 它把 N 个数 h k 映射为 N 个数 H n, 这一求和不依赖于任何量纲参数 (h k 与 H n 具有相同的量纲 ), 连续付里叶变换在离散点上的值与离散付里叶变换由式 (2.187) 给出为 H(f n ) = H n (2.189) 到此为此, 我们总是取 (2.188) 中的 n 的取值范围为 N/2 到 N/2. 实际上, 从 (2.188) 可知, H n 对于 n 具有周期 N, 即 H n = H N n, 因此, 我们也可以取 n = 0, 1, 2,, N 1, 这样, n 和 k 的变化范围完全相同. 在这种取法下, 0 < f < f 对应于 1 n N/2 1, 负频率 f < f < 0 对应于 N/2 + 1 n N 1, 而 f 和 f 均对应于 n = N/2. 离散付里叶变换的逆变换由下式给出 h k = 1 N N 1 n=0 H n e 2πikn/N (2.190) 这一表达式与 (2.188) 的差别在于改变 e 指数上的符号并把结果除以 N, 因此计算离散付里叶变换的方法 ( 或程序 ) 只需做微小修改便可用来计算离散付里叶变换的逆变换. 离散付里叶变换具有与连续付里叶变换几乎完全相同的性质, 例如表 2.1 中所列的对称性质对于离散付里叶变换也成立, 只是此时 h k 对应于 h(t), h N k 对应于 h( t), H n 对应于 H(f), 而 H N n 对应于 H( f). 例如说 H n 为偶时, 我们是指 H n = H N n, 等等快速付里叶变换首先, 让我们看一下对 N 个数据点作一次离散付里叶变换所需的计算次数, 定义则 (2.188) 可写为 W e 2πi/N (2.191) H n = N 1 k=0 W nk h k (2.192) 即如果把 H n 和 h k 看作矢量, 则上式相当于一矩阵与矢量的乘积, 矩阵的第 (n, k) 个分量等于 W 的 nk 次方. 显然, 矩阵与矢量的乘积需要做 N 2 次乘法, 总的计算量等于 N 2

69 2.6 快速付里叶变换 69 次乘法加上形成矩阵所需的计算次数, 其阶为 N 2. 直到 1960 年中期, 这是通常的看法年, IBM 公司的 J. W. Cooley 和 J. W. Tukey 提出了一个离散付里叶变换的快速算法, 把计算量从 N 2 降低到 N log 2 N. 为了看出这一改进的重要意义, 考虑一个 N = 的离散付里叶变换, 这一变换用快速方法在一个 486/33 计算机上约需 60 秒, 而如果用 (2.192) 直接计算, 则需要大约 20 天. 事实上, 离散付里叶变换的快速算法可以追溯到 1903 年, 当时, Runge 提出了 12 点和 24 点的算法年, Danielson 和 Lanzos 提出了一种最优算法, 但因为当时还没有电子计算机, 因而没有引起重视, 只是在 J. W. Cooley 和 J. W. Tukey 提出后, 才引起了广泛的注意. 下面我们给出这一算法的一个推导, 首先我们证明, 一个 N 点 (N 为偶数 ) 的离散付里叶变换可以写为二个 N/2 点的离散付里叶变换之和, 其中一个由处于原来 N 个点的偶数位置的点构成, 另一个则由处于原来 N 个点的奇数位置的点构成, 这一结论称为 Danielson Lanzos 定理. 证明如下 : H n = = = N 1 k=0 N/2 1 k=0 N/2 1 k=0 e 2πink/N h k e 2πin(2k)/N h 2k + N/2 1 k=0 N/2 1 e 2πink/(N/2) h 2k + W n e 2πin(2k+1)/N h 2k+1 k=0 e 2πink/(N/2) h 2k+1 = H e n + W n H o n (2.193) 上式称为 Danielson Lanzos 公式. 在上式中, W 由式 (2.191) 给出, H e n 表示由长度为 N/2, 由原 h k 的偶分量组成的数据序列的离散付里叶变换 ; 而 H o n 表示由长度为 N/2, 由原 h k 的奇分量组成的数据序列的离散付里叶变换. 请注意上式中最后一行中 n 的取值仍然是 0 到 N, 但 H e n 和 H o n 的周期为 N/2, 因此实际上只要各计算 N/2 个分量, 另外 N/2 个由周期性得到. 在有了上述结果后, 我们可以分别对 H e n 和 H o n 进行同样的变换, 即代替计算长度为 N/2 的离散付里叶变换, 我们可以计算两个长度为 N/4 的离散付里叶变换, 分别对应于 N/2 序列中的偶数分量序列和奇数分量序列. 也就是说, 我们可以定义 H ee n, H eo n, 分别为由顺次划分中的偶偶序列, 偶奇序列, 的离散付里叶变换. 为了这一划分可以一直进行下去, 我们要求 N 应为 2 的某个幂次, 如果在实际工作中得到的数据不是 2 的幂次, 则可在原数据上增加若干个 0 使分量的总数成为 2 的幂次以便使用快速方法. 在 N 为 2 的幂次的条件下, 这种划分可以一直进行到长度为 1 的变换, 而长度为 1 的离散付里叶变换就是该数本身. 这样, 我们得到 N 个一点离散付里叶变换, 每一个对应于一种 log 2 N 个 e 和 o 的排列, 即 H eeoe oo n = h k (2.194)

70 70 第二章物理学中的常用数值方法实际上, 对于一点变换, 其周期为 1, 因而上式左边的下标 n 是多余的. 上式右边的下标 k 与左边的上标对应, 对于一个给定的 e 和 o 的排列, 唯一地确定了方程右边的下标 k. 下面的问题是给出 k 与 e 和 o 的排列之间的对应关系, 这个关系是十分简单的, 首先, 令 e = 0, o = 1, 则 e 和 o 的一种排列与一个 2 进制数相对应, 我们把这个 2 进制数前后颠倒, 其结果就给出 k 的 2 进制表示. 例如, 对于 N = 2 3, eee 000 k = (000) 2 = 0 eeo 001 k = (100) 2 = 4 eoe 010 k = (010) 2 = 2 eoo 011 k = (110) 2 = 6 oee 100 k = (001) 2 = 1 oeo 101 k = (101) 2 = 5 ooe 110 k = (011) 2 = 3 ooo 111 k = (111) 2 = 7 (2.195) 为了说明这个结果, 我们仍然以 N = 2 3 为例, 下面是每一步变换步骤另一方面, H n = H e n + W n H o n = (H ee n = (H eee n W n (H oee n + W 2n Hn eo ) + W n (Hn oe + W 2n Hn oo ) + W 4n Hn eeo ) + W 2n (Hn eoe + W 4n Hn eoo ) + + W 4n Hn oeo ) + W 3n (Hn ooe + W 4n Hn ooo ) (2.196) H n = h 0 + W n h 1 + W 2n h 2 + W 3n h 3 + W 4n h 4 + W 5n h 5 + W 6n h 6 + W 7n h 7 (2.197) 比较 (2.196) 和 (2.197) 可知, k 与 e 和 o 的排列之间的关系由前面的论断给出, 我们在此仅仅对 N 的一个特殊值给出了验证, 但可以一般地证明它的正确性. 式 (2.196) 也给出了一个计算步骤, 利用关系 W 0 = 1 及 W N/2 = 1, 我们看到, 如果把 h k 按照 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7 的次序排列 ( 这一排列方式正好是 k 的 2 进制表示前后颠倒后的数的顺序排列 ), 则第一步可对相邻的数作二点变换, 如式 (2.196) 中最后一行的每一个括号所示, 在这一步, 只需计算 n = 0 和 n = 1,n = 2,, 7 由周期性条件给出, 需要做 2 4 = 8 次乘法 ; 第二步由式 (2.196) 的第二行给出, 此时需计算 n = 0, 1, 2, 3, 需要做 4 2 = 8 次乘法 ; 最后一步由 (2.196) 的第一行给出, 需要做 8 1 = 8 次乘法. 因此, 总的乘法数为 8 3 = 8 log 2 8 次. 上面的算法可立即推广到一般 N( 为 2 的幂次 ), 我们给出计算离散付里叶变换的算法如下 (1) 把 h k 按照 k 的 2 进制表示前后颠倒后的数的顺序重新排列 ; (2) 对 max = 2, 4, 8,, 2 i,, N; 对于 m = 0, 1,, max; 对于相邻的一对数做二点离散付里叶变换.

71 2.7 附录 : 特殊函数的计算图 2.4: Runge 函数的付里叶变换到此为止, 我们讨论了 N = 2 γ, γ 为一整数的快速算法 ( 在一般文献中称为基 2 算法 ), 在实现时, 我们先对数据进行二进位次序颠倒, 再使用 Danielson Lanzos 公式. 当然, 我们也可以先使用 Danielson Lanzos 公式, 再做二进位次序颠倒. 除了基 2 算法外, 也可以进行基 4 算法, 基 8 算法等, 也可以通过推广 Danielson Lanzos 公式, 建立以小的素数为基的算法. 对于绝大多数问题, 基 2 算法应作为首选算法, 如前面已经指出过的, 若原始数据的个数不是 2 的幂次, 则可通过补零的办法凑齐. 给出作为例子, 我们来考虑区间 [ 1, 1] 上 Runge 函数的付里叶变换. Runge 函数由下式 h(x) = x 2 把 h(x) 延拓到整个实轴上, 成为周期为 2 的周期函数, 为了使用前面的程序, 考虑区间 [0, 2], 由于已经进行了延拓, 因此 [ 1, 1] 和 [0, 2] 均为一个周期, 其付里叶变换是相同的. 图 (2.4) 给出付里叶变换的计算结果关于快速付里叶变换, 已有不少专著对其进行讨论, 希望进一步了解的同学可参看这些书籍. 但对于大部分实际应用, 本章的内容应已够用. 2.7 附录 : 特殊函数的计算 Γ 函数, B 函数, 不完全 Γ 函数的计算 Γ 函数由下面的积分定义 : Γ(z) = 0 t z 1 e t dt (2.198)

72 72 第二章物理学中的常用数值方法如果 z 为一整数, 则有 Γ 函数满足如下递推关系 : n! = Γ(n + 1) (2.199) Γ(z + 1) = zγ(z) (2.200) 如果已经知道了 Γ 函数在 Re(z) > 1 时的值, 则可利用下述关系求得 Re(z) < 1 时的值. Γ(1 z) = π Γ(z) sin(πz) = πz Γ(1 + z) sin(πz) (2.201) Γ(z) 在 0, 1, 2,, 上有单极点, 在复平面的其它地方解析. Lanzos 方法似乎是计算 Γ 函数的数值的最漂亮的方法, 对于一定的整数 γ 和 N 以及一定的系数 1, 2,, N, Lanzos 的近似公式由下式给出 : ( Γ(z + 1) = z + γ + 1 ) z+ 1 2 e (z+γ+ 1 2) 2 [ 2π z z ] N z + N + ϵ (Re(z) > 0) (2.202) 这里 : 0 1, ϵ 代表误差, 对于 γ = 5, N = 6 可以得到 ϵ < 当 z 较大时, Γ 函数的数值非常大, 极易上溢, 在实用上, 很多物理公式常常表示为 Γ 函数相除的形式而代表一个合理的数字. 因此, 代替计算 Γ 函数本身, 我们通常计算 Γ 函数的对数 ln(γ(z)). 由上式可得到 ln(γ(z)) 的公式如下 : ( ln(γ(z + 1)) = z + 1 ) ( ln z + γ + 1 ) 2 2 这里 + ln ( z + γ [( 2π(0 + 1 z z = 1 1 = = = = = = ) N z + N + ϵ )] (2.203) (2.204)

73 2.7 附录 : 特殊函数的计算 73 B 函数由下式积分定义 : B(z, w) = B(w, z) = 它与 Γ 函数之间满足如下简单的关系 : 1 0 t z 1 (1 t) w 1 dt (2.205) B(z, w) = Γ(z)Γ(w) Γ(z + w) (2.206) 因此, 很容易用 Γ 函数的结果计算 B 函数. 不完全 Γ 函数定义为 : P (a, x) γ(a, x) Γ(a) 1 Γ(a) x 0 e t t a 1 dt (a > 0) (2.207) 它具有下面的极限 P (a, 0) = 0, P (a, ) = 1 (2.208) P (a, x) 的补函数 Q(a, x) 1 P (a, x) 的积分形式为 : Q(a, x) Γ(a, x) Γ(a) 1 Γ(a) x e t t a 1 dt (a > 0) (2.209) γ(a, x) 可以用级数表示出来 : γ(a, x) = e x x a n=0 Γ(a) Γ(a n) xn (2.210) 实际计算时, 并不需要对每个 n 都计算 Γ(a n), 而通常是利用前一次的值递推计算. Γ(a, x) 可以用连分式表示出来, Γ(a, x) = e x x a ( 1 x+ 1 a 1+ 1 x+ 2 a 1+ ) 2 x+ (x > 0) (2.211) (2.210) 对于较小的 x (x < a + 1) 收敛较快, 而 (2.211) 对于大的 x (x > a + 1) 收敛较快, 把二个式子结合起来, 就得到计算不完全 Γ 函数的方法误差函数的计算误差函数和余误差函数定义为 erf(x) = 2 x e t2 dt (2.212) π 0 erf(x) 1 erf(x) = 2 e t2 dt (2.213) π x

74 74 第二章物理学中的常用数值方法它们具有下面的极限形式 erf(0) = 0, erf( ) = 1, erf(0) = 1, erf( ) = 0 (2.214) 及对称关系 erf( x) = erf(x) erf( x) = 2 erf(x) (2.215) 误差函数可用下面的近似逼近式计算其值, 误差小于 erf(x) = ( t t t 3 t = t t) exp( x 2 ) x 这一函数目前已经在很多计算机上作为内部函数给出, 因此在使用本程序前, 请先检查你的机器上是否有此函数, 如果没有, 再使用本节的算法计算. 误差函数也可作为不完全 Γ 函数的特殊形式给出, ( ) 1 erf(x) = P 2, x2 (x 0) ( ) 1 erf(x) = Q 2, x2 (x 0) (2.216) 例题硅片置于恒定杂质浓度 (N 0 ) 的气体中, 试确定其内部浓度随时间的变化. 解 : 本问题的定解方程为 :( 梁昆淼, 数学物理方法, P259) u t a 2 u xx = 0 u x=0 = N 0 u t=0 = 0 其解可写为 : x u(x, t) = N 0 erf( 2a t ) 为了得到解的图形, 可利用本节的程序计算余误差函数的值. 作为练习, 请同学完成具体计算指数积分的计算指数积分是指由下式定义的函数 E 1 (z) = e t z t dt ( argz < π) (2.217)

75 2.7 附录 : 特殊函数的计算 75 这里 z 为一辐角小于 π 的复数, 与此相关的函数还有它们之间满足下面的关系 E n (z) = 对 E n (x), 有下面的不等式 1 e zt dt (n = 2, 3, ; Rez > 0) (2.218) tn E n+1 (z) = 1 n [e z ze n (z)] (n = 1, 2, 3, ) (2.219) 1 x + n < ex E n (x) 1 x + n 1 (2.220) 对于实数宗量, 当 0 x 1 时, E 1 (x) 可用多项式来近似 ; 当 x > 1 时, xe x E 1 (x) 可用分式有理函数来近似, 下面是有关公式 : E 1 (x) = x x x x x ln(x) (0 x 1) E 1 = P (t) exp( x) Q(t) x (x > 1) t = 1 x P (t) = t t t t + 1 Q(t) = t t t t 整数阶贝塞尔函数及虚宗量贝塞尔函数的计算贝塞尔函数在物理研究中经常遇到, 对于任意实数 ν, 贝塞尔函数定义为 : ( J ν (z) = ( z 2 )ν k=0 z2 4 ) k k!γ(ν + k + 1) 这个级数对于任何 z 都是收敛的, 但当 z 1 时, 对于实际计算并无多大用处. 当 ν 不是整数时, 第二类贝塞尔函数 Y ν (z) 由下式定义 : Y ν (z) = J ν(z) os(νπ) J ν (z) sin(νπ) (2.221) (2.222) 当 ν 为整数 n 时, Y n 可由下面的极限得到. Y n (z) = lim ν n Y ν (z) (2.223)

76 76 第二章物理学中的常用数值方法图 2.5: J 0 (x),, J 2 (x), Y 0 (x),, Y 2 (x) 的图形 J 0 (x) J 1 (x) J 2 (x) Y 0 (x) Y 1 (x) Y 2 (x) 对于小的 x, ( 例如, 当 x ν 时 ), 贝塞尔函数具有如下渐近表达式 : 1 ( x ) ν J ν (x) (ν 0) Γ(ν + 1) 2 Y 0 (x) 2 ln(x) (2.224) π Y ν (x) Γ(ν) ( x ) ν (ν > 0) π 2 而对于大的 x, ( 如 x ν), 贝塞尔函数定性与三角函数一致, 但其振幅按照 1/ x 的方式衰减, 其渐近形式为 : J ν (x) Y ν (x) 图 (4.1) 给出了前几个贝塞尔函数的图形. 贝塞尔函数满足如下的递推关系 : 2 (x πx os 12 νπ 14 ) π 2 (x πx sin 12 νπ 14 ) π J n(x) = nj n(x) x J n+1 (x) J n+1 (x) = 2n x J n(x) J n 1 (x) (2.225) Y n+1 (x) = 2n x Y n(x) Y n 1 (x) (2.226) 第一个可用来计算贝塞尔函数的导数, 第三个递推式对于 n 增加的递推是稳定的, 第二个递推式当 x > n 时对于 n 增加的递推是稳定的, 而当 x < n 时对于 n 减小的递推是稳定的.

77 2.7 附录 : 特殊函数的计算 77 计算整数阶贝塞尔函数的任务可由两步来完成, 第一步先计算 J 0 (x), J 1 (x), Y 0 (x), Y 1 (x) 的数值, 然后利用递推关系求得其它 n 的值. 从小 x 时的渐近关系我们知道, Y n (x) 在 x = 0 附近有奇异性, 因此, 我们应该计算其正规部分. Y 0 (x) 2 π J 0(x) ln(x) and Y 1 (x) 2 π [ J 1 (x) ln(x) 1 ] x (2.227) 当 0 x 8 时, J 0 (x), J 1 (x), Y 0 (x), Y 1 (x) 可以用分式有理函数来表示, 而当 8 < x < 时, 对于 (n = 0, 1), 有下面的近似式 : 2 J n (x) = πx 2 Y n (x) = πx 其中 [ ( ) ( ) ] 8 8 P n os(x n ) Q n sin(x n ) x x [ ( ) ( ) ] 8 8 P n sin(x n ) + Q n os(x n ) x x X n x 2n + 1 π 4 (2.228) P 0, P 1, Q 0 和 Q 1 是其宗量的多项式. ( 这里选择 8 作为两种近似表达式的分界线并无特殊的原因, 选 7 或 9 也可, 当然多项式的系数将会不同 ). 代替给出表示式, 这里给出计算程序, 读者应该很容易从程序中看出上述各多项式的形式和系数. Funtion bessj0(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,r1,r2,r3,r4,r5,r6, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 Data p1,p2,p3,p4,p5 /1.D0, D-2, D-4, * D-5, D-6/, * q1,q2,q3,q4,q5 / D-1, D-3, * D-5, D-6, D-7/ Data r1,r2,r3,r4,r5,r6 / D0, D0, * D0, D0, D0, * D0/, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 / D0, D0, * D0, D0, D0,1.D0/ If(abs(x).LT.8.) Then y=x**2 bessj0=(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6))))) * /(s1+y*(s2+y*(s3+y*(s4+y*(s5+y*s6))))) Else ax=abs(x) z=8./ax y=z**2 xx=ax bessj0=sqrt( /ax)*(os(xx)*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+ * y*p5))))-z*sin(xx)*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*q5))))) Endif Return End C C Funtion bessy0(x)

78 78 第二章物理学中的常用数值方法 C C C C Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,r1,r2,r3,r4,r5,r6, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 Data p1,p2,p3,p4,p5 /1.D0, D-2, D-4, * D-5, D-6/, * q1,q2,q3,q4,q5 / D-1, D-3, * D-5, D-6, D-7/ Data r1,r2,r3,r4,r5,r6 / D0, D0, * D0, D0, D0, * D0/, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 / D0, D0, * D0, D0, D0,1.D0/ If(x.LT.8.) Then y=x**2 bessy0=(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6)))))/(s1+y*(s2+y * *(s3+y*(s4+y*(s5+y*s6))))) *bessj0(x)*log(x) Else z=8./x y=z**2 xx=x bessy0=sqrt( /x)*(sin(xx)*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y* * p5))))+z*os(xx)*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*q5))))) Endif Return End Funtion bessj1(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,r1,r2,r3,r4,r5,r6, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 Data r1,r2,r3,r4,r5,r6 / D0, D0, * D0, D0, D0, * D0/, * s1,s2,s3,s4,s5,s6 / D0, D0, * D0, D0, D0,1.D0/ Data p1,p2,p3,p4,p5 /1.D0, D-2, D-4, * D-5, D-6/, * q1,q2,q3,q4,q5 / D0, D-3, * D-5, D-6, D-6/ If(abs(x).LT.8.) Then y=x**2 bessj1=x*(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6))))) /(s1+y*(s2+y*(s3+y*(s4+y*(s5+y*s6))))) Else ax=abs(x) z=8./ax y=z**2 xx=ax bessj1=sqrt( /ax)*(os(xx)*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y * *p5))))-z*sin(xx)*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*q5))))) * *sign(1.,x) Endif Return End Funtion bessy1(x)

79 2.7 附录 : 特殊函数的计算 79 Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,r1,r2,r3,r4,r5,r6, * s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7 Data p1,p2,p3,p4,p5 /1.D0, D-2, D-4, * D-5, D-6/, * q1,q2,q3,q4,q5 / D0, D-3, * D-5, D-6, D-6/ Data r1,r2,r3,r4,r5,r6 / D13, D13, * D11, D9, D7, * D4/, * s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7 / D14, D12, * D10, D8, D6, * D3,1.D0/ If(x.LT.8.) Then y=x**2 bessy1=x*(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6)))))/(s1+y*(s2+y* * (s3+y*(s4+y*(s5+y*(s6+y*s7)))))) * *(bessj1(x)*log(x)-1./x) Else z=8./x y=z**2 xx=x bessy1=sqrt( /x)*(sin(xx)*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y * *p5))))+z*os(xx)*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+y*q5))))) Endif Return End 高阶第二类贝塞尔函数的值可以通过递推关系求得, J n (x) 的计算比较麻烦, 对于小 n 大 x, 按照 n 增加的方向递推是稳定的, ( 实际工作中碰到的大都是这种情况 ), 但对于大 n 小 x, 则必须按照 n 减小的方向递推, 这就必须选则一个较大的 n, 一般取为 n + Const n, 向下递推至 0, 再按照恒等式 1 = J 0 (x) + 2J 2 (x) + 2J 4 (x) + 2J 6 (x) + 对计算结果归一化. 下面就是这一想法的实现. C C Funtion bessy(n,x) If(n.LT.2) Pause'bad argument N in BESSY' tox=2./x by=bessy1(x) bym=bessy0(x) Do 11 j=1,n-1 byp=j*tox*by-bym bym=by by=byp 11 Continue bessy=by Return End Funtion bessj(n,x) Parameter(ia=40,bigno=1.E10,bigni=1.E-10) If(n.LT.2) Pause'bad argument N in BESSJ'

80 80 第二章物理学中的常用数值方法 ax=abs(x) If(ax.EQ.0.) Then bessj=0. Elseif(ax.GT.float(n)) Then tox=2./ax bjm=bessj0(ax) bj=bessj1(ax) Do 11 j=1,n-1 bjp=j*tox*bj-bjm bjm=bj bj=bjp 11 Continue bessj=bj Else tox=2./ax m=2*((n+int(sqrt(float(ia*n))))/2) bessj=0. jsum=0 sum=0. bjp=0. bj=1. Do 12 j=m,1,-1 bjm=j*tox*bj-bjp bjp=bj bj=bjm If(abs(bj).GT.bigno) Then bj=bj*bigni bjp=bjp*bigni bessj=bessj*bigni sum=sum*bigni Endif If(jsum.NE.0) sum=sum+bj jsum=1-jsum If(j.EQ.n) bessj=bjp 12 Continue sum=2.*sum-bj bessj=bessj/sum Endif If(x.LT.0..AND.mod(n,2).EQ.1) bessj=-bessj Return End 现在我们讨论虚宗量贝塞尔函数的计算. 虚宗量贝塞尔函数定义为 : I n (x) = ( i) n J n (ix) K n (x) = π 2 in+1 [J n (ix) + iy n (ix)] (2.229) 在小 x 极限下, 它们具有如下渐近形式 : I n (x) 1 ( x ) n n 0 n! 2 K 0 (x) ln(x) (n 1)! ( x ) n K n (x) n > 0 (2.230) 2 2

81 2.7 附录 : 特殊函数的计算 81 而在大 x 极限下, 其渐近形式为 : I n (x) K n (x) 1 2πx exp(x) π 2πx exp( x) (2.231) 虚宗量贝塞尔函数的递推关系与贝塞尔函数的略有不同, 由下式给出 : 归一化关系为考虑到上述改变, 我们给出计算程序如下 : C C I n(x) = ni n(x) + I n+1 (x) ( x ) 2n I n+1 (x) = I n (x) + I n 1 (x) x ( ) 2n K n+1 (x) = + K n (x) + K n 1 (x) (2.232) x 1 = I 0 (x) 2I 2 (x) + 2I 4 (x) 2I 6 (x) + Funtion bessi0(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7, * q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9 Data p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7 /1.0D0, D0, D0, * D0, D0, D-1, D-2/ Data q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9 / D0, D-1, * D-2, D-2, D-2, D-1, * D-1, D-1, D-2/ If(abs(x).LT.3.75) Then y=(x/3.75)**2 bessi0=p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7))))) Else ax=abs(x) y=3.75/ax bessi0=(exp(ax)/sqrt(ax))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4 * +y*(q5+y*(q6+y*(q7+y*(q8+y*q9)))))))) Endif Return End Funtion bessi1(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7, * q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9 Data p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7 /0.5D0, D0, D0, * D0, D-1, D-2, D-3/ Data q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9 / D0, D-1, * D-2, D-2, D-1, D-1, * D-1, D-1, D-2/ If(abs(x).LT.3.75) Then y=(x/3.75)**2 bessi1=x*(p1+y*(p2+y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7)))))) Else

82 82 第二章物理学中的常用数值方法 C C C C ax=abs(x) y=3.75/ax bessi1=(exp(ax)/sqrt(ax))*(q1+y*(q2+y*(q3+y*(q4+ * y*(q5+y*(q6+y*(q7+y*(q8+y*q9)))))))) If(x.LT.0.) bessi1=-bessi1 Endif Return End Funtion bessk0(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7, * q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 Data p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7 / D0, D0, * D0, D-1, D-2, D-3,0.74D-5/ Data q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 / D0, D-1, * D-1, D-1, D-2, D-2, * D-3/ If(x.LE.2.0) Then y=x*x/4.0 bessk0=(-log(x/2.0)*bessi0(x))+(p1+y*(p2+y*(p3+ * y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7)))))) Else y=(2.0/x) bessk0=(exp(-x)/sqrt(x))*(q1+y*(q2+y*(q3+ * y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*q7)))))) Endif Return End Funtion bessk1(x) Real*8 y,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7, * q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 Data p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7 /1.0D0, D0, D0, * D0, D-1, D-2, D-4/ Data q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7 / D0, D0, * D-1, D-1, D-2, D-2, * D-3/ If(x.LE.2.0) Then y=x*x/4.0 bessk1=(log(x/2.0)*bessi1(x))+(1.0/x)*(p1+y*(p2+ * y*(p3+y*(p4+y*(p5+y*(p6+y*p7)))))) Else y=2.0/x bessk1=(exp(-x)/sqrt(x))*(q1+y*(q2+y*(q3+ * y*(q4+y*(q5+y*(q6+y*q7)))))) Endif Return End Funtion bessk(n,x) If(n.LT.2) Pause'bad argument N in BESSK' tox=2.0/x bkm=bessk0(x) bk=bessk1(x) Do 11 j=1,n-1

83 2.7 附录 : 特殊函数的计算 83 C C bkp=bkm+j*tox*bk bkm=bk bk=bkp 11 Continue bessk=bk Return End Funtion bessi(n,x) Parameter(ia=40,bigno=1.0E10,bigni=1.0E-10) If(n.LT.2) Pause'bad argument N in BESSI' If(x.EQ.0.) Then bessi=0. Else tox=2.0/abs(x) bip=0.0 bi=1.0 bessi=0. m=2*((n+int(sqrt(float(ia*n))))) Do 11 j=m,1,-1 bim=bip+float(j)*tox*bi bip=bi bi=bim If(abs(bi).GT.bigno) Then bessi=bessi*bigni bi=bi*bigni bip=bip*bigni Endif If(j.EQ.n) bessi=bip 11 Continue bessi=bessi*bessi0(x)/bi If(x.LT.0..AND.mod(n,2).EQ.1) bessi=-bessi Endif Return End 练习运行上面的程序, 并与你所能得到的贝塞尔函数的数据表比较例题均匀圆柱, 半径为 R, 高为 H, 柱侧有均匀分布的恒定热流进入, 其强度为 q 0, 圆柱上下底面保持为恒定的 u 0 度, 求解柱内稳定温度分布. 这一问题的答案是 ( 见梁昆淼, 数学物理方法, P376) u u 0 = 4Hq 0 kπ 2 1 I 0 (2l + 1) 2 l=0 I 0 ( (2l+1)π H ρ ) ( (2l+1)πR H ) sin (2l + 1)πz H 利用 I 0(x) = I 1 (x), 由上面给出的贝塞尔函数的计算程序, 可以直接用上式求得 u u 0, 由于 I 0 和 I 1 在其宗量较大时指数上升, 为了避免上溢, 实际计算时对前面所给程序作了很小的改动, 即把指数上升部分提了出来. 图 (2.6) 给出了 R = 1, H = 2 时 u u 0 与 z 的

84 84 第二章物理学中的常用数值方法图 2.6: 关系的计算结果. 从下至上, 曲线依次对应于 ρ = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 从图中可见, 在柱的轴线方向, 中间温度最高, 沿柱的径向, 则表面温度最高, 这些特点, 在解析式子中是很难看出来的球谐函数的计算球谐函数在物理学的各个子领域中都经常遇到, 它是 Laplae 方程在球坐标中分离变量的自然结果. 球谐函数通常通过连带勒让德多项式来定义 : 2l + 1 (l m)! Y lm (θ, ϕ) = 4π (l + m)! P l m (os θ)e imϕ (2.233) 利用关系式 Y l, m (θ, ϕ) = ( 1) m Y lm(θ, ϕ) (2.234) 我们总可以把一个任意球谐函数与 m 0 的连带勒让德多项式联系起来. 令 x os θ, 连带勒让德多项式定义为 : Pl m (x) = ( 1) m (1 x 2 m/2 dm ) dx P l(x) (2.235) m P l (x) 为 l 阶勒让德多项式. 连带勒让德多项式有关系式因此我们只需要计算 m > 0 的情形. P m m (l m)! l (os θ) = ( 1) (l + m)! P l m (os θ)

85 2.7 附录 : 特殊函数的计算 85 且连带勒让德多项式满足如下的递推关系 : (l m)pl m (x) = x(2l 1)Pl 1 m (l + m 1)Pl 2 m (2.236) P m m (x) = ( 1) m (2m 1)!!(1 x 2 ) m/2 P m m+1(x) = x(2m + 1)P m m (x) (2.237) 由此, 我们得到计算连带勒让德多项式的程序如下 : Funtion plgndr(l,m,x) If(m.LT.0.OR.m.GT.l.OR.abs(x).GT.1.) Pause'bad arguments' pmm=1. If(m.GT.0) Then somx2=sqrt((1.-x)*(1.+x)) fat=1. Do 11 i=1,m pmm=-pmm*fat*somx2 fat=fat Continue Endif If(l.EQ.m) Then plgndr=pmm Else pmmp1=x*(2*m+1)*pmm If(l.EQ.m+1) Then plgndr=pmmp1 Else Do 12 ll=m+2,l pll=(x*(2*ll-1)*pmmp1-(ll+m-1)*pmm)/(ll-m) pmm=pmmp1 pmmp1=pll 12 Continue plgndr=pll Endif Endif Return End 当 m = 0 时, 程序给出勒让德多项式的值. 球谐函数则可通过连带勒让德多项式乘以一个因子得到. 例题 : 设半径为 a 的球面上的势给定为 ( 取球坐标, 坐标原点取到球心 ) { +V 0 θ < π V (θ) = V 2 π < θ π 2 其球外的电势可解出为 ( 见 D. J. 杰克逊, 经典电动力学, 朱培豫译, P101) Φ(r, θ) = V ( 1) j 1 (2j 1)Γ ( ) j 1 ( 2 2 a ) 2j P2j 1 (os θ) π j! r j=1 利用本节提供的计算 Γ 函数和勒让德多项式的子程序, 直接对上式求和, 就可得到电势的图像, 图 (2.7) 是对五个 r, (r = 1.1a, 1.6a, 2.1a, 2.6a, 3.1a) 的数值所做的计算结果.

