97 级高等数学上期末考试题一填空题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其间断点 ; 它属于第类的间断点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在则处连续则 6. 设 si 则 d 7. f 的麦克劳林公式的拉格

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罹滑
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1 高等数学历届统考试题 997- 应用数学系二一年十二月

2 97 级高等数学上期末考试题一填空题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其间断点 ; 它属于第类的间断点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在则处连续则 6. 设 si 则 d 7. f 的麦克劳林公式的拉格朗日型余项 8. 当 > 时曲线 si 9. 设有曲线 cos 在. 设. R 的水平渐近线方程的曲率即 f d f 为连续函数 lim d k ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ. 设有向量 i j l k b i j k 当 b. 曲线 b z. d cos ϖ 时 l 绕 o 轴旋转一周其曲面方程为 5. 设平面的方程为 A 6 z 直线的方程为

3 z 5 二计算题 : 求 lim 若平面与直线 l 相垂直则 A 由方程 l rcg 所确定的函数求出曲线 l f 设 f 三计算题 : 的凹和凸的区间及拐点 " d d 且 f 求 f d d 求 d 求 rccos d d 求 d 设 f 求 : f d < 求通过点 - 且平行于平面 6 z 和平面 z 的直线方程四应用题 : 已知底边为腰为 b 周长为的等腰三角形绕其底边旋转一周形成体当和 b 分别为多少时其体积为最大并求其体积在曲线上一点 M 处作一条切线使其与该曲线及 o 轴所围成的平面图形的面积为求 : 切点 M 的坐标 ; 过 M 点的切线方程 ; 该平面图形绕 o 轴旋转一周的旋转体体积五证明题 : 设 f 在 [ b ] b 上连续证明 : f d f b d 设 f " < f 证明 : 当 < b 时有 f b < f f b b

4 设 ϕ 在 [ b ] ϕ ϕ 上 ϕ "> 证明 : 在 b 上是单调递增的 97 级高等数学上期末考试题答案一填空题 : ; 一 ; ; ; 5 ; l si cos 6 [l si ] d ; 7 si! 8 ; 9 ; f ; l ; ; ; ; 5 b 二计算题 : ; ; 拐点 ± l 凸区间 ; 凹区间 ; ; " f 三计算题 : rc c ; ; 6 ; z. 5 四应用题 : V m ; V d. 五证明题略 98 级高等数学上期末考试题一题本题共 6 小题每小题分满填空分 8 分设函数 f 当大于某一正数时有定义如果对于任意给定的无论怎样大的正数 M 总存在使得对于适合不等的对应的

5 函数值 f 都满足不等式则记作 lim f f d d 的第一类间断点为第二类间断点为 si d 抛物线 5 函数. 在点 6 已知 M M M 处的曲率半径 r 在处取得极小值 ; 该曲线上的拐点为向量二选择题本题共 5 小题每小题分满分 5 分时 f cos 是则与 M M M M 同时垂直的单位 A 有界变量但不是无穷小量 ;B 无界变量但不是无穷大量 ; C 无穷小量 ; D 无穷大量 si 在处 B 极限不存在 ; B 不连续 ; C 连续但不可导 ; D 连续且可导 f 可导且 f f 当 > 时 f > 那么 < 时必有 A f < ;B f ;C f 下列广义积分发散的有 A l d ; B d ;C > ; D f d d ;D 5 直线 z 与下列直线或平面平行的为 A z ; B z 8 ; 5

6 C 5 z ; D 6 z 三本题共 8 小题每小题 6 分满分 8 分 b 计算 lim 其中 b ; 设 f >. 计算 lim lcos d cos 处处可导求及 f 已知函数由方程确定求 " 5 已知椭圆的参数方程为 cos b si 6 计算 l d d 7 计算 8 求过点求椭圆在点处的切线方程且与两平面 z 和 z 平行的直线方程四证明题本题共小题每小题 7 分满分分叙述并证明罗尔定理证明 : > 时 l > 五本题 5 分求曲线与直线所围成图形的面积及该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积六选做题本题共小题每小题 5 分满分分欲造一无盖的长方体容器已知底部造价为每平方米元侧面造价为每平方米元想用 6 元造一个容积最大的容器求它的长宽高已知 f 有二阶连续的导数 f 函数 6

