Microsoft Word - 95_1_stat_handout_03機率分配.doc

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氓代高
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1 第三章機率分配 6 年月日最後修改. 機率分配概論. 離散隨機變數之機率分配. 連續隨機變數之機率分配.4 機率表.5 計算隨機變數的期望值與變異數.6 動差與動差母函數. 機率分配概論機率分配 (robabiliy disribuio) 機率分配是隨機變數的機率函數機率分配是一個函數, 其定義域是實數值, 值域是機率 ([, ]) 機率分配可以想像為相對次數分配表, 只是這裡分組是隨機變數的值 ( 所以, 會有很多, 或無限多個分組 ) 以下是一個機率分配 : P() /6 4/6 6/6 4/6 4 /6 P C 4,,,,4 其中, 4 期望值 (eecaio value), 變異數 (variace) 機率分配的期望值如同相對次數分配表的平均數, 變異數亦同隨機變數 X 的期望值與變異數分別寫成 E ( X ) μ P E X V X V X E μ μ P P μ 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

2 或 E X P f d V X E μ μ f d f d μ 其中, P( ) 為離散隨機變數 X 的機率函數, f 是連續隨機變數 X 的機率函數共變數 (covariace) 如同敘述統計中的共變數, 以 cov ( X, Y ) 表示隨機變數 X Y 的共變數 cov ( XY, ) E ( μ )( y μ ) ypy (, ) μ μ y y y, 或 cov ( X, Y ) E ( μ μ )( y μ ) yf (, y) ddy μ μ y y y, 期望值變異數共變數的希臘字母符號 X μ E X σ X V X E X E X ( X Y) E( XY) E( X) E( Y) σ XY, cov, Σ E ( ) V ( ) cov (, ) 的操作 Σ i ( i) ( i) Σ af af + af + + af aσf Σ f i + g i Σ f i +Σg i E ( a) a E ( ax ) ae ( X ) E f ( X) + g( X) E f ( X) + E g( X) E ( ax + by ) ae ( X ) + be ( Y ) E X μ E X μ X + μ E X μ E X + μ E X μ X X X X X X E X μx Y μy E XY μxμy 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

3 ( ) V X E X μ X V( a ) V( ax) a V( X) + ( + ) + + ( μf )( μg) V f X g X V f g V f V g E f g ( + ) + + cov (, ) V ax by a V X b V Y ab X Y ( XY) E ( X μ )( Y μ ) cov, X Y cov ( ax, ) ( ax by ) ab ( X Y ) ( X + YZ) ( XZ) + ( YZ) cov, cov, cov, cov, cov, 範例. E ( ) 的操作已知 E( X ) 8 EY 6, 求 E ( X Y) E X Y E X E Y 8 6 範例. V ( ) 的操作已知 V( X ) 8 V( Y ) 6, 且 X 與 Y 互相獨立, 求 V( X Y) X 與 Y 互相獨立隱含 cov XY,, 因此 + V X Y V X V Y 離散隨機變數之機率分配討論機率分配應注意事項 : () 有哪些參數, 參數的意義為何 () 隨機變數的意義為何 () 分配的機率函數 ( 機率密度函數 ) 為何 (4) 隨機變數的期望值變異數為何 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

4 我們將介紹 7 個離散機率分配 : () 白努力分配 () 二項分配 () 超幾何分配 (4) 卜瓦松分配 (5) 多項分配 (6) 負二項分配 (7) 幾何分配白努力分配白努力分配 (Beroulli disribuio) 白努力分配又稱為點二項分配 (oi biomial disribuio) 白努力分配是所有機率分配的基礎參數 : 每次實驗成功的機率, 每個樣本作次實驗隨機變數 : 樣本中有次成功機率函數期望值與變異數 : ( ) { } ( ) P f( ; ),,, < < E V 二項分配二項分配 (biomial disribuio) 二項分配是複數樣本的白努力分配參數 : 每次實驗成功的機率, 每個樣本作次實驗隨機變數 : 樣本中有次成功機率函數 : ( ) { } ( ) P f( ;, ) C,,,,, < < E V 6 陳欣得統計學機率分配第 -4 頁