86 86 第二章物理学中的常用数值方法图 2.7: 椭圆积分的计算我们知道, 形如 dx A(x) + B(x) S(x) C(x) + D(x) S(x) (2.238) 的积分总可以表示为椭圆积分. 这里 A, B, C, 和 D 为任意多项式而 S 是一个三次或四次多项式. 为了计算椭圆积分的数值, 我们定义广义第二类不完全椭圆积分如下 : el2(y, k, a, b) y 这里 y 0, a, b, k 可以是任何实数. 做变量替换我们得到广义第二类不完全椭圆积分的等价表示 : 0 (a + bx 2 )dx (1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + k 2 x 2 ) (2.239) x = tan ϕ k 2 = 1 k 2 (2.240) el2(y, k, a, b) = = tan 1 y 0 tan 1 y 0 (a + b tan 2 ϕ)dϕ (1 + tan 2 ϕ) (1 + tan 2 ϕ)(1 + k 2 tan 2 ϕ) a + (b a) sin 2 ϕ dϕ (2.241) 1 k2 sin 2 ϕ 另一个有用的函数是广义完全椭圆积分, 定义为 : el(k, p, a, b) = 0 π/2 0 (a + bx 2 )dx (1 + px 2 ) (1 + x 2 )(1 + k 2 x 2 ) a os 2 ϕ + b sin 2 ϕ (os 2 ϕ + p sin 2 ϕ) dϕ (2.242) os 2 ϕ + k 2 sin 2 ϕ

87 2.7 附录 : 特殊函数的计算 87 利用上述两个函数, 则第一类勒让德椭圆积分可表示为 : F (ϕ, k) = ϕ 0 dϕ x 1 k2 sin 2 ϕ = dx (1 + x2 )(1 + kx 2 2 ) = el2(x, k, 1, 1) (2.243) 0 这里 x = tan ϕ, k 2 = 1 k 2 第一类完全椭圆积分可表示为 : 第二类勒让德椭圆积分可表示为 : E(ϕ, k) = ϕ 0 1 k 2 sin 2 ϕdϕ = 第二类完全椭圆积分可表示为 : K(k) F ( π 2, k) = el(k, 1, 1, 1) (2.244) x k 2 x 2 (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) dx = el2(x, k, 1, k 2 ) (2.245) E(k) E( π 2, k) = el(k, 1, 1, k 2 ) (2.246) 这里不给出算法, 讲义所附计算 el2 和 el 的程序可作为一个黑匣子来使用. 例题 : 考虑一个单摆, 由一质量为 m 的重锤和一长为 l 的轻绳构成, 平衡时重锤坚直向下, 取摆绳偏离平衡位置的夹角为 θ, 则摆的运动方程为 θ = g l sin θ 其中 g 为重力加速度, 当 θ << 1 时, sin θ θ, 上面方程可容易解出, 由此可求得单摆的周期为为了求得一般结果, 把原方程改写为上式两边乘以 θ 并积分得 : l T 0 = 2π g T 2 0 θ = (2π) 2 sin θ dθ dt = ±2π T 0 2(os θ os α) 式中 α 为一积分常数, 代表单摆的最大摆角, + 号表示 θ 增加方向, 号表示 θ 减小方向. 上式可进一步化为 dt = ± T 0 4π dθ sin 2 α 2 sin2 θ 2

88 88 第二章物理学中的常用数值方法 T/T α/π 图 2.8: 单摆的周期与最大偏角之间的关系若设 t = 0 时, θ = 0, 考虑 0 t T /4, 0 θ α 之间的运动, 作代换 sin θ 2 = sin α 2 sin ϕ, 则 1 ϕ t = T 0 2π 0 dϕ 1 sin 2 α 2 1 = T 0 2π F (ϕ, k) = T 1 0 2π el2(x, k, 1, 1) 其中 k = sin α, x = tgϕ, k 2 = 1 k 2, 当 θ = α 时, ϕ = π, 由此得摆的严格周期为 2 1 T = 4T 0 2π F (2π 2, k) = T 2 0 π el(k, 1, 1, 1) 图 (2.8) 是按照上式求出的 T α 关系. 2.8 附录 : 高斯积分的节点和权重这里给出若干常用的高斯积分的节点和权重表, 更多的数表可在 M. Abramowitz & A. Stegun 编写的 Handbook of Mathematial Funtions 中找到.

89 2.8 附录 : 高斯积分的节点和权重 89 表 2.2: 高斯勒让德积分的节点和权重 ±x i w i n= n= n= n= n= n= n=

90 90 第二章物理学中的常用数值方法表 2.3: 等权重切贝雪夫积分的节点 n ±x i n ±x i n ±x i

91 2.8 附录 : 高斯积分的节点和权重 91 表 2.4: 高斯拉盖尔积分的节点和权重, 表示形式为 (E)B = B 10 E x i w i w i e x i n= (-1) (-1) n= (-1) (-1) (-2) (-3) (-5) n= (-1) (-1) (-1) (-2) (-4) (-7) n= (-1) (-1) (-1) (-2) (-3) (-5) (-8) n= (-1) (-1) (-1) (-2) (-3) (-5) (-7) (-9)

92 92 第二章物理学中的常用数值方法表 2.5: 高斯厄米积分的节点和权重, 表示形式为 (E)B = B 10 E ±x i w i w i e x2 i n= (-1) n= (-1) (-1) (-2) n= (-1) (-1) (-3) n= (-1) (-1) (-2) (-4) n= (-1) (-1) (-2) (-4)

93 第三章数值线性代数在这一章里, 我们将讨论物理学中非常重要的一类计算问题, 即关于线性代数的计算问题. 线性代数计算也是计算数学中研究的最透彻的问题之一, 目前已经有一些十分完整的程序包运行在从微机到大型机的各种不同档次的计算机上, 其中最著名的是 Linpak 和 Eispak, 第一个是求解线性方程组的通用软件包, 第二个是求解各种矩阵本征值和本征向量的通用软件包. 1 目前, 这两个包已经合并为 LAPACK 软件包, 与基本线性代数包 BLAS 联合, 可以解决几乎所有的线性代数问题. 这些软件包可在免费获得, 在校园里十分流行的工具软件 Matlab 为上述软件包做了很好的界面, 可以帮助方便使用. 但另一方面, 大型软件包由于包含的程序多, 调用路径复杂, 对于一些较为简单的问题, 使用起来颇有牛刀杀鸡之感. 因此, 在这一章里, 我们将介绍几种常见的线性代数问题的计算方法, 对于在研究中碰到的较为复杂的问题, 强烈建议使用前面所提软件包中的标准程序. 3.1 主元消去法解线性代数方程组一个 n 元线性代数方程组记为 A X = B (3.1) 这里, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a n1 a n2 a nn 为一 n n 矩阵, X = [x 1, x 2,, x n ] T, B = [b 1, b 2,, b n ] T 1 国内最早对这两个软件包进行系统介绍的是郭富印, 冯国环, 石中岳和朱耀祖所编 FORTRAN 算法汇编, 第三分册, 并对软件包做了一些扩充, 但所附程序有个别印刷错误.

94 94 第三章数值线性代数为列向量. 显然, 方程 (3.1) 的解可形式地写为 X = A 1 B 但这一形式对于实际计算没有什么用处. 一个实用的算法是消去法, 其计算过程是相当简单的, 首先, 用矩阵 A 的第一行分别乘以某一适当的数与其它各行相加, 使得矩阵 A 的第一列除 a 11 外全为 0, 同时, 对列矩阵 B 施行同样的运算, 由线性代数知道, 这样的运算相当于用第一个方程分别乘以某一数值与其它方程相加, 而这样的运算并不改变原方程组的解. 用 A 的第二行分别乘以某一适当数值与其它各行相加, 同时对 B 施行同样的运算, 便可以把 A 的第二列除 a 22 外的元素化为 0, 这一过程可以一直 (?) 进行下去, 最后得到一个对角矩阵的方程, 其解可直接写出. 然而, 上述过程并不总是能够成功, 事实上, 直接用这一方法计算的话, 大部分问题都无法求解, 一个极端的例子是, 如果 a 11 = 0, 则显然第一步就完不成. 解决这一问题的方法自然是十分简单的, 只要交换第一个方程和另一个 x 1 的系数不为 0 的方程就行了, 实际上, 应该选择 x 1 的系数的绝对值最大的方程与之交换, 这样可使舍入误差最小. 既然如此, 对于 a 11 0 的情形, 我们也可以作这样一个交换, 把 x 1 的系数的绝对值最大的方程放在第一个, 这一过程称为选列主元. 当然, 我们对于其后的运算也要进行选主元计算. 完成选列主元的过程等价于交换矩阵 A 的二行, 这一过程并不改变原方程的解, 所以无需保留任何交换的信息. 也许大家可能已经想到, 如果在每一个方程内, 在计算的每一步把系数最大的那一项放在第一个, 可能数值性态会更好. 事实确是如此, 实现这一过程称为选行主元, 可以通过交换矩阵的两列来实现. 由于选行主元改变了原方程的结构, 所以在计算的每一步都要保留行主元的信息, 在最后恢复到原方程的解. 这一过程叫做全主元高斯消去法. 我们立刻可以看到, 这一过程对于求解一组方程和求解 A 相同而方程右边不同的数组方程一样容易, 更进一步, A 的逆矩阵也可同时求出 ( 如何求?). 3.2 LU 分解法前节讲述的方法基本可以满足一般问题的需要, 但也有一个严重的缺点, 这就是必须事先知道方程的右边 B, 有时候, 我们需要求解这样一类方程组, 其系数矩阵是给定的, 但 B 随问题而变且事先并不知道. 对这样一类问题, LU 分解法提供了最好的解决办法. 假定我们可以把矩阵 A 分解为 L U = A (3.2)

95 3.2 LU 分解法 95 这里 L 为一下三角矩阵, U 是一个上三角矩阵, 其形式为 α α 21 α 22 0 L =.... α n1 α n2 α nn β 11 β 12 β 1n 0 β 22 β 2n U = β nn 利用 (3.2), 方程 (3.1) 可写为 (3.3) (3.4) A X = L U X = B (3.5) 定义一个矢量 Y 为下面方程的解则 L Y = B (3.6) U X = Y (3.7) 的解即为原方程 (3.1) 的解. 方程 (3.6) 和 (3.7) 的求解是平庸的, (3.6) 可用所谓向前代入法求解, 即 y 1 = b 1 α 11 y i = 1 α ii 而 (3.7) 可用向后代入法求解, [ ] i 1 b i α ij y i j=1 i = 2, 3,, n (3.8) x n = y n β nn x i = 1 β ii [ y i n j=i+1 β ij x j ] i = n 1, n 2,, 2 (3.9) 上述计算是直接了当的, 因此, 只要有了矩阵 A 的 LU 分解, 对于任一 B, 我们只需按 (3.8) 和 (3.9) 作简单计算便可求得其解. 现在的问题是要找出矩阵 A 的 LU 分解, 为此, 我们写出方程 (3.2) 的分量形式 α i1 β 1j + α i2 β 2j + + α ii β ij = a ij 当 i < j α i1 β 1j + α i2 β 2j + + α ii β jj = a ij 当 i = j α i1 β 1j + α i2 β 2j + + α ij β jj = a ij 当 i > j (3.10)

96 96 第三章数值线性代数上式共有 n 2 个方程, 而有 n 2 + n 个末知数, 由于末知数的数目大于方程的数目, 我们可以任意指定 n 个条件, 然后求解这组方程. 如果指定 α ii = 1 i = 1, 2,, n (3.11) 则方程 (3.10) 可以十分方便的求出. 其算法通常称为 Crout 算法, 可表述为 : 对每一个 j = 1, 2, 3,, n, 作如下两步运算 : 1. 对 i = 1, 2,, j, 利用 (3.10) 的一, 二两式及 (3.11) 求解 β ij, 即 β 1j = a 1j i 1 β ij = a ij α ik β kj i = 2, 3,, j (3.12) 2. 对 i = j + 1, j + 2,, n, 利用 (3.10) 的第三式求解 α ij, 即 k=1 α i1 = 1 a i1 β 11 [ ] α ij = 1 j 1 a ij α ik β kj β jj k=1 请读者用铅笔和纸按照上面的算法做几步, 以验证 : 方程 (3.12) 和 (3.13) 右边的诸 α, β 在需要时已经算出. i = 2, 3,, j (3.13) 每一个 a ij 只使用一次且用过后不再需要, 也就是说, α ij 或 β ij 可以取代 a ij 以节约存储空间. 当完成 LU 分解之后, 矩阵 A 变为如下形式 : β 11 β 12 β 1n α 21 β 22 β 2n... α n1 α n2 β nn (3.14) 在描述 Crout 算法时, 我们有意回避了选主元的问题. 这并不意味着主元的选取不重要, 而是为了表述清楚. 因为这是本讲义中很少的几个给出详细描述的算法之一. 在 Crout 算法中, 只选列主元, 因为这样做并不会改变原方程组, 而仅仅是交换方程而已. 因此, 选列主元后, 我们得到的实际上是 A 的进行了某些行交换之后的矩阵的 LU 分解. 练习请证明, 在 LU 分解下, 矩阵 A 的行列式由下式给出 det(a) = Π n j=1β jj 如何利用 LU 分解计算矩阵 A 的逆矩阵? 请给出关键程序段

97 3.3 三对角方程组的求解三对角方程组的求解前面两节的方法可以解决任何线性代数方程组的求解问题, 但在实际工作中常常遇到一些特殊形式的方程组, 这些方程组当然可以利用前面的一般方法求解, 但如果我们充分利用它们的特殊性, 则可以更快地得到结果, 或者在同样的计算条件下求解更大的问题. 三对角方程组是最常见的特殊形式的方程组之一, 它在后面将要讲到的微分方程求解问题, 在固体物理的紧束缚近似方程中均会出现, 因此我们在此给出其求解方法. 三对角方程组是指由下式给出的方程组 b a 2 b 2 2 a n 1 b n 1 n 1 u 1 u 2 u n 1 = r 1 r 2 r n 1 (3.15) 0 a n b n u n r n 对上面方程利用高斯消去法求解, 就可以得到所谓的追赶法, 描述如下, 1. 令 u 1 = r 1 /b 1, γ 1 = 0, 对 j = 2, 3,, n, 作运算 γ j = j 1 b j 1 a j 1 γ j 1 u j r j a j u j 1 b j a j γ j (3.16) 2. 对 j = n 1, n 2,, 1, 作运算 u j u j γ j+1 u j+1 (3.17) 练习试证明上面的算法确实给出 (3.15) 的解在这一算法中, 我们没有施行选主元的运算, 因为主元的选取将破坏原方程的结构, 而原方程的特殊结构正是我们构造上述算法的基础, 在大部分实际问题中, 三对角方程组的对角线元素本身已经是主元. 因此, 这一缺陷对大部分应用不会有影响, 如果在某一问题的求解中上述方法失败, 则建议改用 LU 分解方法, 全主元消去法可作为最后的选择.

98 98 第三章数值线性代数 3.4 实对称矩阵的本征值和本征向量计算矩阵本征值问题的最佳办法是, 首先, 把矩阵约化为一简单形式, 然后用能够保持这一简单形式的叠代方法计算. 常用的约化方法有 Givens 方法和 Householder 方法. 常用的叠代方法有 QR 方法和 QL 方法等. 这一节我们介绍 Householder 方法和 QL 方法. 本节给出的程序均取自 Eispak, 这是一个经过多年考验的软件包 Householder 方法 Householder 方法通过 n 2 步正交变换把一 n n 实对称矩阵 A 约化为三对角形式, 即除了主对角线和次对角线外的元素均为 0. 这一变换的最基本的部分是 Householder 矩阵 P, 它具有下面的形式 P = 1 2w w T (3.18) 这里 w 为一实矢量且满足 w 2 w T w = 1. 矩阵 P 是正交的, 这可以简单证明如下 P 2 = (1 2w w T ) (1 2w w T ) = 1 4w w T + 4w (w T w) w T = 1 因此 P = P 1. 由 (3.18) 可知 P T = P, 所以 P 1 = P T 即 P 为一正交矩阵. 把 P 写为 P = 1 u ut H 此处 H 1 2 u 2, u 为一任意非零实矢量. 如果 x 是由 A 的第一列构成的矢量, 选择 (3.19) u = x x e 1 (3.20) 这里 e 1 = [1, 0, 0,, 0] T 为一单位矢量, 正负号的选择在后面给出. 则 P x = x u H (x x e 1 )T x = x 2u ( x 2 x x 1 ) 2 x 2 2 x x 1 = x u = ± x e 1 (3.21) 这一结果证明, 当把 P 作用在定义 P 的给定矢量 x 上时, 将把 x 的除第一个元素外的所有元素变为 0.

99 3.4 实对称矩阵的本征值和本征向量 99 为了把实对称矩阵 A 变换为三对角形式, 我们选择构成第一个 Householder 矩阵的矢量 x 为 A 的第一列的后 n 1 个元素, 即取 x = [0, a 21, a 31,, a n1 ] T (3.22) 于是 P 1 具有形式 P 1 = P [n 1] 1 0 (3.23) 这里 P [n 1] 1 为一 (n 1) (n 1) 维的 Householder 矩阵. 用 P 对 A 进行变换, 得到 a 11 k 0 0 k A = P 1 A P = 0 (3.24). A [n 1] 0 式中 k 为 (3.22) 给出的矢量 x 的模的正值或负值, A [n 1] 为一 (n 1) (n 1) 维实对称矩阵. 现在, 选择构成第二个 Householder 矩阵的矢量 x 为 A [n 1] 的第一列的后 n 2 个元素, 于是 P 1 具有形式 P 2 = P [n 2] (3.25) 左上角的单位矩阵保证了第一步所得到的三对角形式不会在这一步的变换中被改变. 用 P 2 对 A 进行变换将产生第二个三对角输出. 显然, 经过 n 2 步这样的变换, 我们将得到一个三对角矩阵. 于是实际计算 P A P 时, 并不需要做两次矩阵乘法, 而用下面的技巧, 计算矢量 p A u H A P = A (1 u ) ut = A p u T H P A P = A p u T u p T + 2Ku u T (3.26)

100 100 第三章数值线性代数这里 K 由下式定义为记则 K = ut p 2H (3.27) q p Ku (3.28) P A P = A q u T u q T (3.29) 这是实际使用的计算公式. 下面将要给出的程序使用了与上面的描述稍有不同的次序, 即从 A 的第 n 列开始计算. 用到的公式列出如下, 读者应能根据前面的介绍读懂每一步的内容. 在第 m 步, (m = 1, 2,, n 2), u 具有下述形式 u = [a i1, a i2,, a ii 1, ± σ, 0,, 0] (3.30) 这里 i n m + 1 = n, n 1,, 3 (3.31) σ = (a i1 ) 2 + (a i2 ) (a ii 1 ) 2 (3.32) 在 (3.30) 中, 我们选择 σ 的符号与 a ii 1 的符号一致以减小舍入误差. 各个变量以下面的次序计算, σ, u, H, p, K, q, A. 在第 m 步, A 对于其后面的 m 1 行和列是三角的. 如果最终的三对角矩阵的本征矢量可以求得, 则 A 的本征矢量可以通过作用下面的变换矩阵而得到 Q = P 1 P 2 P n 2 (3.33) 如果在计算的某一步 x 的模为 0, 则这一步变换无需进行, 为此, 可引入如下判据, 定义 i 1 ϵ = a ik (3.34) k=1 如果在机器精度级 ϵ = 0, 则跳过这一次变换, 否则, 把 a ik 换为 a ik /ϵ, 并利用新的 a ik 进行变换, 因为 Householder 变换只与元素的相对大小有关 QL 算法 QL 算法的基本思想是, 任何实矩阵可以分解为 A = Q L (3.35)

101 3.4 实对称矩阵的本征值和本征向量 101 其中 Q 为一正交矩阵, 而 L 是一下三角矩阵. 现在把上式中前后两项互换相乘, 则有 A = L Q (3.36) 方程 (3.35) 意味着 L = Q T A, 于是 A = Q T A Q (3.37) 即 A 是 A 的一个正交变换. 对于一般实矩阵, 可以证明, 如果反复进行上述变换, 则 A 将依不同情况最终收敛于下面的形式 : (i), 如果 A 的本征值的绝对值 λ i 各不相同, 则 A 收敛于一下三角矩阵, 其本征值按绝对值大小沿对角线排列. (ii), 如果 A 的某一本征值的绝对值 λ i 具有简并度 p, 则除了一个 p 阶的位于对角位置的方阵外, A 收敛于一下三角矩阵, 且对角方阵的本征值趋于 λ i. 这一定理的证明较繁, 这里不亦给出. 对于实对称矩阵, 则 A 收敛于一对角矩阵及代表相同本征值的对角块. 上三角元素趋于零的速度为 a (s) ij ( ) s λi 这里上标 s 代表叠代次数. 尽管 λ i < λ j, 但当 λ i 与 λ j 很接近时, 收敛将是很慢的. 为了解决这一问题, 可采用移位叠代的方法. 我们不在此讨论这种方法. 针对对称矩阵, 可以采用隐式位移叠代方法. 关于这些方法的介绍, 请参看 J. H. Wilkinson and C. Reinsh Linear Algebra 一书. λ j 物理中常见的另一种矩阵是厄米矩阵, 这在量子力学问题中经常出现. 如果 C 为一厄米矩阵, C = A + i B, 则显然有, A T = A, B T = B, 因此, 矩阵 C 的本征值问题可以转化为一个实对称矩阵的问题. C 的本征值问题是 (A + i B)(u + i v) = λ(u + i v) (3.38) 代替上面的方程, 我们考虑下面的本征值问题 [ ] [ A B u ] [ u ] B A v = λ v (3.39) 这是一个实对称矩阵的本征值问题, 若 C 的本征值为 λ 1, λ 2,, λ n, 本征向量为 u + i v, 则方程 (3.39) 的本征值为 λ 1, λ 1, λ 2, λ 2,, λ n, λ n, 本征向量为 [u, v] T 和 [ v, u] T, 因此, 由上述对应关系及我们已经知道的实对称矩阵问题的解法, 就可以求得厄米矩阵的本征值问题. 练习请证明前段的论断

102 102 第三章数值线性代数

103 第四章电磁场的计算 4.1 Maxwell 方程, 边值问题电磁场的分析和计算在物理和工程应用中都占有重要的地位. 它的基础是 Maxwell 方程组. 从数学上看, 电磁场的分析和计算问题归结为偏微分方程边值问题的求解. 具体的计算方法可以分为两大类, 一类是解析方法, 另一种是数值方法. 解析方法就是把要求的解表示成解析形式或无穷级数, 它只适用于边界形状比较简单 ( 如球, 柱等 ) 的问题, 应用范围相当有限. 这一方法在数学物理方法课程中已经做了详细讨论. 数值方法是解决实际问题最有效最普遍的方法, 随着电子计算机的高速发展, 它已成为工程中的一种常规分析方法. 这一章将以静电场的计算为例, 简单介绍有限差分法和有限元方法, 这是目前应用最多的两种方法. 电磁场计算的理论基础是 Maxwell 方程, 它的微分形式为 : E = B t D = ρ H = J + D t B = 0 (4.1) 式中, E 为电场强度, D 为电位移矢量, B 为磁感应强度, H 为磁场强度, ρ 和 J 分别为电荷密度和电流密度. 对于各向同性的线性介质, 上式中各量之间满足下面的本构方程 D = εe B = µh J = σe (4.2) 其中 ε, µ, σ 分别为介质的介电常数, 导磁系数和电导率. 在两种介质的分界面上, 介质的特性系数如 ε, µ, σ 将发生突变. 在这种情况下将出现面电荷, 面电流的分布, 从而使场矢

104 104 第四章电磁场的计算量也发生突变, 这种突变由下面的联接条件给出 n (D 2 D 1 ) = ρ s n (E 2 E 1 ) = 0 n (B 2 B 1 ) = 0 n (H 2 H 1 ) = J s n (J 2 J 1 ) = dρ s dt (4.3) 式中 n 为界面上从介质 1 指向介质 2 的单位矢量, ρ s 为自由面电荷密度, J s 为自由面电流密度. 在静电场的情况下, Maxwell 方程组简化为 E = 0 E = ρ ε 由于 (4.4) 的第一式, 可以引进一标量势函数 ϕ. 令 (4.4) E = ϕ (4.5) 则 (4.4) 的第一式自动满足, 代入 (4.4) 的第二式可得 ϕ 满足的偏微分方程为这时介质分界面上的联接条件为 2 ϕ = ρ ε ϕ 1 = ϕ 2 ϕ 1 ε 1 n ε ϕ 2 2 n = ρ s (4.6) (4.7) 对于静电场, 通常考虑下面三种边界条件 : 1. 给定整个场域边界 Γ 上的电势值 ϕ Γ. 这通常称为第一类边值问题或 Dirihlet 边值问题. 2. 给定边界 Γ 上电势的法向导数问题. ϕ n Γ, 这通常称为第二类边值问题或 Neumann 边值 3. 在边界的一部分给定电势值 ϕ Γ1, 另一部分边界上给定电势的法向导数常称为混合边值问题. ϕ n Γ 2. 这通可以证明, 静电问题的上述三种边值问题的解是存在而且唯一的 ( 例如见 D. J. Jakson Classial Eletrodynamis John Wiley & Sons, In., 1975, P42)

105 4.2 差分和差商差分和差商这一节简单复习一下差分和差商的概念. 这些内容在前面的章节中曾分散地出现过, 这里则综合起来理一下. 设有函数 f(x), 若其宗量的增量为 x = h, 则对应函数的增量为 f(x) = f(x + h) f(x) (4.8) 称为函数 f(x) 在 x 点的一阶向前差分, 或简称为差分. 差分也可定义为 f(x) = f(x) f(x h) (4.9) 称为函数 f(x) 在 x 点的一阶向后差分及 ( f(x) = f x + h ) f 2 ( x h ) 2 (4.10) 称为函数 f(x) 在 x 点的一阶中心差分. 一阶差分除以增量 h 称为一阶差商, 根据不同的差分定义, 我们有一阶向前差商 : f f(x + h) f(x) = x h 一阶向后差商 : f f(x) f(x h) = x h 一阶中心差商 : f f(x + h/2) f(x h/2) = x h (4.11) df 当 h 趋向于零时, 上述三种差商均趋于微商因此, 一阶差商在实际计算中常常做为一 dx 阶微商的近似值. 下面我们来分析一下用差商代替微商的近似程度. 由 Taylor 展开式 f(x + h) = f(x) + hf (x) + h2 2! f (x) + h3 3! f (x) + f(x h) = f(x) hf (x) + h2 2! f (x) h3 3! f (x) + 可以得到 : f(x + h) f(x) f (x) h = h 2! f (x) + = O(h) f(x) f(x h) f (x) h = h 2! f (x) + = O(h) f(x + h/2) f(x h/2) f (x) = h2 h 3! f (x) + = O(h 2 ) (4.12) 由上式可知, 中心差商的截断误差与 h 2 同阶, 比向前差商和向后差商高一阶, 因而精度最高. 同一阶差商类似, 我们还可定义二阶差商和高阶差商. 例如二阶中心差商定义为 2 f(x) h 2 f(x + h/2) f(x h/2) h 2 = f(x + h) 2f(x) + f(x h) h 2 (4.13) 容易验证 2 f(x) = f (x) + O(h 2 ) h 2 用有限差分方法求微分方程的解的过程就是用有限差分代替微分, 从而把微分方程化为差分方程, 然后对所得差分方程进行数值求解.