7 f ; g f. 讨论 g 在处的可导性若可导它的导函数在处是否连续? 99 级高等数学上期末考试题说明 : 提高班的学生附加题必答满分分 ; 其他学生只做一到八题满分分一. 试解下列各题 [7 分 ]. lim. cos 求 d. si d si cos d 求 d. lim si cos d 5. 设由方程所确定当时求的值. d 二. 试解下列各题 [ 分 ]. d.. d. si si. d.. cos d. l 三.[9 分 ] 设某平面图形位于曲线的下方该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间求 : 该平面图形的面积 ; 该平面图形绕轴旋转所成的立体的体积四.[8 分 ] 半径为 R 的球沉入水中球的上部与水平面相切球的比重与水相同现将球从水中取出需作多少功? 五.[8 分 ] 求级数的和. 7

8 六.[7 分 ] 证明 : 当 < < 时 g > 七.[7 分 ] 级数是否收敛? 如果收敛是绝对收敛还是条件收敛? 八.[ 分 ] 设函数在 [b] 上连续且在 b 内有 f >. 证明 : 在 b 内存在唯一的 η 使曲线 f 与两直线 f η 所围平面图形面积 S 是曲线 f 与两直线 f η b 所围平面图形面积 S 的三倍. 附加题 [ 分 ]. 5 分试证 : 当 > 时 l.. 5 分设 d 求的值 ; 试证 : 对任意的常数 λ > 级数 λ 收敛. 99 级高等数学上期末考试题参考答案 : 一.. ;. si cos d ;. /si;./;5. ; 二.. cos rcsi c ;. l 8 c ; cos cos./;.; 三../;. 9 6 l /6. 四. R ; 五. ; 8 六. 作辅助 f g 分析单调性增.; 七. 比值法 /; 八. S b f f d S f f d g S S [ ] 介值定理 b 级高等数学上期末考试题一. 填空题本题共 5 小题每小题分满分 5 分 : 8

9 . lim si. 设 < f 要使 f 在处连续则 cos d. l 则 d. 设 f 的一个原函数是 9 5. 已知 f 且 f < < 则 f d 展成的 Forir 级数在处收敛于二. 单项选择题本题共 5 小题每小题分满分 5 分 :. cos 是当时的 A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 低阶的无穷小 f f. f 在处可导则 lim A. f B. f C. f D. f. 曲线 cos 在点处的曲率为 A. B. d C. 6 D. 8. 广义积分 > p 则为以为周期的周期函数则 f A.p> 时收敛 p 时发散 B.p 时收敛 P< 时发散 C.P 时收敛 P> 时发散 D.P< 时收敛 P 时发散 5. 设函数 f 则方程 f 在 [] 内有实根 A. 个 B. 个 C. 个 D. 无实根三. 计算题本题共 8 小题每小题 6 分满分 8 分 :. lim si

10 d. 求由方程 l cos 所确定的隐函数的导数 d. 设 si cos d 求 d d d. 求函数 I d 的极值 ; 5. 求 d ; 6. 求 d 8. 求 ; 7. 判别级数的和函数 s 并求级数! 是否收敛? 四. 证明题本题共小题每小题 5 分满分分 :. 证明 : 当 > 时 < l.. 证明 : 若数列 { } 收敛那么数列 { } 一定有界. 五. 应用题本题共小题每小题 6 分满分分 :. 求双曲线与直线旋转所生成的立体的体积的和. 及轴所围成的图形分别饶轴和轴. 在之间求 c 值使直线 c 所围成的平面图形的面积最小附加题本题共小题满分 8 分设 f 在 [b] 上连续 f 单调增加证明 : b b f d f d 级高等数学上期末考试题参考答案一..... c 二.. B. D. D. A 5.B b 5.

11 三... si. 极小值 f 5. rc c 判别法收敛 8. s l l 四. 略五.. [ 8 ];.. si cos cos 6. l c 7. 比值附加题 : 提示 : 构造函数 f f d f d 级高等数学上期末考试题一. 填空题分 6 8 分. 设 rcsi 9 则 d. 函数 cos 在区间 [ ] 上的最小值为. si d. 过点且垂直于平面 z 的直线的对称式方程为 si d 5. lim 6. 设二次曲面的方程为 z 按照规定这个二次曲面的名称是 ; 它是怎样形成的提高班不做其它学生必做 7. 设二次曲面的方程为 z 按照规定这个二次曲面的名称是 ; 它是怎样形成的提高班必做其它学生不做. 二. 单项选择题分 6 8 分