5 二項分配與白努力分配的關係若 X, X,, X 為相同且互相獨立的白努力分配, 令 X X + X + + X 則 X 為二項分配範例. 二項分配若有 % 的網友謊報其性別, 則個網友中, () 恰好有位謊報性別的機率為何? () 沒有人謊報的機率? () 位以上謊報的機率為何? %.,, 二項分配 () () 8 9 P( ) C ! C P () P > P P P 超幾何分配超幾何分配 (hyer-geomeric disribuio) 如同二項分配, 只是成功機率在抽取樣本的過程會變動參數 : 一共有 N 個球, 其中有 S 球為成功的球, 每次 ( 每樣本 ) 抽出個球隨機變數 : 樣本中有個成功球機率函數 : 6 陳欣得統計學機率分配第 -5 頁

6 S N S CC P f( ; NS,, ), {,,, }, S N N C S E N S S N V N N N 超幾何分配與二項分配的關係抽取後不放回與抽取後放回 : 超幾何分配是不放回的情況若抽取後放回, 則抽到成功的機率都是 S N, 故與二項分配相同當 N 的時候 : 若 N, 則每次抽到成功的機率都是 S N, 故與二項分配相同 ( ) ( ) ( ) ( ) S N S C!!! C! N S N S lim lim N N C N! ( S )!! N S +! N! 項項! S( S ) ( N S)( N S ) lim N! ( )! N( N )! S N S!! N S S C N N S N 超幾何分配可視為的二項分配, 只是變異數需加上修正項 N N : S N S S N E, V ( ) N N N N N 項範例.4 超幾何分配某一人的旅行團中, 有 8 個人睡覺會打鼾, 若人一個房間, 則某一房間 () 恰好有人會打鼾的機率為何? () 沒有人打鼾的機率? N, S 8,, 超幾何分配 () 6 陳欣得統計學機率分配第 -6 頁

7 () CC 8 7 8! P C 55! C P 卜瓦松分配卜瓦松分配 (Poisso disribuio) 卜瓦松分配為每組樣本中實驗次數非常多 ( ) 的二項分配參數 : 每組樣本的平均成功次數為 λ 隨機變數 : 樣本中有次成功機率函數 : λ P f( ; λ), {,, }, λ >! E λ V λ λ e 卜瓦松分配與二項分配的關係二項分配的極限狀況 : 且 λ ( λ 為常數 ) 在極限狀況下, 二項分配會趨近於卜瓦松分配! λ λ lim C ( ) lim! ( )! 項 λ ( ) ( + ) λ λ lim! λ λ e! 其中 6 陳欣得統計學機率分配第 -7 頁

8 項 ( ) ( + ) lim λ lim e λ lim λ 範例.5 卜瓦松分配若.5% 的車子有保颱風洪水險, 則輛泡水車中, () 恰好有輛有保洪水險的機率為何? () 沒有車輛保洪水險的機率?.5%.5,, 二項分配 () () 98 C P C P 或 λ.5%.5, 卜瓦松分配 ().5 e.5 P( ) ! () P( ) e e.867! 範例.6 卜瓦松分配某打字員平均每兩頁出現一次錯誤, 則該員在 5 頁的文稿中, () 恰好有個錯誤機率為何? () 都沒有錯誤的機率? λ 5.5, 卜瓦松分配 () 6 陳欣得統計學機率分配第 -8 頁

9 .5 e.5 P( ) ! () P( ) e e.8! 多項分配多項分配 (muliomial disribuio) 多項分配是二項分配的延伸, 每次實驗有兩個以上的出象參數 : 每次實驗有 m 種出象, 出現機率分別為,,, m, 每個樣本作次實驗隨機變數 : 每組樣本中第 i 種出象出現有 i 次, i,,, m 機率函數 : 其中! P,, f( ;, ),,,,!!!,, ( ) ( ), ( ) ( ), V( ) ( ) E E E V V { },,,,,, + +, <,, <, + + 負二項分配負二項分配 (egaive biomial disribuio) 負二項分配與二項分配互為對偶關二項分配以每組樣本中之實驗次數為參數, 成功次數為隨機變數 ; 負二項分配以每組樣本中之實驗次數為隨機變數, 成功次數為參數 ( 最後一次實驗的出象一定是成功 ) 參數 : 每次實驗成功的機率, 每組樣本中有 r 次成功實驗隨機變數 : 樣本中有次實驗機率函數 : 6 陳欣得統計學機率分配第 -9 頁

