竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 : 3X Y + Z..3 分 X Y Z..3 分 令 Z 得 Y 所以 l 的方程为 x y z +.... 分
解法二 : l 在过点 M 且与平面 平行的平面 上 设 的方程为 将 M 的坐标代入 求得 D 4 所以 的方程为 3x y + z + D...3 分 3x y + z + 4.. 分 l 又在过点 M 以及直线 l 的平面 3 上 3 的方程为 x 4 - y - 3- z ( -(...4 分 即 x + y z 4.3 分 因为 l 是 与 3 的交线 所以 l 的方程为 解法三 : 3x y + z + 4 x + y z 4...3 分 设 l 与 l 的交点为 M( x y z 因为 M 在 l 上 又 MM // 所以有 x y 3 z 4 3( x ( y + ( z +..7 分 解之 得 M 的坐标为 ( 7 因此 l 的方程为 4 即 x y z + 7 + 4..4 分 x y z +..4 分 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分
二 ( 分 设 f x ( x + ( 为二次可微函数 ( M sup f + (. x+ ( 试证 : sup f ( x + 且 M M M. f 表示 f (x. M x+ 证 : f ( x + h f + f ( x h + f ( h ( 在 x 与 x + h 之间 f ( x h f f ( x h + f ( h ( 在 x h 与 x 之间 分 两式相减 h f ( x + h f ( x h f ( x h + [ f ( f ( ] ------- 分 即 h f h f ( x + h f ( x h [ f ( f ( ] ------------------ 分 所以 f ( x h f ( x + h + f ( x h + h ( f ( + f ( M + h M ( 即 h f ( x h + M 对一切 h 成立. -------------- 分 M ( 故判别式 f x M M 即 f M M 对一切 x 成立.--------------------------- 分 所以 M sup f ( + x x+ M M M. 分 且 三 (3 分 设函数项级数 + u 在 [ a ] 上收敛 且存在常数 G 使得对任何自然数 及实 数 x[ a ] 恒有 + u ( x G 试证 + u 在 [ a ] 上一致收敛 证任给正数 对于 [ a ] 中的任一点 x 必存在正整数 N x 使得 ( p u ( x N( x ------------------------ 分 + 取 ( x 则对于任何 x ( x ( x x + ( x 恒有 ------------ 分 4G
+ p + p + p + p u u u ( x + u ( x ( x x + p u + G + 4G 其中 N x p ------- ------ 分 ( 显然 开区间族 { ( x x + x[ a ] } 完全覆盖了 [ a ] 由有限覆盖定理知 比存在有 限个开区间 : 它们覆盖了 [ a ] ( x ( x x + ( x ( x ( x x + ( x ( xm ( xm xm + ( xm ---------3 分 取 x max{n ( x N( x N( x } 则 N( 时 对任何 x [ a ] 都有 N( m + p u p. -------3 分 所以 + u 在 [ a ] 上一致收敛 ----------- 分 四 (3 分 判断函数 f + x ( x 是否一致收敛? 解 : f lim f lim + x ( x ---------- 分 x ( x 在 [ ] 上 对任意的 为使 f f + x
即 而 又因为 + x ------ 分 + x ( + x + ( + x + + 故 只需 > /. 于是 取 N ( [ ] 则当 > N 时 必有 f f --- 分 成立 故 f + x 在 [ ] 上一致收敛 ------- 分 在 [ ] 上 对同一个 为使 成立 又因为 [ f f + x x ] + x x ( + x x ---- 分 这说明 x + x 单调递减 ( x [ ] 也就是说 + x x < 令 < 即 l l [ ] 故 此时只要取 N ( [ ] l( + l( + 则当 > N 时 - 分 必有 f f 成立 故 f + x 在 [ ] 上也一致收敛 ------- 分 因此 对任意的 存在着 Nmax{N N } 使得 当 > N 时 -- 分 f f 成立 故 f + x 在 [ ] 上一致收敛 ------- 分
x d x y d y 五 ( 分 设 I R 求 lim I x + x y + y R R. ( x + y R 解 记椭圆周 x + x y + y R 为 L 取 充分小 使小圆 : x + y 完全落入 L 内. 并记 L 与 所夹得区域为 D 由 Gree 公式 则有 x d x y d y I R --------- 分 ( I R + ( x + y [( x y ( ] d x d + ( x + y ( x + y y x d x y d y + ( x y D ( d x d y + ( x + y x d x y d y + ( x y D J + J ----------- 分 对 J 作极坐标变换 : x cos y si 则 ---------- 分 J ( d R + si cos d R (+ si cos d - 对利用参数方程 : x cos y si 则 ; ------- 分 于是 注意到 所以 I R J. ------- 分 R (+ si cos d. ------- 分 + si cos + si ------------ 分 lim I R R + ----------- 分.