12 . 设在的某一去心邻域内 f > 且 lim f 则 A > B C D si. 设 f 则 f 在处 A 连续且可导 B 连续但不可导 C 不连续 D 左右导数都存在但不相等. 当时 cos 是的 A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但不是等价无穷小提高班不做其它学生必做. 当时 cossi 是的 A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但不是等价无穷小提高班必做其它学生不做 f h f h 5. 设 f 存在则 lim h h A f B f C f D f 6. 下列等式中正确的是 A d [ f d ] f d B df f A d [ f d f c d ] D f d f d z 7. 直线与平面 z 的关系是 A 平行但直线不在平面上 B 直线在平面上 C 垂直相交 D 相交但不垂直提高班不做其它学生必做 z 8. 直线与平面 z 的关系是 A 平行但直线不在平面上 B 直线在平面上 C 垂直相交 D 相交但不垂直提高班必做其它学生不做三. 计算题 5 分 8 分. lim si cos ;. lim 提高班不做其它学生必做 ; si

13 cos. lim si 提高班必做其它学生不做 ; l. 设 rc d 求 ; d 5. 设函数由方程所确定求 6. 求抛物线在点 6 处的曲率及曲率半径 l 7. l d ; 8. d 提高班不做其它学生必做 ; 9. d 提高班必做其它学生不做 ;. d. 四. 应用题共分. 要制造无盖圆柱形油桶体积为 V 问底半径 r 和高 h 等于多少时才能使表面积最小? 分. 求 f d 的单调区间及极值 5 分. 求曲线 5 6 绕轴旋转形成的旋转体的体积 5 分五. 证明题 5 分分. si d si d. 设 f 在 [ ] 上可导且 < f < 又对于 f 证明 : 方程 f 在内有唯一实根级高等数学上期末试题一填空题 : 每小题分共 5 分函数的间断点它属于第类间断点. f

14 设 f 且 f 则 lim f. 曲线 si 上横坐标为的点处的切线方程为 ; 法线方程为抛物线. 在点处的曲率半径 r 5 坐标平面 o 面上的双曲线 9 6 绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为. 二选择题每小题分共 5 分 lim f lim f 是 f 在点连续的 A 充要条件 C 必要非充分条件 B 充分非必要条件 D 既非充分也非必要条件设 f 存在则 lim h f h h f h 等于 A f B f C f D f si d 等于其中 > si si si A B c C D 下列广义积分收敛的是 si c A d B d C d D d 5 平面 z 与直线 z 的位置关系为 7 A 相交但不垂直 B 垂直 C 直线在平面上 D 平行但直线不在平面上三计算题每小题 6 分共 8 分设 si > ; f 在处可导试求 b 的值. b. 求极限 lim si d 的值. 已知 si > 求 d si 求由参数方程 cos d 所确定的函数的二阶导数. d

15 5 求曲线的凹凸区间及拐点. 6 已知 f 7 设 cos 的一个原函数是求 f d. f < ;. 求 f d. 8 求过点 -5 且与两平面 z 及 5 z 平行的直线方程四应用题每小题 6 分共分欲制造一无盖圆柱形油罐体积为 V 问底半径 r 和高 h 分别等于多少时才能使表面积最小? 求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 五证明题每小题 5 分共分证明方程只有一个实根. 设 f 在 [ b ] 上连续在 b 内可导且 f F f d 证明 F 在 b 内单调递减. 级高等数学上期末试题参考答案一. 每小题分共 5 分. 一 ;. ;. ;..8; 5. 9 z 6 二. 选择题每小题分共 5 分.C;.B;.C;.C; 5.D 三. 计算题每小题 6 分共 8 分. 解 : 由 f 在处连续知 f f f 分而 f lim si f b 从而 b 分 ; 又由 f 在可导知 : f 分且 f f f lim lim f f f lim lim si f 从而分. 5

16 6 分分分解 : ] si lim [ si lim si lim. si si d. 解 : si l 分. cos l cos l cos l l l 分分 ] cos l [ 分故 d d cos si si cos si cos si. 分分分解 : d d d d d d d d 5. 解 : 令得 : 分 ; 凹区间为凸区间为 - 分 ; 拐点为 : 分. 6. 解 : cos si cos f 分 ; cos si 分分 c d f f df d f. l ] [l. 7 分分分分解 : d d d d f d f 8. 解 : 方向向量 } { } 5 { } { s 直线方程为 : 5 5 z 6 分四. 应用题每小题 6 分共分. 解 : 由题意 rh r S h r V 分从而