10 r r r ( ) { } P f( ;, ) C, rr, +,, < < E V r r ( ) r 注意另一種隨機變數的定義 : 第 r 次成功之前作了次實驗幾何分配幾何分配 (geomeric disribuio) 幾何分配為負二項分配的特殊狀況 ( 第一次成功 ) 幾何分配與白努力分配互為對偶關係參數 : 每次實驗成功的機率, 每組樣本中有次成功實驗隨機變數 : 樣本中有次實驗機率函數 : ( ) { } P f( ; ),,,, < < E V 範例.7 幾何分配與負二項分配假設在某廟裡擲出笑杯的機率為.4, 則連續擲杯 5 次後, () 出現第一個笑杯的機率為何? () 出現第三個笑杯的機率? ().4, 幾何分配 4 P ().4,, 負二項分配 4 C P 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

11 離散分配間之關係 (,, λ). 連續隨機變數之機率分配我們將介紹個連續機率分配 : () 均等分配 () 指數分配 () 常態分配機率函數與機率密度函數機率密度函數 (robabiliy desiy fucio): 若連續隨機變數 X 之機率密度函數為 f ( ), 則機率函數 P f d; 均等分配 a 累計機率函數均等分配 (uiform disribuio) F a P a f d 每個點出現的機率均相等稱為均等分配參數與隨機變數 : [ ab, ] 機率密度函數 : 且出現的機率皆相等 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

12 f f( ; a, b), a b b a a+ b E V ( b a) 範例.8 均等分配公車每分鐘來一班, 假設乘客不看時刻表, 隨機來等車, 則 () 平均等候時間為何? () 等候時間的標準差為何? () 等候超過分鐘的機率? a, b, 均等分配 () a b E () () σ ( b a) V X 8.66 P > d 指數分配指數分配 (eoeial disribuio) 指數分配與卜瓦松分配互為對偶兩者有相同的參數 : 每個樣本的平均成功次數為 λ 兩者隨機變數互為對偶 : 卜瓦松分配 : 以樣本的成功次數為隨機變數, 指數分配 : 以兩成功實驗間的時間間隔為隨機變數 ( 成功次數多則時間間隔小, 反之亦然 ) 參數 : 單位時間 ( 每個樣本 ) 的平均成功次數為 λ 隨機變數 : 經過時間後產生第一次成功 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

13 機率函數 : f f( ; λ) e, >, λ > E V λ λ λ λ F a P a e λa 指數分配的另一種表示法 : 參數 : 平均兩次成功間的時間間隔為 β ( 即 λ β ) 隨機變數 : 經過時間後產生第一次成功機率函數 : ( ; ) β f f β e, >, β > β E V β β F a P a e β a 範例.9 指數分配某路段平均每年發生件車禍, 則 () 平均多久發生一次車禍? () 某個月內沒有發生任何車禍的機率為何? λ, 指數分配 () λ ( 年 ) E () ( 一個月 ) ( 年 ) P > P > F e.446 常態分配常態分配 (ormal disribuio) 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

14 常態分配為抽樣分配的共同極限分配參數 : 平均數 μ, 標準差 σ 機率密度函數 : σ π μ σ f f( ; μσ, ) e, R, σ >, μ R E V μ σ 標準常態分配 (ormal disribuio) 標準常態分配為平均數 μ, 標準差 σ 的常態分配 ( z) π z f ( z) e, z R E V z 將常態分配標準化若 X 為參數 μ σ 的常態分配,Z 為標準常態分配, 則 μ z 或 μ + zσ σ 有關常標準分配的幾個重要數值 : ( z ) ( z ) ( z ) P % P % P % ( z.645) ( z.96) (.5 z. 57 ) P P P (.8) (.645) P z.9 P z.95 P z σ σ σ σ σ σ 6 陳欣得統計學機率分配第 -4 頁