106 106 第四章电磁场的计算 4.3 二维 Possion 方程的五点差分格式这一节以二维 Possion 方程的第一类边值问题为例来具体说明有限差分方法的原理和实现方法. 定解问题为 2 ϕ = ρ ε (4.14) ϕ Γ = f 对于平面问题, 在直角坐标系中, (4.14) 中的第一个式子为 2 ϕ x + 2 ϕ 2 y = ρ 2 ε (4.15) 对于具有旋转对称的静电问题, 可以采用柱坐标系 (z, r, θ), 由于对称性, 电势与 θ 无关, 因此 Posion 方程成为 2 ϕ z + 2 ϕ 2 r + 1 ϕ 2 r r = ρ (4.16) ε 三维问题退化成一个二维问题. 如果引进一个参量 α, 则可把 (4.15) 和 (4.16) 写成下面的统一形式, 从而可进行统一处理. 2 ϕ z + 2 ϕ 2 r + α ϕ 2 r r = ρ ε (4.17) 当 α = 1 时, 对应于旋转对称的场, 此时 (r, z) 是圆柱坐标系中的径向和轴向坐标 ; 当 α = 0 时, 相应于二维平面问题, 此时 (r, z) 对应于直角坐标系中的 (y, x). 假定我们的求解区域如图 4.1, 则我们可用两族平行于坐标轴的直线对区域进行划分, 如图 4.1 所示. 对于上述划分的每一个网格点, 可以建立其差分方程, 为具体起见, 考虑图 4.2 所示一个网格点 ( 记为 0) 及其近邻点 ( 记为 1,2,3,4), 则点 1,2,3,4 的电势值可以用 0 点的电势值表示出来, 对 1,2,3,4 点的电势作 Taylor 展开, 有由上式可解得 : ( ) ϕ ϕ 1 = ϕ 0 h 1 z ( ) ϕ ϕ 2 = ϕ 0 + h 2 z ( ) ϕ ϕ 3 = ϕ 0 h 3 r ( ) ϕ ϕ 4 = ϕ 0 + h 4 r ( ) 2 ϕ z 2 ( ) 2 ϕ 0 r 2 ( ) α ϕ r r h h h h2 4 2 ( ) 2 ϕ z 2 ( ) 2 ϕ z 2 ( ) 2 ϕ r 2 ( ) 2 ϕ r = 2 h 2ϕ 1 + h 1 ϕ 2 h 1 h 2 (h 1 + h 2 ) 2ϕ 0 h 1 h 2 + O(h 2 ) = 2 h 4ϕ 3 + h 3 ϕ 4 h 3 h 4 (h 3 + h 4 ) 2ϕ 0 h 3 h 4 + O(h 2 ) = + (4.18) α r 0 (h 3 + h 4 ) (ϕ 4 ϕ 3 ) + O(h 2 ) (4.19)

107 4.3 二维 POSSION 方程的五点差分格式 107 r z 图 4.1: 二维空间的网格划分在得出上式时, 我们假定 h 1, h 2, h 3, h 4 为同阶小量, 且任二者之差为高一阶的小量, 其阶统一记为 O(h). 代入 Possion 方程, 并略去 O(h 2 ) 以下的小量, 我们得到 2 h 2ϕ 1 + h 1 ϕ 2 h 1 h 2 (h 1 + h 2 ) + 2 h 4ϕ 3 + h 3 ϕ 4 h 3 h 4 (h 3 + h 4 ) 2ϕ 0 2ϕ 0 α + h 1 h 2 h 3 h 4 r 0 (h 3 + h 4 ) (ϕ 4 ϕ 3 ) = ρ 0 ε 整理后得其中 C 1 ϕ 1 + C 2 ϕ 2 + C 3 ϕ 3 + C 4 ϕ 4 C 0 ϕ 0 = ρ 0 ε C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = 2 h 1 (h 1 + h 2 ) 2 h 2 (h 1 + h 2 ) 2 h 3 (h 3 + h 4 ) 2 h 4 (h 3 + h 4 ) + α r 0 (h 3 + h 4 ) α r 0 (h 3 + h 4 ) C 0 = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = 2 h 1 h h 3 h 4 (4.20) (4.21)

108 r 108 第四章电磁场的计算 4 h h 2 2 h 1 h 3 3 图 4.2: z 式 (4.20) 与 (4.21) 一起称为 Possion 方程的五点差分格式. 对于旋转对称场, 在原点 (r 0 = 0), 方程 (4.20) 不成立. 注意到如果电荷密度在原点 ϕ 没有奇异性, 则在 r = 0 时趋于 0, 因而当 r 0 时, 有 r ( ) 1 ϕ 2 lim r 0 r r = ϕ r 2 因此, 在 r = 0 附近, 旋转对称场的 Possion 方程为 0 在 r = 0 点, ( 见图 4.3) 2 ϕ z ϕ r 2 = ρ ε ( ) 2 ϕ (4.22) r 2 = 2 ϕ 0 h ϕ 4 h 从而得到轴上的与式 (4.20) 形式相同的差分公式, 但其系数为 2 C 1 = h 1 (h 1 + h 2 ) 2 C 2 = h 2 (h 1 + h 2 ) C 3 = 0 (4.23) C 4 = 4 h 2 4 C 0 = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = 2 h 1 h h 2 4

109 4.4 差分方程的求解 109 r 4 h 4 1 h 1 0 h 2 2 图 4.3: z 对于求解区域的每个内节点 ( 指不在区域边界上的点 ), 都可建立类似的差分方程, 方程中的 C 0, C 1, C 2, C 3, C 4 是决定于步长的已知函数, 而各个 ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 是待求的未知量. 每个内节点有一个方程, 一个未知量, 因此未知量的数目等于方程的数目. 邻近边界的节点的差分方程中, 包含有边界点的电势值, 这是已知的边界条件. 这样, 如果有 n 个内节点, 我们就建立了 n 个线性代数方程, 可以一般地写为 A ϕ = B (4.24) 通过求解上面的方程便可得到所需的各 ϕ 值. 这一节我们建立了二维问题的五点差分格式, 这一方法很容易推广到三维, 其差分格式称为七点差分格式. 同样的方法也可用来处理一维问题, 为三点差分格式. 4.4 差分方程的求解在上一节, 我们得到了 Possion 方程的差分方程, 这一节讨论其解法. 方程 (4.24) 是一线性代数方程组, 原则上可以用前面介绍过的求解线性代数方程组的一般方法求解, 但是, 由于此方程的一些特殊的性质, 一般解法将会遇到困难. 为此, 我们先分析一下方程 (4.24) 的系数矩阵 A, 它具有下面的性质 : 1. A 是一个稀疏矩阵, 事实上, A 的每一行或每一列的非零元素数目最多只有五个. 2. A 是一个高阶矩阵, 由于每个内点有一个方程, 因此 A 的阶数为为内点的数目, 如果内点的数目为 n, 则 A 为一 n n 矩阵, 一般在计算中为了提高精度, 网格分得较细, 内点数目较多, 因而 A 的阶数也就较高.

110 110 第四章电磁场的计算由于 A 的上述性质, 用通常的解法在时间和存储空间都是十分浪费的, 更严重的是, 由于 A 的阶数较高, n n 个元素可能根本无法放入内存. 根据 A 的性质, 一般用迭代法求解. 下面介绍三种常用的迭代方法简单迭代法 Jaobi 方法直接利用差分方程 (4.20), 把其改写为 ϕ 0 = C 1 C 0 ϕ 1 + C 2 C 0 ϕ 2 + C 3 C 0 ϕ 3 + C 4 C 0 ϕ 4 ρ 0 C 0 ε (4.25) 上式就可作为一迭代格式, 为明确起见, 把迭代格式写为 ϕ (k+1) 0 = C 1 C 0 ϕ (k) 1 + C 2 C 0 ϕ (k) 2 + C 3 C 0 ϕ (k) 3 + C 4 C 0 ϕ (k) 4 ρ 0 C 0 ε (4.26) 给定初始的 ϕ (0), 利用上式对每一个内点进行迭代, 直到迭代前后的值小于某一给定的的误差限为止. 可以证明, 不论 ϕ (0) 如何选取, 当 k 时, ϕ (k) 必收敛于差分方程的解. 由式 (4.26) 可知, 计算第 k + 1 次的某一点的电势值时所用的其邻近点的电势是第 k 次迭代的结果, 因此只有当第 k 次的 n 个内点计算完后, 才可开始第 k + 1 次的计算, 这样, 就必须为每个内点分配两个存储单元, 以储存相邻两次迭代的电势值. 另外, 实际计算表明, 这种迭代方法的收敛速度也很慢逐次迭代法 Gauss Seidal 迭代方法这是对简单迭代的一种直接的改进, 在迭代中, 如果对某一格点作第 k + 1 次迭代时, 如果相邻格点中部分点的第 k + 1 次电势值已算出, 则利用新的数值. 对于如图 4.1 所示的网格, 如果在 z 方向的计算顺序是从左到右, 在 r 方向的计算顺序是从下到上, 则 Gauss Seidal 迭代公式为 ϕ (k+1) 0 = C 1 C 0 ϕ (k+1) 1 + C 2 C 0 ϕ (k) 2 + C 3 C 0 ϕ (k+1) 3 + C 4 C 0 ϕ (k) 4 ρ 0 C 0 ε (4.27) 逐次迭代法的收敛速度比简单迭代法要快, 同时可以节省计算机存储量, 因为每个格点只需存储一套电势值逐次超松弛迭代法 (Suessive Over-Relaxation) 逐次超松弛迭代法是加快收敛的一种方法, 它介于前述两种方法之间. 具体作法是, 把第 k + 1 次 Gauss Seidal 迭代的结果与第 k 次迭代的结果进行加权平均作为新的第 k + 1 次的迭代值. 记 k + 1 次 Gauss Seidal 迭代的结果为 ϕ, 则有 ϕ 0 = C 1 C 0 ϕ (k+1) 1 + C 2 C 0 ϕ (k) 2 + C 3 C 0 ϕ (k+1) 3 + C 4 C 0 ϕ (k) 4 ρ 0 C 0 ε (4.28) ϕ (k+1) 0 = ω ϕ 0 + (1 ω)ϕ (k) 0 (4.29)

111 4.4 差分方程的求解 111 将 (4.28) 代入 (4.29), 得到 ϕ (k+1) 0 = (1 ω)ϕ (k) 0 + ω ( C1 ϕ (k+1) 1 + C 2 ϕ (k) 2 + C 3 ϕ (k+1) 3 + C 4 ϕ (k) 4 ρ ) 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 ε (4.30) 当 ω = 1 时, 上式就成为 Gauss Seidal 迭代. ω 称为迭代松弛因子, 又叫阻尼因子. 可以证明, 当 0 < ω < 2 时, 迭代 (4.30) 是收敛的. 当 1 < ω < 2 时, 迭代 (4.30) 称为超松弛迭代, 相应地 ω 称为超松弛迭代因子. 迭代因子的选取对收敛速度的影响很大, 一般它与网格形式, 节点数目, 迭代次序等因素有关. 在计算数学的理论书中, 对最佳因子的选取有不少讨论, 这里介绍一种选取的方法.( 证明见南京大学数学系计算数学专业编偏微分方程数值解法, 科学出版社, 1979) 记 ϕ (k) i 为第 i 个内节点第 k 次迭代的电势值 ( 这里 i = 1, 2, n 代表 n 个内节点, 请与前面 i = 0, 1, 2, 3, 4 代表一点及其近邻相区别 ), 取相邻两次迭代的误差的平均为 ϵ (k) = 1 n ϕ (k) i ϕ (k 1) i (4.31) n 记 i=1 λ (k) = ϵ(k+1) ϵ (k) (4.32) 若第 k 次迭代所用的超松弛因子为 ω (k), 定义 µ 2 = (λ(k) + ω (k) 1) 2 (λ (k) ω (k) ) 2 (4.33) 则第 k + 1 次迭代的超松弛因子为 ω (k+1) 可取为 ω (k+1) 2 = (1 + 1 µ 2 ) (4.34) 一般可取 ω (0) 为 1.5 左右, 利用上述过程不断改进 ω 的取值, 当 ω (k+1) ω (k) 小于某一误差限 ( 例如 10 2 ) 时, 就用所得的 ω 作为最隹迭代因子, 进行计算. 当相邻两次迭代的误差小于某一事先给定的误差限时, 就可终止计算. 通常误差可选为平均相对误差 ϕ (k) 或最大绝对误差 n i=1 ϕ (k+1) i n i=1 ϕ(k) i { ϕ (k+1) Max i i } ϕ (k) 最后需要指出的是, 为了达到较高的计算精度, 减小截断误差, 就要减小步长 h, 从而增加节点数, 增大计算量. 但随着计算量的增加, 舍入误差将随之增加, 因此, 对于实际的计算, 并非网格分得越小越好, 对具体问题, 应根据问题本身的特点和计算要求, 选则合适的网格. 有限差分方法概念清楚, 方法简单, 计算量也较小. 但对边界的处理不够灵活, 对于复杂的边界条件, 很难处理, 另外对于部分求解区域电势变化比较大而另外的区域变化比较平缓的问题, 处理起来也不灵活. 这些困难, 在我们后面要讲的有限元方法中可以得到较好的处理. i

112 112 第四章电磁场的计算 A x B 4 y 图 4.4: 4.5 变分方法复习为了给下一节的有限元方法作准备, 这一节复习一下变分方法. 考虑一个满足一定条件的函数的集合 F : {y(x)} 和一个实数的集合 R. 如果存在一个对应关系 J, 使得对于 F 中的每一个元素 y(x), 有 R 中的一个数 J 与之对应, 则称 J 为函数 y(x) 的泛函, 记为 J = J[y(x)] (4.35) 我们来看一个泛函的例子, 如图 4.4 所示, 一质点沿曲线 y = y(x) 以初速度 0 从 A 降落到 B, 其所需的时间为, T = B A dt = B A ds B 1 + y v = 2 dx (4.36) A 2gy 当 A, B 固定时, 对于不同的轨道 y(x), 将有不同的时间 T, 因此, T 是轨道 y(x) 的泛函, T = T [y(x)]. 对于泛函 J[y(x)], 如果函数 y(x) 改变 δy(x), 则其对应的泛函的改变为 J = J[y(x) + δy(x)] J[y(x)] (4.37) 当 δy(x) 0 时, 式 (4.37) 的极限称为泛函 J[y(x)] 的变分, 记为 δj. 类似于函数的微分, 泛函的变分可写为 δj δj = δy(x)dx (4.38) δy(x)

113 4.5 变分方法复习 113 δj 其中称为泛函 J 的变分导数, 它既是 y(x) 的泛函, 又是 x 的函数. 如果泛函在 δy(x) y(x) = y 0 (x) 时取极值, 则 δj = 0 (4.39) δy(x) y(x)=y0 (x) 下面看几个例子. 例一 : J = y(x 0 ), 泛函为 x = x 0 点上函数 y(x) 的值. 为了计算变分, 注意到 J 可写为其变分为 δj = + J = y(x 0 ) = (y(x) + δy(x))δ(x x 0 )dx + + y(x)δ(x x 0 )dx y(x)δ(x x 0 )dx = + δ(x x 0 )δy(x)dx 与 (4.38) 比较得例二 : 其变分为 δy(x 0 ) δy(x) = δ(x x 0) J = b a y(x) n dx δj = b (y(x) + δy(x)) n dx b y(x) n dx = b a a a ny(x) n 1 δy(x)dx + O(δy(x) 2 ) 而变分导数为例三 : 其变分为 δj δy(x) = ny(x)n 1 J = b a e y(x) dx δj = 而变分导数为 b a e (y(x)+δy(x)) dx b a e y(x) dx = b δj δy(x) = ey(x) a e y(x) δy(x)dx + O(δy(x) 2 ) 从这些例子我们看到, 泛函与函数有很多相似的性质, 有兴趣更进一步了解泛函及其性质的同学可研读专门的书籍. 下面我们研究一种特殊的泛函积分泛函, 并指出求其极值的方法. 这种泛函在物理的各个领域都有重要应用. 为了下面的应用, 我们考虑定义在多元函数空间上的积分泛函 J = F ( x 1, x 2,, x n, y, y x 1, y x 2,, y x n ) dx 1 dx 2, dx n (4.40)

114 114 第四章电磁场的计算这里, y = y(x 1, x 2,, x n ) 是一 n 元函数. 本节开始处质点沿不同路径的时间就是这种类型泛函的一个例子. 现在, 我们来求泛函 (4.40) 的极值. 所谓极值, 就是要在函数 y 的集合 F 中寻找一个特殊的函数 y, 使得泛函取极大值或极小值. 这通常有两种方法, 一种是直接法, 另一种是微分方程方法, 分别介绍如下. 一, 直接法 : 在集合 F 中构造一个完备的函数集合 {φ i (x 1, x 2,, x n )}, 一般这是一个无穷集合, 取其前 N 个函数展开 y, 我们得到 y = N i φ i (4.41) i=1 把上式代入 (4.40) 并完成积分, 则泛函成为 N 个变量 1, 2,, N 的函数, 而计算泛函极值的问题就转化为求多元函数极值的问题. 对于给定的 N, 求得的与 J 的极值对应的 y 记为 y N, 则 y(x 1, x 2,, x n ) = lim y N(x 1, x 2,, x n ) (4.42) N 就趋于极值问题的解. 二, 微分方程法 : 由于泛函的极值由其变分为 0 给出, 所以我们求 J 的一阶变分. 对于式 (4.40), δj = F n ( ) y δy + F y ( dx 1 dx 2 dx n (4.43) y x i i=1 x i )δ 若取 δy 在积分区域的边界上固定为 0, 对上式分部积分得到 δj = F n y F ( δydx 1 dx 2 dx n (4.44) y i=1 如果 y 使得 J 取极值, 则此 y 必使 δj = 0, δy 除要求在边界上为 0 外是任意的, 因而必有 F n y ( F x i y = 0 (4.45) i=1 这一方程称为 Euler 方程, 一般是一偏微分方程. 这样, 泛函极值问题就变为微分方程的求解问题. 这一过程也可以反过来进行, 如果要求某一微分方程的解, 而这一微分方程是某一泛函的 Euler 方程, 我们就可以把微分方程的求解问题转化为泛函的极值问题. 对于本节开始处的问题, 其 Euler 方程为 1 + y 2 2 2gyy d dx ( x i ) x i ) ) y 2gy(1 + y 2 ) = 0 注意到 d dx = y d dy, 上式可改写为 1 + y 2 y 3/2 ( ) + 2y d y = 0 dy y(1 + y 2 )

115 4.6 有限元方法的理论基础 115 乘以 y 3/2 (1 + y 2 ) 3/2, 并整理得 dy 2y + y dy 1 + y 2 = 0 其解为, x = 2 1 y y aros 1 y , 2 为二积分常数, 由 A, B 二点决定, 上式给出了所用时间最短的轨迹. 4.6 有限元方法的理论基础这一节以二阶椭圆型偏微分方程为例, 讲述有限元方法的理论基础. 考虑如下的边值问题, { 2 ϕ = f (4.46) ϕ Γ = 0 这一边值问题是泛函 F [ϕ] = 1 ( ϕ ϕ 2fϕ) dv (4.47) 2 Ω 的 Euler 方程. 这里 Ω 为边界 Γ 所包围的区域. 求解边值问题 (4.46) 与 (4.47) 给出的泛函的极值问题等价. 因此, 代替求解边值问题 (4.46), 我们可以用直接法求 (4.47) 给出的泛函的极值问题, 其结果就是原问题的解. 为了用直接法计算泛函极值, 就需要构造一组完备函数集. 有限元方法的原理就是把待求解区域分为有限个小的单元, 在每个单元上构造插值函数, 再通过总体合成得到函数集合 {φ i }, 把待求的函数 ϕ 用 {φ i } 展开, 用函数求极值的方法求出展开系数, 得到问题的解. 下面以二维问题为例具体说明有限元方法的基本思路, 图 4.5 给出了一个具体的二维求解区域及单元划分. 在图中, 我们使用了三角形划分, 这是实际计算中最常使用的分法, 但有限元方法并不限定单元的划分方法, 使用别的分法也是可以的. 不过, 下节我们将看到, 三角形分法正好可以决定线性插值函数, 简单易行. 三角形分法的三维推广是四面体划分方法. 假定我们把求解区域划分为 m 个单元, 现在拿出其中任一单元 ( 假定为第 e 个单元 ) 进行分析. 在这一单元上, 取一组插值函数 {w i (p), i = 1, 2,, k}, 其中 k 为单元的顶点数, 对于三角形单元, k = 3, p 为单元中的坐标. 则单元 e 中的待求函数可写为 k ϕ (e) (p) = a i w i (p) (4.48) i=1 这里, w i 具有一定的选择自由度. 在单元的 k 个顶点上, 其坐标值分别为 p 1, p 2,, p k, 设

116 116 第四章电磁场的计算 y 图 4.5: x 对应的待求函数值为 ϕ (e) 1, ϕ (e) 2,, ϕ (e), 于是有 k ϕ (e) 1 = ϕ (e) 2 = k a i w i (p 1 ) i=1 k a i w i (p 2 ) i=1 k ϕ (e) k = a i w i (p k ) i=1 (4.49) w i (p j ) 是已知的, 反解上式, 就可以把系数 a i 用待求函数 ϕ 在单元顶点 ( 网格节点 ) 上的值表示出来. k a 1 = 1i ϕ i=1 (e) i k a 2 = 2i ϕ (e) i (4.50) i=1 k a k = ki ϕ (e) i i=1

117 4.6 有限元方法的理论基础 117 再把上式代回到 (4.48), 得到 ϕ (e) (p) = = = k i=1 j=1 k j=1 i=1 ij ϕ (e) j w i (p) (4.51) ( k k ) ij w i (p) ϕ (e) j (4.52) k j=1 ϕ (e) j N (e) j (p) (4.53) 这里, 可以把 N (e) j, j = 1, 2,, k 作为第 e 个单元 ( 记为 e ) 上的基函数. 对于每一个单元, 都可以得到一组 k 个基函数, 可以把这些基函数从每个个别单元推广到整个区域上. { (e) N Nj e j (p) p e (p) = (4.54) 0 p e 注意整个区域上的基函数用不带括号的上标. 在每个顶点上 ϕ (e) (p i ) = k j=1 ϕ (e) j N e j (p i ) (4.55) 因此, N e j (p i ) = δ ij (4.56) 这样, 我们对每个单元构造了基函数并推广到了整个区域上, 但一般这些基函数并不是自洽的, 也就是说, 在单元与单元之间的交接线上, 由两个单元分别构造的基函数一般并不连续. 因此, 这样的基函数并不满足作为基函数的要求 ( 例如, 当被展开函数取这些交接线上的点时, 基函数是双值的 ). 为此, 我们可通过适当选择函数 w(p) 的形式使得基函数在任何相邻单元的交接线上连续, 这一过程称为总体合成. 经过合成后, 得到 n 个独立的基函数 N i (p), i, = 1, 2,, n, 此处 n 为内节点的总数. 这些基函数应满足关系 N i (p j ) = δ ij 这样, 就可以把待求函数用这一基函数展开得到 ϕ = n ϕ i N i (4.57) i=1 代入方程 (4.47) 得到 F [ϕ] = F (ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n ) (4.58) 令 F ϕ i = 0, i = 1, 2,, n 就得到一组 n 个确定 ϕ i 的方程, 求得诸 ϕ i 后代回 (4.57) 就得到了问题的解.

118 118 第四章电磁场的计算 4.7 用有限元方法求解二维 Laplae 方程这一节通过一个具体的简单例子, 说明有限元方法计算静电场问题的过程. 我们将要计算的是求解二维 Laplae 方程的第一边值问题, 其方程为 { 2 ϕ = 0 ϕ Γ = f (4.59) 这一方程对应的变分问题为 F [ϕ] = 1 2 Ω [ ( ϕ ) 2 + x ( ) ] 2 ϕ dxdy = Min (4.60) y 这一变分问题具有明确的物理意义, 注意到电场强度为 E = ϕ, 上式给出的恰好是电场的能量, 而变分原理在这里则表示真实的解使得电场的能量取极值 ( 实际上是极小值 ). 有限元方法的计算步骤如下一, 划分单元 : 用有限元方法计算时, 先把待求区域划分为有限个互不重叠的基本单元. 现取为三角形单元. 这些单元的顶点 ( 节点 ) 位置的选取原则上是任意的, 一般在需要求解精度较高的区域或电势变化较剧烈的区域取得密一些, 反之则可取的疏一些. 对于大部分情况, 则可按某种规律划分, 以方便编程. 例如可先用平行坐标轴的直线族划分成四边形网格, 然后再把每个四边形对分成三角形, 如图 4.6 所示. 对边界上的特殊点如拐折点等都应取为节点, 弯曲的较历害的边界, 节点应取得密一点. 所有的节点可以分为两类, 一类是内节点, 位于区域内, 其上的电势值未知待求, 另一类是边界点, 其上电势已知. 设有 l 0 个内节点, l 1 l 0 个边界点, 对节点的编号可以这样进行, 对内节点编号 1, 2,, l 0, 对外节点编号 l 0 + 1, l 0 + 2,, l 1. 以这些节点为顶点连成一个由不重叠的三角形组成的网. 在构成三角形时, 要避免太尖或太扁, 而且要求所有的节点都是三角形的顶点而不能是任何一个三角形的边上的点. 每个三角形称为一个单元, 第 e 个单元记为 e, 节点间的连线称为线元. 区域边界的曲线只能以线元来近似, 图 4.6 中的三角形 ijk 就是一个典型的单元. 二, 构造单元上的插值函数 : 下面我们来分析一个典型的单元, 为简单起见, 记三角形的三个顶点为 1, 2, 3. 在单元内, 函数 w 可选为 {1, x, y}, 于是, 单元 e 中的电势可表为 ϕ (e) (x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y (4.61) 设单元的三个顶点 1, 2, 3 对应的坐标为 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), 电势为 ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, 则由 (4.61) 得 ϕ(x 1, y 1 ) = α 1 + α 2 x 1 + α 3 y 1 ϕ 1 ϕ(x 2, y 2 ) = α 1 + α 2 x 2 + α 3 y 2 ϕ 2 ϕ(x 3, y 3 ) = α 1 + α 2 x 3 + α 3 y 3 ϕ 3 (4.62)

119 4.7 用有限元方法求解二维 LAPLACE 方程 119 y 图 4.6: i j k 由上式可解出其中 a 1 = x 2 y 3 x 3 y 2 b 1 = y 2 y 3 1 = x 3 x 2 x α 1 = 1 2 (a 1ϕ 1 + a 2 ϕ 2 + a 3 ϕ 3 ) α 2 = 1 2 (b 1ϕ 1 + b 2 ϕ 2 + b 3 ϕ 3 ) α 3 = 1 2 ( 1ϕ ϕ ϕ 3 ) (4.63) a 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 b 2 = y 3 y 1 2 = x 1 x 3 a 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 b 3 = y 1 y 2 (4.64) 3 = x 2 x 1 在上式中, 为单元的面积, 其值为 = 1 1 x 1 y x 2 y 2 1 x 3 y 3 = 1 2 (b 1 2 b 2 1 ) (4.65) 把 (4.64) 中的 α 回代到 (4.61) 中, 就得到这一单元中的电势的线性插值函数为 ϕ = (a i + b i x + i y)ϕ i (4.66) i=1

120 120 第四章电磁场的计算若定义则第 e 个单元中的电势 ϕ (e) 可写为 N (e) 1 = 1 2 (a 1 + b 1 x + 1 y) N (e) 2 = 1 2 (a 2 + b 2 x + 2 y) (4.67) N (e) 3 = 1 2 (a 3 + b 3 x + 3 y) ϕ (e) = 3 i=1 ϕ i N (e) i (4.68) 在写出此式时, 我们有意加上了上标 e 以表示是第 e 个单元. 对每一个单元都可做完全相同的分析. 由于我们在这里使用的是线性插值函数, 因此每个线元上的电势只决定于其两个端点的电势值, 因而自洽性要求是自动满足的. 三, 单元分析 : 现在考虑第 e 个单元对泛函 (4.60) 的贡献. 插值函数的导数为 ϕ x = 1 2 (b 1ϕ 1 + b 2 ϕ 2 + b 3 ϕ 3 ) ϕ = 1 y 2 ( 1ϕ ϕ ϕ 3 ) (4.69) 上式右边为常数, 这表明在取线性插值函数时, 每一单元内的电场强度为常数, 这当然只有在单元取得很小时才成立, 同时这也为我们选取网格的大小提供了一个参考, 即网格的选取应使单元的范围比把电场强度可看作常数的范围稍小. 由 (4.69), 可求得第 e 个单元对泛函 (4.60) 的贡献为 F (e) = 1 [ ( ϕ ) 2 ( ) ] 2 ϕ + dxdy 2 x y 其中, = 1 2 e 3 3 p=1 q=1 a (e) pq ϕ p ϕ q (4.70) a (e) pq = 1 4 (b pb q + p q ) (4.71) 为了下面的应用, 我们恢复单元 e 的顶点的本来编号, 把 1, 2, 3 换为 j 1 [e], j 2 [e], j 3 [e], 于是, 式 (4.70) 可写成 F (e) = p=1 q=1 总体合成 : 把所有的单元对泛函的贡献加起来, 就得到了泛函 (4.60) 的值 F [ϕ] = alle F (e) = 1 2 alle a (e) pq ϕ jp[e]ϕ jq[e] (4.72) 3 p,q=1 a (e) pq ϕ jp[e]ϕ jq[e] (4.73)

121 4.7 用有限元方法求解二维 LAPLACE 方程 121 上式可以通过以节点的值 ϕ i 进行归并, 整理得到 F [ϕ] = 1 2 l 1 i,j=1 K ij ϕ i ϕ j (4.74) 为了计算 F [ϕ] 的极值, 可对上式对 ϕ i, = 1, 2,, l 0 求偏导数并令其为零, 得到 l 1 j=1 K ij ϕ j = 0 i = 1, 2,, l 0 或, 把与边界有关的已知项移到右边 l 0 K ij ϕ j = l 1 j=1 j=l 0 +1 K ij ϕ j u i (4.75) 写成矩阵形式, 有 Kϕ = u (4.76) 这是一个线性代数方程组, 可用前面介绍的方法求解, 一旦求得了诸 ϕ i, 就可计算出区域中任一点的电势. 在实际计算中, 通常要用一些特殊的方法求解有限元方程 (4.76). 矩阵 K 一般是一个稀疏带状距阵, 且具有正定, 对称的特点. 对于这类矩阵, 通常采用一维表示, 使内存要求大大降低. 下面简单介绍一下一维表示方法, 由于 K 是对称的, 因此我们只需要存储对角线上的元素和上三角的元素. 在第 i 列上取出最上面的非零元素, 设其位于第 k i 行, 则第 i 列的带宽为 t i = i k i, (i = 1, 2,, l 0 ) (4.77) 显然, t 1 = 0, 把矩阵 K 的上三角部分和对角部分先按行再按列排成一个一维数组, 记为 A[1 : s], 称为带内数据数组. 再建立一个数组 N[1 : l 0 ], 其第 i 个元素定义为 : N[i] = (t 1 + 1) + (t 2 + 1) + + (t i + 1), (i = 1, 2,, l 0 ) (4.78) 这一数组称为累计带宽数组, N[1] = 1, 它给出了 K 中元素在数组 A 中的位置, 例如 A[N[i]] 为 K 的第 i 个对角元素. 一般地 K ji = A[N[i] i + j] (4.79) 用 A 和 N 就可以完整的表示出 K. 如果矩阵 K 的最大带宽 (Max{t i }) 为 m, 则 A 的元素数 s ml 0, N 的元素数为 l 0, 最多需 (m + 1) l 0 个存储单元, 而直接存储 K 则需 l 0 l 0 个单元, 二者在 l 0 较大时相差是很大的. 对于 l 0 = 6 的一种情形示于 (4.80), 其中方块是 K 中必须存储的的非零元素, 中的元素可以通过对称性得出, 方块中的数字是一维存储时的编号

122 122 第四章电磁场的计算 K = (4.80) 在此表示下, 可以方便地用消去法求解方程 (4.76). 最后, 具体说明一下构成矩阵 K 和矢量 u 的算法 1. 对 i, j = 1, 2,, l 0 { Kij = 0 u i = 0 (4.81) 2. 对所有的单元 e, 令 i = j p [e], j = j q [e], p, q = 1, 2, 3 (a) 如果 i > l 0, 不作处理 ; (b) 如果 i l 0 同时 j l 0, 则 K ij = a (e) pq + K ij () 如果 i l 0 同时 j > l 0, 则 u i = a (e) pq ϕ j + u i 在一维表示下, 上面的算法变为 1. 对 i = 1, 2,, l 0 { ti = 0 u i = 0 (4.82) 2. 对所有的单元 e, 令 i 1 = j 1 [e], i 2 = j 2 [e], i 3 = j 3 [e] (a) 如果 i p > l 0, p = 1, 2, 3, 不作处理 ; (b) 计算 t i : 如果 i 1 l 0 则 t i1 = Max(t i1, i 1 i 2, i 1 i 3 ) 如果 i 2 l 0 则 t i2 = Max(t i2, i 2 i 3, i 2 i 1 ) 如果 i 3 l 0 则 t i3 = Max(t i3, i 3 i 1, i 3 i 2 ) (4.83) 3. 计算 N i : (a) N 1 = 1; (b) 对 i = 2, 3,, l 0, N i = N i 1 + t i 对所有的单元 e, 令 i = j p [e], j = j q [e], p, q = 1, 2, 3 (a) 如果 i > l 0, 不作处理 ;

123 4.7 用有限元方法求解二维 LAPLACE 方程 123 (b) 如果 i l 0 同时 j l 0, 则 i. 如果 i > j, 不作处理 ; ii. 如果 i j, α = N j j + i K α = a (e) pq + K α () 如果 i l 0 同时 j > l 0, 则 u i = a (e) pq ϕ j + u i 这一节比较详细地处理了有限元方法求解二维 Laplae 方程的问题, 从讲解中我们可以看到, 有限元方法节点配置灵活, 特别适用于处理复杂边界的问题, 但另一方面, 有限元方法形成的 K 矩阵的形式往往比较复杂, 当节点较多时, 需要用特殊的方式储存和运算, 增加了求解的复杂性. 在实际工作中, 应学会根据具体问题选择合适的方法. 本章没有给出具体程序, 这是因为这里只是对电磁场的计算做了非常初等的介绍. 如果要作实际计算, 还必须考虑很多细节问题. 同学们在作计算时可参看有关的专著和一些较成熟的软件包.