17 V V h S r r r r r V r 分. 又 S V r 令 V S 得 r r V V 驻点唯一因此当 r 表面积最小分 ; 此时 h 分.. 解 : 体积 V d d 分分五. 证明题每小题 5 分共分. 证明 : 根的存在性 : 显然为方程的一个实根分 ; 根的唯一性 : 令 f 分假设原方程还有一个根 c c 不妨设 c < 显然 f 在 [c ] 上满足 Roll 中值定理从而至少存在一点 ξ c f ξ 分 ; 但这与 f 只有一个零值点相矛盾因此原方程只有一个实根分.. 证明 : 由积分中值定理可得使 F f f d 分 f f ξ ξ [ ] 分又由 f 知 f 单调递减从而 f f ξ 故 F 从而 F 在 b 内单调递减. 分级高等数学上期末试题四. 填空题本大题共小题每小题分满分分. lim l. 设 f cos < 要使 d. 若 rc 则 d. 抛物线在点处的曲率 K 5. f si f 在处连续则的阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项 7 R

18 6. 设 f si 7. d cos 的一个原函数是 si d 9. lim 则 f d 8. l d ϖ ϖ ϖ ϖ. 设向量 b 是垂直的两单位向量则与 b 所成角的平分线平行的一个单位向量是五. 单项选择题本大题共 8 小题每小题分满分 6 分. 当时 cos 是的 A. 高阶无穷小 B. 同阶不等价无穷小 C. 等价无穷小 D. 低阶的无穷小 f f. f 在处可导则 lim A. f B. f C. f D. f. 曲线 l 在对应位置上是 A. 凸曲线 B. 凹曲线 C. 单增曲线 D. 单减曲线 d. 广义积分 > p 则 A.p> 时收敛 p 时发散 C.p 时收敛 p> 时发散 5. 若 lim f B.p 时收敛 p< 时发散 D.p< 时收敛 p 时发散 > 则存在的某一去心邻域使 A. f < B. f C. f > D. f 6. 下列等式中正确的是 A. f d f d B. df f d d C. [ f d f c d ] D. [ f d ] f d 8

19 si 7. 设 f 则 f 在处 A. 连续且可导 B. 连续但不可导 C. 不连续 D. 左右导数都存在但不相等 8. 直线 z 与平面 z 的夹角为 A. B. C. D. 六. 计算题本大题共 7 小题每小题 6 分满分分 6. lim 设 si d d d 求 si d d 函数 f 点处的切线方程. 由方程 l 所确定求曲线 f 在求函数 I d 的极值和最值 d. 6. si si d 7. 设点 A B 的坐标分别为 - 和 -. 求与直线 AB 垂直且在轴上截距为 5 的平面的方程. 四. 应用题本大题共小题每小题 6 分满分分. 过坐标原点作曲线 l 的切线该切线与曲线 l 及轴围成的平面图形为 D. 求 D 的面积 A.. 某窑洞的截面拟建成矩形加半圆其截面积为 5 平方米. 问底宽为多少时才能使窑洞截面的周长 L 最小. 五. 证明题本大题共小题满分 9 分. 证明 : 当 > 时 < l. 设在的某邻域内 > f f 且 lim 级高等数学上期末试题参考答案 9. 证明 : f

20 一. 填空题本大题共小题每小题分满分分..-. rc. 7 ξ si ξ 5. 其中 ξ 介于与之间! 6. f c 或 c 7. c cos b 二. 单项选择题本大题共 8 小题每小题分满分 6 分.B.D.B.A 5.B 6.D 7.A 8.C 三. 计算题本大题共 7 小题每小题 6 分满分分. lim lim lim 分 lim Λ Λ 分分分 d cos d d. c 分 c csc Λ 分 d si d d si si. 分即切线方程为 k 分 Λ Λ 分 d. I 分 I I Λ Λ 分 d 函数 I 当时单调递减当时单调递增故 I 在无极大值上只有唯一的极小值 I 在上只有最小值 I I 无最大值 Λ 分 5. rc sc d sc c rccos sc sc c Λ d 分 Λ Λ 分 d c 分

21 6. si si cos si 5 d d si si cos cos d d Λ Λ Λ Λ 分 si cos d si cos d 分 si cos d. AB { 5 } 分设平面方程为 5 z D 5 分 7 将点 5 代入得 D 分所求平面方程为 5 z 分四. 应用题本大题共小题每小题 6 分满分分. 切点为切线方程为分 A d 分. 由面积 5 得 5 周长 8 L f 分令 f 得而 f > 故是的唯一极小值点也就是 L 的最小值点 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分五. 证明题本大题共小题满分分. 证明 : 拉氏中值定理 c : < c < l l l 分当 > 时 > 分 c Λ Λ Λ Λ Λ Λ 或证明 : 令 Θ > 时 f > 当 f l f > 时 f 即 l < l l [ f f [ 单调增加 Λ Λ 分 > Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分