15 .58σ.96σ.645σ.645σ.96σ.58σ.8σ.645σ.σ 範例. 常態分配已知為 μ σ 4 的常態分配, 則 () 求 P( 8 X 6) ; () 求 a 使 P( X a).9 () 8 μ 8 6 μ 6, σ 4 σ 4 * * z z * * P 8 X 6 P z z z P z.687 () P z.8.9 z.8 * * a μ + z σ 常態分配是二項分配的極限分配若越大, 則二項分配 ( 參數 ) 與參數 μ σ ( ) 的常態分配越接近以常態分配 ( 連續分配 ) 近似二項分配 ( 離散分配 ) 時, 特別注意修正項 ± : 6 陳欣得統計學機率分配第 -5 頁

16 ( ) 連續分配 ( + ) ( ) ( + ), ( ) ( ) ( < ) ( ), ( > ) ( + ) P a P a a 離散分配 P a P a P a P a 離散分配連續分配離散分配連續分配 P離散分配 a P連續分配 a P a P a 離散分配連續分配 ( 9.5) ( 9) ( < ) P P P 連續分配離散分配離散分配 ( 9.5) ( ) ( > 9) P P P 連續分配離散分配離散分配範例. 以常態分配近似二項分配已知為. 的二項分配,y 為 μ σ 4 P 9 X ; () () P( 9 Y ) ; () P( 8.5 Y.5) σ E X, Var X 6, 4 X 的常態分配, 請計算 () ()! a a ( a)..8 a! ( a)! P P 9 P 9 + P + P * 9 * z.5, z P 9 Y P.5 z () 6 陳欣得統計學機率分配第 -6 頁

17 * 8.5 *.5 z.75, z P 8.5 Y.5 P.75 z 機率表兩種方法計算隨機變數的機率 : () 直接由機率函數計算 ; () 查機率表四種形式的機率 : () 左尾, P( a) α, 以下累計機率 ; () 右尾, P( b) α, 以上累計機率 ; () 區間, P( a b) α ; (4) 雙尾, P( a 或 b) α 其中,a b 稱為臨界值,α 為機率 a b 左尾 : P a α a b 右尾 : P b α a b 區間 : P a b α a b ( 或 ) 雙尾 : P a b α 查機率表注意事項 : () 機率表的內容可能是機率, 也可能是臨界值 () 內容是機率時, 表索引為臨界值 ; 而內容是臨界值時, 表索引為機率 6 陳欣得統計學機率分配第 -7 頁

18 () 必須看清楚機率的形式是左尾或右尾 ( 離散變數時也可能是區間 ) 二項分配與卜瓦松機率表二項分配左尾機率表卜瓦松項分配左尾機率表 λ 範例. 查表求二項分配的機率假設為. 的二項分配, 請計算 () P( ) ;() P( ) ;() P( ) ;(4) () P( ).998 () P( ).76 () P( ) P( ) P( ) (4) P( ) P( ) P > > 範例. 查表求卜瓦松分配的機率假設為 λ 卜瓦松分配, 請計算 () P( ) ;() P( ) ;() P( ) ;(4) () P( ).6767 () P( ).46 () P( ) P( ) P( ) (4) P( ) P( ) P > > 陳欣得統計學機率分配第 -8 頁

19 標準常態機率表 z 分配機率表 z z 範例.4 查表求標準常態分配的機率假設 z 為標準常態分配, 請計算 P z (a) ( ) ;(b) P( z ) ;(c) P( z ) ;(d) P( z ) (e) P( z.8) ;(f) P( z.8) ;(g) P( z.6) z 分配是一個以令 ( ) α b P z b, 則 * ; * z 為中心的對稱分配, 上表給的是 P( z z ) P z b P z + P z b.5+ αb P( z b) P( z b).5 + αb P( b z ) P( z b) αb ( ) ( ) ( ) P( z b) P( z b).5 αb P b z b P b z + P z b αb P z b P z P b z.5 αb ( a) z, 查表得 α.4, P z α.4 * * * z z * z * z * z * z * 的機率 ( b) z, P z.5 + α.84 * ( c) z, P z α.4 * ( d) z, P z α.686 * ( e) z.8.8, P z.8.5 α * (f ) z.6, P z.6.5 α z.6 6 陳欣得統計學機率分配第 -9 頁