124 124 第四章电磁场的计算

125 第五章 Monte Carlo 方法数值模拟方法在计算物理中具有十分重要的地位, 这一章, 我们将从理论物理的角度来介绍这一方法. 5.1 随机变量及其分布在这一节中, 我们介绍随机变量及几个相关的问题, 随机变量 ( 以下用 ξ 表示 ) 可分为两类, 一类是离散型随机变量, 它可以取一系列分立值 x 1, x 2,, x n,, 其对应的取某一值的概率为 p 1, p 2,, p n,. p i 称为 ξ 的概率分布 ; 另一类是连续型随机变量, ξ 可连续取值, 设 ξ 在区间 [x, x + δx] 内取值的概率为 p(x ξ < x + δx), 令 p(x ξ < x + δx) f(x) = lim δx 0 δx f(x) 称为 ξ 的分布概率密度, 而 ξ 处于区间 [a, b] 内的概率由下式给出概率应归一化, 即定义分布函数 i=1 p(a ξ < b) = p i = 1 f(x) dx = 1 F (x) = p(ξ x) = 代表 ξ 处于 [, x] 的概率. 显然, f(x) = df dx. 随机变量的数学期望定义为 b a f(x) dx 对离散型随机变量对连续型随机变量 x f(x) dx E(ξ) = i x i p i 对离散型随机变量 E(ξ) = xf(x) dx 对连续型随机变量

126 126 第五章 MONTE CARLO 方法 α α X α 表 5.1: 方差定义为 D(ξ) = i (x i E(ξ)) 2 p i 对离散型随机变量 D(ξ) = 下面介绍两个重要定理 : (x E(ξ)) 2 f(x) dx 对连续型随机变量大数定理 : 设 ξ 1, ξ 2,, ξ N, 为一随机变量序列, 相互独立, 具有同样分布, 且 E(ξ i ) = a 存在, 则对任意小量 ϵ > 0, 有 lim p N { 1 N } N ξ i a < ϵ = 1 i=1 这一定理指出, 不论随机变量的分布如何, 只要 N 足够大, 则算术平均与数学期望值可无限接近, 也就是说, 算术平均以概率收敛于其数学期望值. 中心极限定理 : 设 ξ 1, ξ 2,, ξ N, 为一随机变量序列, 相互独立, 具有同样分布, 且 E(ξ i ) = a, D(ξ i ) = σ 2 存在, 则当 N 时, 令推论 : 则当 N 很大时, { 1 p N { 1 p N N i=1 } ξ i a < X ασ 1 Xα N 2π } N ξ i a < X ασ N i=1 2 2π Xα 1 N 0 2 2π Xα e x2 /2 dx = 1 α 0 e x2 /2 dx e x2 /2 dx N ξ i a < X ασ (5.1) N i=1 成立的概率为 1 α, 1 α 称为可信水平. α, 1 α 和 X α 的数值关系见表 5.1: 由表可见, 当 X α = 时, 式 (5.1) 成立的概率已经为 99%, 也就是说, 该式的可靠性已相当高.

127 5.2 赝随机数的产生赝随机数的产生在数值模拟中, 总是要用到随机数, 因此, 我们首先讨论如何产生随机数. 产生随机数的方法一般有两种, 一种是物理的方法, 一种是数学的方法. 我们只讨论产生随机数的数学方法. 用数学的方法, 在计算机上产生随机数, 这似乎是不可能的, 因为一个程序在运行中算得的结果完全是确定的, 不具有任何随机性. 但另一方面, 确实可以用确定的程序, 产生出可以重复的, 满足随机数的各个检验要求的数列, 为了与真实的随机数区别, 我们通常把数学方法产生的随机数称为赝随机数. 由于赝随机数序列是用确定的方法产生的, 因此它有一定的周期, 即这一序列在它的第 N 个数开始重复. 从实用的角度讲, 周期要尽可能的长, 这样, 在一次数值模拟中所用的随机数的个数小于其周期, 否则, 如果在一次计算中所用的随机数的数目超过了它的周期, 则可能产生虚假的结果. 最常用, 最基本的产生赝随机数的方法是同余法, 即下面的递推关系 : I j+1 = ai j + (mod m) (5.2) 这里, a,, m 是三个整数, 由上述关系可推出一个序列 I 1, I 2, I 3,, 对于适当选定的 a,, m, 这一序列可以作为赝随机数使用且具有足够长的周期. 因此, 对于大部分实际应用, 下面两句 FORTRAN 语句放到任何需要随机数的地方就可以满足要求 JRAN = MOD(JRAN*IA+IC, IM) RAN = FLOAT(JRAN)/FLOAT(IM) 这里 RAN 就是一个在区间 [0,1] 上的赝随机数. 关于系数的一个特别的选择是 a = 16807, = 0 于是, 在 32 位机器上, 下面的语句就可以产生 (1, 2 31 ) 之间的随机数 linux=linux*16807 if(linux.lt.0) linux=linux 对于大型的计算项目, 需要质量较好且与机器无关的随机数发生器, 一种笔者常用的随机数发生器是 Fibonai 发生器, 其新的随机数由前面的两个已经得到的随机数通过加, 减或乘得到, 一种简单的实现是 : x k+1 = x k 17 x k 5 当 x < 0 时, x x + 1. 这一实现称为 17 位 Fibonai 发生器, 可以通过下面的程序段来实现, 使 I 和 J 分别初始化为 17 和 5, 并生成 17 个随机数存在数组 U 中

128 128 第五章 MONTE CARLO 方法 UNI=U(I)-U(J) IF(UNI.LT.0.0) UNI=UNI+1.0 U(I)=UNI I=I-1 J=J-1 IF(I.EQ.0) I=17 IF(J.EQ.0) J=17 这一随机数发生器的周期可以达到 10 12, 基本能满足大部分实际计算的需要. 目前广泛使用的一个赝随机数发生器是 Shift-Register 发生器, 其程序实现称为 R250, 这似乎是一个质量更高的发生器 R250 假定已经有了 250 个随机整数数, 然后, 第 251 个为 x 251 = x 1 x 148 或一般的 x k = x k 250 x k 103 这是一类随机数发生器中的一个, 这类发生器均可写为 x k = x k p x k q 这里表示对整数按照二进制位做 xor 运算其它的 (p, q) 组合有 (98, 27) (1279,216) (1279,418) (9689, 84) (9689,471) (9689, 1836) (9689, 2444) (9689, 4187) 对于其它分布的赝随机数, 只要对上面程序产生的序列做变换就可得到. 这里做一个简短的介绍对于一个给定的分布 P (y), 我们希望由均匀分布的随机数 x 获得满足分布 P (y) 的随机数即我们需要找到一个 x 的函数 f (x), 对于一系列在 [0, 1] 按照均匀分布的 x, 由 y = f (x) 得到按照 P (y) 分布的 y. 注意到 y P (y ) dy F (y) = x, 则显然下面是一个例子 : 1, 指数分布 P (y) = y = F 1 (x). { 0, y < 0 λe λy, y > 0.

129 5.3 用 MONTE CARLO 方法计算积分 129 则 F (y) = y P (y ) dy = { 0, y < 0 1 e λy, y > 0, y = f (x) F 1 (x) = 1 ln (1 x). λ 不幸的是, 对于绝大多数分布而言, 上面的积分无法解析积出, 因此变换无法完成, 因此, 需要寻找其它方法 5.3 用 Monte Carlo 方法计算积分在第三章中, 我们曾指出, 高维积分的工作量之大, 是通常积分方法无法完成的, 这是因为计算量对积分重数的依赖是指数关系, 即为 a N, 这里 a 是一个数, 大体为计算一重积分的计算量, N 为积分重数. 如果要求的精度不是很高, 则 Monte Carlo 方法计算高维积分可以大大减小计算量. 由中心极限定理可知, 如果我们在一个多维体积 V 中均匀随机地选 N 个点, x 1, x 2, x 3,, x N, 则 f 2 f fdv V f ± V 2 N V (5.3) 这里表示取算术平均, f 1 N N f(x i ) f 2 1 N N f 2 (x i ) i=1 i=1 在方程 (5.3) 中, 右边第一项是积分的近似值, 而第二项为误差估计 ( 取 X α = 1 并以 f 代替数学期望值 ). 注意到误差项反比于 N, 正比于被积函数的方差. 因此, 为了达到较高的精度, 一种方法就是增大 N, 但显然, 为了增加一位有效数字, 就要增加 100 倍的计算量, 下面是一个例子, 我们用 Monte Carlo 方法计算积分 dx 1 dx 10 x 2 i 0 0 i=1 这个积分可以解析积出来, 其结果为 10/ , 下表是用 Monte Carlo 方法计算的结果, 可以清楚地看到其缓慢收敛的过程. N <f> <f>-10/3 sqrt((<f^2>-<f>^2)/n) E E E E E E E E-02

130 130 第五章 MONTE CARLO 方法另一种提高精度的方法是减小方差, 为此, 考虑不在积分域内均匀取点, 而是按照某一分布取点, 用 g(x) 记这一分布, 则方程 (5.3) 成为 V fdv V f/g ± V (f/g)2 f/g 2 N (5.4) 其中为对于按照分布 g(x) 取样的点所做的平均如果选择 g = f V f/g (5.5) 则方程中的误差项为零! 但仔细观察上式就会发现, 这实际上是做不到的, 因为上式中包含有待求的项 f/g, 而在 g 未给出之前 f/g 根本无法计算. 但另一方面,g(x) 与被积函数成比例, 如果选择一个形状非常接近于被积函数的分布, 就可能减小方差不过, 还有一个更本质的困难, 一般我们给出的是均匀分布的随机数, 因此实现均匀抽样完全是直接了当的, 但当我们要实现一个指定分布的抽样时, 就面临把均匀分布的随机数变为所需分布的问题, 具体地说, 就是要找一变换 y = y(x) 使得对于均匀分布的 x 有以 g 分布的 y, 这种变换的寻找也许比原积分的计算更难,( 至少对绝大多数问题是如此!). 因此, 这一想法似乎是无用的. 不过, (5.5) 毕竟给我们一些提示, 由于 g 正比于 f, 这就提示我们在被积函数值较大的地方多选取样点. 因此可以构造一些简单 ( 变换容易 ) 而又满足上述要求的分布进行取样. 关于这一方面的内容, 需进一步了解者可参看 ( 裴鹿成, 张孝泽著, 蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 ). 下一章我们将介绍另外一种基于这样一种观察的方法来模拟统计物理问题. 我们再来看一个例子, 考虑积分 I = 10 0 dx x 68 exp( 25x) 这个积分的精确值是 I exat = 用简单抽样法计算, 结果如下

131 5.3 用 MONTE CARLO 方法计算积分 131 N I I I I N I exat I N I I exat I exat I exat I 其中, I I 变量, 由此得到 : 是相对误差的估计, 一种估算方法是直接把被积函数的抽样值作为随机 I I = f 2 f 2 N f 2 另一种方法是把总的步数分为若干段, 在每一段计算 I, 并把其看做为随机变量, 然后求误差取大约段, 所得结果与第一种方法的结果大致相同这里的结果来自第一种方法从最后一列可以看出, 误差估值反比于 N, 其比例系数与方差相联系为了减少方差, 我们尝试用一个与被积函数比较接近的分布来取样, 取此分布为 g(x) = exp( 2.5(x 2.8) 2 ) 然后, 利用这个分布取样, 并计算 x 68 exp( 25x) exp( 2.5(x 2.8) 2 ) 的平均值和误差, 计算结果如下注意到最后一列比简单抽样小差不多一个数量级 N I I I I N I exat I N I I exat I exat I exat I

132 132 第五章 MONTE CARLO 方法为了实现对于 g(x) 的抽样, 我们利用如下 Metropolis 算法, 关于这一算法的解释将在下一章给出算法如下 : 1. 任取 x 0 [0, 10] 2. 设已经得到 x i, 选 y = x i + δ (ran() 0.5). 其中 ran() 给出 (0, 1) 之间均匀分布的随机数,δ 为一可调参数计算 g(y) 3. 如果 y < 0 或 y > 10, 则令 x i+1 = x i. 否则, 产生随机数 ξ = ran(), 如果 g(x)/g(x i ) ξ, 则 x i+1 = x i, 否则 x i+1 = x i. 这样得到的序列 x 0, x 1,..., x N 满足分布 g(x). 建议写一个实现上述算法的小程序, 产生一个序列, 做出其分布的直方图并检验上述论断 5.4 自相似性与分形在本章的其余几节我们将介绍几种与随机数和模拟有关的物理过程. 这一节先介绍分形的概念. 对于任一物体, 其形状本身就是一个很有趣的性质, 我们日常生活中经常遇到的如圆形, 椭圆, 球, 长方体等都代表某种形状. 与这些形状相关的是其维数, 如我们知道圆面, 椭圆面, 长方形面都是二维的而球, 长方体等则是三维的. 从数学上看, 如果我们把一个二维物体的线度增加倍, 则其面积将变为原来的四倍, 即 S R 2. 这里 S 为所研究物体的面积而 R 是其特征长度. 对于三维物体, 我们有, V R 3. 作为一个一般的关系, 我们考虑所研究的物体具有均匀面密度或体密度, 于是有 M R d 这里 d 为所研究物体的维数. 近年来, 人们对于另外一类形状发生了很大的兴趣, 这类物体的形状通常都非常复杂, 自然界如雪花, 海岸等数学上, 利用简单的规则, 可以生成很多种复杂图形物理上如扩散限制粘结的图样等这样一类形状被称为分形. 我们以一个直观的简单例子开始讨论, 考虑一个正方形, 显然, 它的维数是二. 现把它分为 9 个相等的小正方形, 并把中心的小正方形拿掉, 对剩下的 8 个小正方形重复这一过程直到无穷, 这样得到的形状成为 Sierpinski 地毯. Sierpinski 地毯是一种确定性分形, 这是因为产生 Sierpinski 地毯的规则完全是确定的, 后面我们还会看到随机分形的例子, 这类分形是通过一定的随机过程

133 5.4 自相似性与分形 133 图 5.1: Sierpinski 地毯. 图 5.2: Koh 曲线. 而生成的. 分形的一个显著特点是自相似性, 如果我们从不同的空间尺度去观察分形, 看到的形状特点都是一样的, 或者, 如果我们仅仅只看分形, 则无法知道所看到的部分是否被放大了, 放大了多少倍. Sierpinski 地毯就是这样一个典型的例子. 标志分形的关键量是它的维数, 对于规则形状, 直观上很容易给出其维数, 这个维数实际上就是可以把此形状嵌入的最小空间维数, 如一个平面物体可以嵌入二维空间, 是二维的, 一个空间物体如球, 立方体等可以嵌入三维空间, 是三维的. 而分形的另一个特点是很难从直观上给出其维数, 再以 Sierpinski 地毯为例, 它的维数是多少? 与前一段的分析类似, 我们可以一般地用下述公式 M R d f 定义一个物体的维数. 对于大多数复杂形状, d f 通常并不是一个整数, 而是一个分数或无理数, 这就是分形这一名称的来源. 对于一个 d f 维的形状, 由上面的定义可知, 如果我们用某个长度单位 u 来量度其特征长度, 则面积的单位为 u 2, 体积的单位为 u 3. 一个物体的大小可以用能容纳该物体的最小正规维数的空间来量度, 如前面的 Sierponski 地毯可容纳于二维空间, 因此可以用 u 2 来量度其大小, 所谓大小, 在这一例子中是指至少用多少个单位面积可以完全覆盖物体. 设在此选定单位下特征长度的值为 L, 或有 L 个长度单位. 如果我们把所用的长度单位

134 134 第五章 MONTE CARLO 方法减少到原来的 1/l, 则显然 L 变为原来的 l 倍, 而面积和体积分别变为原来的 l 2 及 l 3 倍. 或 d 维形状的大小变为原来的 N = l d 倍. 如果一个维数为 d f 的形状嵌入 d 维空间, 此处 d 称为正规维数, 只能取整数值. 则此形状在单位变换下其大小变为原来的 N = l d f 倍. 于是维数 d f = ln N ln l. 我们可以用这样一种关系来计算分形的维数. 对于 Sierpinski 地毯, 设我们取其边长为单位, 则其大小为 1, 把长度单位缩小到原来的 1/3, 大小成为 8, 再缩小到 1/3, 大小成为 8 2, 或一般地, 长度单位每缩小到原来 1/3, 则大小增加到 8 倍. 这里 N = 8, l = 3, 于是 Sierpinski 地毯的分形维数为 d f = ln 8/ ln 3 = 与 Sierpinski 地毯有关的还有 Koh 曲线, 它是把一单位长度的线段三等分, 把中间的一段拿掉, 连上由长度为 1/3 的线段构成的上翘三角形, 然后对每一线段重复上述过程至无穷, 得到的结果即为 Koh 曲线. 如图所示. 练习 : 计算 Koh 曲线的分形维数.( 提示, 考察 Koh 曲线的总长度与长度单位改变之间的关系 ). 在自然界中, 一个与分形有关的著名例子是英国的海岸线有多长? 如果我们拿一张地图, 分别用不同长度的尺子来量度英国的海岸线, 则可以得到不同的长度, 随着尺子不断变短, 则我们的到的海岸线的长度变长. 一个自然的想法是当尺子足够短时, 这一长度应该趋于一个恒定值, 并可把这一恒定值定义为英国海岸线的长度. 然而, 这一直观的想法并不成立, 事实上, 当我们的尺子越来越短时, 我们可能达到一张地图分辨率的极限, 此时我们需要一张分辨率更高的地图, 但我们并不能得到一个确定的长度, 最后, 也许我们需要沿着英国海岸, 在距离水边一米处测量, 即便如此, 随着尺子长度的改变, 我们依然不能得到确定的海岸线长度. 事实上, 海岸线的长度并不是一个一维量, 而是一个分形, 它的维数大于一. 为了计算其维数, 我们可以用不同长度的尺子测量海岸线的长度, 并把测得的长度的数值的对数与尺子长度的对数作图, 则可得到一条直线, 直线的斜率就给出海岸线的维数. 练习 : 找一张较大的中国地图, 试测量并计算中国海岸线的分形维数. 5.5 扩散限制粘结的计算机模拟扩散限制粘结 (Diffusion limited aggregation), 简称 DLA, 是近三十年来引起广泛兴趣, 得到大量研究的物理过程其开端是由 Witten 和 Sander 为了充分使用一台当时最新的绘图仪而引发, 且一发而不可收拾 (Diffusion-Limited Aggregation, a Kineti Critial Phenomenon, Phys. Rev. Lett. 47, (1981)) 全面介绍这样一个重要的领域大大超出了本讲义的范围, 这一节我们介绍一种用计算机生成 DLA 集团的方法, 同学门可由此体会一点 DLA 的初步知识.

135 5.6 高分子的模拟和无规行走 135 考虑一个正方格子, 现在格子的中心放一个粒子, 作为 DLA 的种子. 从格子的边缘随机选定一个出发点, 并使一粒子从该点出发, 在格子上做无规行走, 当此粒子到达作为种子的近邻时, 则使其停下, 并随机在格子边缘选一出发点, 继续这一过程 ; 如果粒子在无规行走中到达边界, 则放弃这一粒子. 重复这一过程多次直到生成一个较大的集团, 如果我们把这个集团显示到计算机显示器上或打印出来, 我们就会看到这一图案与很多自然现象有相似之处, 如雪花, 闪电的图样, 山上岩石的裂纹等. DLA 图样是随机分形的典型例子, 为了计算其分形维数, 我们可以考虑以种子所在的点为圆心, 不断改变半径并数出圆内所具有的粒子数 M, 则应有 M R d f, 作出 ln M 与 ln R 的图, 就可得到分形维数. 计算机实习题 : 编写生成 DLA 的程序并生成 DLA 集团, 分析其分形维数. 5.6 高分子的模拟和无规行走无规行走可以作为高分子链的简单模型, 为了简单直观起见, 这一节我们只考虑二维空间的无规行走, 推广到三维是直接了当的简单无规行走 (RW) 考虑一个二维的正方格子 ( 其它格子亦可 ), 从格子上的一个格点出发, 随机地在四个可能的方向上选择一个方向, 前进一步然后以新的位置为出发点, 重复前进, 走 N 步后, 其所走的轨迹构成一个一维链这个链可以看作最简单的高分子链的模型因为每一步有 z = 4 种等价的选择, 而相邻的步是独立的, 因此, 无规行走的配分函数 ( 总的状态数 ) 可以方便写出 Q = z N 这里,z 是格点的最近邻格点数, 对于正方格子,z = 4. 用 r i 表示第 i 步的位移,N 步后的位移是 R = R = R 是起点与终点之间的距离, 称为末端距显然 R = 0 而末端距的平方的平均为 N i=1 r i N R 2 = r i r j = i,j=1 N ri 2 = Na 2 i=1

136 136 第五章 MONTE CARLO 方法这里 a 是晶格常数随后将会看到, 这个严格的结果在模拟计算中非常有用不回头无规行走 (NRRW) 与简单无规行走类似, 除了每一步不容许立即回头, 即只能在 z 1 个可能的方向中选择对于 N 步行走, 其配分函数为而末端距平方的平均值是 Q = (z 1) N R 2 = 4 3 Na2 自回避无规行走 (SAW) N 如果考虑到高分子链具有体积效应, 即每个格点最多只能访问一次, 那么, 在无规行走中, 如果遇到已经访问过的点, 就必须回避一种实际的计算方法是, 产生 NRRW 链, 一旦选择的新格点被占据, 就停止显然, 这样一种方法很难得到 N 比较大的链, 事实上, 在长度为 N 的 NRRW 链中, 自回避链所占的比例由其配分函数的比值给出 w N = QSAW Q NRRW 这也是计算 SAW 配分函数的一个方法事实上,SAW 的配分函数无法解析得到, 在 N 时, 可以得到其渐进形式为 Q SAW = N γ 1 z N eff 其中,γ 是一个临界指数,z eff < z 1 为有效近邻数, 通常不是一个整数这连个数一般只能通过数值模拟求得, 目前已知的结果是 : 三维空间 γ 7 6, 二维空间 γ 4 3. 利用这个结果, 可以得到 ( ) N ( w N = N γ 1 zeff = exp N ln z 1 ) + (γ 1) ln N z 1 z eff 从上式可以看出, 随着 N 增加,SAW 链出现的概率指数衰减, 因此, 当 N 较大, 例如达到 100 时, 从 NRRW 中挑出一个 SAW 是非常难的所以, 直接生成的方法通常限于 N < 100 的 SAW 链的研究除了自回避外, 如果在最近邻的占据格点上加上一点吸引相互作用, 则会得到非常有趣的结果此时,SAW 链存在一个相变, 其来源是自回避排斥作用, 熵和吸引相互作用的竞争存在一个临界温度 T, 当 T > T 时,SAW 的末端距平方的平均值在大 N 极限下为 R 2 N 2ν, ν 0.59 这里 ν 是另外一个临界指数当 T < T 时, R 2 N 2/3 而当 T = T 时 R 2 N

137 第六章逾渗和统计物理问题 6.1 逾渗简介逾渗问题本身不是一个物理问题, 但这一问题的研究包含了现代物理的很多重要概念, 如相变, 临界指数, 重整化群等. 由于逾渗问题比实际统计物理问题简单很多, 因此成为介绍这些重要物理概念的一个合适的入门模型. 逾渗的很多概念和模型在无序固体及软物质的研究中也有重要应用. 这一节我们简单介绍点逾渗模型及一些概念, 下一节给出一种计算机分析逾渗的方法. 为简单起见, 我们考虑二维问题, 把平面划分为正方格子, 如图所示. 每一个小的方格可以处于占据和空两种状态, 在图中以灰和白表示. 设每一个格点被占据的概率为 p, 这一概率与格点的周围环境无关. 这样一种模型称为点逾渗模型. 对于给定的占据概率 p, 每一占据格点或者是孤立的, 或者与最近邻占据格点形成集团. 我们定义若二格点为最近邻且均被占据, 则此二格点直接相连, 若二格点之间可以找到一个通路, 沿通路最近邻格点相连, 则此二格点间接相连. 集团定义为这样一组占据格点, 其中的任何二个都直接或间接相连. 集团的大小是逾渗问题中的一个关键量. 设想若每个占据格点为导体而空格点为绝缘体, 则如果存在一个大集团从格子的一边延伸到另一边, 则逾渗样品将导通, 否则为绝缘体. 我们可以很容易用计算机生成逾渗集团, 对于每一个格点, 产生一个在区间 [0, 1] 上均匀分布的随机数 r, 若 p > r, 则此格点标记为占据, 否则为空. 如果占据概率 p 很小, 我们期望只有一些孤立的小集团, 如图 A 所示, 如果占据概率 p 1, 我们期望大多数占据格点形成一个跨越边界的大集团, 我们称此集团为跨越集团. 对于中等大小的 p, 如 p 处于之间, 会发生什么情况? 下面我们将看到, 对于一个无穷大的格点, 存在一个确定的临界概率 p, 当 p > p 时, 存在一个无穷大的跨越集团 ; 当 p < p 时, 所有集团都是有限的, 不存在跨越集团. 逾渗的本征量是其连通性, 随着格点占据概率的连续变化, 连通性在一个特定值 p 发生突变. 这种由无跨越集团到有跨越集团的变化是一种相变, 现在一般称为几何相变. 逾渗并不仅仅是一个有趣的模型, 实际上有很多与之相关的物理问题. 一个有实际意义的问题是随机复合介质问题, 如果我们把金属球和橡胶球均匀的随机放入一个容器

138 138 第六章逾渗和统计物理问题图 6.1: 中, 如果金属球没有形成通路, 则样品整体表现出绝缘性, 而当金属球形成通路时, 则样品在整体上表现为导体. 我们用金属球在容器中所占的体积与容器的体积之比, 体积分数 ϕ 来表示金属球的多少, 当 ϕ 很小时, 样品的电导为 0, 在一个临界体积分数 ϕ, 电导变为非零并随 ϕ 的增加而急剧增加. 这是一个金属绝缘体转变的典型例子. 其他的应用还有如磁性物质的非磁性掺杂, 森林火灾的扩展, 流行病的扩展等等. 为了定量研究逾渗问题, 我们定义下面一些量. 集团尺寸 s, 定义为集团内的格点数 ; 平均集团尺寸分布 n s (p), 定义为尺寸为 s 的集团的数目与总的格点数之比 ( 当 p > p 时, 我们排除跨越集团 ); 显然, sn s 为尺寸为 s 的集团所占据的格点的总数, 而 w s = sn s s sn s 为随机抽取一个占据格点时, 该格点处于某一尺寸为 s 的集团的概率, 平均集团尺寸则由下式给出 S = s sw s = s s2 n s. s sn s 另一个描述逾渗问题的重要量是跨越集团概率 P, 定义为跨越集团内包含的格点总数与占据格点总数之比. 对于一个无穷大的格点, 当 p < p 时, P = 0 而当 p = 1 时, P = 1, 在 p = p, P 由零变为非零且随 p 增加而增加. 在热力学统计物理中我们学过热力学相变和临界现象, 一个比较简单但具有代表性的例子是铁磁系统的临界现象, 当温度 T 小于临界温度 T 时, 系统为铁磁体, 具有自发磁化, 而当 T > T 时, 系统为顺磁体. 系统的相变由参数温度引起, 在临界温度附近, 系统具有长程关联, 关联长度在临界点发散, 其宏观表现为一系列热力学量在临界点的

139 6.1 逾渗简介 139 非解析性质. 逾渗相变与热力学临界现象有很多相似之处, 下面我们给出一些定义和分析, 这些分析对理解更为复杂和丰富多采的热力学临界现象可提供帮助. 首先定义一个与逾渗有关的长度, 即平均连接长度 ξ(p), 代表集团的空间尺寸. 这一长度可以有多种定义方式, 这里我们考虑一个大小为 s 的集团的回转半径 R s, 定义为 R 2 s = 1 s s (r i r) 2 i=1 其中 r = 1 s s i=1 r i 而 r i 是第 i 个格点的位置矢量. r 是集团的质心. 我们可以把非跨越集团回转半径的平均值定义为 ξ, 也可把最大的非跨越集团的回转半径定义为 ξ. 当 p < p 时, ξ 随 p 的增加而增加, 当 p > p 时, ξ 随 p 的减小而增加, 在 p = p 处 ξ 发散. 当 p p 1 时, 我们称系统处于临界区域, ξ 的发散行为是非解析的, 满足如下的指数关系 ξ(p) p p ν ν 是我们遇到的第一个重要的数, 称为关联长度的临界指数. 在临界区域, 我们期望当 p > p 时, 有 P (p p ) β 在临界区域, 集团的尺寸发散, 我们期望其行为是 S(p) p p γ 这样我们定义了三个临界指数, 对于二维问题, 这些临界指数可以解析求出, 其值为 β = 5/36, γ = 43/18, ν = 4/3. 对于三维问题, 只能用各种近似方法来得到, 其结果为 β 0.4, γ 1.8, ν 0.9. 这些指数具有很大的普适性, 与晶格结构以及与关联长度的不同定义均无关. 除此之外, 它们之间还满足一定的关系, 如 2β + γ = νd 式中 d 为空间维数, 这种关系称为标度关系. 有关这些关系及其在相变和临界现象中的重要意义将在高等统计物理课程中详细讨论. 有兴趣的同学也可参看有关书籍和文献. 相对于临界指数, 临界点 p 则不是一个普适量, 对于二维正方格点, p 而对于三角格子 p = 1/2.