22 . 证明 : 在该邻域内 f > 故 f f 都连续且 f f ; Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分将 f 台勒展开 f f f f c! f c 分分! 或证明 : Θ f > f 单调增加令 g f 则 g g f f g f > Λ 分 g c g c g g g! 故 f 即 f Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 分. 97 级高等数学下期末考试题一填空题 : si lim ; z l 的定义域为 ; d ; 设 f z z grdf ; 5 A i j z k div A ; 6 级数的收敛区间是 ; 7 设 f 是周期函数它在 [ 上的表达式为 < f 若 < 将 f 展开为 Forir 级数则 ; 8 微分方程 d d 的通解为 ; d 9 改换二次积分 f d 的积分次序 ;

23 设 L : cos si 则 ds. 二计算题 z z 设 z f 其中 f 具有二阶连续偏导数求 z 设求 z d dz d dz L 计算 D d σ D 由直线及所围成求由曲面 z 及 z 6 所围成的立体的体积 5 计算 d si d 其中 L 是在圆周上由点 L 到点的一段弧 6 计算部分 7 计算 ds 其中是锥面 z 被平面 z 和 z 所截得的 zdd ddz dzd 其中是柱面被平面 z 及 z 所截得的在第一卦限的部分的前侧 8 证明曲面 z > 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 9 将 f 展开成的幂级数求级数求微分方程的和函数 " 5 6 的通解 d si 求微分方程 d 的特解 98 级高等数学下期末考试题一. 填空题每小题分共分.

24 z. 曲面 z 在点处的切平面方程为. z. 设 z si 则.. 设 L :. 则 ds. L. 设曲面 Σ 是平面 z 上被所截部分的上部则 z dd Σ. 5. 积分 d d. 6. 设 f 是以为周期的周期函数且在 [ 的表达式为 ; f < 或 < <. 的值 S. 7. 级数的收敛半径为. 则 f 的 Forir 级数的和函数 S d 8. 微分方程的通解为 d. 9. 向量场 A i j z k 则散度 div A 旋度 ro A.. 设 z z 则在点 M- 的梯度 grd. 二. 选择题每小题分共分.. f d d. A. f d. B. f d. C. f d. D. A B C 均不正确.. 若 f f 则函数 f 在点处. A. 连续. B. 必取得极值. C. 可能取得极大值. D. 全微分 dz. 在

25 . 如果简单闭曲线 L 所围区域的面积为 S 则 S. 其中 L 取逆时针方向. A. d d. B. L d d. C. L d d. D. L d L. 级数 si. d. A. 发散. B. 条件收敛. C. 绝对收敛. D. 其收敛性与有关. d 5. 微分方程的一个特解应具有形式. d A. b B. b C. b D. b 三. 计算题每小题 7 分共 56 分. z z. 设 z f bz f 可导求 b.. 求 I. 求 I D Σ dd. 其中 D 由及围成. z ddz zdd. 其中 Σ 为有向曲面 z z 其法向量与 z 轴正向夹角为锐角.. 设 L 是圆周 lim 的逆时针方向计算极限 b d m d. L 5. 计算 Σ zds. 其中曲面 Σ 是锥曲面 z 上介于平面 z 与 z 间的部分. 6. 求 6 在点的 Tlor 展开式. 7. 求幂级数的收敛域并求其和函数. 5

26 8. 求微分方程 d d d 四. 应用题 7 分. 的通解. d 在球体 z Rz 内各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方试求该球体的重心坐标. 五. 证明题 7 分. 证明曲面 z f b cz f 可微 b c 均为常量的所有切平面都与常 b 向量 A c b 平行. 六. 附加题分. 已知都是微分方程. 6 6 的解求此微分方程的通解. 98 级高等数学下期末考试题参考答案一.-;. cos si ;.;. 6.; 7.; 8.c - ;9. ; ;.{-}. 二.B;.C;.D;.C;5.B. ;5.-/; 三.. ;.7/6 ;. 5 / ;. m-b ; 5. / ; 6. ; 5 7. R ; ; 8. c c ; 四. G R ; 五. 切点 z 切向量 b f c f A 垂直 A. ; 六. c c. 6

27 98 级线性代数期末考试题一分计算行列式 b c d 二分求 A 的逆矩阵 A 三 5 分向量组 α α α 7 线性相关吗? 并求出它的秩及一个最大线性无关组四 5 分求解非齐次线性方程组五分设二次型 f 写出它所对应的矩阵 A ; A 的特征值特征向量 ; 求正交矩阵 P 使 A 化为对角阵同时写出对应的正交变换及对角阵六分判定二次型 f 的正定性 f 6 6 七分设向量组 α α α 线性无关 β α α β α α β α α 试证向量组 β β β 也线性无关 98 级线性代数期末考试题参考答案一. bcd b d cd 7