20 範例.5 查表求標準常態分配的臨界值假設 z 為標準常態分配, 請求臨界值 b: (a) P( z b). ;(b) P( z b).84 ;(c) P( z b).8 ;(d) P( z b).64 α * * * ( a) P z b z.77 b z.77 α * z * * ( b) P z b z.995 b z.995 α * z * * ( c) P z b z.95 b z.95 α * z * * ( d) P z b z.6 b z.6 z 範例.6 查表求常態分配的機率臨界值 (a) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為, 求 α ; (b) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為.8, 求 α ; (c) 標準常態分配, 右尾, 臨界值為.6, 求 α ; (d) 標準常態分配, 左尾, α., 求臨界值 ; (e) 標準常態分配, 左尾, α.84, 求臨界值 ; (f) 標準常態分配, 右尾, α.64, 求臨界值 (a) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為, 求 α α P( z ) (b) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為.8.84, 求 α α P( z ).8.6 (c) 標準常態分配, 右尾, 臨界值為.6, 求 α α P( z ) (d) 標準常態分配, 左尾,. (e) 標準常態分配, 左尾, α, 求臨界值 P( z b). b.77 α, 求臨界值 P( z b).84 b.995 (f) 標準常態分配, 右尾, α.64, 求臨界值 P( z b).64 b.6.5 計算隨機變數的期望值與變異數積分基本操作 () 多項函數的不定積分 : 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

21 a a+, a d a + () 指數函數的不定積分 : a a e d a e, a () 定積分 : β a a+ β a+ a+ α a+ α a+ a+ d α β, a, α < β (4) 函數和的積分 : + + f g d f d g d (5) 常數積的積分 : af d a f d (6) 函數積的積分 ( 部分積分 ): f ( g ) '( d ) f( g ) g f'( d ) 或 fdg fg gdf 範例.7 基本積分計算請計算下列積分 : (a) d (b) (d) (a) λe λ d y (c) ( ) y λ ay dy λe d 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

22 d 7 9 (b) λ λ λe d λ e λ (c) y y y y 9 ay dy dy aydy y a y a y y y y (d) λ 令 f, dg λe d df d, g e λ λ λ λ λ λe d fdg fg gdf e e d e λ + λ 範例.8 以積分計算隨機變數之期望值變異數隨機變數 X 的機率密度函數如下 : f, 計算 E( X ) Var( X ) 計算期望值 9 E( X) f d d 6 6 計算變異數或 Var ( X ) ( E ( )) f ( ) d d 4 Var 9 ( X ) f ( ) d ( E ( )) d 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

23 範例.9 以積分計算隨機變數之期望值變異數隨機變數 Y 的機率密度函數如下 : 計算 E( Y ) Var( Y ) 求未知參數 a: f( y) ay, y y y y y y y 9 y f ( y) dy ( ay) dy y a a a 9 計算期望值 y y y y y 9 7 y EY yf( ydy ) y y dy y y 計算變異數或 Var 9 ( Y y ) ( y E ( y )) f ( y ) dy y ( y ) 7 y y 9 y dy + + Var 9 ( Y y ) y f ( y ) dy ( E ( y y )) y 9 y dy 6 y y 範例. 計算條件機率邊際機率隨機變數 X Y 的聯合機率密度函數如下 : f, y + ay, < <,< y< oherwise 計算 f ( ) f ( y ) V( X ) cov (, ) 求未知參數 a: y y X Y + ay ddy + ay dy + a a f y + y dy + 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