140 140 第六章逾渗和统计物理问题 6.2 逾渗的计算机模拟和分析上一节我们简单介绍了逾渗的概念, 这一节将讨论用计算机研究逾渗问题的一些方法. 研究逾渗问题大体上分为三步, 第一步是生成逾渗集团, 这是最简单的一步, 已经在上节介绍过了 ; 第二步是标定集团, 即找出每个集团所包含的格点, 并对集团编号, 以便进一步分析, 这是整个分析中最困难的一步 ; 第三步是根据第二步的结果, 具体计算临界概率, 临界指数等. 一种直观的标定集团的算法是从一个占据格点出发, 找出与此格点直接和间接相连的所有格点, 并给这些格点赋予数 1; 然后从剩下的占据格点中选出一个, 找出所有与这一格点相连的格点并赋予数 2; 重复这一过程直到所有占据过格点全部用完. 请同学试写出这一算法的程序并对从小到大的格点进行试算, 看会有什么结果? 实际上, 随着格点数目的增加, 计算量将指数增加, 从而使计算实际上成为不可能. 下面我们介绍一种由 Hoshen 和 Kopelman 发展的算法. 这一算法可通过下面的例子来介绍. 考虑图 6.2 所示的一个逾渗样本, 我们从左下角开始, 并从左到右, 从下到上进行编号. 因格点 (1,1) 被占据, 我们给它赋予集团标号 1, 下一个没有占据, 无需赋值, 下一个占据格点是 (3,1), 由于其左边的格点为空, 我们给它赋予下一个集团标号 2, 格点 (4,1) 左边占据, 与其左边的格点同属一个集团, 也赋予 2, 这一行其余格点的分析是直接了当的. 然后我们到第二行, 考察格点 (1,2), 由于这一格点被占据, 它的上一行的近邻 (1,1) 的集团标号为 1, 因此我们对它赋值 1, 并从左到右检查这一行, 如果一个格点为空, 则跳过该格点, 如果格点被占据, 则考察其左边和下边的最近邻, 若此 2 近邻均空, 则给此格点赋予下一个集团标号, 如果只有一个近邻被占据, 则给此格点赋予其近邻的集团标号, 如格点 (2,2) 赋予 1, 因为只有其左边的近邻被占据且具有标号 1. 如果格点的左和下两个近邻均被占据, 则意味着原标定为不同标号的两个集团实际上是一个集团, 我们必需进行合并并重新编号. 如格点 (6,2), 其左边格点 (5,2) 标号为 4, 而其下边格点 (6,1) 标号为 3, 显然我们应该对 (6,2) 赋予较小的标号 3 并把 (5,2) 的标号更新为 3, 但是在后面可能还会有进一步的重复和合并, 我们把这一更新过程推迟到后面再进行. 为了记录这种合并信息, 我们引入一个正规标定数组 n, 数组的每一个元素与一个集团标号相联系, 对独立的集团标号, 数组的对应元素赋值为该数组的下标, 否则赋值对应将要合并的集团的标号. 对于本例, 在到达格点 (6,2) 前, 分别有 np(1) = 1, np(2) = 2, np(3) = 3, np(4) = 4. 而到达格点 (6,2), 我们知道标号为 4 的集团实际上与标号为 3 的集团是同一集团, 为了记住这一信息, 我们有 np(4) = 3. 这一赋值告诉我们标号 4 是非正规的, 而且与正规标号 3 相连. 这样一个过程仍然有不确定性, 当我们到达格点 (5,4), 此格点的左边标号为 5, 下边标号为 4, 我们已经知道标号 4 为非正规标号 ( 因为 np(4) 4), 此时我们并不是按照上面

141 6.3 正则系综和统计模型图 6.2: 集团的构造算法的规则为 (5,4) 标号 4, 而是标号为较小标号所指的正规标号, 这里为 3( 因为 np(4) = 3), 同时我们知道标号 5 也是非正规的, 其所对应的正规编号为 3, 故应令 np(5) = 3. 当检查完所有格点后, 我们可以根据数组 np 的值对非正规标号进行更新. 实际计算时, 我们总是分析有限的格点, 对每一个给定大小的格点和在给定 p 后生成的逾渗样本, 计算得到的 P 一般并不相同, 因此必需对多个样本进行平均. 这样计算得到的结果与所取样本大小有关, 为了得到无穷大格点的结果, 应对不同大小的格点进行计算, 然后外推到无穷大样本. 为了计算临界指数, 我们可在 p 附近对不同的 p 计算 P, 设 P (p p ) β, 则 ln P = β ln(p p ) + C 这里 C 为一个常数, 通过调节 p, 使得 ln P 与 ln(p p ) 成为一条直线, 则直线的斜率就给出 β. 作为一个计算实习题, 请同学根据前面二节的内容分析二维正方格子上的逾渗问题, 试通过计算 P, ξ 等量来得到临界概率 p 及临界指数. 6.3 正则系综和统计模型在热力学与统计物理中我们学过, 如果一个多体系统的 Hamiltonian 为 H, 则对于给定系统的粒子数 N, 体积 V 和温度 T 之后, 系统的平衡分布由正则分布给出为 : P (x) = 1 Z exp[ βh(x)] (6.1) 式中 x 代表系统的任一位形, 而 P (x) 则给出在平衡态时系统处于该位形的概率. Z = dx exp( βh(x)) (6.2)

142 142 第六章逾渗和统计物理问题为系统的正则配分函数 ( 与标准定义差一因子 N!, 这在 Monte Carlo 计算中并不重要, 因为后面将会看到, Monte Carlo 方法几乎不用来计算配分函数本身 ) 在分立变量的情况下, 式 (6.2) 中的积分应理解为对各种位形的求和. 物理量是位形的函数, 对于物理量 b(x), 其平均值 B 为 B = dxb(x)p (x) (6.3) 下面我们看几个具体的例子 Ising 模型 Ising 模型的 Hamiltonian 为 H = J nn s i s j h i s i (6.4) 式中 J 称为交换积分, h 为外场, s i 可取值 ±1, 称为自旋变量. Ising 模型是最简单的非平庸统计物理模型, 它是由德国物理学家 Lenz 在二十年代提出的, 这一模型可用来描述单轴各向异性磁性系统, 合金等物理体系, 同时也是一个十分有兴趣的理论模型. Ising 最早给出了这一模型在一维情况下的严格解, 证明了在一维下这一模型不存在相变. Onsager 于 1945 年做出了零场下这一模型在二维空间的严格解并计算了它的相变温度, 比热在相变点的行为等热力学量. 杨振宁在 1952 年解出了外场很小时二维空间的 Ising 模型, 求出了序参量的临界行为. 由于对这一模型的很多形为目前了解的比较透彻, 因此它经常被用来做为检验各种数值方法或解析近似方法的标准年,A. E. Ferdinand 和 M. E. Fisher(Bounded and Inhomogeneous Ising Models. I. Speifi-Heat Anomaly of a Finite Lattie,Phys. Rev. 185, (1969) ) 求得了有限尺寸 2D Ising 模型在周期性边界条件下的严格解, 成为检验模拟结果的一个有效标准对于 Ising 模型, 人们通常感兴趣的热力学量是能量 E = H, 序参量 m = 1 N i s i, 能量的涨落 H 2 H 2, 序参量的涨落 m 2 m 2 等. 能量的涨落与系统的比热成正比, 而序参量的涨落则正比于系统的磁化率. 与 Ising 模型类似的还有 Heisenberg 模型 : H = ij (J x S i xs j x + J y S i ys j y + J z S i zs j z) (6.5) 式中, J x, J y, J z 称为交换积分, S = (S x, S y, S z ) 为自旋矢量. S 可为量子算符, 也可取为经典量, 分别对应于量子 Heisenberg 模型和经典 Heisenberg 模型. 在这里, 我们只讨论经典问题. 若 J x = J y = J z J, 则上式成为各向同性的 Heisenberg 模型 : H = J S i S j (6.6) ij

143 6.4 统计物理的 MONTE CARLO 模拟, METROPLIS 方法 143 通过适当调整 J, 式中的 S 可以看作三维空间的单位矢量. 如果把矢量 S 的维数降为二, 我们得到所谓的 XY 模型 ; 当矢量 S 的维数趋于无穷大时, 对应于球模型, 而当矢量 S 的维数趋于零时, 可用来描写高分子溶液. 在 Ising 模型中, 如果 s 的取值不是 ±1, 而可以取多个值, 则对应于所谓 Potts 模型 Lenard-Jones 模型在高温下, 量子效应是不重要的, 可以用经典统计物理来描述. 最简单的多粒子系统是惰性元素组成的系统, 除了氦之外, 其它惰性元素组成的系统在变成固体前的整个温度范围内都可用经典方法来描述. 惰性元素的电子是满壳层的, 其相互作用由两部分组成, 一部分是由原子的瞬时偶极矩导致的与距离如 6 次方成正比的吸引相互作用, 另一部分是来源于量子效应的强排斥芯. 其 Hamiltonian 可写为 H = 1 2m N p 2 i i=1 N N u(r ij ) (6.7) i=1 j=1 式中第一项为动能项, 第二项是相互作用, N 为系统的粒子数. r ij = r i r j 为第 i 个粒子与第 j 个粒子之间的距离. [ ( ) 12 ( ) ] 6 σ σ u(r ij ) = 4ϵ r ij r ij 为 Lennard-Jones 相互作用, 其中 ϵ 为势的极小值, σ 是长度的单位. 在粒子问题中感兴趣的热力学量通常是能量 E = H, 能量的涨落 H 2 H 2, 以及对相关函数 g(r), 很多热力学量如压强, 化学势等均可用对相关函数 g(r) 来表示. g(r) 定义为 δ(r r ij ) 的平均值. 对于相互作用各向同性的系统, 这一平均值只与 r 的大小有关. 实际的粒子系统的相互作用常常十分复杂, 相互作用不仅与距离有关, 一般也与方向有关, 除了二体相互作用外, 通常还有多体相互作用. 6.4 统计物理的 Monte Carlo 模拟, Metroplis 方法由 (6.3) 可知, 为了计算热力学量, 我们需要计算一个多重积分 ( 对于分立变量的系统, 是一个对各种位形的求和 ), 如果所考虑的系统有 N 个原子, 就需要计算 3N 重的积分, N 通常是一个较大的数, 例如, 为了得到可靠的结果, N 一般取左右. 为了计算这样高重的积分, 除非可以解析求解, 否则 Monte Carlo 方法就是唯一的选择.

144 144 第六章逾渗和统计物理问题从第 5.3 可知, 对于 (6.3) 式的积分, 可以在积分区域内取一系列均匀分布的随机点 x 1, x 2, x 3,, x n, 则积分就成为 B = n i=1 b(x i) exp( βh(x i )) n i=1 exp( βh(x i)) (6.8) 稍一分析, 我们就可发现这种作法是很难行得通的. 由于指数因子的存在, 整个被积函数在积分区域内剧烈变化, 因而其方差是非常大的, 这将导致误差变大. 实际情况比这还要糟糕, 因为被积函数相差太大, 对于有限位数的计算机来说, 式 (6.8) 的求和根本无法进行. 根据 5.3 的讨论, 为了减小方差, 可以不在积分区域内均匀取点, 而是按照某种分布 P (x) 取点, 此时式 (6.8) 成为 B = n i=1 b(x i) exp( βh(x i ))/P (x i ) n i=1 exp( βh(x i))/p (x i ) (6.9) 如果取 P (x i ) = exp( βh(x)) Z 为正则分布, 方差可大为减小, 且式 (6.9) 简化成为 (6.10) B = 1 n n b(x i ) (6.11) i=1 过程. 现在的问题在于, 如何实现按正则分布的抽样? 为此, 我们先简单介绍一下 Markov 对于一个我们所要研究的统计物理系统, 它可以处于各种微观状态. 例如对于 Ising 模型, 给定了每个自旋的取值就对应于一种微观状态, 如果系统由 N 个自旋构成, 则总的微观状态数就有 2 N 个 ; 又如对于一个由 N 个粒子组成的系统, 给定了每个粒子的位置和动量就决定了一个状态, 这可用由 3N 维空间和 3N 维动量空间构成的 6N 维相空间的一个点来表示. 从经典角度来讲, 系统可有无穷多个微观状态, 但量子力学的不确定关系限制了相空间一个点最小为 h 3N, h 为 Plank 常数. 因而系统总的微观状态数约为 ( 4π 3 p3 V ) N 1 h 3N N! 式中 p 为单个粒子动量大小的平均值, V 为体积, 分母上的 N! 因子是由于考虑了粒子的全同性. 我们注意到, 当 N 较大时, 系统的微观状态数是非常大的, 因而对所有状态的求和也是无法办到的. 现在我们构造一个过程, 从系统的某一微观状态出发, 并在过程的每一步转移到一个新的状态. 为了确定起见, 下面用 x i 代表系统的微观状态, 如果从 x 0 出发, 则这一过程产生一系列状态 x 1, x 2,, x i,, 这一系列状态构成一个链. 所谓 Markov 过程, 是指这样一种过程, 在过程的每一步所达到的状态只与前一状态有关, 从一状态 r 到另一状态 s 的转移通过一转移概率 w(x r x s ) 来实现. 由 Markov 过程产生的一系列状态所构成的链称为 Markov 链.

145 6.4 统计物理的 MONTE CARLO 模拟, METROPLIS 方法 145 为了实现按照正则分布抽样, 我们可以构造这样一个 Markov 链, 使得无论从何状态出发, 存在一个大数 M, 在丢掉链的前面 M 个状态后, 链上其余的状态满足正则分布. 现在我们来证明, 只要取 w(x r x s ) 满足如下条件, 就可达到我们的要求. P (x r )w(x r x s ) = P (x s )w(x s x r ) (6.12) 式中 P (x) 为正则分布 (6.10). 这一式子又称为细致平衡条件. 为了证明上式, 我们考虑很多个平行的 Markov 链, 在一个给定的某一步, 有 N r 个链处于第 r 个态, N s 个链处于第 s 个态. 于是在下一步从 r 态到 s 态的数目为 N r s = N r w(x r x s ) 从 s 态到 r 态的数目为 N s r = N s w(x s x r ) 从 r 态到 s 态的净转移的数目为 N r s = N r w(x s x r ) 若 w(x r x s ) 满足式 (6.12), 则上式成为 N r s = N r w(x s x r ) [ w(xr x s ) w(x s x r ) N ] s N r [ P (xs ) P (x r ) N ] s N r (6.13) (6.14) 这是一个十分重要的结果, 上式表明, 如果二个状态之间不满足正则分布, 则这一 Markov 过程的演化结果将总是使其趋于满足. 这样, 就证明了我们的论断. 有了上面的定理, 就可以实现正则分布的抽样了, 我们只要选择一个满足细致平衡条件的转移概率, 产生一个 Markov 链, 丢掉链的前而面 M 个状态, 并用其余状态进行计算即可. 这一算法是五十年代初由 Metropolis 提出来的, 因此现在一般称为 Metropolis 算法. 考虑从 r 态到 s 态的转移, 若二状态的能量差为 δh H(x s ) H(x r ) 则当年 Metropolis 选择 w(x r x s ) w(x s x r ) = exp[ βδh] w(x r x s ) = { exp[ βδh] 如果 δh > 0 1 如果 δh 0 (6.15) 目前常用的另一种选择是 w(x r x s ) = 1 2 [ ( βδh 1 tanh 2 )] (6.16)

146 146 第六章逾渗和统计物理问题应当注意的是, w 的选择并不唯一, 只要满足 (6.12) 的要求即可, 但不同的 w 收敛速度往往差别很大, 如何选择合适的 w 以达到尽可能快的收敛速度和尽可能高的计算精度仍然是当前 Monte Carlo 算法研究的前沿课题之一. 6.5 Ising 模型的 Monte Carlo 模拟这一节以 Ising 模型为例, 介绍分立变量模型 Monte Carlo 模拟方法. 为了模拟 Ising 模型, 首先要确定一个晶格和晶格的尺寸. 例如, 我们可以取一个简单立方格子, 取三个方向的大小均为 L; 其次, 我们要指定一个初始位形, 一般来说, 如果在临界温度之下进行计算, 通常取所有自旋沿同一方向为初始位形, 而如果在临界温度之上进行计算, 通常取随机分布的自旋取向为初始位形, 也可取所有自旋沿同一方向为初始位形. 这是由于在临界温度之下的平衡位形是有序的, 若从一无序位形出发, 系统在演变中将形成若干个有序的区域, 相邻区域的边界上将出现畴壁. 当然, 如果计算的目的是为了研究畴壁, 则必须从一自旋取向为随机分布的初始位形出发 ; 第三件事是要确定适当的边界条件, 因为计算总是对有限大小的系统进行的, 选择合适的边界条件对于得到好的结果是十分重要的, 如果我们感兴趣的是系统的体性质, 则应尽量消除边界的影响, 此时一般取周期性边界条件, 即在每个方向上, 取 s L+1 s 1. 然而, 周期性边界条件对于写并行计算的程序不太方便, 而并行计算是当前计算机发展的一个重要方向, 因此, 另一种称为螺旋周期边界条件得到了较多的应用, 以二维正方格子为例, 这种边界条件是让每一行的最后一个自旋与其下一行的第一个自旋相同 ; 最后一个需要确定的问题是选取产生一系列状态的方式, 一般来说, Markov 链中的每一个状态与其前一个状态相差应较小, 因为如果两个状态相差过大, 其能量差亦较大, 从而转移概率太小, 计算很容易陷入相空间中初态附近一个很小的子空间内, 通常有两种作法, 一种是一次翻转一个自旋, 这是一种不保持总自旋守恒的计算, 另一种是每次交换一对相邻自旋, 这种计算将保持总自旋守恒. 有了这些讨论, 我们给出一个算法如下 : 重复如下步骤多次 : 1. 选择一个格点 i, 其自旋将考虑作翻转 s i s i. 2. 计算与此翻转相联系的能量变化 δh. 3. 用式 (6.15) 计算这一翻转的转移概率 w. 4. 产生一在 [0,1] 之间均匀分布的随机数 z. 5. 如果 z < w, 则翻转该自旋, 否则, 保持不变. 不论何种情况, 其结果都作为一新的状态.

147 6.6 经典统计物理复习分析该状态, 为计算平均值收集数据. 计算平均值, 输出结果. 在具体给出这一算法的实现之前, 我们先作一些讨论, 关于每一步要翻转的格点 i 的选择, 一般来说可有很多种不同的方法, 最常用的有两种, 一种是顺序取每一个格点, 另一种是随机的选取. 在随机选取时, 应使每个格点平均说来被访问的次数相同, 通常每个格点被访问一次称为一个 Monte Carlo 步 (Monte Carlo Step or MCS), 一次有价值的计算通常需要做几千或几万个 MCS. 有时, 为了得到高精度的结果, 甚至要作百万 MCS 以上的计算. 由于每一个状态与其前导状态最多相差一个自旋翻转, 因而其物理性质具有很强的关联. 这样, 上述过程的第 6 步不必对每次自旋都进行, 而是每间隔一个或数个 MCS( 视问题的关联时间的大小 ) 进行一次. 另外, 如在前面已经指出过的, 前面若干个 MCS 应舍弃. 计算能量差是最费时的工作, 对于 Ising 模型, 由于能量差只能取很少几个数值, 我们可以予先算好存起来以节省计算量. 这一技巧不仅适用于 Ising 模型, 也适用于其它分立变量的模型如 Potts 模型等. 下面我们以三维简单立方格子为例来给出算法的实现. 取一个 L L L 的简单立方格子, 每个格点放一个自旋, 可取值 ±1. 对于一个给定的自旋, 共有 6 个最近邻格点, 因此, 对其最近邻的求和只取 7 个可能的值, 也就是说 s i = { 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6} (6.17) <ij> 对应于 s i 的 6 个近邻格点中全与 s i 反向, 5 个反向,, 1 个反向, 全不反向. 将 (6.17) 中的数加 7, 可得到 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, 这样, 前面 7 个数就代表了一格点周围的近邻自旋相对于该格点取向的全部信息. 如果我们再规定数的正负号与自旋的向上和向下相对应, 则 {±1, ±3, ±5, ±7, ±9, ±11, ±13} 可代表无外场时一个格点的自旋及其与其近邻自旋相对取向的全部信息. 为了计及自旋与外场的相对关系, 我们利用前面数之间的空档, 例如, 可令上面的数代表与外场平行的情形, 则可取每一数的绝对值大一的数代表相同位形但自旋与外场反平行的情形. 对于所有 {±1, ±2, ± 14} 共 28 个数, 实际使用的只有一半, 因为若外场沿自旋向下, 则负奇数代表自旋向下, 正偶数代表自旋向上. 6.6 经典统计物理复习 Statistial mehanis is the studies of many partile systems under external onditions, the number of partiles is typially The basis of statistial mehanis is the ensemble theory, there are three very important ensembles, the miro-anonial, anonial and grand anonial,

148 148 第六章逾渗和统计物理问题 orrespond to fixed total energy, temperature and hemial potential respetively, for eah ensemble there exist a distribution funtion P (X) from it the average of physial quantities are alulated by X A (X) P (X) A = X P (X). Where X represents points in the phase spae and = X ( ) 3N 1 d 3 r 1 d 3 r 2 d 3 r N h V d 3 p 1 d 3 p 2 d 3 p N is the summation over the phase spae The miro anonial ensemble(nve) In this ensemble the distribution is given by P (X) = δ (H (X) E). The total number of states with energy E is Ω (N, V, E) = 1 δ (H (X) E). N! X The entropy is defined as S (N, V, E) = k B ln Ω (N, V, E). Thermodynami quantities are obtained by ( ) ( ) 1 S S T = µ = T E N,V N V,E P = T ( ) S. V N,E The anonial ensemble(nvt) In this ensemble the energy is allowed to vary but the system is in ontat with a heat bath at temperature T. The distribution funtion is The anonial partition funtion is P (X) = exp Z (N, V, T ) = 1 N! = E [ H (X) ]. k B T X [ exp H (X) ] k B T e βe Ω (N, V, E).

149 6.6 经典统计物理复习 149 Where β = 1/k B T, The free energy F (N, V, T ) = k B T ln Z (N, V, T ), and µ = ( ) F N V,T ( ) F P = V N,T ( ) F S =. T N,V The NPT ensemble(npt) Here the pressure is fixed while volume is allowed to vary P (V, X) = exp [ β (P V + H (X))]. The partition funtion Q (N, P, T ) = = dv 1 exp [ β (P V + H (X))] N! X dv exp [ βp V ] Z (N, V, T ). Gibbs free energy G (N, P, T ) = k B T ln Q (N, P, T ), with µ = ( ) G N p,t V = ( ) G P N,T ( ) F S =. T N,P The grand anonial ensemble( µvt) The partile number is not fixed while the hemial potential is fixed, P (N, X) = exp [ β (H (X) µn)], the grand partition funtion Z G (µ, V, T ) = N = N 1 N! exp [ β (H (X) µn)] X exp [βµn] Z (N, V, T ), the grand anonial potential Ω G (µ, V, T ) = k B T ln Z G (µ, V, T ), with N = ( ) ΩG µ V,T P = ( ) ΩG P V,T S = ( ) ΩG. T µ,v

150 150 第六章逾渗和统计物理问题 Thermodynamial relations There are relations between thermodynami potentials F = E T S, G = F + P V = Nµ, Ω G = F µn = P V. There are two kinds of physial quantities, one is the mehanial quantities, whih an be obtained by average with respet to distributions, the typial one is H (X) : E = H (X). The other is thermal quantities whih an only be obtained through the derivatives of the thermodynami potentials, the typial one is hemial potential µ and free energy itself. This kind of quantities are diffiult to alulate in simulations and often obtained through integration of mehani quantities Correlation funtions F (T, V 1 ) = F (T, V 0 ) F (T 1, V ) = F (T 0, V ) T 1 T 0 V1 V 0 P (T, V ) dv ; T1 E (T, V ) T 0 T 2 A very important quantity in statistial mehanis is the pair orrelation funtion g (r, r ), defined as where g (r, r ) = V 2 Z R = It may also be written as Z R V V g (r, r ) = dt. d 3 r 3 d 3 r 4 d 3 r N exp [ βv N (r, r, r 3,, r N )], d 3 r 1 d 3 r 2 d 3 r N exp [ βv N (r 1, r 2, r 3,, r N )]. V 2 δ (r r i ) δ (r r j ). N (N 1) i,j;i j For a homogeneous system the pair orrelation funtion depends only on the distane between r and r. In this ase we denote it as g (r). The g (r, r ) is proportional to the probability that given a partile at point r and find another partile at point r. At large distanes g (r) tends to 1, we may define the total orrelation funtion h (r) = g (r) 1.

151 6.6 经典统计物理复习 151 The Fourier transform of the above funtion gives the stati struture funtion S (k) = 1 + n g (r) e ik r d 3 r. The struture funtion is defined as the orrelation funtion of Fourier omponent of density flutuations S (k) = 1 N n k n k = 1 e ik (r i r j ) + 1 N ij;i j = d 3 rd 3 r e ik (r r ) 1 δ (r r i ) δ (r r j ) + 1 N ij;i j = N 1 d 3 rd 3 r e ik (r r ) g(r r ) + 1 V 2 = 1 + n d 3 rg(r)e ik r = 1 + n d 3 rh(r)e ik r + nδ (k). The struture funtion an be measured diretly by sattering experiments and an also be alulated by simulations. Many physial quantities an be expressed in terms of the pair orrelation funtions, for example the energy in NVT ensemble is E = 3 2 Nk BT + N 2 n d 3 r V (r) g (r). The pressure is βp n = 1 β N ^r i i V N 3N i=1 = 1 β 6 n d 3 r ^r V (r) g (r). The ompressibility ( ) n k B T = 1 + n d 3 r (g (r) 1). p T This expression an be derived from the flutuations of partile numbers N 2 N 2 = k B T ( N µ ) T,V = k B T N 2 V 2 Sine n = N, dv = V 2 dn, so V N ( ) N 2 n N 2 = N k B T. P T ( V P ). T, N

152 152 第六章逾渗和统计物理问题 On the other hand, it an be proved that ( N 2 N 2 = N 1 + n ) d 3 r (g (r) 1). We have the final results Time orrelation funtion and transport oeffiients The time orrelation funtion: Consider the orrelations of two physial quantities at different times, C AB (t, t ) = A(t)B(t ). For systems at equilibrium the time orrelation funtion is a funtion of the time differene only and an be written as C AB (t) = A(t)B(0). One example of time orrelation funtion is the veloity auto orrelation funtion of the ith partile C vv (t) = v i (t) v i (0). Transport oeffiients are defined in terms of the response of a system to a perturbation. For example, the diffusion oeffiient relates the partile flux to a onentration gradient, while the shear visosity is a measure of the shear stress indued by an applied veloity gradient. By introduing suh perturbations into the Hamiltonian, or diretly into the equations of motion, their effet on the distribution funtion P may be alulated. Generally, a time-dependent, non-equilibrium distribution P eq + δp (t) is produed. Hene, any non-equilibrium ensemble average may be alulated. By retaining the linear terms in the perturbation and omparing the equation for the response with a marosopi transport equation, we may identify the transport oeffiients. This is usually the infinite time integral of an equilibrium time orrelation funtion of the form γ = 0 dt A (t) A (0) where γ is the transport oeffiient, and A is a physial variable appearing in the perturbation Hamiltonian. There is also an Einstein relation assoiated with this kind of expression (A (t) A (0)) 2 = 2γt whih holds for large t, (t τ, where τ is the orrelation time of A). The diffusion oeffiient D is given by

153 6.7 液体模型的 MONTE CARLO 模拟 153 and the Einstein relation is D = dt v i (t) v i (0) 1 (ri (t) r i (0)) 2 = 2Dt. 3 Where r i (t) and v i (t) are the position and veloity of the ith partile. The shear visosity η is given by η = V k B T 0 dt P αβ (t) P αβ (0) or Here V k B T Q αβ (t) Q αβ (0) = 2ηt. P αβ = 1 ( ) piα p iβ + r iα f iβ V Q αβ = 1 V i m i r iα p iβ. i The negative of P αβ is often alled stress tensor. 6.7 液体模型的 Monte Carlo 模拟相对于气体和固体, 液体是最复杂的一相描写液体的最简单的模型是硬球模型, 这个模型把每个分子看成直径为 σ 的硬球, 并假定除此之外没有其它相互作用即便是这样一个简单的模型, 也没有找到它的精确解尽管如此, 通过数十年来大量的研究, 我们对这个模型已经有了非常多的了解硬球系统的相互作用势只有 0 或两个可能值, 因此, 模拟计算非常简单另一个稍微实际一点的模型是 Lennard-Jones 模型, 这个模型假定分子是球形的, 其二体相互作用为 : [ (σ ) 12 ( σ ) ] 6 V LJ (r) = ε r r 这一模型由两部分构成, 一部分是吸引相互作用, 与距离的 6 次方成反比, 来自于中性原子的涨落偶极矩的相互作用, 是一个纯量子力学效应, 可以通过二阶微扰得到 ; 另一部分是与距离的 12 次方成反比的排斥相互作用, 这一部分主要来自于泡利不相容原理, 但并没有很好的量子力学计算, 基本上是唯像引入这一节主要介绍这两个模型的模拟

154 154 第六章逾渗和统计物理问题 Monte Carlo Simulation of The Lenard -Jones Model Lets onsider the Lenard -Jones model of fluids, we have already met this model before. In this model one onsider a olletion of strutureless partiles interating through the pairwise potentials, Its interation energy is V = [ ( ) 12 ( ) ] 6 σ σ 4ε. (6.18) i,j r ij where r ij = r i r j, σ and ε are two parameters, the summation is over all the pairs of partiles. The onfiguration of the system is speified by the set of all the partile positions. The Monte Carlo simulation by Metropolis algorithm is given by the following steps 1. Initialize the partiles on a FCC lattie. 2. Choose a partile k at random and propose to move: r k = r k + δr k, where δx k = (rand () 0.5) δy k = (rand () 0.5) δz k = (rand () 0.5). (6.19) Here is a pre-speified value and adjusted so that the aeptane ratio(see bellow) will be roughly 0.5(not always true), rand () is any good random number generator generates uniformly distributed random number between 0 and Calulate the energy inrement E = V ({r }) V ({r}). (6.20) r ij 4. Aept the proposed move as the new state if a uniformly distributed random number (between 0 and 1) is less than exp ( β E) ; retain the old onfiguration as the new onfiguration otherwise. 5. Go to 2. In the Monte Carlo simulations using the Metropolis algorithm, the next onfiguration depends on the previous one. Due to this orrelation between Monte Carlo steps, the formula for the statistial error ε = σ N underestimates the true error, and it should be replaed by 1 + 2τ ε = σ N. (6.21)

155 6.7 液体模型的 MONTE CARLO 模拟 155 The quantity τ is alled orrelation time, whih is roughly the number of Monte Carlo steps needed to generate independent onfigurations. We an ompute the orrelation time τ as follows: define the time-dependent orrelation funtion f (t) = A (t ) A (t + t) A 2 A 2 A 2, (6.22) where time t is measured in terms of Monte Carlo steps. A (t ) is the quantity at steps t whose error we want to estimate. The angular brakets denote average over Monte Carlo steps. The orrelation time is defined by τ = f(t). (6.23) t=1 Just as many physial quantities beome singular at the ritial point, the orrelation time is also beomes singular at the ritial point. On an infinite lattie it diverges with a power law τ T T νz. (6.24) Here ν is the orrelation length exponent and z is alled dynami ritial exponent. This phenomena that the orrelation time beomes very large is alled ritial slowing down. It not only happens in omputer simulations but also happens in real systems. On a finite system of linear size L, the orrelation time will not go to infinity, but it will grow with size as Substituting this result into the error formula, we find that τ L z, at T = T. (6.25) ε σlz/2 N (6.26) for large system near T. For the two dimensional Ising model with Metropolis algorithm, z = 2.1, we see typially that inreasing the size leads to a large error in the quantity to be alulated. The Metropolis algorithm makes hanges loally one site at a time, This is the ause of the ritial slowing down. The Swendsen-Wang algorithm and its extensions solved this problem by the luster methods. In 1987, Swendsen and Wang proposed a multi-luster algorithm to solve the problem of the ritial slowing down, their algorithm redued the dynamial exponent z from 2.1 to around 0 for 2D Ising model. The algorithm goes: 1. Start from some arbitrary state {s}. 2. Go through eah nearest neighbor onnetion of the lattie, reate a bond between the two neighboring sites i and j with probability p = 1 exp ( 2βJ) when the two spins are the same. Never put a bond between the sites if the spin values are different.