28 8 二. 6 6 A 三. α α α 线性无关 ; A R ; α α 四. 齐次线性方程组的基础解系为 ξ ξ 原方程组的一个特解为 * η 故原方程组的通解为 c c R c c 五. A λ λ 5 λ 对应的特征向量分别为 k k k k k k ; P 正交变换为

29 六. A > > A > 故 f 是正定二次型 ; 6 七. 略 99 级高等数学下期末考试题一. 填空题分 si. lim ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ. 已知 A i j z k 则向量场 A 的散度为 ϖ ϖ ϖ. 已知三矢量 { } b { } 和 c { } ϖ ϖ ϖ b c 则. 设 l 当时 d 5. I D d σ D 是圆域则 I 6. 设平面曲线 L 为下半圆周则曲线积分 ds L 7. 微分方程 5 6 的相应齐次方程的通解为其特解形式为二. 计算题 9 分. 设 f 求. 求旋转抛物面 z 在点处的切平面及法线方程. 求通过点和且与平面 z 垂直的平面的方程. 计算曲面积分 Σ z ddz zdd 其中 Σ 是旋转抛物面 9

30 z 及介于平面 z 及 z 之间的部分的下侧 5. 给定函数 z 和点 A 5 B 5 6 求所给函数在点 A 沿 AB 方向的方向导数 6. 计算三重积分 Ω 围成的区域 zdv 其中 Ω 是由曲面 z z 所 7. 证明 d d 与 L 的起止点有关而与所取路径无关并求 L d d 的值三. 应用题分 ϖ ϖ ϖ. 设有一变力 F i si j 求质点在此变力作用下沿路径 L : 上由点到所做的功. 求均匀半球体 z z 的重心坐标四. 证明题 5 分 ϖ ϖ ϖ 设 α α α 线性无关证明向量组 ϖ ϖ α α ϖ ϖ ϖ ϖ α α α α 线性无关五.8 分用正交变换化二次型 f 为标准型并写出变换矩阵级高等数学下期末考试题一. 填空题分 7 分. lim si. 设 l 当时 d. 交换积分次序 d f d A. 设 A 和 B 为可逆矩阵 X 为分块矩阵则 X B

31 5. 微分方程 si cos 的通解为 6. 设 { } b { } c { } 则 b c 7. 设 A i j z k 则向量场 A 的旋度 ro 二. 计算题 7 分 6 分 z. 设函数 f 具有二阶连续的偏导数 z f 试求 z. 求曲面 z 在点处的切平面方程.. 设 A 且 AB A B 求矩阵 B Ω. 计算三重积分 z dddz 其中 Ω 是由曲面 z z 所围成的空间区域 5. 已知是由平面 z 及 z 所围立体的整个表面的外侧求 zdd ddz dzd " 6. 求微分方程的通解三. 应用题分设有平面场力 F cos i si j 求一质点沿曲线 L : 从点移动到点时场力所作的功四. 证明题 8 分 6 分 m m. 证明 : d f d f d. 设向量组 α α α 线性无关试证明向量组 A 为 β β α 线性无关 α α α β α α 五. 本题分

32 求一正交变换将二次型 f 化为标准型级高等数学下期末考试题参考答案一. 填空题.;. d d ;. d f d d f d ; B si. X ;5. A si C d ; 6. -6;7. z j k ; 二. 计算题. f. ; f f f B ;. 5 5 三. 应用题 W cos d si d L 四.. 提示 : 五. 正交变换为 d m ; 5. ; 6. C C m f d 交换积分次序 f 级高等数学下期末考试题一选择题每小题分共计 5 分. 二元函数 z f 在点处下列结论成立的是 A. 可微全微分存在可导偏导数存在 B. 可导连续但不一定可微. C. 可微可导或可微连续但偏导数不一定连续 D 可微可导连续.