24 f y + y d + y 因 f (, y) y f f ( y) ( )( y ) + + +, 故 X Y 兩者不獨立 7 E E( y) y ( + y) dy + ( ) ( ) 5 E E y y + y dy y y E( y) y( + y) ddy ( + ) dy V X E E cov ( XY, ) E( y) E( E ) ( y) 44 6 陳欣得統計學機率分配第 -4 頁

25 .6 動差與動差母函數動差 (momes) 或零動差 (zero momes) 級零動差 μ M E 中央動差 (ceral momes) 或主動差 (ricile momes) ( μ) 級主動差 μ M E 動差中央動差平均數與變異數之關係中央動差直接定義 σ α α 4 等有意義的係數零動差比較容易計算 M E μ E μe + μ M E μ E μe + μ E μ i i ( μ) i ( μ) M E C E σ μ E i M E μ M α σ 動差母函數 (mome geeraig fucio, 動差生成函數 ) 由動差母函數可以很容易計算各級動差 ( 零動差 ) () Ee m 範例. 由動差母函數產生各級動差 e 的泰勒展開式為 4 e !! 4! 6 陳欣得統計學機率分配第 -5 頁

26 即 () ( 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) m Ee + E+ E + E + E +!! 4! 也就是 d m E E E E d + + +! d d d d () k k m E E E E! 4 () m E E E E! k k+ () ( k+ ) ( k + + ) + 範例. 由動差母函數求期望值變異數若隨機變數的動差母函數為 ( e ) m e λ () 請計算 E( ) Var( ) 由 m 求一二級動差, 過程如下則 () λ( e ) E m e λe λ ( ) ( ) λ e λ( e ) E m { e ( λe ) + e λe } λ + λ Var E E λ + λ λ λ 範例. 白努力分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數白努力分配的機率函數為 f { } P ( ; ),,, < < 6 陳欣得統計學機率分配第 -6 頁

27 驗證機率函數 + 其 m 的求解過程如下期望值變異數 () ( ) ( ) + + ( ) m Ee e e e ( ) E m e ( ) E m e ( ) ( ) Var E E 範例.4 二項分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數二項分配的機率函數為 ( ) { } P f( ;, ) C,,,,, < < 驗證機率函數 C + ( 二項式定理 ) 其 m 的求解過程如下期望值變異數 () ( ) ( ) + ( ) m Ee e C C e e () E m e ( ) e + 6 陳欣得統計學機率分配第 -7 頁

28 ( m ) E ( ) e ( e ) e ( ) e ( ) + ( ) ( ) + ( ) Var E E 範例.5 動差母函數之性質令 X, X,, X 為一致且互相獨立的分配, 其動差母函數皆為 m, 若 Y X + X + + X 則 Y 之動差母函數為 ( ) () y ( ) E e E e E e e e E e E e E e m 例如, 白努力分配的動差為 + ( ) m e 則二項分配的動差為 () ( ) m e+ 範例.6 幾何分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數幾何分配的機率函數為 ( ) { } P f( ; ),,,, < < 驗證機率函數 ( ) 其 m 的求解過程如下期望值 e m () Ee e ( ) e e ( ) e e ( ) ( ) e 6 陳欣得統計學機率分配第 -8 頁

29 變異數 E () e e ( ) e e m + ( ) e ( ) e ( ) e ( m ) E e ( ) e e e e + + ( ) e ( ) e ( ) e Var E( ) E 範例.7 負二項分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數負二項分配的機率函數為 r r r ( ) { } P f( ;, ) Cr, rr, +,, < < r E r( ) V 驗證機率函數 r 項 r Cr ( r ) ( r ) r r r ( ) r! r r! ( r! ) 其 m 可由幾何分配的動機母函數寫出 e ( ) e () Ee m 期望值變異數 r () e e r E m r ( ) e ( ) e r 6 陳欣得統計學機率分配第 -9 頁

30 r ( ) e e E m r( r ) ( ) e ( ) e r e e + ( ) e + r ( e ) ( ) e ( ) ( ) ( + ) r r r r r + ( + ) r ( ) r r r Var E( ) E r 範例.8 卜瓦松分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數卜瓦松分配的機率函數為 λ λ e P f( ; λ), {,, }, λ >! 驗證機率函數 λ! e e λ λ λ! e λ e λ 其 m 的求解過程如下 e λ λ! 期望值變異數 () λ ( λe ) λ λe λ( e ) λ e λ m Ee e e e e e!! () λ e E m e λe λ ( ) λ e λ( e ) { } E m e λe + e λe λ + λ Var E E λ + λ λ λ 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