156 156 第六章逾渗和统计物理问题 3. Identify lusters as a set of sites onneted by bonds, or isolated sites. Two sites are said to be in the same luster if there is a onneted path of bonds joining them. Every site has to belong to one of the lusters. After the lusters are found, eah luster is assigned a new Ising spin hosen with equal probability between +1 and 1. The old spin values now an be forgotten. 4. One MCS finished. Go to step 2 for the next step. The performane of the algorithm in terms orrelation time in omparison with Metropolis algorithm is remarkable. For two dimensional Ising model the dynami exponent is less than 0.3, or possibly 0 (but τ ln L ). In three dimensional it is about 0.5, At and above four dimensions it is 1. In 1989 Wollf proposed a algorithm based on the Swendsen-Wang algorithm, in stead of generate many lusters eah time, Wollf proposed that one piks a site at random, and then generate one single luster by growing a luster from the seed. The neighbors of the seed will belong to the luster if the spins are parallel to the seed and a random number is less than p = 1 exp ( 2βJ). Neighbors of eah new site are tested for membership. The reursive proess will eventually terminate. The spins in the luster are turned over with probability 1. Wollf algorithm is more effiient than the multi-luster Swendsen-Wang algorithm and easier to implement. There are many ways to extend the luster method both to Ising like models and ontinuous models, it seems for Ising like models Wollf algorithm is still the best hoie 自由能计算 The alulation of free energy, entropy or hemial potential is muh more diffiult than the alulation of the averages of mehanial quantities in Monte Carlo methods. We give here a very brief disussion of the alulation of free energy by Monte Carlo simulations. The most ommon way is the thermodynamial integration method, whih was disussed in the ontext of moleular dynamis simulations. We give here the Bennett method. In this method one alulates the differene of two systems desribed by potentials U 0 and U 1 respetively. The free energy is β F = βf 1 βf 0 = ln Z 1 Z 0. (6.27)

157 6.7 液体模型的 MONTE CARLO 模拟 157 Where Z 1 = Z 0 = exp ( βu 1 (x)) dx, exp ( βu 0 (x)) dx. (6.28) are partition funtions for potential U 1 and U 0. The ratio may be transformed as Z 1 = Z 1 W (x) exp { β [U0 (x) + U 1 (x)]} dx Z 0 Z 0 W (x) exp { β [U0 (x) + U 1 (x)]} dx = W exp [ βu 1] 0 W exp [ βu 0 ] 1. (6.29) Where the subsript 0 and 1 means average with respet to anonial distributions of potential U 0 and U 1. The W is an arbitrary funtion. Now we hoose ( Z1 W = onst. exp [ βu 0 ] + Z ) 0 exp [ βu 1 ], (6.30) n 1 n 0 where n 0 and n 1 are two arbitrary onstant, we have ( ) 1 Z 1 = Z 1 + Z 1n 0 Z 1n 0 n 1 exp [β (U 1 U 0 )] 0 Z 0 Z 0 n ( ) Z 0n 1 Z 1 n 0 exp [β (U 0 U 1 )] If we set then we get 0 1. (6.31) Z 1 n 0 Z 0 n 1 = e C (6.32) Z 1 Z 0 = e C f (βu 1 βu 0 + C) 0 f (βu 0 βu 1 C) 1. (6.33) where f (x) = (1 + e x ) 1 is the Fermi funtion(there is nothing to do with Fermi distribution!). So that the free energy differene is 王 -Landau 方法及其它 F = ln Z 1 Z 0 = ln f (βu 1 βu 0 + C) 0 f (βu 0 βu 1 C) 1 C. (6.34) 与自由能计算相关的的是态密度的计算, 在统计物理中, 态密度定义为单位能量间隔内的微观状态数, 通常记为 Ω(E). 如果已知一个系统的态密度, 那么, 配分函数可以写成 Q(β) = 对 Q 求对数并乘以 kt 就得到了自由能 Ω(E)e βe de

158 158 第六章逾渗和统计物理问题 1987 年,Ferrenberg 和 Swendsen (Physial Review Letters, 61,2635,1988) 提出了一个直方图算法, 实际上用到了态密度利用这一方法, 可以通过很少几个点的模拟而得到整个温区的结果其基本思路非常简单 : 注意到给定温度下系统按照能量的分布是 P (β, E) = Ω(E)e βe Q(β) 对于一个确定的温度, 由 Metropolis 算法, 可以得到这个分布的直方图直方图 H(β, E) 与 P (β, E) 成正比, 或 H(β, E) Ω(E)e βe 于是 Ω(E) H(β, E)e βe 对于另一个温度 β, 其分布可由上述 Ω(E) 得到 P (β, E) = Ω(E)e β E Q(β ) = H(β, E)e (β β )E de H(β, E)e (β β )E 这样, 在一个温度下的模拟结果, 原则上可以用来计算所有温度的平均值而上式的分母, 则可以用来估算配分函数从而估算自由能 ( 相差一个任意常数 ) 这一方法取得了巨大成功, 大致可以把 Monte Carlo 的计算时间减少一个量级, 同时也提供了计算自由能的思路和方法另一个直接针对态密度的计算的方法是由 Berg 在 1992 年提出来的多正则系综方法这是一个迭代算法, 基于如下观察设系统的态密度为 Ω(E), 现在, 如果我们已经知道了态密度, 并利用 1 Ω(E) 取样做模拟计算, 那么我们将得到一个平的分布, 也就是说模拟结果对能量做直方图 H(E), 将得到一个常数 Berg 算法的思路是, 先假设一个态密度 Ω(E), 然后由此态密度的导数取样, 得到直方图 H(E), 然后, 把态密度变为 Ω(E)/H(E), 开始一轮新的迭代, 知道直方图变平 ( 在给定的精度下 ), 最后得到的 Ω(E) 就是所求的态密度这一方法思路很清楚, 但实现起来非常困难首先, 方法本身的稳定性不好, 对于一个比较任意的初始态密度, 很难得到收敛的结果其次, 需要认真处理能量的上界和下界处的问题, 在这些地方, 态密度很小, 容易出问题 2005 年由王福高和 Landau 提出的算法, 克服了 Berg 算法的缺点, 这一算法的基本思路与 Berg 的思路相同, 但采取了一个不满足细致平衡条件的做法在模拟的每一步都修正态密度其基本步骤是 :1, 给定一个初始态密度 Ω(E), 从一个初始位形 ( 对应于一个确定能量 ) 出发 ;2, 按照 1 Ω (E) 取样, 前进一步, 到达新的位形和对应能量 ;3, 立刻把这个新的能量对应的态密度乘以一个放大因子, 继续计算在计算中同时统计直方图, 当直方图基本变平时, 缩小放大因子, 并把所得态密度作为新的初始态密度, 开

159 6.8 分子动力学方法 159 始计算当放大因子缩的足够小, 且直方图在精度要求下变平时, 得到最终的态密度计算结果这个方法的稳定性非常好, 几乎对于所有模型, 任何初始态密度都能得到收敛的结果这个算法的发现, 被看成是 Monte Carlo 历史上具有里程碑意义的事件但是, 这个算法也有比较严重的问题, 虽然能够保证收敛且计算非常稳定, 但收敛的精度似乎有一个极限, 到达此极限后, 似乎无法通过加大计算量来提高精度另外, 一个显而易见的问题是, 即便以精确态密度作为初始态密度, 一旦开始计算, 也开始引进误差, 最终得到的是有一定误差的态密度 6.8 分子动力学方法 General proedure of MD (NVE ensemble) Now I desribe the general proedure of the MD in the ontext of the NVE ensemble. A moleular dynamis simulation inludes the following basi steps: 1. Initialize; 2. Start simulation and let the system reah equilibrium; 3. Continue simulation and store results. Now we disuss these steps in detail. Initialize: The number of partiles and interations between partiles are speified; The simulation box is setup, the total energy of the system is speified, usually temperature is more important than energy so it an be an input parameter, we will see how an we tune the system to a desired temperature. We assign to eah partile its position and momentum. In many ases we assign partiles in a FCC lattie, whih is a losed paking struture and usually the ground state of many systems. If we use ubi unit ell and ube box then the number of partiles per unit ell is 4, and the total number of partiles are 4M 3, M = 1, 2, 3,. That is we may simulation systems with total number of partiles N = 108, 256, 500, 864,. The veloities of partiles are draw from a Maxwell distribution with the speified temperature. This is aomplished by drawing the three omponents of the veloity from the Gaussian distribution, for example, the distribution of the x-omponent is [ ] exp mv2 x. 2k B T

160 160 第六章逾渗和统计物理问题 Draw numbers from a Gaussian distribution may be done in this way, onsider the distribution [ ] [ ] [ P (v x, v y ) exp mv2 x exp mv2 y = exp m ( )] vx 2 + vy 2. 2k B T 2k B T 2k B T Then P (v x, v y )dv x dv y = P (v)vdvdϕ, where v 2 = v 2 x + v 2 y and ] P (v) exp [ mv2. 2k B T So the distribution of v x and v y may be obtained from v and ϕ, whih has distribution v exp and uniform in the interval [0, 2π]. Sine ] v exp [ mv2 dv = 2k BT 2k B T m ] [ exp mv2 + C. 2k B T [ ] mv2 2k B T If we draw random numbers x uniformly distributed in the interval [0, 1], then v = 2k BT ln (x) m [ ] will has distribution v exp mv2 2k B, now if we draw random numbers ϕ uniformly distributed T in the interval [0, 2π]. We an get two random numbers v x = v os ϕ, v y = v sin ϕ satisfy the Gaussian distribution. Another method of draw random numbers in the Gaussian distribution is through the following empirial methods. Consider the distribution ] exp [ x2. 2 Aording to the enter limit theorem, if we draw uniform random numbers r i in interval [0, 1], and define a variable ξ = 1 n n i=1 r i 1 2, 1 12n when n the distribution of ξ is the Gaussian distribution exp [ ] of ξ = ξσ is exp ξ 2. If we take n = 12, we get 2σ 2 12 ξ = r i 6. i=1 [ ] ξ2. And the distribution 2 That is we may generate eah random number distributed aording to Gaussian from 12 random numbers in an uniform distribution.

161 6.8 分子动力学方法 161 Homework: 1, Write programs for the two methods to generate Guassian random numbers. 2, Compare the two methods for effiieny and quality. After the generation of the veloity of eah partile, we may shift the veloity so that the total momentum is zero Start simulation and let the system reah equilibrium: The system we prepared in the way desribed above are not in the equilibrium state, we now use an algorithm to integrate it. There are many methods used in moleular dynamis simulations, we use a very simple one to desribe the onepts here and desribe the algorithms in the leture follows. The standard Verlet algorithm is the first suessful method in history and still wide used today in different forms. It is r (t + h) = 2r (t) r (t h) + h 2 F (r (t)) /m. Where r (t) is the position of partile at time t = nh. To start the integration we need r (h), given by r (h) = r (0) + hv (0) + h 2 F (r (0)) /m. During the integration, the veloity an be alulated by v (t) = r (t + h) r (t h). 2h Variations of this method are v (t + h/2) = v (t h/2) + hf (r (t)) r (t + h) = r (t) + hv (t + h/2). And r (t + h) = r (t) + hv (t) + h 2 F (r (t)) v (t + h) = F (r (t + h)) + F (r (t)) v (t) + h. 2 Both of these variations are mathematially equivalent to the original one but more stable under finite preision arithmeti. The PBC are usually treated in two ways, one is the minimum image method, that is, in eah diretion, we only sum the fore due to partiles whih is not farther than L/2 in that diretion. The other is the ut off method, one simply ut the interation at a distane r utoff and

162 162 第六章逾渗和统计物理问题 neglet interations beyond this distane. In this method the disontinuity at r utoff may ause inauraies in the integration, this may be solved by shift the potential in the way as V sh (r) = V (r) V (r utoff ). For long range interations like eletrostati interations, speial method should be used, we will disuss it latter. The temperature of the system is given by the equal partition theorem, that is the average of kineti energy of eah degree of freedom is half k B T, that is 3 2 k BT D = 1 N 1 N i=1 1 2 mv2 i. The N 1 is due to the onservation of the total momentum redue the degree of freedom by 3. To reah the desired temperature we may sale the veloity at every few steps of integration and the saling fator λ is hosen as λ = v i (t) λv i (t), (N 1) 3k B T N. i=1 mv2 i Continue simulation and store results: After the system reahes equilibrium the integration ontinue in the same way as above without saling of veloity. The data are stored or aumulated for the alulating physial properties. The stati properties of physial quantity A is given by a time average Ā = 1 n A ν, n n 0 ν>n 0 here A ν is the value of A at νth time step. Usually the data stored in eah step inlude: 1, the kineti energy N 1 i=1 2 mv2 i ; 2, the potential energy U = i,j V (r ij) ; 3, the virial i,j r ij V (r ij) r ij. We also needs data to alulate the pair orrelation funtion, this is done by divide the interval [0, r max ] into sub intervals [i r, (i + 1) r], at eah stage of updating, add the number of pairs with separation in the interval to an array n (i) and find the average value after simulation, the pair orrelation funtion is given by Tail orretions: g (r) = V n (r) N (N 1) /2 4πr 2 r.

163 6.8 分子动力学方法 163 U = U utoff + 4π N r 2 drv (r) g (r) V r utoff P k B T = 1 1 V r ij N 3Nk B T r ij 6k B T V i,j utoff r utoff r 3 dr V r g (r). The pair orrelation funtion in the above expression may be taken to be the asymptoti value g (r) = Simulation of Lennard-Jones liquids Consider the system of partiles interat by the potential [ (σ ) 12 ( σ ) ] 6 V (r) = 4ε r r whih are good approximation for inert gases. Some values of ε and σ are Ar Kr Xe CH 4 N 2 CO 2 C 2 H 4 τ = ε/k B (K) σ (A) We may use ε/k B as the unit of temperature, energy in unit of ε, length in unit of σ, and mσ 2 ε be set to 2.5σ. Homework: as the unit of time. A good time step is about h = The ut off distane may 1, Write a MD program use the ut off potential to simulate LJ system. 2, Calulate the pressure and energy of Ar at 3-5 different densities from, say 0.9 to 1.2 under temperature 1. (note: the averaged temperature may be slightly different to the desired value) Simulation of Hard-sphere systems The simulation of hard sphere systems historially was the first Moleular simulation on digital omputers(alder and Wainwright, J. Chem. Phys, 27, 1208(1957); 31,459(1959)). It onsists of the following steps: 1, Loate the next ollision; 2, Move all partiles forward until ollision ours; 3, Implementing the ollision dynamis of the ollision pair(usually elasti); 4, Calulate quantities interest.

164 164 第六章逾渗和统计物理问题 We desribe the steps, onsider two spheres, i and j, of diameter σ, whose positions at time t are r i and r j, and veloities are v i and v j, respetively. If these partiles are to ollide at time t + t ij then the following equation will be satisfied r (t + t ij ) = r ij (t) + v ij t ij = σ where r ij = r i r j, v ij = v i v j. If we define b ij = r ij v ij, then this equation beomes vijt 2 2 ij + 2b ij t ij + rij 2 σ 2 = 0. ( There will be no real positive solution of this equation if b ij > 0, or b 2 ij vij 2 r 2 ij σ 2) < 0. Otherwise we have t ij = b ij ( ( b 2 ij vij 2 r 2 ij σ 2)) 1/2. v 2 ij This is the time that partile i and j will ollide. For eah pair we may get a time t ij, or never ollide, the ollide time is then t + min (t ij ). The ollision dynamis of smooth hard spheres is the onservation of kineti energy and linear momentum, whih for two spheres i and j having the same mass we obtain Where δv i is given by v new i = v old i + δv i v new j = v old j δv i. δv i = b ij σ 2 r ij. b ij is evaluated at the moment of ollide. Homework Write (or find) a program for the hard-sphere MD simulations and alulate the pair orrelation funtion of the system. 6.9 Simulation of Langevin dynamis The motion of Brownian partiles are desribed by the Langevin equation m dv dt = γv (t) + F (t) + R (t), the differene between Langevin dynamis and the ordinary partile dynamis is the random fore R (t). This fore is a result of random ollisions by moleules of solvent to Brownian partiles, it satisfy the following orrelation assumption R i (t) R j (0) = qδ (t).

165 6.9 SIMULATION OF LANGEVIN DYNAMICS 165 Here q = 2k B T γ from Einstein relation. To simulate this dynamis, we need a way to treat the random fore, usually the method of verlet method may be used in the integration of the equation, i.e. v (t + h/2) = v (t h/2) + hf (r (t)) + v r (t + h) = r (t) + hv (t + h/2). Where v is the ontribution from random fore and an be alulated in the following way, the orrelation of R(t) indiates that the distribution of random fore R is Guassian(in the following we onsider only one omponent), P (R(t)) exp ) ( R2. 2 R 2 If we solve for the Langevin equation without external fore we obtain ( v (t) = v (0) exp γt ) + 1 t ( ) (t τ) γ exp R (τ) dτ. m m m When t m/γ the first term is zero, sine m/γ is typially s (for example, onsider a Brownian partile of diameter 1µ suspended in water, m 4π/3 (d/2) 3 ρ , γ = 6πη (d/2) 6π , m/γ s), so if we use a time step muh larger than this value, the above ondition is satisfied. The mean square of veloity is v (t) 2 ( = v (0) 2 exp 2γt ) + q ( ( 1 exp 2γt )), m 2γm m whih for large t tends to v ( ) 2 = q 2γm k BT m. The last equality omes from definition of temperature. This gives 0 q = 2k B T γ. Sine the veloity v is linear in the random fore R, so the distribution of v is also a Gaussian ) P (v) exp ( mv2. 2k B T We may just sample v aording to the above distribution. If the time step is small enough so that the term exp ( ) 2γt m is not 0 in a pratial alulation, we may simply replae the k B T in the distribution to k B T ( 1 exp ( )) 2γt m to obtain ( ) mv 2 P (v) exp 2k B T ( 1 exp ( 2γt m However,this replaement is a little bit inonsistent with the above treatment sine we ignored the ontribution of the initial veloity v(0) part. A onsistent way of the simulation is to use a time step muh larger than the m/γ. )).

166 166 第六章逾渗和统计物理问题 6.10 Long range fore and Ewald summation In the ase of Coulomb interations the interation potential in the PBC is given by U = R ij q i q j r i r j + R ; with i q i = 0. Cut off the above potential will result large errors, one way to avoid the diffiulty of the long range interation is through the use of the urved spae, that is, we may onsider our finite system is the surfae of a four dimension hypersphere, this method involves the use of non- Eulidean geometry in alulating distanes. The traditional method is to use the so alled Ewald summation and its variants. The derivation of the method for Coulomb interation and higher order multipole interations is given separately, we quote here only the results ( ) U P BC = 2π 2 exp K2 4α q i exp (ik r i ) V K 2 K 0 i + erf ( αr ij ) ( α ) 1/2 q i q j qi 2. r ij π ij i

167 第七章原子结构的计算 7.1 原子结构问题原子由原子核和在原子核周围运动的电子构成, 在原子核静止的坐标系中原子的 Hamiltonian 为 H = Z i=1 ħ 2 2 i 2µ Ze2 Z i=1 1 + e2 r i 2 i,j;i j 1 r i r j (7.1) 式中 µ 为电子质量, e 为基本电荷, ħ 为 Plank 常数除以 2π. 原子的 Shödinger 方程为 Hψ = Eψ 式中 ψ 是 Z 个电子的多体波函数. 由量子力学我们知道, 一旦求得了系统的波函数, 则任何力学量都可求出. 在数值计算中, 通常需要将表示物理问题的方程无量纲化, 在原子, 分子以及固体的电子结构的计算中, 通常采用原子单位. 下面就介绍一下原子单位. 对于原子系统来说, 长度用 Bohr 半径为单位来量度时, 所出现的数字一般为 1 的数量级, 因此, 我们自然选择 Bohr 半径作为长度的单位, 基于同样的理由, 我们选择氢原子的电离能作为能量的单位, 通常称为 Rydberg, 也有选 Rydberg 的两倍作为能量单位的, 称为 Hartree, 而质量的单位就选为电子的质量. 由于在定态问题中不出现时间, 所以选质量, 长度和能量作为三个基本单位. 这些单位与基本物理常数的关系及其数值为 : Bohr 半径 :a 0 = ħ2 µe 2 = Rydberg:Rydberg = µe4 2ħ 2 = eV Hartree:Hartree = 2Rydberg = 27.21eV (7.2) 电子质量 :µ = g

168 168 第七章原子结构的计算对式 (7.1) 表示的 Hamiltonian 作代换 r = (ħ 2 /µe 2 ) r, 得提出因子 Hamiltonian 为 : H = Z i=1 + e2 2 ħ 2 2 i 2µ i,j;i j 1 Ze 2 ħ 2 µe 2 Z i=1 1 r i µe 2 ħ 2 1 r i r j µe 2 ħ 2 (7.3) µe 4 2ħ 2 并令其为 1 ( 单位能量 ), 略去 r 上面的, 得到以原子单位表示的 H = Z 2 i 2Z i=1 Z i=1 在原子单位下, 定态 Shrödinger 方程取如下形式 : ( Z Z 2 1 i 2Z + r i i=1 i=1 1 + r i i,j;i j i,j;i j 1 r i r j (7.4) ) 1 Ψ = EΨ (7.5) r i r j 原子结构计算的任务就是求解上述 Shrödinger 方程, 求得本征值和本征函数, 由此便可计算电荷密度, 电离能, 各种跃迁距阵元等物理上感兴趣的量. 7.2 变分法直接求解上节导出的原子物理问题几乎是不可能的, 而且, 能够用 Shrödinger 方程来严格求解的问题也是不多的. 大多数问题要依靠近似方法来解决. 变分法就是一种有效的近似方法. 1 定态 Shödinger 方程可以从变分原理导出. 考虑泛函 I[f] = f Ĥfdq f fdq (7.6) 其中 Ĥ 是所研究的系统的 Hamiltonian, dq 表示对系统的全体独立坐标积分 ( 或求和, 假如有这样的情况的话 ). 我们要证 : 当函数 f 满足 Shödinger 方程时, I 有极值. 证明如下 : 设 f = ψ 时, I 有极值 E E = ψ Ĥψdq ψ ψdq (7.7) 则对于任何与 ψ 相差微小变分的函数 f = ψ + δψ, 应有 δi = I[ψ + δψ] I[ψ] = 0 (7.8) 1 本节几乎全部取之于蔡建华先生所著! 量子力学一书第 26 节

169 7.2 变分法 169 略去二阶小项, 并注意 Ĥ 是厄密的而且 E 是实数, 由 (7.6) 和 (7.7) 式有 δi = = = (ψ + δψ ) Ĥ (ψ + δψ) dq ψ Ĥψdq (ψ + δψ ) (ψ + δψ) dq ψ ψdq ψ Ĥψdq + δψ Ĥψdq + ψ Ĥδψdq ψ ψdq + δψ ψdq + ψ δψdq ψ Ĥψdq + δψ Ĥψdq + ψ Ĥδψdq ψ ψdq [ 1 ψ Ĥψdq ψ ψdq δψ ψdq + ] ψ δψdq ψ ψdq ψ Ĥψdq ψ ψdq = = δψ Ĥψdq + ψ Ĥδψdq ψ ψdq ψ Ĥψdq ψ ψdq δψ (Ĥ E ) ψdq + ψ (Ĥ E ) δψdq ψ ψdq δψ ψdq + ψ δψdq ψ ψdq 由于 δψ 是任意变分, 并且 ψ 是复数, δψ 和 δψ 互相独立, 因此 (7.8) 要求 Ĥψ = Eψ 根据上述变分原理, 就有了一个决定能量本征值和定态波函数的近似方法. 假如用某个试探函数 f 代入 (7.6) 式中计算 I, 则当 f 与严格的定态波函数 ψ 有差别时, 所得的 I 数值与准确的能量本征值之差至多是 2 的量级. 如果我们选择的试探函数含有若干个参数 α 1, α 2,, α t, 代入积分后, 得到 I = I(α 1, α 2,, α t ), 设当 α k = αk 0, k = 1, 2,, t 时, f 最接近 ψ, 则此时 I(α1, 0 α2, 0, αt 0 ) 也最接近于 E. 用一个含参数的试探函数 f, 实际上就是用某种有限度的变化来代替最一般的任意变分 f = ψ + δψ. 因为 E 是对于任意变分的极值, I(α 0 1, α 0 2,, α 0 t ) 也是 I(α 1, α 2,, α t ) 对于变数 α 1, α 2,, α t 的极值. 因此, 作为一种近似方法的变分法如下 : 猜测 Shödinger 方程 Ĥψ = Eψ 的解的形式. 用一个具有所猜测的形式, 满足 ψ 所必须的边界条件, 并且含若干参数 α k, k = 1, 2,, t 的试探函数 f(α 1, α 2,, α t ) 代入 (7.6), 计算 I(α 1, α 2,, α t ), 并相对于 α k, k = 1, 2,, t, 求 I 的极值, 即解方程组 I α k = 0, k = 1, 2,, t (7.9) 设方程组的解是 α k = α 0 k, k = 1, 2,, t, 则 f(α 0 1, α 0 2,, α 0 t ) 和 I(α 0 1, α 0 2,, α 0 t ) 分别是 ψ 和 E 的近似. 如 f(α 0 1, α 0 2,, α 0 t ) ψ, 则 I(α 0 1, α 0 2,, α 0 t ) E 2. 可以证明定态的能量本征值是泛函 (7.6) 的极小值, 即二阶变分 δ 2 I > 0, 特别是基态能量为 (7.6) 的绝对极小值. 实际应用中, 常常以一个比较粗糙的试探波函数, 就能够得到相当准确的基态能量. 因为基态能量是泛函 (7.6) 的对于最广义的变分 δψ 的绝对极小值, 显然, 用上述近似的变分方法求出的基态能量近似值, 总比真正的基态能量高一些. 试探

170 170 第七章原子结构的计算波函数所含参数愈多, 变化范围愈广, 则一般说来所得到的基态能量近似值愈接近于准确值, 但决不会比它低. 7.3 Viral 定理和 Hellmann-Feynman 定理 Viral 定理和 Hellmann-Feynman 定理在量子力学用于原子及分子的研究中有重要的应用, 下面我们分别予以介绍. 设一量子系统的定态 Shödinger 方程为 Ĥψ = Eψ (7.10) 又设 Ĝ 为一不含时的线性算符, 则 ψ [Ĝ, Ĥ]ψdq = 0 (7.11) 这一结论称为超 Viral 定理 (Hyper-virial Theorem), 现在我们来证明这一论断 : 因为 ψ 满足方程 (7.10), 所以 ψ [Ĝ, Ĥ]ψdq = ψ ĜĤψdq ψ ĤĜψdq = E ψ Ĝψdq E ψ Ĝψdq = 0 式中利用了 Ĥ 是 Hermite 算符这一事实. 对于 N 个粒子构成的系统, 粒子的直角坐标为 x 1, x 2,, x 3N, 设 Ĝ = 3N i=1 ˆx iˆp i = ħ i 3N x i i=1 (7.12) x i 则把 Hamiltonian 写为 3N 3N 3N [Ĝ, Ĥ] = [ˆx iˆp i, Ĥ] = ˆx i [ˆp i, Ĥ] + [ˆx i, Ĥ]ˆp i (7.13) i=1 i=1 Ĥ = ˆT + V 其中 ˆT = 3N ˆp 2 i i=1 2µ i 为系统的动能, 而 V 为势能, 包括外场中的势能和相互作用势能, 只与系统中粒子的坐标有关. 则可容易证明 : i=1 [ˆx i, Ĥ] = p i µ i [ˆp i, Ĥ] = V x i (7.14)