33 . lim A B C 不存在 D Σ. 设 Σ 为球面 z 则 z ds A B C D 8. 设正项级数收敛则下列级数收敛的是 A B C D 5. 设 f 是周期为的周期函数在 ] 上的傅立叶级数在处收敛于 A B C D 二填空题每小题分共计 5 分 ;. 函数 z l 则 z ; < f 则 f <. 形如的方程称一阶线形非齐次微分方程其通解公式是 ;. 求曲面 z z 在点处的切平面方程为法线方程为 ;. 的收敛半径为收敛区间为 z 5. 设 z f f v 有二阶连续偏导数则三是非题每小题分共计分若矩阵 A 的行列式 A 则 A 的第一行可由其余各行线性表示若 A 与 B 相似则 A B 若 A 有一个特征值为零则 A

34 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量必正交 5 齐次方程组 AX 的基础解系是唯一的四计算题每小题 6 分共计 8 分判别设 A 是三阶方阵的敛散性 ; 将 f 在展为 Tlor 级数 ; A 为 A 的伴随矩阵且五计算题每小题 7 分共计分 A 求 A A 已知二次型 f 5 5 c 6 6 ; 的秩为. 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值 ; 计算积分 D 指出方程 f 表示何种二次曲面 dd 其中 D { } 求 I d d L 是上半圆周顺时针为正 L 求 6 9 的通解 5 计算由曲面 z z 所围立体的形心 6 求下列非齐次线性方程组的通解级高等数学下期末试题一. 填空题 5 分 si. lim 曲线 z 在对应于的点处的切线方程为. 二重积分 d σ 其中 D 为圆环形闭区域 : D. 设 L 为圆周 R 则 ds L b.

35 d 5. 微分方程 d 二. 选择题 5 分的通解为. 设 f 下面说法正确的是 A. f 在处偏导数存在且可微. B. f 在处可微但偏导数不存在. C. f 在处不可微且偏导数不存在.D. f 在处不可微但偏导数存在.. 级数 p p > 的收敛情况为 A. p < 时绝对收敛 p 时条件收敛. B. p > 时绝对收敛. C. p > 时绝对收敛 p 时条件收敛.D. p 时发散 p > 时绝对收敛.. 关于向量组的线性相关性下列说法错误的是 A. 若向量组 α α... α 线性相关则向量组 α α... α β 也线性相关. B. 若一向量组中含有零向量则此向量组线性相关. C. 两个向量线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. D. 向量组 α α... α 线性相关的充要条件是其中任意一个向量都可由其余向量线性表示.. 微分方程的通解为 A. c c B. c c C. c c D. c c z 5. 设 Σ 为平面在第一卦限的部分则 A. B. 6 C. 6 D. 6 三. 计算题第 7 小题各 6 分第 8 小题 8 分共 5 分 5 Σ z ds z z. 设 z f f 具有连续的一阶二阶偏导数求.

36 . 计算二重积分 d d. Σ. 计算曲面积分 ddz dzd z dd 上半部分取外侧. 其中 Σ 为球面 z 的. 判定级数! 的敛散性. 5 求幂级数的收敛域及其和函数. 6 设 f 具有二阶连续导数 f 且 f f d 求 f. 7 计算行列式 D 8 求一个正交变换 XPY 把二次型 f 化为标准二次型. 5 6 四. 应用题分. 在均匀的半径为 R 的半圆形薄片的直径上要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少?. 设有平面场力 F i j 求一质点沿上半圆周 L: 从点 A 到点 O 时场力所作的功. 五. 证明题 6 分设 β Λ α α β α α Κ β α α 且向量组 α α... α 线性无关证明向量组 β β... β 也线性无关. 级高等数学下期末试题四. 填空题本大题共 5 小题每小题分满分 5 分. si lim.. 给定函数 z 和点 A B 则所给函数在点 A 沿 AB 方向的方向 6

37 . 设方阵导数为.. 设 A 则它的逆矩阵等于. f 是以为周期的周期函数且在 [ 的表达式为 < ; f <. f 的 Forir 级数在处收敛于. d d 5. 微分方程的通解为. 五. 单项选择题本大题共 5 小题每小题分满分 5 分. 简单闭曲线 L 所围区域的面积为 S L 取逆时针方向则 S. A. d d ; B. d d L L ; C. d d ; D. L d L d.. 曲面 z > 上任意点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为 A ; B ; C 9 ; D. 设阶方阵 A 的行列式 A 则方阵 A 的行列式 A 等于 6 A ; B ; C 8 ; D 无法确定. 下列级数中条件收敛的是 A ; B l ; C cos ; D 5. 微分方程 5 的通解为. A 5 C C ; B C C ; C C si C cos ; D C C. 7 三计算题本大题共 6 小题每小题 7 分满分分. 设 f w 其中 w f v. 计算二重积分 d σ 其中 D 是由 D w w 具有二阶连续偏导数求. 所围成的闭区域