六 (5 分 设 A 为数域 P 上的 阶方阵 f (t 与 g (t 为数域 P 上的两个互素的多项式 V { x P f ( A x } V { x P A x } 分别为齐次线性方程组 f ( A x 和 g ( A x 的解空间. 证明 : f ( A A P V V 其中 P 为数域 P 上 维列向量在通常运算下构成的线性空间. 证明 :( 充分性 (5 分. 若 P V V 即对任意 P 存在唯一 V V 使 得 +. 此时 f ( A g ( A. ( 分 由于 f ( A A A f ( A 于是 ( 分 f ( A A f ( A A( + A f ( A + f ( A A 故 f ( A A 充分性得证. ( 分 ( 必要性方法一 ( 分. 由于 f (t 与 g (t 为数域 P 上的两个互素的多项式 则存 在数域 P 上的多项式 u (t v (t 使得. u ( t f ( t + t t. ( 分 故有 g ( A A + f ( A A E 其中 E 为 阶单位矩阵. ( 分 对任意 P 有 E A A + f ( A A. ( 分 令 A f ( A. 由于 f ( A A 于是 A 即 V A f ( A f ( A A A g ( A A f ( A A f ( A A A. V. ( 分 于是 P V + V 又易知 V V 是 P 的子空间 则 V 故 P V + V. ( 分 对任意 V V 有 f ( A g ( A. 由 A A + f ( A A A A + A f ( A E + V P 亦是 P 的子空间. 综合可知 P V V 必要性得证. (3 分
可知 V V {} 即 V + V 是直和. 综合可知 P V V 必要性得证. (3 分 (3 必要性方法二 ( 分. 由于 f (t 与 g (t 为数域 P 上的两个互素的多项式 则存在数域 P 上的多项式 u (t v (t 使得 u ( t f ( t + t t. ( 分 故有 g ( A A + f ( A A E 其中 E 为 阶单位矩阵. ( 分 易知 V V 是 P 的子空间 则 V + V P 亦是 对任意 V V 有 f ( A g ( A. 由 P 的子空间. A A + f ( A A A A + A f ( A E 可知 V V {} 即 V + V 是直和. 故 dim( V + V dim( V + dim( V. (3 分 由于 f ( A A 则 f ( A f ( A 秩 f ( A + 秩 A 秩 秩 A f ( A f ( A A + A A f ( A 秩 秩 A f ( A E E 秩 秩 A f ( A A f ( A A A A E A E 秩. (3 分 而 dim( V 秩 f ( A dim( V 秩 A 于是 dim( V + V 秩 f ( A + 秩 A dim(p 又 V + V 是 P 的子空间 于是 P V + V. 综合可知 P V V 必要性得证. ( 分
七 ( 分 设 为数域 P 上的 维线性空间 V 的两个线性变换 且. ((8 分 证明 : 存在 V 的一组基使得 在此基下的矩阵为 J ( 其中 J ( 表示 对角元均为 的 阶 Jorda 块 ; ((6 分 若 证明 : 与 相似 ; (3(6 分 若 证明 : 存在数域 P 上的多项式 g (t 使得. 证明 : ( 由于 则存在 V 使得 ( ( (. 下面断言 线性无关并构成线性空间 V 的一组基. (3 分 设有一组数 P使得 将 + ( + + (. 作用上式两端 由 ( 将 可知 ; 作用上式两端 由 ( 及 知 ; 继续如上操作可得 故 ( ( 线 性无关 且构成线性空间 V ( dim( V 的一组基. (3 分 而 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( J ( 故 在基 ( ( 下的矩阵为 J (. ( 分
( 因 由 ( 的证明知存在 V 使得 ( 且 ( ( 线性无关并构成 V 的一组基. 于是 在基 ( ( 下的矩阵亦是 J (. ( 分 设由基 ( ( 到基 ( ( 的过渡矩阵为 X 在基 ( ( 下的矩阵为 A. ( 分 ( ( 由 ( ( ( ( ( ( J( X ( X ( ( ( X J( X ( 分 可知 : A X J( X 即线性变换 与 在同一组基 ( ( 下的矩阵 A 与 J ( 相似 故 与 相似. ( 分 (3 设 在基 ( ( 下的矩阵为 B ( ij. 由 及 在基 ( ( 下的矩阵为 J ( 知 亦即 BJ ( J( B ( 分 3 解此矩阵方程可得 3 3 3 ( i j ij 3 故 E + J( + 3J( + + J( + J( B. 令 ( t + t + 3t + + t + t g 则有 B J(. ( 分 故 证毕. ( 分