171 7.3 VIRAL 定理和 HELLMANN-FEYNMAN 定理 171 于是, 利用 (7.11) 可得 [Ĝ, Ĥ] = 3N i=1 ˆp 2 i µ i + 3N i=1 ψ 2 ˆT ψdq ( ) V x i = 2 x ˆT i ψ 3N 或, 用算符上面加一横代表对定态的平均值, 上式写为 i=1 3N i=1 x i V x i (7.15) x i V x i ψdq = 0 (7.16) 2T = 3N i=1 x i V x i (7.17) 这就是 Viral 定理. 如果系统的势能是坐标 x i, i = 1, 2,, 3N 的 n 次齐次函数, 则 3N i=1 x i V x i = nv Viral 定理可以简化为又, 由于 2T = nv (7.18) T + V = E 所以有 V = T = 2E n + 2 ne n + 2 对于原子问题, 势能是坐标的 ( 1) 次齐次函数, 因此有 V = 2E T = E 2T = V (7.19) (7.20) 因为 Viral 定理是严格的, 因此它可以用来作为检验近似方法的近似程度的标准之一, 如果用某种近似方法求得了原子系统的波函数, 就可以用这些波函数计算 T, V 和 E, 如果其不满足 (7.20), 则计算结果显然不可靠. Hellmann-Feynman 定理是在年分别由 H. Hellmann 和 R. P. Feynman 独立提出的. 这一定理的内容为 : 若 ψ 为 Hamiltonian Ĥ 的归一化本征函数, E 是相应的本征能量, 而 λ 是出现在 Ĥ 中的任何一个参数, 则 E λ = ψ Ĥ ψdq (7.21) λ

172 172 第七章原子结构的计算 λ 可以是核间距, 电荷等. 这一定理可证明如下 : E = 由上式对 λ 求偏微商, 得 E ψ λ = λ Ĥψdq + ψ Ĥψdq ψ Ĥ λ ψdq + ψ Ĥ ψ λ dq 利用 Shödinger 方程 Ĥψ = Eψ 及 Ĥ 的 Hermite 性, 可得 E λ = = ψ Ĥ λ ψdq + E λ ψ Ĥ λ ψdq 上式的最后一个等式使用了波函数的归一化关系. ψ ψdq 作为 Hellmann Feynman 定理的应用, 我们来看二个例子. 对于一维谐振子, Hamiltonian Ĥ 和能量 E n 分别为 d 2 Ĥ = ħ2 2µ dx µω2 x 2 ( E n = n + 1 ) ħω 2 选 ω 为参数, 得 ( n + 1 ) ħ = 2 ψ nµωx 2 ψdx 由此求得 x 2 在定态 ψ n 的平均值为 x 2 = ( n + 1 ) ħ 2 µω 这样, 就省去了对波函数的积分运算. 在中心力场中的粒子, 能量本征态可以取为 (Ĥ,ˆl 2, ˆl ) z 的共同本征态, 即 ψ = R(r)Y lm (θ, ϕ) = χ(r) r Y lm(θ, ϕ) χ(r) 满足径向方程 ( ħ2 ) d 2 l(l + 1)ħ2 + V (r) + χ(r) = Eχ(r) 2µ dr2 2µr 2 这一方程与相当于 Hamiltonian 为 Ĥ = ħ2 d 2 l(l + 1)ħ2 + V (r) + 2µ dr2 2µr 2

173 7.4 轨道近似和 HARTREE FOCK 方程 173 的一维定态 Shödinger 方程. 把径向方程的本征值记为 E nrl, 它依赖于径向量子数 n r (= 0, 1, 2, ) 和角量子数 l(= 0, 1, 2, ). 视 l 为参数, Ĥ l = (2l + 1) ħ2 2µ 1 r 2 > 0 ( 因为 1 r 2 为正定算符 ). 因此, 按照 Hellmann Feynman 定理 E nr l l > 0 即给定 n r 的情况下, E nr l 随 l 增大而增大, 因此, 中心力场的基态必为 s 态 (l = 0) 7.4 轨道近似和 Hartree Fok 方程除了氢原子或类氢离子外, 即使像氦原子这样简单的原子, 我们也无法求出其本征函数和本征值的解析解, 因此, 在原子结构的定量研究中, 数值计算是十分基本的. 但是, 为了严格求解原子结构问题, 就要求解方程 (7.5), 这是一个有 3Z 个变量的偏微分方程的本征值问题, 当 Z 稍大时, 直接对其进行数值计算几乎是不可能的, 因此必须发展近似方法. 在 << 数学物理方法 >> 课程中, 我们学过分离变量法, 通过把一个多变量方程分离为多个单变量方程, 求解过程可大大简化. 在原子结构计算中, 我们也希望用这一方法来简化我们的问题, 然而, 不幸的是, 方程 (7.5) 是不能分离变量的. 一般来说, 一个多体问题的 Hamiltonian 如果可以写成对单体 Hamiltonian 的求和形式, 则对应的定态 Shödinger 方程是可分离的, 否则是不可分离的. 具体地说, 如果 Ĥ = i ĥ i (7.22) 其中 h i 只与第 i 个粒子的坐标有关, 则 Shödinger 方程 ĤΨ = EΨ 的解可以写为 E = i ε i Ψ = i ψ i (7.23) 对于全同粒子, 还要考虑波函数的对称性, 即对于 Bose 子, 取对称波函数而对于 Fermi 子取反对称波函数. 电子是 Fermi 子, 因此原子中电子的波函数应取反对称的形式. 尽管方程 (7.5) 是不能分离变量的, 但分离变量方法是如此的强有力, 我们仍然试图寻找分离变量形式的近似解, 通过使用变分法, 使近似解尽可能接近实际的解. 我们先给出计算方法的推导, 关于这一近似的理论问题将不做过多的计论, 留给读者进一步钻研. 考虑具有 Z 个电子的原子, 我们假定其波函数可写为分离变量的形式, 注意到电子是 Fermi 子, 可把波函数写成 Slater 行列式的形式, 这样反对称性可自动满足. 我们用 ϕ i (r) 表示单个电子的空间波函数, η 表示单个电子的自旋波函数, 则 ψ i = ϕ i (r)η i 为单个

174 174 第七章原子结构的计算电子的波函数, 通常称为电子轨道. 每个电子轨道可以容纳一个电子, 如果 Z 个电子占据了第 i 1, i 2,, i Z 个轨道, 则用电子轨道表示的 Slater 行列式形式的原子波函数为 ψ i1 (r 1 ) ψ i1 (r 2 ) ψ i1 (r 2 ) Ψ = 1 ψ i2 (r 1 ) ψ i2 (r 2 ) ψ i2 (r 2 ) (7.24) Z! ψ iz (r 1 ) ψ iz (r 2 ) ψ iz (r 2 ) 在原子单位下, 原子的 Hamiltonian 由 (7.4) 给出, 把式 (7.24) 和 (7.4) 代入下式 E = Ψ ĤΨd 3 r 1 d 3 r 2 d 3 r Z (7.25) 经过一些较为繁琐但直接了当的代数计算, 可以求得 E = Z k=1 + Z ( ϕ i k (r) 2 2Z r Z k=1 k =1 Z Z k=1 k =1 ) ϕ ik (r)d 3 r ϕ 1 i k (r 1 )ϕ ik (r 1 ) r 1 r 2 ϕ i (r k 2)ϕ ik (r 2 )d 3 r 1 d 3 r 2 ϕ 1 i k (r 1 )ϕ ik (r 1 ) r 1 r 2 ϕ i (r k 2)ϕ ik (r 2 )d 3 r 1 d 3 r 2 (7.26) 式中最后一项求和上的表示只对自旋相同的电子求和. 把上式对 ϕ 求变分, 并注意到约束条件 ϕ (r)ϕ(r)d 3 r = 1, 引入 Lagrange 乘子 ε i, 令 ( Z δe δ ε ik k=1 ϕ i k (r)ϕ ik (r)d 3 r ) = 0 得到如下形式的方程 ĥ ik ϕ ik = ε ik ϕ ik (7.27) 其中 ĥ ik = 2 2Z r Z + ϕ i (r 2 k 1)ϕ ik (r 1 ) r 1 r d3 r 1 k =1 Z k =1 ϕ ik (r 1)ϕ ik (r 1 ) 2 r 1 r d3 r 1 ϕ i k (r)ϕ ik (r) ϕ i k (r)ϕ ik (r) (7.28) 式 (7.27) 和 (7.28) 称为 Hartree-Fok 方程, 式 (7.28) 为 Hartree-Fok 近似下的单电子 Hamiltonian, 其中第一项为单个电子的动能, 第二项为电子在核势场中的势能, 第三项为

175 7.5 统计近似和 X α 方程 175 其它电子对所考虑电子的直接库仑相互作用能 ( 简称为库仑能 ), 第四项是由于电子的全同性导致的交换库仑相互作用能 ( 简称为交换能 ). 我们立刻注意到, 虽然方程 (7.27) 是一个单粒子的 Shödinger 方程, 但由于其 Hamiltonian (7.28) 中的库仑能和交换能与待求波函数 ϕ 有关, 因此只能自洽求解, 可以先假定一组 ϕ, 计算出式 (7.28), 然后求解方程 (7.27), 得到一组新的 ϕ, 再利用这组新的 ϕ 计算 (7.28) 并求解方程 (7.27), 反复迭代, 直至二次迭代所得结果小于某一给定的误差限为止. 7.5 统计近似和 X α 方程方程 (7.28) 中前三项与下标 i k 无关, 第四项与 i k 有关. 为了进一步简化计算, 对第四项取平均, 即把该项代之以其对每一占据态的算术平均值 V ex 1 Z Z k=1 Z k =1 ϕ (r 2 ik 1)ϕ ik (r 1 ) r 1 r d3 r 1 ϕ i k (r)ϕ ik (r) ϕ i k (r)ϕ ik (r) (7.29) 用 V (r) 记方程 (7.28) 中的第三项, 则方程 (7.28) 可以写为 ĥ ik = 2 + V (r) (7.30) 其中 V (r) = 2Z r + V (r) + V ex (r) (7.31) 如果 V (r) 具有中心对称性, 则方程 (7.27) 的求解可以大为简化. 为此, 我们对式 (7.31) 作方向平均, 使其只依赖于径向坐标 r, 在这一近似下, 方程 (7.27) 变为 [ 2 + V (r)]ϕ(r) = εϕ(r) (7.32) 上式的解可以写为而 R(r) 满足下面的径向方程 1 r ϕ(r) = R(r)Y lm (θ, φ) ( d r 2 dr ) l(l + 1) + V (r)r + R = εr (7.33) dr dr r 2 R(r) 称为径向波函数, 在做进一步的推导之前, 我们先对径向方程及其解做一些一般性的讨论. 方程是一个二阶常微分方程的本征值问题, 因为我们这里感兴趣的是束缚态问题, 由波函数的平方可积要求可知, 当 r, 应有 rr(r) 0; 又由波函数的统计解释及二

176 176 第七章原子结构的计算 2 阶微分方程的一般理论可知当 r 0, R(r) r l, 或 rr(r) 0. 在这些边界条件下, 方程 (7.33) 的本征值只能取一些分立值, 可用径向量子数 n r (= 0, 1, 2, 3, ) 编号, 分别对应于 R(r) 无节点, 一个节点, 二个节点,. 本征值只与 (n r, l) 有关, 而与量子数 m 无关, 因此, 在中心力场近似下, 电子的轨道能量对于确定的 l 是 2l + 1 重简并的. 在原子问题中, 通常用另外一套量子数来标志状态, 定义主量子数为 n = n r + l + 1 (7.34) 则主量子数可取值 n = 1, 2, 3,, 对于给定的 n, l 可取值 0, 1, 2,, n 1, 通常用 s, p, d, 表示. 对一个确定的状态可以由四个量子数 (n, l, m, s) 来标记, 其中 s 代表自旋, 可取向上和向下两个值. 把方程 (7.33) 的本征值记为 ε nls, 本征函数记为 ϕ nlms (r) = R nls (r)y lm (θ, φ). 所谓电子组态是指电子占据轨道的情况, 例如, (1s) 2 (2s) 2 (2p) 6 代表一种电子组态, 它表明 n = 1, l = 0 的轨道有二个电子, n = 2, l = 0 的轨道有二个电子, n = 1, l = 1 的轨道有六个电子. 这种组态中的每个填充的简并轨道均已填满, 为闭壳层组态. 若有某些简并轨道没有填满, 则为开壳层组态, 例如 (1s) 2 (2s) 2 (2p) 3 就是一个开壳层组态. 现在考虑 (7.31) 的方向平均. 对于给定的电子组态, 电荷密度为 ρ s (r) = W nlms ϕ nlm (r) 2 (7.35) nlm 式中 W nlms 是轨道 ϕ nlms 的占据数, 当占据时取 1, 未占据时取 0. 由于在中心力场近似下相同 (nl) 的态是简并的, 因此可以定义 (nls) 态的占据数为 W nls = m W nlms 把式 (7.35) 对方向取平均, 得到方向平均后的电荷密度为 ρ s (r) = 1 dωρ s (r) 4π = 1 W nlms R nls (r) 2 dω Y lm (θ, φ) 2 4π nlm = 1 W nls R nls (r) 2 (7.36) 4π 总电荷密度为 nl ρ(r) = ρ (r) + ρ (r) 在给定的电子组态下, 库仑能为 V (r) = 2 见曾谨言著量子力学卷 I, P259 d 3 2ρ(r) r 1 r 1 r (7.37)

177 7.5 统计近似和 X α 方程 177 利用 1 r 1 r = lm 4π 2l + 1 r< l r> l+1 Y lm (θ, φ)y lm (θ 1, φ 1 ) 其中 r < = min(r, r 1 ) r > = max(r, r 1 ) 则 V 的方向平均为 V (r) = 1 dωv (r) 4π = 1 d 3 r 1 2ρ(r 1 ) 4π lm = 2 d 3 ρ(r 1 ) r 1 = 8π r r 0 r > r 2 1ρ(r 1 )dr 1 + 8π 4π 2l + 1 r r< l r> l+1 在推导中用到了关系式 dωylm (θ, φ) = 4πδ l0 δ m0. Y lm (θ 1, φ 1 ) dωy lm (θ, φ) r 1 ρ(r 1 )dr 1 (7.38) 交换项的处理要复杂得多, 通常的做法是, 先对均匀系统 ( 即外场为 0 的系统 ) 求出 V ex 依赖于电荷密度的函数关系 ( 对于均匀系统, 电荷密度是一与位置无关的常数 ), 再把其中的电荷密度换成有外场的电荷密度而保持函数形式不变. 在取方向平均时, 也只要把电荷密度换成对方向平均的电荷密度即可. 这一过程叫做统计平均近似. 在均匀情形下, 可求出 ( ) 1/3 3 V ex = 6 4π ρ (7.39) 对自旋向下的电子也有相同的结果. 把上式中的 ρ 换成 ρ (r), 便得到了交换势的形式. 另一方面, 如果对式 (7.26) 中的交换项作统计平均近似, 然后取变分, 则得到的交换势为 V ex (r) = ( ) 1/3 3 4π ρ (7.40) 2 与 (7.39) 相比, 多出一个因子, 这表明统计平均与变分操作是不可对易的. 为此, Slater 3 建议把交换势写成 ( ) 1/3 3 V ex (r) = 6α 4π ρ (7.41) 其中 2 3 α 1 为一参数, 令 V s (r) = 2Z r + V (r) + V ex,s (r) (7.42) 则方程 ( 2 + V s (r) ) ϕ nlm = ε nls ϕ nlms (7.43)

178 178 第七章原子结构的计算为决定电子轨道的方程, 由于在交换势中引入了一个参数 α, 因此这一方程称为 X α 方程. 实际计算分为自旋限制和自旋极化两种, 在自旋限制计算中, 认为两种自旋的能级是简并的且密度相同, 并具有相同的交换势, 取为 ( ) 1/3 3 V ex (r) = 6α 8π ρ (7.44) 在自旋极化计算中, 则是对自旋的两种取向分别求解 X α 方程. 通常确定 α 的方法有如下几种, 一种是调整 α 使计算结果满足 Viral 定理 ; 第二种方法是严格求解 Hartree-Fok 方程, 并比较 Hartree-Fok 方程的结果与 X α 方程的结果来确定 α; 第三种是把 α 看作一个变分参数, 通过使原子的总能量取极小来确定 α. 上述三种方法所得到结果基本上是相同的. 7.6 径向方程的求解方法方程 (7.43) 的解可写为 ϕ nlm Shödinger 方程 : 1 r = R nl (r)y lm (θ, φ), 3 其中 R nl (r) 满足下面的径向 ( d r 2 dr ) nl l(l + 1) + V (r)r nl + R dr dr r 2 nl = ε nl R nl (7.45) 这一节我们介绍求解径向方程 (7.45) 的数值方法. 令 R nl (r) = y nl r 并代入方程 (7.45), 我们得到其中 F nl (r) = d 2 y nl dr 2 = F nl (r)y nl (7.46) l(l + 1) r 2 + [V (r) ε nl ] 为了简化苻号, 在不引起误解的情况下, 后面的讨论中我们将省略下标 (nl). 方程 (7.46) 可用 Numerov 格式求解, 下面介绍这一方法. 为了更一般起见, 考虑在区间 [a, b] 上求解二阶微分方程 d 2 y = F (r)y + G(r) (7.47) dr2 以 h 为步长划分区间 [a, b], 令 r i = a + ih, i = 0, 1, 2,, 记 y i y(r i ) 则 : y i+1 = y i + hy i + h2 2! y i + h3 3! y(3) i + h4 4! y(4) i + h5 5! y(5) i + O(h 6 ) y i 1 = y i hy i + h2 2! y i h3 3! y(3) i + h4 4! y(4) i h5 5! y(5) i + O(h 6 ) (7.48) 3 在本节中, 为简单计, 将略去自旋下标, 需要时, 很容易在最终结果中恢复

179 7.6 径向方程的求解方法 179 上面二式相加得 : ( y i+1 2y i + y i 1 = h 2 y i + 1 ) 12 h2 y (4) i + O(h 6 ) (7.49) 上式左边为 y 在 r i 点的二阶中心差分, 记为于是, (7.49) 可写为 2 y i y i+1 2y i + y i 1 ( 2 y i = h 2 y i + 1 ) 12 h2 y (4) i + O(h 6 ) (7.50) 对于 y, 显然有相同的关系 : ( 2 y i = h 2 y (4) i + 1 ) 12 h2 y (6) i 由式 (7.50) 和 (7.51) 可得, + O(h 6 ) (7.51) 2 y i = h 2 (y i + 2 y i ) + O(h 6 ) (7.52) 又, 由于 y i = F i y i + G i, 2 y i = 2 (F i y i + G i ), 式中 F i F (r i ), G i G(r i ), 从而 2 y i = h [F 2 i y i + G i + 1 ] 12 (F i+1y i+1 + G i+1 + F i 1 y i 1 + G i 1 2F i y i 2G i ) 整理得 ) ) ) (1 h2 12 F i+1 y i+1 2 (1 h2 12 F i y i + (1 h2 12 F i 1 y i 1 = h (F 2 i y i + G i ) 2 G i ( ) 令 Y = 1 h2 F y, 最后得到 12 Y i+1 2Y i + Y i+1 = h 2 ( F i 1 h2 12 Y i + G i G i ) (7.53) 上式就是 Numerov 差分格式, 这是一个二步方法, 即为了得到 Y i+1, 需要知道 Y i 和 Y i 1 的值. 径向方程不含对 y 的一阶导数, 是方程 (7.47) 当 G(r) = 0 时的特例, 可用前述 Numerov 方法求解. 具体计算时, 可分别从两个边界点出发, 逐步向中间计算. 从 r = 0 出发, 向 r 增加的方向的计算过程称为外向计算, 从 r = 出发 ( 实阶上是一有限的足够大的值 ), 向 r 减小的方向的计算过程称为内向计算. 外向计算和内向计算应该在某一中间点 r = r m 处光滑的连接起来, 使二者光滑连接的过程称为外向计算与内向计算的匹配. 对于给定的 (nl), 径向方程的解应该有 n r = n l 1 个节点, 由径向方程可知, 解的节点只能出现在 F (r) < 0 的区域, 这是由于在节点上有 y = 0 及 y = 0, 因此, 节点也是

180 180 第七章原子结构的计算函数 y(r) 的拐点, 在节点的外侧, 随着 r 的增大, y(r) 或是趋于另一节点, 或者随 r 而趋于 0. 如果在节点外侧 y > 0, 因要求 y(r) 是上凸的 ( 否则将不断增长 ), 所以应有 y < 0; 反之, 如果在节点外侧 y < 0, 因要求 y(r) 是下凸的, 所以应有 y > 0. 不论何种情况, 都要求 y 与 y 异号, 这只有当 F (r) < 0 时才有可能. 一般 r m 取在 y 的最后一个节点之外, 即 F (r) > 0 处. 为了进行外向积分, 我们还需要知道最初二个点的 y 的数值. r = 0 时, 径向方程无定义, 积分可从 r = h 开始. 当 r 0 时, V (r) 2Z, 这是类氢 r 离子的势, 因此, 我们可以用类氢离子的径向波函数 ( 除以 r) 在 r = h, r = 2h 的值作为 y 1, y 2. 给定一个 ε nl 的数值, 作外向积分至 r m ( 注意, r m 一般与 ε nl 有关 ), 如果节点的数目不等于 n r, 说明 ε nl 的选择不好, 若节点数大于 n r, 说明 ε nl 太小, 此时可用 1.25 或其它大于 1 的合适数字乘以 ε nl, 继续计算 ; 若节点数小于 n r, 说明 ε nl 太大, 此时可用 0.75 或其它小于 1 的合适数字乘以 ε nl, 继续计算. 重复上述过程直至节点数目正好为 n r 时为至, 这一过程称为对 ε nl 的粗调. 在作完 ε nl 的粗调后, 可交替进行向内计算和向外计算, 通过要求在 r m 点 y 的光滑连接再细调 ε nl. 向内积分可取一足够大的 r 开始计算, 为了适用于离子的计算, 我们假定原子的总电子数不必等于 Z, 设电子数为 N, 则当 r 时, V (r) 2 Z N+1 r, F (r) ε nl, 径向方程的解为 y(r) exp( ε nl r), 在 r 附近, 可取 y(r) = exp( F (r )r) 并用 Numerov 方法作内向积分, 为了 y 在 r m 点光滑连接, 应要求外向积分和内向积分的 y 结果在 r m 点的连续. 这可以通过细调 ε y nl 来做到. 若记 y in 为内向积分的结果, y out 为外向积分的结果, 在计算出 y in 和 y out 之后, 计算其中 ε nl = 1 2M M = [ y out (r m ) y out (r m ) y in(r m ) y in (r m ) [ rm y 2 0 out(r)dr + yout(r 2 m ) ] r m y 2 in(r)dr y 2 in (r m) 把 ε nl 调整成 ε nl + ε nl 再重复上述计算, 直到 ε nl ε nl 小于某一误差限时, 结束叠代. 最后, 我们给出式 (7.54) 的证明, 把 F (r) 写为两项之和, ] (7.54) F (r) = F (r) ε nl 则方程 (7.46) 成为 y = F (r)y ε nl y (7.55) 当 ε nl 变为 ε nl + ε nl 时, 设 y 变为 y + y, 在线性近似下, 有 y + y = F (r)y + F (r) y ε nl y ε nl y ε nl y (7.56)

181 7.7 计算程序 181 将 (7.56) 与 (7.55) 相减得 (7.57) 乘以 y 与 (7.55) 乘以 y 相减得或两边积分得 y = F (r) y ε nl y ε nl y (7.57) yy y y = ε nl y 2 (7.58) d dr ( yy y y) = ε nl y 2 ( yy y y) r 2 r 1 = ε nl r2 分别用 (0, r m ) 及 (r m, ) 代替 (r 1, r 2 ), 并注意到我们得到 y y = y y yy y 2 y out(r m ) y out (r m ) y2 out(r m ) = ε nl y in(r m ) y in (r m ) y2 in(r m ) = ε nl 若要求对应于 ε nl + ε nl 的解满足光滑连接, 即把 (7.59) 代入 (7.60), 就得到方程 (7.54) r 1 rm 0 y 2 dr y 2 out(r)dr r m y 2 in(r)dr (7.59) y out y out + y out y out = y in y in + y in y in (7.60) 前面我们讨论了径向方程的求解方法, 在讨论中假定 V (r) 是已知的, 事实上, V (r) 是与径向方程的解有关的, 具体关系由式 (7.38) 及式 (7.41) 给出. 因此, 实阶计算时, 应先给定一初始势和初始本征值 ε nl, 然后求解径向方程求得一组本征值及本征函数, 用求得的本征函数代入式 (7.38) 及式 (7.41) 求得新的势 V (r), 用新的势和老的势的适当混合做为势函数, 再求解径向方程, 这样反复叠代直至前后两次势之差小于某一给定的误差限为止, 这一过程称为自洽过程, 一般来说, 如果初始势选择的较好, 只要 15 次左右的叠代便可达到很高的计算精度. 7.7 计算程序这一节我们给出一个完整的计算原子结构的程序, 它用我们在前面几节描述的 X α 方法计算原子的总能量, 轨道能量及原子周围的势 V (r) 和电荷密度 ρ(r) 等.

182 182 第七章原子结构的计算下面是 P 原子计算的输入文件, 分别对应于自旋限制和自旋极化的计算. 现对每一参数解释如下, 第一行为描述性文字 ; 第二行 ( 格式为 2F10.5) 为所用的 α 的数值和每次叠代时所得的势混入老的势中的分数 ; 第三行 ( 格式为 10I5) 给出计算控制值, 分列如下 : 第一个数 : 输出文件打印控制, = 0 时打印每次叠代势的最大变化点和轨道能量, 收敛的总能量, 径向网格点, 电荷密度. = 1 还打印每次叠代时计算轨道能量的过程信息. 第二个数 : 起始势的输入方式, 本程序中总取为 1. 第三个数 : 势收敛的指数阈值, 取 3 或 4. 第四个数 : 轨道能量收敛的指数阈值, 取 5 或 6. 第五个数 : 原子径向网格点的数目, 本程序中取为 441. 第六个数 : 允许的叠代次数, 取为 50 左右. 第七个数 : 原子序数. 第八个数 : 原子的电荷数 ( 即原子序数与所带电子数之差 ), 对中性原子取 0. 第九个数 : 轨道能级的数目. 第十个数 : = 1 表示自旋限制计算 ; = 2 表示自旋极化计算. 入值. 第四行及紧跟的 10 行 ( 对自旋限制计算 ) 或 21 行 ( 对自旋极化计算 ) 为起始势的输紧限起始势的输入每行代表一个能级, 第一个数表示 (nl), 以 100 n + 10 l 表示 ; 第二个数对自旋限制计算取 1, 对自旋极化计算时取 1 表示自旋向上, 取 2 表示自旋向下 ; 第三个数为能级上的电子占据数 ; 第四个数为估计的轨道能量. 下面的两个输入文件分别计算磷的自旋限制基态和自旋极化基态及对应的轨道能量的输出值 ( 能量以 Rydberg 为单位 ). Phosphorus Spin_Restrited state

183 7.7 计算程序 183 **** ATOMIC ENERGIES **** ************************************ Kineti Energy= Nu-El Coulomb= D D+04 El--El Energy= Spin up Exhg = D D+02 Total Energy = D+03 Virial ratio = D+01 spin-orbitals nl 100 spin 1 oup 2.0 E Phosphorus Spin_Polarized state

184 184 第七章原子结构的计算 **** ATOMIC ENERGIES **** ************************************ Kineti Energy= D+03 Nu-El Coulomb= El--El Energy= D D+03 Spin up Exhg = Spin Dn Exhg = D D+02 Total Energy = D+03 Virial ratio = D+01 spin-orbitals nl 100 spin 1 oup 1.0 E 下面是程序清单 C******************************************************************** C C Atomi X-alpha Program C C******************************************************************** C Impliit Real*8 (a-h,o-z) Logial watson,prnt,onvg Dimension ihg(12) Dimension ihdr(20) Dimension dumom(2084),u(521,2),unew(521,2) Dimension r(521),x(521) Dimension v(521,2),fn(521),a(521) Dimension po(521),p(521,10),rhosp(521,2),rho(521) Dimension nl(30),oup(30),e(30),nspin(30),kmx(30),delta(2), * kdel(2) Dimension rwk(521),vwk(521),pwk(521) Common dumom,r,v,rhosp,rho,e,oup,kmx,nspin,p Equivalene(dumom(1),unew(1,1)) Equivalene(dumom(1043),fn(1),x(1)) Equivalene(dumom(1564),a(1)) Data zero,one,two,three,four /0.0D0,1.0D0,2.0D0,3.0D0,4.0D0/

185 7.7 计算程序 185 Data pi / D0/ Data xinr /0.0025D0/ Data ihg /40,80,120,160,200,240,280,320,360,400,440,480/ Data watson,prnt,onvg /.FALSE.,.FALSE.,.FALSE./ C C******************************************************************** C C Read Header Card C******************************************************************** C Open(5,File='fi') Open(6,File='out.dat') Read(5,5000) ihdr Write(6,5100) ihdr C C Read Input Parameters and Flags C Read(5,5200) exfat,radion,ratio,frau,iprt,key,ntol,nthrsh, * mesh,maxit,nz,ion,nsts,nspins z=dfloat(nz) xion=dfloat(ion) fas=dfloat(nspins) tol=10.0d0**(ntol) thresh=10.0d0**(nthrsh) zion=xion twoion=xion+xion mesh=mesh-1 Write(6,5300) nz,ion,nsts,nspins,exfat,radion,ratio,frau, * key,ntol,nthrsh,mesh If(radion.GT.zero) watson=.true. If(iprt.NE.0) prnt=.true. nblok=mesh/40 C C******************************************************************** C Constant for Conversion from R(Ao) to Dimensionless C Thomas-Fermi radial variable x C******************************************************************** C tfd=two*z**(one/three)*(four/(three*pi))**(two/three) C C Construt X and R Meshes C k=1 x(k)=zero r(k)=zero deltax=xinr Do 20 nb=1,nblok Do 10 i=1,40 k=k+1 x(k)=x(k-1)+deltax r(k)=x(k)/tfd 10 Continue deltax=deltax+deltax 20 Continue C