38 8. 计算曲面积分 S zdd ddz z 其中是旋转抛物面 z 介于 z 与 z 之间的部分下侧.. 求下面方程组的通解 5. 求微分方程 d d d d 的通解. 6. 求幂级数的收敛域并求其和函数. 四. 证明题本大题共小题每小题 7 分满分分. 证明 : 在斜边之长为的一切直角三角形中周长最大的三角形为等腰直角三角形.. 设 b b b 而向量组线性无关. 证明向量组 b b b 也线性无关. 五应用题本大题共小题每小题 7 分满分分. 设一质点受到力场 j i F 的作用该质点沿椭圆 5 从点 5 M 依逆时针方向移动到点 N 时求力场 F 所作的功.. 求矩阵 A 的特征值和特征向量并求可逆矩阵 P 使得 AP P 为对角阵其中 A 级高等数学下期末试题参考答案六. 填空题本大题共 5 小题每小题分满分 5 分 c 七. 单项选择题本大题共 5 小题每小题分满分 5 分.D.C.C.D 5.C 三计算题本大题共 6 小题每小题 7 分满分分. 解 : 令 v 则 v f w 分 ; 分 v f v f v f v f v v w w w v 分 v f v f v f v v w w w v

39 9. 解 : : D... 分分 D d d d σ 分 d. 解 : 利用高斯公式补一块上底面 Z 取上侧方向则 : Σ zdd ddz z dd 8. 分 S zdd ddz z Σ zdd ddz z Σ s zdd ddz z dv V 分. 故 Σ zdd ddz z Σ s zdd ddz z Σ zdd ddz z 8 8 分注 : 另一个解法见教材页. 解 : A... 分 < A R A R 有无穷多解.. 分由此得 c c c c c c 是参数其中 c c 分 5. 解 : 特征方程 r r 解得特征根 r 对应齐方程 d d d d 的通解是 c c 分再设 A 为原方程的一个特解带入后得 : 8A6AA A/6 故 6. 分所以原方程的通解为

40 c c 6. 解 : 令 S 其 R 6 分逐项积分 : S d d 故 d S.... 分 d 所以 S 分四. 证明题本大题共小题每小题 7 分满分分证明 : 设两直角边长各为其周长为 L 则 L... m > >... s.. 分拉格朗日乘数法 : 令 λ λ 由 λ 解得 λ 分讨论 : 当时 ABC 是直角三角形 L ; λ 当 : 或时 L ; 故在斜边之长为的一切直角三角形中周长最大的三角形为等腰直角三角形.. 分. 设 b b b 而向量组线性无关. 证明向量组 b b b 也线性无关. 证明 : 考察关于的向量方程 b b b 可整理为分而又已知向量组线性无关故它的系数行列式 A A 满秩.

41 所以的取值必须全为零唯一零解分这就说明向量组 b b b 线性无关... 分五应用题本大题共小题每小题 7 分满分分解 : 法一直接计算法 : 椭圆参数方程为 5 cos MN : si : w F dl d d 8 si cos d.7 分 MN MN 法二用格林公式及与路径无关方法求解 : w F dl d d 与路径无关 d d MN MN d d 5.7 分. 求矩阵 A 的特征值和特征向量并求可逆矩阵 P 使得 P AP MO ON 解 : 求 A 的特征值特征向量 : 由于 λ A λe λ λ λ A 的两个特征值 λ λ.... 分当 λ 时 A λ E 为对角阵其中由可取对应一个特征向量 A 的属于 λ 的特征向量通解为 α k 其中 k.... 分当 λ 时 A λ E 由可取对应一个特征向量 p A 的属于 λ 的特征向量通解为 α k 其中 k.... 分 p A 可取变换方阵 P 其可逆且 P AP... 分

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<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303133C4EAB9A4B3CCCBB6CABFCAFDD1A7D7A8D2B5BFCEBFBCCAD4B4F3B8D9D3EBD2AAC7F3> 工程硕士数学考试大纲与要求 ( 包括高等数学和线性代数 ) 一函数极限与连续第一部分 : 高等数学考试内容函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初

97 级 高 等 数 学 上 期 末 考 试 题 一 填 空 题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其 间 断 点 ; 它 属 于 第 类 的 间 断 点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在 则 处 连 续 则 6. 设 si 则 d 7. f 的 麦 克 劳 林 公 式 的 拉 格

97 级高等数学上期末考试题一填空题 :.f < ϕ l 则 f [ ] ϕ.f 其间断点 ; 它属于第类的间断点 si lim.. 若 5. 设 ϕ 在则处连续则 6. 设 si 则 d 7. f 的麦克劳林公式的拉格