31 範例.9 指數分配之機率函數驗證動差母函數期望值變異數指數分配的機率密度函數為 ( ; λ) λ, >, λ > f f e λ 驗證機率密度函數 λ λ λe d λ e λ 其 m 的求解過程如下期望值變異數 λ ( λ) ( λ) λ m () Ee e λe d λ e d λ e λ λ λ ( λ ) λ () m E ( m ) E ( λ ) λ λ Var E( ) E λ λ λ 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

32 附錄 : 各分配期望值與變異數之計算過程 ( 直接積分 ) 白努力分配機率函數 : { } f( ; ),,, < < + E X + V X E X 二項分配機率函數 : { } f( ;, ) C,,,,, < < C + ( ) ( ) E X C + ( ) V X E X E( X) E X X + E X E( X)! ( ) +!! ( ) + + q C q C q C q + q ( ) ( ) ( + ) C q q 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

33 超幾何分配 S N S C C f( ; N, S, ),,,,, < S < N N C 機率函數 : { } S N S CC S N S S+ ( N S) CC N N C N + ( ) C C C S N S CC S N S N S E ( X) CC SC N N N N N C C C N ( ) ( ) V X E X E( X) E X X + E X E( X) C N S N S S S ( ) CC + C N N S S S S + N N N N ( ) ( ) S S S S SN + N N + S N + + N N N N N N S N S N S S N N N N N N N ( N! ) M N M N M+ N C C M C C MC M N M+ N C C C N! N N C! N!! N! ( ) ( ) M N M+ N C C M M C N 卜瓦松分配 λ ( ; ),,,, λ >! λ 機率函數 : f λ e { } λ! e e λ λ λ! e λ e λ λ λ E( X) e e λ!! λ λ λ ( ) 6 陳欣得統計學機率分配第 - 頁

34 ( ) ( ( )) + ( ) λ λ ( ) e + λ λ! λ λ ( ) λ e + λ λ! V X E X E X E X X E X E X λ e ! +! 幾何分配機率函數 : { } f( ; ),,,, < < ( ) E( X) ( ) ( ) ( ) ( ) V X E X X + E X E X ( ) ( ) + ( ) ( )( ) + ( ) ( ) + + ( ) q q + q+ q + q d q q dq d dq ( q) q ( ) q ( q) 6 陳欣得統計學機率分配第 -4 頁

35 負二項分配機率函數 : { } f( ;, ) C,, +,, < < 項 ( )( ) ( )! (! ) (! ) ( ) C ( ) ( ) ( ) 項 E( X) C ( )!! + (! ) ( ) ( ) V X E X X + E X E X dq d dq ( ) C + 項 ( ) ( ) ( )( ) ( ) (! ) ( ) ( + )! + (! ) ( ) ( + )( ) ( ) q q + q+ q + q 項 q ( )( ) q d 項 q ( ) q! ( q) + ( ) ( q)! 6 陳欣得統計學機率分配第 -5 頁

36 均等分配機率密度函數 : f (;,) ab, a b b a b a b a d b a b a b a b a b b a E d b a a b a b a b a b ( + ) ( b+ a) ( b a) ( b+ a) b V E( ) ( E ) d a b a b a b a a 指數分配 λ 機率密度函數 : f( ; λ) λe, >, λ > λ λ λe d λ e λ λ E λe d λ λ λ V e d a λ λ λ λa λ λ a P > a F a λe d e e λ 6 陳欣得統計學機率分配第 -6 頁

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Microsoft Word - 95_1_stat_handout_04抽樣與抽樣分配.doc 4 第四章抽樣與抽樣分配 006 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4. 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合樣本 (sample): 母體的部分集合我們有興趣的是母體, 但是實際測量研究的是樣本我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計