186 186 第七章原子结构的计算 C point mesh potential read (key=1) C twoz=z+z Do 50 is=1,nspins Read(5,5400) (u(k,is),k=1,437,4) Do 30 k=1,437,4 u(k,is)=-twoz*u(k,is) 30 Continue u(441,is)=u(437,is) u(445,is)=u(437,is) n=9 Do 40 k=1,437,4 n=n-1 If(n.LT.0) Then u(k+1,is)=(22.0d0*u(k,is)+11.0d0*u(k+4,is) * -u(k+8,is))/32.0d0 u(k+2,is)=(10.0d0*u(k,is)+15.0d0*u(k+4,is) * -u(k+8,is))/24.0d0 u(k+3,is)=( 6.0D0*u(k,is)+27.0D0*u(k+4,is) * -u(k+8,is))/32.0d0 n=9 Else u(k+1,is)=(21.0d0*u(k,is)+14.0d0*u(k+4,is) * -3.0D0*u(k+8,is))/32.0D0 u(k+2,is)=( 3.0D0*u(k,is)+6.0D0*u(k+4,is) * -u(k+8,is))/8.0d0 u(k+3,is)=( 5.0D0*u(k,is)+30.0D0*u(k+4,is) * -3.0D0*u(k+8,is))/32.0D0 Endif 40 Continue 50 Continue C C C----setup of V mesh: V(R)=U(R)/R, C fator 2Z already absorbed in U(R) C Do 80 is=1,nspins v(1,is)=-9.9d35 kmax=min0(441,mesh) Do 60 k=2,kmax v(k,is)=u(k,is)/r(k) 60 Continue If(mesh.GT.kmax) Then Do 70 k=442,mesh v(k,is)=-twoion/r(k) 70 Continue Endif 80 Continue Read state(spin-orbital) Information spnup=zero spndn=zero Do 90 nst=1,nsts Read(5,5500) nl(nst),nspin(nst),oup(nst),e(nst) If(nspin(nst).EQ.1) spnup=spnup+oup(nst)

187 7.7 计算程序 187 If(nspin(nst).EQ.2) spndn=spndn+oup(nst) 90 Continue ---Begin SCF iteration Do 270 iter=1,maxit Do 100 k=1,mesh rhosp(k,1)=zero rhosp(k,2)=zero rho(k)=zero 100 Continue ----Solve Shroedinger equation form eah spin-orbital Do 160 nst=1,nsts netry=0 etry=e(nst) n=nl(nst)/100 l=nl(nst)/10-10*n is=nspin(nst) Do 110 kk=1,520 rwk(kk)=r(kk+1) vwk(kk)=v(kk+1,is) pwk(kk)=po(kk+1) 110 Continue Call numrov(etry,nst,z,n,l,rwk,vwk,pwk,ihg,kmax,mesh, * thresh,ntries,prnt) Do 120 kk=2,521 r(kk)=rwk(kk-1) v(kk,is)=vwk(kk-1) po(kk)=pwk(kk-1) 120 Continue netry=max0(netry,ntries) kmax=kmax Add this orbital density to spin density po(1)=zero If(is.NE.2) Then Do 130 k=1,kmax rhosp(k,1)=rhosp(k,1)+oup(nst)*po(k)**2 130 Continue Else Do 140 k=1,kmax rhosp(k,2)=rhosp(k,2)+oup(nst)*po(k)**2 140 Continue Endif ---store P*R for this spin-orbital Do 150 k=1,mesh p(k,nst)=po(k) 150 Continue kmx(nst)=kmax e(nst)=etry 160 Continue

188 188 第七章原子结构的计算 ---end of shroedinger loop find total harge density and generate new potential Do 170 k=1,mesh rho(k)=rhosp(k,1)+rhosp(k,2) 170 Continue Call vgener(z,exfat,fas,ihg,mesh,nsts,nspins,watson, * radion,zion,ratio,onvg) ----find point of largest hange in U potential delta(1)=zero delta(2)=zero Do 190 is=1,nspins Do 180 k=1,mesh dif=dabs(u(k,is)-unew(k,is)) If(dif.GT.delta(is)) Then delta(is)=dif kdel(is)=k Endif 180 Continue Write(6,5700) iter,delta(is),kdel(is) 190 Continue delt=dmax1(delta(1),delta(2)) If(onvg) Goto 280 If(tol.GT.delt) onvg=.true. --- SCF potential not onverged: Calulate next trial pot-- If(netry.LE.2) frau=frau+(one-frau)/two If(frau.GT.0.5D0) frau=0.5d0 Do 220 is=1,nspins Do 200 k=1,mesh u(k,is)=(one-frau)*u(k,is)+frau*unew(k,is) 200 Continue Do 210 k=2,mesh vlast=v(k,is) v(k,is)=u(k,is)/r(k) unew(k,is)=v(k,is)-vlast 210 Continue 220 Continue unew(1,1)=zero unew(1,2)=zero ---next trial eigenvalues from 1st order pert:: <p DEL V p> Do 260 nst=1,nsts is=nspin(nst) kmax=kmx(nst) Do 230 k=1,kmax fn(k)=unew(k,is)*p(k,nst)**2 230 Continue Do 240 kk=1,520 rwk(kk)=r(kk+1) vwk(kk)=fn(kk+1) pwk(kk)=a(kk+1)

189 7.7 计算程序 Continue Call integr(vwk,rwk,kmax,ihg,pwk,1) Do 250 kk=2,521 r(kk)=rwk(kk-1) fn(kk)=vwk(kk-1) a(kk)=pwk(kk-1) 250 Continue dele=a(kmax) e(nst)=e(nst)+dele 260 Continue Write(6,5600) (nl(nst),nspin(nst),oup(nst), * e(nst),nst=1,nsts) 270 Continue ---- end of SCF iteration loop Write(6,5800) Stop 280 Continue --- suessful onvergene of potential nards=mesh/8+1 If(mesh.EQ.(8*nards)) nards=nards-1 Write(6,5600) (nl(nst),nspin(nst),oup(nst), * e(nst),nst=1,nsts) Write(6,5900) --- print R. V meshes kf=1 Do 290 n=1,nards kl=kf+7 If(kl.GT.mesh) kl=mesh Write(6,6500) kf,(r(k),k=kf,kl) kf=kl Continue Write(6,6000) Do 310 is=1,nspins Write(6,6100) is kf=1 Do 300 n=1,nards kl=kf+7 If(kl.GT.mesh) kl=mesh Write(6,6500) kf,(v(k,is),k=kf,kl) kf=kl Continue 310 Continue If(iprt.GE.1) Then --- print radial funtions Do 330 nst=1,nsts n=nl(nst)/100 l=nl(nst)/10-10*n Write(6,6200) n,l,e(nst),oup(nst),nspin(nst),kmx(nst)

190 190 第七章原子结构的计算 kmax=kmx(nst) kf=1 Do 320 n=1,nards kl=kf+7 If(kl.GT.kmax) kl=kmax Write(6,6500) kf,(p(k,nst),k=kf,kl) kf=kl Continue 330 Continue Endif --- print harge density Write(6,6300) If(nspins.NE.1) Then Do 350 is=1,nspins If(is.EQ.2) Write(6,6700) Write(6,6400) is kf=1 Do 340 n=1,nards kl=kf+7 If(kl.GT.mesh) kl=mesh Write(6,6500) kf,(rhosp(k,is),k=kf,kl) kf=kl Continue 350 Continue Endif Do 360 k=2,mesh rho(k)=r(k)*rho(k) 360 Continue kf=1 Write(6,6700) Write(6,6600) Do 370 n=1,nards kl=kf+7 If(kl.GT.mesh) kl=mesh Write(6,6500) kf,(rho(k),k=kf,kl) kf=kl Continue Close(5) Close(6) Stop 5000 Format(20A4) 5100 Format(' ',20A4 * //T20,'***** input parameters *****' * /20X,36('*')//) 5200 Format(4F10.5/10I5) 5300 Format(T30,'At # =',I9/T30,'harge=',I9 * /T30,'# orbs=',i9 * /T30,'# spns=',i9 * /T30,'exfat=',F9.5 * /T30,'radion=',F9.5 * /T30,'ratio =',F9.5 * /T30,'frau =',F9.5 * /T30,'key =',I9

191 7.7 计算程序 191 * /T30,'ntol =',I9 * * /T30,'nthrsh=',I9 /T30,'mesh =',I9//) 5400 Format(F8.5,9F7.5) 5500 Format(2I5,2F10.0) 5600 Format(//T5,'spin-orbitals',T21,'nl',T25,'spin',T31,'oup', * * T46,'E' /(T20,I3,T27,I1,T31,F4.1,T41,F13.7)) 5700 Format(//T19,'ITER #',I5,5X,'delta=',1PD14.7,2X,'- point',i4) 5800 Format('MAXIMUM # OF ITERATIONS EXCEEDED') 5900 Format('RADIAL MESH FOR THIS ATOM:'//) 6000 Format('XALPHA V POTENTIAL FOR THIS ATOM:'//) 6100 Format(//' SPIN',I2//) 6200 Format('SPIN-ORBITAL W/ N=,'I2,' L=',I2,' E=',1PD14.7, * * ' OCUP=',1X,F5.2,' NSPIN=',I2,' ' : FORM',' R*RADLFN'/) TO POINT',I5, 6300 Format('1 CHARGE DENSITY AT THE MESH POINTS:'/) 6400 Format(/' SPIN',I2/) 6500 Format(I5,1P8D16.6) 6600 Format(/' TOTAL CHARGE DENSITY, FORM RHO*(R**2) :'/) 6700 Format('1') End C Funtion blatt(e,p,r,vradl,hsqo12) ******************************************************************** find the first derivative of funtion generated by Numorov interpolation, interpolation the radial inrement points must be onstant. between the five r= radial mesh vradl= radial potential p= radial funtion obtained by integrating with energy E through the radial potential vradl(k) on mesh R(k) blatt= numerial derivative of p see: jm blatt, j omp phys 1:385 (1967) ******************************************************************** Impliit Real*8 (a-h,o-z) Dimension p(5),vradl(5),r(5) If(r(5)-r(1).LE.4.1D0*(r(2)-r(1))) Then h=dsqrt(12.d0*hsqo12) dif1=(p(4)-p(2))/2.d0 dif2=(p(5)-p(1))/2.d0 ddif1=((vradl(4)-e)*p(4)-(vradl(2)-e)*p(2))*hsqo12 ddif2=((vradl(5)-e)*p(5)-(vradl(1)-e)*p(1))*hsqo12 blatt=16.d0*(-dif1+37.d0*dif2/32.d0-37.d0*ddif1/5.d0 * -17.D0*ddif2/40.D0)/(21.D0*h) Return Endif Write(6,5000) Stop 5000 Format(' ERROR -- BLATT DERIVATIVE FORMULA IS CALLED', * End 'OVER A MESH DOUBLEING INTERVAL') C

192 192 第七章原子结构的计算 Subroutine integr(f,r,kmx,ihg,a,md) ******************************************************************* integrates funtion F on 1-D mesh R by quadrtures, stores partial integrals in A See K S Kunz, Numerial Analysis ******************************************************************** Impliit Real*8 (a-h,o-z) Dimension f(*),r(*),ihg(12),a(*) Data s720,s646,s456,s346,s264,s251,s106,s74,s30,s25,s24, * s19,s11,s10,s9,s7,s6,s5,s4,s2 /720.D0,646.D0,456.D0, * 346.D0,264.D0,251.D0,106.D0,74.D0,30.D0,25.D0,24.D0, * 19.D0,11.D0,10.D0,9.D0,7.D0,6.D0,5.D0,4.D0,2.D0/ Data zero /0.D0/ h=r(2)-r(1) If(md.EQ.1) Then ----begin integration at zero k0=0 f0=zero Else --- begin integration at first point k0=1 a(1)=zero f0=f(1) Endif n=1 k0p1=k0+1 k0p2=k0+2 k0p3=k0+3 k0p4=k quadrature formulas q41(0),q41(1),q41(2) for first 3 points a(k0p1)=h*(s251*f0+s646*f(k0p1)-s264*f(k0p2)+s106*f(k0p3) * -s19*f(k0p4))/s720 a(k0p2)=a(k0p1)+h*(-s19*f0+s346*f(k0p1)+s456*f(k0p2) * -s74*f(k0p3)+s11*f(k0p4))/s720 a(k0p3)=a(k0p2)+h*(s11*f0-s74*f(k0p1)+s456*f(k0p2) * +s346*f(k0p3)-s19*f(k0p4))/s720 k0=k0p4 Do 20 k=k0,kmx km1=k-1 km2=k-2 km3=k-3 kih=k-ihg(n) If(kih.NE.1) Then If(kih.EQ.2) Goto main part of integration: q31(2) a(k)=a(km1)+h*(s9*f(k)+s19*f(km1)-s5*f(km2)+f(km3))/s24

193 7.7 计算程序 193 Goto 20 Endif if mesh interval just hanged, speial formulas h=h+h a(k)=a(km1)+h*(s2*f(k)+s7*f(km1)-s4*f(km2)+f(km3))/s6 Goto n=n+1 a(k)=a(km1)+h*(s11*f(k)+s25*f(km1)-s10*f(km2) * +s4*f(km3))/s30 20 Continue If(mod(md,2).NE.0) Return ---- if MD even, reverse A Do 30 k=1,kmx a(k)=a(kmx)-a(k) 30 Continue Return End Subroutine numrov(e,nst,z,n,l,r,v,p,ihg,kmax,mesh,thresh, * ntries,prnt) ******************************************************************* solves shodinger equation numerially by numerov method V= partial potential inluding L*(L+1)/R**2 P= partial wave funtion in the form R*(Radlfn) assume V=infinity, P= zero at origin ******************************************************************* Impliit Real*8 (a-h,o-z) Logial utset,onedun,prnt Dimension dumom(2084) Dimension ihg(12),elast(30) Dimension r(520),p(520),vradl(520),v(520),a(520),fn(520) Common dumom Equivalene(dumom(1),vradl(1)) Equivalene(dumom(522),a(1)) Equivalene(dumom(1043),fn(1)) Data ntrymx,nrstmx,nmtplm /50,10,20/ Data zero,one,two,four,five,ten,twlve /0.D0,1.D0,2.D0,4.D0, * 5.D0,10.D0,12.D0/ ntries=0 nreset=0 nmtply=0 nodes=n-(l+1) angm=dfloat(l*(l+1)) onedun=.false. --- setup radial EQN potential (V plus ANGMOM pot. L)

194 194 第七章原子结构的计算 Do 10 k=1,mesh vradl(k)=v(k)+angm/(r(k)*r(k)) 10 Continue If(elast(nst).EQ.zero) elast(nst)=1.25d0*e delast=dabs((elast(nst)-e)/e) Goto Continue --- E has been reset non variationaly: reset DE-ontrol parameter If(prnt) Write(6,5500) nst,ntries,e delast=dabs(0.25d0*e) -- outward integration: To start exponential tail (where urvature goes negtive) 30 Continue ntries=ntries+1 If(ntries.LE.ntrymx) Then gkm1=-one utset=.false. h=r(2)-r(1) nross=0 Call pstart(h,z,l,e,v,p(1),p(2)) hsqo12=h*h/twlve pkm2=p(1) pkm1=p(2) dkm2=-(e-vradl(1))*pkm2*hsqo12 dkm1=-(e-vradl(2))*pkm1*hsqo12 i=1 Do 50 k=3,mesh gk=(e-vradl(k))*hsqo12 pk=(two*(pkm1+five*dkm1)-pkm2+dkm2)/(one+gk) p(k)=pk --- test for sign hanges in WFN If(pk*pkm1.LT.zero) nross=nross+1 If(.NOT.utset) Then --- test for hg of sign in urvature (outer turning point) If(gkm1.LT.zero.OR.gk.GE.zero) Then gkm1=gk Goto 40 Endif --- Have reahed turning point: set KSTOP for utoff integration utset=.true. kstop=k+2 If(kstop.EQ.ihg(i)-1) kstop=ihg(i) If(k-2.LT.ihg(i-1).AND.k+2.GT.ihg(i-1)) * kstop=ihg(i-1)+4

195 7.7 计算程序 195 If(k-2.LT.ihg(i).AND.k+2.GT.ihg(i)) * kstop=ihg(i)+4 Else --- KSTOP set: hek if it is reahed If(k.EQ.kstop) Goto 60 Endif 40 If(k.GE.ihg(i)) Then --- numerov inrement for H just doubled i=i+1 hsqo12=four*hsqo12 dkm2=four*dkm2 dkm1=-four*gk*pk pkm1=pk Else ---numerov inrement for H unhanged dkm2=dkm1 dkm1=-gk*pk pkm2=pkm1 pkm1=pk Endif 50 Continue --- Error exit from outwards integration: Tail not reahed Reset E=VRADL(k) inside mesh and try again If(prnt) Write(6,5600) nst,ntries,k nreset=nreset+1 k=mesh-40*nreset e=vradl(k) If(nreset.GT.nrstmx) Goto 140 Goto Suessful exit from outwards integration: Test # radial nodes 60 Continue If(nross.NE.nodes) Then ---- # of nodes in error: if too few, derease ABS(E) if too many, inrease ABS(E) If(prnt) Write(6,5700) nst,ntries,nross nmtply=nmtply+1 If(nmtply.GT.nmtplm) Goto 160 If(nross.LT.nodes) fat=0.75d0 If(nross.GT.nodes) fat=1.25d0 e=fat*e Goto 20 Endif

196 196 第七章原子结构的计算 --- # of nodes orret: find P from blatt formula drvout=blatt(e,p(kstop-4),r(kstop-4), * vradl(kstop-4),hsqo12) kmath=kstop-2 pmath=p(kmath) --- end outward integration kstop=kstop-4 If(.NOT.onedun) Then --- skip searhfor kmax if one suesful inwards integral done bigex=69.08d0 in=11 kmax=mesh Continue in=in-1 If(in.EQ.0) Goto 150 kmax=kmax-40 hsq=(h*h)*four**in --- set KMAX farther IN, if H too large for stabilit or RADLFN is in an underflow region If(hsq.GE.6.214D0/dabs(e)) Goto 70 ex=r(kmax)*dsqrt(vradl(kmax)-e) If(ex.GT.bigex) Goto 70 Do 80 k=kmax,mesh p(k)=zero 80 Continue Endif --- inward integration k=kmax i=in -- first two points by exponential approx hsqo12=(h*h/twlve)*four**i pkm2=dexp(-r(k)*dsqrt(vradl(k)-e)) dkm2=-(e-vradl(k))*pkm2*hsqo12 p(k)=pkm2 k=k-1 pkm1=dexp(-r(k)*dsqrt(vradl(k)-e)) dkm1=-(e-vradl(k))*pkm1*hsqo12 p(k)=pkm1 --- integrat down to kstop 90 k=k-1 gk=(e-vradl(k))*hsqo12 If(-gk.GT.one) Write(6,5300) e,gk pk=(two*(pkm1+five*dkm1)-pkm2+dkm2)/(one+gk)

197 7.7 计算程序 197 p(k)=pk If(k.NE.kstop) Then If(k.LE.ihg(i)) Then --- inrement if interval just halved: alls 2 points i=i-1 dk=-pk*gk km1=k-1 km2=k-2 gkm1=(e-vradl(k))*hsqo12 pkm1=(two*(pk+five*dk)-pkm1+dkm1)/(one+gkm1) dkm1=-pkm1*gkm1/four hsqo12=hsqo12/four gkm2=(e-vradl(k))*hsqo12 dk=dk/four pkm2=((pk-dk)+(pkm1-dkm1))/(two-ten*gkm2) dkm2=-pkm2*gkm2 p(km1)=pkm2 If(km1.EQ.kstop) Goto 100 p(km2)=pkm1 If(km2.EQ.kstop) Goto 100 k=km2 Goto 90 Endif --- numerov invrement for H unhanged dkm2=dkm1 dkm1=-pk*gk pkm2=pkm1 pkm1=pk Goto 90 Endif --- end inward integration Continue onedun=.true. --- mah inwards integratrion to ontwards at KMATCH math=pmath/p(kmath) Do 110 k=kstop,mesh p(k)=p(k)*math 110 Continue drvin=blatt(e,p(kstop),r(kstop),vradl(kstop),hsqo12) drvdif=drvin-drvout --- variational priniple improvment for E Do 120 k=1,kmax fn(k)=p(k)*p(k) 120 Continue Call integr(fn,r,kmax,ihg,a,1) xnorm=a(kmax)

198 198 第七章原子结构的计算 de=-p(kmath)*drvdif/xnorm If(prnt) Write(6,5800) nst,ntries,e,kmath,drvdif,de If(dabs(de/e).GE.thresh) Then --- E not onverged: if DE/E.gt. % hnage of ETRIAL from --- E of last potential iter, redue DE to that value If(dabs(de/e).GT.delast) de=de*dabs(delast*e/de) --- inrement energy and solve again e=e+de Goto 30 Endif --- energy is onverged: normalize WFN and return elast(nst)=e xnorm=dsqrt(xnorm) Do 130 k=1,kmax p(k)=p(k)/xnorm 130 Continue Return Endif --- error prints and stop Write(6,5000) Stop 140 Write(6,5100) Stop 150 Write(6,5200) Stop 160 Write(6,5400) Stop 5000 Format(' ntrymx exeeded in numerov--', * 'E onvergene too slow') 5100 Format(' annot find an exponential tail in numerov', * 'despite moving urvature CHG point bak to R(40).', * 'hek form of V.') 5200 Format(' starting mesh is too large to aommodate', * 'ore funtion integration by numerov') 5300 Format(' warning--- GK<-1 for E=',1X,D14.7, * ' and GK=',1X,D16.7/) 5400 Format(' E has been hanged to hunt for orret # of', * 'nodes more time than allowed') 5500 Format(' NST=',I3,' after NTRY=',I3,' is having E', * 'set non-variationally to ',1X,D20.7) 5600 Format(' Nst=',I3,' Trial #',I3,' does not reah tail', * 'E reset= VRADL(k)-K=',I4) 5700 Format(' NSt=',I3,' Trial #',I3,' has NCROSS=',I3, * ': E mult by fator to orret # radial nodes') 5800 Format(' NST=',I3,' Trial # ',I3,' has E=',1X,D14.7, * ' Kmath=', I3,' Drvdif=',D14.7,' De=',D14.7)

199 7.7 计算程序 199 End Subroutine pstart(h,z,l,e,v,p1,p2) ******************************************************************** Begin integration of radial equation with angular momentum = L, near R=0, expands P=R*(radial FN)=SUM<0,4>(A(j)*R**j)*R**(L+1) and finds oefts A(J) by taking derivatives 0-3 of radial equation at R=0; ******************************************************************** Impliit Real*8 (a-h,o-z) Dimension v(3) Data s1,s3o2,s11o3,s2,s5o2,s3,s4,s6,s8,s12,s20 /1.D0,1.5D0, * D0,2.D0,2.5D0,3.D0,4.D0,6.D0,8.D0,12.D0, * 20.D0/ xl=dfloat(l) zoh=z/h -- derivs of R*(v(i)-E) at R=0 d0=-(z+z) d1=s3*(v(1)-v(2))+v(3)+s11o3*zoh-e d2=-(s5o2*v(1)-s4*v(2)+s3o2*v(3)+zoh+zoh)/h d3=((v(1)+v(3))/s2-v(2)+zoh/s3)/(h*h) --- expansion oeffiients a1=-z/(xl+s1) a2=(d0*a1+d1)/(s4*xl+s6) a3=(d0*a2+d1*a1+d2)/(s6*xl+s12) a4=(d0*a3+d1*a2+d2*a1+d3)/(s8*xl+s20) lp1=l+1 ---evaluation of series expansion for P=R*(radial funtion p1=(s1+h*(a1+h*(a2+h*(a3+h*a4))))*h**(lp1) th=h+h p2=(s1+th*(a1+th*(a2+th*(a3+th*a4))))*th**(lp1) Return End Subroutine vgener(z,exfat,fas,ihg,mesh,nsts,nspins, * watson,radion,zion,ratio,onvg) ******************************************************************** generate new atomi potential UNEW(k) from harge density information. if CONVG=.true., also alulates total energy under the HFS hamilton ******************************************************************** Impliit Real*8 (a-h,o-z) Logial onvg,watson Dimension dumom(2084),fn(521),a(521) Dimension r(521),p(521),rhosp(521,2),rho(521)

200 200 第七章原子结构的计算 Dimension uoul(521),uexh(521,2),unew(521,2),v(521,2) Dimension e(30),nspin(30),kmx(30),oup(30) Dimension ihg(12),eexh(2) Dimension fwk(521),rwk(521),awk(521) Common dumom,r,v,rhosp,rho,e,oup,kmx,nspin,p Equivalene(dumom(1),uexh(1,1),unew(1,1)) Equivalene(dumom(1043),fn(1)) Equivalene(dumom(1564),a(1)) Data zero,one,two,three,six /0.D0,1.D0,2.D0,3.D0,6.D0/ Data third,s3o4 / D0,0.75D0/ Data pi4 / D0/ ---generate new potential U=R*V (rho,rhosp in form (R*P)**2) kmax=0 Do 10 nst=1,nsts kmax=max0(kmax,kmx(nst)) 10 Continue kmxm1=kmax-1 mesp=mesh-1 Do 20 k=1,1563 dumom(k)=zero 20 Continue --- exhange potential Do 40 is=1,nspins Do 30 k=1,kmax uexh(k,is)=-six*exfat*(three*fas*r(k)*rhosp(k,is) * /(two*pi4*pi4))**third 30 Continue 40 Continue If(onvg) Then --- if potential onverged, find E-E exhange energy eexh(1)=zero eexh(2)=zero Do 80 is=1,nspins Do 50 k=2,kmax fn(k)=s3o4*rhosp(k,is)*uexh(k,is)/r(k) 50 Continue Do 60 kk=1,520 fwk(kk)=fn(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=a(kk+1) 60 Continue Call integr(fwk,rwk,kmxm1,ihg,awk,1) Do 70 kk=2,521 fn(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) a(kk)=awk(kk-1) 70 Continue eexh(is)=a(kmax)

201 7.7 计算程序 Continue Endif --oulomb potential (assuming sperial symmetry) uoul(1)=zero Do 90 kk=1,520 fwk(kk)=rho(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=uoul(kk+1) 90 Continue Call integr(fwk,rwk,mesp,ihg,awk,1) Do 100 kk=2,521 rho(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) uoul(kk)=awk(kk-1) 100 Continue all integr(rho(2),r(2),nesp,ihg,uoul(2),1) rho(1)=zero Do 110 k=2,kmax rho(k)=rho(k)/r(k) 110 Continue Do 120 kk=1,520 fwk(kk)=rho(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=fn(kk+1) 120 Continue Call integr(fwk,rwk,kmxm1,ihg,awk,1) Do 130 kk=2,521 rho(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) fn(kk)=awk(kk-1) 130 Continue Do 140 k=1,kmax fn(k)=fn(kmax)-fn(k) 140 Continue --- UCOUL set equal eletron-eletron oulomb potential Do 150 k=1,mesh uoul(k)=uoul(k)+r(k)*fn(k) 150 Continue If(onvg) Then --- if potential onverged, find N-E,& E-E oulomb energies enuel=-two*z*fn(1) Do 160 k=1,kmax fn(k)=rho(k)*uoul(k) 160 Continue Do 170 kk=1,520 fwk(kk)=fn(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=a(kk+1) 170 Continue

202 202 第七章原子结构的计算 Call integr(fwk,rwk,kmxm1,ihg,awk,1) Do 180 kk=2,521 fn(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) a(kk)=awk(kk-1) 180 Continue eeoul=a(kmax) Endif ---new oulomb potential (nulear+eletroni) Do 190 k=1,mesh uoul(k)=two*(uoul(k)-z) If(watson) Then -- watson sphere ontribution, if any xion=zion*ratio If(r(k).LT.radion) Then uoul(k)=uoul(k)+two*xion*r(k)/radion Else uoul(k)=uoul(k)+two*xion Endif Endif 190 Continue ---sum oulomb and exange terms Do 210 is=1,nspins Do 200 k=1,mesh unew(k,is)=uoul(k)+uexh(k,is) 200 Continue 210 Continue If(.NOT.onvg) Then Return Endif --- Total Energy Calulation ekinet=zero --- Kineti energy from integration (E-V) over orbital densities Do 220 nst=1,nsts ekinet=ekinet+oup(nst)*e(nst) 220 Continue Do 260 is=1,nspins Do 230 k=2,kmax fn(k)=v(k,is)*rhosp(k,is) 230 Continue Do 240 kk=1,520 fwk(kk)=fn(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=a(kk+1) 240 Continue Call integr(fwk,rwk,kmxm1,ihg,awk,1)

203 7.7 计算程序 203 Do 250 kk=2,521 fn(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) a(kk)=awk(kk-1) 250 Continue ekinet=ekinet-a(kmax) 260 Continue ewats=zero If(watson) Then --- watson sphere ontibution if any xion=zion*ratio Do 270 k=2,kmax If(r(k).LT.radion) Then fn(k)=two*xion*r(k)/radion Else fn(k)=two*xion Endif 270 Continue Do 280 k=2,kmax fn(k)=fn(k)*rho(k) 280 Continue Do 290 kk=1,520 fwk(kk)=fn(kk+1) rwk(kk)=r(kk+1) awk(kk)=a(kk+1) 290 Continue Call integr(fwk,rwk,kmxm1,ihg,awk,1) Do 300 kk=2,521 fn(kk)=fwk(kk-1) r(kk)=rwk(kk-1) a(kk)=awk(kk-1) 300 Continue ewats=a(kmax) Endif ---SUM and Print Total energy etotal=ekinet+eeoul+eexh(1)+eexh(2)+enuel+ewats virial=-etotal/ekinet+one Write(6,5100) Write(6,5000) ekinet,enuel,eeoul,eexh(1),eexh(2),ewats, * etotal,virial Return 5000 Format(//T20,'**** ATOMIC ENERGIES ****' * /T20,36('*') * //T20,'Kineti Energy=',1X,D21.7 * /T20,'Nu-El Coulomb=',1X,D21.7 * /T20,'El--El Energy=',1X,D21.7 * /T20,'Spin up Exhg =',1X,D21.7 * /T20,'Spin Dn Exhg =',1X,D21.7 * /T20,'Watson Sphere =',1X,D21.7 * ///T20,'Total Energy =',1X,D21.7 * /T20,'Virial ratio =',1X,D21.7 * ///)

204 204 第七章原子结构的计算 5100 Format('1') End

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證明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介於 x, x

證明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介於 x, x 微分與積分的交換積分設 f 在 [a, b] [, d] 上連續, 問 d dx f(x, y? f(x, ydy x 首先 (1 式兩邊必須有意義 f(x, ydy 必須對 x 可導若 f 及 x f(x, ydy 積分必須存在 x f 在 [a, b] [, d] 上連續, 則 ( 及 (3 式成立, 下面的定理告訴

2 目 录 Euler 方 法 龙 格 库 塔 方 法 两 点 边 值 问 题

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